Óptica de cristais. Óptica de cristais Propagação de luz em meios anisotrópicos. r t r. χ χ. S. C. Zilio Óptica Moderna Fundamentos e Aplicações
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- Judite Figueiredo de Miranda
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1 Óptica de citai 69 Óptica de citai 4 4. Popagação de lu em meio aiotópico A aplicação de um campo elético em meio iotópico idu uma polaiação que é paalela ao campo aplicado e popocioal à ucetibilidade χ, que é um ecala. Poém, quado o meio é aiotópico, como a maioia do citai, a polaiação ão etá eceaiamete paalela ao campo aplicado, edo ua dieção e magitude depedete da dieção de aplicação do campo. Nee cao a ucetibilidade é um teo e a polaiação é dada po: t ε χ : (4.) P cevedo eta epeão a foma maticial temo: P χ χ χ3 P χ χ ε χ 3 (4.) P χ3 χ3 χ33 ode, tadicioalmete,, e 3 coepodem a, e. O teo χ t poui em geal ove temo, poém é poível e fae uma otação coveiete do itema de coodeada tal que o elemeto foa da diagoal eam ulo. te eio ão cohecido como o eio dielético picipai. Nee ovo itema de eio, a compoete da polaiação ão: P P P ε ε ε S. C. Zilio Óptica Modea Fudameto e Aplicaçõe o o o χ χ χ 33 (4.3)
2 7 Óptica de citai foma: A pemiividade do meio e elacioa com a ucetibilidade a t t ε ( χ) ε (4.4) ode ε t, cohecido como teo dielético, também poui em geal ove elemeto, ma que também tem o úmeo de compoete idepedete eduida paa tê mediate o uo do eio dielético picipai. Como o ídice de efação do meio depede de ε t, ele também vaia com a dieção de popagação e com a polaiação da lu icidete, edo eu elemeto defiido como: i εi (4.5) ε A epeão paa a deidade de eegia elética paa um meio aiotópico, homogêeo, ão abovedo e ão magético é dada po: U e D i ε i i ε i i i (4.6) ode D é o veto delocameto elético, que e elacioa com a polaiação e o campo elético da foma: t D ε Pε : (4.7) 4. lipóide de ídice Uado o eio dielético picipai, podemo eceve: δ (4.8) i i que quado ubtituído a eq. (4.6) eulta em: U ε Uado a eq. (4.7) a (4.9) obtemo: e ( ) i (4.9) S. C. Zilio Óptica Modea Fudameto e Aplicaçõe
3 Óptica de citai 7 D D D ε Ue (4.) Tomado uma upefície ode U e é cotate e aociado um veto poição D/ ε U a cada poto decito pelo veto D, podemo e e-eceve a eq. (4.) como: (4.) ta é a equação do elipóide motado a Fig. 4., que tem como eio picipai o ídice de efação do mateial a dieçõe do eio dielético picipai. e elipóide é cohecido como elipóide de ídice ou idicati óptica. O cohecimeto do ídice de efação,, e, é impotate poque detemia como uma oda eletomagética e popaga o meio. Fig lipóide de ídice ou idicati óptica de um cital aiotópico. m citai iotópico, o ídice de efação o tê eio picipai ão iguai e o elipóide e edu a uma efea. Já paa citai aiotópico, eitem dua poibilidade: e. No pimeio cao, a eção taveal o plao é um ciculo e o citai S. C. Zilio Óptica Modea Fudameto e Aplicaçõe
4 7 Óptica de citai que têm ee compotameto ão chamado uiaiai. No egudo cao, a eção taveal o plao é uma elipe e o citai dee gupo ão chamado de biaiai. O citai aiotópico podem aida e claificado pelo valoe elativo ete o ídice de efação o eio picipai. Quado um cital uiaial o valo de >, o cital é dito poitivo e egativo quado <,. Quado um cital biaial, é mai póimo de o cital é poitivo e e fo mai póimo de é egativo. Aqui etamo uado coveção mai aceita que é: < <. Quado uma oda eletomagética e popaga um cital aiotópico, eu campo elético pode e decompoto em dua compoete, uma o plao (aio odiáio) e outa pepedicula a eta e à dieção de popagação da oda (aio etaodiáio), tedo aim velocidade de popagação difeete, o que caua uma difeeça de fae ete a compoete. Cotudo, eitem dieçõe ode toda a oda com o memo compimeto de oda, e popagam com a mema velocidade, idepedete da polaiação. a dieçõe ão chamada de eio óptico e a eção taveal a ee eio é um cículo. m citai uiaiai eite um úico eio óptico que coicide com o eio. m citai biaiai eitem doi eio óptico que e localiam o plao. Defiido como V o meo âgulo ete o eio óptico, a bieti dee âgulo coicide com o eio quado o cital é poitivo, e com o eio quado é egativo. Na Fig. 4. ão epeetada a idicatie paa citai biaiai poitivo e egativo. 4.3 Popagação de uma oda plaa um meio aiotópico Vamo tata agoa o poblema de uma oda plaa popagado-e um meio aiotópico. Nete cao, devido à aiotopia do meio, a velocidade da lu depede tato da polaiação da oda quato da dieção da ua popagação. Potato, dada uma dieção de popagação o meio, eitem dua oluçõe bem defiida de polaiação e velocidade da fae da oda. Coideado o meio em caga live, ρ, e em coete, J, o campo elético e magético ão decito po: S. C. Zilio Óptica Modea Fudameto e Aplicaçõe
5 Óptica de citai 73 e.o. e.o. Seção Cicula Seção Cicula V Seção Cicula Seção Cicula e.o. e.o. V Biaial Poitivo Biaial Negativo ode: edo: Fig. 4. Idicati biaial paa citai poitivo e egativo. H H H i e i e ( ωt) ( ωt) î ĵ ˆ H î H ĵ H ˆ ω ŝ ŝ c (4.) S. C. Zilio Óptica Modea Fudameto e Aplicaçõe (4.3) (4.4) ode é o ídice de efação efetivo, coepodete à uma dada polaiação eal do campo elético. Da equaçõe de Mawell temo a elaçõe: B t (4.5a)
6 74 Óptica de citai D H t (4.5b) Uado a epeõe do campo dada pela eq. (4.) em (4.5) obtemo: ωµ H (4.6a) t Hωε : (4.6b) ode µ µ é um ecala em meio ão magético, como é o cao que etamo tatado aqui. Faedo o poduto vetoial da eq. (4.6a) po e elimiado H temo: t ω µε : (4.7) e uado o teo t, defiido pela eq. (4.5), utamete com a eq. (4.4), ecotamo: t ( ŝ ŝ ) : (4.8) v Uado a idetidade vetoial: A ( B C) B( A C) C( A B), obtemo: ŝ ŝ ( ŝ ) ŝ( ŝ ŝ) ( ŝ )ŝ (4.9) t Aim, a eq. (4.8) fica a foma: [( ŝ ) ŝ ] :, ou eplicitamete paa a compoete i: i i i (4.) cevedo eta equação um itema de eio dielético picipai, ode a eq. (4.8) é válida, temo: [ ( δ )] i i i (4.) ta equação pode e coideada como uma equação de auto-valoe. Sua olução leva ao valoe de e à compoete paa cada dieção S. C. Zilio Óptica Modea Fudameto e Aplicaçõe
7 Óptica de citai S. C. Zilio Óptica Modea Fudameto e Aplicaçõe 75 de popagação ŝ. O itema fomado po eta equação tem tê equaçõe homogêea, que ó tem olução ão tivial e o eu detemiate fo igual a eo, ou ea: ( ) ( ) ( ) (4.) Dee detemiate eulta uma equação biquadada, cua aíe foecem quato valoe paa. Só iemo coidea a aíe poitiva, uma ve que é poitivo po defiição. Se uamo como itema de efeêcia o eio dielético picipai, que diagoaliam o teo t, a equação biquadada teá uma foma mai imple. Uado ovamete a eq. (4.8), temo: C B A 4 (4.3) ode: A (4.4a) ( ) ( ) ( ) B (4.4b) C (4.4c) Reolvedo a eq. (4.3) ecotamo o doi valoe poívei paa. Paa e obte a compoete do campo elético, efeete a cada valo de, bata ubtitui-lo a eq. (4.). 4.4 Supefície omal Uado a eq. (4.4) e (4.9) podemo eceve a eq. (4.7) a eguite foma: ωµε ωµε ωµε (4.5)
8 76 Óptica de citai Paa que ee itema teha olução ão tivial, eu detemiate tem que e igual a eo. Aim: ωµε ωµε ωµε (4.6) A equação acima pode e epeetada po uma upefície tidimeioal o epaço do, cohecida como upefície omal que é compota de dua camada que e obepõem em doi poto, o citai uiaiai, ou quato poto, o citai biaiai. A eta que ligam doi poto, diametalmete opoto, coicidem com o eio óptico do cital. Paa cada dieção de popagação eitem doi valoe paa que ão oluçõe da eq. (4.6), uma paa o aio odiáio e outa paa o etaodiáio, edo que a dieçõe do eio óptico, a dua oluçõe coicidem. te valoe ão dado pela iteeção da dieção de popagação com a upefície. A viualiação da upefície omal é um pouco difícil, po ee motivo é mai comum ua ua cuva de ível. Vamo veifica algu cao paticulae dea cuva de ível. a) Plao Nete cao, temo uma oda popagado uma dieção paalela ao plao, logo,. Aim a eq. (4.6) é implificada, ficado a foma: ( )( [ ωµε )( ωµε ) ] ωµε (4.7) Paa que eta equação ea atifeita, um do temo, ou ambo, deve e igual a eo. Faedo o pimeio temo ulo, temo: ω ω µε (4.8) ta é a equação de uma cicufeêcia de aio igual a ω/c o plao. Faedo agoa o egudo temo da eq. (4.7) ulo, temo: c S. C. Zilio Óptica Modea Fudameto e Aplicaçõe
9 Óptica de citai 77 ω µε ω µε ( ω c) ( ω c) (4.9) ta é a equação de uma elipe com o eio picipai dado pelo deomiadoe da eq. (4.9). Na Fig. 4.3 temo a epeetação gáfica da eq. (4.8) e (4.9). ω/c ω/c ω/c Fig Cuva de ível da upefície omal o plao. O ídice de efação paa o aio odiáio e etaodiáio ão detemiado pela iteeção da dieção de popagação e a dua cuva, a cicufeêcia (aio odiáio) e a elipe (aio etaodiáio). b) Plao Repetido o pocedimeto ateio paa o plao, a eq. (4.6) fica a foma: ( )( [ ωµε )( ωµε ) ] ωµε (4.3) Igualado o doi temo a eo ecotamo equaçõe aáloga à eq. (4.8) e (4.9), que ão: ω (4.3) c S. C. Zilio Óptica Modea Fudameto e Aplicaçõe
10 78 Óptica de citai ( ω c) ( ω c) (4.3) que ão a equaçõe de uma cicufeêcia e de uma elipe. Na Fig. 4.4 apeetamo a epeetação gáfica da eq. (4.3) e (4.3). O plao é cohecido como plao óptico po cote o eio óptico do cital. ω/c e.o. ω/c e.o. ω/c Fig Cuva de ível da upefície omal o plao, que cotém o eio óptico. c) Plao Novamete epetimo o pocedimeto ateio paa o plao. Aim, a eq. (4.6) fica a foma: ( )( [ ωµε )( ωµε ) ] ωµε (4.33) Faedo o doi temo ulo, temo: ω (4.34) c ( ω c) ( ω c) (4.35) S. C. Zilio Óptica Modea Fudameto e Aplicaçõe
11 Óptica de citai 79 que ão a equaçõe de uma cicufeêcia de aio igual ω/c e de uma elipe com eio picipai iguai ao deomiadoe da eq. (4.35). Na Fig. 4.5 ão epeetada gaficamete a eq. (4.34) e (4.35). ω/c ω/c ω/c Fig Repeetação gáfica da cuva de ível o plao. Podemo e-eceve a eq. (4.6) da cuva omal uado a elação ete e o ídice de efação da oda popagado a dieção, dada pela eq. (4.4). Aim, c c c,, (4.34) ω ω ω Uado ea elaçõe a equaçõe da cuva de ível da upefície omal, temo a cuva de ível em temo do ídice de efação, que ão motada a Fig A ditâcia ete a oigem e a cuva ão iguai ao ídice de efação da dua polaiaçõe que popagam uma dada dieção. S. C. Zilio Óptica Modea Fudameto e Aplicaçõe
12 8 Óptica de citai Plao Plao Plao e.o e.o Fig Cuva de ível da upefície omal do ídice de efação. A iteeção da dieção de popagação com a cuva idicam o ídice de efação da dua polaiaçõe da oda que popaga o cital. Bibliogafia 4.. A. Yaiv ad P. Yeh, Optical Wave i Ctal, Joh Wile & So Ic., New Yo, R. K. Wage, lectomagetic Field, Joh Wile & So Ic., New Yo, Wahltom, Citalogafia Óptica, Ao Livo Técico,969. Poblema 4.. Patido da defiição do veto de Potig obteha a eq. (.6). S. C. Zilio Óptica Modea Fudameto e Aplicaçõe
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