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1 SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério d Educção Universidde Federl do Rio Grnde Universidde Abert do Brsil Administrção Bchreldo Mtemátic r Ciêncis Sociis Alicds I Rodrigo Brbos Sores

2 . Sistems Lineres:.. Introdução: Trdicionlmente, estudmos mtrizes, determinntes e sistems lineres, nest ordem, o que é rzoável do onto de vist lógico. Historicmente, orém, s coiss não se ssrm ssim. O estudo de sistems de equções, lineres ou não, erdese n históri e é imossível estbelecer um início r teori. (Possni, Cláudio; Revist do Professor de Mtemátic,. 5 9, SBN,99) Sistems lineres recem, em gerl, em roblems, em que certs quntiddes recism ser determinds indiretmente. Como eemlo, ode-se tomr o seguinte roblem do cotidino: Três migos se encontrm em um lnchonete. O migo A comr um suco e um snduíche e g 7 reis. O migo B comr dois quibes e um snduíche e tmbém g 7 reis. O migo C comr um suco e um quibe, gndo 6 reis. Qul o reço de cd roduto? A mtriz bio indic quntidde de cd roduto comrd or cd um dos migos: suco snduíche quibe A 0 B 0 C 0 Chmremos de X, X e X, resectivmente, o reço do suco, do snduíche e do quibe. Podemos, então, montr um sistem mtricil: X X X = Refere-se à tbel cim Custo de cd roduto Vlor go or cd migo

3 Vmos fzer multilicção ds mtrizes ( or ) que estão loclizds à esquerd do sinl de iguldde. Multilicmos cd linh d mtriz de ordem el colun d mtriz de ordem, ordendmente, elemento or elemento, somndo-se os rodutos em seguid. Aós, fzemos um iguldde de mtrizes, resultndo no sistem liner. X + X + 0X 0X + X + X X + 0X + X = X + X = 7 X + X = 7 X + X = 6 Sistem liner O sistem liner tem como solução X= 4 reis (reço do suco); X= reis (reço do snduíche) e X= reis (reço do quibe), ou sej, solução do sistem liner cim é S = {(4,,)}. Utilizndo sistems, odemos resolver diversos roblems do nosso cotidino. Sistems lineres são, tmbém, emregdos r resolver roblems comleos. Tis sistems são utilizdos n tomogrfi comutdorizd, n qul feies de rio-x trvessm o coro e intensidde de síd do feie deende d ção combind ds regiões que ele trvess. Cd feie é como um ds coluns do sistem, e reunião d informção de vários feies ermite cessr informção, em cd rte do interior do coro... Equção liner: É um equção d form b, onde i (i =,,... n) são os n n = coeficientes (reis ou comleos), i (i =,,...n ) são s incógnits e b é o termo indeendente. Eemlos de equções lineres: + y + 7z = w + t 5g = = 0

4 A solução de um equção liner é dd elo conjunto de vlores que, o serem substituídos ns incógnits, chegm um iguldde verddeir. Por eemlo, equção + y + z = 5 resent como solução =, y =,z =, um vez que + + = 5. Os vlores =, y =,z = tmbém verificm equção. Pode-se, então, firmr que eistem infinits soluções (um número infinito de termos ordendos (,y,z)) que stisfzem equção dd. Qundo o termo indeendente b for igul zero, equção liner denomin-se equção liner homogêne. Observmos que um equção liner não resent termos d form, y, ou sej, cd termo d equção tem um únic incógnit, cujo eoente é semre igul à unidde (). Dus equções lineres são equivlentes, qundo têm s mesms soluções em um mesmo conjunto universo... Definição de um sistem liner: Um sistem de equções lineres ou sistem liner é um conjunto comosto or dus ou mis equções lineres. Um sistem liner de n equções e incógnits ode ser reresentdo d seguinte form: n + n n n n n n 4n nn n n n n n = b = b = b = b = b 4, (I) n Sistem Liner onde ij (i =,,,...,n)(j =,,,...,n ) são os coeficientes, b i (i =,,,...,n ) os termos indeendentes e i (i =,,,...,n ) são s incógnits.

5 .4. Reresentção mtricil de um sistem liner: Podemos reresentr um sistem liner n form mtricil, como no eemlo inicil: 4 5 n 4 5 n 4 5 n n n5... n b n b n b 4n 4 = b4 5n 5 b5 nn n bn (II) Mtriz dos coeficiente Mtriz ds incógnits Mtriz dos termos indeendentes Pr reresentrmos um sistem liner n form (I), rtir d form mtricil (II), relizmos dus oerções com s mtrizes que recem n form (II). Primeirmente, efetumos multilicção entre s mtrizes dos coeficientes (A) e mtriz ds incógnits (X) e, osteriormente, relizmos iguldde entre s mtrizes do roduto e dos termos indeendentes (B). Em notção simlificd, form mtricil é dd or A X = B..5. Solução de um sistem liner: Chmmos de solução de um sistem liner o conjunto ordendo de números reis (, α, α, α, α, α, α ) α que, colocdos resectivmente nos lugres ds incógnits, 4 5 6, n fzem com que tods s equções lineres fiquem verddeirs (isto é, igulddes numérics). Eemlo : O sistem liner y = + y = 4 tem o conjunto {(, )} S = como solução. Nesse cso, solução é únic.

6 Um sistem liner ode ter um únic solução, infinits soluções ou não ter solução. Qundo o sistem liner é homogêneo, isto é, o termo indeendente de tods s equções for nulo, e solução é ( 0,0,0 ), dizemos que solução é trivil. Cso o sistem dmit outr solução em que s incógnits não são tods nuls, solução é chmd de solução não trivil..6. Sistems lineres equivlentes: Dois sistems são equivlentes se dmitem o mesmo conjunto solução. Eemlo : Ddo um sistem liner, o seu conjunto solução ode ser igulmente determindo or inúmeros outros sistems de equções. Verificr se os seguintes sistems são equivlentes: () y = 5 + y = 7 e () + 5y = y = 9 Resolvendo o sistem (), isolndo vriável (incógnit) n segund equção, obtemos: = 7 y e substituindo n rimeir, temos (7 y) y = 5 y = 9 y = e = 4, então, solução do sistem () é S = {(4, )}. Resolvendo o sistem (): d rimeir equção temos que = 5y e substituindo n segund, obtemos (5y ) y = 9 4y = 4 y = e = 4, então, solução do sistem () é S = {(4, )}. Logo, como os dois sistems dmitem mesm solução, eles são equivlentes. Os sistems ) + = 0 ; b) = = 0 7 ; c) + = 4 todos têm o mesmo conjunto solução S = {(, )}. + + = 8, são sistems equivlentes, ou sej, = 4.7 Clssificção de um sistem liner

7 Os sistems lineres são clssificdos qunto o número de soluções que resentm. Se o sistem liner tiver elo menos um solução, dizemos que ele é ossível ou comtível, cso contrário, qundo o sistem não tem solução, dizemos que ele é imossível ou incomtível. O sistem ossível é determindo, qundo ele tem um únic solução e é indetermindo, qundo ele tem mis de um solução. O esquem seguir mostr clssificção de um sistem liner:.8. Resolução de um sistem liner:.8.. Por dição e substituição: Podemos resolver um sistem liner or substituição, ou sej, qundo isolmos um incógnit em um equção e substituímos mesm n outr equção, conforme mostr o eemlo bio: Eemlo : Ddo o sistem 4y = 5 y = 4, determine su solução: Isolndo incógnit n rimeir equção = + 4y e substituindo- n segund, obtemos: 5 ( + 4y) y = 4, então 8y = e y = / 8. Sbendo o vlor de y, encontrmos o de, = + 4( /8) = (8 4) / 8= 4/ 8= 7/ 9. Assim, o conjunto solução do sistem é S = {(7 / 9, /8)}. Agor, resolvendo o mesmo sistem or dição: 4y = 5 y = 4 ( 5) 5 + 0y = 5 5 y = 4 somndo s dus equções, obtemos o vlor d incógnit y, 8y = y = / 8, que substituído, em qulquer um ds equções, fornece o vlor de, = + 4y = + 4( / 8) = (8 4) / 8= 4/ 8= 7 / 9, logo, o sistem é ossível e determindo, ois só dmite solução S = {(7/ 9, / 8)}. OBSERVAÇÃO: Em uls osteriores, veremos que s equções lineres, que formm o sistem

8 ossível e determindo mostrdo cim, reresentm dus rets no lno crtesino que se intercetm (se cruzm) no onto (7/9,-/8). Eemlo 4: O sistem y = 0 y = 0 é ossível e indetermindo, ois = y resolve s dus equções. Novmente, frismos que todo sistem liner homogêneo é ossível, ois semre dmite solução trivil (0,0). OBSERVAÇÃO: Em uls osteriores, veremos que s equções lineres, que formm o sistem ossível e indetermindo mostrdo cim, reresentm rets rlels sobreosts no lno crtesino, logo, eistem infinitos ontos que stisfzem mbs s equções (ontos que ertencem mbs s rets). Eemlo 5: O sistem + y = + y = 4 é um sistem imossível, ois não é ossível encontrrmos dois números reis, cuj som sej e 4 o mesmo temo. OBSERVAÇÃO: Em uls osteriores, veremos que s equções lineres, que formm o sistem imossível mostrdo cim, reresentm rets rlels (não sobreosts) no lno crtesino, logo, não eistem ontos que ertençm às dus rets..8.. Regr de Crmer: A regr de Crmer (Gbriel Crmer, mtemático e strônomo suíço (704-75) ) é emregd r resolver um sistem liner, em que o número de equções é igul o número de incógnits. Ddo o sistem, com três equções lineres e três incógnits, X + X + X + Y + Y + Y + Z = b Z = b Z = b ou n

9 reresentção mtricil [ ] [ X Y Z ] = ] [b b, determine su solução: b Mtriz dos coeficientes Mtriz ds incógnits Mtriz dos termos indeendentes Podemos resolver o sistem cim, emregndo técnic de substituição ou dição de equções lineres, ms um form rátic de resolver um sistem, 44 ou mior é utilizndo Regr de Crmer. A Regr de Crmer consiste em : ) Clculr o determinnte d mtriz dos coeficientes (r isso, emregmos regr de Srrus ou de Llce), simbolicmente indicdo or D = ; ) Clculr os determinntes D,Dy e Dz que se obtém de D, substituindo, resectivmente, colun (dos coeficientes de X), colun (dos coeficientes de Y) e colun (dos coeficientes de Z) el colun dos termos indeendentes, ou sej, b b D = b, y b b D = b e D z = b. b b ) Clculr s incógnits fzendo: D X =, D Dy Y = e D Dz Z =, desde que D 0. D Eemlo 6: Resolver o sistem = 0 = 0 =

10 Cálculo do determinnte d mtriz dos coeficientes. A = 4 5 det( A) = D = Cálculo do determinnte ds incógnits. 0 A = det( A) = D = 4 A 0 0 = 0 5 det( A) = D A = 4 0 det( A) = D = 0 = Cálculo ds incógnits. D 4 D D 0 = = =, = = = e = = = 0, logo, o sistem é ossível e D D D determindo e tem solução S = {(,,0 )} A discussão de um sistem utilizndo Regr de Crmer: Discutir um sistem liner é sber se ele é ossível e determindo, ossível e indetermindo ou imossível. Então: Se D 0, o sistem é ossível e determindo; Se D = 0 e D = D = D 0, o sistem é ossível e indetermindo; y z = Se D = 0 e elo menos um D n 0 (n =, y, z,...), o sistem é imossível.

11 A Regr de Crmer é utilizd r resolver qulquer sistem, onde o número de equções (m) é igul o número de incógnits (n). Eemlo 7: Um cert escol de ensino médio tem 07 lunos, ns s e s séries, 74, ns s e s séries e 9, ns s e s séries. Qul o totl de lunos dess escol? Fzendo X= número de lunos n série, Y= número de lunos n série e Z =número de lunos n série, temos o sistem: X + Y = 07 0 Y + Z = 74, resolvendo el Regr de Crmer obtemos: D = 0 =, X + Z = D = 74 = 4, D y = 0 74 = 90 e D z = 0 74 = D 4 Dy 90 Dz 58 Logo: X = = = 6, Y = = = 45 e Z = = = 9 D D D O totl de lunos d escol é igul X+Y+Z=6 lunos. O sistem cim é ossível e determindo. Eemlo 8: Discut o sistem X + my = X Y = Resolução: Clculndo os determinntes: D m m = = m, D = = m e D y = = fzendo: = 0 m = 0 m = D

12 D = 0 m = 0 m = Resost: Pr que o sistem sej imossível m = (D = 0), r que sej ossível e determindo m (D 0), e não eiste um m tl que D = D 0 ( m= e m =, resectivmente). = A Regr de Crmer, embor simles n resolução de sistems de dus equções e dus incógnits ou três equções e três incógnits, não é recomendável sistems miores, dd comleidde dos cálculos envolvidos (or eemlo, um sistem qutro equções e qutro incógnits demndri o cálculo do cinco determinntes de qurt ordem). O método do esclonmento, que veremos seguir, é oercionlmente mis simles e é mis fácil de ser rogrmdo em comutdores..9. Esclonmento de um sistem: O método do esclonmento foi desenvolvido elo mtemático lemão Crl Friedrich Guss ( ) e osteriormente foi erfeiçodo or Wilhem Jordn (84-899). Eemlos de sistems esclondos: + y = 4 y = + y z = 5y + z = z = 7 y + 5z + t = 4 y + 8z t =, z t = 0 4t = 8 O sistem y + 4z = 0 4y = 5z = y z = 0 não está n form esclond..9.. Oerções elementres: Antes de começrmos esclonr um sistem liner, vmos ver três tios de oerções elementres, que odem ser relizds sobre um sistem liner de equções de form trnsformá-lo em um outro sistem equivlente mis simles que o nterior. N sequênci,

13 trblhremos com um eemlo r mostrr como funcionm esss oerções. sistem;. Permutção: trocr de lugr dus equções do sistem não lter solução do Trocr Linh com Linh + y z = y + z = y 5z = y 5z = 9 y + z = 0 + y z =. Multilicção: substituir um ds equções or um múltilo não nulo del mesm, não lter solução do sistem: Multilicr Linh elo número + y z = y + z = y 5z = 9 + 6y z = 6 y + z = y 5z = 9 solução:. Adição: A dição de dus equções do sistem tmbém não lter o conjunto Adicionr Linh com Linh + y z = y + z = y 5z = 9 + 6y z = 6 y + z = 0 6 y z = 9 Cd um ds três oerções cim é chmd de oerção elementr. Assim, ddo um sistem liner, todo sistem obtido rtir dele, or meio de um sequênci finit de oerções elementres, é dito um sistem equivlente o sistem ddo. Vimos, nteriormente, que sistems equivlentes ossuem o mesmo conjunto solução..9.. Resolução de sistems lineres or esclonmento: Bsicmente, há dois tios de sistems esclondos considerr: A) Primeiro tio: onde número de equções é igul o número de incógnits. Nesse cso, o

14 sistem é determindo. B) Segundo tio: onde o número de equções é menor que o de incógnits. Nesse cso, o sistem é indetermindo. Pssos do método do esclonmento: Primeiro sso: nulr os coeficientes d incógnit, d equção em dinte. Cso não sej, tornr o coeficiente d incógnit igul. Segundo sso: deir de ldo equção e reetir o rimeiro sso com os coeficientes d róim incógnit, que tenh coeficiente diferente de zero, ns equções remnescentes (que sobrm). Terceiro sso: deir de ldo s dus rimeirs equções e reetir o rimeiro sso com os coeficientes d róim incógnit, que tenh coeficiente diferente de zero, ns equções remnescentes. Os róimos ssos são nálogos e devem ser seguidos, té que o sistem fique esclondo. Eemlo 9: Resolver o sistem + y + 4z = 5 y + z = 8 or esclonmento. y z = 7 Esse sistem é do rimeiro tio, ou sej, o número de equções é igul o número de incógnits. O coeficiente d incógnit é. Começmos multilicndo rimeir equção or (-) e dicionndo o resultdo à segund equção. Deois, multilicmos rimeir equção + y + 4z = 5 or (-) e dicionmos terceir equção. Obtemos o sistem equivlente 5y 6z =. 9y z = 8 Dess form, nulmos os coeficientes d incógnit, d equção em dinte (Primeiro Psso).

15 Multilicndo segund equção or (-/5), obtemos + y + 4z = 5 6 y + z = 5 5 9y z = 8, gor, multilicndo segund equção or (9) e dicionndo o resultdo à terceir equção, obtemos: + y + 4z = 5 6 y + z = 5 5 z = 5 5 Pronto! O sistem está esclondo. Rest, gor, resolvê-lo. D terceir equção, tirmos que z =. Substituindo n segund, obtemos o vlor de y, 6 y + () = y =. Substituindo y e z n rimeir equção, obtemos: ( ) + 4() = 5 =. O sistem é ossível e determindo e tem como solução (,, ). Eemlo 0: Sej o sistem + y + z = 9 + y z =, vmos escloná-lo: y z = 4 + y + z = 9 + y z = y z = 4 ( ) e, somndo segund, temos equção el som del com rimeir multilicd or (-). + y + z = 9 y z = 5, substituímos, então, y z = 4 + y + z = 9 y z = 5 y z = 4 ( ) e, somndo terceir, temos + y + z = 9 y z = 5, 7y 5z = substituímos, então, equção el som del com rimeir multilicd or (-). + y + z = 9 y z = 5 7y 5z = ( / ) e obtemos + y + z = 9 y + z = 5, 7y 5z =

16 + y + z = 9 y + z = 5 7y 5z = (7) e, somndo terceir, temos + y + z = 9 y + z = 5 z = 4, substituímos, então, equção el som del com segund multilicd or (7). O sistem está esclondo. Como o número de equções é igul o número de incógnits, ele é determindo com solução (,, ). + y + z = 4 Eemlo : Sej o sistem + 4y + z = 0, vmos escloná-lo: y + 7z = 8 ( ) + y + z = 4 + y + z = 4 + 4y + z = 0 e, somndo segund, temos y z =, substituímos, então, y + 7z = 8 y + 7z = 8 equção el som del com rimeir multilicd or (-). + y + z = 4 y z = y + 7z = 8 ( ) e, somndo terceir, temos + y + z = 4 y z =, 5y + 5z = 0 substituímos, então, equção el som del com rimeir multilicd or (-). + y + z = 4 y z = 5y + 5z = 0 (5) e, somndo terceir, obtemos + y + z = 4 y z =, 0y + 0z = 0 Como últim equção é stisfeit r quisquer vlores de, y e z, el ode ser surimid do sistem. Assim, obtemos o seguinte sistem esclondo, onde o número de incógnits é mior do que o número de equções e, ortnto, indetermindo. Admite infinits

17 soluções. + y + z = 4 y z = OBSERVAÇÃO: se durnte o esclonmento, ocorrer um equção do tio b 0, então, o sistem será imossível y = b com.0. O modelo do insumo roduto: Desde que Wssily Leontief ( ) desenvolveu o sistem de mtriz de insumoroduto, est ferrment vem sendo mlmente utilizd ns áres econômics e de lnejmento, uilindo n tomd de decisões. Wssily Leontief gnhou o "Prêmio Nobel de Economi" (97) or desenvolver um teori de lnejmento econômico trvés d nálise de um sistem do tio insumo-roduto, Mtriz de Leontief, e or su licção em imortntes roblems econômicos. Origem: Wikiédi, encicloédi livre. Pr se ter um conhecimento mis esecífico sobre licção ds mtrizes inverss n áre d dministrção e economi odemos consultr: Considerndo: Serem licdos no consumo intermediário de fbricção dos n Produtos. Um Economi roduz n rodutos Destinos ossíveis Servirem r consumo finl de mercdo

18 Admitindo que cd roduto sej fbricdo em roorções fis de quntidde de mão de obr e do consumo intermediário de outros rodutos. Dest mneir, obtemos um sistems de equções, escrito n form mtricil d seguinte form: X = A X + B, onde mtriz X é mtriz ds quntiddes roduzids, A é mtriz dos coeficientes técnicos, B mtriz ds demnds finis de mercdo e mtriz A X é mtriz que corresonde o consumo intermediário dos setores Dest form, odemos resolver o seguinte roblem: dds s mtrizes A e B, obter mtriz X r tender às demnds intermediáris e finis dos rodutos. Assim se X = A X + B odemos isolr X : X A X = B, ( I A) X = B e obter X = (I A) B, onde mtriz (I A) é mtriz de Leontief. Eemlo : Dd mtriz de coeficientes técnicos r dois setores 0 0,5 A = e 0,4 0, 70 mtriz de consumo finl B =, obtenh s quntiddes serem roduzids r tender 40 às demnds intermediáris e finl de mercdo. Resolução: A mtriz 0 0 0,5 0,5 ( I A) = =, 0 0,4 0, 0,4 0,9 su invers, clculd utilizndo definição de mtriz invers, 0,5 b 0 (I A) = = 0,4 0,9 c d 0 onde 0,5c b 0,5d 0 = 0,4 + 0,9c 0,4b + 0,9d 0

19 = 9/ 7, b = 5/ 7 c = 4 / 7 d = 0/ 7 é (I A) 9/ 7 = 4 / 7 5/ 7 0/ 7, ssim X = (I A) B = 9/ 7 4 / 7 5/ / 7 40 = 9 5 (70) + (40) (70) + (40) 7 7 = Eemlo : Dd mtriz de coeficientes técnicos r três setores 0 0, 0, A = 0,5 0, 0 e 0, 0, mtriz de consumo finl B = 00, obtenh s quntiddes serem roduzids r tender 00 às demnds intermediáris e finl de mercdo. Resost:, 9 e 44.

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