Simplex e o Problema do Transporte
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- Aurélia Cerveira Sá
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1 Simplex e o Problema do Transporte Thuener Silva Departamento de Informática Pontifícia Universidade Católica Rio de Janeiro, Brasil tsilva@inf.puc-rio.br I. INTRODUÇÃO Programação linear é uma área que trata da otimização de uma função linear enquanto satisfaz um conjunto de equações e/ou inequações que representam restrições ao problema[1][2]. O primeiro problema de programação linear foi concebido em 1947 por George B. Dantzig. Neste mesmo ano o primeiro método para resolução de problemas de programação linear foi desenvolvido pelo mesmo George B. Dantzig[3]. A área de programação linear teve grande aceitação, pelo fato de ser possível modelar problemas importantes e complexos. Aliado a capacidade do método simplex, na prática, obter a solução em pouco tempo. Rapidamente foram descobertos diversos novos tipos problemas que podiam ser formulados como um problema de programação linear e resolvidos pelo método simplex. A. O Problema do Transporte Um desses tipos de problemas é o problema do transporte[1][3] que é uma visão simplificada do problema real. O problema pode ser visualizado como um conjunto de produtores, consumidores e rotas. Passar cada unidade do produto por uma rota tem um custo, cada produtor tem uma capacidade de produção e cada consumidor precisa de certa quantidade de produtos. A Figura 1 mostra visualmente um exemplo do problema do transporte. Nesse exemplo temos três produtores de papel nas cidades: Boston (BS), New York (NY) e Chicago (CH) e duas editoras em: Pittsburgh (PT) e Buffalo (BF). Os produtores têm respectivamente produção máxima de 75, 230 e 240 toneladas de papel e as editoras necessitam de 130 e 235 toneladas de papel. Os valores em cada nó representam para produtores a quantidade máxima produzida e para consumidores a quantidade necessária do produto. As arestas representam o custo para transportar uma tonelada de papel de um produtor para um consumidor. Figura 1. B. Complexidade Exemplo gráfico do problema do transporte. O método simplex em teoria não tem uma boa complexidade, em seu pior caso ele é exponencial. No entanto, o simplex se revela eficiente para casos práticos [3][1]. De fato, por um certo tempo não se sabia se a área de programação linear fazia parte da classe de problemas que são resolvidos com esforço polinomial(p). Somente em 1979, foi proposto um algoritmo, denominado de Khachiyan s algorithm, que resolvia problemas de programação linear com crescimento do esforço polinomial no tamanho do problema[1]. II. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA O problema do transporte pode ser formulado de diversas formas. Neste trabalho utilizamos uma formulação parecida com a da página 11 do livro Linear Programing and Network Flows [1], com exceção da restrição da demanda dos consumidores, que tratamos como uma inequação. Porém no ponto ótimo essa restrição vai estar com a variável de folga zerada, por causa dos custos de transporte. Na formulação a seguir temos as seguintes variáveis: n 1 quantidade de produtores ; n 2 quantidade de consumidores ; c ij custo de levar uma unidade do produto do produtor i ao consumidor j; x ij variável de decisão que representa a quantidade de produto que deve ser levada do produtor i ao consumidor j; P i quantidade máxima que pode produzir o produtor i; C j quantidade que o consumidor j demanda.
2 n 1 n 2 Minimizar c ij x ij i=1 j=1 n 2 Sujeito a x ij P i i = 1,..., n 1 j=1 n 1 x ij C j j = 1,..., n 2 i=1 x ij 0, i j III. SIMPLEX REVISADO O método do simplex revisado é um procedimento sistemático para programar os passos do simplex gastando menos espaço em memória. A implementação do simplex revisado apresentada neste trabalho foi feita guiando-se no livro Linear Programing [3]. Entretanto existe algumas diferenças, as duas principais foram: ao invés do novo x b da iteração k+1 (x k+1 b ) ser decrementado de Θ d incrementamos de Θ d, o que apenas muda o sinal da direção do vetor d e ao contrário de utilizarmos o primeiro cr > 0 usamos o maior custo reduzido, dando assim passo maiores. Temos os seguintes passos do simplex revisado: Passo 1: Resolver o sistema de equações yb = c b Passo 2: Escolher a variável com índice i que vai entrar na base, a variável com o maior custo reduzido cr[i], tal que cr = c T n y T N. Se não houver nenhum custo reduzido maior que zero então a solução é ótima. Passo 3: Resolver o sistema de equações Bd = c b Passo 4: Achar a variável que vai sair da base com índice i, achar o menor valor de x b [i]/d b [i] tal que d b [i] < 0. Variáveis: c b e c n são os custos referentes as variáveis básicas e não básicas; B e N é a matriz A dividida na parte das variáveis básicas e não básicas; x b e x n o vetor x dividida na parte das variáveis básicas e não básicas; y vetor de valores associados as variáveis duais do problema; d vetor de direção que modificará a solução básica viável (fica sobre uma restrição); t escalar que vai determinar o quando vamos mover para a direção d para chegar em uma solução básica viável; A. Implementação Nossa implementação do simplex foi desenvolvida em Matlab. Existe alguns cuidados que foram necessários na parte da implementação, principalmente com relação a utilização do ponto flutuante(double/float). Abaixo um pseudocódigo explicando a nossa implementação do simplex: Algoritmo 1 fase2(sbv) #Inicializa as variáveis com os valores da solução básica viável y SBV.y cr SBV.cr x b SBV.x b for i = 1 itmax do #Encontra a variável que vai entrar da base [crmax, ind Entr ] max(cr) if crmax e 1 then Ponto Ótimo Fim #Encontra a variável que vai sair da base tmin = INF if ind W 0 and db(ind W ) < e 1 then tmin = x b (ind W )/d b (ind W ) ind Sai = ind W for i = 1 numrest do if d b (i) < 0 and x b (i)/d b (i) tmin < e 1 then tmin = xb(i)/db(i); ind Sai = i; #Se {d b < 0} = if tmin = INF then Ilimitado Fim SBV T rocasbv (ind Ent, ind Sai, SBV ) #Atualiza as variáveis y linsolve(b T, c b ) cr (c T n y T N) T x b x b + tmin d b x b (ind Sai ) = tmin Algoritmo 2 Simplex(c; A; b) if b j 0 then SBV fase1(c, A, b) else SBV ObtemOrigemSBV(c, A, b) SolOpt fase2(sbv) Algoritmo 3 fase1(c; A; b) ind Ent n ind Sai iminb SBV ObtemOrigemSBV (c, A, b) SBV T rocasbv (ind Ent, ind Sai, SBV ) SolTemp fase2(sbv) SBV retiracolunaw(soltemp)
3 IV. ESTUDO DE CASO Nessa seção vamos validar os resultados e comparar o desempenho da nossa implementação do simplex em problemas de transporte. Nos testes de performance vamos gerar instâncias artificiais para o problema. Para pode gerar tais instâncias é necessário entender melhor o problema de transporte considerando a perspectiva de problemas de programação linear. A. Características do Problema Para entender melhor as características do problema de transporte vamos utilizar a forma canônica de programação linear[1] para descrever um problema genérico com dois consumidores e três produtores. A forma canônica: Maximizar C T X Sujeito a: Ax b x 0 Para transformar o problema para forma canônica temos que modificar as restrições de demanda dos consumidores multiplicando por 1. Também para que o problema do transporte, que é de minimização, seja utilizados para maximização basta apenas trocar o sinal do vetor c. Assim seguindo a definições das variáveis descritas na seção II podemos apresentar os vetores e matrizes c, x, A e b da seguinte forma: c = c 11 c 12 c 21 c 22 c 31 c 32 x T = [ x 11 x 12 x 21 x 22 x 31 x 32 ] A = b = P 1 P 2 P 3 C 1 C 2 Analisando o exemplo acima podemos verificar algumas características desse tipo de problema. A matriz A é bem definida e esparsa, contém uma quantidade considerável de zeros e é formada apenas por valores 0, 1 ou 1. As n 1 primeiras linhas da matriz A e vetor b representam as restrições de produção e as outras n 2 linhas são referentes as necessidades dos consumidores. Esse tipo de problema não tem como solução viável a origem, uma vez que a solução na qual nenhum produto é transportado não é válida. Então quando passamos esse problema como entrada para o simplex ele sempre passará pela primeira fase do mesmo. B. Construção das Instâncias Considerando as características desse tipo de problema podemos gerar os vetores c e b, e a matriz A. Para construir a matriz A precisa-se apenas dos valores de n 1 e n 2, ou seja, diferentes problemas com menos número de produtores e consumidores tem a mesma matriz A. Ainda precisamos garantir que o espaço de soluções viáveis não é vazio para que o problema tenha uma solução ótima. No entanto, basta assegurar que o somatório produzido seja maior ou igual ao total requisitado pelos consumidor, ou seja, produção tem que ser maior ou igual a demanda. A cada iteração n 1 e n 2 eram multiplicados por 3 e 4, ou seja, n k+1 1 = n k 1 3 e n k+1 2 = n k 2 4. Esse acréscimo foi utilizado para manter o número de consumidores superior ao número de produtores, o que é esperado nesse tipo de problema. Os vetores b e c eram gerados aleatoriamente considerando as restrições de geração mencionadas e a matriz A era criada de forma determinística. C. Experimentos Os experimentos foram feitos em um laptop com AMD Turion(tm) 64 X2 TL-56 com 1.6 GHz, 4 Gigabytes de memória RAM e com sistema operacional Ubuntu bits e Matlab (R2008b). Os resultados da nossa implementação foram comparados com a implementação do Matlab para resolução de problemas de programação linear, o linprog. Além de apresentar os resultados para a implementação do simplex do linprog(linprogsim) também vamos apresentar o algoritmo primal dual de pontos interiores(linprogpd) que é o padrão do linprog. Durante os testes eram verificados se os resultados obtidos pelo linprog eram iguais aos da nossa implementação do simplex e não houve nenhum caso que os ótimos não fossem iguais. Nas Tabelas I e II temos o identificador de cada instância gerada e as características da instância: número de variáveis, número de restrições e o valor ótimo encontrado.
4 Características Id NumVar NumRes Ótimo Tabela I PRIMEIRA TABELA SOBRE AS CARACTERÍSTICAS DE CADA INSTÂNCIA. Iterações Tabela III PRIMEIRA TABELA COMPARANDO O NÚMERO DE ITERAÇÕES DE CADA IMPLEMENTAÇÃO. Características Id NumVar NumRes Ótimo Tabela II SEGUNDA TABELA SOBRE AS CARACTERÍSTICAS DE CADA INSTÂNCIA. Nas Tabelas III e IV temos para cada instância o número iterações feita pelas seguintes implementações: simplex revisado desenvolvido nesse trabalho(simplexrev), primal dual de pontos interiores do linprog(linprogpd) e o simplex do linprog(linprogsim). Iterações Tabela IV SEGUNDA TABELA COMPARANDO O NÚMERO DE ITERAÇÕES DE CADA IMPLEMENTAÇÃO. Na Figura 2 podemos verificar visualmente a diferença, em termos de iterações, entre as três implementações.
5 Figura 2. Comparação das iterações feitas pelas diferentes implementações. As duas implementações do simplex tiveram um número bem diferentes de iterações, essa diferença pode estar ocorrendo pela forma como é escolhida a variável de entrada ou por possíveis otimizações do código do linprog. Entretanto em ambos os casos o número de iterações é bem superior ao do método primal dual de pontos interiores do linprog(linprogpd). Tempo em segundos 26 9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabela VI SEGUNDA TABELA COMPARANDO O TEMPO DE CADA IMPLEMENTAÇÃO. Nas Tabelas V, VI e na Figura 3 são apresentados os tempos em segundos para cada instância para as três diferentes implementações. Tempo em segundos 1 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabela V PRIMEIRA TABELA COMPARANDO O TEMPO DE CADA IMPLEMENTAÇÃO. Figura 3. Comparação dos tempos em segundos das implementações. O gráfico deixa claro a diferença de performance entre o método primal dual de pontos interiores do linprog(linprogpd) e o método simplex. Analisando a Figura 2 juntamente com a Figura 3 podemos verificar que o principal fator determinante do tempo é o número de iterações. V. CONCLUSÃO Nossa implementação obteve os resultados corretos e teve uma boa performance. Porém, os métodos comercias são mais otimizados e obtiveram melhor performance. O principal desafio do trabalho foi implementar o algoritmo simplex de forma eficiente, tentando evitar cálculos desnecessários. Mas também foram encontradas dificuldades com relação a utilização de ponto flutuante em como usar o épsilon de maneira adequada. No desenvolvimento deste trabalho não tivemos nenhuma preocupação com a possibilidade de ciclagem do simplex revisado e nem com a otimização do cálculo das matrizes
6 envolvidas no problema. Então como trabalho futuro temos a implementação de verificação de ciclos ou algum método para que o mesmo não aconteça e também a utilização de métodos mais otimizados para o cálculo das matrizes, como por exemplo a otimização descrita no capítulo 8 do livro Linear Programing [3]. REFERENCES [1] M. Bazaraa, J. Jarvis, and H. Sherali, Linear programming and network flows. Wiley, [2] S. Boyd and L. Vandenberghe, Convex optimization. Cambridge Univ Pr, [3] V. Chvátal, Linear programming. WH Freeman, 1983.
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