Ana Paula Noro O USO DO SOFTWARE CABRI-GÉOMÈTRE II PARA O ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

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1 Ana Paula Noro O USO DO SOFTWARE CABRI-GÉOMÈTRE II PARA O ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS Santa Maria, RS 2008

2 2 Ana Paula Noro O USO DO SOFTWARE CABRI-GÉOMÈTRE II PARA O ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS Trabalho final de graduação apresentado ao Curso de Matemática Área de Ciências Naturais e Tecnológicas, do Centro Universitário Franciscano, como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática. Orientadora: Leila Brondani Pincolini Santa Maria, RS 2008

3 Ana Paula Noro O USO DO SOFTWARE CABRI - GÉOMÈTRE II PARA O ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS Trabalho Final de Graduação apresentado ao Curso de Matemática Área de Ciências Naturais e Tecnológicas, do Centro Universitário Franciscano, como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática. Leila Brondani Pincolini Orientadora (Unifra) Ana Maria Coden Silva Rosane Rossato Binotto Aprovado em... de... de...

4 4 RESUMO O uso das tecnologias tem-se tornado cada vez mais necessário e comum nos espaços educacionais em particular nas aulas de matemática. Com esse propósito foi realizada uma pesquisa bibliográfica para qual analisamos o software Cabri-Géomètre II, tal software permite ao aluno fazer o desenho geométrico e a análise do mesmo. Entre outros aspectos que vai muito além da manipulação dinâmica imediata das figuras ele permite visualizar lugares geométricos materializando a trajetória de um ponto escolhido enquanto que outro ponto está sendo deslocado, respeitando as propriedades particulares da figura. Ele permite também medir distâncias, ângulos e observar a evolução em tempo real durante as modificações da figura. O software Cabri-Géomètre contribui para o aprimoramento da prática pedagógica, possibilitando situações de ensino-aprendizagem em que propicia que o aluno construa o seu conhecimento matemático. Neste trabalho, apresentamos um pouco da história dos números complexos, e do software Cabri Géomètre, mas o principal objetivo é desenvolver atividades com os números complexos, suas propriedades e operações, tendo como ferramenta as novas tecnologias no caso um software educativo. Sendo que esses softwares são desenvolvidos com o objetivo de contribuir para a melhoria do ensinoaprendizagem de Matemática. Palavras-chave: cabri-géomètre, números complexos e ensino-aprendizagem. ABSTRACT The use of technology has become increasingly necessary and common spaces in educational classes, particularly in mathematics, for this purpose a literature search was conducted in which analyzes Cabri software-geometra II, this software allows the student to do the design geometric and analysis of it. Among other things that go far beyond the immediate dynamic manipulation of figures he shows loci materializing the trajectory of a chosen point while another section is being moved, while the private properties of the figure. He will also measure distances, angles and observe developments in real time during the changes of the figure. The software Cabri-Geometra contributes to the improvement of practice teaching,

5 5 allowing the teaching-learning situations in which provides the student builds his mathematical knowledge. We present a little history of complex numbers, and software- Cabri Geometry, but its main goal is to develop activities with the complex numbers, their properties and operations, and new technologies as a tool for an educational software. Since this software is developed with the aim of contributing to the improvement of teaching and learning of mathematics. Keywords:cabri-géomètre, complex numbers and teaching-learning.

6 6 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO REFERENCIAL TEÓRICO O USO DO COMPUTADOR NA AULA DE MATEMÁTICA HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXO SOBRE O CABRI -GEOMÉTRE...1. NÚMEROS COMPLEXOS E O CABRI- GEOMÉTRE CONCLUSÃO...7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...8

7 7 1 INTRODUÇÃO Muitos são os recursos de informática desenvolvidos durante os últimos anos, tendo como objetivos motivar o ensino aprendizagem assim como ampliar os horizontes das metodologias de ensino. O surgimento de softwares educativos traz para o ensino da matemática, disciplina considerada um dos pilares da educação básica, uma perspectiva muito animadora de metodologias diferenciadas que podem tornar o ensino muito mais significativo. Através dos ambientes informatizados de aprendizagem, o aluno assume papel de investigador de conceito e de propriedades.. Um desses programas com esse propósito educativo é o programa Cabri- Géomètre II, que é um software comercial, desenvolvido por Jean- Marie Laborde e Franck Bellemain no Institun d Informatique et Mathématiques Appliquées de Grenoble (IMAG), um laboratório de pesquisa em estruturas discretas e didáticas da Universidade de Joseph Fourier em Grenoble, França, acoplado ao Centre Nacional de Recherches Scientifique (CNRS), com a colaboração da Texas Instruments, utilizado principalmente para o ensino da geometria plana, mas que também pode ser usado para o ensino de trigonometria e números complexos. Esse programa traz ao ensino aprendizagem, uma linguagem visual, que torna a linguagem matemática muito mais interessante, sua interatividade, permite fazer conjecturas de novas propriedades, confirmação de resultados. No presente trabalho estudamos o surgimento dos números complexos, o conceito, suas propriedades e operações, além disso, pretende-se desenvolver atividades envolvendo os números complexos utilizando-se o software Cabri Géométre II. 2 REFERENCIAL TEÓRICO 2.1 O COMPUTADOR NA AULA DE MATEMÁTICA O ensino vem sofrendo modificações em todos os aspectos, a todo instante. E o professor deve estar apto a essas transformações. Segundo SANCHO (1998, 0), a interação do indivíduo com suas tecnologias, tem transformado profundamente o mundo

8 8 e o próprio indivíduo. De certa forma a educação segue uma evolução que vem desde a época das palmatórias até hoje, onde encontramos um ensino através de programas de computador e meios eletrônicos. Existe uma grande mudança de hábitos para a nossa própria adequação ao que criamos. Segundo ALMEIDA JUNIOR (2000, 16), A informática aplicada à Educação tem funcionado como instrumento para a inovação. Por se tratar de uma ferramenta poderosa e muito valorizada pela sociedade, facilita a criação de propostas que ganham logo a atenção de professores, coordenadores, diretores, pais e alunos. A tecnologia deve ser parceira do professor no sentido de conhecer e analisar todos os recursos disponíveis buscando a sua melhor utilização. Não adianta fazer uso da tecnologia se isso não for feito da melhor maneira possível. As crianças e os adolescentes até podem apresentar, muitas vezes, um conhecimento bem mais adiantado de todas as ferramentas tecnológicas hoje existentes, mas esse conhecimento não trará proveito se ele não for utilizado de maneira crítica. Escola e professor devem caminhar juntos procurando desenvolver, em todos os trabalhos envolvendo a tecnologia, a competência crítica dos alunos. O uso adequado da tecnologia no ambiente escolar requer cuidado e atenção por parte do professor para avaliar o que vai ser usado e reconhecer o que pode ou não ser útil para facilitar a aprendizagem de seus alunos tornando-os críticos, cooperativos e criativos. Entretanto segundo AREA (1991b, citado por SANCHO,67) o professor é sujeito ativo e adulto que dispõe de sua própria forma de entender a prática e de implementá-la. Assim suas concepções e habilidades profissionais definem a utilização que irão fazer de diferentes programas e meios educativos. A Matemática como sabemos é a disciplina exata que mais impõe medo nos estudantes, isso ocorre, pois a maioria dos alunos, por exemplo, do ensino médio se dedicam em decorar fórmulas e cálculos não desenvolvendo seu raciocino. Sendo assim, porque não fazer uso da tecnologia para tornar as aulas de Matemática mais dinâmica, de melhor compreensão sendo que dispomos nos dias de hoje de inúmeros softwares que ajudam na editoração de fórmulas, no desenho gráfico, geométrico e outros afins. Esses softwares são denominados softwares educativos, os quais doem ser definidos como um conjunto de recursos informáticos projetados com a intenção de serem usados em contextos de ensino e de aprendizagem. Tais programas abrangem finalidades muito diversas que podem ir da aquisição de conceitos, até o desenvolvimento das habilidades básicas ou da resolução de problemas SANCHO (1998,169).

9 9 A matemática é sem dúvida uma das matérias mais temidas pelos alunos em geral, e como tal, pode-se ver que quanto mais recursos e meios reais forem utilizados numa aula maior será o aproveitamento da matéria. A escola não se justifica pela apresentação do conhecimento obsoleto e ultrapassado e, sim em falar em ciências e tecnologia D AMBRÓSIO (2002,80) Mas deve-se ter em mente que uso das tecnologias em prol da educação, não vai substituir o quadro negro, nem tão pouco a figura do professor nunca ficará ultrapassada, mas para isso são necessários estratégias, planejamentos e projetos pedagógicos, instrumentos fundamentais para a incorporação de qualquer meio de comunicação ao ensino. DESENVOLVIMENTO Para melhor compreensão dos números complexos apresentamos inicialmente um pouco de sua história..1 A HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS Vindo contradizer com o que muitos dizem, os números complexos não foram inventados para resolver equações do segundo grau e sim para sanar insuficiências no conjunto dos reais. Pois foram a partir de equações do terceiro grau que se sentiu necessidade de utilizar os números complexos. A solução apresentada para equações da forma x 2 = px + q era dada da seguinte forma: Sabe-se que em 1515 Scipione Del Ferro conseguiu determinar um método para encontrar a solução da equação x = px² + q, mas, porém não chegou a publicar, pois achava que teria mais vantagem em manter segredo, caso acontecesse um desafio entre os sábios tinha uma carta na manga, pois além da fama o vencedor levava uma recompensa em dinheiro pela resolução de um problema. O que era muito comum na época, cientistas faziam descobertas, mas ficavam em segredo, e muitas vezes morriam sem passar seus conhecimentos adiante.

10 10 Quinze anos após Tonini da Coi propôs a Tartaglia um desafio que consistia na resolução das equações x + 6x 2 + 8x = 1000 e x + x 2 = 5. Mas não teve nem resposta, pois Tartaglia não sabia como resolver tais equações. Em 155 Tartaglia recebe outro convite dessa vez de Antonio Fiori para um duelo intelectual, no qual estavam propostos 0 problemas da forma x + px = q. Os quais Tartaglia desenvolveu rapidamente, sem apresentar dificuldades, por sua vez apresentou ainda outros, entre os quais cúbicas da forma x + px = q, que Antonio Fiori não foi capaz de resolver. Cardano ao ficar sabendo que foi encontrado o método para a resolução de equações do grau, tenta que Tartaglia lhe ensine a solução, junto com sua demonstração. Mas foi somente em 159 que Tartaglia revelou seu método a Cardano, este estando sobre o juramento de nunca o revelar só podendo escrever em códigos para depois de sua morte ninguém descobrir seu segredo. A revelação foi feita na forma de um poema, que apresentava 25 versos sendo que os nove primeiros dizem respeito à equação. x + px = q. Apresentamos a seguir o poema escrito por Tartaglia com a respectiva tradução: Quando ch el cubo com le cose apresso. Se agualia a qualche Número discreto Trouan dui altri differenti in esso, Dapoi terrain questo per consueto Ch le lor producto sempre si egale Al terzo cubo dell cose neto. El resíduo poi suo generale Delli lor tali cubi bem sotrati Varra la tua cosa principale(...) Quando o cubo junto com as coisas Se igualar a algum número Descobrem dois outros que difiram do conhecido E faz como é usual Que o produto seja sempre igual Ao cubo da terça parte das coisas Então a diferença Dos seus lados cúbicos bem subtraídos Valerá a tua coisa principal x ³ + px = q a b = a * b = x = a q p b (Pedro Nunes, 1950, p. 404) Essa foi à forma que Tartaglia encontrou para fazer a revelação que em termos atuais vem nos dizer: Dada à equação x + px = q, determinar dois números a e b cuja diferença seja q e cujo produto seja o cubo de p. Desta forma era feita a revelação que em termos atuais corresponde a: dada à equação x + px = q, determinar dois

11 11 p números a e b cuja diferença seja q e cujo produto seja o cubo de. A solução é. Não era tecido nenhum comentário que indicava qualquer prova. Cardano tendo em mãos a solução consegue sua demonstração sem problemas, porém não pode fazer sua publicação devido à promessa feita a Tartaglia. No ano de 1542 Cardano juntamente com Ferrari consegue permissão de Della Nave para examinar os manuscritos de Scipione del Ferro, sendo encontrado entre esses a solução da equação x + px = q. Em 1545, Jerônimo de Cardano ( ), em seu livro Ars Magna (A Grande Arte), mostrou o método para resolver equações do terceiro grau que hoje é conhecido como Fórmula de Cardano. Bombelli ( ), discípulo de Cardano, em sua Álgebra, aplicou à fórmula de Cardano a equação x = 15x + 4. Efetuando os cálculos chegou a:. Embora não se sentisse completamente à vontade com as raízes quadradas de números negativos, da mesma forma que Cardano ele chama essa expressão de sofística. Bombelli operava livremente com elas, aplicando-lhes as regras usuais da Álgera. Bombelli mostrou que: (2 + 1) = ( 1) 2 + ( 1) = = = Logo, = E analogamente = 2 1. Portanto, o valor de x é x = = 4. Como 4 é realmente a raiz da equação x = 15x + 4, a partir daí outros matemáticos passaram a usar as raízes de números complexos, mesmo se sentindo um pouco desconfortável com isso. Bombelli trabalhava sistematicamente com a quantidade 1, que hoje a conhecemos com unidade imaginária e a representamos como i. Cardano em sua obra dá o crédito da descoberta a Scipione del Ferro. O que deixa Tartaglia furioso se sentido traído por Cardano, vindo a publicar o livro Cuesiti

12 12 et invezioni diverse, no qual dava sua versão e destratava Cardano, esse não se incomodando com os desatinos de Tartaglia. Mesmo assim Ferrari amigo fiel de Cardano o desafia pra um debate público, Tartaglia não aceita no primeiro momento, mas acaba concordando. De fevereiro de 1547 a junho de 1548 houve um duelo entre Ferrari e Tartaglia com doze panfletos, que eram conhecidos como Cartelli de sfida mathemática, onde os dois puderam expor as suas razões. No dia dez de agosto de1548 ficou marcado o debate final, no jardim da igreja Frati Zoccolanti em Milão. No fim do primeiro dia vendo que iria perder Tartaglia regressou para Veneza, deixando a vitória moral para o desafiante. Agora perdida a honra da descoberta e cheio de raiva de Cardano volta para Brescia onde tem seu contrato da Universidade de Brescia, alegando estar insatisfeito com o seu trabalho. Em resumo sobre a evolução dos complexos temos que: O símbolo de 1 foi introduzido em 1629 por Alberte Girard. O símbolo i foi usado pela primeira vez para representar 1 por Leonhard Euler em 1777, e apareceu impresso pela primeira vez em 1784 tornado amplamente conhecido após seu uso por Gauss em Os termos real e imaginário foram empregados pela primeira vez por René Descartes em 167. A expressão número complexo foi introduzida por Carl Friedrich Gauss em 182. O primeiro a formular a representação gráfica foi um agrimensor norueguês chamado de Caspar Wessel ( ) o qual representa o número complexo a + bi pelo vetor do plano com origem O ( a origem dos eixos coordenados) e com extremos no ponto P de coordenadas (a,b), ou seja, da mesma forma como é feita nos dias atuais. Finalmente a formalização dos números complexos como pares ordenados de números reais seria desenvolvida em 18 por Wilian Rowan Hamilton ( ) e em 1847 por Agustín Cauchy ( ). Com tudo temos assim o que hoje conhecemos como números complexos. Para auxiliar no ensino dos números complexos foi desenvolvido um software matemático chamado Cabri Géométre II, que permite mostrar aos alunos que os números complexos não foram inventados somente para resolver exercícios sobre números complexos..2 SOBRE O CABRI GÉOMÈTRE

13 1 O Cabri -Géomètre II é um software com o qual podem ser abordadas atividades de geometria, de trigonometria e inclusive números complexos. Esse programa possui excelentes propriedades que o tornam um forte aliado ao professor de ensino fundamental e médio. Entre as principais características destacam se: Permite construir figuras geométricas e deformá-las mantendo suas propriedades. Permite criar novas funções (macro construções) e adicioná-las na barra menu. Excelente interface. Fácil de manusear. Além da construção de pontos, retas, triângulos, polígonos e círculos, possibilitam também a construção de cônicas; Utiliza coordenadas cartesianas e polares, para atividades em Geometria Analítica; Permite a criação de macros para construções que se repetem com freqüência; Diferencia os objetos criados, através de atributos de cores e estilos de linha; Permite explorar transformações de simetria, translação e rotação. Ilustra as características dinâmicas das figuras por meio de animações..2.1 CONHECENDO O CABRI GÉOMÈTRE II O Cabri - Géomètre funciona como uma folha grande de caderno de desenho, na qual podemos desenhar os objetos geométricos e interagir com as figuras. O programa abre em uma tela onde, no topo estão apresentados, o menu e a barra de ferramentas, onde estão os botões que são chamados de caixas de ferramentas. Quando clicamos com o botão esquerdo do mouse e mantemos o botão pressionado aparecem as caixas com as ferramentas que ficam ocultas, para selecionar basta ir com o ponteiro e clicar na opção desejada. Vejamos alguns exemplos de botões disponíveis no software: 1) Ponteiro: A janela 01, contém opção ponteiro que pode assumir as seguintes formas de acordo com as tarefas a serem desenvolvidas, observe a figura 1: Ponteiro: Para selecionar as opções. Lápis: Quando o ponteiro é movido para a tela, serve pra desenhar.

14 14 Mão apontando: Quando aparece mensagens do tipo por esse ponto, nesta reta, etc. Mão cumprimentando: Quando pressionado o mouse, a mão apontando se transforma em mão cumprimentando, serve para mover. Uma lupa: Quando tiver mais de um objeto a marca da mão apontando transforma-se numa lupa com a mensagem Qual objeto? Giro: Gira um objeto ao redor de um ponto selecionado ou de seu centro geométrico. Semelhança: Amplia ou reduz um objeto tendo como referência um ponto ou seu centro geométrico. Giro e Semelhança: Gira e simultaneamente, cria um objeto semelhante ao selecionado. Fig. 1 Ponteiro 2) Ponto: Na janela 02 tem-se as seguintes opções, conforme a figura 2: Ponto: Cria um ponto em um espaço livre, em um objeto ou em uma intersecção. Ponto sobre Objeto: Cria um ponto sobre um objeto. Ponto de Intersecção: Cria um ponto na intersecção de dois objetos. Fig. 2 - Ponto ) Retas: Na janela 0 são apresentadas as seguintes opções, veja figura : Reta: Constrói a reta que passa por dois pontos ou a reta por um ponto com uma direção dada. Segmento: Constrói um segmento de reta através das suas extremidades. Semi-reta: Constrói uma semi-reta, definida por um ponto e uma direção.

15 15 Vetor: Constrói um vetor com módulo e direção definida por dois pontos extremos. Triângulo: Constrói um triângulo, definido por três pontos (vértices). Polígono: Constrói um polígono de n lados. (O último ponto deve coincidir com o ponto inicial). Polígono regular: Constrói um polígono regular de até 0 lados. Deve-se indicar o centro, um vértice e um ponto que fixe o número de vértices. (O polígono será convexo se o desenvolvimento for feito no sentido horário) Fig. Reta 4) Curva: Na janela 04 são apresentadas as seguintes opções, veja figura 4. Circunferência: Constrói uma circunferência definida por um ponto (centro) e o raio. Arco: Constrói um arco, definido por um ponto inicial, um ponto que determina a curvatura e um ponto final. Cônica: Constrói uma cônica (elipse, parábola e hipérbole) definida por cinco pontos. Fig. 4 Curva 5) Construir: Na janela 05 são apresentadas as seguintes opções, como na figura 5. Reta perpendicular: Por um ponto, constrói a reta perpendicular a uma reta, semi-reta, segmento, vetor, eixo ou lado de um polígono.

16 16 Reta paralela: Por um ponto, constrói a reta paralela a uma reta, semi-reta, segmento, vetor, eixo ou lado de um polígono. Ponto médio: Constrói o ponto médio de um segmento, do lado de um polígono ou entre dois pontos. Mediatriz: Constrói a perpendicular pelo ponto médio de um segmento, do lado de um polígono ou entre dois pontos. Bissetriz: Constrói a bissetriz de um ângulo definido por três pontos. Soma de vetores: Constrói a soma de dois vetores a partir de um ponto definido como origem do vetor resultante. Compasso: Constrói uma circunferência a partir de seu centro (ponto), com raio definido pelo comprimento de um segmento ou pela distância entre dois pontos. Transferência de medidas: Copia um comprimento, indicado por um número, em uma semi-reta, eixo, vetor ou circunferência (neste último caso, deve-se selecionar uma circunferência e um ponto sobre ela). Lugar geométrico: Constrói automaticamente o lugar geométrico descrito pelo movimento de um objeto ao longo de uma trajetória. Redefinir objeto: Redefine as características de dependência de um objeto definido previamente. Fig. 5 Construir 6)Transformar: Na janela 06 são apresentadas as seguintes opções, veja a figura 6. Simetria axial: Constrói a imagem simétrica de um objeto em relação a uma reta, semireta, segmento, eixo ou lado de um polígono. Simetria central: Constrói a imagem de um objeto através de uma rotação de 180 graus em torno de um ponto.

17 17 Translação: Constrói a imagem de um objeto transladada por um dado vetor. Rotação: Constrói a imagem girada ao redor de um ponto por um dado ângulo. Homotetia: Constrói a imagem dilatada de um objeto desde um ponto por um fator especificado. Inversão: Constrói um ponto inverso, definido por um ponto e uma circunferência. Fig.6 Transformar 7) Macro: Na janela 07 são apresentadas as seguintes opções, conforme figura 7. Objetos iniciais: Especifica o objeto que define o objeto final. Objetos finais: Especifica o objeto final resultante da definição do objeto inicial. Definir macro: Abre a caixa de diálogo para nomear e salvar um macro construção. Fig. 7- Macro 8) Propriedades: Na janela 08 são apresentadas as seguintes opções, observe a figura 8. Colinear: Verifica se três pontos pertencem ou não a uma reta. Paralelo: Verifica se duas retas, semi-retas, segmentos, vetores ou lados de um polígono são paralelos ou não. Perpendicular: Verifica se duas retas, semi-retas, segmentos, vetores ou lados de um polígono são perpendiculares ou não.

18 18 Eqüidistantes: Verifica se um ponto é eqüidistante de outros dois ou não. Pertencente: Verifica se um ponto está sobre um objeto. Fig. 8 Propriedades 9) Medir: Na janela 09 são apresentadas as seguintes opções, veja a figura 9. Distância e comprimento: Mostra a distância, comprimento, perímetro, comprimento da circunferência ou de um arco de um objeto correspondente. Área: Mede a área de polígonos, círculos e elipses. Inclinação: Mede a inclinação de uma reta, semi-reta, segmento ou vetor. Ângulo: Mede um ângulo definido por três pontos, sendo o segundo ponto o seu vértice. Equação e coordenadas: Gera as coordenadas de um ponto ou a equação de uma reta, circunferência ou cônica. Calculadora: Gera o resultado de uma expressão matemática; pode conter valores numéricos e/ou medidas. Planilha: Cria uma tabela para valores numéricos, medidas, cálculos, ou coordenadas de um ponto. Fig. 9 Medir 10) Exibir: Na janela 10 são apresentadas as seguintes opções, veja a figura 10. Rótulo: Anexa um rótulo criado pelo usuário a um ponto, reta ou circunferência. Comentários: Coloca um comentário em uma posição selecionada no desenho.

19 19 Edição numérica: Cria e edita valores numéricos; o valor, precisão, unidades e cor podem ser modificados. Marca de ângulo: Coloca uma marca em um ângulo definido por três pontos; o segundo ponto é o vértice. Fixo/ livre: Fixa a localização de um ponto. Libera um ponto fixo. Rasto On/ Off: Desenha a trajetória de um objeto à medida que ele se move. Comuta entre ativado e desativado. Animação: Automaticamente translada, gira ou amplia um objeto selecionado na direção especificada, puxando a mola de animação na direção oposta. Múltipla animação: Anima múltiplos objetos ao longo de múltiplas trajetórias; pressione Return/Enter para iniciar. Fig.10-Exibir 11) Desenhar: Na janela 11 são apresentadas as seguintes opções, observe a figura 11: Esconder/ Mostrar: Esconde objetos da tela de desenho. Mostra objetos escondidos. Cor: Muda a cor de um objeto. Preencher: Preenche o interior de uma tabela, de um campo de textos, polígono ou circunferência com uma cor escolhida. Espessura: Muda a espessura da linha de um objeto. Pontilhado: Muda o padrão da linha de um objeto. Modificar aparência: Muda a aparência de um objeto a partir da paleta de atributos. Mostrar eixos: Mostra os eixos do plano cartesiano. Novos eixos: Cria um sistema de eixos definido por três pontos; o primeiro ponto determina a origem, o segundo o eixo x, e o terceiro o eixo y. Definir grade: Coloca uma grade em um sistema de coordenadas selecionado.

20 20 Fig.11 - Desenhar Essas são as principais ferramentas que podemos usar no software Cabri- Géomètré, destacamos também alguns comandos mais utilizados como: Apagando tudo: Menu editar, escolha a opção selecionar tudo, ficará tudo piscando, em seguida aperte a tecla delete. Apagando apenas uma figura: Clique no botão ponteiro, leve o cursor à figura que deseja apagar, aparecerá uma mensagem especificando a figura; clique; a figura ficará piscando aperte a tecla delete. Perímetro: (triângulo, polígono, etc): Colocar o cursor na figura até aparecer a mensagem perímetro da figura e clique. Área: Pressione o botão medir e escolha a opção área, vá à figura que deseja medir a área até aparecer à mensagem especificando a figura e clique. Movendo objetos (ponto, reta, semi-retas, etc): Pressione o botão ponteiro leve o cursor ao objeto até aparecer à mensagem especificando este objeto, o ponteiro fica na forma de uma mão apontando; clique e o ponteiro fica uma mão cumprimentando, com o mouse pressionado mova o objeto. Usando a calculadora: Pressione o botão medir e escolha a opção calculadora; aparecerá uma calculadora no inferior da tela, vá com o ponteiro ao número até aparecer escrito este número e clique; depois clique na função calculadora, na outra medida e no sinal de igual.. NÚMEROS COMPLEXOS E O CABRI- GÉOMÈTRE II Antes de enunciarmos atividades apresentamos a definição de números complexos e sua representação geométrica. Definição: Os números complexos constituem um conjunto C, em que todo número complexo pode ser escrito de forma única bi a +, onde a e b são reais ( a é

21 21 chamado parte real e b é chamado parte imaginária do complexo), escreve-se de forma abreviada Re( a + bi) = a e Im( a + bi) = b, onde i = 1. Os números complexos foram construídos de tal modo que sejam válidas as mesmas propriedades válidas para os números reais. Representação de um número complexo: Fixado um sistema de coordenadas no plano o números complexo z = a + bi, é representado pelo ponto P(a, b). O ponto P é chamado de Imagem do complexo z. Como a correspondência entre os complexos e suas imagens é um-a-um, freqüentemente identificaremos os complexos e suas imagens escrevendo ( a, b) = a + bi. A representação geométrica dos números complexos mediante os pontos do plano foi decisiva para que os números complexos fossem aceitos como números. A representação desses números era clara para autores como, Cotes, De Moivre, Euler e Vandermonte, todos esses autores tentaram resolver a n equação x 1 = 0 pensando em suas soluções como vértices de um polígono regular de n lados, porém essa idéia ainda era incompleta, pois nenhum desse autores achou a representação geométrica para as operações com complexos. Casper Wessel em ( ), um agrimensor norueguês, foi o primeiro a formular uma tal representação. Uma tentativa foi publicada em 1799 nas memórias da Real academia da Dinamarca, onde ali escreveu: Vamos designar por + 1 a unidade retilínea positiva, por + e outra perpendicular a primeira, com a mesma origem; então o ângulo de direção de +1 será 0, o de 1 será 180, o de e será 90 e o de e será 90 ou o 270. Entretanto em 1806, Jean- Robert Argand ( ), bibliotecário suíço, autodidata publica um livro intitulado Essai sur la manièri de representer lês quantités imagináires dans lês constructions gèométriques. Nesse livro ele observava que se multiplicássemos +1 por i obteremos i se voltássemos a multiplicar o resultado por i teríamos -1. Então ele representava i como uma rotação de 90 em sentido anti- horário. Mas quem verdadeiramente tornou a interpretação geométrica amplamente aceita foi Carl Friederich Gauss ( ), plano no qual é até hoje representado os números complexos esse plano é chamado de plano de Argand- Gauss. Levamos em conta que os números complexos são dados da forma z = a + bi, 2 em que i é unidade imaginária i = 1 podendo ser representado como um vetor no

22 22 plano cartesiano em que a parte real a é representada no eixo das abscissas Ox e a parte imaginária bi é representada no eixo das ordenadas Oy. Apresentamos algumas atividades com o software Cabri Géomètre II, para representação e a interpretação geométrica dos números complexos de suas operações...1 REPRESENTAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO Atividade 1: Represente no plano de Gauss o número complexo z = a + bi. O número real a é denominado parte real de z (Re(Z)) e o número real b é denominada parte imaginária de z (Im(Z)). 1º passo: Mostre os eixos (janela 11) e rotule a origem como O. Na janela 10 escolha a opção comentário, edite no eixo das ordenadas a palavra Im(z), faça o mesmo no eixo das abscissas editando a palavra Re(z). Temos assim representados os eixos, real e imaginário, sendo que agora o plano cartesiano representa o plano de Gauss. 2º passo: Clique na janela e selecione a opção vetor. Após ter selecionado a opção vetor clique sobre O e em um ponto qualquer do plano, temos assim um vetor, rotule ele como z = a + bi. º passo: Clique na janela e escolha a opção reta. Construa uma reta paralela ao eixo das ordenadas passando pela extremidade do vetor, em seguida construa uma reta paralela o eixo das abscissas passando pela extremidade do vetor. 4º passo: Clique novamente sobre a janela e escolha a opção segmento, construa um segmento com extremidade na intersecção da reta com o vetor. Repita a operação com as duas retas. 5º passo: Clique na janela 11 e escolha a opção esconder/mostrar, e clique sobre as retas construídas. Em seguida obtenha as projeções da extremidade do vetor sobre os eixos Re(z) e Im(z). Após construa os vetores sobre as projeções e denomine Oa sobre o eixo Re(z) e Ob sobre o eixo Im(z). 6º passo: Na janela 11 escolha a opção pontilhado, em seguida clique sobre os segmentos construídos no passo 4. 7º passo: Calcule as coordenadas dos vetores, usando a opção equações e coordenadas na janela 9.

23 2 Fig. 12 Representação de um número complexo Exemplo 1: Represente no plano de Gauss o número complexo z = 1+ 2i, veja figura 1º) Construa o plano de Gauss conforme descrito no passo 1. 2º) Clique sobre a janela e escolha a opção reta. Construa uma reta paralela ao eixo das ordenadas passando pela abscissa de valor 1, em seguida construa uma reta paralela ao eixo das abscissas passando pela ordenada de valor 2. º) Clique sobre a janela 2 e escolha a opção ponto de intersecção e marque o ponto de intersecção das duas retas, temos assim o ponto P de coordenadas (1,2). 4º) Clique na janela e escolha a opção segmento, trace os segmentos do ponto P a sua respectiva abscissa e ordenada. 5º) Clique na janela 11 e escolha a opção esconder/mostrar, e clique sobre as retas construídas. 6º) Na janela 11 escolha a opção pontilhado, em seguida clique sobre os segmentos construídos no passo 4. 7º) E por fim escolha a opção vetor na janela, construa um vetor com origem em O e extremidade no ponto P. Temos assim a representação geométrica do número complexo z = 1+ 2i.