Método Simplex. Alexandre Salles da Cunha. DCC-UFMG, Março v.02

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1 DCC-UFMG, Março v.02

2 Idéias centrais do método Se um PL na forma padrão possui uma solução ótima, então existe uma solução básica viável ótima para o problema. O baseia-se neste fato. Iniciando em uma solução básica viável, move-se para uma solução básica vizinha de menor custo. Este processo continua até que uma direção que permita reduzir a função objetivo não seja encontrada, comprovando a otimalidade da solução em mãos.

3 O Problema a ser resolvido min s.t.: c x Ax = b x 0 onde A R m n,b R a j-ésima coluna de A é designada por A j a i-ésima linha de A é designada por a i.

4 Uma idéia muito comum nos algoritmos de otimização Dada uma solução viável, procure uma solução viável mais barata nas vizinhanças da solução atual. Esta procura de soluções viáveis normalmente é feita tentando movimentar sobre uma direção viável aprimorante. Se uma direção aprimorante não existe, a solução corrente é um ótimo local para o problema (não necessáriamente global). No caso do PL, todo ótimo local é global, uma vez que o PL é u problema de otimização convexa (minimizar uma função conexa sobre um conjunto convexo). O explora exatamente esta idéia.

5 Direção viável Seja x um ponto em um poliedro P. Um vetor d R n é dito ser uma direção viável em x, se existir um escalar positivo θ para o qual x + θd P.

6 Obtendo uma direção viável conveniente Filosofia para escolha da direção viável Vamos considerar a possibilidade de mover a partir de x para uma solução básica vizinha (adjacente). Por definição, uma solução básica adjacente a x deve compartilhar n 1 restrições justas, cujos vetores de definição são l.i. Como as restrições a i x = b i, i = 1,... m precisam ser satisfeitas em qualquer solução viável, escolhemos uma direção d para a qual permitamos acrescer uma única variável não básica. Logo, para obter uma solução básica adjacente a x precisarmos nos movimentar ao longo de uma direção viável que permita que apenas uma componente não básica de x torne-se básica.

7 Dedução algébrica da direção Para os índices j {B(1),..., B(m)} das componentes não básicas: dj = 1 para uma única variável não básica dj = 0 para todas as demais variáveis não básicas. Vamos designar por j o índice da coluna não básica liberado para se tornar básica. Para os índices j {B(1),...,B(m)} Uma vez que A(x + θd) P para algum θ > 0, temos que Ax + θad = b e então Ad = 0. Então: 0 = Ad = n i=1 A id i = m i=1 A B(i)d i + A j = A j + Bd B. Portanto db = B 1 A j uma vez que B admite inversa. Direção básica Vamos chamar a direção básica construída acima como a j-ésima direção básica

8 E a garantia das restrições de não negatividade Temos que garantir que x B + θd B 0: Apenas uma vari vel não básica, de índice j, será aumentada. Logo temos que nos preocupar apenas com a variação das variáveis básicas. Temos dois casos a considerar: Vamos supor que xb seja não degenerada. Então x B > 0 e então existe um θ > 0 suficientemente pequeno que garante a viabilidade. Se xb for degenerada, existe x B(i) = 0 para algum i {B(1),...,B(m)}. Neste caso, se para este índice i tivermos A j < 0, qualquer movimento no sentido de d faz com que a restrição x B(i) seja violada. Assim sendo, a direção d neste caso não é viável. B 1 i

9 Exemplo no caso degenerado onde d não é viável Em E (básica não degenerada), temos como básicas: x 2,x 4, x 5 e náo básicas: x 1, x 3. Direção viável: segmento EF, que consiste em aumentar x 1, mantendo x 3 em zero. Em F (básica degenerada), vamos considerar que as variáveis não básicas sejam x 3,x 5. Observe que x 4 é básica em 0. Direção básica: segmento FG, correpondendo a aumentar x 3 e manter x 5 em zero, é não é viável.

10 Qual o efeito na função objetivo de mover ao longo de d Sendo d a j-ésima direção básica, ao mover no sentido positivo de d, a taxa de variação da função objetivo é por n i=1 f x i d i = n i=1 c id i. Uma vez que d B = B 1 A j temos que n i=1 c id i = c j c B B 1 A j, onde c B = (c B(1),...,c B(m) ). A parcela cj é a taxa unitária de variação por permitir j aumentar. A parcela cb B 1 A j é referente a compensação das mudanças nas variáveis básicas, necessária para garantir a viabilidade, Ax = b. Definição Seja x uma solução básica, B a base associada a x e c B o vetor de custos das variáveis básicas. Para todo j = 1,...,n, definimos o custo reduzido c j da variável x j por meio de : c j = c j c B B 1 A j

11 Exemplo Vamos considerar o seguinte exemplo: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + c c x 3 + c 4 x 4 s.t.: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 2 2x 1 + 3x 3 + 4x 4 = 2 x 0 Fazendo B = [A 1 A 2 ], temos uma matriz cujas colunas são l.i. Fixando x 3 = x 4 = 0 e resolvendo o sistema, (x 1,x 2 ) = (1,1). Assumindo que d seja a direção básica associada a variável não básica x 3, temos: d B = B 1 A 3 = [ ]. c 3 = c 3 3c 1 /2 + c 2 /2

12 Custo reduzido para as variáveis básicas Aplicando a definição: c B(i) = c B(i) c B B 1 A B(i) = c B(i) c B e B(i), onde e B(i) é um vetor m dimensional com todas as entradas nulas, exceto a i-ésima entrada que é 1. Logo, c B(i) = c B(i) c B e B(i) = c B(i) c B(i) = 0

13 Critério de Otimalidade Dada nossa interpretação de custos reduzidos como a taxa de variação da função objetivo na medida em que movimentamos ao longo de uma direção, temos o seguinte resultado: Teorema Considere uma solução básica x associada a uma base B. Assuma que c seja o correspondente vetor de custos reduzidos. 1 Se c 0, então x é uma solução ótima. 2 Se x é ótima e não degenerada, então c 0.

14 Prova Prova (1): Vamos assumir c 0 e que y denote uma solução viável qualquer para o problema, para a qual determinamos uma direção viável d = y x (é viável por convexidade!). A viabilidade de x,y implica que Ax = Ay = b e então Ad = 0. Então Ad = 0 = Bd B + i N A id i = 0 (N é o conj. dos índices das variáveis não básicas em x). Logo d B = i N B 1 A i d i Então temos: c d = c B d B + i N c id i = i N (c i c B B 1 A i )d i = i N c id i. Para qualquer i N, temos que x i = 0 e então d i = y i x i 0. Logo c d = i N c id i 0

15 Prova Prova (2), por contradição: Suponha que x seja uma solução básica viável ótima, não degenerada e que exista j : c j < 0. Então j necessariamente deve ser índice de uma variável não básica, uma vez que c i = 0, i {B(1),...,B(m)}. Considere a direção básica j, d. Esta direção é necessariamente viável dado que x é não degenerada. Então existe θ > 0 tal que x + θd é uma solução viável. Por outro lado c (x + θd) = c x + θc d < c x, contrariando a hipótese de que x é otima.

16 Observações Uma solução ótima x pode ser tal que o custo reduzido de alguma variável não básica é negativo. De acordo com o teorema para decidir se uma solução básica viável não degenerada x é ótima, precisamos verificar os custos reduzidos de suas n m componentes não básicas. No caso de uma solução básica degenerada, um teste igualmente simples não é disponível. Embora possamos estar no vértice ótimo, precisamos de uma caracterização de otimalidade que depende da base.

17 Bases ótimas Definição Uma base B é ótima se: 1 B 1 b 0 e 2 c = c c B B 1 B 1 A 0. Observe que, diante desta definição: Se uma base ótima B é encontrada, a solução básica associada é viável, satisfaz as condições de otimalidade e portanto é ótima. Por outro lado uma solução básica viável ótima degenerada não necessariamente garante custos reduzidos não negativos. Vale lembrar que mais de uma base podem ser associadas à mesma solução básica (no caso degenerado).

18 Desenvolvimento do método De início, vamos assumir a hipótese de que todos as soluções básicas de P = {x R n : Ax = b,x 0} são não degeneradas. Em seguida relaxaremos esta hipótese.

19 Desenvolvimento do Método Vamos supor que estejamos em um ponto x, solução básica viável não degenerada de P e que tenhamos avaliado os custos reduzidos de forma que c j 0 : j {B(1),...,B(m)}. Então, pelo resultado anterior, concluimos que x resolve o PL. Caso contrário, existe j {B(1),...,B(m)} : c j < 0. Então a j ésima direção básica d, obtida fazendo-se d B = B 1 A j, d j = 1 e d k = 0, k {j,b(1),...,b(m)} é uma direção viável, de redução de custo. Movendo ao longo de d, a partir de x, a componente x j torna-se positiva, as componentes x k : k {j,b(1),...,b(m)} permanecem em 0 e as variáveis básicas são alteradas. Uma vez que d é uma direção de aprimoramento de custos, é desejável nos mover o quanto pudermos ao longo desta direção.

20 Garantindo a satisfação das restrições de não negatividade x(θ) = x + θd, θ 0 O máximo que podemos andar na direção d é dado por θ = max{θ 0 : x + θd P}. Dado que Ad = 0, Ax(θ) = b e precisamos verificar apenas as restrições de não negatividade. Se d 0, x(θ) 0 e então θ =. Caso contrário, existe i {B(1),...,B(m)} : d i < 0. Para garantir x i + θd i 0 temos que θ x i d i. Então θ = min{ x i d i : d i < 0} = min i=1,...,m,db(i) <0 ( xb(i) d B(i) ). Observe que θ > 0 como consequência da não degeneração de x.

21 O novo ponto obtido Assumindo que θ é finito, y = x(θ ) = x + θ d. Então: y j = x j + θ = x B(l) d B(l), onde l {B(1),...,B(m)} denota o índice da variável básica que definiu θ. Todas as componentes básicas de x, pelo modo como θ é definido continuam não negativas. Em particular, para l temos: y B(l) = x B(l) + θd B(l) = x B(l) x B(l) d B(l) d B(l) = 0 o que sugere que a coluna A j substitua a coluna A B(l) na base, uma vez que houve uma troca das restrições de não negatividade que ficaram justas.

22 Exemplo - continuação Considerando a solução básica x = (1,1,0,0) e lembrando que c 3 = 3c 1 + c c 3. Se c = (2,0,0,0) temos que c 3 = 3. A correspondente direção básica é ( 3 2, 1 2,1,0). Considerando pontos da forma x + θd,θ > 0, a única componente de x que cai é x 1 (note que d 1 < 0) e portanto θ = x 1 d 1 = 2 3. O novo ponto obtivo é y = x d = (0, 4 3, 2 3,0). Observe que as novas colunas associadas às variáveis básicas (x 2,x 3 ) são l.i..

23 A nova base A nova base B é dada por: B = [A B(1),...,A B(l 1),A B(j),A B(l+1),...,A B(m) ] Equivalentemente, o novo conjunto de variáveis básicas é {B(1),...,B(l 1),B(j),B(l + 1),...,B(m)} Mais formalmente: Teorema 1 As colunas A B(i) : i l e A j são linearmente independentes e, assim, B é uma matriz básica. 2 O vetor y = x + θ d é a solução básica associada a B.

24 Prova Prova (1): por contradição: Vamos supor que os vetores A B(i) sejam l.d. Então, existem coeficientes λ 1,...,λ m, não todos nulos, tais que m i=1 λ ia B(i) = 0. Multiplicando por B 1 temos m i=1 λ ib 1 A B(i) = 0 e os vetores B 1 A B(i) também são l.d. Vamos mostrar que este não é o caso. Observe que B 1 B = I. Logo B 1 A B(i) = e i,i l (e i denota o vetor de zeros, exceto na iésima entrada, que é 1). Todos os vetores B 1 A B(i) possuem um 0 na l ésima entrada. Logo, B 1 A B(i),i l são l.i.. Por outro lado B 1 A B(l) = B 1 A j = d B. Por definição, d B(l) < 0. Logo B 1 A j e B 1 A B(i),i l são l.i.. Logo, B é uma base.

25 Prova Prova (2): Temos que y 0,Ay = b. Além disto y i = 0, i {B(i),...,B(i)}. Acabamos de mostrar que A B(i),...,A B(i) são l.i.. Portanto, segue que y é uma solução básica associada a B

26 Observações Uma vez que θ > 0, segue que y é uma solução básica distinta de x, uma vez que d é uma direção de redução de custos e então c y < c x. Em parte, cumprimos nosso propósito inicial de mover para uma solução básica adjacente, de menor custo. Vamos enunciar uma iteração típica do, definindo um vetor u = (u 1,...,u m ), de forma que u = d B = B 1 A j, onde A j é a coluna que entra na base. Ou seja, u i = d B(i) : i = 1,...,m.

27 : Iteração Típica 1 Inicie a iteração com as colunas básicas B(1),...,B(m) e a solução básica viável associada x. Seja N o conjunto dos índices das variáveis não básicas. 2 Calcule os custos reduzidos c j = c j c B B 1 A j, j N. Se c 0, páre, a solução x é ótima. Caso contrário, escolha j N : c j < 0. 3 Calcule u = B 1 A j. Se u 0, temos que θ = e o custo ótimo é. Páre, o problema é ilimitado. 4 Se alguma componente de u é positiva, faça θ x = min B(i) i 1,...,m:ui >0 u i. Seja l tal que θ = x B(l) u l. 5 Forme uma nova base substituindo A B(l) por A j. Denote por y a nova solução básica viável. Então y j = θ e y B(i) = x B(i) θ u i, i l.

28 Na ausência de degeneração, O converge Teorema Assuma que o conjunto de soluções viáveis do PL é não vazio e que toda solução básica é não degenerada. Então, o termina após um número finito de iterações. Ao final, temos duas possibilidades: 1 Dispomos de uma base ótima B e a correspondente solução básica ótima. 2 Encontramos um vetor d : Ad = 0,d 0 e c d < 0. Portanto o custo ótimo é.

29 Prova Prova Se o algoritmo termina no passo 2, as condições de otimalidade propostas previamente foram satisfeitas e B é uma base ótima. Se o algoritmo termina no passo 3, estamos em uma solução básica x e descobrimos uma variável não básica x j tal que c j < 0. A j ésima direção básica j satisfaz Ad = 0, d 0. Em particular temos que x + θd P para θ tão grande quanto queiramos. Uma vez que c d = c j, o custo pode ser feito tão negativo quanto queiramos. Em cada iteração do algoritmo, nos movemos uma quantidade θ > 0 ao longo de uma direção básica d satisfazendo c d < 0. Assim sendo, a cada iteração o custo diminui e portanto não visitamos a mesma solução básica mais de uma vez. Como o número de soluções básicas é finito, o algoritmo então termina.

30 para problemas degenerados Vamos considerar a partir de agora, como se comporta o algoritmo descrito anteriormente, diante da degeneração: 1 Se a solução básica corrente x for degenerada, θ pode ser nulo, caso x B(l) = 0 e d B(l) < 0. Por este motivo, a nova solução obtida y é idêntica a x. Ainda assim, podemos definir uma nova matriz B com a entrada da coluna A j e a saída de A B(l) de forma que B será uma base. 2 Mesmo se θ > 0, pode acontecer de mais de uma variável básica se tornar zero no novo ponto x + θ d. Uma vez que apenas uma destas variáveis básicas que se tornou nula sairá da base para a entrada da coluna A j, a nova solução encontrada y = x + θ d será degenerada.

31 Efeito da degeneração As mudanças de base associadas à mesma solução básica podem, em alguns casos, não ser inúteis, levando a descobrir uma direção básica de redução de custo. Por outro lado, uma sequência de mudanças de base associadas ao mesmo ponto x pode levar à repetição das colunas associadas à representação da base, ocasionando a ciclagem. Para problemas altamente estruturados (fluxo em redes, etc) a possibilidade não é remota. A ciclagem pode ser evitada através do uso de regras adequadas de quais variáveis entrarão e/ou sairão da base.

32 Ilustração dos dois casos em uma solução degenerada Neste exemplo temos n m = 2. Vale observar a solução degenerada x.

33 O pode não terminar? Quadro 1, B = {5, 6, 7}, entra x 1, sai x 5 x 5 = 0.5x x x 3 9x 4 x 6 = 0.5x x x 3 x 4 x 7 = 1 x 1 z = + 10x 1 57x 2 9x 3 24x 4 Quadro 2, B = {1, 6, 7}, entra x 2, sai x 6 x 1 = + 11x 2 + 5x 3 18x 4 2x 5 x 6 = 4x 2 2x 3 + 8x 4 + x 5 x 7 = 1 11x 2 5x x 4 + 2x 5 z = + 53x x 3 204x 4 20x 5

34 O pode não terminar? Quadro 3, B = {1, 2, 7}, entra x 3, sai x 1 x 2 = 0.5x 3 + 2x x x 6 x 1 = 0.5x 3 + 4x x x 6 x 7 = x 3 4x x x 6 z = x 3 98x x x 6 Quadro 4, B = {2, 3, 7}, entra x 4, sai x 2 x 3 = + 8x x 5 5.5x 6 2x 1 x 2 = 2x 4 0.5x x 6 + x 1 x 7 = 1 x 1 z = + 18x x 5 93x 6 29x 1

35 O pode não terminar? Quadro 5, B = {3, 4, 7}, entra x 5, sai x 3 x 4 = 0.25x x x 1 0.5x 2 x 3 = 0.5x x 6 + 2x 1 4x 2 x 7 = 1 x 1 z = x x 6 20x 1 9x 2 Quadro 6, B = {4, 5, 7}, entra x 6, sai x 4 x 5 = + 9x 6 + 4x 1 8x 2 2x 3 x 4 = x 6 0.5x x x 3 x 7 = 1 x 1 z = + 24x x 1 93x 2 21x 3

36 O pode não terminar? Sim, caso cicle. O próximo quadro é igual ao quadro inicial! Quadro 7, B = {5, 6, 7}, entra x 1, sai x 5 x 6 = 0.5x x x 3 x 4 x 5 = 0.5x x x 3 9x 4 x 7 = 1 x 1 z = + 10x 1 57x 2 9x 3 24x 4

37 Possibilidades para implementar o pivoteamento Até o momento, não particularizamos regra alguma para escolher as regras de pivoteamento, isto é, escolher qual variável entra e sai da base. Em particular, na descrição que apresentamos do, temos flexibilidade quanto à escolha de: 1 Qual coluna não básica com custo reduzido é negativo deve ser eleita para entrar na base; 2 Diante de mais de uma variável que definam θ, qual escolher para deixar a base.

38 Algumas prováveis candidatas a regras de pivotemento : Escolher para entrar na base, a coluna não básica A j que possui o custo reduzido c j mais negativo. Escoher para entrar na base, a coluna não básica A j que promova o maior redução na função objetivo, isto é θ c j. Esta regra pode acelerar a queda da função objetivo, mais paga-se maior preço computacional, para se avaliar o θ associado a entrada de cada coluna que possua c j. A experiência computacional existe sugere que o tempo global de cpu não decresce com a adoção desta estratégia. Mesmo a primeira estratégia acima pode ser muito cara para problemas de larga escala (requer que todas as colunas tenham seus custos reduzidos avaliados). Assim sendo, uma regra simples consiste na regra de escolher a coluna com custo reduzido negativo, de menor índice.

39 Implementações do Simplex Os vetores B 1 A j são de fundamental importância no algoritmo, uma vez que com estas informações podemos obter: Custos reduzidos cj = c j c B B 1 A j A direção de busca d O valor de θ Por este motivo, a diferença entre as implementações alternativas do residem em como esta informação é calculada e quais informações são preservadas de iteração para iteração. Dado que B é uma matriz m m temos: Custo de resolver Bx = b: O(m 3 ) Custo de efetuar a mutiplicação Bb: O(m 2 ) Custo de calcular o produto interno de dois vetores m dimensionais: O(m).

40 Implmentação Inocente 1 Nenhuma informação adicional será transportada de iteração para iteração no método. 2 Em cada iteração típica, conhecemos os índices B(1),...,B(m) das variáveis básicas. 3 Montamos a matriz B e resolvemos o sistema linear p B = c B. 4 O custo reduzido para qualquer coluna j é obtido via c j = c j p A j. 5 Dependendo da regra de pivoteamento adotado, podemos evitar calcular todos os custos reduzidos. 6 Uma vez que escolhemos a coluna A j para entrar na base, resolvemos Bu = A j (ou u = B 1 A j ). 7 A partir de então, podemos calcular θ e definir qual variável sairá da base.

41 Implementação inocente - complexidade computacional Resolver os sistemas lineares (p B = c B e u = B 1 A j ): O(m 3 ). Dependendo da estrutura da matriz B, este custo pode ser reduzido sensivelmente (exemplo: Problemas de Fluxo em Redes) Cálculo do custo reduzido para todas as colunas: O(mn) Custo total por iteração: O(nm + m 3 ). Veremos como fazer a iteração a um custo de O(m 2 + mn)

42 Simplex Revisado Boa parte do custo computacional por iteração é relacionado à resolução de dois sistemas lineares. Neste método, a matriz B 1 é explicitamente mantida em cada iteração e os vetores c B B 1 e B 1 A j sã determinados via multiplicação matricial. Para ser eficiente, o método requer um esquema eficiente de atualização de B 1 quando implementarmos uma operação de pivoteamento.

43 Simplex Revisado Base no início da iteração: B = [A B(1),...,A B(m) ] Base ao fim da iteração: B = [A B(1),...,A B(l 1),A B(j),A B(l+1),...,A B(m) ] Todas, exceto uma coluna de B e B são compartilhadas. Em função disto, é razoável esperar que B 1 contenha informação que possa ser usada na determinação de B 1.

44 Como aproveitar informações de B 1 para avaliar B 1 Definição Dada uma matriz, não necessariamente quadrada, a operação de adicionar um múltiplo de uma linha à mesma linha ou a outra linha da matriz é chamada de operação linha elementar (não muda as informações dos sistemas lineares representados pela matriz). Exemplo Digamos que queiramos multiplicar a terceira linha da matriz C abaixo por 2 para somar à primeira linha da matriz. Isto equivale a multiplicar C pela matriz Q dada abaixo. C = Q = QC =

45 Generalizando este exemplo Multiplicar a j ésima linha de uma matriz por β e adicionar este produto à i ésima linha da matriz, equivale a pré mutiplicar a matriz por Q = I + D ij, onde D ij é uma matriz de zeros, exceto em sua entrada na i ésima linha e j ésima coluna que é β. Observe que a matriz Q possui determinante 1 e então admite inversa. Suponha que queiramos fazer uma sequência de K operações linha elementares, cada qual correspondento a pré-multiplicação por uma matriz Q k correspondente. Esta sequência de operações consiste em pré multiplicar a matriz sobre a qual são feitas as operações por: Q K Q K 1...Q 2 Q 1.

46 Aplicando esta idéia no Uma vez que B 1 B = I, temos que B 1 A B(i) = e i, onde e i é um vetor de zeros exceto pela i ésima entrada que é 1. 1 u Usando esta observação temos B 1 B = u l.... u m 1 Para transformar a matriz acima na identidade: Para cada i l, adicionamos o produto da l ésima linha (linha pivot) por ui u l e somamos à i ésima linha. Observe que u l 0 e então esta operação substitui u i por 0 na correspondente i ésima linha. Dividimos a l ésima linha por ul. Seja Q o produto destas m operações linha elementares. Temos então que QB 1 B = I, logo B 1 = QB 1.

47 Exemplo Vamos considerar l = 3 (a terceira coluna de B será alterada para compor B) e B 1 = Então temos: Q = u = B 1 =

48 Revisado Vamos adicionar o seguinte passo ao final da quinta operação na iteração típica: Forme a matriz m (m + 1) dada por: [B 1 u]. Faça as operações linha elementares necessárias para transformar a última coluna desta matriz no vetor unitário e l. As primeiras m colunas da matriz resultante fornece B 1. Observe que recalcular a inversa da base agora custa O(m 2 ). Desta forma, apenas na primeira inversão da base, pagamos o O(m 3 ). Desta forma, reduzimos o custo de cada iteração para O(nm + m 2 )

49 Regras anti-ciclagem Regra lexicográfica, adequada à implementação da versão Full table implementation que, por ter o comportamento assintótico pior que a versão do Simplex Revisado, não será discutida. Regra de Bland - compatível com a implementação do Simplex Revisado.

50 Regra de Bland Pivoteamento de Bland 1 Encontre o menor índice j para o qual o custo reduzido c j é negativo. 2 Dentre as variáveis básicas x i que se anularem primeiro com o incremento da variável x j (para as quais houver empate na determinação de θ ), escolha aquela com o menor índice i. Observações: Esta regra não nos obriga a calcular todos os custos reduzidos. É compat vel com a implementação do Simplex Revisado, na qual os custos reduzidos são calculados na ordem natural das variáveis. Diante desta regra é provado que não pode haver ciclagem e o converge após um númerol finito de mudanças de base.

51 Encontrando uma base inicial viável No, assumimos dispor de uma solução básica viável inicial. Não descrevemos ainda como obter esta solução. Em alguns casos, encontrar esta solução é trivial. Exemplo: P = {x R n + : Ax b} e o vetor b 0. Neste caso, introduzindo as variáveis de folga temos P = {(x,s) (R n +, R m +) : Ax + Is = b} e o vetor (x,s) = (0,b) é uma solução básica viável. De um modo geral, encontrar esta solução não é tão trivial, requerendo a solução de um problema linear auxiliar (Fase 1).

52 Construção de um problema auxiliar Problema Original min c x Ax = b x 0 Assumimos sem perda de generalidade que b 0 (caso contrário, multiplicamos alguma linha do sistema linear por 1)

53 Construção de um problema auxiliar - Fase 1 Problema Auxiliar (PA) min m i=1 y i Ax + y = b x 0 y 0 Introduzimos as variáveis artificiais y R m +. Uma solução básica inicial para o Prob. Auxiliar é dada por (x,y) = (0,b). Resolvemos PA. Se a função objetivo ótima for 0 sabemos que há solução viável para o problem original. Caso contrário, o problema original é inviável. Como obter a solução básica inicial para o problema original?

54 Obtendo uma solução viável inicial a partir de PA Para iniciar o, necessitamos de uma solução básica inicial e a matriz básica associada. Vamos assumir que no ótimo de PA tenhamos m j=1 y j = 0 (prob. original é viável). Analisando a solução do PA: 1 Se ao final da resolução de PA as colunas básicas na solução ótima forem exclusivamente as variáveis x, basta tomarmos esta solução como uma sol. básica viável inicial (e as correspondentes colunas compondo a base) para iniciar o problema original. 2 Se existirem variáveis y j básicas (necessariamente degeneradas) na solução ótima de PA, devemos fazer operações de pivoteamento forçado para removê-las da base.

55 Eliminando as variáveis y para fora da base Vamos supor (como de costume) que posto(a) = m. Vamos assumir que k < m colunas de A aparecem na base ótima de PA. Os índices das variáveis básicas associadas a estas colunas são B 1,...,B k Vale observar que as colunas A B(1),...,A B(k) são linearmente independentes, uma vez que estão na base. Como a matriz A R m n possui posto m, suas colunas geram o espaço R m. Logo, é possível escolher outras m k colunas de A, que sejam linearmente independentes a A B(1),...,A B(k). Vamos identificar estas colunas, eliminando as colunas associadas a y da base.

56 Eliminando as variáveis artificiais Vamos supor que a l ésima (l > k) variável básica seja artificial. Dentre as variáveis x j : j {B(1),...,B(m)}, procuramos uma coluna j tal que a l ésima entrada de B 1 A j seja não nula. Claramente A j é l.i. com A B(1),...,A B(k) (por quê?) Então fazemos um pivoteamento forçado, no qual trazemos a coluna A j para a base e eliminados a coluna da variável artificial da base. Repetimos o processo enquanto houver colunas básicas associadas a variáveis artificiais.

57 Complexidade computacional do método simplex A complexidade do método Simplex depende: 1 da complexidade computacional em cada iteração (O(nm), por exemplo, no caso do Simplex Revisado) 2 do número de iterações, ou operações de pivoteamento. Na prática: ao longo dos anos observou-se que o método normalmente executa O(m) operações de pivoteamento na média. Pior caso: esta observação que ocorre na prática não é verdadeira para qualquer Programa Linear e qualquer regra de pivoteamento. Há exemplos de problemas não degenerados nos quais o método percorre todos os vértices do poliedro até encontrar a solução ótima.

58 Complexidade no pior caso Vamos considerar o problema de minimizar x n sobre o cubo P = {x R n : 0 x i 1,i = 1,...,n}. Estes cubo possui 2 n vértices, metade dos quais possuem custo 0 e a outra metade custo 1. Assim sendo, a função objetivo não pode decrescer monotonicamente ao longo das iterações do Simplex. Por este motivo, vamos perturbar o cubo, mantendo o número de vértices, impondo as seguintes restrições, para ǫ (0, 1 2 ) ǫ x 1 1, ǫx i 1 x i 1 x i 1, i = 2,...,n de forma a criar uma sequência de vértices adjacentes para os quais a função objetivo seja reduzida quando nos movemos de um vértice para o outro.

59 Criamos um caminho que percorre todos os vértices Existe uma regra de pivoteamento que faz o método percorrer todos os vértices (ver a prova em Papadimitrou e Steiglitz, pp ). min x n ǫ x 1 1, ǫx i 1 x i 1 x i 1, i = 2,...,n

60 Existe regra de pivoteamento imune a esta patologia? Questão em aberto Para várias regras populares de pivotemento, há exemplos como o indicado anteriormente, que fazem o método percorrer todos os vértices. Entretanto, estes exemplos não excluem a possibilidade de existir uma regra de pivotemento que não apresente o comportamento de pior caso exponencial. Esta é uma das questões mais importantes em Teoria de Programação Linear, ainda em aberto. O fato é que não se conhece uma regra de pivoteamento imune a esta patologia. O Problema de Programação Linear é polinomialmente solúvel (Algoritmo do Elipsóide).