PROGRAMA. MATEMÁTICA 10.º, 11.º e 12.º ANOS DE ESCOLARIDADE. República Democrática de Timor-Leste Ministério da Educação [1]

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1 PROGRAMA MATEMÁTICA 10.º, 11.º e 12.º ANOS DE ESCOLARIDADE República Democrática de Timor-Leste Ministério da Educação [1]

2 PROGRAMA MATEMÁTICA 10.º, 11.º e 12.º anos de escolaridade Título: Matemática Ano de Escolaridade: Autores: 10.º, 11.º e 12.º Anos Teresa Neto Lucinda Serra José Bessa Coordenadora de disciplina: Teresa Neto Consultor científico: João Pedro Ponte Colaboração das equipas técnicas timorenses da disciplina: Este Programa foi elaborado com a colaboração de Equipas Técnicas Timorenses da Disciplina, sob a supervisão do Ministério da Educação de Timor-Leste Design e Paginação: Esfera Crítica Unipessoal, Lda. Conceção e elaboração: Universidade de Aveiro Coordenação geral do Projeto: Isabel P. Martins Ângelo Ferreira Projeto - Reestruturação Curricular do Ensino Secundário Geral em Timor-Leste Cooperação entre o Ministério da Educação de Timor-Leste, o Instituto Português de Apoio ao Desenvolvimento, a Fundação Calouste Gulbenkian e a Universidade de Aveiro Financiamento do Fundo da Língua Portuguesa [2]

3 ÍNDICE PROGRAMA DE MATEMÁTICA 1. VISÃO GERAL DO PROGRAMA DE MATEMÁTICA PARA O CICLO DE ESTUDOS COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER PELOS ALUNOS COMPETÊNCIAS GERAIS TRANSVERSAIS COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS ESTRUTURA E ORGANIZAÇÃO DAS UNIDADES TEMÁTICAS PROGRAMA DE MATEMÁTICA 10.º ANO DE ESCOLARIDADE UNIDADE TEMÁTICA 1: NÚMEROS E ÁLGEBRA UNIDADE TEMÁTICA 2: GEOMETRIA ANALÍTICA UNIDADE TEMÁTICA 3: GRÁFICOS E FUNÇÕES PROGRAMA DE MATEMÁTICA 11.º ANO DE ESCOLARIDADE UNIDADE TEMÁTICA 4: SUCESSÕES UNIDADE TEMÁTICA 5: TRIGONOMETRIA UNIDADE TEMÁTICA 6: FUNÇÕES E LIMITES PROGRAMA DE MATEMÁTICA 12.º ANO DE ESCOLARIDADE UNIDADE TEMÁTICA 7: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL UNIDADE TEMÁTICA 8: CÓNICAS UNIDADE TEMÁTICA 9: ORGANIZAÇÃO E TRATAMENTO DE DADOS ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS RECURSOS DIDÁTICOS AVALIAÇÃO DAS APRENDIZAGENS BIBLIOGRAFIA DE REFERÊNCIA [3]

4 PROGRAMA DA DISCIPLINA MATEMÁTICA INTRODUÇÃO Timor-Leste é uma nação em crescimento e mudança com uma evidente preocupação em oferecer aos seus jovens uma formação sólida, informada e apetrechada das ferramentas essenciais ao seu desempenho ótimo, na sociedade atual. Assim, a necessidade de uma reestruturação do Ensino Secundário Geral em Timor-Leste, inserida no Plano Nacional de Desenvolvimento (PND), implica conceber, desenvolver e implementar um programa para a disciplina de Matemática, em conjunto com o desenvolvimento de recursos didáticos adequados (para alunos e professores). A Matemática é uma disciplina que tem contribuído significativamente para o desenvolvimento do conhecimento humano ao longo da história. Hoje, mais do que nunca, está presente em todos os ramos da Ciência e Tecnologia, assim como em diversos campos da Arte e em muitas profissões e setores da atividade do dia a dia. Aos jovens timorense, exige-se a aquisição e produção de conhecimentos que portem consigo o desenvolvimento de uma literacia matemática. Uma literacia que favoreça a utilização dos métodos, dos modelos e da linguagem matemática para raciocinar positivamente sobre os problemas e as situações, assim como ajudá-los a perceber melhor a realidade, nas suas diferentes manifestações. O presente documento constitui uma proposta, para o programa da disciplina de Matemática, ao nível do 10.º, 11.º e 12.º anos do Ensino Secundário Geral, área de Ciências e Tecnologias do Ensino Secundário Geral. Inicia-se com uma visão geral do programa, seguida da apresentação das competências a desenvolver nos alunos, quer transversais quer específicas, em cada um dos domínios considerados na estrutura e organização das unidades temáticas. De seguida faz-se uma breve referência às orientações metodológicas, bem como alguns recursos didáticos. Finalmente, conclui-se com uma síntese relativa ao modelo de avaliação que se preconiza, tendo em conta as metas de aprendizagem enunciadas, e apresenta-se uma breve bibliografia de referência que as escolas deverão ter disponível. Esta proposta irá ser apresentada pela equipa técnica, na missão técnico científica em Timor-Leste, Junho/ Julho de 2011, de forma a suscitar a discussão e permitir identificar os pontos a rever e, assim, não só seja possível elaborar um versão final adequada do programa, como esta discussão possa extravasar este momento particular e servir para aprofundar a reflexão de modo a que todos possamos contribuir para a melhoria do ensino em Timor-Leste. 1. VISÃO GERAL DO PROGRAMA DE MATEMÁTICA PARA O CICLO DE ESTUDOS A Matemática é uma disciplina que tem contribuído significativamente para o desenvolvimento do conhecimento humano ao longo da história. Assim, constitui uma disciplina incontornável em qualquer currículo, com um campo de aplicações praticamente ilimitado. Pelos princípios e métodos de trabalho praticados, a Matemática é uma componente essencial da formação para o exercício da cidadania em sociedades democráticas, tendo por base a autonomia e a solidariedade. O conhecimento científico em geral e o matemático em [4]

5 particular são uma ferramenta fundamental para a independência empreendedora de cada cidadão, responsável e consciente do mundo em que vive. Ao longo dos séculos, os modos de pensamento e as experiências associadas, foram gradualmente trabalhadas, relacionadas e sistematizadas em conceitos e propriedades que conduziram ao desenvolvimento de um forte corpo de conhecimento. Progressivamente este foi-se aperfeiçoando e organizando em sistemas formais de conceitos, propriedades e provas. Mas, para além da sua beleza intrínseca e do seu conteúdo abstrato (axiomas, teoremas e demonstrações), a Matemática continua a estimular diversos modos de pensamento, ao mesmo tempo versáteis e potentes, incluindo modelação, simulação, abstração, otimização, análise lógica e dedutiva, inferência a partir de dados, manipulação de símbolos e experimentação. O poder e relevância do método da Matemática está na resolução de problemas, no raciocínio matemático, nas formas de comunicação que permitem a extrapolação para novas estruturas conceptuais que, ao serem exploradas permitem raciocinar e conjeturar sobre os problemas que modelam, independentemente, das particularidades de cada contexto cultural. A incorporação da perspetiva histórica dos conceitos matemáticos constitui, no programa, um eixo fundamental. A historicidade dos conceitos, partindo de uma perspetiva local para uma perspetiva global, assume especial importância para que os alunos possam refletir sobre os processos a partir dos quais estes conceitos foram elaborados, desenvolvidos e difundidos. Importa, pois, privilegiar uma abordagem etno, envolvendo o reconhecimento de técnicas ou habilidades e práticas utilizadas por distintos grupos culturais na busca de explicar, de conhecer e, de entender o mundo que os rodeia (cf. Figura 1). Figura 1. Ciclo radial dos domínios a considerar em educação matemática. [5]

6 Com este entendimento, o processo de ensino e aprendizagem da Matemática, ao longo dos três anos do ciclo de ensino secundário geral em Timor-Leste, deverá ser orientado pelas seguintes finalidades: Compreender a relação entre o avanço científico e o progresso da humanidade; Aprofundar uma cultura científica e humanística que constitua suporte para o prosseguimento de estudos como para a inserção na vida ativa; Contribuir para o desenvolvimento da existência de uma consciência crítica e interventiva em áreas como o ambiente, a saúde e a economia entre outras formando para uma cidadania ativa e participativa; Desenvolver a capacidade de usar a Matemática como instrumento de interpretação e intervenção no real; Desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas, de comunicar, assim como a memória o espírito crítico e a criatividade; Desenvolver a compreensão da Matemática como elemento da cultura humana, incluindo aspetos da sua história; Analisar situações da vida real identificando modelos matemáticos que permitam a sua interpretação e resolução; Interpretar fenómenos e resolver problemas recorrendo a funções e às suas representações gráficas por via intuitiva e analítica; Desenvolver a capacidade de formular hipóteses e prever resultados, assim como validar conjeturas e fazer raciocínios demonstrativos usando métodos adequados; Desenvolver uma atitude positiva face à Matemática e a capacidade de apreciar esta ciência. O programa proposto está organizado em nove unidades temáticas de modo a contemplar competências gerais e essenciais que a aprendizagem da Matemática favorece. Por sua vez, estas unidades temáticas estão encadeadas de modo a permitir uma melhor compreensão da Matemática como um todo em que cada tema se relaciona e interliga com os restantes. A sequência dos temas adaptada tem também presente uma utilidade imediata de formação científica e técnica que se liga a outras áreas do conhecimento. Números e Álgebra Gráficos e Funções Trigonometri a Cálculo Diferencial e Integral Organização e Tratamento de Dados Geometria Analítica Sucessões Funções e Limites Cónicas Figura 2. Sequência das Unidades Temáticas ao longo do percurso curricular Considerando que se trata de um programa trianual que deve ser exequível em 4 horas semanais previstas, tornou-se necessário fazer opções em cada unidade curricular. A opção feita pela Equipa Técnica foi no sentido de garantir equilíbrio entre as várias unidades [6]

7 temáticas, ao longo de todo o percurso curricular (3 anos) do ensino secundário. Os alunos abordarão em cada unidade, temas diversificados e interligados que favorecerão o desenvolvimento da competência matemática. 2. COMPETÊNCIAS A DESENVOLVER PELOS ALUNOS Ser matematicamente competente envolve de forma integrada atitudes, capacidades e conhecimentos relativos à Matemática. Esta competência desenvolve-se gradualmente ao longo de todo o percurso escolar dos alunos e inclui, necessariamente, a compreensão de noções e conhecimentos matemáticos interligados com um conjunto de atitudes e capacidades transversais, entre as quais se destacam: o raciocínio matemático, a comunicação matemática e a resolução de problemas. O raciocínio é uma capacidade fundamental que envolve a formulação e teste de conjeturas e a sua demonstração. Os alunos devem compreender que o raciocínio matemático envolve a construção de cadeias argumentativas, que começam pela simples justificação de passos e devem evoluir progressivamente para argumentações mais complexas. Os alunos devem, também, ser capazes de distinguir entre raciocínio indutivo e dedutivo, e reconhecer diferentes métodos de demonstração. Assim, o tema Lógica e Raciocínio Matemático, apesar de não constituir em si mesmo um conteúdo do programa, torna-se indispensável na medida em que contém elementos que ajudam os alunos a desenvolver e avaliar a argumentação matemática, bem como a selecionar e usar diversos tipos de raciocínio e métodos de demonstração. A comunicação é outra capacidade transversal de toda a atividade matemática. Envolve as vertentes oral e escrita, incluindo o domínio progressivo da linguagem simbólica própria da Matemática. O aluno deve ser capaz de expressar as suas ideias, compreender as ideias que lhe são apresentadas e de participar de forma construtiva em debates. A criação de oportunidades de comunicação adequadas é assumida como um aspeto essencial na atividade que se realiza na sala de aula. Por fim, a resolução de problemas é entendida como uma capacidade matemática fundamental, considerando-se que os alunos devem adquirir desenvoltura a lidar com problemas relativos a contextos do seu dia a dia e de outros domínios do saber. Contribui para o desenvolvimento do interesse pela pesquisa, pois deve ser direcionada para uma atividade que seja atraente e que se relacione com a experiencia do aluno. É fundamental desenvolver no aluno a capacidade de modelar, o aluno que modela aprende a fazer Matemática na medida em que faz e refaz os modelos, melhorando-os. 2.1 Competências gerais transversais Pretende-se que a disciplina de Matemática contribua para que os alunos de Timor-Leste desenvolvam competências gerais, com particular relevo para as atitudes e valores, as capacidades e aptidões e os conhecimentos matemáticos. [7]

8 Ao nível das atitudes e valores, importa desenvolver no aluno: Autoconfiança: Exprimir e fundamentar as suas opiniões; Revelar espírito crítico e de rigor; Abordar as novas situações com iniciativa e criatividade; Saber procurar a informação que necessita. Hábitos de trabalho: Elaborar e apresentar os seus trabalhos de forma cuidada e organizada; Manifestar persistência na procura de soluções de novas situações. Interesses culturais Manifestar vontade de aprender e gosto pela pesquisa; Apreciar o contributo da Matemática para a compreensão e a resolução dos problemas do homem ao longo dos tempos. Quanto a capacidades e aptidões, importa desenvolver no aluno: Capacidade em usar a Matemática: Analisar situações da vida real, identificando modelos matemáticos que permitam a sua interpretação e resolução; Formular hipóteses e prever resultados; Selecionar estratégias adequadas para a resolução de problemas; Interpretar e criticar resultados, tomando em consideração o contexto do problema. O raciocínio e o pensamento científico: Descobrir relações entre conceitos matemáticos; Formular generalizações a partir de experiências; Validar conjeturas. 2.2 Competências específicas O programa dá continuidade às aprendizagens obtidas em ciclos de estudo anteriores, segundo uma perspetiva integradora e com a preocupação de estabelecer algum equilíbrio entre os temas matemáticos abordados, tendo em vista o prosseguimento de estudos ou a inserção na vida ativa. As unidades temáticas, os subtemas e os conteúdos matemáticos devem ser entendidos de forma flexível e permeável a contextos localmente relevantes. Neste sentido, destaca-se a importância em ajudar os alunos a desenvolver determinadas competências específicas, contribuindo para melhorar os seus conhecimentos científicos. [8]

9 As orientações relativas ao desenvolvimento das competências específicas da Matemática podem ser organizadas de diversos modos. A equipa técnica optou por apresentar os aspetos relativos às competências específicas a desenvolver ao longo de todo o ensino secundário geral, em quatro grandes tópicos de ensino: Números e Álgebra; Geometria Analítica; Funções e Cálculo Diferencial; Organização e Tratamento de Dados. Estes por sua vez, englobam nove Unidades temáticas: Números e Álgebra, Geometria Analítica, Gráficos e Funções, Sucessões, Trigonometria, Funções e Limites, Cálculo Diferencial e Integral, Cónicas e Organização e Tratamento de Dados. No domínio dos Números e Álgebra, a competência matemática que todos os alunos devem desenvolver inclui: Ampliar o conceito de número; Aperfeiçoar o cálculo com os números reais; Realizar operações com expressões racionais e com radicais; Resolver equações e inequações; Resolver sistemas de equações usando diferentes métodos; Identificar e definir sucessões e sub sucessões de números reais; Identificar sucessões monótonas e limitadas, assim como aplicar as suas propriedades; Classificar as sucessões quanto a existência e natureza do limite; Resolver problemas usando as propriedades dos infinitamente grandes e dos infinitésimos; Usar corretamente o vocabulário específico de matemática; Comunicar conceitos, raciocínios e ideias oralmente e por escrito, com clareza e rigor lógico; Usar as noções de lógica indispensáveis à clarificação de conceitos. No domínio da Geometria Analítica, a competência matemática que todos os alunos devem desenvolver inclui: Apreciar a geometria no mundo real e o reconhecimento e a utilização de ideias geométricas em diversas situações; Formular argumentos válidos recorrendo à visualização e ao raciocínio espacial, explicitando-os em linguagem corrente; Resolver problemas, segundo uma abordagem vetorial e analítica; Realizar construções geométricas para induzir e analisar propriedades geométricas, recorrendo a materiais manipuláveis e a software de geometria dinâmica; Formular conjeturas, validá-las ou refutá-las, recorrendo a abordagens diversificadas. No domínio das Funções e do Cálculo Diferencial, a competência matemática que todos alunos devem desenvolver inclui: Ampliar o conceito de função real de variável real, com base no estudo analítico das suas propriedades gerais, incluindo a tecnologia gráfica; [9]

10 Identificar uma função de uma variável como um modelo matemático; Analisar gráficos de funções reais, reconhecendo e atribuindo significado a: domínio, contradomínio, estudo da variação de sinal, intervalos de monotonia, continuidade, simetrias, paridade e pontos notáveis, zero(s), interseção com o eixo Oy, extremos (relativos e absolutos), comportamento na vizinhança de alguns dos seus pontos finitos e infinitos, assimptotas; Esboçar o gráfico de uma função pertencente à família das funções de referência; Formular conjeturas, validá-las ou refutá-las, tirando partindo de ferramentas de exploração disponíveis (calculadora gráfica ou computador); Aplicar os conhecimentos de Análise Infinitesimal e do Cálculo diferencial e integral no estudo de funções reais de variável real; Desenvolver o espírito crítico, nomeadamente no referente à utilização de instrumentos tecnológicos; Resolver problemas da realidade, recorrendo à modelação, envolvendo o estudo das funções e dos seus gráficos; Comunicar, sob diversas formas, e fundamentar os raciocínios efetuados; Desenvolver atitudes de apreço pelo papel cultural da Matemática e de autoconfiança perante situações novas. No domínio da Organização e Tratamento de Dados, a competência matemática que todos os alunos devem desenvolver inclui: Interpretar tabelas e gráficos; Comparar distribuições estatísticas; Planear corretamente a recolha de dados; Construir tabelas de frequência; Elaborar representações gráficas adequadas para cada um dos tipos de dados considerados; Determinar as medidas de tendência central e de dispersão de uma distribuição; Construir um diagrama de extremos e quartis; Compreender as vantagens e desvantagens na utilização dos diferentes parâmetros estatísticos; Calcular estimativas pontuais; Identificar e interpretar modelos de distribuições, nomeadamente o modelo normal, o Binomial e o de Poisson; Analisar intervalos de confiança; Analisar modelos de probabilidades; Estabelecer a Regra de Laplace para o cálculo de probabilidades. [10]

11 3. ESTRUTURA E ORGANIZAÇÃO DAS UNIDADES TEMÁTICAS O programa relativo a cada ano desenvolve-se em nove unidades temáticas, apresentadas na tabela seguinte, a serem trabalhadas de forma sequencial de acordo com uma planificação adequada das atividades educativas que não prejudique a abordagem de cada um dos subtemas. 10.º ano 11.º ano 12.º ano Unidade Temática 1 Números e Álgebra Os números Equações e inequações Sistemas de Equações Unidade Temática 2 Geometria Analítica Cálculo vetorial Reta e Circunferência Unidade Temática 3 Gráficos e Funções Generalidades sobre funções Funções polinomiais e racionais Unidade Temática 4 Sucessões Sucessões Limites infinitos Unidade Temática 5 Trigonometria Trigonometria Funções periódicas Unidade Temática 6 Funções e Limites Funções exponenciais e logarítmicas Limites e continuidade Unidade Temática 7 Cálculo Diferencial e Integral Derivadas e aplicações Cálculo de áreas e volumes Unidade Temática 8 Cónicas Elipse. Hipérbole Parábola Unidade Temática 9 Organização e Tratamento de Dados Probabilidades Estatística descritiva e indutiva De seguida é apresentada uma breve descrição de cada uma das Unidades Temáticas, por ano de escolaridade. Assim: No primeiro ano do programa curricular do 10.º ano pretende-se: Unidade Temática 1 - Números e Álgebra Nivelar os conhecimentos que os alunos deverão ter adquirido no pré-secundário, ampliando o conceito de número, trabalhando com números racionais e irracionais, notação científica e arredondamentos. Abordar a resolução de sistemas de equações lineares introduzindo um novo método de resolução, a regra de Cramer. Trabalhar com equações do segundo grau, lembrando a fórmula resolvente e as condições do binómio discriminante para a existência ou não de zeros, resolver inequações de 1º grau e resolver condições com módulos. Unidade Temática 2 Geometria Analítica Estudar a Geometria segundo uma abordagem analítica, definindo-se a posição de um ponto num determinado referencial à custa de um par ou de um terno de números reais, o que significa traduzir a linguagem da Geometria (segundo uma abordagem sintética) na linguagem da Análise, permitindo que as figuras geométricas sejam descritas através de condições (equações e inequações). Deste modo, a Geometria pode ser tratada em termos de Análise e vice-versa. O estudo da Geometria Analítica proporciona, ainda, a investigação de propriedades e condições relativas a figuras geométricas, do plano e do espaço, dando maior sentido ao conceito de distância e às respetivas métricas. [11]

12 Unidade Temática 3 Gráficos e Funções Potenciar a representação gráfica para uma melhor descrição do real, facilitando as aplicações em matemática e em outras áreas do conhecimento. Efetuar o estudo das propriedades das funções reais de variável real através do estudo analítico e aos gráficos das funções algébricas racionais inteiras e fracionárias, nomeadamente, o estudo das funções polinomiais e fracionárias de referência e da função valor absoluto. Estabelecer intuitivamente a noção de limite de uma função num ponto para estudar o comportamento gráfico e assimptótico das funções racionais de referência. Promover a capacidade algébrica para a resolução de equações e inequações de grau superior ao segundo ou que envolvam números reais. No segundo ano do programa curricular (11.º ano) pretende-se: Unidade Temática 4 Sucessões Analisar padrões e regularidades, abordando problemas históricos que ajudem a estabelecer o conceito de sucessão, estudando particularmente sucessões limitadas e convergentes. Estabelecer os conceitos de progressões aritméticas e geométricas. Determinar a soma dos n termos de uma progressão. Estabelecer a noção intuitiva de infinitésimo e infinitamente grande, através do limite de uma sucessão Unidade Temática 5 Trigonometria Aplicar a trigonometria às Ciências Físicas, à Tecnologia e a outros campos do saber. Tendo sido considerada como medida de triângulos, a trigonometria desenvolveu-se como uma Ciência independente da noção de medida. O estudo de funções trigonométricas, associando a cada amplitude de ângulo um número real, é parte integrante do estudo das funções periódicas. Unidade Temática 6 Funções e Limites Estudar as propriedades gráficas e analíticas das funções de crescimento, designadamente, funções exponenciais e logarítmicas. Caracterização do limite de uma sucessão natural e definir limite de uma função num ponto. Fazer a interpretação gráfica e analítica do conceito de limite e da continuidade de uma função em qualquer ponto de acumulação do seu domínio. Relacionar o conceito de continuidade com a convergência de sucessões e funções limitadas. No terceiro ano do programa curricular (12.º ano) pretende-se: Unidade Temática 7 Cálculo Diferencial e Integral Desenvolver o conceito de derivada e primitiva de uma função. As derivadas desempenham um papel central em análise matemática ao serem usadas para descrever relações de vizinhança num lugar geométrico ou, na otimização de soluções através da pesquisa de máximos e mínimos de uma função de variável real, com inúmeras aplicações nos mais diversos domínios. Saber utilizar corretamente as regras da derivação e por meio delas aprofundar o estudo das funções reais de variável real. Compreender o modo de utilização do cálculo integral na sua aplicação ao cálculo de comprimentos, áreas e volumes, e saber aplicar algumas destas técnicas. [12]

13 Unidade Temática 8 Cónicas Estudar conjuntos particulares de pontos no plano satisfazendo determinadas condições. Esses conjuntos de pontos, elipse, hipérbole e parábola são secções planas de superfícies cónicas de revolução. Fazer o estudo analítico das cónicas, como conjunto de pontos satisfazendo determinadas condições, num determinado referencial cartesiano ortonormado, procurando equações cujos conjuntos solução correspondam àqueles conjuntos de pontos. Definir as equações reduzidas das cónicas com eixo de simetrias paralelos aos eixos coordenados e a identificação de uma cónica quando dada por uma equação do segundo grau nas variáveis x e y. Resolver problemas de prova envolvendo a excentricidade da elipse e da hipérbole Unidade Temática 9 Organização e Tratamento de Dados Estudar casos de incerteza e interpretar previsões baseadas nessas incertezas, o tema das Probabilidades constitui um contexto para a abordagem de uma axiomática, uma das formas de organizar uma teoria matemática, permitindo que os jovens tenham uma melhor compreensão do que é a atividade demonstrativa em Matemática. Representar e tratar dados recolhidos para dai tirar conclusões numa análise crítica e consciente dos limites do processo de matematização das situações; abordar a análise dos dados, procurando tirar conclusões e tomar decisões para um conjunto mais abrangente do conjunto do qual se retiraram os dados; melhorar a capacidade dos alunos para avaliar afirmações de caráter estatístico fornecendo-lhes ferramentas apropriadas para rejeitar informações em que a interpretação dos dados ou a realização da amostragem não tenha sido correta; Calcular estimativas pontuais através de diferentes métodos; Identificar e classificar estimadores. Compreender o Teorema do Limite Central; Identificar modelos de distribuições: Normal, Binomial e de Poisson. [13]

14 PROGRAMA DA DISCIPLINA MATEMÁTICA 10.º ANO DE ESCOLARIDADE 4.1 Unidade Temática 1: Números e Álgebra Os inevitáveis problemas das transições entre ciclos tornam necessário pensar no 10.º ano como a primeira unidade temática na qual as estratégias de recuperação e de acompanhamento devem ter uma grande relevância. Nesse sentido, nesta unidade temática inicial, incluem-se conceitos prévios considerados essenciais e estruturantes, os quais deverão ser trabalhados com os alunos. A abordagem escolhida permitirá detetar as dificuldades e deficiências na formação de base e acertar diferentes estratégias de remediação. Subtema 1: Ampliar o conceito de número O desenvolvimento do conceito de número ao longo dos tempos Os números reais Aperfeiçoar o cálculo em IR Operações com potências Notação científica Propriedades dos radicais Identifica as vantagens e desvantagens de diferentes sistemas de numeração; Identifica os números irracionais; Constrói a reta real; Realiza operações com números reais; Arredonda números decimais, seguindo diferentes regras; Identifica o erro cometido quando realiza um arredondamento; Realiza operações com potências; Utiliza as propriedades das potências na resolução de problemas; Escreve um número dado em notação científica; Realiza operações com números escritos em notação científica; Compreende a noção de raiz índice n de um número real; Realiza operações com radicais; Racionaliza o denominador de uma fração. Realizar exercícios com números irracionais. Realizar uma pequena investigação sobre a evolução histórica do número π e redigir um pequeno relatório. Realizar operações com números reais. Representar as dízimas infinitas periódicas em forma de fração. Arredondar números dados, indicando o erro cometido. Resolver exercícios usando as regras das potências. Escrever um número dado usando notação científica. Realizar operações com números em notação científica. Realizar operações com radicais. [14]

15 Subtema 2: Equações e Inequações Condições Conjunto solução de uma condição Equações de grau superior ao primeiro Inequações Equações e Inequações com módulos Determina o conjunto solução de uma condição; Resolve equações do segundo grau; Resolve equações de grau superior usando a factorização e a lei de anulamento do produto; Resolve equações biquadradas; Resolve inequações; Identifica soluções de uma inequação; Resolve equações e inequações com módulos; Resolve problemas usando os conceitos adquiridos no ensino pré secundário. Identificar o domínio de validade de uma condição. Resolução do problema da Idade de Diophanto. Resolver equações do segundo grau. Enunciar um problema geométrico que dê origem a uma resolução algébrica do problema usando equações de grau superior ao primeiro. Encontrar o conjunto solução de uma inequação. Verificar se um valor dado é ou não solução de uma inequação. Subtema 3: Sistemas de Equações Sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas: Método de substituição Método de redução Regra de Cramer Interpretação gráfica da resolução de um sistema Classificação dos sistemas de equações quanto as suas soluções Sistemas de três equações lineares com três incógnitas Aplica os diferentes métodos na resolução de problemas; Resolve sistemas de duas equações; Identifica o método mais adequado e conveniente para a resolução do problema; Representa graficamente o sistema e interpreta a representação; Classifica os sistemas tomando em consideração a sua solução; Resolve sistemas de três equações lineares com três incógnitas. Resolver um sistema de duas incógnitas e duas equações lineares dado. Colocar um problema e encontrar a sua solução construindo um sistema de equações. Representar graficamente as retas que fazem parte do sistema de equações. Classificar os sistemas quanto as suas soluções. Exercícios com sistemas de três incógnitas e três equações lineares. [15]

16 4.2 Unidade Temática 2: Geometria Analítica A Geometria Analítica no plano ou no espaço adquiriu um estatuto privilegiado, quer pelo facto de permitir integrar os métodos geométricos, algébricos e analíticos, quer pelas possibilidades de enriquecimento. Nesta unidade temática estabelece-se uma correspondência biunívoca, fixando um referencial, entre o conjunto de pontos do plano e IR 2, e entre o conjunto de pontos do espaço e IR 3. Isto permite traduzir a linguagem da Geometria na linguagem da Análise, podendo as figuras geométricas ser descritas através de condições (equações ou inequações). Não é possível falar em Geometria Analítica sem recordar René Descartes ( ) e Pierre de Fermat ( ). Porém, é talvez pelo facto de Descartes ter uma visão mais ampla a respeito da generalidade dos problemas, que está o seu nome, mais do que o de Fermat, ligado à génese da Geometria Analítica a ponto de se utilizarem designações como, por exemplo, geometria cartesiana, coordenadas cartesianas (Descartes em Latim escreve-se Cartesius). A introdução à Geometria Analítica Plana, no presente programa, faz-se utilizando o Cálculo Vetorial. É fundamental neste sub-tema estabelecer-se ligação com as ciências experimentais, em particular com a Física. O ensino da Geometria desenvolve no aluno capacidades para explorar, conjeturar, raciocinar logicamente, formular e resolver problemas abstratos. Subtema 1: Cálculo vetorial Equipolência de segmentos de reta orientados: noção de vetor Soma de um ponto com um vetor Diferença de dois pontos Adição de vetores. Propriedades Produto de um nº real por um vetor Vetores aplicados e vetores livres Vetores colineares. Ângulo de dois vetores Referenciais. Correspondência entre plano e IR 2 Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta Distância entre dois pontos. Definição e propriedades Noção de base. Componentes e coordenadas dum vetor relativamente a uma base. Norma de um vetor Identifica segmentos de reta orientados com o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido; Representa geometricamente a soma de um ponto com um vetor dado; Determina o vetor soma; Aplica propriedades da adição de vetores; Determina um vetor colinear a outro vetor; Aplica propriedades relativas à multiplicação dum nº real por um vetor; Identifica vetor aplicado e vetor livre; Determina o ângulo de dois vetores; Determina vetores colineares a um determinado vetor; Identifica as componentes de um vetor relativamente a uma base; Determina, numa determinada base, as normas de vetores; Estabelece uma correspondência biunívoca, fixando um referencial, entre o conjunto de pontos do plano e R2 ; Calcula as coordenadas do ponto médio de um segmento; Calcula a distância entre dois pontos, quer no plano quer no espaço; Determina o produto interno ou escalar, entre dois vetores; Analisar situações ligadas à vida quotidiana, à Física e à própria Matemática. Realizar exercícios de aplicação sobre operações com vetores. Explorar as propriedades da adição vetorial, no contexto de transformações no plano. Realizar exercícios de aplicação dos seguintes conteúdos, vetores colineares e ângulo de dois vetores. Resolver problemas de prova, envolvendo as noções de co linearidade e de base. Determinar, relativamente a uma base, a norma de vetores. Determinar, num referencial, a soma de um ponto com vetor. Representar pontos, num referencial cartesiano, e determinar o ponto médio de um segmento indicado. Determinar a distância entre dois pontos, contemplar [16]

17 Projeção ortogonal de um vetor sobre outro vetor Expressão do produto interno de dois vetores, numa base ortonormada Aplicação do estudo do produto interno à demonstração de propriedades elementares da geometria plana Determina as coordenadas de um vetor, conhecido o seu produto interno com outro vetor dado; Representa a projeção ortogonal de um vetor sobre outro; Prova, segundo uma abordagem vetorial, resultados geométricos abordados anteriormente (por exemplo, num triângulo retângulo a altura é meio proporcional entre os segmentos que determina na hipotenusa; um quadrilátero é um paralelogramo se e só se as diagonais se bissetam). diferentes casos (os dois pontos situados em retas paralelas aos eixos e situados em retas não paralelas aos eixos). Realizar exercícios de aplicação. Aplicar o produto interno à resolução de problemas. Resolver problemas métricos utilizando o produto interno de vetores. Subtema 2: Reta e Circunferência Estudo da reta Retas paralelas aos eixos coordenados. Co linearidade de três pontos Retas perpendiculares e retas paralelas Interseção de duas retas; discussão de um sistema de duas equações com duas incógnitas Semirreta e segmento de reta Mediatriz de um segmento de reta e plano mediador Pé da perpendicular Distância dum ponto a uma reta Circunferência de centro e raio dados. Circulo Posições relativas de retas e circunferências Define analiticamente uma reta dado um ponto e o vetor diretor; Determina a equação reduzida de uma reta dados dois pontos; Determina a equação de retas paralelas aos eixos de coordenados; Representa graficamente uma reta que passa num ponto e tem declive dado; Determina a ordenada na origem na equação reduzida de uma reta, sabendo que passa por determinado ponto; Determina a equação de uma reta perpendicular/paralela a uma reta dada e que passa por determinado ponto; Resolve sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas, indicando a posição relativa das retas definidas analiticamente pelas respetivas equações; Determina a equação da mediatriz de determinado segmento de reta; Resolve problemas de aplicação da mediatriz de um segmento de reta; Determina o pé da perpendicular traçada de um ponto para uma reta; Determina a distância dum ponto a uma reta; Determina equações cartesianas da circunferência, dados os centros e raios ou, dados três pontos da circunferência; Escreve a condição que define círculo de centro e raio dados, por analogia com a condição que define uma circunferência; Resolve um sistema com uma equação do 1º grau e outra do 2º grau. Realizar tarefas de natureza exploratória para que o aluno deduza propriedades de figuras geométricas, triângulos e quadriláteros, usando vetores. Realizar representações geométricas de modo a tirar proveito da visualização da situação e desenvolver a capacidade de representação. Resolver sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas. Resolver problemas de prova. Realizar exercícios de aplicação do conceito de mediatriz de um segmento de reta. Realizar tarefas de natureza exploratória. Realizar tarefas de investigação. Realizar construções geométricas, envolvendo Reta e circunferência. Resolver sistemas de duas equações, uma equação do 1º grau e outra do 2º grau, ambas com duas incógnitas. [17]

18 4.3 Unidade Temática 3: Gráficos e Funções Os conhecimentos sobre funções são indispensáveis para a compreensão do mundo em que vivemos. A abordagem do conceito de função é unificador em toda a matemática, porque ajuda a compreender melhor as relações entre os fenómenos e a sua interpretação através de modelos adequados. As funções são utilizadas para relacionar variáveis da física, da economia, da geografia ou de outras áreas do saber e, de um modo geral, em todos os ramos da matemática, como operações algébricas com números, transformações sobre os pontos no plano ou no espaço, interseção e reunião de pares de conjuntos, modelação, etc.. Um dos principais objetivos desta unidade é ampliar o conceito de função real de variável real, com base no estudo gráfico e analítico das suas propriedades gerais, incluindo tecnologia gráfica. A exploração das funções racionais inteiras e fracionárias, concretamente as funções afim, quadrática e cúbica, e intuitivamente, de funções polinomiais de grau superior a três, da função valor absoluto, função inverso ou outras definidas em partes do domínio por expressões polinomiais e racionais, ajudará a estabelecer propriedades válidas para outros tipos de funções e a modelação matemática. O outro objetivo visa o desenvolvimento das competências matemáticas de resolução de problemas e na compreensão de fenómenos da realidade, retirados do contexto étnico e da vida dos alunos, ao nível profissional e das outras áreas disciplinares. Nestas situações serão analisados modelos matemáticos progressivamente mais complexos, que envolvem as relações e propriedades da família das funções reais de variável real. Cada aluno deverá obter uma experiência direta de traçado e de análise de gráficos de famílias de funções com recurso às transformações geométricas simples, em papel apropriado ou a partir da utilização das tecnologias, a fim de poder descobrir propriedades e observar o efeito da alteração de cada um dos parâmetros presentes na expressão analítica que caracteriza cada uma das funções em estudo. Os alunos são encorajados a efetuarem registos detalhados do que observam, a procurar razões justificativas das leituras que efetuam e a relacionar a representação gráfica com a expressão analítica a fim de ligarem a álgebra e o cálculo algébrico ao estudo das funções. Subtema 1: Generalidades sobre funções reais de variável real Relações entre variáveis. Noção de função real de variável real Generalidades sobre funções reais de variável real Estudo intuitivo das propriedades gráficas e algébricas Identifica uma função de uma variável como um modelo matemático; Analisa gráficos de funções reais, reconhecendo e atribuindo significado a: domínio, contradomínio, estudo da variação de sinal, intervalos de monotonia, continuidade, simetrias, paridade e pontos notáveis, interseção com os eixos coordenados, extremos(relativos e absolutos); Determina a soma, diferença, produto, quociente, composição e inversa de funções reais;. Analisa os efeitos das mudanças de parâmetros nos gráficos de famílias de funções (considerando transformações gráficas simples e a variação para cada parâmetro separadamente. Analisar e discutir gráficos que traduzam aspetos de quotidiano. Identificar e caracterizar, nas funções, quais são as variáveis dependentes e independentes, pesquisar o domínio, contradomínio, variação de sinal monotonia, extremos, pontos notáveis, aspeto gráfico, etc.. Realizar tarefas de natureza exploratória que envolvam funções com que relacionam distâncias, tempo, espaço percorrido, posição. Utilizar as transformações geométricas simples (deslocação vertical, deslocação horizontal e mudança de forma) e respetivas mudanças dos valores dos parâmetros no estudo de famílias de funções do tipo: f(x)+a; f(x+a); af(x) f(ax); f(x); f( x ), air. [18]

19 Subtema 2: Funções polinomiais e racionais Generalidades sobre polinómios Operações elementares com polinómios Decomposição fatorial de um polinómio Estudo das propriedades gráficas e analíticas da família de funções polinomiais: Grau 1: Função afim e linear Grau 2: Função quadrática Grau 3: Função cúbica Estudo intuitivo de outras funções polinomiais (Grau >3) e de funções definidas por ramos ou modulares Divisão de polinómios Frações algébricas. Propriedades Estudo das propriedades da função de proporcionalidade inversa Estudo intuitivo das propriedades gráficas e analíticas de funções racionais Efetua operações com polinómios. Decompõe polinómios em fatores; Esboça o gráfico de uma função pertencente à família das funções polinomiais de referência; Estabelece as propriedades gráficas e analíticas da função de proporcionalidade direta; Estabelece as propriedades gráficas e analíticas da função quadrática; Reconhece as propriedades gráficas de funções polinomiais de grau não superior a 3 e de algumas funções modulares; Estabelece as propriedades gráficas e analíticas da função inverso (Proporcionalidade inversa); Reconhece as propriedades gráficas e analíticas de algumas funções racionais de referência; Resolve problemas da realidade, nomeadamente de modelação, envolvendo funções algébricas racionais simples. Relacionar a representação gráfica com a expressão analítica das funções. Realizar pequenas investigações acerca das propriedades gráficas e analíticas das funções polinomiais e racionais de referência e de funções modulares. Caracterização do aspeto geral do gráfico, simetrias, variações e continuidade e comportamento quando a variável independente se aproxima de + ou de -, as semelhanças e as diferenças entre os gráficos, os efeitos dos parâmetros na variação dos domínios, dos contradomínios, máximos, mínimos, zeros, etc. Resolver equações e inequações reais em problemas que envolvem as funções racionais inteiras e fracionárias, utilizando a calculadora gráfica ou o computador. [19] MATEMÁTICA 10.º ANO

20 PROGRAMA DA DISCIPLINA MATEMÁTICA 11.º ANO DE ESCOLARIDADE 5.1 Unidade Temática 4: Sucessões A resolução de problemas permite chegar ao conceito de sucessão, aceder à compreensão de propriedades importantes de sucessões particulares e especialmente úteis, bem como à necessidade de elaboração de representações formalizadas. O estudo das sucessões permite também, o desenvolvimento das capacidades de comunicação (oral e escrita). As propriedades das progressões e outras sucessões definidas por recorrência fortalecem e colaboram na aprendizagem e aplicação do método de indução Matemática. As sucessões surgem como uma forma de organizar possíveis resoluções para situações problemas que são apresentadas, com base em aspetos da realidade (social) ou em aspetos do estudo das diversas ciências. O estudo das sucessões pode e deve servir para evidenciar conexões entre a Matemática e as outras disciplinas. Subtema 1: Sucessões Definição de sucessão Formas de definir uma sucessão Representação gráfica de uma sucessão Sucessões monótonas Sucessões limitadas Progressões geométricas Progressões aritméticas Método de indução matemática Identifica sucessões de números reais; Reconhece a sucessão de Fibonacci; Define sucessões de números reais; Verifica se um número real é termo de uma sucessão; Representa graficamente uma sucessão; Verifica gráfica e analiticamente se uma sucessão é crescente ou se uma sucessão é decrescente; Identifica sucessões monótonas; Indica os majorantes e minorantes de um conjunto de números reais; Identifica o supremo e o ínfimo de um conjunto de números reais; Verifica se uma sucessão é majorada e(ou) minorada gráfica e analiticamente; Identifica se uma sucessão é limitada; Identifica se uma progressão é aritmética ou geométrica; Abordar os problemas históricos no âmbito das sucessões. Encontrar padrões e regularidades em conjuntos de números. Realizar exercícios onde se definam sucessões usando o seu termo geral ou por recorrência. Representar graficamente sucessões. Identificar gráfica e analiticamente sucessões monótonas. Resolver exercícios utilizando o conceito de sucessões limitadas. Comparar progressões aritméticas e geométricas e identificar as suas diferenças. Resolver exercícios para obter o termo geral de uma progressão. Resolver problemas usando sucessões e progressões. Demonstrar propriedades usando o método de indução. [20]

21 Determina a razão de uma progressão; Obtém o termo geral de uma progressão; Relaciona a monotonia de uma progressão com a razão da progressão; Calcula a soma dos n termos consecutivos de uma progressão; Aplica os conceitos de sucessão e progressão na resolução de problemas; Utiliza o método de indução matemática como ferramenta na demonstração de propriedades; Subtema 2: Limites infinitos Sucessões e Infinito Infinitamente grandes Infinitésimos Sucessões convergentes Noção de limite. Unicidade do limite Critérios de convergência das sucessões monótonas Estabelecer a soma de todos os termos de uma progressão geométrica Sucessão(1 + 1 n )n e primeira definição do número de Neper Verifica gráfica e analiticamente se uma sucessão é um infinitamente grande; Verifica gráfica e analiticamente se uma sucessão é um infinitésimo; Verifica que o inverso de um infinitamente grande é um infinitésimo e vice-versa; Verifica gráfica e analiticamente se um dado número é ou não limite de uma sucessão; Identifica sucessões convergentes e divergentes; Determina o limite de uma sucessão; Utiliza adequadamente os critérios de convergência; Calcula a soma de todos os termos de uma progressão geométrica; Identifica o Número de Neper como o valor do limite da sucessão (1 + 1 n )n quando n +. Resolver exercícios identificando infinitamente grandes negativos e(ou) positivos assim como infinitésimos. Analisar graficamente a existência de limite. Resolver exercícios para determinar a convergência ou não das sucessões dadas. Encontrar o limite de uma sucessão dada. Resolução de exercícios usando os critérios de convergência. Determinar a soma de todos os termos de uma progressão geométrica. Resolver problemas envolvendo a soma de todos os termos de uma progressão geométrica. Calcular limites envolvendo o número de Neper. [21]

22 5.2 Unidade Temática 5: Trigonometria Para o prosseguimento do estudo da Análise é necessário ampliar o conceito de ângulo que passa a ser encarado como gerado por uma semirreta em movimento (sentido positivo ou negativo). Estudam-se no círculo trigonométrico as relações trigonométricas fundamentais. Amplia-se o estudo das funções às funções trigonométricas. Subtema 1: Generalização da noção de ângulo e de arco- Medidas Generalização da noção de ângulo Medida de ângulos. Passagem de um sistema de unidades para outro Expressão geral das medidas dos ângulos que têm o mesmo lado origem e o mesmo lado extremidade Generalização da noção de arco Medida dos arcos. Expressão geral das medidas dos arcos que têm a mesma origem e a mesma extremidade Resolve problemas de triângulos retângulos; Converte unidades entre sistemas (sexagesimal e circular); Determina os ângulos compreendidos entre determinado intervalo, sabendo uma das determinações (Atender a que a expressão geral dos ângulos que têm os mesmos lados que o ângulo α α + k360); Determina a medida de um ângulo ao centro, de um círculo de raio dado, conhecido o arco. Resolver problemas ligados a situações concretas onde se apliquem métodos trigonométricos (problemas ligados a sólidos, à navegação, à topografia e problemas históricos) para que os alunos se apercebam da importância da trigonometria para as várias Ciências. Referir alguns instrumentos com que se medem ângulos (O sextante, o Quadrante, o instrumento de sombras de Pedro Nunes). Propor uma tarefa de construção. Por exemplo, como construir um instrumento de sombras e medir a altura do sol. Resolver exercícios e problemas envolvendo medidas de ângulos e de arcos. Subtema 2: Relações trigonométricas Relações trigonométricas fundamentais: seno, co-seno, tangente, co-tangente Fórmula fundamental da trigonometria Determina o valor de uma função trigonométrica de um ângulo, dado o valor de outra; Resolve equações trigonométricas redutíveis a equações dos tipos: sen x = k; cos x = k; tg x = k, (k constante); Simplificar expressões trigonométricas (interpretação do círculo trigonométrico). Resolver equações trigonométricas simples do tipo: sen (kx) = sen α, cos (kx + a) = cos α, tg(kx) = tg α. Estabelecer as relações entre o seno, o co-seno, a [22]

23 Ângulos associados Razões de ângulos suplementares Razões que diferem de π radianos Razões de ângulos simétricos Redução ao 1º quadrante Razões de ângulos complementares Equações redutíveis ao tipo: sen x = k; cos x = k; tg x = k (k constante) Determina o valor de uma relação trigonométrica de um ângulo, dado o valor de outra; Resolve equações redutíveis a equações dos tipos: sen x = k ; cos x = k; tg x = k (k constante). tangente e a co-tangente do mesmo ângulo. Recorrer ao círculo trigonométrico para observação de relações entre as funções circulares. Subtema 3: Funções circulares diretas. Generalidades Funções periódicas Funções circulares dos ângulos notáveis. Uso de tabelas Definição das funções circulares: y = sen x, y= cos x, y= tg x e y= cotg x Representação gráfica das funções circulares Estudo intuitivo das propriedades das funções circulares. Variação e monotonia Modelação e trigonometria Identifica funções circulares como modelos de fenómenos periódicos do mundo real; Representa graficamente as funções circulares; Conhece propriedades gráficas e analíticas das funções circulares; Utiliza as funções circulares na modelação de situações reais. Estudo intuitivo das funções circulares a partir de gráficos ou da calculadora: domínio, contradomínio, período, pontos notáveis, monotonia, continuidade, extremos relativos e absolutos, simetrias em relação ao eixo dos yy e à origem, assimptotas e comportamento nos ramos infinitos. Indicar sinal, monotonia, paridade, periocidade de uma função circular. Aplicar as propriedades das funções circulares na modelação de situações reais e na resolução de problemas de distâncias. 5.3 Unidade Temática 6: Funções e Limites Estudar as propriedades gráficas e analíticas dos modelos de crescimento populacionais, designadamente, as funções exponenciais e logarítmicas. Caracterização do limite de uma sucessão natural e definir limite de uma função num ponto. Fazer a interpretação gráfica e analítica do conceito de limite e da continuidade de uma função em qualquer ponto de acumulação do seu domínio. Relacionar o conceito de continuidade com a convergência de sucessões e funções limitadas. Nesta unidade temática, os alunos alargam o seu conceito de função real de variável real às funções de crescimento (exponenciais e logarítmicas), tomando contacto com algumas das suas propriedades gráficas e analíticas, de modo a ficarem capazes de escolher, para cada situação concreta, um modelo funcional mais adequado. As aplicações e as atividades de modelação matemática constituem a forma de trabalho a privilegiar para a construção de todos os conceitos e [23]