DESENHO GEOMÉTRICO Professor: Felippe Sirtoli - 9 ANO

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1 DESENHO GEOMÉTRICO Professor: Felippe Sirtoli - 9 ANO Materiais Necessários: 1. Caderno ou Pasta: Caderno de desenho com margem ou fazer margem de 1,5 cm ou Pasta com folhas brancas com margem de 1,5 cm e paginação; 2. Caneta Azul ou Preta: Apenas caneta azul ou preta será permitida no caderno; 3. Lápis ou Lapiseira: Lápis preferencialmente HB e Lapiseira preferencialmente 0,5mm; 4. Boracha: Uma borracha que apague bem e não deixe seu caderno marcado; 5. Régua de 30cm ou 20 cm; 6. Jogo de Esquadros: Composto por um esquadro de 45 e um esquadro de 60 ; 7. Transferidor: Preferencialmente de 180 ; 8. Compasso De boa qualidade pois um compasso ruim interfere nos traçados e pode fazer você errar suas construções. Forma de Avaliação 1. A avaliação da escola é semestral, ou seja, só será emitido boletim com notas ao final do semestre; 2. Ao final do semestre o aluno precisa ter nota igual ou superior a 6,0 pontos para estar na média da escola; 3. Em cada semestre será avaliado um total de 10,0 pontos; 4. Nesta disciplina, cada semestre será dividido em duas etapas em que cada uma será avaliado um total de 5,0 pontos da seguinte forma:] - 3,0 pontos de avaliações formais em sala de aula; - 1,0 ponto de avaliações para serem feitas em casa; - 1,0 ponto pelo caderno registro de atividades. 5. Ao final de cada etapa será oportunizada uma REAVALIAÇÃO que consistem em uma prova envolvendo todos os conteúdos da etapa e que terá valor máximo de 5,0 pontos; 6. Serão feitas duas Reavaliações de 5,0 pontos por semestre, totalizando os 10,0 pontos avaliados na disciplina.

2 NOÇÕES INICIAIS DE DESENHO GEOMÉTRIO Desenho O desenho é a maneira de expressar graficamente a forma de determinado objeto, de modo que há a necessidade de se ter previamente o conhecimento das formas a serem representadas. Todas as coisas que conhecemos, ou estamos habituados a ver no espaço em que vivemos, apresentam-se aos nossos olhos como formas geométricas. Vejamos alguns exemplos: O percurso de um rio nos dá a ideia de uma linha sinuosa; Quando olhamos uma pessoa pescando com uma vara de pesca, a vara será uma linha inclinada; a linha de pesca, uma linha vertical e a linha que forma a superfície do lago, uma linha horizontal. Os trilhos do trem ou uma estrada asfaltada são imediatamente associados às linhas paralelas Uma bola de futebol e uma bolinha de gude nos dão ideia de uma esfera. Elementos Fundamentais da Geometria Os elementos fundamentais da geometria são o Ponto, a Linha (Reta) e o Plano. GEOMETRIA significa (em grego) medida da Terra. GEO = Terra METRIA = Medida.

3 OS INSTRUMENTOS DE DESENHO Para estudar e praticar o Desenho Geométrico que tal você conhecer os instrumentos necessários para por em em prática tudo o vamos aprender para isto são necessários os seguintes instrumentos: 1. Lápis ou lapiseira: Apresentam internamente o grafite ou mina, que tem grau de dureza variável, classificado por letras, números ou a junção dos dois. Classificação por números Classificação por letras Classif. por nº e letras Nº 1 Macio Linha cheia Nº 2 Médio Linha média Nº 3 Duro Linha fina B Macio Equivale ao grafite nº 1 HB Médio Equivale ao grafite nº 2 H Duro Equivale ao grafite nº 3 2B até 6B Muito macios 2H até 9H Muito duros As lapiseiras apresentam graduação quanto à espessura do grafite, sendo as mais comumente encontradas as de número 0,3 0,5 0,7 e 1,0. 2. Papel: Blocos, cadernos ou folhas avulsas (papel ofício) de cor branca e sem pautas. 3. Régua: Em acrílico ou plástico transparente, graduada em cm (centímetros) e mm (milímetros) 4. Par de esquadros: Em acrílico ou plástico transparente e sem graduação. Os esquadros são destinados ao traçado e não para medir, o que deve ser feito com a régua. Um deles tem os ângulos de 90, 45 e 45 e o outro os ângulos de 90, 60 e 30. Os esquadros formam um par quando, dispostos como na figura, têm medidas coincidentes. 5. Borracha: Branca e macia, preferencialmente de plástico sintético. Para pequenos erros, usa-se também o lápis-borracha.

4 6. Compasso: Os fabricados em metal são mais precisos e duráveis. O compasso é usado para traçar circunferências, arcos de circunferências (partes de circunferência) e também para transportar medidas. Numa de suas hastes temos a ponta seca e na outra o grafite, que deve ser apontado obliquamente (em bisel). Ao abrirmos o compasso, estabelecemos uma distância entre a ponta seca e o grafite. Tal distância representa o raio da circunferência ou arco a ser traçado. 7. Transferidor: Utilizado para medir e traçar ângulos, deve ser de material transparente (acrílico ou plástico) e podem ser de meia volta (180 ) ou de volta completa (360 ). ATENÇÃO: É importantíssimo que você tenha todo esse material em mãos para possa realizar todas as construções corretamente. Serão as nossas ferramentas de trabalho.

5 ENTES GEOMÉTRICOS Os entes geométricos são conceitos primitivos e não têm definição. É através de modelos comparativos que tentamos explica-los. São considerados como elementos fundamentais da Geometria, e são: Ponto Conforme já dito, não tem definição. Além disso, não tem dimensão. Graficamente, se expressa o ponto pelo sinal obtido quando se toca a ponta do lápis no papel. É de uso representa-lo por uma letra maiúscula ou algarismos, em alguns casos. Sua representação também se dá pelo cruzamento de duas linhas, que podem ser retas ou curvas. Linha É o resultado do deslocamento de um ponto no espaço. Em desenho é expressa graficamente pelo deslocamento do lápis sobre o papel. A linha tem uma só dimensão: o comprimento. Podemos interpretar a linha como sendo a trajetória descrita por um ponto ao se deslocar. O Plano É outro conceito primitivo. Através de nossa intuição, estabelecemos modelos comparativos que o explicam, como: a superfície de um lago com suas águas paradas, o tampo de uma mesa, um espelho, etc. À esses modelos, devemos acrescentar a ideia de que o plano é infinito. O plano é representado, geralmente, por uma letra do alfabeto grego. Reta Pelas características especiais deste ente geométrico e sua grande aplicação em Geometria e Desenho, faremos seu estudo de forma mais detalhada a seguir.

6 ESTUDO DA RETA E SUAS PARTES 1. Responda: a) Quantas retas passam por um ponto P qualquer do plano? b) Quantas retas passam por dois pontos, A e B, distintos? 2. Observando o quadro ao lado, responda: a) Como são as retas r e s: concorrentes ou paralelas? b) Elas se cruzam em algum ponto? 3. Veja o quadro ao lado e complete: As retas x e y são retas 4. Na figura ao lado estão desenhada duas retas: r e s. Essas duas retas são concorrentes ou paralelas? 5. Identifique os pares de retas a seguir como concorrentes ou paralelas. a) a e b b) a e c c) c e d d) b e d

7 6. Observe a figura geométrica plana que foi desenhada na folha branca. a) Quantos segmentos você observa na figura desenhada? b) Existem segmentos consecutivos na figura desenhada? c) Em caso afirmativo, identifique os pares de segmentos consecutivos: d) Existem segmentos colineares na figura desenhada? 7. Considerando a figura seguinte, nomeie os pares de segmentos consecutivos. 8. Marque um X nos quadros em que aparecem segmentos colineares. 9. Dois segmentos quaisquer são colineares quando estão em uma mesma reta. Essa afirmação é verdadeira ou falsa?

8 10. Observe a figura e marque V ou F conforme a afirmação seja verdadeira ou falsa. a) ( ) AB e BC são colineares b) ( ) AB e CD não são colineares c) ( ) BC e MC não são colineares d) ( ) MC e CN são colineares e) ( ) AB e BC são consecutivos e colineares f) ( ) MC e CN são colineares e não consecutivos g) ( ) BC e CN são consecutivos e não colineares h) ( ) AB e CD são colineares e não consecutivos i) ( ) BC e MC não são consecutivos nem colineares 11. Observe os segmentos AB e MN. Usando o compasso, responda: a) Qual é a medida do segmento AB quando usamos como unidade de medida o segmento MN? b) Se a medida do segmento MN é representado pelo número x, qual é o número que representa o segmento AB? 12. São dados os segmentos abaixo. Confira as medidas com um compasso e depois complete corretamente as afirmações. a) Quando tomamos como unidade de medida o segmento CD, temos AB = b) Quando consideramos o segmento EF como unidade de medida, temos AB = 13. Observando a figura e tomando a unidade u, complete as sentenças.

9 a) AB = d) AB + BC = + = b) BC = e) AC = c) CD = f) AD = 14. Como são chamados dois segmentos que têm a mesma medida, tomada na mesma unidade? 15. Theo desenhou quatro segmentos de reta no seu caderno. Dois desses segmentos são congruentes; identifique-os. 16. Em um quadro foram desenhados quatro segmentos. Veja: Considerando as medidas de cada um, complete as afirmações corretamente. a) e são congruentes b) e são congruentes 17. Como é chamado o ponto que divide um segmento em dois segmentos congruentes?

10 18. Qual dos quadros abaixo o ponto M representa o ponto médio do segmento AB?

11 A RETA E SUAS PARTES: CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS 1. Trace uma perpendicular à reta r dada que passe pelo ponto A.

12 2. Trace uma semirreta perpendicular à semirreta AO, no ponto O, sem prolonga-la. 3. Trace, pela extremidade A, um segmento de medida 4 cm, perpendicular ao segmento AB dado, usando o prolongamento. 4. Trace, pela extremidade B, um segmento de medida 5 cm, perpendicular ao segmento AB dado, usando o prolongamento.

13 5. Trace uma reta s paralela à reta r dada, passando pelo ponto A.

14 6. Trace uma reta s paralela à reta r dada, conhecendo a distancia entre elas.

15 7, Construa a mediatriz de um segmento AB, que mede 4,7 cm 8. Determine o ponto médio de um segmento MN, de 5,5 cm de comprimento

16 9. Divida o segmento AB dado em duas partes congruentes. 10. Divida o segmento CD dado em quatro partes congruentes.

17 11. Usando o 1 processo, divida o segmento AB dado em: a) cinco partes congruentes. b) seis partes congruentes

18 12. Usando o 2 processo, divida o segmento AB dado em: a) três partes congruentes b) cinco partes congruentes

19 Avaliação 1 1 Etapa Aluno : nº : Disciplina: Matemática Professor(a): Felippe Série: 9º ano Data: /03/2013 Ass.: Pontuação Máxima: 1,0 pontos Pontuação atingida: 1. Classifique em V (verdadeiro) e F (falso): ( ) Toda reta tem infinitos pontos. ( ) Por um ponto qualquer passam infinitas retas. ( ) É possível traçar uma única reta passando por dois pontos distintos. ( ) É possível traçar apenas uma reta passando por um ponto fixo P. 2. Observe a figura e classifique as afirmações em V (verdadeira) e F (falso): A ( ) BD e DF são colineares L M B C ( ) AJ e JG são consecutivos ( ) AB e DE são colineares ( ) AB e BC não são consecutivos J D ( ) AB e CD são colineares ( ) CD e DF são colineares e consecutivos ( ) CD e EF não são colineares nem consecutivos I H F E ( ) LM e BC são colineares, mas não são consecutivos G 3. Trace um segmento de reta paralelo ao segmento MN, a uma distância igual ao segmento AB. A B M N 4. Trace um segmento perpendicular ao segmento dado que passe pelo ponto A. A A P Q R S

20 B 5. Trace a reta paralela a reta dada que passe pelo ponto P. A P P r s 6. Trace a mediatriz de um segmento de reta de 4,6 cm. 7. Determine o ponto médio de um segmento de 2,5 cm. 8. Divida os segmentos de reta abaixo em seis partes pelo 1º processo e em cinco partes pelo 2º processo A B C D

21 Avaliação 1 1 Etapa 2 Chamada Aluno : nº : Disciplina: Matemática Professor(a): Felippe Série: 9º ano Data: /03/2013 Ass.: Pontuação Máxima: 1,0 pontos Pontuação atingida: 1. (0,3)Trace um segmento de reta paralelo ao segmento MN, a uma distância igual ao segmento AB. A B M N 2. (0,2)Trace um segmento perpendicular ao segmento dado que passe pelo ponto A. P A Q 3. (0,2)Trace a reta paralela a reta dada que passe pelo ponto P. P r 4. (0,3)Divida os segmentos de reta abaixo em seis partes pelo 1º processo e em cinco partes pelo 2º processo A B

22 TRIÂNGULOS Definição: É um polígono de três lados e três ângulos e é classificado de acordo com seus ângulos e lados. OBSERVAÇÕES: O triângulo não possui diagonais; A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 ; O perímetro é a soma dos três lados; A área do triângulo é dada pela fórmula A = (b.h)/2 Elementos: - Lados: AB, BC e AC - Vértices: A, B e C - Ângulos: Â, B e C Triângulos Iguais: Tem os três lados respectivamente iguais. Triângulos Semelhantes: São triângulos que tem ângulos congruentes, porém tamanhos diferentes. Triângulos Equivalentes: São triângulos que tem a mesma base e a mesma altura, por consequência a mesma área. Classificação: 1. Quanto aos lados: a) Eqüilátero: É o triângulo que tem os três lados iguais e três ângulos de 60.

23 b) Isósceles: É o triângulo que tem dois lados iguais e um diferente, chamado de base. Obs: A rigor, qualquer lado pode ser chamado de base do triângulo. Geralmente, chamamos de base ao lado que traçamos na posição horizontal, o que não é uma regra geral. No entanto, no triângulo isósceles, essa denominação identifica o lado diferente. c) Escaleno: É o triângulo que tem os três lados e os três ângulos diferentes. 2. Quanto aos ângulos: a) Triângulo retângulo: É o triângulo que possui um ângulo reto. b) Triângulo acutângulo: É o triângulo que possui os três ângulos agudos (menores que 90 ).

24 c) Triângulo obtusângulo: É o triângulo que tem um ângulo obtuso (maior que 90 ). LINHAS NOTÁVEIS DOS TRIÂNGULOS (também chamadas de cevianas dos triângulos) a) Altura: É a distância entre um vértice e o lado oposto. Entenda-se que uma distância é tomada em linha reta, partindo-se de um ponto (vértice) até um segmento de reta (lado do triângulo) em posição perpendicular (entre a altura e o lado). As alturas cruzam-se num ponto comum chamado Ortocentro. O ortocentro se apresenta em posições variadas, conforme o formato do triângulo. b) Mediatriz: É a perpendicular que passa pelo ponto médio de cada lado do triângulo. As mediatrizes cruzam-se num ponto chamado Circuncentro, que é equidistante dos vértices e, portanto, o centro da circunferência que circunscreve o triângulo. O circuncentro, conforme o formato do triângulo se apresenta em posições variadas.

25 c) Bissetriz: É cada uma das retas que, passando pelo vértice, divide o ângulo que lhe corresponde em duas partes iguais. Seu ponto de cruzamento é o Incentro, equidistante dos lados e centro da circunferência inscrita no triângulo. Qualquer que seja o formato, o encentro estará sempre no interior do triângulo.

26 d) Mediana: É o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto de um triângulo. Seu ponto de encontro é o Baricentro, que divide cada uma das medianas na proporção de 1/3. Em todo triângulo o baricentro é ponto interior do mesmo. CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS 1) Construir um triângulo, conhecendo-se os três lados: 4, 5 e 7 cm. Resolução: Traça-se um dos lados e, com centro em cada extremidade, com aberturas respectivamente iguais aos outros lados, faz-se o cruzamento dos arcos, determinando o terceiro vértice e definindo a figura. 2)Construir um triângulo equilátero, conhecendo-se a altura: 5 cm. Resolução: Traça-se uma reta e, num ponto qualquer, levanta-se uma perpendicular e, sobre esta, marca-se a medida da altura. Pela extremidade da altura, traçam-se dois ângulos de 60, um para cada lado da altura. Traça-se a bissetriz de cada ângulo que, ao cruzarem com a primeira reta traçada, definem o triângulo.

27 3) Construir um triângulo, conhecendo-se dois lados (7 e 5 cm) e o ângulo que formam entre si (60 ). Resolução: Constrói-se um ângulo de 60 e, sobre cada lado, marcam-se as medidas dos lados conhecidos do triângulo. Unem-se as extremidades, fechando a figura. 4) Construir um triângulo, dados: o lado AB=7 cm e os ângulos: Â=75 e B=60. Resolução: Traça-se o lado AB e, pelas respectivas extremidades, constroem-se os ângulos de 75 e 60. O encontro dos lados desses ângulos definirá o vértice que fecha a figura. 5) Construir um triângulo isósceles, conhecendo-se os lados iguais (4 cm) e a base (6,5 cm). Resolução: Traça-se a base e, com centro nas extremidades e abertura igual ao lado, faz-se o cruzamento que define o triângulo.

28 6) Construir um triângulo retângulo, conhecendo-se a hipotenusa (7 cm) e um cateto (3 cm). Resolução: Traçam-se duas retas perpendiculares. Sobre uma delas aplica-se a medida do cateto (3 cm). Com centro na extremidade deste e abertura igual à medida da hipotenusa, cruzasse sobre a outra perpendicular, definindo o outro cateto e completando-se a figura. 7) Construir um triângulo isósceles, conhecendo-se a base (4 cm) e a altura (5 cm). Resolução: Traça-se a base (4 cm) e sua mediatriz. Sobre esta, marca-se a medida da altura. Une-se a extremidade da altura às extremidades das bases, definindo-se os lados iguais. LISTA DE EXERCÍCIOS - CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS 1. Construa um triângulo Equilátero de lado igual a 6 cm. 2. Construa um triângulo Escaleno com medidas: 3 cm, 4 cm e 5 cm. 3. Construa um triângulo Equilátero sabendo que sua altura deve ser de 6 cm. 4. Construa um triângulo sabendo que dois de seus lados medem 5 cm e 6cm e o ângulo entre eles é de Construa um triângulo conhecendo um lado AB = 8 cm e os ângulos A = 30 e B = Construa um triângulo Isósceles com base de 7 cm e lados iguais de 5,5 cm. 7. Construa um triângulo retângulo conhecendo um cateto de 5 cm e a hipotenusa de 7 cm. 8. Construa um triângulo retângulo conhecendo as medidas dos catetos 3 cm e 4 cm. 9. Construa um triângulo Isósceles de base 6 cm e altura 5 cm. 10. Construa um triângulo conhecendo um lado EF = 7 cm e os ângulos E e F iguais a 45.

29 Avaliação Etapa Aluno : nº : Disciplina: Matemática Professor(a): Felippe Série: 9º ano Data: /04/2013 Ass.: Pontuação Máxima: 2,0 pontos Pontuação atingida: 1. (0,4) Associe: (A) ORTOCENTRO ( ) Ponto de intersecção das alturas de um triângulo qualquer (B) CIRCUNCENTRO ( ) Ponto de intersecção das medianas de um triângulo qualquer (C) INCENTRO ( ) Ponto de intersecção das mediatrizes de um triângulo qualquer (D) BARICENTRO ( ) Ponto de intersecção das bissetrizes de um triângulo qualquer 2. (0,5) Encontre o BARICETRO do triângulo abaixo.

30 3. (0,6) Associe: (A) Triângulo Equilátero ( ) Possui todos os ângulos menores que 90 (B) Triangulo Isósceles ( ) Possui todos os lados com medidas diferentes (C) Triângulo Escaleno ( ) Possui todos os lados com a mesma medida (D) Triângulo Acutângulo ( ) Possui um ângulo de 90 (E) Triângulo Retângulo ( ) Possui um ângulo maior que 90 (F) Triângulo Obtusangulo ( ) Possui dois lados com a mesma medida e um com medida diferente. 4.(0,5) Encontre o CIRCUNCENTRO do triângulo abaixo.

31 Definição: São os polígonos de quatro lados. QUADRILÁTEROS Elementos: - Lados: AB, BC, CD e AD. - Vértices: A, B, C e D. - Ângulos: Â, B, C e D. - Diagonais: Segmentos que unem dois vértices opostos. São os segmentos AC e BD. - A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é sempre 360. Classificação: 1. Paralelogramos: São quadriláteros que têm os lados opostos paralelos. São o: Quadrado Retângulo Losango ou Rombo Paralelogramo ou Rombóibe 2. Trapézios: São os quadriláteros que tem apenas dois lados opostos paralelos. Esses lados são chamados de bases. Como as bases sempre serão diferentes, os trapézios têm, então uma base maior e uma base menor. A distância entre as bases é a altura do trapézio. Trapézio Isósceles Trapézio Retângulo Trapézio Escaleno 3. Trapezóides: São quadriláteros que não têm lados paralelos. Os trapezóides podem ser inscritíveis numa circunferência desde que seus ângulos opostos sejam suplementares, isto é, sua soma seja igual a 180. QUADRADO O quadrado é o paralelogramo que possui os lados e os ângulos congruentes. No quadrado, todos os lados são perpendiculares entre si, as diagonais são de mesmo comprimento e também perpendiculares entre si. Área = l 2 Perímetro = 4.l

32 RETÂNGULO Retângulo é o paralelogramo que possui lados iguais dois a dois e seus ângulos são retos. As diagonais do retângulo são iguais. Área = l.b Perímetro = 2.(l+b) LOSANGO ou ROMBO Losango ou Rombo é o paralelogramo que possui os lados entre si; os ângulos opostos são iguais, dois agudos e dois obtusos. As diagonais não são iguais e são perpendiculares entre si. Área = l.b Perímetro = 2.(l+b) OBS. A palavra rombo vem do grego ῥόμβος (rhombos), ou seja, algo que gira que deriva do verbo ρέμβω (rhembō) que significa voltas e voltas. PARALELOGRAMO ou ROMBÓIDE O Paralelogramo ou Rombóide possui lados opostos iguais e paralelos dois s dois. Seus ângulos são dois agudos e dois obtusos. Suas diagonais são oblíquas e desiguais. Área = b.h Perímetro = 2.(l+b)

33 TRAPÉZIO ISÓSCELES O trapézio é isósceles quanto tem os dois lados não paralelos iguais. Seus ângulos são iguais dois a dois. Suas diagonais são iguais. TRAPÉZIO RETÂNGULO O trapézio é retângulo quando tem dois ângulos retos. TRAPÉZIO ESCALENO O trapézio é escaleno quando possui os lados e ângulos desiguais. Suas diagonais são desiguais. Área = (B + b).h/2 Perímetro = soma do lados CONSTRUÇÕES DE QUADRILÁTEROS 1) Construir um quadrado de lado igual a 6 cm. Resolução: Traça-se o lado. Por uma das extremidades, levanta-se uma perpendicular e, sobre esta, transporta-se a medida do lado, centrando-se na extremidade, com abertura correspondente ao lado, rebatendo-se a distância sobre a perpendicular. A partir daqui, temos três alternativas. Pela outra extremidade, repete-se todo o processo anterior. Fecha-se a figura unindo as extremidades dos dois lados traçados.

34 2) Construir um retângulo conhecendo-se os lados: AB=7 cm e BC=4 cm. Resolução: Traça-se o lado AB e, por B, levanta-se uma perpendicular. Sobre esta, aplica-se a medida do lado BC (4 cm). Centro em A, abertura BC, traça-se um arco. Centro em C, abertura BA, traça-se o arco que cruza com o anterior, definindo D. Traçam-se os lados restantes. 3) Construir um losango, conhecendo-se o lado (6 cm) e uma diagonal (4 cm). Resolução: Traçamos a diagonal e a partir de suas extremidades, com abertura igual ao lado, centramos e cruzamos os arcos que, dois a dois, definirão os vértices que faltam. Unindo esses vértices às extremidades das diagonais, completamos a figura. 4)Construir um paralelogramo propriamente dito, conhecendo-se os dois lados: (8 e 5 cm) e o ângulo que formam entre si (120 ). Resolução: Traça-se um dos lados e, por uma das extremidades constrói-se o ângulo de 120. Sobre este, aplica-se a medida do outro lado. Transportam-se, então, com o compasso, as medidas de cada um dos lados a partir das respectivas extremidades, cruzando as distâncias e definindo o vértice que falta. Traçam-se, então, os lados que completam a figura.

35 5)Construir um trapézio isósceles, dadas: a base maior (8 cm), a altura (4 cm) e um ângulo (75 ). Resolução: Traça-se a base. Num ponto qualquer da base (uma das extremidades, por exemplo) levanta-se uma perpendicular e aplica-se sobre esta a medida da altura. Por este ponto, traça-se uma paralela à base. Por cada extremidade da base, constrói-se um ângulo de 75. O cruzamento dos lados dos ângulos com a paralela definirá a figura. 6) Construir um trapézio retângulo, conhecendo-se: a base maior (8 cm), a altura (4 cm) e um ângulo (60 ). Resolução: Traça-se a base. Por uma das extremidades traça-se uma perpendicular e, sobre esta, aplica-se a medida da altura. Pela extremidade da altura, traça-se uma paralela. Pela outra extremidade da base, constrói-se o ângulo de 60, cujo lado, ao encontrar a paralela, define o vértice restante. 7)Construir um trapézio escaleno, dadas: a base maior (10 cm), a altura (4cm) e os lados não paralelos ( 5 e 5,5 cm). Resolução: Traça-se a base maior e, por um ponto qualquer desta, levanta-se uma perpendicular. Aplica-se sobre esta a medida da altura e traça-se uma paralela. Com centro em uma das extremidades da base e abertura correspondente a um dos lados, fazemos cruzamento com a

36 paralela e posicionando o lado. Centro na outra extremidade, abertura igual ao outro lado, fazemos cruzamento, definindo o outro lado e completando a figura.

37 POLÍGONOS Definição: Polígono é a região do plano limitada por uma linha quebrada ou poligonal que se fecha sobre si mesma. Entenda-se aqui como linha poligonal uma linha formada pela junção de segmentos de reta, extremidade a extremidade. Linha Poligonal: A linha poligonal ou quebrada é formada por linhas retas e muda a direção de pedaço em pedaço. Elementos: Lados, vértices, ângulos (internos e externos) e diagonais. Polígonos Convexos e não Convexos Polígonos Regulares: São polígonos que têm os lados e os ângulos iguais. Denominação: Conforme o número de lados ou de ângulos, os polígonos são chamados de: Triângulo ou Trilátero (3 lados) Quadrilátero (4 lados) Pentágono (5 lados) Hexágono (6 lados) Heptágono (7 lados) Octógono (8 lados) Eneágono (9 lados) Decágono (10 lados) Undecágono (11 lados) Dodecágono (12 lados) Pentadecágono (15 lados) Icoságono (20 lados) Soma dos ângulos internos de qualquer Polígono Diagonais de qualquer polígono

38 CONSTRUÇÕES DE POLÍGONOS Triângulo equilátero: a) A partir do lado: Traça-se o lado e, com centro em cada extremidade e abertura igual ao lado, faz-se o cruzamento dos arcos, determinando-se o terceiro vértice. b) Inscrito na circunferência: Descreve-se a circunferência com raio qualquer. Com a mesma abertura do raio, a partir de um ponto qualquer pertencente à curva, assinalam-se sucessivos cruzamentos, a partir de cada ponto encontrado, dividindo a circunferência em seis partes exatamente iguais. Três pontos, alternadamente, dessa divisão definem um triângulo equilátero. *Esta é uma relação métrica existente entre o raio da circunferência, que é igual ao lado do hexágono regular inscrito na mesma.

39 Quadrado: a) A partir do lado: Traça-se o lado. Por uma das extremidades, levanta-se uma perpendicular. Sobre esta, rebate-se a medida do lado. Com centro nas extremidades dos lados definidos e abertura igual ao lado, cruzamos os arcos que definirão o quarto vértice, fechando a figura. b) Inscrito na circunferência: Assinala-se um ponto, que será o centro da circunferência, descrevendo-a em seguida. Passando pelo centro, traça-se uma reta que, ao cortar a curva em dois pontos, definirá o seu diâmetro. Com centro nas extremidades do diâmetro e abertura maior que a metade deste, cruzam-se arcos que definirão o ponto que, junto com o centro da circunferência, alinharão um outro diâmetro, perpendicular ao primeiro. Estes dois diâmetros dividem a circunferência em quatro partes iguais, correspondendo aos quatro pontos que inscrevem o quadrado.

40 Pentágono regular: Inscrito na circunferência: Descreve-se uma circunferência e, como na construção do quadrado, traçam-se dois diâmetros perpendiculares. O ponto superior vertical denominaremos de A. Pelo raio horizontal direito, traçamos sua mediatriz, determinando M, ponto médio. Centro M, raio MA, baixa-se o arco que corta o raio horizontal esquerdo em N. Centro A, raio AN, descreve-se o arco que corta a circunferência em B e E. Centro B, raio AN=AB=AE, determinase C, sobre a circunferência. Centro C, mesmo raio, determina-se D. Traçamos, então, os lados AB, BC, CD, DE e AE. Hexágono regular: Inscrito na circunferência: Traça-se a circunferência e aplica-se a medida do raio sobre a mesma, dividindo-a em seis partes iguais e constrói-se o hexágono.

41 Heptágono regular: Inscrito na circunferência: Descreve-se a circunferência e traça-se uma reta que passa pelo seu centro, definindo o diâmetro. Centro numa das extremidades, mesmo raio da circunferência, traça-se um arco que corta a mesma nos pontos 1 e 2. Traça-se o segmento 12 que, ao cruzar o diâmetro, define o ponto 3. O segmento 13 corresponde à medida do lado do heptágono. Tal medida, aplicada sucessivas vezes sobre a circunferência, definirá a figura. Octógono regular: Inscrito na circunferência: Traça-se a circunferência e dois diâmetros perpendiculares. Traçando-se as bissetrizes dos ângulos de 90, teremos a circunferência dividida em oito partes iguais. Construímos, então, o octógono.