Carlos José Braga Barros e Josiney Alves de Souza Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Maringá cjbbarros@uem.br jasouza@uem.

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1 Minicurso sobre transitividade e transitividade por cadeias para ações de semigrupos em espaços topológicos Apresentado na Escola e Workshop de Teoria de Lie, Unicamp, 2010 Carlos José Braga Barros e Josiney Alves de Souza Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Maringá cjbbarros@uem.br jasouza@uem.br 6 de novembro de 2010

2 Prefácio O objetivo deste minicurso é apresentar a noção de comportamento assintótico para ações de semigrupos em espaços topológicos. Mostramos como é feita a extensão dos conceitos de conjuntos!-limite e -limite por cadeias, que são originais da teoria de sistemas dinâmicos. Para a teoria de ações de semigrupos em geral, comportamento assintótico é um assunto bastante recente, o qual foi proposto pelo professor Luiz San Martin do IMECC- Unicamp e estudado nos trabalhos [1],[2],[3],[7]. A idéi possibilita estudar dinâmicas de semigrupos em uma gama de direções, contribuindo com aplicações relevantes em sistemas de equações diferenciais, em sistemas de controle, e em ações de grupos de Lie, que são de interesse especial. Utilizamos as três aulas para de nir os conceitos de transitividade e transitividade por cadeias e apresentar alguns exemplos ilustrativos. Um estudo mais completo encontrase nos artigos [1],[2], o que inclui outros conceitos relacionados com comportamento assintótico, tais como atrator e decomposição de Morse. Esperamos que este minicurso ofereça uma idéia intuitiva sobre o assunto e até mesmo motive o ingresso de alunos neste nova linha de pesquisa. 2

3 Aula 1 Nesta primeira aula de nimos conjuntos limites para ações de semigrupos e apresentamos o conceito de recorrência. Antes, estabelecemos algumas de nições básicas de ações de semigrupos sobre espaços topológicos. 0.1 Preliminares Uma ação de um semigrupo S sobre um espaço topológico X aplicação : S M! M (s; x) 7! (s; x) = sx é de nido por uma que satisfaz s (tx) = (st) x, para todos s; t 2 S e x 2 X. A ação será indicada pela tripla (S; X; ) ou simplismente por (S; X). Para cada s 2 S, denotamos por s : X! X a aplicação s () = (s; ). Então, s t = st para todos s; t 2 S. Dados subconjuntos A S e Y X de nimos os conjuntos AY = [ s2a s (Y ) e A Y = [ s2a 1 s (Y ) : Um subconjunto Y X é dito progressivamente invariante se S Y, regressivamente invariante se S Y Y, e invariante se for progressiva e regressivamente invariante. 0.2 Recorrência Seja (S; X; ) uma ação de semigrupo onde cada aplicação s : X! X é contínua. De nição 0.1. Sejam F uma família de subconjuntos não vazios de S e Y X. O conjunto!-limite de Y com respeito a F é dado por! (Y; F) = \ A2F AY : 3

4 O conjunto! -limite de Y com respeito a F é dado por! (Y; F) = \ A2F A Y : Exemplo 0.1. Um semi uxo contínuo : R + X! X sobre um espaço topológico X satisfaz (i) 0 = Id X e (ii) (s + t; x) = (s; (t; x)) para todo s; t 2 R + e x 2 X. Logo, um semi uxo é uma ação do semigrupo (R + ; +) sobre X. Para cada t 2 R +, de na o subconjunto A t R + pondo A t = fs 2 R + : s tg. Considere a família F = fa t : t 2 R + g de subconjuntos de R +. Então! (Y; F) = \ A t2f A t Y = \ t0 [ s (Y ) e! (Y; F) = \ st A tt2f A t Y = \ t0 [ st 1 s (Y ) coincidem com os conjuntos! e! -limites usuais da teoria de semi uxos. Substituindo R + por Z + temos a ação do semigrupo discreto (Z + ; +) sobre X, conhecida como semi uxo discreto. Sugerimos o artigo [6] para um estudo completo sobre semi uxos em espaços topológicos. Exemplo 0.2. Seja S R n um cone munido com a operação de soma de vetores. Considere uma ação : S X! X de S sobre um espaço topológico X. Tome a família F das translações de S dada por F = fs + u : u 2 Sg. De na a seguinte relação de ordem em S: v > u, v 2 S + u ou v = u: Temos que! (Y; F) = \ S+u t2f! (Y; F) = \ S+u2F (S + u) Y = \ u2s (S + u) Y = \ u2s [ v (Y ) v>u [ v>u 1 v (Y ): De nição 0.2. Seja F uma família de subconjuntos não vazios de S. Um ponto x 2 X é dito F-recorrente se x 2! (x; F). Um subconjunto Y X é F-transitivo se Y! (y; F) para todo y 2 Y. Denotando por R F o conjunto de todos os pontos F-recorrentes, o fecho é chamado de centro de Birkho com respeito a F. Exemplo 0.3. Seja S = GL (n; R) + = fg 2 M n (R) : det g > 0g e considere a ação natural de S sobre R n : (g; v) 7! gv. Para cada t > 0, de na A t = fg 2 S : det g tg e tome a família F = fa t : t > 0g de subconjuntos de S. Para U R n temos [! (U; F) = \ gu e! (U; F) = \ t>0 det gt t>0 4 [ det g 1 t e gu:

5 Observe que a origem 0 de R n é um ponto xo para a ação de S. Logo,! (0; F) =! (0; F) = f0g, e 0 é um ponto F-recorrente. Agora, para quaisquer u; v 2 R n r f0g e t > 0, é possível encontrar uma matriz g 2 A t tal que gu = v (veri que isso). Logo, v 2! (u; F) e, portanto, R n r f0g! (u; F) para todo u 2 R n r f0g. Assim, R n r f0g é um conjunto F-transitivo. cos t sent Exemplo 0.4. Seja S = e s : s; t > 0 agindo naturalmente sobre o sent cos t disco unitário X = fx 2 R 2 : kxk 1g. Observe que a componente escalar e s comprime cos t sent e a componente matricial faz girar os elementos de X. Considere a sent cos t cos t sent família F dos subconjuntos A n = e s : s + t n, n 2 N. Note sent cos t que! (x; F) = fy 2 X : kyk kxkg é o disco de raio kxk. Assim, cada círculo de raio 0 r 1 é um conjunto F-transitivo. 5

6 Aula 2 Esta segunda aula é dedicada ao conceito de recorrência por cadeias para ações de semigrupos na forma mais abstrata conhecida até o momento. Este tipo de recorrência generaliza a recorrência simples ou ordinária, que foi apresentada na aula anterior, e depende tanto de uma família de subconjuntos do semigrupo quanto de uma família de coberturas do espaço topológico. 0.3 Recorrência por cadeias Seja (S; X; ) uma ação de semigrupo. Dadas duas coberturas abertas U e V de X, escrevemos V 6 U se V é um re namento de U. Também escrevemos V 6 1 U se para 2 todo V; V 0 2 V com V \ V 0 6= ;, existe U 2 U com V [ V 0 U. Se N X é aberto e K N é compacto, dizemos que uma cobertura aberta U de X é K-subordinada a N se U 2 U e U \ K 6=? implicar U N. De nição 0.3. Seja O uma família de coberturas abertas de X. admissível se Dizemos que O é 1. para cada U 2 O, existe V 2 O tal que V U; 2. N X é um conjunto aberto e K N é compacto, existe U 2 O o qual é K-subordinado a N; 3. dadas U; V 2 O, existe W 2 O que re na ambas as coberturas U e V. Exemplo 0.5. Se X é paracompacto, então a família O (X) de todas as coberturas abertas de X é admissível. Ver em qualquer bom tratado de topologia geral. Assim, O (X) é a família admissível mais na de X. De nição 0.4. Sejam U uma cobertura aberta de X, x; y 2 X e A S. Uma (U; A)- cadeia de x para y consiste de uma sequência de pontos x 0 = x; x 1 ; :::; x n = y 2 X, de elementos s 0 ; :::; s n 1 2 A, e de abertos U 0 ; :::; U n 1 2 U tais que s i x i ; x i+1 2 U i, para i = 0; :::; n 1. 6

7 A grosso modo, uma (U; A)-cadeia de x para y consiste em "atingir"o ponto y a partir de x com ações de elementos de A e com saltos em abertos da cobertura U. De nição 0.5. Sejam O uma família de coberturas abertas de X e F uma família de subconjuntos de S. Para Y X, o conjunto -limite por cadeias com respeito a F e O é de nido por (Y; F; O) = \ (Y; U; A) U2O;A2F onde (Y; U; A) = fx 2 X : existem y 2 Y e uma (U; A) -cadeia de y para xg. O conjunto -limite por cadeias com respeito a F e O é de nido por (Y; F; O) = \ (Y; U; A) U2O;A2F onde (Y; U; A) = fx 2 X : existem y 2 Y e uma (U; A) -cadeia de x para yg. Um ponto x 2 X é dito F-recorrente por cadeias se x 2 (x; F; O). Um conjunto Y X é dito F-transitivo por cadeias se Y (y; F; O) para todo y 2 Y. Denotase por R F;O o conjunto de todos os pontos F-recorrentes por cadeias com respeito a O. Observação 0.1. Os conjuntos F-transitivos por cadeias maximais formam uma partição de R F;O e são da forma M = (x; F; O) \ (x; F; O) (x 2 R F;O ) : Exemplo 0.6. Seja : R X! X um uxo sobre um espaço compacto X: 0 = Id X, cada t é um homeomor smo de X, e t+s = t s 8t; s 2 R. Seja O f a família de todas as coberturas abertas e nitas de X. Dados x; y 2 X, t > 0 e U 2 O, uma (U; t)-cadeia de x para y consiste de pontos x 0 = x; :::; x n = y 2 X, de tempos t 0 ; :::; t n 1 t e de abertos U 0 ; :::; U n 1 2 U tais que (t i ; x i ) ; x i+1 2 U i, i = 0; :::; n 1 (ver Conley [5, pg 36]). Se para cada t > 0 de nirmos A t = fs 2 R : s tg e considerarmos a família F = fa t : t > 0g, então (U; t)-cadeias coinsidem com (U; A t )-cadeias. Portanto, o conhecido conceito de transitividade por cadeias para o uxo coinside com a F-transitividade por cadeias com respeito a O f. PS.: A família O f é admissível (tente provar isso). Exemplo 0.7. Sejam M uma variedade diferenciável de dimensão nita, com métrica d, e O d a família das coberturas U ", " > 0, onde U " é constituído pelas bolas de raio ". Seja V uma família de campos de vetores completos sobre M, e denote por e tx o difeomor smo de M tal que d dt etx (x) = X e tx (x). O sistema de controle sobre M determinado por V consiste da ação do semigrupo de difeomor smos S = e t 1X 1 e tnxn : t i 0; X i 2 V; n 2 N : 7

8 Convencionamos denotar um elemento e t 1X 1 e tnxn 2 S por ' t, onde t = P n i=1 t i. Dados "; t > 0 e x; y 2 M, uma ("; t)-cadeia de x para y consiste de pontos x 0 = x; :::; x m = y 2 M e de tempos t 0 ; :::; t n 1 t tais que d ' i t i (x i ) ; x i+1 < " i = 0; :::; m 1 (sugerimos o livro de Colonius Kliemann [4] para um estudo completo sobre sistemas de controle). Se para cada t > 0 de nirmos o conjunto A t = e t 1 X 1 e tnxn : P n i=1 t i t; X i 2 V; n 2 N e considerarmos a família F = fa t : t > 0g de subconjuntos de S, temos que ("; t)-cadeias coinsidem com U "=2 ; A t -cadeias. Logo, o conhecido conceito de transitividade por cadeias para o sistema de controle é reproduzido pela F-transitividade por cadeias com respeito a O d. PS.: A família O d é admissível (desa amos o leitor a provar isso). Sugerimos os papers [1],[2],[3] para mais exemplos de assintoticidade estabelecida por uma família de subconjuntos de um semigrupo. 8

9 Aula 3 Nesta aula nal apresentamos as relações entre transitividade e transitividade por cadeias. Podemos ver diretamente que todo conjunto transitivo é transitivo por cadeias. Por outro lado, damos um exemplo de conjunto transitivo por cadeias que não é transitivo. No caso de ações de semigrupos sobre espaços compactos, enunciamos o teorema que descreve os conjuntos -limite por cadeias como intersecção de conjuntos!-limites. Seja (S; X; ) uma ação de semigrupo onde cada s é contínua. Considere xadas uma família F de subconjuntos de S e uma família O de coberturas abertas de X. Dado Y X, temos que! (Y; F) (Y; F; O) : Com efeito, se x 2! (Y; F), U 2 O e A 2 F, escolha um aberto U 2 U tal que x 2 U. Então U \ AY 6=?, de onde segue que existem s 2 A e y 2 Y tais que sy; x 2 U, formando uma (U; A)-cadeia de x para y com apenas um salto. Isto signi ca que todo ponto x F-recorrente é F-recorrente por cadeias, pois x 2! (x; F) (x; F; O). Por outro lado, um ponto F-recorrente por cadeias geralmente não é F-recorrente, como podemos ver no exemplo abaixo. De nição 0.6. Uma família Fde subconjuntos de S satisfaz a hipótese de translação à direita se, para cada A 2 F e s 2 S, existir B 2 F com B As. Observe que as famílias consideradas em todos os exemplos das aulas anteriores satisfazem a hipótese de translação à direita, exceto aquela do Exemplo 0.4 da Aula 1 (convido você a veri car). Assuma a partir de agora que F satisfaz a hipótese de translação à direita. Dado Y X, temos que! (Y; F) (Y; F; O) : De fato, se x 2! (Y; F), U 2 O e A 2 F, escolha s 0 2 A e tome B 2 F tal que B As 0. Escolha também U 0 2 U tal que s 0 x 2 U 0. Pela continuidade de s0, s 1 0 (U 0 ) é um aberto que contém x. Logo, s 1 0 (U 0 ) \ B Y 6=?. Tomando u 2 s 1 0 (U 0 ) \ B Y, 9

10 existe b 2 B tal que bu 2 Y. Visto que B As, temos que b = s 1 s 0, com s 1 2 A. Escolha U 1 2 U tal que bu 2 U 1. Finalmente, denote x 0 = x; x 1 = s 0 x; x 2 = bu. Temos que s 0 x 0 ; x 1 2 U 0 e s 1 x 1 = bu 2 U 1 formando uma (U; A)-cadeia de x para bu 2 Y. Logo, x 2 (Y; F; O). Dizemos que a ação é aberta se s é uma aplicação aberta para todo s 2 S. Assumindo que a ação é aberta, podemos mostrar que! (Y; F) (Y; F; O), mesmo que F não satisfaça a hipótese de translação à direita. O leitor ca motivado a demonstrar este fato. Proposição 0.7. Se x 2 X e! (x; F) 6=?, então! (x; F) é F-transitivo por cadeias com respeito a O. Demonstração: Sejam y; z 2! (x; F), U 2 O e A 2 F. Escolha s 0 2 A. Como y 2 Ax, segue por continuidade que s 0 y 2 s 0 Ax. Tome U 0 2 U tal que s 0 y 2 U 0. Então U 0 \ s 0 Ax 6=?. Logo, existe s 2 S tal que sx 2 U 0. Agora, escolha U 1 2 U tal que z 2 U 1. Existe B 2 F com B As. Como z 2 Bx Asx, existe s 1 2 A tal que s 1 sx 2 U 1. Denotando x 0 = y; x 1 = sx; x 2 = z, temos s 0 x 0 ; x 1 2 U 0 e s 1 x 1 ; x 2 2 U 1 formando uma (U; A)-cadeia de y para z. Este resultado diz que todo conjunto! (x; F) 6=? está contido em algum conjunto F-transitivo por cadeias maximal, mesmo que x não seja F-recorrente por cadeias. Em particular, todo conjunto F-transitivo é F-transitivo por cadeias. A recíproca não é verdadeira. Exemplo 0.8. Seja S = R + o grupo multiplicativo dos números reais positivos. Considere a seguinte ação de S (sobre si próprio) : S (0; +1)! (0; +1), (s; x) = sx, onde sx é o produto de s por x. Seja X = (0; +1) [ f1g a compacti cação de Alexandro, ou seja, o espaço topológico compacto que tem como conjuntos abertos: (i) V, onde V é um aberto em (0; +1), e (ii) X n K, onde K é um compacto em (0; +1). A ação de S se estende para X pondo (s; 1) = 1, e (s; x) = sx para todo s 2 S e x 2 X. Considere a família F de subconjuntos de S dada por F = f(a; +1) : a > 0g. Não é difícel ver que F satisfaz a hipótese de translação à direita. Como 1 é um ponto xo, temos que! (1; F) =! (1; F) = f1g. Para x 2 (0; +1), temos! (x; F) = \ a>0! (x; F) = \ a>0 (a; +1) x X = \ a>0 (a; +1) x X = \ a>0 (ax; +1) X = \ a>0 ([ax; +1) [ f1g) = f1g ; 0; 1 X x = \ 0; x i [ f1g = f1g : a a a>0 10

11 Logo, o único ponto F-recorrente é 1. Agora, seja O a família de todas as coberturas abertas de X. Vejamos que X é F-transitivo por cadeias com respeito a O. Primeiramente, notemos que 1 2! (x; F) (x; F; O), 8x 2 X. Sejam x; y 2 (0; +1), (a; +1) 2 F e U 2 O. Tome U 0 2 U uma vizinhança de 1. Então existem 0 < b < c < +1 tais que (0; b) [ (c; +1) U 0. Escolha s 0 ; s 1 2 (a; +1) su cientemente grandes tais que s 0 x > c e y s 1 < b. Temos que s 0 x; y s 1 2 U 0 e s 1 y s 1 = y; formando uma (U; (a; +1))-cadeia de x para y. Portanto, X = (x; F; O) para todo x 2 X. 0.4 Caso compacto No caso em que o espaço é compacto Hausdor, existe uma relação mais forte entre os conjuntos!-limite e os conjuntos -limite por cadeias. Esta relação é obtida à partir do conceito de atrator. Seja (S; X; ) uma ação de semigrupo onde X é compacto Hausdor e cada s é contínua. Seja F uma família de subconjuntos de S que satisfaz a hipótese de translação à direita e é uma base de ltro, ou seja,? =2 F, e para quaisquer A; B 2 F, existe C 2 F com C A \ B. Seja O uma família admissível de coberturas abertas de X. De nição 0.8. Um conjunto A X é um F-atrator se existe uma vizinhança V de A tal que! (V; F) = A. O seguinte teorema requer uma sequência de resultados, e sua demonstração se encontra em [1, Proposição 4.10]. Ele diz que no caso compacto a transitividade por cadeias não depende da família admissível de coberturas abertas de X. Teorema 0.9. Seja Y X não vazio. O conjunto (Y; F; O) coinside com a intersecção de todos os F-atratores contendo! (Y; F). Uma consequência direta deste teorema é a seguinte caracterização do conjunto R F de todos os pontos F-recorrentes por cadeias (que agora depende somente da família F). Veja a demonstração em [1, Teorema 4.1]. Teorema O conjunto F-recorrente por cadeias R F coinside com a intersecção \ fa [ A : A é um F-atratorg onde A = fx 2 X :! (x; F) \ A =?g é chamado de repulsor complementar de A. 11

12 Referências Bibliográ cas [1] Braga Barros, C. J. e Souza, J. A. (2010) Attractors and chain recurrence for semigroup actions. J. Dyn. Di. Equ., vol. 22, n. 4, p [2] Braga Barros, C. J. e Souza, J. A. (2010) Finest Morse decompositions for semigroup actions on ber bundles. J. Dyn. Di. Equ., vol. 22, n. 4, p [3] Braga Barros, C. J. e San Martin, Luiz A. B. (1996) Chain control sets for semigroup actions. Comp. Appl. Math., vol. 15, n. 3, p [4] Colonius, Fritz e Kliemann, Wolfgang. (2000) The Dynamics of Control. Boston: Birkhäuser. [5] Conley, Charles C. (1978) Isolated invariant sets and the Morse index. CBMS Regional Conf. Ser. in Math., n. 38, American Mathematical Society. [6] Patrão, M.M.A.; San Martin, L.A.B. (2007) Semi ows on topological spaces: chain transitivity and semigroups. J. Dyn. Di. Equ., v. 19, p [7] Souza, J. A. (2008) Ações de Semigrupos: Recorrência por Cadeias em Fibrados e Compacti cações de Ellis. Tese de doutorado. Universidade Estadual de Campinas. 12