Prof. MSc. David Roza José 1/26

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2 Sistemas Lineares Objetivos: Entender a notação matricial; Identificar matrizes: identidade, diagonal, simétrica, triangular e tridiagonal; Como multiplicar matrizes e verificar quando esta multiplicação é factível; Como representar um sistema de equações algébricas na forma matricial; Como resolver equações algébricas com divisão à esquerda e inversão matricial no MATLAB. 2/26

3 Motivação Vamos supor que, agora, três saltadores de bungee-jump estão unidos por cordas. Podemos definir três distâncias x 1, x 2 e x 3 ; medidas para baixo quando não estão esticadas (esquerda). Após saltarem, a gravidade fará seu trabalho e os saltadores atingirão a posição de equilíbrio (direita). Suponha que seu trabalho seja calcular o deslocamento de cada um dos saltadores. Caso consideremos que cada corda se comporta como uma mola linear e segue a Lei de Hooke, diagramas de corpo livre podem ser desenhados para cada saltador. 3/26

4 Motivação Utilizando a segunda lei de Newton, o balanço de força para cada saltador pode ser escrito como: 4/26

5 Motivação Como estamos interessados na solução permanente, as derivadas em relação ao tempo podem ser zeradas. Combinando os termos: Então o problema reduz-se à solução simultânea de três equações para os três deslocamentos desconhecidos. Como utilizamos uma lei linear para representar o comportamento das cordas, estas equações são lineares. 5/26

6 Notação Matricial Uma matriz consiste de um conjunto retangular de elementos representados por um único símbolo. [A] é a notação para a matriz e a ij representa um elemento individual da matriz. Um conjunto horizontal de elementos é chamado de linha (row), e um conjunto vertical é chamado de coluna (column). O primeiro índice i sempre designa o número da linha, e o segundo índice j sempre designa o número da coluna. A matriz representada ao lado possui m linhas e n colunas. Diz-se, então, que ela tem uma dimensão de m por n. Ou m x n. 6/26

7 Notação Matricial Matrizes compostas por somente uma linha, m = 1, são chamadas de vetor linha. Por simplicidade, não representamos o primeiro índice dos elementos. Normalmente utiliza-se letras minúsculas para representar vetores e letras maiúsculas para matrizes. Matrizes compostas por somente uma coluna, n = 1, são chamadas de vetor coluna. 7/26

8 Notação Matricial Matrizes nas quais m = n são chamadas de matrizes quadradas. Uma matriz 3x3, por exemplo: A diagonal consistindo dos elementos a 11, a 22 e a 33 é chamada de diagonal principal. Matrizes quadradas são particularmente importantes quando se resolve conjuntos de equações lineares. Para tais sistemas, o número de equações (correspondente às linhas) e o número de incógnitas (correspondente às colunas) deve ser igual para que exista uma solução única. 8/26

9 Notação Matricial Uma matriz simétrica é aquela nas quais as linhas são iguais às colunas, ou seja, a ij = a ji para todos os i's e j's. Por exemplo: Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde todos os elementos, exceto os da diagonal principal, são zero, tal qual: Uma matriz identidade é uma matriz diagonal cujo todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1: 9/26

10 Notação Matricial A matriz identidade possui uma propriedade similar à unidade, ou seja: Uma matriz triangular superior é aquela na qual todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero: Uma matriz triangular inferior é aquela na qual todos os elementos acima da diagonal principal são zero: 10/26

11 Notação Matricial Uma matriz banda possui todos os elementos iguais a zero, exceto uma banda centrada na diagonal principal. A matriz acima possui uma largura de banda de 3, e possui um nome especial: matriz tridiagonal. 11/26

12 Regras de Operação Duas matrizes m por n são iguais se, e somente se, cada elemento na primeira matriz é idêntico a cada elemento na segunda matriz. A adição de duas matrizes é calculada somando-se elemento a elemento. A subtração é efetuada de maneira análoga. E tanto a adição quanto a subtração são comutativas e associativas. 12/26

13 Regras de Operação A multiplicação de uma matriz [A] por um escalar g é obtido ao se multiplicar cada elemento de [A] por g. Para uma matriz 3x3: O produto de duas matrizes é representado como [C]=[A][B], onde os elementos de [C] são definidos como: Onde n é a dimensão de colunas de [A] e a dimensão de linhas de [B]. Ou seja, o elemento c ij é obtido ao se adicionar o produto de elementos individuais da i-ésima linha da primeira matriz, no caso [A], é j-ésima coluna da segunda matriz [B]. 13/26

14 Regras de Operação Ou seja, a multiplicação de matrizes só ocorrerá se a primeira matriz possuir tantas colunas quanto o número de linhas da segunda matriz. Assim, se [A] for m x n a matriz [B] poderá ser n x l; possuindo a matriz resultando a dimensão m x l. 14/26

15 Regras de Operação Se a multiplicação de matrizes é factível, então a multiplicação é associativa e distributiva. Entretanto, multiplicação matricial não é comutativa: ou seja, a ordem da multiplicação de matrizes é importante. Apesar de existir multiplicação matricial, a divisão entre matrizes não é uma operação definida. Entretanto, se uma matriz [A] é quadrada e não-singular, existe uma outra matriz, [A] -1, chama de inversa de [A], tal que: 15/26

16 Regras de Operação Assim, a multiplicação de uma matriz por sua inversa é uma operação análoga à divisão, no sentido de que um número dividido por si mesmo é igual a 1. Isso é, a multiplicação de uma matriz por sua inversa resulta na matriz identidade. O processo de inversão de matrizes será abordado neste curso em aulas futuras. A transposta de uma matriz envolve transformar linhas em colunas e colunas em linhas. Para uma matriz 3 x 3: Em outras palavras: o elemento a ij da transposta é igual ao elemento a ji da matriz original. 16/26

17 Regras de Operação A transposta possui uma variedade de funções na álgebra matricial. Uma vantagem simples é que ela permite um vetor coluna ser escrito como coluna, e vice-versa. Uma matriz de permutação (também chamada de matriz transposição) é uma matriz identidade com as linhas e colunas trocadas. Uma matriz permutação 3 x 3: 17/26

18 Regras de Operação Uma multiplicação à esquerda da matriz [A] pela matriz [P], da forma [P][A], irá trocar as linhas de [A]. Uma multiplicação à direita, como em [A][P] irá trocar as colunas correspondentes. Um exemplo de multiplicação à esquerda e à direita: 18/26

19 Regras de Operação A última manipulação matricial apresentada será a matriz aumentada. Uma matriz é aumentada pela adição de uma ou mais colunas à matriz original. Temos, por exemplo, uma matriz 3 x 3 que será aumentada com uma matriz identidade 3 x 3, resultando numa matriz 3 x 6: Esta expressão é útil quando desejamos efetuar um conjunto de operações idênticas nas linhas das duas matrizes. 19/26

20 Regras de Operação Verificar exemplo 8.1, página 216, no MATLAB. 20/26

21 Representação na Forma Matricial Matrizes fornecem uma forma concisa para representar um sistema de equações lineares. Considere o conjunto de equações abaixo: pode ser expresso como onde [A] é a matriz de coeficientes, {b} é o vetor coluna de constantes e {x} é o vetor coluna de incógnitas. 21/26

22 Representação na Forma Matricial Uma das maneiras de resolver a equação seria multiplicando ambos os lados por [A] -1 O intuito desde exemplo é mostrar como a matriz inversa desempenha um papel importante na álgebra linear. Deve ser notado, porém, que este não é um método eficiente para resolver equações. Quando um sistema possui mais equações (linhas) do que incógnitas (colunas), ou seja, se m > n, o sistema é chamado de super-determinado. Um exemplo é a regressão de mínimos quadrados. Sistemas com menos equações que incógnitas, m < n, são chamados de sub-determinados. Um exemplo é a otimização numérica. 22/26

23 Resolução de sistemas no MATLAB O MATLAB fornece dois métodos diretos para resolver sistemas lineares. A maneira mais eficiente é utilizando a barra à esquerda, escrevendo no console x = A\b O segundo método é utilizando inversão matricial x = inv(a)*b Podemos resolver o problema dos três saltadores de bungee-jump, do início da aula, através do MATLAB. 23/26

24 Resolução de sistemas no MATLAB Consideremos os seguintes dados: as massas valem 60, 70 e 80 kg. As constantes de mola valem 50, 100 e 50 N/m. Este é o problema dos três saltadores de bungee-jump. 24/26

25 Resolução de sistemas no MATLAB Entramos com as matrizes necessárias para os cálculos: K = [ ; ; ]; mg = [588.6; 686.7; 784.8]; E podemos resolver através da divisão à esquerda: Ou através da inversão matricial x = K \ mg x = inv(k)* mg Gerando os seguintes resultados para os deslocamentos relativos 25/26

26 Informações Exercícios /26

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