Incerteza e propagação de Erros em sistemas de medição. Prof. Valner Material desenvolvido com notas de aulas e

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1 Incerteza e propagação de Erros em sstemas de medção Prof. Valner Materal desenvolvdo com notas de aulas e bblografa

2 Incerteza de medção Documento mportante: Gude to the Epresson of Uncertant n Measurement (ISO-GUM). Gua Internatonal anos de desenvolvmento e revsões fetas por sete organzações nternaconas. Fortemente recomendado por Insttutos referênca como o NIST Melhor manera de certfcar-se sobre a consstênca entre laboratóros do mundo.

3 Modelo de Medda Df Defna o mensurando- measurand a quantdade d sujeta à medção Determne o modelo dl matemátco, com as quantdades dd de entrada X 1,X,,X N, e (pelo menos) uma quantdade de saída,y. Os valores determnados para as quantdades de entrada são chamados de estmatva da entrada e são denotados por 1 1,,,,, N. O valor calculado para as quantdades de saída são chamados de estmatva de saída e são denotados por.

4 Incerteza de medção (VIM) : Parâmetro não negatvo que caracterza a dspersão dos valores atrbuídos a um mensurando, com base nas nformações utlzadas. as. NOTA 1: A ncerteza de medção compreende componentes provenentes de efetos sstemátcos, tas como componentes assocadas a correções e valores desgnados a padrões, assm como a ncerteza defnconal. Algumas vezes não são corrgdos os efetos sstemátcos estmados; em vez dsso são ncorporadas componentes de ncerteza assocadas.

5 Incerteza padrão A ncerteza pode ser, por eemplo, um desvo-padrão denomnado ncerteza de medção padrão (ou um de seus múltplos) úll ou a metade de um ntervalo tendo uma probabldade de abrangênca determnada. OBS.: utlzase o desvo padrão da méda, como vsto anterormente, o qual depende do número de ensaos n; A ncerteza de uma estmatva de entrada,, é denotada por u(( ). A ncerteza padrão de uma estmatva de saída,, determnada pela propagação da ncerteza, é chamada de ncerteza padrão combnada, e é denotada por u c ().

6 Incerteza tpo A Avalação estatístcada ncerteza envolvendo uma sére de observações Sempre possu uma assocação com o número de graus de lberdade. Eemplos ncluem smples médas e estmatvas de mínmos quadrados

7 Incerteza tpo B ualquer avalação que não é do tpo A é uma avalação do tpo B. Não é ncerteza sstemátca Eemplos: Usando eperênca profssonal combnada com uma dstrnução retangular Obtendo d ncertezas padrão dã de certfcados padrão dã ou de lvros de referênca

8 Covarânca Correlações entre as estmatvas de entrada afetam a ncerteza padrão combnada da estmatva de saída. A covarânca estmada de duas estmatvas de entrada, and j, são denotadas por u(, j ).

9 Propagação de ncertezas Le da propagação de ncertezas, ou, smplesmente, a equação de propagação de ncertezas Incertezas padrão e covarâncas de estmatvas de entrada são combnadas matematcamente para produzr a ncerteza padrão dã combnada da quantdade de saída.

10 Incerteza epandda Multplque a ncerteza padrão combnada, u c (), por um número k, chamado fator de cobertura para a obter a ncerteza epandda, a, U. A probabldade que o ntervalo - U contém o valor do mensurando é chamada de nível de cobertura ou nível de confdênca ou de confança.

11 Propagação de ncertezas Intervalo de Confança O ntervalo de confança consste em um número fo, postvo menor que 1 que representa a probabldade de um determnado parâmetro da população (a ser estmado) estar compreendda entre dos lmtes. P L ϕ L ( ) 1

12 Intervalo de confança nº de Intervalo de Nível de Nível de confança confança Sgnfcânca 3.30 ( 3.3) v ( 3.3) 3.0 ( 3) v ( 3) (%) (%) < < < < (.57 ) v (.57 ) < < ( ) v ( ) 1.96 ( ) < < ( 196 v 1.96 ) < < < < ( 1.65) v ( 1.65) 1.0 ( ) v ( ) (ncerteza padrão) < < < <

13 Análse de Incertezas Varáves Modfcantes Afetam a sensbldade da letura em relação à varável de nteresse (mensurando) Contrbuem de forma multplcatva Varáves Interferentes Afetam a letura mas não a sensbldade da letura em relação à varável de nteresse Contrbuem C de forma adtva

14 Análse de Incertezas Efetos das varáves modfcantes e nterferentes em um sstema de medção lnear letura Varável nterferente e modfcante Varável nterferente e modfcante varável Sensbldade alterada Sensbldade alterada Varável modfcante varável Varável modfcante Deslocamento de Deslocamento dezero zero Sensbldade alterada Sensbldade alterada deal Varável nterferente Varável nterferente varável Deslocamento de Deslocamento dezero Zero u1

15 Análse de Incertezas Especfcação cação da Letura Se o erro sstemátco for removdo então: Medda Ideal = Medda Real ± ncerteza A Incerteza é estabelecda um valor lmte de mámo e mínmo com um determnado nível de confdênca Eemplo:,6g 10 gramas = (Medda Real ± 1,3) gramas com 10g nível de confdênca de 95% Valor deal da Medda

16 Análse de Incertezas Incertezas (erro não sstemátco) Tpo A Avaladas por métodos estatístcos Caracterzadas pela varânca ou desvo padrão (geralmente defndo como o desvo padrão da méda) e pelo número de graus de lberdade Tpo B Avaladas por outros meos: dados obtdos prevamente eperênca ou conhecmento do comportamento do sstema de medção especfcação do fabrcante dados obtdos de curvas de aferção ou outros documentos Caracterzadas pela quantdade u j ou u j que podem ser tratadas como apromações de varânca e desvo padrão para efetos de cálculos.

17 Propagação de Incertezas Ao proceder com um ensao epermental para eecutar a medção de uma varável, é comum defnr um ntervalo no qual a medda é sgnfcatva como vsto na secção anteror. Este parâmetro depende das condções ambentas, da habldade do operador entre outras. Ao utlzar duas meddas epermentas, cujas ncertezas são conhecdas,,para determnar uma nova grandeza devese consderar a mesma dentro de seu ntervalo de confança (na maora das vezes determnado pela ncerteza padrão) na segunte forma: G ± G onde G é a grandeza e ΔG a ncerteza padrão

18 Propagação de Incertezas Consderando uma grandeza dependente das varáves,, z,... as quas possuem dstrbuções de erros gaussanas com desvos padrões,, z,... e médas,, z... respectvamente a grandeza pode ser calculada para qualquer q conjunto de varáves G (, z,...),

19 Análse de Incertezas Efeto da Incerteza sobre = f ± u, ± u, L, ± u, L ( ) 1 1 Epansão em Sére de Talor: k k L f = f 1,, 3, ± uk L,,, k k 1 3 f( 1,,...) ( ) ( ) L u c k u c Varação em ncerteza u k

20 Análse de Incertezas Eemplo: Suponha que medmos a corrente (I) e a resstênca (R) de um resstor. Pela le de Ohm: V = IR Se nós conhecemos as ncertezas (ou desvos padrões) em I e R,qual a ncerteza em V? Mas formalmente, dada uma relação funconal entre algumas varáves (,, z), =f(,, z) ual é a ncerteza em conhecendo as ncertezas em,, e z? Geralmente consderamos a ncerteza padrão em, e escrevemos: ±s. Na maora dos casos assummos a ncerteza Gaussana e como vsto anterormente, 68% das vezes, esperamos que o valor de esteja no ntervalo [-s, s]. Nem todas as meddas podem ser representadas por dstrbuções Gaussanas! Para calcular a a varânca de como função das varâncas em e, então usamos: =

21 Análse de Incertezas Se as varáves e não são correlaconadas, então = 0 e o últmo termo na equação anteror é zero. Podemos deduzr essa da sequnte manera: Assumndo que temos algumas quantdades meddas (1,...N) e (1,,...N). As médas de e : N 1 1 = e = N = 1 N = 1 f (, ) defna: f (, ) avalada nos valores médos epandndo sobre estes valores médos: N = (, ) ( ) ( ) termos de ordens altas,, assumndo que os valores meddos encontram-se prómos das médas, e desprezando termos de ordens mas elevadas:

22 á Análse de Incertezas = N,, ) ( 1 ) ( ) ( = = = N N N N N N N 1 ) )( ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( = = = = = N N N N N 1 1, 1,, 1, ) )( ( Se as meddas não são correlaconadas o últmo termo na equação acma é zero:,,,, Uma vez que as dervadas são avaladas nas médas (, ), podemos trá-las da soma,, = Erros não correlaconados

23 Análse de Incertezas Se e são correlaconados, defnmos como: N ) )( 1 ( N 1 ) )( ( = = = Eemplo: Potênca em um crcuto elétrco.,,,, P = I R Faça I = 1.0 ± 0.1 A e R = 10. ± 1.0 Ω P = 10 W Calcule a varânca na potênca usando a propagação de ncertezas d I R ã ã l d assumndo que I e R não são correlaconados P = I P I R P R = I (IR) R (I ) = (0.1) ( 1 10) (1) (1 ) = 5 watts P I I I=1 R R R=10 I ( ) R ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

24 Análse de Incertezas P = 10± watts S l d d d tê f d 10 W ó d Se o valor verdadero da potêca for de 10 W e nós medrmos a mesma com uma ncerteza padrão (s) de ± W, consderando uma dstrbução Gaussana, então 68% das meddas fcará dentro do ntervalo [8,1] W, f [, ] Podemos anda, fazer o cálculo anteror com erros relatvos: P P Observe que se a corrente for medda com mas precsão a 1) (4 (0.1) = = = = R I R P P I P P P R I R I P Observe que se a corrente for medda com mas precsão, a ncerteza na potênca ca mas rapdamente. Pode-se mostrar que em uma função do tpo: f(,,z)= a b z c, a q ç p f(,, ), varânca relatva de f(,,z) é: c b a = z c b a f z f

25 Análse de Incertezas O desvo na méda A méda de algumas meddas com a mesma ncerteza () é dada por: = 1 ( 1... n ) n = = 1 n n n 1 n... 1 n = n 1 n = n desvo padrão na méda ou ncerteza padrão A precsão aumenta com a raz quadrada do número de epermentos. Não confunda com! está relaconado com a largura da função densdade probabldade ( e.: Gaussana) da qual as meddas são orgnadas. não dmnu quando se aumenta o número de elementos.

26 Propagação de Incertezas Depos do procedmento matemátco, das smplfcações e consderações pode se obter a epressão para a ncerteza consderações, pode-se obter a epressão para a ncerteza padrão na grandeza G :... = z G z G G G Esta equação permte calcular a ncerteza mas provável da grandeza G em função das ncertezas de cada uma das g varáves, das quas a mesma é dependente.

27 Propagação de Incertezas Todas as grandezas físcas,,quando meddas devem ser representadas por um valor numérco, uma ncerteza e uma undade (se a grandeza não for admensonal). Eemplo: temperatura ndcada no panel de um forno : 700 C C. A epressão grandeza físca mplca na determnação de um número que representa a grandeza e tem pouco valor caso não seja conhecda a ncerteza correspondente. Assm, no caso da temperatura do forno, consderando a precsão do sensor de temperatura, do nstrumento de ndcação e dos cabos poder-se-a chegar a uma nformação do tpo: ( 700 ± 5) o C Onde o valor 700 ndca a grandeza nomnal medda ou estmada e o valor 5 a ncerteza (em ºC) relaconada a esta medda.

28 Propagação de Incertezas Erros em uma medda: A análse quanttatva é realzada a partr da medda dos valores das grandezas relaconadas à propredade alvo da pesqusa. O usuáro faz uso de nstrumentos de medda cuja compledade vara de acordo com a natureza da grandeza a ser mensurada. O grau de sofstcação e ou de precsão do aparelho utlzado não lvra o operador da estênca de erros ao realzar a medda. Dados epermentas devem ser acompanhados por um posteror tratamento matemátco que permta uma avalação da confabldade dos resultados obtdos, sto é, quanto os mesmos estão corretos, são acetos ou mesmo nfundados. No processo de medda há uma combnação de números fatores que nfluem, de forma decsva, nos resultados. Uma vez que é mpossível a determnação de como cada fator nfluenca no processo, o erro verdadero da medda permanece desconhecdo. É possível somente uma estmatva do erro mámo acetável para o processo, caracterzado pelo ntervalo de ncertezas.

29 Propagação de Incertezas Um ar condconado d de BTU tem uma tensão elétrca medda de E = ( 0 ± 10) V e corrente I = ( 6± 1) A.Pretende-se determnar a potênca real dsspada neste aparelho de ar condconado: P = ( )( ) = W Pma = ( 0 10)( 6 1) = 1610 W mn P= VI = 00.6 = 130 W Entretanto, apesar de possível, é bastante mprovável que a ncerteza da potênca seja dada por essas quantdades, uma vez que dos maores ou menores valores de medda d smultâneos devem ocorrer. Segundo o método apresentado anterormente, o resultado do cálculo da ncerteza fnal é uma função das varáves ndependentes,, z,... para: = G,, z,... ( ) G

30 Incerteza Combnada Incerteza Combnada uc Estmatva dos lmtes da ncerteza em Se as varáves forem estatstcamente ndependentes: u c = k f,, 3, L k k 1 3 u k Se a função de transferênca for lnear: ( λ ) k k u c u c = k k

31 Incerteza Epandda Especfcando a Incerteza da Medda (Precsão) Medda Ideal = Medda Real ± U U é a Incerteza Epandda k = Fator de Cobertura Determna o Nível de Confdênca U = ±kuk Grau de crença de que o valor deal da medda se encontra no ntervalo Se a quantdade z apresentar uma dstrbução normal, com Fator de Cobertura espectânca z e desvo p(z) padão, o ntervalo z ±k abarca 68,7%; 90%; 95,45%; 99% Área = e 99,73% P( z k <z< (nível z k de ) confdênca) dos possíves valores de z, para k=1; k=1,645; k=; k=,576 e k=3 respectvamente (consderando nível graus de confdênca de lberdade ) Área Para outras dstrbuções os valores z são dferentes z k z z k c

32 Propagação de Incertezas Consdere, nos prómos eemplos, erros com dstrbução gaussana. Se nada for nformado sobre o nível de confdênca, o mesmo corresponde a 68,3% (±). No eemplo da potênca, calcule a ncerteza resultante mas provável. A superfíce juntamente t com a ncerteza total t de um paralelepípedo l deve ser calculada. Os resultados das meddas das dmensões são: = ( 100 ± 1% ) mm = ( 300 ± 3% ) z = ( 5 ± ) mm mm

33 eercícos Aplca-se uma Tensão de = 100. V ± 1%. a um resstor de R = 10. Ω ±, sendo a corrente medda gual a I = 10. A ± 1%. Deseja-se calcular a potênca dsspada de três modos dferentes: V P = R V 10 ± 1 % P = RI P = V. I ual dos modos você consdera mas adequado?

34 eercícos ( )Ω ( )Ω Dados dos resstores, R = 300 ±., R 1 = 0 ± 4., determne o valor da resstênca equvalente, quando: (a) Os resstores estverem em sére; (b) Os resstores estverem em paralelo.

35 eercícos A resstênca elétrca de um fo de cobre, em função da temperatura, é dada por: R = R0 1 α ( T T0) onde, Ro = 6,00 Ω ± % ( na temperatura To) α = 0,0004 C -1 ± 5% T = 40 C C ± C To = 0 C ± C Calcule R com a sua ncerteza relatva

36 Análse de ncerteza - Eemplo Incerteza Combnada Eemplo: 600 Condconador de Snal 1 1 Condconador d de Snal 500 1=. = = m ± dstrbução normal nível de confdênca 300 =99,73% graus de lberdade d u =/3=0,66 00 e 1 = 5 ± dstrbução normal nível de confdênca =95,45% graus de lberdade 0 u e1 =1/=0,5 u e 1 Varável espúra e 1 c u c U =10. (e1)-3 =, 1 0,0 u u e m e 1 m = [ ( 0 ) 0,66 ] [ ( 10 ) 0,5 ] = =(0 m 47) ± 4 k=3 Grau de confdênca 99,73%

37 Análse de ncerteza - Eemplo Incerteza Combnada Eemplo: 600 Condconador 500 de Snal =.e. 400 e 300 Fonte de Almentação =m±0,4 e=10 ± 3, dstrbução 100normal nível de confdênca =95,45% graus de lberdade u =0,4/=0, u e =3,/=1,6 u c, 10 u,10 u e m = e m c [(.10) 0,] [( ) 1,6 ] u = 00 U(1) m u = c 16 10,4m = 0 m ± 3. (1610,4 m ) k=3 Grau de confdênca 99,73%

38 Propagação de Incerteza A ncerteza se propaga p de um estágo para outro do Sstema de Medção A função de transferênca de cada estágo afeta a ncerteza Condconador de Snal 1 1 Condconador de Snal 1=. = e 1 Varável espúra e 1 u 1=. u 1 = u 1= 1 e 1 = e u u u = u =10 u 1 u e 1

39 Propagação de ncerteza - Eercíco Eercíco Determne a ncerteza epandda em cada estágo. 3 ^ X 3.ln ^3 05 0,5 e 1 e e 3 =m±0,05 (99,73%) e 1 = ± 0,1 (95,45%) e =0 ± 0,4 (99%) e 3 =1 ± 0,1 (99,73%) ual das fontes de ncerteza é predomnante?

40 Bblografa VUOLO J. H. Fundamentos da Teora de erros. Ed. Edgard Blücher. HOLMAN J. P. Epermental Methods for Engneers,.McGraw-Hll, Inc DOEBELIN, O. Measurement Sstems, McGraw-Hll, BOLTON, W. Instr umentação e Controle, Ed. Hemus, BECKWITH e Buck, Mechancal Measurements, McGraw-Hll, 199 NOLTINGK, B.E., Instrument Technolog, Ed. Buttherworths, 1985 BALBINOT A., BRUSAMARELLO V. J., Instrumentação e Fundamentos de Meddas V 1 e V, 006 e 007.