04/03/2016 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS DA TERRA DEPARTAMENTO DE GEOMÁTICA AJUSTAMENTO I GA106. Prof. Alvaro Muriel Lima Machado

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1 04/03/06 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS DA TERRA DEPARTAMENTO DE GEOMÁTICA AJUSTAMENTO I GA06 Prof. Alvaro Murel Lma Machado Itrodução Meddas e Observações (processo ou operação X resultado da operação) Itrodução Propredades fudametas da medda: Medr sgfca realzar uma operação físca, cosstdo de váras operações elemetares tas como preparação, calbração, potara, letura, etc.; O resultado do processo é a observação, e represeta a medda; A ão ser a cotagem de certos evetos, a medda é sempre realzada com o auílo de strumetos; As meddas estão referecadas a um padrão, os quas são estabelecdos por coveção. Medr é etão comparar uma gradeza a um padrão, tedo etão udade e dmesão; 3

2 04/03/06 Itrodução As medções podem ser fetas: Dretamete d. tgα Idretamete h =. tg β tgβ tgα 4 Itrodução No processo de medção, o operador deve ter coscêca que ão este observação eata e todas as meddas estão afetadas por erros. 5 Itrodução Erros de Observação Não este observação eata; Toda e qualquer observação cotém erros; O valor verdadero da observação uca é cohecdo; A magtude eata dos erros presetes o processo é sempre descohecda. Erro = Valor Meddo Valor Verdadero Desvo = Valor Meddo Valor Mas Provável Qual a udade de erro / desvo? 6

3 04/03/06 Itrodução A Teora dos Erros cuda da aálse dos erros cometdos durate as medções para saber se eles são estatstcamete cofáves e se suas magtudes são acetáves (detro de determados lmtes). Em seguda as meddas devem ser ajustadas de acordo com as especfcações geométrcas ou outras partculardades (codções ou restrções) que possam terferr o processo de medção. Falmete obtém-se a melhor determação do poto meddo. 7 Itrodução Fotes de Erros Erros Istrumetas Erros Naturas Erros Pessoas Classfcação dos Erros de Observação Erros Grosseros Erros Sstemátcos Erros Acdetas ou Aleatóros 8 Erros Grosseros São orudos de uma falsa determação do valor de uma gradeza. Pode ser provocado pela falta de ateção do operador (equívoco), ou pelo uso de equpameto adequado. Eemplo: Troca de dígtos em aotações de meddas Podem ser detectados através de procedmetos de verfcação. Geralmete, os valores errados são faclmete detectáves devdo à sua gradeza, sem relação alguma com outras observações efetuadas. Quado sto ão acotece são muto dfíces de serem detfcados. ATENÇÃO 9 3

4 04/03/06 Erros Sstemátcos São orudos de fluêcas eteras às medções, sem serem cosderados o processo. Podem ser de orgem strumetal, ou de orgem físca (codções ambetas). Eemplos: Medda eletrôca de loga dstâca sem a cosderação do efeto da refração. Operador de ível que realza a letura sempre um pouco abao do traço da mra. Equpameto de medção ão calbrado. Este tpo de erro possu a partculardade de se repetr da mesma forma sempre que a medção for repetda em codções dêtcas. Pode ser elmado através de téccas especas de observação ou de modelo físco adequado para o cálculo da gradeza medda. 0 Erros Acdetas ou Aleatóros Depos da elmação dos erros grosseros (adoção de procedmetos de verfcação) e dos erros sstemátcos (adoção de modelos físcos aproprados), as observações repetdas sobre uma mesma gradeza ada se revelam com dscrepâcas etre s. Tas erros ão são vculados a ehuma causa cohecda. O erro acdetal é o erro estudado a Teora dos Erros! Erros Acdetas ou Aleatóros Quado a quatdade de observações cresce: Os resíduos de mesmo módulo e sas opostos são gualmete prováves; Os resíduos meores ocorrem com maor frequêca; A méda dos resíduos é apromadamete ula. Méda de resíduos dferete de zero deve servr de alerta para a preseça de erros sstemátcos! 4

5 04/03/06 Idcadores de Precsão Precsão X Acuráca (Eatdão) Precsão: Grau de afastameto dos valores meddos em relação a sua méda. Acuráca: Grau de afastameto dos valores meddos em relação ao seu valor verdadero. Precsão está vculado apeas a efetos aleatóros Acuráca vcula-se a efetos aleatóros e sstemátcos. 3 Itrodução Importâca da redudâca as observações Permte a detecção de erros grosseros através da cofrmação dos valores meddos; Permte uma avalação mas precsa das propredades desejadas, através da eecução de um ajustameto; Permte estmar a ordem de gradeza da precsão obtda para os valores ajustados. Graus de lberdade Eemplos com verfcação de erros de fechameto Nvelameto em polgoal fechada Somatóra de âgulos teros de polígoos Modelo Matemátco: fucoal e estocástco Ajustametos Método dos Mímos Quadrados (MMQ) 4 Estatístca L = [,7,3,9,6 3,,9,8 3,5,7 3,] Dado um cojuto de elemetos, quas as ferrametas estatístcas que podem ser usadas para represetar e aalsar o mesmo? 5 5

6 04/03/06 Estatístca População X Amostra A população cosste de todas as possíves meddas que podem ser fetas de uma quatdade partcular. As vezes a população tem um úmero fto de elemetos (dados); Amostra é um subcojuto de dados selecoado a partr da população. Deve apresetar as mesmas característcas (objeto de estudo) da população, de forma que possa represetá-la adequadamete. 6 Estatístca População Amostra Dstrbução de Probabldade (ou FDP) Parâmetros (valor fo) estmar Por potos Por tervalos Dstrbução Amostral Estatístcas (varável aleatóra) 7 Estatístca Espaço Amostral = Cojuto de todos os resultados possíves. Varável Aleatóra (v.a.) ou estocástca é uma fução que assoca a cada elemeto de um espaço amostral um úmero real. É uma fução que assume um valor real em cada poto de seu espaço amostral. A v.a. é defda pela sua dstrbução amostral, modelo matemátco que assoca uma probabldade a cada valor que a v.a. pode assumr. 8 6

7 04/03/06 Estatístca Itervalo /Dspersão / Ampltude: dfereça etre o maor e o meor valor da letura. Frequêca: quatdade de vezes que um eveto acotece. Frequêca Acumulada: somatóro das frequêcas. Porcetagem: calcula-se da segute maera frequêca 00% total Porcetagem Acumulada: somatóro das porcetages. 9 Estatístca Quado uma grade quatdade de dados brutos está evolvda os estudos, é possível dstrbuí-los em classes ou categoras e determar o úmero de dvíduos pertecetes a cada uma das classes, deomado freqüêca da classe. Um arrajo tabular dos dados por classes, jutamete com as freqüêcas correspodetes, é deomado dstrbução de freqüêca ou tabela de freqüêca. 0 Estatístca Hstograma: gráfco de barras que mostra a varação de uma medda em um grupo de dados através da dstrbução de frequêca. Seu prcpal uso é estmar a dstrbução de uma característca a população através de amostras. O hstograma demostra vsualmete a varabldade das meddas de uma característca do processo em toro da méda. Vatagem: Vsualzação/etedmeto rápdo do comportameto da população. 7

8 04/03/06 Eercíco Resolvdo Alturas de 00 estudates do seo masculo da Uversdade XYZ Altura (cm) Número de estudates TOTAL 00 Ampltude Classes Lmtes de classe Comprmeto de classe Frequêca Hstograma Como costrur um hstograma? ) Cote a quatdade de valores coletados a tabulação. ) Determe a ampltude R de toda a tabulação, subtrado o meor valor do maor. 3) Determe a quatdade de classes K desejada. 4) Determe o tervalo de classe H = R/K. 5) Determe o lmte das classes ou os potos lmtes. Smplfcado, tome a meor medda dvdual da tabulação para ser o valor feror do prmero tervalo. A este úmero acrescete o valor H e obterá o valor superor. Proceda da mesma forma com todos os outros valores até chegar à maor medda. 6) Costrua uma tabela de frequêca baseada os valores defdos o passo 5 para os dados trabalhados o passo. 7) Costrua o hstograma baseado a tabela de frequêcas. 3 Eercíco A tabela abao mostra a dstrbução de frequêca dos saláros, em reas, de 65 empregados da Compaha X & Y. Com referêca a esta tabela, determar: Saláros (Reas) Número de empregados 500,00 599, ,00 699, ,00 799, ,00 899, ,00 999, ,00 099, ,00 99,00 TOTAL 65 a) O lmte feror da seta classe; b) O lmte superor da quarta classe; c) O poto médo da tercera classe; d) Os lmtes reas da quta classe; e) Ampltude do quto tervalo de classe; f) A frequêca da tercera classe; g) A frequêca relatva da tercera classe; h) O tervalo de classe que tem a maor frequêca (classe modal); ) A porcetagem de empregados que gaham meos de R$800,00; j) A porcetagem de empregados que gaham acma de R$599,00 e abao de R$000,00; k) Costrur a dstrbução de frequêca acumulada. 4 8

9 04/03/06 Eercíco Resolvdo 5 Eercíco Resolvdo k) Costrur a dstrbução de frequêca acumulada. 6 Eercíco Na tabela segute estão relacoados os pesos de quareta estudates do seo masculo da Uversdade Estadual, arredodados para meo qulo. Costrur o hstograma e hstograma de frequêca relatva, cosderado 6 classes ,5 74,5 78, , ,5 59,5 77 8, ,5 7 73,5 67,5 76, ,5 80,5 7,5 67, ,

10 04/03/06 Eercíco Resolvdo 8 Eercíco Resolvdo 9 Estatístca Meddas de tedêca cetral Méda artmétca M N N = = Medaa: é o valor que ocupa o poto termedáro. (separatrzes: quarts, decs, percets) Moda: o valor que mas frequetemete se repete. 30 0

11 04/03/06 Estatístca Eemplo: Seja uma amostra de tamaho. A sua méda artmétca é = = Se cada um dos r valores dsttos de ocorrer a amostra com uma frequêca j, a fórmula ateror assumrá a forma = r j= j j r j j. j sedo f j = a frequêca relatva. j= = f 3 Eercíco p() 0 0,00 0,00 0,00 3 0, ,00 5 0, ,80 7 0, ,50 9 0,0 0 0,00 3 Estatístca Meddas de dspersão Varâca da população Varâca da amostra ε = = v = s = Varâca evolve soma de quadrados udade dferete dos dados 33

12 04/03/06 Estatístca Meddas de dspersão Erro padrão ε = = Desvo padrão s = = v Desvo padrão da méda s = v = = ( ) s 34 Meddas de dspersão Curva ormal reduzda = 0 = z = 35 Eercíco O cojuto de dados, mostrado abao, represeta a porção em segudos de arco de 50 meddas de uma dreção. Calcular a méda, a medaa, desvo padrão da amostra e costrur um hstograma de classes. L(0:0) = [ ]; L(:0) = [ ]; L(:30) = [ ]; L(3:40) = [ ]; L(4:50) = [ ]; 36

13 04/03/06 Eercíco Resolvdo fucto [classe, frequeca] = hsto(observacoes, umeroclasses) ampltude = ma(observacoes) - m(observacoes); TamahoClasse = ampltude / umeroclasses; MetadeTamahoClasse = TamahoClasse/; for K = : umeroclasses LmteIferorClasse(K) = m(observacoes) +(K-)*TamahoClasse; LmteSuperorClasse(K) = LmteIferorClasse(K) + TamahoClasse; frequeca(k) = legth(observacoes((lmteiferorclasse(k)<=observacoes) & (observacoes<lmtesuperorclasse(k)))); classe(k) = LmteIferorClasse(K) + MetadeTamahoClasse; ed; plot(classe, frequeca) 37 Eercíco Resolvdo fucto [sada] = medaa(dados) % Fução que calcula a medaa % Tamaho do cojuto de dados m = legth(dados); % Classfcação ascedete dos dados dados_em_ordem = sort(dados); % Qtde de elemetos do cojuto é par ou mpar? f (mod(m,) == 0) sada = (dados_em_ordem(m/)+dados_em_ordem(m/+))/; else sada = dados_em_ordem(cel(m/)); ed 38 Eercíco Resolvdo 39 3

14 04/03/06 Eercíco Duas varáves, X e Y, assumem os valores X =, X = -5, X 3 = 4, X 4 = -8, e Y = -3, Y = -8, Y 3 = 0, Y 4 = 6, respectvamete. Calcular: a) ΣX = X ; b) ΣY; c) ΣXY d) ΣX ; e) ΣY ; f) (ΣX)(ΣY); g) ΣXY ; h) Σ((X+Y)(X-Y)). 40 Eercíco Resolvdo a)σx; X X - (X - ) Σ = -7 = -,75 3,75-3,5 5,75-6,5 4,065 0,565 33,065 39,065 Σ = 96,75 = N = ( X ) N 96,75 = = 3,5 3 4 Eercíco Resolvdo 4 4

15 04/03/06 Eercíco Prove que a soma dos desvos de X, X,..., X em relação à sua méda artmétca M, é gual a zero. N = = N X N = N = X N = X N = 0 N N X = 0 = = N = ( X ) = 0 43 Eercíco Um dstacômetro eletrôco e um refletor foram stalados os etremos de uma lha de base com 500m de etesão apromadamete. Um operador repetu 5 vezes a medda de seu comprmeto e obteve os segutes resultados: L(0:05) = [ ]; L(06:0) = [ ]; L(:5) = [ ]; L(6:0) = [ ]; L(:5) = [ ]; Pede-se: a) A méda, medaa e o desvo padrão dos dados; b) Costrur um hstograma dos dados e descrever suas propredades. No hstograma delmte o desvo padrão a partr da méda em ambos os lados; c) Quatas observações estão etre a méda e o desvo padrão? (M±s), e qual a percetagem que estas meddas represetam? 44 Eercíco Resolvdo 45 5

16 04/03/06 Eercíco Resolvdo * 68,6% * 95,45% 3* 99,73% 46 Eercíco Uma dstâca fo medda em duas partes com uma fta de aço de 00m de comprmeto, e depos, fo medda em sua totaldade com uma fta de aço de 00m. As meddas foram repetdas 0 vezes em cada método obtedo os segutes cojutos de dados: Observações fetas com a fta de aço de 00m: (parte e parte ) { } { } Observações fetas com a fta de 00m: (meddas do total) { } Pede-se: a) A méda, a varâca e o desvo padrão para cada um dos dos cojutos das meddas parcas de dstâca, e também para os cojutos das meddas cosderado-se a dstâca total; b) Cre uma tabela de classes de frequêca e hstograma para cada cojuto de dados usado a largura da classe 0,009 (9mm). 47 Eercíco Resolvdo 48 6

17 04/03/06 Eercícos Um pesqusador realzou um levatameto obtedo 84 observações sobre uma gradeza com méda 65,00. Após, verfcou que duas destas observações, com meddas 95,5 e 05,8, estavam comprometdas. Deseja-se elmar estas duas meddas e calcular o valor da méda. Sabedo-se que a varâca de todas as observações é 4,590, qual va ser o valor da ova varâca (cojuto de observações sem as meddas comprometdas)? 49 Eercícos Um pesqusador realzou um levatameto obtedo 84 observações sobre uma gradeza com méda 65,00. Após, verfcou que duas destas observações, com meddas 95,5 e 05,8, estavam comprometdas. Deseja-se elmar estas duas meddas e calcular o valor da méda. Sabedo-se que a varâca de todas as observações é 4,590, qual va ser o valor da ova varâca (cojuto de observações sem as meddas comprometdas)? 50 Eercícos Em uma sttução bacára, o saláro médo dos 00 empregados do seo masculo é de R$.500,00, com desvo padrão de R$00,00. O saláro médo dos 50 empregados do seo femo é de R$.000,00, com desvo padrão de R$00,00. A varâca em (R$) dos dos grupos reudos é de: (BACEN, 005) a) 5.600,00; b) 8.000,00; c) ,00; d) 6.500,00; e) ,00 5 7

18 04/03/06 Eercícos Em uma sttução bacára, o saláro médo dos 00 empregados do seo masculo é de R$.500,00, com desvo padrão de R$00,00. O saláro médo dos 50 empregados do seo femo é de R$.000,00, com desvo padrão de R$00,00. A varâca em (R$) dos dos grupos reudos é de: (BACEN, 005) a) 5.600,00; b) 8.000,00; c) ,00; d) 6.500,00; e) ,00 5 Eercícos Em uma sttução bacára, o saláro médo dos 00 empregados do seo masculo é de R$.500,00, com desvo padrão de R$00,00. O saláro médo dos 50 empregados do seo femo é de R$.000,00, com desvo padrão de R$00,00. A varâca em (R$) dos dos grupos reudos é de: (BACEN, 005) a) 5.600,00; b) 8.000,00; c) ,00; d) 6.500,00; e) ,00 53 Estatístca Dstrbução de probabldade de uma v.a. dscreta Seja X uma v.a. dscreta, sto é, que assume valores em assocação com úmeros teros,,...,. Assocemos a cada um úmero p( ) represetatvo da sua probabldade. tal que a) 0 p() b) p( ) = = p( ) = P(X = ) c) P(a X b) = p ( ) tal que a X b. 54 8

19 04/03/06 Estatístca Dstrbução de probabldade de uma v.a. cotíua Seja X uma v.a. cotíua. A probabldade potual assocada à varável dscreta é substtuída pela desdade de probabldade φ() relatva a um tervalo ftésmo. φ()d = P( X +d) ou ϕ( ) = lm 0 tal que a) φ() 0 P( X + ) b) + ϕ( ). d = c) P(a X b) = b ϕ().d a 55 Estatístca A fução φ que estabelece a correspodêca etre um valor da v.a. cotdo o tervalo elemetar e a desdade de probabldade é deomada fução desdade de probabldade (fdp). P( X ) ϕ( ). d = 56 Estatístca Fução de dstrbução de probabldade acumulada A fução φ tal que ϕ( ) = P( X ) = ϕ( u). du chama-se fução de dstrbução (de probabldade) acumulada (fda) de uma v.a. cotíua X. 57 9

20 04/03/06 Eercíco A méda dos dâmetros teros de uma amostra de 00 arruelas produzdas por uma certa máqua é 0,50 cm e o desvo padrão é 0,005 cm. A faldade para a qual essas arruelas são fabrcadas permte a tolerâca máma, para o dâmetro de 0,496cm a 0,508cm; se sso ão se verfcar, as arruelas serão cosderadas defetuosas. Determar a percetagem de arruelas defetuosas produzdas pela máqua, admtdo-se que os dâmetros são dstrbuídos ormalmete. Curva ormal reduzda = 0 = z = 58 Eercíco Resolvdo 59 Eercíco O peso médo de 500 estudates do seo masculo, de uma determada uversdade, é 75,5kg e o desvo padrão é 7,5kg. Admtdo-se que os pesos estão dstrbuídos ormalmete, com largura de classe cosderada de 0,5kg, determar quatos estudates pesam: a) Etre 60,0kg e 77,5kg; b) Mas do que 9,5kg; c) Meos do que 64,0kg; d) 64,0kg; e) 64,0kg ou meos; 60 0

21 04/03/06 Eercíco Resolvdo 6 Eercíco Resolvdo 6 Eercíco Resolvdo 63

22 04/03/06 Eercíco Resolvdo 64 Eercíco Resolvdo 65 Eercíco Uma varável aleatóra cotíua X, que pode assumr somete valores compreeddos etre e 8, clusve, tem uma fução de desdade de probabldade dada por a*(x+3), em que a é uma costate. a) Calcular o valor de a; b) Determar Prob{3<X<5} c) Determar Prob{X 4} d) Determar Prob{ X-5 <0,5} 66

23 04/03/06 Eercíco Resolvdo = a) P ( a X b) ϕ( ). d b a b) Prob{3<X<5} = 67 Eercíco Resolvdo 8 c) Prob{X 4} = a *( X + 3)* d 4 d) Prob{ X-5 <0.5} = Prob{4,5<X<5,5} 68 Eercíco Resolvdo Usado a tabela de dstrbução ormal reduzda, determar de tal forma que: a) P(0 X ) d) P(X ) b) P(- X ) e) P(X - ou X ) c) P(X ) Elaborar uma tabela com 9 lhas cotedo todas as probabldades de 5% a 95%, em cremetos de 5%. 69 3

24 04/03/06 Eercíco Resolvdo a) P(0 X ) d) P(X ) b) P(- X ) e) P(X - ou X ) c) P(X ) 70 Dstrbuções Fução de dstrbução ormal (Gauss) e f ( ) = π 7 Dstrbuções Fução de dstrbução t (Studet) É usada para comparar a méda da população com a méda da amostram com base o úmero de graus de lberdadeν da amostra. Esta dstrbução é dcada quado a amostra é meor do que 30 (pequeas amostras). Assm ela é muto mportate para aalsar dados de levatametos. t = z χ ν 7 4

25 04/03/06 Dstrbuções Fução de dstrbução t (Studet) Para pequeas amostras a dstrbução ormal apreseta valores meos precsos. A prcpal dfereça etre a dstrbução ormal e a t de Studet é que esta tem mas área as caudas. 73 Dstrbuções Fução de dstrbução Ch-Quadrado χ Compara a relação etre a varâca da amostra s e a varâca da população com base o úmero de redudâcas ou graus de lberdade ν da amostra. χ s ν. = 74 Dstrbuções Fução de dstrbução Ch-Quadrado χ A dstrbução Ch-Quadrado é usada as amostrages estatístcas para determar o lmte (superor e/ou feror) o qual a varâca da população pode ser esperada a ocorrer com base em: a) Alguma porcetagem de probabldade especfcada; b) A varâca da amostra; c) O úmero de graus de lberdade da amostra. 75 5

26 04/03/06 Dstrbuções Fução de dstrbução F (Sedecor) Esta dstrbução é usada quado se quer comparar a varâca de duas amostras. χ / ν F = χ / ν 76 Estmatva de Parâmetros (Estmação) A estmatva de um parâmetro populacoal, dada por um úmero úco, é deomada estmatva por potos. A estmatva de um parâmetro populacoal, dada por dos úmeros, etre os quas pode-se cosderar que ele esteja stuado, é deomado estmatva por tervalos. As estmatvas por tervalos dcam sua precsão e são, portato, preferíves às estmatvas por potos. Eemplo: Dzedo-se que uma dstâca fo observada com 5,8m, está se apresetado uma estmatva por potos. Se, por outro lado, se dsser que a dstâca mede 5,8±0,03m, sto é, que ela está compreedda etre 5,5 e 5,3m, detro de uma certa probabldade, apreseta-se uma estmatva por tervalos. 77 Eercícos Um âgulo fo meddo dez vezes, coforme a tabela. Calcule as estmatvas potual e por tervalo. ESTIMATIVA PONTUAL a) Méda b) Erro Médo Quadrátco de uma observação solada c) Erro Médo Quadrátco da Méda Observação Âgulo (a ) 0 3' 40," 0 3' 4," 3 0 3' 40,8" 4 0 3' 4," 5 0 3' 4,9" 6 0 3' 4,4" 7 0 3' 43,0" 8 0 3' 40,7" 9 0 3' 4,9" 0 0 3' 4,5" 78 6

27 04/03/06 Eercícos Teste ulateral Teste blateral 79 Eercícos O ível de sgfcâca é represetado pela letra grega α (usualmete epresso em porcetagem α*00%). Idca a probabldade de erro. O ível de cofaça é o complemeto do ível de sgfcâca (-α)*00%, e dca a probabldade de certeza as ferêcas estatístcas. 80 Eercícos ESTIMATIVA POR INTERVALO a) Itervalo de cofaça para a méda (em fução do desvo padrão) ˆ P t ˆ + [ α / t α / ] = α Desvo padrão da méda 8 7

28 04/03/06 Eercícos ESTIMATIVA POR INTERVALO a) Itervalo de cofaça para a méda (em fução do desvo padrão) ˆ P t ˆ + [ α / t α / ] = α 8 Eercícos ESTIMATIVA POR INTERVALO b) Itervalo de cofaça para a varâca ˆ ( ) ˆ ( ) P[ Cauda χ α / χ superor α / ] = α Graus de lberdade Cauda feror 83 Eercícos ESTIMATIVA POR INTERVALO b) Itervalo de cofaça para a varâca ˆ ( ) ˆ ( ) P[ ] = α χ χ α / α / 84 8

29 04/03/06 Eercícos Um âgulo fo meddo em quatro etapas. Tomado pesos proporcoas ao úmero de observações, estmar o valor do âgulo e sua precsão. ESTIMATIVA PONTUAL a) Méda poderada Âgulo Observações Peso b) Erro Médo Quadrátco de uma observação solada ( pv ) m = ˆ = = c) Erro Médo Quadrátco da Méda Poderada ˆ m ˆ = = p 85 Eercícos ESTIMATIVA POR INTERVALO a) Itervalo de cofaça para a méda poderada P[ ˆ α + ˆ t / tα / ] = α 86 Eercícos ESTIMATIVA POR INTERVALO b) Itervalo de cofaça para a varâca pv P χ pv ] = α χ [ α / α / 87 9

30 04/03/06 Estatístca Esperaça Matemátca de uma v.a. Defe-se valor esperado, valor médo, epectâca, esperaça matemátca, ou smplesmete esperaça de uma v.a. cotíua X por + E{ X} = =. ϕ( ). d De maera aáloga defe-se a esperaça de uma fução de v.a. f(x) + E{ f ( X )} = = f ( X ). ϕ( ). d Esperaça matemátca de uma v.a. dscreta E{ X} =. p( = ) 88 Estatístca f ) E{X } Se e p( Propredades da esperaça matemátca: a) Sedo C e C costates E{C} = C; E{CX} = CE{X}; E{C+C X} = C+C E{X} b) E{X+Y+...+Z} = E{X} + E{Y} E{Z} E{CX+C Y} = CE{X} + C E{Y} c) E{XY} = E{X}. E{Y} +cov(xy) d) E{E{X}} = E{X} e) E{X } (E{X}) 89 Estatístca Mometo de ordem r de uma v.a. em relação à sua esperaça matemátca (mometo cetrado) é defdo como: M r r r = E{( X ) } = + ( ). Φ( ). d Tem partcular mportâca o mometo de seguda ordem ou VARIÂNCIA (r = ) var( X ) = = E{( X ) } = + = ( ). Φ( ). d ( ). p( ) (v.a.c.) (v.a.d.) 90 30

31 04/03/06 Eercíco ) Se um homem adqurr um blhete de lotera, poderá gahar um prmero prêmo de R$5000,00 ou um segudo de R$000,00, com as probabldades de 0,00 e de 0,003. Qual será o preço justo a pagar pelo blhete? ) Em uma certa especulação comercal, um homem pode ter um lucro de R$3000,00, com a probabldade de 0,6, ou um prejuízo de R$000,00, com a probabldade de 0,4. determar sua esperaça. 3) Qual é o preço justo a pagar para etrar em um jogo o qual se pode gahar R$5,00 com probabldade de 0, e R$0,00 com probabldade de 0,4? 4) Quato devera ser o valor do premo da megasea de forma que o preço justo a pagar para um jogo smples a MegaSea (6 úmeros) seja gual ao valor de aposta = R$,50? Probabldade de acerto = / Eercícos Probabldade (%) Fator de Sgma ,7 99,9 0,6745,645,960,576,968 3,9 Um observador realzou dversas medções de um objeto (dstrbução ormal) obtedo: L(0:05) = [.,.5,.3,.5,.3]; L(06:0) = [.,.9,.34,.,.4]; L(:5) = [.9,.5,.7,.0,.5]; Verfque se este alguma observação que possa ser rejetada por estar fora do ível de eatdão de 95,0%. 9 MVC Varável Aleatóra Bdmesoal Seja X o resultado de um epermeto e Y de um segudo epermeto, ambos com varâca própra. = E {( X ) } = E {( Y ) } X X Podemos agora defr a covarâca XY da v.a. bdmesoal para eprmr a correlação etre as duas compoetes, ou seja, o grau de depedêca etre as mesmas: cov( X, Y ) = = E{( X )( Y )} y Y y Y ou + = ( ).( y ). φ(, y). d dy y y. 93 3

32 04/03/06 MVC Desevolvedo a equação y = E {( X )( Y y )} y = E{ XY} + y E{ Y} ye{ X} y = E { XY}+ y y y = E { XY} y = E{ XY} E{ X}. E{ Y} y y Quado as compoetes são estatístcamete depedetes φ ( XY) = φ( X ). φ( Y) E{XY} = E{X}.E{Y} Quado as compoetes X e Y são estatístcamete depedetes a covarâca é ula, sem que a recíproca seja ecessaramete verdadera. y = 0 94 MVC Varável Aleatóra -Dmesoal Seja X = [... X ] T com cada represetado agora uma v.a. udmesoal. A esperaça matemátca da varável -dmesoal ou, em outras palavras, o vetor esperado E{X} da dstrbução -dmesoal, escreve-se: E{ } = E{ } = U = E{ X} = E M M M E{ } Cada compoete de X é uma v.a. udmesoal de varâca: = E {( ) } 95 MVC Varável Aleatóra -Dmesoal Temos assm varâcas,, L, (de cada uma das compoetes) e *(-) covarâcas etre os pares de compoetes de ídces dferetes ( j) cov(, ) = = E{( )( )} = j j j j j j 96 3

33 04/03/ MVC Matrz Varâca-Covarâca (MVC) As varâcas e as covarâcas ( j) das compoetes de uma varável -dmesoal X podem ser dspostas de maera a formar uma matrz quadrada ( ) que é dcada por j = X L L L L L L L L A matrz acma, smétrca, recebe o ome de matrz varâca-covarâca (MVC) ou smplesmete matrz covarâca (pos a varâca é um caso partcular da covarâca para =j). No caso das compoetes do vetor X serem depedetes etre s as covarâcas serão ulas e a MVC degeera uma matrz dagoal. 98 MVC Desevolvedo a epressão matrcal T U X U X ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( L LLLL L LLLL LLLL L L o que os permte escrever } ) )( {( T X U X U X E = [ ] L M 99 MVC Obs.: Sempre que as varâcas da v.a. forem ftas a correspodete MVC será postva semdefda, sto é 0 )..( X MVC X T Propredades de matrz postva semdefda: Autovalores ão egatvos ( 0) Elemetos dagoas ão egatvos ( 0) Matrz smétrca para todos os vetores X Х

34 04/03/06 MVC As segutes matrzes NÃO podem ser matrzes de varâca e covarâca 3 4 A = B = C = 6 6 D = 3 5 E = [ 5 4 ] Covarâca é uma medda do grau de correlação estete etre duas compoetes quasquer de uma fução -dmesoal. 00 MVC Coefcete de Correlação Lear Chama-se coefcete de correlação lear o coefcete (admesoal) que descreve a depedêca lear etre as duas compoetes da v.a. bdmesoal. y ρ y =. y ρ Demostra-se que y + 0 MVC ρ y = Podemos afrmar que há uma perfeta relação lear etre X e Y ou, em outras palavras, que Y é uma fução lear de X. Ver fguras (a) e (b). ρ y = 0 Dzemos que as varáves ão são correlacoadas (X e Y ão tedem a varar jutas (fgura (c)), mas sso ão sgfca ecessaramete que as compoetes sejam depedetes estatístcamete. 0 34

35 04/03/ MVC 04 Matrz dos Coefcetes de Correlação A partr da MVC pode-se calcular a matrz dos coefcetes de correlação j j j R ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = = L L L L L L L L 05 MVC Correlação estatístca = = = = y y y y y, ) ( ) ( ) )( ( = = = = = = = = y y y y y, ) ( ) (

36 04/03/06 Eercícos Implemetar uma rota (fucto) em FreeMat que calcule a Matrz dos Coefcetes de Correlação, a partr da MVC. fucto [sada] = ome (etrada) fucto [CoefCor] = coefcor(mvc); [Lma,Cma] = sze(mvc); for L = :Lma for C = :Cma f (L==C) CoefCor(L,C) = ; else CoefCor(L,C) = mvc(l,c)/sqrt(mvc(l,l)*mvc(c,c)); ed; ed; ed; 06 Eercícos Dos estudates dscutem sobre quem realza a melhor medção de um âgulo. Para resolver a dsputa, ambos cocordam em medr um determado âgulo quze vezes. Os resultados das observações são: (Etraído de GHILANI, C. D. Adjustmet Computatos Spatal Data Aalyss. Joh Wley & Sos, Ic, New Jersey, 00. Ffth ed, pp 3) Aluo A Aluo B Eercícos ) Calcular a méda, medaa, desvo padrão, varâca, desvo padrão da méda: a) [6,, 4, 5, 3]; b) [6, 4, 5, 3,, 5]; c) [5, 7, 3, 6,, 9]; d) [8, 4, 3, 6, 5, 7, ]; ) Um operador eecuta uma determada atvdade em tempo médo de mutos e desvo padrão de,5 mutos, com dstrbução ormal. Qual é a probabldade de que este operador leve etre 0 mutos e 5 mutos para eecutar a atvdade? 08 36

37 04/03/06 Eercícos 3) Supoha que uma fábrca teha estabelecdo que a vda méda dos peus para automóves, de sua fabrcação, é de km rodados, com um desvo padrão de 3.000km. Supoha ada que o tempo de duração dos peus seja uma v.a. ormalmete dstrbuída. a) Se a fábrca oferecer uma garata de km, em codções ormas de uso do veículo, qual é a probabldade de que um peu veddo teha de ser substtuído? b) Qual qulometragem a fábrca deve oferecer como garata, para que ehum peu veddo teha de ser substtuído? c) A fábrca está teressada em melhorar a qualdade dos peus e, para sso, está estudado a possbldade de se aumetar a duração méda dos peus. Qual devera ser a duração méda para que, com uma garata de km, somete % dos peus veddos teham de ser trocados? 09 Eercícos 4) Um fabrcate de refrgerates vede um de seus produtos egarrafados em vaslhames de ltro. Para egarrafar este produto é utlzada uma máqua que, calbrada, permte obter o volume desejado, segudo uma dstrbução ormal, com um desvo padrão de 30ml. a) Se o Órgão Fscalzador do Govero (OFG) faz a egêca de que ão mas de 8% das garrafas teham um volume meor do que o omal, em quato deve ser regulada a máqua para que o fabrcate ão seja autuado? b) Se a máqua for calbrada para colocar,035ml de líqudo o vaslhame, qual a porcetagem de vaslhames que ão estarão atededo às especfcações do OFG? c) Para qual valor deve ser ajustada a precsão da máqua, para que estado calbrada em.350ml, as especfcações do OFG sejam ateddas? 0 Eercícos 5) Foram observados os tempos de duração do tervalo para o cafezho, para uma amostra de 0 empregados de uma grade empresa (000 fucoáros), obtedo-se os segutes resultados, em mutos: [ ] [ ] Supodo a varável tempo dstrbuída segudo uma Normal: a) Ecotre a méda e a varabldade estmadas do tempo de duração do tervalo para o cafezho dos fucoáros desta empresa. Ecotre, ada, tervalos de 90% de cofaça para a méda e a varâca. b) Quatos fucoáros da empresa terão o tempo de duração do tervalo para o cafezho maor que 0 mutos? 37

38 04/03/06 Eercícos 6) Um fabrcate de lâmpadas afrma que o tempo de duração do seu produto, em horas, é dstrbuído apromadamete ormal. Se uma amostra aleatóra de 30 lâmpadas teve tempo de vda médo de 780 horas, com desvo padrão de 40 horas, ecotre um tervalo de 95% de cofaça para o tempo médo de vda das lâmpadas desta fábrca. 7) Um aluo de egehara cartográfca realzou um levatameto fazedo observações de duas v.a., obtedo os segutes resultados: = [ ] y = [ ] Deseja-se saber se este correlação (estatístca) etre as varáves e y, e o valor do coefcete de correlação lear. Eercícos ) Calcular a méda, medaa, desvo padrão, varâca, desvo padrão da méda: a) [6,, 4, 5, 3]; b) [6, 4, 5, 3,, 5]; c) [5, 7, 3, 6,, 9]; d) [8, 4, 3, 6, 5, 7, ]; 3 Eercícos ) Um operador eecuta uma determada atvdade em tempo médo de mutos e desvo padrão de,5 mutos, com dstrbução ormal. Qual é a probabldade de que este operador leve etre 0 mutos e 5 mutos para eecutar a atvdade? 4 38

39 04/03/06 Eercícos 3) Supoha que uma fábrca teha estabelecdo que a vda méda dos peus para automóves, de sua fabrcação, é de km rodados, com um desvo padrão de 3.000km. Supoha ada que o tempo de duração dos peus seja uma v.a. ormalmete dstrbuída. a) Se a fábrca oferecer uma garata de km, em codções ormas de uso do veículo, qual é a probabldade de que um peu veddo teha de ser substtuído? b) Qual qulometragem a fábrca deve oferecer como garata, para que ehum peu veddo teha de ser substtuído? c) A fábrca está teressada em melhorar a qualdade dos peus e, para sso, está estudado a possbldade de se aumetar a duração méda dos peus. Qual devera ser a duração méda para que, com uma garata de km, somete % dos peus veddos teham de ser trocados? 5 Eercícos 6 Eercícos 4) Um fabrcate de refrgerates vede um de seus produtos egarrafados em vaslhames de ltro. Para egarrafar este produto é utlzada uma máqua que, calbrada, permte obter o volume desejado, segudo uma dstrbução ormal, com um desvo padrão de 30ml. a) Se o Órgão Fscalzador do Govero (OFG) faz a egêca de que ão mas de 8% das garrafas teham um volume meor do que o omal, em quato deve ser regulada a máqua para que o fabrcate ão seja autuado? b) Se a máqua for calbrada para colocar.035ml de líqudo o vaslhame, qual a porcetagem de vaslhames que ão estarão atededo às especfcações do OFG? c) Para qual valor deve ser ajustada a precsão da máqua, para que estado calbrada em.035ml, as especfcações do OFG sejam ateddas? 7 39

40 04/03/06 Eercícos 8 Eercícos 5) Foram observados os tempos de duração do tervalo para o cafezho, para uma amostra de 0 empregados de uma grade empresa (000 fucoáros), obtedo-se os segutes resultados, em mutos: [ ] [ ] Supodo o tempo v.a. em coformdade com a dstrbução Normal para pequeas amostras (t-studet) a) Ecotre a méda e a varabldade estmadas do tempo de duração do tervalo para o cafezho dos fucoáros desta empresa. Ecotre, ada, tervalos de 90% de cofaça para a méda e a varâca. b) Nestas codções, quatos fucoáros da empresa terão o tempo de duração do tervalo para o cafezho maor que 0 mutos? 9 Eercícos 0 40

41 04/03/06 Eercícos 5a) Cauda superor ˆ ( ) ˆ ( ) P[ ] = α χ χ α / α / Graus de lberdade Cauda feror Eercícos Eercícos 6) Um fabrcate de lâmpadas afrma que o tempo de duração do seu produto, em horas, é dstrbuído apromadamete ormal. Se uma amostra aleatóra de 30 lâmpadas teve tempo de vda médo de 780 horas, com desvo padrão de 40 horas, ecotre um tervalo de 95% de cofaça para o tempo médo de vda das lâmpadas desta fábrca. 7) Um aluo de egehara cartográfca realzou um levatameto fazedo observações de duas v.a., obtedo os segutes resultados: = [ ] y = [ ] Deseja-se saber se este correlação (estatístca) etre as varáves e y, e o valor do coefcete de correlação lear. 3 4

42 04/03/06 Eercícos 7) Um aluo de egehara cartográfca realzou um levatameto fazedo observações de duas v.a., obtedo os segutes resultados: = [ ] y = [ ] Deseja-se saber se este correlação (estatístca) etre as varáves e y, e o valor do coefcete de correlação lear., y = = ( )( y y) ( ) = = ( y y) 4 Eercícos 8) Duas varáves amostras X e Y assumem os valores X =, X = 5, X 3 = 4, X 4 = 8, e Y = 3, Y = 7, Y 3 =, Y 4 = 6. Calcular: a) MVC(X*Y); b) MVC(X)*MVC(Y); c) Méda, medaa e desvo padrão de X; d) Méda, medaa e desvo padrão de Y. 5 Eercícos 9) Dada a MVC de três varáves aleatóras [3,,;,5,;,,4] (stae Freemat), determar quas duas varáves apresetam a maor correlação etre s, e qual o porcetual. (ver fução de cálculo do coefcete de correlação slde 0) 6 4

43 04/03/06 Eercícos 0) Uma dstâca fo medda cco vezes, coforme a tabela. Calcule as estmatvas potual e por tervalo de cofaça (95%). Observação Dstâca (m) 55,88 56, , , ,0 7 Eercícos 8 Eercícos 0a) Cauda superor ˆ ( ) ˆ ( ) P[ ] = α χ χ α / α / Graus de lberdade Cauda feror 9 43

44 04/03/06 Eercícos ) Para se ajustar a uma máqua, a correa deve ter etre 0.98 e,0m de comprmeto. Tedo em vsta o processo de fabrcação, o comprmeto dessas correas pode ser cosderado como uma varável aleatóra com dstrbução ormal de méda 00,3cm e desvo padrão 0,8cm. Perguta-se qual a probabldade de uma correa, escolhda ao acaso, poder ser usada a máqua? 30 Eercícos ) Um fabrcate de lâmpadas afrma que o tempo de duração do seu produto, em horas, é dstrbuído apromadamete ormal. Se uma amostra aleatóra de 00 lâmpadas teve tempo de vda médo de 780 horas, com desvo padrão de 40 horas, qual o maor tempo médo de vda das lâmpadas que o fabrcate pode oferecer garata sabedo-se que ele está dsposto a trocar até 5% das lâmpadas? 3 Eercícos 3) Uma turma de 50 aluos fez uma prova em tempo médo de,5horas, com desvo-padrão de 5 mutos. Perguta-se: a) Quatos aluos termarão a prova em hora,5 hora,,5 hora,,75 hora e,0 hora? 3 44