Manual de Matemática para o 12º ano Matemática A. NIUaleph 12 VOLUME 4. Jaime Carvalho e Silva Joaquim Pinto Vladimiro Machado

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1 Manual de Matemática para o º ano Matemática A NIUaleph VOLUME 4 Jaime Carvalho e Silva Joaquim Pinto Vladimiro Machado 0

2 Título NiuAleph - Manual de Matemática para o.º ano de Matemática A Autores Jaime Carvalho e Silva (Editor) Joaquim Pinto Vladimiro Machado Capa e Design Elisa Silva Conceção Técnica Vítor Teodoro João Fernandes Imagens e fontes As imagens utilizadas neste manual pertencem ao domínio público ou, nas situações indicadas, aos respetivos autores, sob as Licenças Creative Commons Attribution-ShareAlike ou Creative Commons Attribution As fontes utilizadas neste manual pertencem às famílias Latin Modern e Latin Modern Math, desenvolvidas pela GUST Parte dos gráficos deste volume foram criados com o software livre Geogebra 4, disponível em ISBN Edição.ª edição/versão Data 0 Este ficheiro é de distribuição livre mas os direitos permanecem com os respetivos autores. Não é permitida a impressão deste ficheiro.

3 Índice geral Volume Capítulo É possível? É provável? Capítulo Probabilidade Capítulo 3 Probabilidade condicionada Capítulo 4 Distribuição de probabilidades Volume Capítulo 5 Análise Combinatória Capítulo 6 Triângulo de Pascal e Binómio de Newton Capítulo 7 Função exponencial Capítulo 8 Função logarítmica Volume 3 Capítulo 9 Teoria de Limites Capítulo 0 Cálculo Diferencial Capítulo Aplicações do Cálculo Diferencial Capítulo Teoremas elementares do Cálculo Diferencial (*) Volume 4 Capítulo 3 Funções trigonométricas Capítulo 4 A História dos números complexos Capítulo 5 A Álgebra dos números complexos Capítulo 6 A Geometria dos números complexos Capítulo 7 Demonstrações de Geometria usando números complexos (*)

4 Índice Capítulo 3 Funções trigonométricas 6 Função Seno 7 Função Cosseno História(s) - Regiomontano ( ) 5 Função Tangente 7 Famílias de funções trigonométricas 9 Síntese 4 Lição de Lógica Matemática n.º 6 6 Exercícios globais 7 Conselhos para os exames n.º 30 Itens de exame 3 Prova Global 37 Capítulo 4 - A História dos números complexos 39 Capítulo 5 - A Álgebra dos números complexos 45 Operações com números complexos 47 História(s) - As primeiras raízes quadradas de números negativos 48 Leitura(s) - Os números imaginários 5 Síntese 53 Exercícios globais 54 Conselhos para os exames n.º 3 56 Itens de exame 57 Prova global 59

5 Capítulo 6 - A Geometria dos números complexos 60 Forma trigonométrica 63 Operações com complexos na forma trigonométrica 66 História(s) - Wessel, Argand e Gauss 69 Teorema - Fórmula de Moivre 70 Domínios planos 7 Leitura(s) - Equações algébricas e números complexos 77 Síntese 78 Exercícios globais 80 Conselhos para os exames - n.º 4 8 Itens de exame 83 Prova global 88 Capítulo 7 - Demonstrações de Geometria usando números complexos 90 Teorema de Varignon 9 História(s) - Napoleão Bonaparte (769-8) e a Matemática 96 Soluções 98

6 3. Funções trigonométricas A essência da matemática não é complicar as coisas simples, mas fazer com que as coisas complicadas sejam simples. Stanley Gudder, Universidade de Denver, EUA E para que mais certas se conheçam As partes tão remotas onde estamos, Pelo novo instrumento do Astrolábio, Invenção de subtil juízo e sábio, In Lusíadas de Luís de Camões (54-580), Canto V Recordemos que o círculo trigonométrico é um círculo de raio unitário cujo centro está colocado na origem de um referencial ortonormado XOY. O círculo trigonométrico é muito útil porque nos permite visualizar as razões trigonométricas, como é o caso do seno, cosseno e tangente. Existem muitos softwares (para calculadora gráfica ou computador) que simulam círculos trigonométricos, livremente disponíveis na internet, onde podemos visualizar, calcular e modificar de forma interativa as razões trigonométricas; este é um exemplo: Uma concretização interessante dum círculo trigonométrico é a chamada Roda Gigante das Feiras Populares, que nos Estados Unidos é conhecida como Roda de Ferris ( Ferris wheel ) por ter sido pela primeira vez construída pelo engenheiro George Washington Gale Ferris, Jr. para a Exposição Universal de Chicago em 893. Existem rodas gigantes um pouco por todo o mundo (inclusive dentro de Centros Comerciais) sendo que a mais alta estrutura atualmente existente está localizada em Singapura (inaugurada em 008 tem uns espantosos 65 metros de altura total). Círculo trigonométrico por Matemática? Absolutamente, Funções trigonométricas

7 A Roda Gigante original (Chicago, 893) tinha 80,4 metros de altura A maior Roda Gigante do mundo (Singapura, 008) Função Seno A função seno é uma função real de variável real que a cada amplitude x (em radianos) associa o valor da razão trigonométrica seno de x, sen x, quando estamos em presença do círculo trigonométrico já referido. Isto significa que é possível associar a cada ângulo, com a amplitude medida em radianos*, um e um só valor da razão trigonométrica seno, o valor sen x. Este valor sen x é a razão entre tangente o comprimento do cateto oposto e o comprimento da hipotenusa, no caso em que a amplitude do ân- seno gulo varia entre 0 e. Para todos os valores de x, o seno de x pode ser obtido facilmente a partir do círculo trigonométrico. O seno de x, para qualquer valor de x, será a ordenada do ponto correspondente à interseção entre a circunferência, que define o círculo trigonométrico, e o lado extremidade do ângulo de amplitude radianos (o lado origem coincide sempre com o semieixo positivo horizontal, mas o lado extremidade é marcado no sentido positivo ou no sentido negativo conforme x seja positivo ou negativo). cosseno * Se a amplitude fosse medida em graus, seria possível definir também uma função, mas a função seria diferente da que obtemos com a amplitude medida em radianos. 3. Funções trigonométricas 7

8 Do mesmo modo se pode obter o cosseno de x e a tangente de x. O cosseno de x será a abcissa do mesmo ponto sobre a circunferência, que define o círculo trigonométrico, e a tangente de x será a ordenada do ponto obtido por interseção entre o lado extremidade do ângulo e a reta perpendicular ao eixo dos XX e tangente ao círculo trigonométrico (a linha da tangente). Usando qualquer software que simule o círculo trigonométrico podemos facilmente intuir as principais propriedades da função seno. Temos assim: a) Domínio: toda a reta real. b) Contradomínio: o intervalo fechado [,]. c) Período: π pois sen(x + π) = sen x. Em particular basta estudar a função seno num intervalo de amplitude π, como o intervalo ]0,π] ou o intervalo ] π,π] pois as propriedades repetem-se devido à periodicidade. d) Simetrias em relação ao eixo dos YY e à origem: a função seno é uma função ímpar pois sen( x) = sen x ; assim o gráfico é simétrico em relação à origem. Se pretendermos analisar a função no intervalo ] π,π], a simetria permite-nos estudar apenas, por exemplo, o que se passa no intervalo [0, π]. e) Pontos notáveis: a função seno interseta o eixo dos YY no ponto (0,0); para ver onde interseta o eixo dos XX interessa resolver a equação sen x = 0. No intervalo ] π,π] existem dois zeros da função seno: e. f) Monotonia: vendo o que se passa no círculo trigonométrico concluímos que, no intervalo ]0,π], a função seno é crescente nos intervalos e 3π,π, e decrescente no intervalo π, 3π. g) Continuidade: A função seno é contínua em todo o seu domínio. h) Assíntotas: Não tem. i) Limites nos ramos infinitos: Não existe limite em ou +. j) Extremos (relativos e absolutos): no intervalo ]0,π] a função seno tem um máximo para x = π e um mínimo para x = 3π. O gráfico da função seno nos intervalos ]0,π] e ] π,π] respetivamente é: y y,0,0 0,5 0,5 0,0 0,5 π π 3 π π x π π 0,5 π π x,0, Funções trigonométricas

9 Poderá haver algumas dúvidas em relação aos extremos e à continuidade, pois estamos apenas a observar um gráfico, mesmo que esteja ligado ao círculo trigonométrico (o que é sempre uma grande ajuda mas não resolve todas as dúvidas). No que diz respeito aos extremos, precisamos de determinar a derivada da função seno para podermos fazer um estudo mais completo. Quanto à continuidade da função seno, podemos tirar as dúvidas se provarmos que. Comecemos por considerar o caso em que. Por observação do círculo trigonométrico é fácil concluir que, se, então. Como a função seno é ímpar, se multiplicarmos ambos os membros desta desigualdade por, obtemos, para. Usando estas duas desigualdades simultaneamente podemos que concluir que se tem para todo o x 0 do intervalo. Recorrendo à definição de limite de função segundo Heine, teremos de provar que, para toda a sucessão de termos diferentes de zero e a convergir para, a sucessão também converge para zero. Mas neste caso basta aplicar o teorema das sucessões enquadradas para concluir o pretendido. Fica assim provado que. Para determinar o limite para um a qualquer observemos que se, se tem Para determinarmos este limite só nos falta esclarecer o valor de. Para todo o do intervalo, a função cosseno é positiva, pelo que. Logo. Assim 3. Funções trigonométricas 9

10 como queríamos demonstrar. Determinemos agora qual a função derivada da função seno. Temos Para podermos concluir, teremos de determinar os dois limites que nos apareceram. Vejamos o que acontece com o limite do seno. Traçando um gráfico da função e ampliando sucessivamente, ficamos com a ideia de que o limite é : yyy yy y y,0,0,0,0,0,0,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0, ,5 0,5 xx x x 44,0 0,5 0,5 0,5,0,0 0,5 xx 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,5,0,0,0,0 Em ] 4 ; 4[ Em ] 0, ; 0,[ Em ] 0,0 ; 0,0[ Podemos facilmente provar que tal conclusão é verdadeira. Por observação do círculo trigonométrico é fácil concluir que, se, então 0 < senx < x < tgx. Dividindo ambos os membros das desigualdades por sen x obtemos desde que se tenha. Mas as funções presentes na desigualdade são funções pares pelo que a mesma desigualdade é válida desde que. Então, tal como fizemos atrás, recorrendo à definição de limite de função segundo Heine e ao teorema das sucessões enquadradas, podemos concluir que:. Vejamos agora o que acontece com o seguinte limite: lim x 0 cosx. x Multiplicando e dividindo ambos os membros da fração por, obtemos 0 3. Funções trigonométricas

11 Podemos agora retomar o cálculo da derivada da função seno: Em conclusão:. Sabendo agora como determinar a derivada da função seno, podemos confirmar os intervalos de monotonia. Vamos estudar apenas o que se passa no intervalo ]0,π] onde a função derivada, a função cosseno, tem dois zeros: e x = 3π. Podemos construir o quadro de variações, a partir do conhecimento do sinal da função cosseno: x 0 π 3π π Este resultado confirma o que foi visto antes máximo mínimo 3. Funções trigonométricas

12 Exercícios. Determina se as seguintes funções são pares ou ímpares:... Usando a calculadora gráfica, confirma os resultados do exercício anterior. 3. Determina analiticamente o contradomínio das seguintes funções: 3. h(x) = senx + π 3. d(x) = sen(x + π) 4. Usando a calculadora gráfica, confirma os resultados do exercício anterior. 5. Deriva as seguintes funções: Determina os limites: sen(4x) lim x 0 sen(5x) cosx 7. Usa a calculadora gráfica ou o computador para confirmar o valor do limite lim x 0 x Função Cosseno A função cosseno é uma função real de variável real que a cada amplitude x (em radianos) associa o valor da razão trigonométrica cosseno de x, cos x, quando estamos em presença do círculo trigonométrico já referido no início do capítulo. Este valor cos x é a razão entre o comprimento do cateto adjacente e o comprimento da hipotenusa, no caso em que a amplitude do ângulo varia entre 0 e. Para todos os valores de x, o cosseno de x pode ser obtido facilmente a partir do círculo trigonométrico. O cosseno de x, para qualquer valor de x, será a abcissa do ponto obtido pela interseção do círculo trigonométrico com o lado extremidade do ângulo de amplitude radianos. Usando qualquer software que simule o círculo trigonométrico podemos facilmente intuir as principais propriedades da função cosseno. Temos assim: a) Domínio: toda a reta real. b) Contradomínio: o intervalo fechado [,]. c) Período: π pois. Em particular basta estudar a função cosseno num intervalo de amplitude π, como o intervalo ]0,π] ou o intervalo ] π,π] pois as propriedades repetem- -se devido à periodicidade. d) Simetrias em relação ao eixo dos YY e à origem: a função cosseno é uma função par pois 3. Funções trigonométricas

13 ; assim o gráfico é simétrico em relação ao eixo dos YY. Se pretendermos analisar a função no intervalo ] π,π], então a simetria permite-nos estudar apenas, por exemplo, o que se passa no intervalo [0,π]. e) Pontos notáveis: a função cosseno interseta o eixo dos YY no ponto (0,); para ver onde interseta o eixo dos XX interessa resolver a equação tem dois zeros: x = π e x = π.. No intervalo ] π,π] a função cosseno f) Monotonia: observando o que se passa no círculo trigonométrico concluímos que, no intervalo ]0,π], a função cosseno é crescente no intervalo ]π,π[ e decrescente no intervalo ]0, π[. g) Continuidade: A função cosseno é contínua em todo o seu domínio. h) Assíntotas: Não tem. i) Limites nos ramos infinitos: Não existe limite em ou +. j) Extremos (relativos e absolutos): no intervalo ]0,π] a função cosseno tem um máximo para x = π e um mínimo para. O gráfico da função cosseno nos intervalos ]0,π] e ] π, π] é, respetivamente: y y,0,0 0,5 0,5 0,0 0,5 π π 3 π π x π π 0,5 π π x,0,0 Mais uma vez surgem dúvidas quanto à continuidade e à monotonia. Vamos deduzir estas propriedades a partir das correspondentes propriedades da função seno. Quanto à continuidade da função cosseno, relembremos que Temos então que, por a função seno ser contínua, E a função cosseno é efetivamente contínua. Para calcular a derivada da função cosseno usamos uma abordagem do mesmo tipo. Temos, usando o teorema da derivada da função composta, 3. Funções trigonométricas 3

14 ( cosx)' = sen π x = cos π x π x = sen x Sabendo agora como determinar a derivada da função cosseno, podemos confirmar os intervalos de monotonia. Vamos estudar apenas o que se passa no intervalo ]0,π] onde a função derivada, a função seno, tem dois zeros: e. Podemos construir o quadro de variações, a partir do conhecimento do sinal da função seno: x 0 π Estas conclusões confirmam o que havíamos visto atrás mínimo máximo Exercícios 8. Calcula as derivadas das funções definidas por Sabendo que a função g é derivável e que g() = π e g '() = 6, indica o valor das derivadas das seguintes funções nos pontos indicados: 9. sen(g(x)) para x = ; 9. cos(g(3x )) para x =. 0. Seja f a função definida por. Determina analiticamente: 0. O domínio de f. 0. O contradomínio de f. 0.3 Os zeros no intervalo ]0,π]. 0.4 Os extremos no intervalo ]0,π].. Usando a calculadora gráfica, verifica os resultados obtidos no exercício anterior.. Determina os extremos relativos das funções definidas por Funções trigonométricas

15 História(s) H Regiomontano ( ) Johann Mu ller de Königsberg ( ), mais conhecido por João de Monte Régio ou por Regiomontano, foi um matemático e astrónomo alemão do século XV. As designações Regiomontano e Monte Régio provêm da latinização do nome da sua cidade natal, Königsberg, que em alemão significa montanha do rei. Esta Königsberg é uma pequena cidade da Francónia (hoje parte da Baviera), e não deve confundir-se com a grande Königsberg da Prússia Oriental (hoje uma cidade russa chamada Kaliningrad), que se tornou famosa na História da Matemática em virtude do problema das Pontes de Königsberg, cuja resolução em 736 por Leonhard Euler esteve na origem do aparecimento da Teoria de Grafos. Regiomontano foi uma criança precoce. Com apenas anos de idade matriculou-se na universidade de Lípsia. Volvidos três anos foi para a universidade de Viena, então famosa pelos seus currículos de Astronomia e Cosmologia, onde completou o bacharelato com 6 anos; contudo, de acordo com o regulamento da universidade, teve de esperar pelos anos para receber o título. Em Viena foi aluno de Jorge Purbáquio (43-46), também ele figura proeminente da ciência do século XV, de quem se tornou amigo e colaborador. Na Europa do século XV as superstições ligadas à astrologia eram comuns mesmo em meios socialmente elevados e, em geral, eram os astrónomos que se encarregavam das «previsões» astrológicas. Ainda muito jovem, Regiomontano adquiriu considerável prestígio em Viena como astrónomo e, consequentemente, também como astrólogo, a ponto de ter prestado «serviços» à coroa do Sacro Império Romano-Germânico. O imperador Frederico III pretendia casar com Leonor de Avis (uma princesa portuguesa, filha de D. Duarte e irmã de D. Afonso V) e encomendou a Regiomontano 3. Funções trigonométricas 5

16 um horóscopo da noiva; os astros devem ter-se mostrado favoráveis, porque Frederico e Leonor acabaram por casar. Mais tarde, já imperatriz, D. Leonor veio a encomendar a Regiomontano outro horóscopo, desta vez para um dos seus filhos, o futuro imperador Maximiliano I. Estes episódios revelam-nos que Regiomontano granjeou fama (como astrólogo, é certo, mas astrólogo da corte!) ainda muito jovem; basta comparar datas: Regiomontano nasceu em 436, Leonor casou em 45, e Maximiliano nasceu em 459. Purbáquio, o mestre de Regiomontano, dedicou os dois últimos anos de vida a um projeto relacionado com o Almagesto de Cláudio Ptolomeu (século II d.c.); o seu objectivo seria o de produzir uma tradução a partir do original grego do grande tratado astronómico da Antiguidade, mas que fosse simultaneamente mais resumida e de mais fácil leitura. Purbáquio iniciou este trabalho em 460 em colaboração com o seu discípulo e, antes de morrer, pediu-lhe que completasse o projeto. Regiomontano conseguiu levar a tarefa a bom termo em dois anos, mas a obra só veria a luz do dia em 496. Em 463, concluiu De Triangulis omnimodis (isto é, Acerca dos Triângulos de todas as espécies), a obra que lhe assegurou um lugar de destaque na História da Matemática. Este tratado, que só foi publicado em 533, constituiu a base da Trigonometria moderna. Entre 467 e 47, Regiomontano esteve na Hungria. Em Buda (a parte mais antiga da atual Budapeste) dedicou-se ao fabrico de instrumentos de observação astronómica e à compilação de tábuas trigonométricas de senos e tangentes, por encomenda do arcebispo de Esztergom. O rei Matias da Hungria pediu-lhe que melhorasse as tabelas existentes de movimentos planetários, pelo que em 47 Regiomontano se mudou para Nuremberga, cidade bem localizada pela facilidade de comunicações e conhecida pela qualidade dos instrumentos nela fabricados. Em 47 publicou, sob o título Nova Teórica dos Planetas, as lições que tinham sido ministradas alguns anos antes em Viena por Purbáquio. Adaptado de A Vida e Obra do Matemático Regiomontano, Carlos Sá e M. Céu Silva, Clube SPM, Funções trigonométricas

17 Função Tangente A função tangente é uma função real de variável real que a cada amplitude x (em radianos) associa o valor da razão trigonométrica tangente de x,. Este valor tg x é a razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento do cateto adjacente, quando estamos em presença do círculo trigonométrico já referido no início do capítulo, no caso em que a amplitude do ângulo varia entre 0 e, excluindo. Para todos os valores de x, a tangente de x pode ser obtida facilmente a partir do círculo trigonométrico: é a ordenada do ponto obtido por interseção entre o lado extremidade do ângulo e a reta perpendicular ao eixo dos XX e tangente ao círculo trigonométrico (a linha da tangente). Usando qualquer software que simule o círculo trigonométrico podemos facilmente intuir as principais propriedades da função tangente. Temos assim: a) Domínio: toda a reta real excluindo os pontos onde o denominador se anula, isto é, onde o cosseno se anula, ou seja, os pontos da forma b) Contradomínio: toda a reta real., com k um inteiro qualquer. c) Período: π pois. Em particular basta estudar a função tangente num intervalo de amplitude π, (a que excluímos os pontos fora do domínio), como o conjunto ]0,π]\{π/} ou o intervalo pois as propriedades repetem-se devido à periodicidade. d) Simetrias em relação ao eixo dos YY e à origem: a função tangente é uma função ímpar pois ; assim o gráfico é simétrico em relação à origem. Se pretendermos analisar a função no intervalo, então a simetria permite-nos estudar apenas, por exemplo, o que se passa no intervalo 0, π. e) Pontos notáveis: a função tangente interseta o eixo dos XX e o dos YY no ponto (0,0); no intervalo não há mais pontos de interseção. f) Monotonia: observando o que se passa no círculo trigonométrico concluímos que, em cada intervalo, a função tangente é sempre crescente. g) Continuidade: A função tangente é contínua em todo o seu domínio. 3. Funções trigonométricas 7

18 h) Assíntotas: Tem as assíntotas verticais e em. i) Limites nos ramos infinitos: Não existe limite em ou +. j) Extremos (relativos e absolutos): a função tangente não tem extremos. O gráfico da função tangente nos intervalos e é, respetivamente: y y π 4 π x π π 4 π 4 π x Mais uma vez surgem dúvidas quanto à continuidade e à monotonia. Como a função seno e a função cosseno são contínuas e o quociente de duas funções contínuas é contínua, exceto nos pontos que anulam o denominador (teorema 4 do capítulo 9, volume 3), concluímos que a função tangente é contínua em toda a reta real excluindo os pontos onde o denominador se anula, isto é, onde o cosseno se anula, ou seja, os pontos da forma, com k um inteiro qualquer. Quanto à derivada da função tangente, vamos aplicar as regras de derivação: Observamos em particular que, exceto nos pontos onde o cosseno se anula, a derivada é positiva. Assim, em cada intervalo, com k um inteiro qualquer, a função tangente é crescente (mas não é crescente em todo o seu domínio, porquê?) Funções trigonométricas

19 Exercícios 3. Determina as derivadas das funções definidas por Determina os intervalos de monotonia da função definida por. 5. Usando a calculadora gráfica, verifica os intervalos de monotonia obtidos no exercício anterior. 6. Estuda a existência de assíntotas verticais das funções definidas por Famílias de funções trigonométricas Uma população de coelhos num parque nacional aumenta e diminui em cada ano em função do clima e da quantidade de recursos naturais disponíveis. O valor mínimo da população é atingido em janeiro com 5000 coelhos. Na Primavera a população vai aumentando e no mês de junho, quando o tempo é mais favorável, a população de coelhos triplica. Quando chega o Inverno a população diminui novamente. No mês de janeiro seguinte o valor mínimo é novamente atingido. Suponhamos que C(t) nos dá o tamanho da população de coelhos como uma função do tempo t, medido em meses, a começar em Janeiro. Um possível modelo para esta situação é fornecido por uma função trigonométrica. Uma função que se ajuste aos dados fornecidos é, por exemplo, Rabbit a por Sarah, O gráfico é o seguinte, no intervalo [0,4]: 3. Funções trigonométricas 9

20 C t Esta é uma função da família de funções. Qual o efeito dos parâmetros A, B, C e D no comportamento da função? Podemos experimentar C C com C o Cexemplo da função definida por C(t) para observar tal efeito C Tarefa resolvida Tr Qual o efeito do parâmetro 0 B na família de funções trigonométricas t 0 apresentada? t Resolução t t t Fazendo variar o valor B em vai-nos permitir perceber melhor o que se passa. Eis alguns casos para B, sempre no mesmo intervalo [0,4]: C C C C C C t t t t t t t t t B = B = 0 B = 0, Observamos que o período muda quando o B muda. Podemos concluir isso analiticamente. Temos, se P for o período da função f, 0 3. Funções trigonométricas

21 Como a função cosseno tem período π, então, se, P será período da função f. Logo P = π B é período da função f. Se B for negativo, este valor será negativo, mas como π é também período da função cosseno, podemos obter o seguinte período (positivo): Concluímos então que o parâmetro B influencia o período da função dada. Tarefa Considera a família de funções f (t) = Acos(Bt +C)+ D. Simulando com a função C(t) da população de coelhos, determina qual a influência de cada um dos parâmetros A, C, e D. De seguida prova analiticamente que: a) A é a amplitude do gráfico da função f, ou seja, metade da diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da função. b) C é a fração do período que a função está deslocada relativamente à posição base (com C = 0). c) y = D é a reta que divide o gráfico a meio (está a meio caminho entre o valor máximo e o valor mínimo de f). Modelação Matemática O modo como a teoria matemática e as aplicações se relacionam é normalmente designado por matematização ou modelação matemática. Isto significa que, como afirma o matemático Ian Stewart: Qualquer descrição matemática do mundo real é um modelo. Manipulando o modelo esperamos compreender algo da realidade. E já não perguntamos se o modelo é verdadeiro, perguntamos unicamente se as suas implicações podem ser verificadas experimentalmente. Há vários modos de descrever o processo de matematização ou modelação matemática e o esquema que vamos apresentar é um deles. Tudo começa com a escolha de um problema real que pode estar mais ou menos indefinido. Em seguida há que selecionar hipóteses: considera-se o atrito ou despreza-se, considera-se a espessura de um material ou despreza-se, etc. A validade das conclusões apenas pode ser considerada tendo como referência as hipóteses selecionadas. Só depois podemos enunciar o problema matemático propriamente dito: que equações ou inequações há que resolver, quais são as variáveis, o que é constante, etc. Os problemas que envolvem a matemática nem começam apenas aqui, nem terminam aqui. Agora é, em princípio, clara qual a técnica matemática que pode ser usada, embora possa não ser muito simples chegar à solução. E se não existe teoria matemática adequada, ela tem que ser elaborada 3. Funções trigonométricas

22 para que o problema possa ser resolvido. Esta é, historicamente, a génese de muitos resultados matemáticos, muitas vezes iniciada por especialistas de áreas diversas. Escolher problema real Escolher hipóteses Enunciar problema matemático Comparar com a realidade Interpretar a solução Resolvê-lo usando técnicas matemáticas Elaborar relatório (usar as conclusões para explicar, predizer, decidir,... Mas o problema ainda não acabou! Há que ver qual o significado da solução no contexto do problema. 3 quê? 6 quê? Metros? Dias? Graus? Se obtivermos 5 metros como comprimento de uma vedação, confrontando com a realidade sabemos que tal não é possível; então das duas uma: ou errámos os cálculos ou as nossas hipóteses não são aceitáveis. Pode então ser necessário escolher novas hipóteses e repetir todo o processo até chegarmos a uma solução que, confrontada outra vez com a realidade, seja admissível. Por fim há que elaborar um relatório em que a solução do problema é usada para explicar o fenómeno, ou prever a evolução futura, ou para servir de suporte a uma tomada de decisões. Do ponto de vista científico este passo é muito importante pois obriga o cientista ou equipa de cientistas a passar a escrito o que teve de fazer, surgindo por vezes ideias unificadoras ou generalizadoras que não ocorreram no decurso do processo. A comunicação sob a forma matemática é uma ferramenta importante nos dias de hoje para todos os cientistas e investigadores. Retomemos o exemplo da população de coelhos num parque natural, situação modelada com uma função do tipo C(t) = cos πt 6. Nesta situação, o número de coelhos é o mesmo em cada ano. E se quisermos um modelo em que o número de coelhos aumente em cada ano, embora apenas 50 coelhos por mês? Então o novo modelo terá de ser algo como C(t) = cos πt t. O gráfico será então 3. Funções trigonométricas

23 C t Obtemos um modelo de uma situação claramente diferente. Claro que os modelos usam valores simplificados, que são apenas aproximações da realidade; um modelo será tanto melhor quanto essas aproximações estiverem mais próximas dos valores observados na realidade. y Todas as áreas do conhecimento 40 C usam as funções trigonométricas como modelos para variadas situações concretas. A Medicina não fica fora disso. Para modelar a pressão arterial fazem-se medições com aparelhos adequados; 0 a pressão arterial é a pressão exercida pelo sangue contra a superfície interna das artérias. Atinge o valor máximo quando o coração ejeta o seu conteúdo na aorta e atinge o valor mínimo quando o coração acabou de bombear para a aorta todo o sangue que continha A pressão arterial é medida 80 em milímetros de mercúrio, mmhg, unidade surgida quando Evangelista Torricelli inventou o barómetro de mercúrio, em 643. Se dissermos que a pressão arterial de 60 determinada pessoa 0 é 000 0/80, isso quer dizer que o valor máximo atingido é 0 mmhg e o valor mínimo é 80 mmhg. O 40 melhor modelo para tal situação é dado por uma função trigonométrica. Suponhamos que um ciclo completo, ou seja o intervalo de tempo de um batimento cardíaco, é de 0 aproximadamente 0, segundos. Atendendo ao que foi visto para as funções da família 0 x 0,0 0,5,0,5,0 0 t , um bom modelo será uma função visto que o valor máximo atingido é 0, o valor mínimo é 80 e o período é 3/4 = 0,75. O gráfico de tal função é: y x 0,0 0,5,0,5,0 3. Funções trigonométricas 3