PROLIN. Sistema para PROgramação LINear

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1 PROLIN Sistema para PROgramação LINear Manual do Usuário Junho/2002

2 1. INTRODUÇÃO O Sistema para Programação Linear - PROLIN, desenvolvido para a resolução de problemas genéricos de Programação Linear, utiliza o Simplex Revisado como algoritmo-base, adaptando-o para lidar com variáveis ou com restrições limitadas. Em sua versão para a internet, está limitado a um máximo de 50 (cinqüenta) restrições e 100 (cem) variáveis, não se incluindo, entre essas, as variáveis de folga e as artificiais. O site do PROLIN pode ser acessado, via navegador web, através do endereço e está dividido nas seguintes seções: - inicial: É a apresentação do site, a página inicial contendo uma descrição breve sobre o sistema; - prolin: É a parte onde o usuário poderá submeter seus problemas, previamente formatados, de acordo com os formatos definidos nos manuais do PROLIN; - exemplos: Contém exemplos simples, com o objetivo de ser um guia rápido para o usuário fazer seus primeiros testes com o sistema; - manuais: O usuário poderá fazer o download dos manuais disponíveis para um aprendizado mais profundo do sistema; - sobre: Contém uma descrição técnica do Sistema; - links: Página com links referentes à Pesquisa Operacional e assuntos correlacionados; - ajuda: Seção que contém a descrição de um problema e explicações sobre alguns pontos importantes da modelagem.

3 2. DESCRIÇÃO E USO DO SISTEMA O sistema é bem simples de ser utilizado. Ao acessar o site o usuário tem acesso aos links que levam diretamente à pagina para entrada dos dados referentes ao modelo. Caso tenha dúvidas, é possível acessar os manuais através do link manuais no menu principal e fazer download para consultas precisas sobre o formato de entrada de dados exigidos para submissão do problema. Existem duas maneiras de submeter, ao PROLIN, o problema modelado. Pode-se passar um arquivo texto contendo o modelo ou passá-lo diretamente através da página. Quanto aos formatos, pode-se optar por escolher o formato original do PROLIN ou o formato adaptado. Esta documentação descreve o formato adaptado. A solução dada pelo PROLIN é enviada diretamente para uma outra página. Em caso de erro, um aviso de alerta contendo a possível causa do erro é mostrado ao usuário, para que ele possa analisar novamente a entrada de dados e verificar se ela está realmente consistente SUBMISSÃO POR ARQUIVO Para submeter ao PROLIN, por meio de um arquivo, um problema modelado (não importa a extensão do arquivo, contanto que esteja no formato tipo texto), o usuário terá que clicar no botão 'procurar', selecionar o arquivo e clicar no botão 'enviar'. Além disto, o usuário também terá que escolher entre fazer, ou não, a análise de sensibilidade. A subseção é mostrada na figura abaixo: 2.2. SUBMISSÃO PELA PÁGINA Para submeter ao PROLIN um problema modelado on-line, basta preencher, com o modelo, o campo indicado por 'Entre com os Dados'. Em seguida, escolher entre fazer, ou não, a análise de sensibilidade e clicar no botão 'enviar'. A sub-seção é mostrada na figura abaixo:

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5 3. DESCRIÇÃO DO CONJUNTO DE DADOS O PROLIN resolve problemas de Programação Linear. Os dados associados ao problema devem estar em um formato adequado para que o sistema possa interpretá-los, validá-los e buscar uma solução, se existente. Abaixo, segue uma descrição do conjunto de dados, com o uso de palavras-chave reservadas, de acordo com uma ordem préestabelecida: 3.1) TITULO* 3.1.1) nome identificador do problema a ser resolvido. 3.2) OBJETIVO* 3.2.1) função objetivo 3.2.2) limitante da função objetivo* 3.3) RESTRIÇÕES 3.3.1) expressões das restrições 3.3.2) limitante para variáveis ou restrições* 3.4) COMBINAR* 3.4.1) expressões das restrições combinadas 3.4.2) limitante para as restrições combinadas* 3.5) FIM* 3.1. TITULO Este identificador é opcional. Trata-se de uma maneira de informar ao sistema que o problema a ser resolvido tem um nome. Se o problema tiver um título, o usuário deve utilizar uma das seguintes palavras-chaves: - 'titulo', 'tit', 'tit.','nome', 'nom', 'nom.`; Cabe frisar que, uma vez este campo tenha sido especificado, o campo 3.1.1) deve ser obrigatoriamente preenchido pelo usuário, senão o sistema acusará um erro Nome identificador do problema a ser resolvido Este campo só deverá ser utilizado se o campo 1) for preenchido. Ele serve para indicar o nome do problema que está sendo resolvido e pode ser preenchido conforme a vontade do usuário, somente com a restrição de que o tamanho seja de, no máximo, 80 caracteres OBJETIVO Este identificador é opcional. Informa, ao sistema, que o objetivo do problema será especificado na próxima linha e aceita as seguintes palavras chaves: - 'objetivo', 'obj', 'obj.'; Função Objetivo

6 Este campo é obrigatório e deve conter somente uma função objetivo. Segue abaixo o formato geral da função objetivo: - <qualificador> [<identificador da função objetivo>] : <função com variáveis> [<sinal> <valor>] a) qualificador: É obrigatório e deve ser o primeiro item que o usuário define na função objetivo. Indica se o usuário deseja maximizar ou minimizar a função objetivo. Aceita os seguintes identificadores: - 'minimizar', 'min', 'min.', 'maximizar', 'max', 'max.'; b) identificador da função objetivo: É opcional. Descreve um limitante sobre a função-objetivo do problema. Se não for especificada, o sistema irá atribuir um nome para a mesma e, como conseqüência, o usuário não poderá especificar um limitante para a função objetivo em questão. c) ':': O dois pontos serve para separar a definição da função objetivo (qualificador e nome) do resto da equação. d) função com variáveis: Esta parte da função objetivo é obrigatória. É nela que as variáveis, cada uma com o seu coeficiente, são relacionadas entre si por meio de somas e subtrações. O sistema não aceita variáveis repetidas em uma mesma função, ou seja, a função deve estar simplificada, caso contrário o sistema retornará um erro de consistência de dados. e) <sinal> <valor>: Estes dois campos são opcionais. Porém, se um deles for declarado, o outro, obrigatoriamente, também o será. O sinal indica se a função objetivo será igual, maior ou menor que um determinado valor. É representado, respectivamente, por: =, >=, <= limitante da função objetivo O limitante da função objetivo é opcional, sendo representado pelo seguinte formato: - <identificador da função objetivo> <sinal> <valor> Todos estes itens seguem a definição do campo 3.2.1). É importante frisar que <sinal> e <valor> são obrigatórios para este tipo de expressão RESTRIÇÕES Este identificador é obrigatório. Indica ao sistema que um conjunto de restrições será declarado. Segue abaixo os identificadores para definir o campo restrições: - 'sa', s.a., 'st', 'st.', restrições'; expressões das restrições Neste campo, serão declaradas as restrições gerais do problema. O formato é:

7 - [<nome da restrição> :] <função com variáveis> <sinal> <valor> a) nome da restrição: É a identificação de uma nova expressão que representa uma das restrições para o problema. É importante saber que um nome deve ser usado para identificar somente uma restrição, pois senão o sistema acusará um erro de sintaxe. Os demais itens da expressão já foram descritos no tópico 3.2.1). Observe a importância da ordem dos itens e a obrigatoriedade ou não dos mesmos limitante para variáveis e restrições A expressão limitante para variáveis ou restrições é opcional. Sua definição é muito parecida com a definição da restrição do tópico 3.2.2) e será descrita logo abaixo: - (<restrição> ou < variável>) <sinal> <valor> a) variável: Indica o nome de uma determinada variável que foi referenciada em alguma expressão do tipo 3.3.1) ou 3.2.1) COMBINAR Este identificador é opcional. Informa ao sistema que restrições serão combinadas em expressões, como se fossem variáveis. Os identificadores aceitos pelo sistema são: - 'combinar', 'comb.', 'comb'; expressões das restrições combinadas Sua declaração é muito parecida com a do tópico 3.3.1). A diferença está no fato de que, ao invés de ser uma combinação linear de variáveis, é uma combinação linear de restrições. Segue abaixo o formato geral para este tipo de expressão: - [<nome da restrição combinada> :] <função com restrições> <sinal> <valor> limitante para restrições combinadas Este tipo de limitante é opcional. Segue abaixo seu formato: - <nome da restrição combinada> <sinal> <valor>

8 4. RESTRIÇÕES SOBRE OS DADOS O PROLIN possui algumas normas quanto aos dados de entrada. São normas envolvendo identificadores de variáveis e de restrições, seus valores e coeficientes IDENTIFICADORES DE VARIÁVEIS E RESTRIÇÕES Os identificadores de variáveis e restrições devem conter, no máximo, 30 caracteres e não devem ser iniciados com dígitos. Podem ter as letras, de 'a' a 'z', tanto maiúsculas como minúsculas e o caractere '_' (exceto no final de nomes, por se tratar de um caractere que indica a continuidade de uma determinada expressão em outra linha). Não devem ter sinais de pontuação e, também, não devem ser identificados pelas palavras chaves reservadas (identificadas logo abaixo, na seção 4.4) para separar partes do conjunto de dados VALORES E COEFICIENTES Os valores e coeficientes devem ter no máximo 8 caracteres de tamanho. A separação entre a parte inteira e a parte decimal de um coeficiente deve ser feita por um ponto PALAVRAS CHAVES RESERVADAS São palavras utilizadas para identificar as seções dentro do conjunto de dados de um problema. Alguma destas palavras, listadas abaixo, não são necessariamente palavras chaves para o formato adaptado, mas o são para o formato de entrada de dados original do PROLIN. - Titulo, Colunas, Linhas, Objetivo, Min, Max, Listar, Sensibilidade, Fim, Combinar, Igual, Menor, Maior, Limites 4.5 COMENTÁRIO E CONTINUIDADE DE EQUAÇÃO No formato de modelagem de dados adaptado, há possibilidade de se adicionar comentários. O comentário adotado neste formato é do tipo bloco, ou seja, é necessário que haja um símbolo para indicar o início e o fim dos mesmos. Estes símbolos são representados pelos seguintes caracteres: - { : Indica o início de um bloco; - } : Indica o fim de um bloco. Quando uma expressão é muito longa, a visualização da mesma fica afetada, surgindo a necessidade de representá-la em mais de uma linha. Isto é feito através do caractere _, sendo que este deve ser colocado logo antes de dar continuidade à mesma, na próxima linha.

9 5. PROBLEMAS-EXEMPLO 5.1 PROBLEMA DA DIETA Este problema pode ser colocado como sendo o de um nutricionista que pretende obter uma combinação de alguns alimentos disponíveis (ingredientes) e que podem estar presentes em uma refeição matinal, de forma que o custo de tal refeição seja mínimo e que as exigências nutricionais sejam satisfeitas. Tais exigências estão expressas na Tabela 1, onde os valores são dados em percentual da composição final. TABELA 1: Exigências Nutricionais da Refeição COMPONENTES NÍVEIS REQUERIDOS ESSENCIAIS MÍNIMO MÁXIMO PROTEÍNA % % GLICÍDIO % % LIPÍDIO % % O número de unidades de cada componente essencial, existente em cada unidade dos diferentes alimentos disponíveis (pão francês, leite, manteiga, queijo minas e mel), e o custo unitário associado a cada um destes estão indicados na tabela 2. TABELA 2: Composição Química dos Ingredientes COMPONEN TES ESSENCIAIS PÃO FRANCÊS LEITE MANTEIGA QUEIJO MINAS MEL PROTEÍNAS GLICÍDIO LIPÍDIO CUSTO UNITÁRIO ASSOCIADO Tem-se, ainda, que tais alimentos apresentam suas quantidades limitadas na combinação final da refeição. Tais limites são expressos na tabela 3, onde as unidades são dadas em l00g.

10 TABELA 3: Limites Mínimos e Máximos Associados aos Ingredientes. ALIMENTOS LIMITE INFERIOR LIMITE SUPERIOR PÃO LEITE MANTEIGA QUEIJO MEL Sabe-se, ainda, que nesta refeição as quantidades de proteína, glicídio e lipídio devem obedecer a seguinte equação 4.0 proteína glicídio lipídio = De posse das condições impostas para a obtenção da qualidade final da refeição matinal, as informações podem ser dispostas de forma conveniente como pode ser visto na seção 6, correlacionando essas condições. A organização dessa tabela tem como objetivo, o equacionamento do problema proposto e preparação dos dados para uso do PROLIN. 5.2 PROBLEMA DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS Um agricultor pode desenvolver quatro tipos de atividades: criação de porcos, plantio de arroz, de milho e de feijão. Tais atividades competem entre si quanto ao uso dos recursos terra, mão-de-obra e insumos diversos. A tabela 4 mostra a quantidade disponível de cada recurso em unidades apropriadas. TABELA 4: Disponibilidade de Recursos RECURSO TERRA (TERRAHA) MÃO-DE-OBRA (MOBRAH) INSUMOS DIVERSOS (CAPITAL) DISPONIBILIDADES 900 há 600 homens-hora 480 unidade. Monetária A quantidade necessária de cada recurso para se produzir uma unidade de cada atividade é mostrada na Tabela 5, em unidades apropriadas. TABELA 5: Requerimentos de Recursos pelas Atividades RECURSOS PORCO ARROZ MILHO FEIJÃO TERRA M. OBRA INS. DIV Finalmente, a tabela 6 mostra o lucro (em unidades monetárias) esperado pela produção de uma unidade de cada atividade.

11 TABELA 6: Lucro Esperado Associado a cada Atividade ATIVIDADE LUCRO ESPERADO PORCO 90 ARROZ 160 MILHO 40 FEIJÃO 100

12 6. CODIFICAÇÃO DOS DADOS 6.1. PROBLEMA DA DIETA Obedecendo-se às regras definidas nas seções 3 e 4, o problema será modelado especificando quais serão as variáveis e restrições e, após isto, serão montadas as devidas equações. Consultando as tabelas 1, 2 e 3 do problema da dieta, construiremos as duas tabelas abaixo, de restrições e variáveis com os respectivos nomes que serão representadas no PROLIN: TABELA 7: Variáveis e restrições e seus respectivos nomes no PROLIN: VARIÁVEIS NOME DAS RESTRIÇÕES NOME DAS VARIÁVEIS RESTRIÇÕES Pão Francês pfran Proteína Proteína Queijo Minas qminas Lipídio Lipídio Leite leite Glicídio Glicídio Manteiga manteiga Custo Unitário custo Mel mel Soma* Soma * Referência à equação: 4.0 proteína glicídio lipídio = De posse destas definições, podemos associar coeficientes, valores e limites às variáveis e/ou restrições, como mostra a tabela abaixo: TABELA 8: Dados do Problema da Dieta RESTRIÇÕES VARIÁVEIS LIMITES Pfran leite Manteiga qminas mel MIN. MAX. Custo l ***** ***** Proteína l % % Glicídio % % Lipídio % % Soma % % Limite: min.* Limite: max.* * Não são restrições. Somente para indicar que os limites das variáveis. O modelo do problema, consultando as tabelas 7 e 8, é descrito abaixo: TITULO - Problema da Dieta - min custo: 0.760pfran leite + 3.0manteiga + 3.0qminas + 4.0mel S.A. proteina: 8.7pfran + 3.6leite manteiga qminas <= 17.5 glicidio: 53.7pfran + 4.9leite mel <= lipidio: 0.8pfran + 3.0leite manteiga qminas <= proteina >= 12.5

13 glicidio >= lipidio >= pfran <= 0.5 leite <= 2.5 manteiga <= 0.3 qminas <= 0.5 mel <= 0.35 COMBINAR soma: 4.0proteina + 4.0glicidio + 9.0lipidio = FIM

14 6.2. PROBLEMA DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS Construída a tabela 9 a seguir, utilizam-se as regras definidas nas seções 2. e 3, para codificar o problema. Logo em seguida, o problema é descrito em uma equação. Tabela 9: Dados do Problema de Alocação de Recursos RESTRIÇÕES VARIÁVEIS Limites PORCO ARROZ MILHO FEIJÃO MIN MAX Lucro ******* ******* Terra M.Obra Ins. Div TITULO - PLANEJAMENTO DE ATIVIDADES AGRÍCOLAS COMPETITIVAS ENTRE SI max lucro : 90porco + 160arroz + 40milho + 100feijão S.A. terraha : 7.0porco + 8.0arroz + 3.0milho + 5.0feijão <= mobrah : 5.0porco + 4.0arroz + 8.0milho + 5.0feijão <= capital : 2.0porco + 8.0arroz + 4.0milho + 2.0feijão <= terraha <= mobrah <= capital <= FIM

15 7. INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS Os resultados dos Problemas-Exemplo são mostrados na Tabela 13 e Tabela 14 (seção 8.). Juntamente com os resultados do problema, o PROLIN fornece o tempo consumido na leitura e na consistência de dados, na resolução do problema e na análise de sensibilidade. A seguir, tem-se uma breve descrição das informações contidas nas mencionadas tabelas e seus significados IDENTIFICAÇÃO DO PROBLEMA. TÍTULO: nesse campo, tem-se o conteúdo associado à palavra-chave TÍTULO.. OBJETIVO DO PPL: tem-se o objetivo do problema e o nome da função a ser otimizada. ÓTIMA - quando o PPL tiver solução determinada INVIÁVEL - quando a solução do PPL for indefinida. Nesse caso, o ESTADO será precedido de mensagem identificando a origem da inviabilidade, sendo a execução interrompida.. NÚMERO DE ITERAÇÕES: número total de vezes que se utilizou o SIMPLEX para se atingir a solução ótima.. VALOR DA SOLUÇÃO: valor da função objetivo na solução ótima CARACTERÍSTICAS DAS VARIÁVEIS. Colunas: NÚMERO - NOME - ESTADO - coluna de numeração interna seqüencial das variáveis definidas para o problema. coluna contendo os nomes usados na definição das variáveis, associadas à palavra- -chave COLUNAS. coluna contendo o estado das variáveis na solução ótima. * BAS. - indica que a variável é básica. * NBLI- indica que a variável é não-básica, estando fixada no seu limite inferior. * NBLS- indica que a variável é não-básica, estando fixada no seu limite superior.

16 LIMITE INFERIOR - NÍVEL ÓTIMO - LIMITE SUPERIOR- coluna contendo os valores definidos ou assumidos para os limites inferiores das variáveis. coluna contendo os valores assumidos pelas variáveis na solução ótima. coluna contendo os valores definidos ou assumidos para os limites superiores das variáveis. CUSTO ASSOCIADO - coluna contendo os coeficientes das variáveis na função objetivo do PPL. CUSTO REDUZIDO - coluna contendo a taxa de variação no valor ótimo da função objetivo (VALOR DA SOLUÇÃO) ocasionada pela variação de uma unidade na variável correspondente. 7.3 CARACTERÍSTICAS DAS RESTRIÇÕES.colunas : NÚMERO - NOME - ESTADO - LIMITE INFERIOR - NÍVEL ÓTIMO - NÍVEL SUPERIOR - coluna contendo a numeração associada à ordem de entrada das restrições. coluna contendo os nomes usados na definição das restrições, associados à palavra-chave LINHAS. coluna contendo o ESTADO das restrições na solução ótima, relacionando o NÍVEL ÓTIMO com os valores dos LIMITE INFERIOR E LIMITE SUPERIOR. coluna contendo os limites inferiores definidos ou assumidos para os valores associados às restrições. coluna contendo os valores associados às restrições na solução ótima. coluna contendo os limites superiores definidos ou assumidos para os valores associados às restrições. FOLGA ASSOCIADA - coluna contendo a diferença existente entre o LIMITE (conforme definido em LINHAS) e o NÍVEL ÓTIMO. PREÇO - SOMBRA - coluna contendo a taxa de variação no valor da função objetivo ocasionada por uma variação unitária no valor do NÍVEL ÓTIMO, associado à restrição.

17 7.4 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE PARA OS CUSTOS As colunas NÚMERO, NOME, ESTADO e CUSTO ASSOCIADO seguem a definição dada na seção Colunas : INTERVALO DE VALIDADE PARA OS CUSTOS * NÍVEL MÍNIMO - nesta coluna, tem-se como informação, o nível mínimo que o custo associado a uma variável pode assumir. Este é o menor valor que o custo associado à variável em questão pode assumir sem que os ESTADOS da solução e das variáveis se modifiquem, ou seja, de forma que se continue com a mesma solução ótima. Qualquer variação nos custos que exceda este limite poderá provocar uma mudança nas variáveis básicas e não-básicas, tendo assim que executar o programa novamente. * NÍVEL MÁXIMO - de forma inteiramente análoga, tem-se o limite máximo que o custo associado a uma variável pode assumir. Observações: - Pela análise dessas colunas, o usuário poderá responder a muitas perguntas de interesse, tais como: caso haja alguma variação no custo associado a uma determinada variável, a solução permaneceria ótima? Ocorrida tal variação, as variáveis básicas permaneceriam as mesmas? Qual deve ser a variação do custo associado a uma variável não-básica de forma que essa variável possa tornar-se competitiva com as demais variáveis básicas? 7.5. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE PARA AS VARIÁVEIS As colunas NÚMERO, NOME, ESTADO e NÍVEL ÓTIMO seguem a definição dada na seção 7.2. Colunas: VARIAÇÃO NO VALOR DA SOLUÇÃO POR UNIDADE DE * DECRÉSCIMO - essa coluna nos fornece a variação no VALOR DA SOLUÇÃO devida a um decréscimo unitário no NÍVEL ÓTIMO da variável em questão, ou seja, a taxa de variação no NÍVEL ÓTIMO de determinada variável. * ACRÉSCIMO - da mesma forma que a coluna anterior, esta fornece a variação por unidade de acréscimo.

18 INTERVALO DE VALIDADE * NÍVEL MÍNIMO - Valor mínimo que a variável pode assumir de forma que a variação no VALOR DA SOLUÇÃO dada pela coluna DECRÉSCIMO seja válida. * NÍVEL MÁXIMO - Valor máximo que a variável pode assumir de forma que a variação no VALOR DA SOLUÇÃO dada pela coluna ACRÉSCIMO seja válida. Observações: - É importante atentar-se para o fato de se ter de localizar a variável dentro deste INTERVALO DE VALIDADE, uma vez que podem ocorrer situações em que não se pode decrescê-la, sob pena de exceder os limites de variação, onde não se pode garantir a validade das informações contidas nas colunas DECRÉSCIMO e ACRÉSCIMO definidas anteriormente. Caso a variação desejada exceda os limites definidos pelo INTERVALO DE VALIDADE, deve-se executar o programa novamente. - Quanto aos sinais nas colunas ACRÉSCIMO e DECRÉSCIMO, deve-se, conforme o objetivo do problema (maximização ou minimização), analisar a viabilidade de se fazerem variações no NÍVEL ÓTIMO de determinadas variáveis, uma vez que tais variações podem acarretar modificações não desejadas na função objetivo, como o decrescimento ou crescimento desta. É interessante notar que, nas variáveis básicas, qualquer acréscimo ou decréscimo em seus NÍVEIS ÓTIMOS afeta de forma não favorável o VALOR DA SOLUÇÃO. - Muitas vezes ocorre o fato de o NÍVEL ÓTIMO de determinada variável ser zero e ser viável o decrescimento do mesmo. Conforme o problema em questão, esta é uma interpretação sem significado físico ANÁLISE DE SENSIBILIDADE PARA AS RESTRIÇÕES As colunas NÚMERO, NOME, ESTADO e NÍVEL ÓTIMO seguem a definição na seção Colunas: VARIAÇÕES NO VALOR DA SOLUÇÃO POR UNIDADE DE * DECRÉSCIMO - esta coluna nos fornece a variação no VALOR DA SOLUÇÃO devida a um decréscimo unitário no NÍVEL ÓTIMO da restrição em questão, ou seja, a taxa de variação da função objetivo ocasionada por uma variação para menos no NÍVEL ÓTIMO associado à restrição. * ACRÉSCIMO - da mesma forma que a coluna anterior, esta fornece a variação por unidade de acréscimo. INTERVALO DE VALIDADE

19 * NÍVEL MÍNIMO - Valor mínimo que a restrição (variável linha) pode assumir de forma que a variação no VALOR DA SOLUÇÃO, dada pela coluna DECRÉSCIMO, seja válida. * NÍVEL MÁXIMO - Valor máximo que a restrição (variável linha) pode assumir de forma que a variação no VALOR DA SOLUÇÃO, dada pela coluna ACRÉSCIMO, seja válida OBSERVAÇÕES GERAIS Relacionando as colunas do INTERVALO DE VALIDADE (seção 7.5.) com as colunas do INTERVALO DE VALIDADE PARA OS CUSTOS (seção 7.4.), tem-se que se o custo associado a uma determinada variável for igual ao seu NÍVEL MÍNIMO (ou NÍVEL MÁXIMO) de variação para os custos, a quantidade utilizada desta variável será igual ao seu NÍVEL MÁXIMO (ou NÍVEL MÍNIMO) do INTERVALO DE VALIDADE. Tem-se também que a quantidade utilizada de uma determinada variável permanecerá constante e igual ao seu NÍVEL ÓTIMO, enquanto o custo associado a esta variável permanecer dentro do INTERVALO DE VARIAÇÃO PARA OS CUSTOS.

20 8. SAÍDA DOS RESULTADOS 8.1 PROBLEMA DA DIETA:

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22 9. REFERÊNCIAS Este manual foi elaborado por Alexandre Sant'Anna dos Santos no decorrer de sua bolsa de iniciação científica CNPQ/Pibic entre os anos de 2001/2002, com base no manual original do PROLIN. Contatos: Orientador Heleno do Nascimento Santos Rua João José Araújo, 57 Bairro Clélia Bernardes Viçosa - MG. hns@dpi.ufv.br Orientado Alexandre Sant'Anna dos Santos Rua Fuad Chequer, 160, apt 203 Bairro Clélia Bernades Viçosa - MG. asds@dpi.ufv.br