O NÚMERO Φ * RESUMO. Melissa da Silva Rodrigues. Marcos Antônio da Câmara

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1 O NÚMERO Φ * Marcos Atôio da Câmara Melissa da Silva Rodrigues Uiversidade Federal de Uberlâdia Av. João Naves de Ávila, Campus Sata Môica Uberlâdia MG Faculdade de Matemática VIII Curso de Especialização em Matemática RESUMO + Neste trabalho apresetaremos o úmero Φ, em que Φ, , suas propriedades e eemplos de ode podemos ecotrá-lo. Cohecido como úmero de ouro, teve a sua origem através da divisão de um segmeto proposto por Euclides, o qual estaria dividido a razão etrema e média. A divisão de um todo em partes desiguais de acordo com a razão etrema e média parece produzir um equilíbrio a desigualdade, proporcioado uma harmoia de forma geral. Esta era a opiião de Leoardo da Vici e da maior parte dos artistas e sábios do Reascimeto. Os pitagóricos estudaram as relações etre os segmetos de um petagrama e descobriram que este úmero tem muita importâcia a sua geometria. Em arquitetura é útil para eteder a escala de medidas utilizadas em ergoomia que foi idealizada pelo arquiteto Le Corbusier em seus projetos. Até mesmo a atureza podemos ecotrar esta harmoia, como a disposição das pétalas das rosas, o crescimeto das cochas do autilus, as obras de grades pitores e até mesmo a música. Em termos gerais, a Razão Áurea foi usada para que trouesse a beleza visual ou auditiva. Palavras Chave: Razão áurea, úmero phi, Fiboacci * Moografia apresetada por Melissa da Silva Rodrigues à Faculdade de Matemática em 09 de Abril de 008, como requisito parcial para a obteção do título de Especialista em Matemática. Professor orietador (Tutor do PETMAT):

2 INTRODUÇÃO Este trabalho tem o objetivo de mostrar que a matemática está presete em osso meio através de uma simples razão, e faremos isto por meio de um úmero cohecido como o úmero de ouro, o úmero Φ (phi). Este é muito querido pelos matemáticos, astrôomos, físicos, biólogos, artistas que há aos o estudam, e ficam fasciados com cada descoberta, e a sua ifluêcia a arte, a arquitetura, a música, a geometria, a atureza e outros. Apresetaremos além do úmero de ouro, a seqüêcia de Fiboacci que iterage pleamete com o úmero Φ, e suas propriedades e aplicações. Aalisado a cocha do áutilo (autilus pompilius), por sial de magífica beleza, a disposição das folhas os ramos das platas, ou seja, a filotaia, o petagrama que aparece a maioria das flores e até mesmo em frutos como a maçã se cortada pela sua circuferêcia, os quadros como A Moa Lisa e Sacrameto da Última Ceia, a procriação dos coelhos, a harmoia das otas musicais, e muitos outros, podemos observar que eiste algo em comum, A Razão Áurea. Grades matemáticos como Euclides e Pitágoras, a Grécia Atiga, Leoardo de Pisa também cohecido como Fiboacci, o astrôomo Johaes Kepler, detre outros estudiosos, até mesmo o físico Roger Perose, trabalharam itesamete com esta simples razão e suas propriedades. De fato, a Razão Áurea tem fasciado os estudiosos em todas as disciplias e suas áreas, e tem mostrado que esta propriedade, a proporção, traz harmoia, atração visual e auditiva, ou seja, mostra a busca costate pela proporção perfeita, dado uma qualidade estética agradável às obras dos artistas, ao som dos acordes dos músicos e à beleza da atureza.

3 CAPÍTULO I O NÚMERO DE OURO A razão áurea, também cohecida como o úmero de ouro, teve a sua primeira defiição, por volta de 300 a.c., dada por Euclides de Aleadria. Euclides defiiu uma proporção derivada da divisão de um segmeto o que ele chamou de razão etrema e média. Assim defiiu: Diz-se que uma liha reta é cortada a razão etrema e média quado, assim como a liha toda está para o maior segmeto, o maior segmeto está para o meor. De acordo com a figura acima, o segmeto AB é maior que o segmeto AC e ao mesmo tempo o segmeto AC é maior que o segmeto CB. Usado a defiição de razão etrema e média, teremos que a razão dos comprimetos de AB por AC é igual a razão dos AB AC comprimetos de AC por CB, ou seja,. AC CB O símbolo usado a pricípio para essa razão era a letra grega τ (tau) que sigifica o corte, etretato, o iício do século XX o matemático Mark Barr deu à razão o ome de Fi ( Φ ), devido a ser a primeira letra grega do ome de Fídias, um escultor grego que viveu etre 490 e 430 a.c, que realizou o Parteo de Ateas e Zeus, o templo de Olímpia. Para ecotrarmos o valor para Φ, tomaremos o segmeto AC e CB. Desta forma, usado a defiição de razão etrema e média, teremos: + 0 Observado que AC Φ, a solução da equação quadrática acima os dará o valor BC + ', e para Φ. As duas soluções para a equação são... '' 0, A solução positiva desta equação é a Razão Áurea, deomiada por Φ e a solução egativa será deomiada por ϕ. Elevado Φ ao quadrado teremos Φ, e o seu iverso Φ 0, , isto é, ϕ. Φ Φ A Razão Áurea tem as propriedades úicas de produzir seu quadrado simplesmete somado e o seu recíproco subtraido. Além disso, temos que Φ + Φ e Φ Φ. Usado as propriedades das raízes da equação quadrática teremos o produto e a soma + 4 das raízes, etão, '. ''., ou seja, Φ. ϕ. Daí, temos que ϕ é o iverso de Φ e também que ' + '' +, ou seja, Φ + ϕ. O úmero Φ possui outras propriedades iteressates:

4 a) Somar duas potêcias iteiras cosecutivas de Φ resulta a próima potêcia de Φ. Já sabemos que Φ + Φ. Etão, segue que: Φ + Φ Φ.(+ Φ ) Φ. Φ Φ 3 ; Φ + Φ 3 Φ.(+ Φ ) Φ. Φ Φ 4 ; Φ 3 + Φ 4 Φ 3.(+ Φ ) Φ 3. Φ Φ ;... ; Φ + Φ + Φ.(+ Φ ) Φ. Φ Φ +. Logo, Φ + Φ + Φ +. b) O mesmo acotece com potêcias de epoete iteiro egativo. Já vimos que Φ + Φ - Φ - + Φ - Φ -.(+ Φ - ) Φ -. Φ Φ 0 ; Φ -3 + Φ - Φ -.(+ Φ - ) Φ -. Φ Φ - ; Φ -4 + Φ -3 Φ -3.(+ Φ - ) Φ -3. Φ Φ - ;... ; Φ + Φ + Φ.(+ Φ ) Φ. Φ Φ +. com < 0. Logo, Φ + Φ + Φ +, com < 0 c) A soma de todas as potêcias com epoetes iteiros egativos e base igual a Φ produz o próprio Φ. ( Φ - + Φ - ) + ( Φ -3 + Φ -4 ) + ( Φ - + Φ -6 ) +... Φ 0 + Φ - + Φ -4 + Φ Φ -..., + Φ - ( Φ 0 + Φ - + Φ ). Ode Ν. Cosiderado Φ 0 + Φ - + Φ Daí, + Φ. Φ Φ + Φ Φ + + Φ Φ Φ Φ Φ. Φ Φ Sedo Φ 0 + Φ - + Φ Φ, teremos a epressão: ( Φ - + Φ - ) + ( Φ -3 + Φ -4 ) + ( Φ - + Φ -6 ) +... Φ 0 + Φ - + Φ -4 + Φ Φ - ( Φ 0 + Φ - + Φ ) + Φ - Φ + Φ - Φ Logo, Φ - + Φ - + Φ -3 + Φ -4 + Φ - + Φ Φ Além destas propriedades iteressates, podemos dividir um segmeto a Secção Áurea, utilizado régua e compasso, da seguite maeira: º passo: Cosidere um segmeto AB dado. Trace um segmeto BD de modo que BD seja a metade de AB.

5 º passo: Trace o segmeto AD. Com cetro em D e raio de medida BD trace um arco e marque o poto de itersecção E com o segmeto AD. 3º passo: Com cetro em A e raio de medida AE, trace um arco cortado AB em C. Desta maeira, o segmeto AB está dividido a razão etrema e média, ou seja, a Razão Áurea. Podemos justificar esta costrução supodo que AB mede uma uidade de comprimeto e, coseqüetemete, BD é a metade desta uidade. Sabemos que AD é a hipoteusa deste triâgulo retâgulo ABD e usado o Teorema de Pitágoras teremos a sua medida. Segue que AD AB + BD, ou seja, AD + AD. 4

6 O poto E a hipoteusa é marcado de forma que DE teha o mesmo comprimeto que o lado DB, isto é, DE DB, etão, AE. Como AE AC temos AC 3 e, além disso, teremos que CB AC, ou seja, CB. AC Substituido os valores ecotrados a razão, CB teremos que AC + +, que é eatamete o valor de Φ. CB Podemos ecotrar a Razão Áurea de outras maeiras, por eemplo, ao determiar o valor da epressão Para determiar o valor desta epressão iremos cosiderar que o seu valor é igual a. Etão, temos que , e elevado os dois termos desta equação ao quadrado ecotramos Substituido por temos a equação + 0. Mas esta é eatamete a equação que defie a Razão Áurea, portato, cocluímos que como >, o valor de é igual a Φ. Outra maeira de represetar o úmero Φ, desta vez evolvedo fração, é através de fração cotíua. Cosidere a epressão +, e deotamos o seu valor por Assim, + e podemos otar que o deomiador da seguda parcela é o próprio, portato, temos a equação +. Multiplicado os dois lados por temos + 0. Novamete ecotramos a equação que defie a Razão Áurea. Logo, como a fração cotíua é maior do que, ela é igual a Φ.

7 CAPÍTULO II A RAZÃO ÁUREA E FIBONACCI Figura: Fiboacci Leoardo de Pisa asceu em Pisa a Toscâia por volta de 70. Também era cohecido por Leoardo Fiboacci (que sigifica filho de Boaccio), e em algus de seus mauscritos ele também era chamado de Leoardo Bigollo (ou Leoardi Bigolli Pisai), em que Bigollo sigifica viajate. Pisa, o século XII, era um dos grades cetros comerciais italiaos, tais como Gêova e Veeza. Tiha vários etrepostos comerciais espalhados pelos portos do Mediterrâeo, e por ali passavam mercadorias que viham do iterior e do ultramar, como as especiarias do Etremo Oriete que circulavam a camiho da Europa Ocidetal. O pai de Leoardo ocupou o lugar de chefe de um desses etrepostos, o orte da costa de África (Bugia, atualmete Bejaia a Argélia). Foi lá que Leoardo iiciou os seus estudos de matemática com professores islâmicos. Mais tarde viajou pelo Mediterrâeo (Egito, Síria, Grécia, Sicília, Proveça), o que muito cotribuiu para epadir seus cohecimetos matemáticos, ecotrado-se com estudiosos islâmicos em cada um dos locais que visitava e adquirido cohecimeto matemático do mudo árabe, tedo a oportuidade de estudar diferetes sistemas uméricos e métodos de operações aritméticas. E assim, dedicou os seus estudos aos úmeros ido-arábicos, que icluíam o pricípio do valor de lugar, que cosiderava um método superior a todos os outros. Isto depois de observar a grade dificuldade de epressar e operar úmeros em algarismos romaos ou através do ábaco. A partir daí, publicou seu livro Liber Abaci escrito em 0, que itroduziria o uso dos umerais ido-arábico, voltados para a vida comercial. Neste, Fiboacci eplica a tradução dos umerais romaos para o ovo sistema, bem como suas operações aritméticas, além de propor problemas comus ao seu dia a dia. Também apresetou a sucessão de úmeros que dele herdou o ome seqüêcia de Fiboacci, a qual cada termo resulta da adição dos dois termos que o atecedem origiado assim os úmeros 0; ; ; ; 3; ; 8; 3; ;..., os quais falaremos em seguida. Após esta obra, Fiboacci ficou famoso e teve um grade recohecimeto até mesmo do imperador romao Frederico II, cohecido como Maravilha do Mudo, por patrociar a matemática e a ciêcia, e foi covidado a comparecer diate do imperador em Pisa e solucioar algus problemas que até etão eram cosiderados difíceis pelos matemáticos da corte. Leoardo de Pisa resolveu todos os problemas propostos e mais tarde escolheu dois destes problemas e descreveu-os em um livro chamado Flos. Fote:

8 Em um livro sobre a geometria, Practica Geometriae, Fiboacci apreseta cálculos para a diagoal e a área de um petágoo, para os lados do decágoo e outros que idiretamete iteragem com a Razão Áurea, apresetado domíio sobre a geometria euclidiaa e epadido o uso das propriedades da Razão Áurea e de suas aplicações. Num destes estudos propôs um problema bastate cohecido, a procriação de coelhos. Problema: Supoha que um casal de coelhos recém-ascidos é colocado uma ilha, e que eles ão produzem descedetes até completarem dois meses de idade. Uma vez atigida esta idade, cada casal de coelhos produz eatamete um outro casal de coelhos por mês. Qual seria a população de coelhos a ilha após doze meses, supodo que ehum dos coelhos teha morrido e ão haja migração este período? Modelagem do Problema: Idicado um casal de coelhos pelo símbolo (, ) e a respectiva idade (0 recémascidos, um mês de idade, * pelo meos dois meses) acima e à direita do símbolo e o úmero de meses trascorridos, podemos represetar a evolução da população pela seguite tabela: População (, ) 0 (, ) 3 (, )* (, ) 0 4 (, )*(, ) (, ) 0 (, )* (, )* (, ) (, ) 0 (, ) 0 6 (, )*(, )*(, )*(, ) (, ) (, ) 0 (, ) 0 (, ) 0 7 (, )*(, )*(, )*(, )*(, )*(, ) (, ) (, ) (, ) 0 (, ) 0 (, ) 0 (, ) 0 (, ) 0 Tabela : represetação dos casais de coelhos por mês Como calcular a população o iício do 6º mês? Como ão há mortes, podemos iicialmete cotar com a população do º mês, e o próimo passo seria somar com o úmero de recém-ascidos. Este é eatamete o úmero de casais com pelo meos um mês o º mês, que é a população total do 4º mês. Deotado por F a população o ésimo mês, o argumeto acima produz a equação F 6 F + F4. Mas o raciocíio se aplica a qualquer mês, ou seja, toda a discussão pode ser refeita substituido-se 6º por ésimo, º por ( ) ésimo e 4º por ( ) ésimo. Etão podemos escrever a equação: F F + F para 3. Ao cotarmos o úmero de casais, teremos que F F. Logo, temos uma equação de recorrêcia a sua forma completa: F, F, F F + F para 3. Perceba que podemos defiir F 0 a partir de F F + F0 e codições iiciais, obtedo F 0 F F 0. Deste modo, podemos redefiir a relação de recorrêcia do seguite modo: F 0 0, F, F F F para. +

9 Resolução por Modelos Especiais: Veja que a seqüêcia de Fiboacci F + F, F3 0 F F F,, K é uma seqüêcia tal que F para N e ode F 0 e. Seqüêcias deste tipo são chamadas de recorretes e a equação acima de equação de recorrêcia. Temos que a fórmula geral da equação de recorrêcia de uma relação de recorrêcia com coeficietes C costates em uma variável é: i ( ) f C f + C f + L+ Ck f k + g. Observe que a equação de recorrêcia F F + F possui g ( ) 0, etão, esta relação de recorrêcia é homogêea e para podermos solucioá-la deveremos fazer a seguite associação: F α α α + α. α α α 0 α ( α α ) 0 α α 0 (equação característica). + Resolvedo a equação característica α α 0, obtemos α e α e, coseqüetemete, α α + α e α α + α. Mas, por outro lado, se uma fução F h( ) satisfaz uma determiada equação de recorrêcia liear homogêea, etão qualquer múltiplo desta fução também satisfaz esta equação. Para A e B costates reais, teremos: Aα Aα + Aα e Bα Bα + Bα Somado as igualdades temos: Aα + Bα Aα + Bα + Aα + Bα. Observe que Aα + Bα é uma solução da equação de recorrêcia F F + F, mas ão ecessariamete solução de uma relação de recorrêcia cuja parte da equação é F F + F, pois para cada cojuto de valores para as costates A e B temos uma seqüêcia diferete. Por outro lado, espera-se que apeas uma úica seqüêcia seja solução da relação de recorrêcia, daí etram em cea as codições iiciais F 0 0 e F, e etão: Para 0 F0 0 e A α 0 + Bα 0 0 Para F e A α + Bα A + B 0 Logo + A + B Cuja solução é A e B Obtemos etão a fórmula para Aα + B, ou seja, F + Resolução por Fuções Geradoras. F α para 0.

10 Cosideremos ovamete a seguite relação de recorrêcia: + F F F para N e, em que 0 0 F e F Multiplicado + F F F por chegamos a + F F F. Fazedo o somatório a partir de, teremos + + F F F F F. Fazedo u e v, temos + 0 v v v u u u F F F. Fazedo ( ) 0 F f, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) f F f F F f Substituido 0 0 F e F, vem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 f f f f f f f f + + Achado as raízes da equação 0 + temos que ±. Logo, ( ) Logo, ( ) + + B A f B A ( ) B A B A ( ) ( ) ) ( 0 ) ( II A B B A I B A

11 De (I ), temos que ( ) ( ) A A A A De (II ), temos que B Assim, ( ) + f e, cosequetemete, F F +, para 0. Esta epressão acima, é a fórmula redescoberta por Biet os meados do século XIX, já cohecida primeiramete o século XVIII, por Leoard Euler e Abraham de Moivre. Esta permite ecotrar o valor para qualquer úmero a seqüêcia de Fiboacci. Voltado ao problema dos coelhos, observe a figura : Figura : Distribuição dos casais de coelhos O úmero de casais de coelhos com o passar dos meses segue uma seqüêcia que é eatamete a de Fiboacci, assim, o úmero de pares total de coelhos é a soma desses úmeros da seqüêcia até o mês desejado, coforme a figura. A seqüêcia,,, 3,, 8, 3,, 34,, 89, 44, 33,..., a qual cada termo (a partir do terceiro) é igual à soma dos dois termos ateriores, foi chamada de Seqüêcia de Fiboacci o século XIX pelo matemático fracês Edouard Lucas. Mas, esta seqüêcia ão está limitada somete a este problema dos coelhos. Ela será ecotrada em diversos feômeos, como a óptica dos raios de luz ou ídice de refração de luz (figura 3), a árvore geealógica de um zagão (figura 4), detre outros. Fote: dispoível em

12 Figura 3: Refração da luz 3 Figura 4: Árvore geealógica de um zagão 4 Mas, o que mais chama a ateção é a relação da Seqüêcia de Fiboacci e a Razão Áurea. À medida que aumetamos os úmeros da seqüêcia de Fiboacci, a razão etre um úmero e o seu atecessor, varia em toro da Razão Áurea, cada vez mais aproimado do seu valor. Seja a posição do úmero a seqüêcia, F o úmero de Fiboacci e F + o seu sucessor, etão a razão F descoberta por Johaes Kepler em 6. Observe o gráfico (figura ): + se aproima de Φ quado aumeta. Esta propriedade foi F Figura : Covergêcia da razão etre os termos sucessivos de Fiboacci As razões vão se aproimado de um valor particular, quado tede a ifiito, e o seu limite é eatamete Φ, o úmero de ouro. Para melhor etedermos esta propriedade, cosidere a fração cotíua +, mostrada ateriormete, cujo valor é igual a Φ Fote: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um úmero surpreedete, ª ed., Rio de Jaeiro Record, 007, págia 9. 4 Fote: HUNTLEY, H. E., A divia proporção - Um esaio sobre a beleza a matemática, Editora UB, Brasília, 98, págia 6. Fote:

13 Nesta epressão, poderíamos calcular o valor de Φ por uma série de aproimações 3 sucessivas, da seguite maeira:, 00000, +, 00000, +, 0000, + +, , 8 +, , 3 +, 600, ,638 3, 34 +, E, assim por diate, cada vez mais se aproimado de Φ. Estas aproimações sucessivas que ecotramos para a Razão Áurea são eatamete iguais às razões etre os úmeros da seqüêcia de Fiboacci,,,, 3,, 8, 3,, 34,, , 44, 33,...,ou seja,,,,,,,,,...,,,68033,..., e à medida que avaçamos para os termos maiores da seqüêcia, a razão tede para o valor de Φ.

14 CAPÍTULO III O TRIÂNGULO ÁUREO, O PENTÁGONO E O PENTAGRAMA Cosidere o petágoo regular abaio, e a partir de um de seus vértices trace duas diagoais de modo que se obteha um triâgulo em que a base deste seja um dos lados do petágoo. Figura 6: Triagulo áureo 6 De acordo com a figura 6, temos três triâgulos isósceles, ABC, ACD e ADE. Além disso, os triâgulos ABC e ADE são cogruetes. A soma dos âgulos iteros de um polígoo é dada por S ( )80, em que é o úmero de lados do polígoo. Usado isto, teremos que a soma dos âgulos iteros de um petágoo é igual a 40, e por ser um petágoo regular todos os seus âgulos iteros são iguais, logo cada um será igual a 08. Além disso, m ( ADE ˆ ) m( EAˆ D) 36, m ( ACB ˆ ) m( CAˆ B) 36, m ( CAˆ D) 36 e m ( ACD ˆ ) m( ADˆ C) 7, observe a figura 7. Figura 7: Petágoo 7 6 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

15 Traçado a bissetriz do âgulo D, teremos um triâgulo como mostra a figura 8. Figura 8: Traçado a bissetriz do âgulo D 8 Seja F o poto de itersecção dessa bissetriz com o lado AC do triâgulo. Assim, DF é o segmeto de divide o âgulo D ao meio, de modo que m ( CDˆ F) 36, m ( CFD ˆ ) m( DCˆ F) 7. Logo, o triâgulo CDF é um triâgulo isósceles e também é semelhate ao triâgulo DAC (figura 8). Figura 9: Triâgulos semelhates 9 Usado as relações etre triâgulos semelhates quato aos seus lados homólogos de z y acordo com os dados forecidos a figura abaio, temos que:. Mas, podemos observar y que sedo z y + a medida do segmeto AC, y a medida do segmeto AF e a medida do 7 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II 8 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II 9 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

16 segmeto FC, teremos a seguite razão: AC AF AF FC, e desta forma dizemos que F divide o segmeto AC a etrema e média razão, ou seja, a Razão Áurea. Por isto, chamamos este triâgulo de Triâgulo Áureo. Figura 0: Triâgulos semelhates 0 Foi dito que o Triâgulo Áureo tem ligação com o petágoo porque Euclides, trezetos aos ates de Cristo, propuha em seus Elemetos, II Livro, Teorema, justamete o camiho iverso que dizia: costruir um petágoo regular a partir de um triâgulo isósceles usado a razão áurea para determiar os lados do triâgulo. Ou seja, Euclides sabia, e tomava como fato atural, que os lados de um triâgulo isósceles em que os âgulos iguais medem o dobro do terceiro estão a razão Áurea. Euclides propôs a costrução do petágoo regular a partir do Triâgulo Áureo. O primeiro passo é costruir uma circuferêcia que passe pelos três vértices do triâgulo (e o cetro da circuferêcia fica o poto de ecotro das mediatrizes do triâgulo), observe a figura. Figura : Costruido a circuferêcia 0 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

17 Agora, tracemos ão somete a bissetriz do âgulo esquerdo da base como também a do direito. E vamos prologá-las até que ecotrem a circuferêcia. Com isto, determiaremos mais dois potos sobre esta circuferêcia que, somados aos três correspodetes aos vértices de osso triâgulo, os dá os cico potos eibidos a figura. O arco AC é cogruete ao arco AD, pois m ( ADC ˆ ) m( ACˆ D) e também são o dobro do arco CD, pois a m ( ADC ˆ ) m( ACD ˆ ) m( CAˆ D). Figura : Costruido os vértices petágoo Podemos costatar que estes potos dividem a circuferêcia em cico arcos iguais, pois a bissetriz de qualquer âgulo iscrito em uma circuferêcia divide o arco oposto pela metade. Portato, estes potos são os vértices do petágoo, observe a figura 3. Figura 3: Costruido o petágoo 3 Na figura acima ecotramos dois petágoos regulares (um o cetro da figura, outro obtido uido-se os vértices situados sobre a circuferêcia), diversos triâgulos Áureos, um Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II 3 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

18 vasto cojuto de segmetos que matêm a proporção áurea e, o petagrama, a estrela de cico potas formada ao traçar as diagoais do petágoo. Figura 4: Petagrama 4 O petagrama é um dos símbolos mais atigos cultivados pela humaidade, muito usada pelos pitagóricos para se idetificar em suas seitas que muitas vezes eram secretas. Para eles tiha o sigificado de boa saúde e também cosiderado como símbolo a astrologia, misticismo e outras culturas, possuido diversos sigificados. Eplorado o petagrama, temos que EB AD, y + z, y z + w, de acordo y z com a figura. Através da semelhaça de triâgulos, teremos. y z w Na figura, temos Figura : Semelhaça dos triâgulos o petagrama y y z e, se provarmos que esta razão é a razão áurea, teremos etão um triâgulo áureo e, por coseqüêcia, o petagrama também estará a mesma razão. Seja t, com z + y. y z + y z y Temos que t y y t 4 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

19 Resulta que: + t, ou seja, t t 0 portato: t + t,68... Φ. Logo, a razão t é chamada de razão áurea, assim o segmeto AD está dividido em média e etrema razão. Assim, para y, temos que Φ. Na figura 6 teremos que, DC e AD Φ. Φ Deste modo, podemos obter se 8 e Φ se 4, que serão usados Φ Φ adiate. Figura 6: Petágoo e suas medidas 6 Quato ao petágoo (ciza) o iterior da figura, procedemos da mesma maeira que o petágoo ABCDE (vermelho), e detro dele há outro petagrama e assim sucessivamete. Observe a figura abaio. Figura 7: Petagramas 7 6 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

20 Traçado as diagoais do petágoo regular formado o cetro do petagrama, o resultado é um ovo petagrama, mostrado em vermelho. Depois, desehemos o triâgulo superior do petagrama maior as bissetrizes de seus âgulos da base, as lihas verdes e amarelas da figura 7. Em cada poto de ecotro da bissetriz com o lado etero, desehamos uma liha paralela ao lado do petágoo e assim sucessivamete traçam-se ovas bissetrizes, ifiitamete. Começado o petagrama itero, vamos uir os potos de cruzameto das bissetrizes com as etremidades das paralelas ao lado do petágoo, as lihas mostradas a cor rosa. Repetido o procedimeto ao logo de todo o petagrama, liha por liha, as demais potas da estrela, teremos um resultado que será parecido com a figura seguite, também cohecida por Estrela Pitagórica. Figura 8: Iteração etre petagramas 8 No petagrama ecotramos outros petagramas, triâgulos e petágoos. O úmero de cada um desses elemetos que pode ser ecotrado o iterior de um petagrama tede para o ifiito. Além disso, cada segmeto de reta da figura 8 matém uma relação Áurea com algum outro segmeto da mesma figura. Segudo a B. Piropo, coluista do Fórum PCs, o petagrama sob a forma de símbolo místico vem sedo cultivado pela humaidade há séculos, e cosiderado que Euclides atribuía um valor divio à razão Áurea, é fato que por coseqüêcia ele teha sido adotado como símbolo da comuidade pitagórica. 7 Fote: Colua do B.Piropo do Fórum PCs 8 Fote: Colua do B.Piropo do Fórum PCs

21 CAPÍTULO IV PROPRIEDADES NO PENTÁGONO ÁUREO O petágoo por ser farto em relação Áurea, possui diversas propriedades. Para mostrar estas propriedades vamos observar o petagrama seguite, cosiderado R e r como os raios das circuferêcias circuscritas aos petágoos A B C D E e PQRST, respectivamete, e PT com o comprimeto igual a uma uidade. I) A' P Φ As propriedades são: Figura 9: Petagrama ou triagulo triplo 9 Já sabemos que cada âgulo itero do petágoo é igual a 08. Na figura 0, o triâgulo A AP é retâgulo em A, A ' PA ˆ 7 e PAˆ' A 8. 9 Fote: HUNTLEY, H. E., A divia proporção - Um esaio sobre a beleza a matemática, Editora UB, Brasília, 98, págia 39

22 Φ Φ Figura 0: Propriedade I 0 Usado a relação trigoométrica o triâgulo retâgulo temos que se8. A' P A' P Dado que se 8, ver págia 3, e substituido a epressão acima, teremos Φ A' P Φ. A' P Φ Portato, podemos afirmar que A' P Φ. II) OA Φ r De acordo com a figura, temos que r OP. Usaremos o triâgulo POA para relacioar OA e OP. 0 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

23 Φ Φ Figura : Propriedade II OA Φ Assim, teremos que se 4, como se 4, ver págia 3, e substituido OP Φ OA este resultado e também OP a igualdade acima, teremos. r Portato, a propriedade é válida. III) OA' Φ r Observe que OA R e Φ, Φ +. Cosiderado os triâgulos A OT e A TS otamos que eles são semelhates. Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

24 Φ Φ Daí, cocluímos que r R. Φ + Figura : Propriedade III Substituido esta pelos dados acima teremos: r OA' OA' OA' rφ Φ. Φ r IV) Uma diagoal tal como QS tem comprimeto igual a Φ. As diagoais QS, SP, PR, RT e TQ são cogruetes. Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

25 Φ Φ Figura 3: Propriedade IV 3 Cosidere os triâgulos PRT e RQZ do petágoo PQRST. Estes são semelhates e por isto, podemos afirmar que Q RZ ˆ RZ ˆ Q 7. Portato, QR, PT e ST são cogruetes, pois são os lados do petágoo e pelo triâgulo isósceles TSZ temos que ST é cogruete a ZT. RT ZT Logo, e isto mostra que Z corta o segmeto RT a etrema e média razão. ZT RZ Iremos mostrar agora que RT é um segmeto áureo. Seja d a medida da diagoal RT e sabemos que ZT. RT ZT d Daí, d d 0. Esta equação os dá o valor de Φ. ZT RZ d + Resultado, d Φ. Está provado que a diagoal RT tem o comprimeto igual a Φ. Logo, QS também tem o comprimeto igual a Φ. OA' V) Φ OA Os triâgulos AQS e AOB são semelhates. 3 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

26 Φ Φ OB ' OA Daí, podemos afirmar que QS QA propriedade aterior) e QA é a metade de PQ. Figura 4: Propriedade V 4, e sabemos que OA OB R, QS Φ (pela OB ' OA Usado os dados forecidos a relação, teremos que QS QA OB' OA OB' OA' Φ, mas como OB OA, segue que Φ. Φ OA OA VI) Se X é o poto médio de itersecção de duas diagoais PR e QS, etão: SX PX B' X Φ, Φ e Φ. XQ XR XT Teremos que provar a veracidade das três razões. Primeira razão: SX Φ XQ É fato que SR SX, pois o triâgulo SRX é isósceles. 4 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

27 Φ Φ Figura : Propriedade VI (a) Observe a figura e ote que os triâgulos PRQ e QSR, e também PXQ e SXR são cogruetes, daí, PR QS e PX SX. Φ Φ Figura 6: Propriedade VI (b) 6 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II 6 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

28 Além disso, a figura 6, os triâgulos PSQ e XPQ são semelhates, etão: QS PQ Φ PX XQ PX XQ PX XQ Φ. Como PX XS, temos que SX Φ. XQ Φ Φ Figura 7: Propriedade VI (c) 7 Seguda razão: PX Φ XR Agora, cosiderado os triâgulos PRQ e QRX da figura 7, vemos que eles são semelhates. Portato, PQ PR. XR QR Mas, PX PQ. Daí, PX Φ Φ. XR 7 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

29 Terceira razão: B' X XT Φ Observe que os triâgulos PTB e QXB, a figura 8, são semelhates. Φ Φ Etão, B ' X B' Q Figura 8: Propriedade VI (d) 8 XT B' X B' Q. QP XT QP Dado que B' Q Φ e PQ, teremos que: B' X XT B' Q Φ Φ QP Portato, B' X XT Φ VII) Se SQ prologado ecotra A B em V, etão, uma vez que VS é paralelo a A D, B' V B' Q B' X B' S Φ. VA' QP XT SD' 8 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

30 Os triâgulos A B P e VB Q, a figura 9, são isósceles. Portato, A ' B ' PB ' Φ + e VB ' QB' Φ. A ' B' PB' A' P Estes são triâgulos áureos, daí,. VB' QB' VQ Φ Φ Figura 9: Propriedade VII (a) 9 A' B' Φ + Φ PB ' A' P Segue que Φ e implica que Φ VB' Φ Φ QB' VQ Sedo A ' B' A' V + VB' Φ + e VB ' Φ, temos que A ' V. B' V Φ Podemos cocluir que Φ. VA ' Sabemos que B' Q Logo, QP Φ B' Q Φ e QP. Φ. Os triâgulos B VQ e XPT, a figura 30, são triâgulos semelhates. 9 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

31 Φ Φ Figura 30: Propriedade VII (b) 30 Usado a relação de semelhaça cocluímos que: B' X Φ XT Φ. B' X XT VX PT e os dados PT e VX Φ, Os triâgulos TSD e VB S, da figura 3, são semelhates. Portato, B ' S B' V B' S Φ e como B' V Φ e ST, temos que Φ. SD' ST SD ' 30 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

32 Φ Φ Figura 3: Propriedade VII (c) 3 Portato, provamos que B' V VA' B' Q QP B' X XT B' S SD' Φ. VIII) Os comprimetos dos seis segmetos, B D, B S, B R, RS, RX e XZ, estão em progressão geométrica. 3 B' D' Φ B' R Φ RX Φ B' S Φ RS XZ Φ Observe a figura 3 que B ' D' B' R + RS + SD'. 3 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

33 Φ Φ Figura 3: Propriedade VIII (a) 3 Substituido os valores que temos para B R, RS e SD, ecotraremos o valor para B D, etão: B' D' B' R + RS + SD' B' D' Φ + + Φ B' D' Φ 3 B' D' Φ Para B S temos que B' S B' R + RS B' D' Φ. Φ B' S Φ + B' S Φ +Φ Φ( Φ + ) B ' S BR + RS, etão: que Para B R temos que B' R Φ, pois B R é cogruete a A P e o petagrama foi dado A' P Φ. Sabemos que PT (dado o petagrama) e que RS é cogruete a PT. Portato, RS. 3 Figura feita pela autora o Gabri Géomètre II

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