Pré-Álgebra. SeM MiSTéRio

Transcrição

1 Pré-Álgebra SeM MiSTéRio

2 Série SeM MiSTéRio Alemão Sem Mistério Álgebra Sem Mistério Cálculo Sem Mistério Conversação em Alemão Sem Mistério Conversação em Espanhol Sem Mistério Conversação em Francês Sem Mistério Conversação em Italiano Sem Mistério Espanhol Sem Mistério Francês Sem Mistério Geometria Sem Mistério Gramática Inglesa Sem Mistério Italiano Sem Mistério Pré-Cálculo Sem Mistério Química Orgânica Sem Mistério Química Sem Mistério

3 Pré-Álgebra SeM MiSTéRio Allan G. Bluman Tradução da 2 a Edição Rio de Janeiro, 2013

4 Para Brooke Leigh Bluman

5

6 Sobre o Autor Allan G. Bluman ensinou matemática e estatística no ensino médio, em cursos de graduação e pós-graduação por 39 anos. Escreveu três compêndios de matemática publicados pela McGraw-Hill. Escreveu também outros três livros de matemática. Dr. Bluman é ganhador do prêmio Apple for the Teacher [ Maçã para o Professor ], por trazer excelência ao meio do aprendizado, e do prêmio Most Successful Revision of a Textbook [ Revisão mais Bem-sucedida de um Livro Didático ] da McGraw-Hill. Seu registro biográfico aparece na quinta edição de Who s Who in American Education [ Quem é Quem na Educação Americana ].

7

8 Sumário Prefácio Agradecimentos xiii xvii CAPÍTULO 1 Números Naturais 1 Nomeando Números Naturais 2 Arredondando Números Naturais 3 Adição de Números Naturais 5 Subtração de Números Naturais 6 Multiplicação de Números Naturais 8 Divisão de Números Naturais 10 Problemas 13 Teste Rápido 17 CAPÍTULO 2 Números Inteiros 21 Conceitos Básicos 22 Ordem 25 Adição de Números Inteiros 26 Subtração de Números Inteiros 30 Adição e Subtração 32 Multiplicação de Números Inteiros 33 Divisão de Números Inteiros 36 Expoentes 38 Ordem das Operações 40 Teste Rápido 43 CAPÍTULO 3 Frações: Parte 1 47 Conceitos Básicos 48 Reduzindo Frações 50 Convertendo Frações em Termos Maiores 52 ix

9 x PRÉ-ÁLGEBRA SeM MiSTéRio Convertendo Frações Impróprias em Números Mistos 54 Convertendo Números Mistos em Frações Impróprias 56 Teste Rápido 58 CAPÍTULO 4 Frações: Parte 2 65 Encontrando Denominadores Comuns 66 Adição de Frações 69 Adição de Números Mistos 72 Subtração de Frações 73 Subtração de Números Mistos 75 Princípios do Empréstimo 76 Multiplicação de Frações 79 Multiplicação de Números Mistos 81 Divisão de Frações 83 Divisão de Números Mistos 85 Problemas 87 Comparando Frações 90 Operações com Frações Positivas e Negativas 92 Teste Rápido 95 CAPÍTULO 5 Decimais 101 Nomeando Decimais 102 Arredondando Decimais 103 Adição de Decimais 105 Subtração de Decimais 106 Multiplicação de Decimais 107 Divisão de Decimais 108 Comparando Decimais 111 Problemas 112 Convertendo Frações em Decimais 114 Convertendo Decimais em Frações 117 Frações e Decimais 119 Operações com Decimais Positivos e Negativos 121 Teste Rápido 123 CAPÍTULO 6 Porcentagem 127 Conceitos Básicos 128 Convertendo Percentuais em Decimais 128 Convertendo Decimais em Percentuais 130 Convertendo Frações em Percentuais 132 Convertendo Percentuais em Frações 135 Três Tipos de Problemas de Porcentagem 136 Problemas 143 Teste Rápido 149

10 SUMÁRIO xi CAPÍTULO 7 Expressões e Equações 153 Conceitos Básicos 154 Calculando Expressões Algébricas 154 A Propriedade Distributiva 156 Agrupando Termos Semelhantes 158 Removendo Parênteses e Agrupando Termos Semelhantes 160 Fórmulas 162 Resolvendo Equações Simples 164 Resolvendo Equações Usando Dois Princípios 167 Resolvendo Equações Mais Difíceis 170 Representação Algébrica de Enunciados 173 Problemas 174 Resolvendo Problemas de Porcentagem Usando Equações 177 Teste Rápido 180 CAPÍTULO 8 Razão e Proporção 183 Razão 184 Proporção 185 Problemas 187 Resolvendo Problemas de Porcentagem Usando Proporções 190 Teste Rápido 193 CAPÍTULO 9 Geometria 197 Figuras Geométricas 198 Perímetro 199 Área 203 Volume 209 Problemas 214 Raiz Quadrada 216 Teorema de Pitágoras 217 Teste Rápido 220 CAPÍTULO 10 Medidas 223 Conceitos Básicos 224 Medidas de Comprimento 224 Medidas de Peso 227 Medidas de Capacidade 230 Medidas de Tempo 232 Problemas 234 Teste Rápido 236 CAPÍTULO 11 Gráficos 239 O Plano Cartesiano 240 Pontos de Coordenadas 240

11 xii PRÉ-ÁLGEBRA SeM MiSTéRio Equações Lineares 244 Retas no Gráfico 247 Retas Horizontais e Verticais 253 Pontos de Intersecção 258 Coeficiente Angular 260 Resolvendo um Sistema de Equações Lineares 264 Teste Rápido 269 CAPÍTULO 12 Operações com Monômios e Polinômios 275 Monômios e Polinômios 276 Adição de Polinômios 276 Subtração de Polinômios 278 Multiplicação de Monômios 279 Elevando um Monômio a uma Potência 281 Multiplicação de um Polinômio por um Monômio 282 Multiplicação de Dois Binômios 283 Elevando um Binômio ao Quadrado 285 Multiplicação de Dois Polinômios 287 Divisão de Monômios 288 Divisão de um Polinômio por um Monômio 290 Teste Rápido 292 Teste Final 295 Respostas dos Testes Rápidos e do Teste Final 311 Apêndice: Superando a Ansiedade Matemática 315 Índice 329

12 Prefácio Para ser bem-sucedido em matemática, é necessário ter uma base forte. Esta base consiste no domínio dos conceitos básicos da aritmética, que incluem números naturais (Cap. 1), frações (Caps. 3 e 4), decimais (Cap. 5) e porcentagem (Cap. 6). Esses tópicos são a base da matemática. Uma vez que a maioria dos estudantes passará ao estudo de álgebra, incluímos aqui também seus conceitos básicos, que consistem em: números inteiros (Cap. 2), cálculo de expressões e equações (Cap. 7), gráficos (Cap. 11) e operações com monômios e polinômios (Cap. 12). Finalmente, foram incluídos, para auxiliá-los com as aplicações de solução de problemas no dia a dia, os tópicos de razão e proporção (Cap. 8), geometria plana (Cap. 9) e medidas (Cap. 10). No apêndice, apresentamos um tutorial sobre técnicas de estudo e sobre como superar a ansiedade matemática. A Parte I explica a natureza e as causas da ansiedade, a Parte II contém sugestões para superá-las e a Parte III lista dicas de estudo e de como fazer provas de matemática com sucesso. Mesmo que você não tenha ansiedade matemática, deveria ler e utilizar as sugestões dadas na Parte III, que foi escrita para todos os estudantes. Você deve estar consciente de que a matemática exige raciocínio analítico, habilidade na resolução de problemas e pensamento crítico. Para entender matemática é necessário muito mais do que apenas memorização. xiii

13 xiv PRÉ-ÁLGEBRA SeM MiSTéRio Como Usar Este Livro Como sabe, para se construir um prédio alto é preciso começar com uma fundação forte. É também verdade que para dominar a matemática deve-se começar com uma base sólida. Este livro apresenta os tópicos da aritmética e da álgebra introdutória de uma forma lógica e fácil de ler e pode ser utilizado para se estudar de maneira independente ou como complemento para um curso de pré-álgebra. Para aprender matemática, você deve conhecer o vocabulário, entender as regras e os procedimentos e estar apto a aplicá-los na resolução de problemas. Este livro é escrito de uma forma que irá auxiliá-lo em seu aprendizado. Termos importantes estarão em negrito e regras e procedimentos importantes em itálico. Fatos básicos e sugestões úteis poderão ser encontrados nas Notas Matemáticas. Cada seção contém diversos exemplos que mostram como utilizar as regras e os procedimentos e vários problemas práticos, a fim de verificar se você entendeu os conceitos; as respostas são dadas imediatamente após, para que você confira se os resolveu corretamente. No fim de cada capítulo há um teste, com 20 questões de múltipla escolha. Se responder à maioria das questões corretamente, poderá partir para o próximo capítulo, se não, repita o capítulo. Não olhe as respostas antes de tentar resolver os problemas. Mesmo que saiba uma parte ou todo o material de um capítulo é bom lê-lo e fazer uma revisão. O esforço extra será de grande ajuda quando se deparar com conteúdos mais difíceis depois. Após concluir o estudo do livro inteiro, você poderá fazer o teste final, com 100 questões, e descobrir seu nível de competência. Sugerimos que não use a calculadora, que é apenas uma ferramenta, pois tende-se a pensar que, apertando alguns botões e conseguindo as respostas corretas, conseguiu- -se entender os conceitos. Isso está longe de ser verdade! Eu gostaria de responder à velha questão, Por que eu tenho que aprender esse negócio?. Há muitas razões. Em primeiro lugar, a matemática é utilizada em muitos campos acadêmicos. Se você não sabe matemática, limita seriamente suas opções na área acadêmica. Em segundo lugar, pode ser que seja exigido que faça uma prova de matemática em testes para emprego, para faculdade ou pós-graduação. A maioria desses testes tem uma seção de matemática. Por fim, um conhecimento eficiente de aritmética será muito útil para ajudá-lo a resolver problemas matemáticos encontrados no dia a dia. Espero que este livro o ajude a aprender matemática.

14 PREFÁCIO xv Para esta segunda edição, a maioria dos exemplos e exercícios foram alterados. Também, acrescentei mais de 20 novas Notas Matemáticas, para tornar o material mais fácil de ser seguido; incluí também uma seção no Capítulo 3 sobre regras de divisibilidade, para auxiliar no tópico de redução de frações. Finalmente, uma explicação de mais dois símbolos de agrupamentos, colchetes e chaves, foi incluída no Capítulo 7. Boa sorte! Allan G. Bluman

15

16 Agradecimentos Gostaria de agradecer à minha esposa, Betty Claire, por me ajudar neste projeto, e expressar minha gratidão ao meu editor, Judy Bass, e à Carrie Green, por sua assistência na publicação deste livro. xvii

17

18 Capítulo 1 Números Naturais Os números são a base da matemática. Os primeiros números utilizados foram os números naturais: 1,2,3... Quando o zero é acrescentado a esses números, eles passam a se chamar números inteiros. Este capítulo explica as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão desses números. OBJETIVOS DO CAPÍTULO Neste capítulo, você aprenderá como: 1

19 2 PRÉ-ÁLGEBRA SeM MiSTéRio Nomeando Números Naturais Nosso sistema numérico é chamado de sistema hindu-arábico ou sistema decimal. Consiste de 10 símbolos, ou dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, que são usados para compor nossos números. Cada dígito em um número tem um valor de posição. Os nomes do valor de posição são mostrados na Fig Valor de Posição Trilhões Bilhões Milhões Milhares Unidades Cem trilhões Dez Trilhões Trilhão Cem bilhões Dez bilhões Bilhão Cem milhões Dez milhões Milhão Cem mil Dez mil Mil Centenas Dezenas Unidades FIGURA 1-1 Em números maiores, cada grupo de três dígitos (chamado de período) é separado por um ponto. Os nomes no topo das colunas na Fig. 1-1 são chamados de intervalos. Para falar um número, comece da esquerda para a direita, leia cada grupo de três dígitos separadamente usando o nome do intervalo ao chegar ao ponto que separa cada um. EXEMPLO Fale SOLUÇÃO Sessenta e dois milhões, quatrocentos e trinta e dois mil e setecentos e nove. EXEMPLO Fale SOLUÇÃO Quinhentos e sessenta mil e setecentos e onze.

20 3 EXEMPLO Fale SOLUÇÃO Oitenta e sete bilhões, um milhão e doze. NOTA MATEMÁTICA Outros nomes de intervalos, depois de trilhões, são: quatrilhões, quintilhões, sextilhões, septilhões, octilhões, nonilhões, decilhões e assim sucessivamente. Pratique Fale cada número: Respostas Quinhentos e quinze. 2. Vinte e sete mil, novecentos e trinta e dois. 3. Um milhão, seiscentos e sete mil e três. 4. Sessenta e três bilhões, novecentos e dois milhões, quatrocentos mil e quinhentos e trinta e um. Arredondando Números Naturais Muitas vezes, não é necessário usar um número exato. Nesses casos, um número aproximado pode ser usado. Essa aproximação pode ser obtida pelo arredondamento de números. Todos os números podem ser arredondados para valores inteiros. Para arredondar um número para um valor inteiro, primeiro ache o dígito deste valor no número. Se o dígito à direita daquele valor inteiro específico for 0, 1, 2, 3 ou 4, se manterá inalterado. Se o dígito à direita for 5, 6, 7, 8 ou 9, some 1 ao valor específico. Em qualquer caso, todos os dígitos à direita do valor inteiro serão trocados por zeros.

21 4 PRÉ-ÁLGEBRA SeM MiSTéRio EXEMPLO Arredonde para a centena mais próxima. SOLUÇÃO Nós estamos arredondando para a casa das centenas, que é o dígito 1. Sendo 8 o dígito à direita do 1, some 1 ao 1 da centena para obter 2. Substitua todos os outros dígitos à direita por zeros. Então, arredondado para sua centena mais próxima é EXEMPLO Arredonde para o seu milhar mais próximo. SOLUÇÃO Estamos arredondando para a casa dos milhares, que é o dígito 3. Sendo 4 o número à direita do 3, o 3 permanece. Substitua todos os dígitos à direita do 3 por zeros. Daí, arredondado para seu milhar mais próximo é EXEMPLO Arredonde para a dezena de milhar mais próxima. SOLUÇÃO Estamos arredondando para a casa dos dez mil, que é o dígito 9. Sendo 8 o número à direita do 9, este se torna 10. Em seguida escrevemos o zero e adicionamos 1 ao próximo dígito à esquerda. Então, o 4 vira um 5. Daí, a resposta é Ainda com dificuldades? Pratique 1. Arredonde para o milhar mais próximo. 2. Arredonde para a dezena de milhar mais próxima.

22 5 Respostas 3. Arredonde para a dezena mais próxima. 4. Arredonde para a centena de milhar mais próxima. 5. Arredonde para o milhão mais próximo Adição de Números Naturais Em matemática, adição, subtração, multiplicação e divisão são chamadas de operações. Os números que se somam chamam-se parcelas. O resultado é chamado de soma. Para somar dois ou mais números, primeiro escreva-os em colunas, em seguida, some os dígitos destas, da direita para a esquerda. Se a soma dos dígitos em qualquer coluna for 10 ou mais, escreva o dígito da casa das unidades, eleve o dígito da dezena na próxima coluna à esquerda e some-o aos números dela. EXEMPLO Some: SOLUÇÃO

23 6 PRÉ-ÁLGEBRA SeM MiSTéRio NOTA MATEMÁTICA Para tirar a prova real, some de baixo para cima. Pratique Some: Respostas Subtração de Números Naturais Na subtração, o número de cima é chamado de minuendo. O número sendo subtraído (logo abaixo) chama-se subtraendo. O resultado é chamado de resto ou diferença. Para subtrair dois números, escreva-os em uma coluna vertical e subtraia os números de baixo dos de cima, da direita para a esquerda. Quando o dígito de baixo for maior que o de cima, tome um (1) emprestado do topo da coluna logo à esquerda e some dez ao que quer subtrair. Quando tomar emprestado, lembre-se de subtrair também 1 do número do qual foi feito o empréstimo.

24 7 EXEMPLO Subtraia: SOLUÇÃO EXEMPLO Subtraia: SOLUÇÃO NOTA MATEMÁTICA Para tirar a prova real da subtração, some a diferença ao subtraendo e verifique se o resultado é igual ao minuendo. Prova real Pratique Subtraia:

25 8 PRÉ-ÁLGEBRA SeM MiSTéRio Respostas Multiplicação de Números Naturais Na multiplicação, o número de cima é chamado de multiplicando. O número diretamente abaixo é chamado de multiplicador. O resultado é chamado de produto. Os números entre o multiplicador e o produto são chamados de produtos parciais. Para multiplicar dois números quando o multiplicador for composto de um único dígito, disponha os valores verticalmente em coluna e multiplique cada dígito do multiplicando, da direita para a esquerda, pelo multiplicador. Se qualquer um dos produtos for maior que 9, adicione o dígito da dezena ao multiplicando na coluna à esquerda. EXEMPLO Multiplique: 416 x 7. SOLUÇÃO Para multiplicar dois números, quando o multiplicador for composto de dois ou mais dígitos, disponha-os verticalmente e multiplique cada dígito do multiplicando pelo dígito mais à di-

26 9 reita do multiplicador. Em seguida, multiplique cada dígito do multiplicando pelo próximo dígito do multiplicador e ponha o segundo produto parcial abaixo do primeiro, movendo uma casa para a esquerda. Continue o processo para cada dígito no multiplicador e, então, some os produtos parciais para obter o produto final. EXEMPLO Multiplique: X 814. SOLUÇÃO NOTA MATEMÁTICA Para tirar a prova real na multiplicação, multiplique o multiplicador pelo multiplicando. Pratique Multiplique:

27 10 PRÉ-ÁLGEBRA SeM MiSTéRio Respostas Divisão de Números Naturais Na divisão, o número que representa o valor que será dividido chama-se dividendo, o número que representa o valor em que irá se dividir aquele valor chama-se divisor. O resultado da divisão chama-se quociente. Às vezes, o resultado não é exato; neste caso, haverá o resto. O processo de divisão longa consiste em uma série de passos, que são divididos em: multiplicar, subtrair e levar abaixo. Quando estiver fazendo divisão, é necessário também estimar em quantas vezes o divisor dividirá o dividendo. Quando o divisor for composto por dois ou mais dígitos, a estimativa pode ser feita dividindo-se o primeiro número do divisor em dois ou mais dígitos do dividendo. O processo é mostrado a seguir. EXEMPLO Divida 863 por 52 SOLUÇÃO 1º passo: