Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior

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1 Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior jc Aula 06 - Desvendando o GeoGebra PARTE 15 - PROPRIEDADES DE UM OBJETO. Ao iniciar o GeoGebra, escolha a disposição Geometria. Veremos como mudar a aparência de um objeto (sua cor, seu tamanho, sua espessura) usando o Botão Direito do Mouse. Para tanto, vamos utilizar o arquivo baricentro.ggb, que se encontra na Aula 05, em nossa página WEB: 1

2 Passo 01: Após abrir o arquivo acima, ative a ferramenta Mover. Passo 02: Coloque o apontador do mouse sobre a mediana CD e, então, clique com o botão direito do mouse! No menu que aparecerá, basta escolher a opção Propriedades... Passo 03: As várias guias (abas) dão acesso às várias propriedades do objeto! Passo 04: Vamos mudar o estilo da linha da mediana do triângulo para o formato pontilhado! Para tanto, clique na aba Estilo 2

3 Passo 05: É possível modificar as propriedades de outros objetos mantendo essa janela aberta! Para isso, basta selecionar o objeto. Por exemplo, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a mediana BF. Depois, basta mudar o estilo deste objeto para pontilhado! Deixe todas as medianas com a mesma aparência! Passo 06: Vamos agora, modificar a aparência do triângulo (polígono preenchido). Clique no interior do triângulo, selecione Propriedades.... Depois mude a cor para azul, com um nível de transparência de 25%. Resumindo, tudo o que fizemos na aula anterior através da Barra de Estilo, podemos fazer clicando no objeto com o botão direito do mouse! 3

4 PARTE 16 - A FERRAMENTA MEDIATRIZ. Veremos como usar a ferramenta Mediatriz do GeoGebra. Lembramos que a mediatriz associada a dois pontos dados é o lugar geométrico dos pontos no plano que são equidistantes a estes dois pontos. Passo 01: Vamos criar dois segmentos de reta e dois pontos arbitrários, conforme a figura a seguir. Passo 02: Ative a ferramenta Mediatriz Passo 03: Com a ferramenta ativada, selecione dois pontos! Por exemplo, clique nos pontos A e B e também nos pontos E e F. Também podemos encontrar a mediatriz selecionando um segmento. Por exemplo, clique no segmento CD. 4

5 PARTE 17 - A FERRAMENTA BISSETRIZ. Veremos como usar a ferramenta Bissetriz do GeoGebra. Lembramos que a bissetriz associada a duas retas concorrentes é o lugar geométrico dos pontos no plano que são equidistantes a estas duas retas. Para tanto, vamos utilizar o arquivo bissetriz.ggb, que se encontra na Aula 06, em nossa página WEB: Passo 01: Selecione a ferramenta Bissetriz. Passo 02: Com a ferramenta ativada, basta selecionar três pontos (para obter a bissetriz interna). Por exemplo, clique nos pontos C, A, B (o vértice sempre no meio) e nos pontos I, G, H. Ao selecionarmos duas retas concorrentes, obtemos as bissetrizes interna e externa! Por exemplo, selecione as retas vermelhas. 5

6 ATIVIDADE 01. Nesta atividade, veremos como construir o incentro e o círculo inscrito de um triângulo! Lembre-se que o incentro é o ponto de interseção das bissetrizes internas de um triângulo! Passo 01: Usando a ferramenta Segmento definido por Dois Pontos, construa um triângulo como na figura a seguir. Passo 02: Usando a ferramenta Bissetriz, encontre as bissetrizes internas do triângulo construído no passo anterior. Passo 03: Selecione a ferramenta Interseção de Dois Objetos e encontre a interseção das bissetrizes internas. Mude o nome desse ponto para I. 6

7 Passo 04: Selecione a ferramenta Reta Perpendicular e depois clique sobre o segmento AB e sobre o ponto I. Passo 05: Novamente, selecione a ferramenta Interseção de Dois Objetos e encontre o ponto que está na perpendicular, criada no passo anterior, e no segmento AB. Passo 06: Selecione a ferramenta Círculo dados Centro e Um de seus Pontos e crie um círculo com centro em I, passando pelo ponto D. 7

8 Passo 07: Esconda as construções auxiliares. Sugestão: use a técnica de seleção múltipla. Para tanto, mantenha a tecla CRTL pressionada e, então clique nos vários objetos a serem escondidos. No último objeto, clique com o botão direito do mouse e selecione Exibir Objeto. Exiba apenas o triângulo, o círculo e o ponto I. Passo 08: Manipule os vértices do triângulo. ATIVIDADE 02. (Uma falácia clássica em geometria) Abaixo temos os passos de uma demonstração errada para o seguinte teorema falso: todo triângulo é isósceles. (a) Usando somente lápis e papel, tente descobrir qual passo está errado. Anote a sua resposta! O ideal é que você faça os seus próprios desenhos no papel mas, se quiser, use esta figura aqui: 8

9 (b) Implemente os passos abaixo no GeoGebra e confirme a sua resposta. Passo 01: No triângulo ABC, seja O o ponto de interseção da mediatriz F O e do lado AB com a bissetriz CO do ângulo ACB. Passo 02: Construa os segmentos OE perpendicular ao lado AC e DO perpendicular ao lado BC, respectivamente. Passo 03: Os triângulos CEO e CDO são congruentes e, portanto, EO = DO e EC = DC. Passo 04: Como AO = BO, o triângulo retângulo AEO é então congruente ao triângulo retângulo BDO e, assim, AE = BD. Passo 05: Consequentemente, AC = AE + EC = BD + DC = BC e o triângulo ABC é isósceles. ATIVIDADE 03. (Uma falácia clássica em geometria) Abaixo temos os passos de uma demonstração errada para o seguinte teorema falso: todo ângulo é reto. Implemente estes passos no GeoGebra e descubra qual é o erro da demonstração! Passo 01: Dado um ângulo α, seja ABCD um quadrado e seja E um ponto com BE = BC e m( EBA) = α. Sejam também R o ponto médio e DE, P o ponto médio de DC, Q o ponto médio de AB e O a interseção da reta P Q com a mediatriz do segmento DE (veja a figura a seguir). Passo 02: Os triângulos AQO e BQO são congruentes, uma vez que OQ é a mediatriz do segmento AB. Segue-se então que AO = BO. Passo 03: Os triângulos DRO e ERO são congruentes uma vez que RO é a mediatriz do segmento DE. Segue-se então que DO = EO. Passo 04: Agora, DA = BE, pois ABCD é um quadrado e E é o ponto escolhido de tal maneira que BE = BC. Passo 05: Desta maneira, os triângulos OAD e OBE são congruentes porque seus lados possuem o mesmo tamanho. Passo 06: Segue-se, portanto, que m(α) = m( EBA) = m( EBO) m( ABO) = m( OAD) m( OAB) = m( BAD) = 90 o. 9

10 ATIVIDADE 04. (O teorema de Pappus) Sejam r e s duas retas. Construa os pontos A, B e C sobre a reta r e construa os pontos D, E e F sobre a reta s. Sejam P o ponto de interseção das retas AE e DB, Q o ponto de interseção das retas AF e DC e R o ponto de interseção das retas BF e EC: P = AE DB, Q = AF DC e R = BF EC. (a) Implemente esta construção no GeoGebra. Os nomes dos pontos e das retas r e s devem aparecer! Use cores diferentes para realçar as retas que definem os pontos P, Q e R. (b) Movimente os pontos semilivres e tente descobrir algum invariante geométrico. Observação: um invariante geométrico é uma propriedade geométrica (concorrência, colinearidade, comprimento, medida de ângulo, etc) que permanece constante (invariante!) para qualquer configuração da construção satisfazendo certas propriedades pré-estabelecidas. ATIVIDADE 05. (O teorema de Pascal para o círculo) Seja C um círculo. Construa os pontos A, B, C, D, E e F sobre o círculo C. Sejam P o ponto de interseção das retas AE e DB, Q o ponto de interseção das retas AF e DC e R o ponto de interseção das retas BF e EC: P = AE DB, Q = AF DC e R = BF EC. (a) Implemente esta construção no GeoGebra. Os nomes dos pontos devem aparecer! Use cores diferentes para realçar os vários elementos da construção. (b) Movimente os pontos semilivres e tente descobrir algum invariante geométrico. ATIVIDADE 06. Seja ABCP um quadrado qualquer. Sobre o lado AB construa o triângulo equilátero ABQ para dentro do quadrado e, sobre o lado BC, construa o triângulo equilátero CBR para fora do quadrado. Que propriedade marcante os pontos P, Q e R possuem? Identifique um invariante geométrico e demonstre-o! 10

11 ATIVIDADE 07. Nesta atividade veremos como construir uma parábola de foco F e diretriz r. Lembre-se que a parábola é o lugar geométrico dos pontos no plano que são equidistantes de F e r. Passo 01: Usando a ferramenta Reta definida por Dois Pontos, crie uma reta passando pelos pontos A e B. Chame esta reta de r. Passo 02: Crie um ponto F fora da reta r. Para construir a parábola, vamos precisar de uma nova categoria de pontos: semilivres. os pontos Um ponto semilivre é aquele que é criado sobre um objeto e, devido a este vínculo, ele só pode ser deslocado sobre o objeto. Passo 03: Ative a ferramenta Novo Ponto e clique sobre a reta r para criar o ponto C vinculado a esta reta! Mude a cor do ponto C para a cor rosa. Observe que este ponto só pode ser deslocado sobre a reta r! 11

12 Passo 04: Oculte os pontos A e B. Vamos agora construir um ponto P que pertence à parábola, isto é, que pertence ao lugar geométrico dos pontos equidistantes de F e de r! Passo 05: Selecione a ferramenta Mediatriz e depois, clique sobre os pontos F e C. Passo 06: Ative a ferramenta Reta Perpendicular e clique sobre a reta r e depois, sobre o ponto C. 12

13 Passo 07: Selecione a ferramenta Interseção de Dois Pontos e encontre o ponto pertencente à mediatriz e à reta perpendicular. Renomeie o ponto, chamando-o de P. Passo 08: Oculte a mediatriz e a reta perpendicular. Vamos agora usar um recurso do GeoGebra que permite rastrear (a posição de) um ponto! Ao rastrear o ponto P, teremos uma percepção melhor do lugar geométrico! Passo 09: Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto P e selecione a opção Habilitar Rastro. Depois selecione a opção Mover. 13

14 Passo 10: Clique sobre o ponto C e movimente-o sobre a reta r. Veja o rastro do ponto P! Passo 11: Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto P e desabilite a opção Habilitar Rastro. Rastros não são permanentes! Basta ampliar (use a roda do mouse) um pouco a figura que o rastro irá sumir. Usaremos agora a ferramenta Lugar Geométrico que permite construir o lugar geométrico como uma curva permanente na construção. Passo 12: Selecione a ferramenta Lugar Geométrico. Agora, clique sobre o ponto P do lugar geométrico e, depois, clique sobre o ponto semilivre C, do qual P depende. Movimente os pontos C e F! 14

15 ATIVIDADE 08. Sejam C um círculo de centro O e P um ponto de C. Para cada X em C, considere o ponto médio M do segmento P X. Qual é o lugar geométrico do ponto M quando X se desloca sobre o círculo C? Implemente esta construção no GeoGebra, investigue, faça uma conjectura. Justifique a sua conjectura para o lugar geométrico? ATIVIDADE 09. Considere dois círculos C 1 e C 2, com C 1 contido no interior de C 2. O círculo C 1 tem centro no ponto A e ele passa pelo ponto B. O círculo C 2 tem centro no ponto C e ele passa pelo ponto D. Seja agora X um ponto do círculo C 1. Marque o ponto Y que é a interseção da semirreta AX com o círculo C 2. Finalmente, construa o ponto médio M do segmento XY. (a) Implemente esta construção no GeoGebra. Os nomes dos pontos devem aparecer! Use cores diferentes para realçar os vários elementos da construção. (b) Quais são os pontos livres, semilivres e fixos desta construção? (c) Rastreie o ponto M quando X se movimenta sobre o círculo C 1. descrito pelo ponto M é um círculo? Justifique a sua resposta! O lugar geométrico ATIVIDADE ELETRÔNICA 17. No artigo Estudo das cônicas com Geometria Dinâmica, José Carlos de Souza Junior e Andréa Cardoso exploram as definições alternativas das cônicas, que facilitam técnicas do Desenho Geométrico com o auxílio do computador. Leia o artigo que está disponível no link Biblioteca na página WEB: Implemente a construção da hipérbole no GeoGebra, salve a construção com o nome hiperbole.ggb e envie o arquivo para o seguinte trabalhoinformatica.matematica@gmail.com (note o ponto entre as palavras). Use AE-17: Hipérbole como assunto (subject) deste e- mail. Só serão aceitos os s enviados até o dia 12/07/2013 (sexta-feira). Não esqueça de colocar o seu nome. 15

16 ATIVIDADE ELETRÔNICA 18. Seja ABC um triângulo qualquer. Sobre os lados AB e AC construa, respectivamente, triângulos equiláteros P AB e RCA para fora do triângulo ABC. Sobre o lado BC, construa o triângulo equilátero QCB para dentro do triângulo ABC. Por fim, trace os segmentos P Q e QR. (a) Implemente esta construção no GeoGebra. Quais são os pontos livres? (b) Que propriedade marcante o quadrilátero P QRA possui? Identifique o invariante geométrico e demonstre-o! Implemente este enunciado no GeoGebra, salve a construção com o nome aquecimento.ggb e envie o arquivo para o seguinte trabalhoinformatica.matematica@gmail.com (note o ponto entre as palavras). Use AE-18: Invariante Geométrico como assunto (subject) deste . Só serão aceitos os s enviados até o dia 12/07/2013 (sextafeira). Não esqueça de colocar o seu nome. 16