Utilizar tabelas de verdade para avaliar a validade do argumento

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1 Mtemátic Discret ESTiG\IPB 2012/13 Cp1 Lógic pg 18 Exemplo Utilizr tels de verdde pr vlir vlidde do rgumento Se 7 é menor que 4, então 7 não é um número primo. 7 não é menor que 4. 7 é um número primo. A formlizção do rgumento é seguinte s p s p Sendo s= 7 é menor que 4 e p= 7 é um número primo. Vmos construir tel de verdde d proposição s p s p s p s p s p A primeir e linh mostr que o rgumento é flso. Neste exemplo verdde d conclusão, 7 é um número primo, não decorre d verdde ds premisss. A conclusão é verddeir pens porque enunci um fcto sore o número 7. As tels de verdde constituem um processo rigoroso pr testr vlidde de rgumentos. Constituem um lgoritmo que pode ser fcilmente implementdo num computdor. Têm no entnto um prolem de ix eficiênci, devido às dimensões que s tels podem ssumir qundo o número n de vriáveis proposicionis (letrs) é elevdo: tel tem 2 n entrds. O processo que seguir se present tem vntgem de ser mis eficiente que s tels de verdde. Árvores de refutção Refutr [=reter, contestr]

2 Mtemátic Discret ESTiG\IPB 2012/13 Cp1 Lógic pg 19 Um árvore de refutção é um estrutur que se ssoci um rgumento, e de cuj nálise se pode concluir se o rgumento é ou não válido. Não se vi fzer um descrição exustiv do processo, optndo-se ntes pel su presentção com lguns exemplos. Exercício Utilizr árvores de refutção pr verigur d vlidde de cd um dos rgumentos formis Solução 1. Escrevemos cd fórmul n form norml disjuntiv, i.e., como um disjunção de conjunções A B Z, sendo A, B,, Z conjunções ou então proposições que envolvem só um letr tods s fórmuls podem ser convertids neste formto. No cso temos Notr que s fórmuls d esquerd e d direit são logicmente equivlentes (em cd linh). Negmos conclusão. Construímos um árvore d seguinte form.

3 Mtemátic Discret ESTiG\IPB 2012/13 Cp1 Lógic pg 20 Começmos por colocr em linh tods s fórmuls que tenhm um só letr, seprndo os literis com sets. Pr cd um ds restntes fórmuls, rmificmos árvore já otid crescentndo um novo rmo por cd disjunto [operndo envolvido num disjunção]. Considermos gor todos os cminhos possíveis do topo té o fundo do esquem, seguindo s sets. Neste cso temos dois cminhos. Mrcmos com X o término de um cminho se ele contém literis [proposições contendo um só letr] contrditórios, como por exemplo e. X X Note-se que o cminho d esquerd contém os literis contrditórios e, e o cminho d direit contém os literis contrditórios e. Cminhos termindos com X dizem-se cminhos fechdos.

4 Mtemátic Discret ESTiG\IPB 2012/13 Cp1 Lógic pg 21 Se um árvore de refutção tem todos os cminhos fechdos, então el refut possiilidde de serem s premisss verddeirs e conclusão fls, pelo que represent um rgumento válido. É o cso. Breve justificção do método. Qundo se represent um proposição n árvore, o que estmos fzer é considerr tods s possiiliddes de ess proposição ser verddeir. Por exemplo, o colocrmos n árvore estmos dizer que únic form de tornr primeir premiss verddeir é considerr verddeir; o formrmos dois rmos com proposição, estmos dizer que segund premiss pode ser verddeir se for fls ou se for verddeir. Os cminhos d árvore pretendem representr tods s mneirs de fzer verddeirs s premisss e negção d conclusão (por isso é que colocmos n árvore negção d conclusão). Um X no término de todos os cminhos indic que esse ojectivo flh. É o cso d árvore cim, em que não podemos considerr verddeiros e ou e. Então, se todos os cminhos de um árvore de refutção são fechdos, o rgumento representdo é válido. Se houver lgum cminho que não sej fechdo, dito cminho erto (sinlizdo com O em vez de X), o rgumento é inválido. Vmos usr este método pr resolver o exercício 2 que envolve um estrutur que represent rgumentos inválidos. 2. Convertemos cd fórmul pr form norml disjuntiv, presentndo já negção d conclusão.

5 Mtemátic Discret ESTiG\IPB 2012/13 Cp1 Lógic pg 22 Construímos árvore de refutção: O O A mrc O indic que o rmo direito é um cminho erto, i.e., um cminho sem contrdições. Ficmos ser que é possível s premisss serem verddeirs e conclusão ser fls, stndo pr isso tornr verddeiros todos os literis que formm o cminho, e, pr o que st fzer 0, 1( verificr que com estes vlores lógicos form cim é instncid como um rgumento inválido). Exercício Considerr o seguinte rgumento e su formlizção. Utilizr um árvore de refutção pr mostrr que o rgumento é válido. Se Locke tivesse negdo existênci d sustânci espiritul, ele teri sido um mterilist. Se Locke tivesse negdo existênci d sustânci físic, ele teri sido um idelist. Se ele tivesse sido um idelist ou um mterilist, ele não teri sido um dulist. Ms Locke foi um dulist. Então ele não negou existênci, quer d sustânci espiritul, quer d sustânci físic. E M F I

6 Mtemátic Discret ESTiG\IPB 2012/13 Cp1 Lógic pg 23 I M D D E F Lógic de Predicdos O estudo d lógic que té gor fizemos incidiu sore chmd Lógic Proposicionl. N lógic proposicionl o conceito de vlidde é sustentdo no significdo dos operdores lógicos. A lingugem dest lógic consiste nos símolos -letrs proposicionis, que representm proposições; -operdores lógicos,,,,,, -prênteses, (, ), e num conjunto de regrs pr construir fórmuls em formds (ff), isto é fórmuls corrects, que são s frses d lingugem d lógic proposicionl -tod letr é um é um ff -se é um ff, então tmém é um ff -se e são ffs, então tmém o são,, e. [ests regrs permitem construir tods s fórmuls corrects] Exemplos de fórmuls corrects:, c ; gerlmente suentendemos lgums regrs de precedênci entre operdores, que nos permitem poupr prênteses; ests dus fórmuls podem ser escrits do modo, c. Exemplos de fórmuls incorrects:, c. A lógic proposicionl não é no entnto suficientemente expressiv pr formlizr certos tipos de rgumentos. Por exemplo, o rgumento seguinte não pode ser formlizdo n lingugem d lógic proposicionl, por est não dispor de ferrments pr trduzir expressões do tipo Alguns elementos de A e Todos os elementos de A.

7 Mtemátic Discret ESTiG\IPB 2012/13 Cp1 Lógic pg 24 Todos os homens vivos são seres que respirm. Alguns homens vivos são ginsts olímpicos. Alguns seres que respirm são ginsts olímpicos. Expressões que envolvem plvr Alguns podem ter significdos distintos, mesmo qundo são iguis. Por exemplo, ns firmções Alguns homens ltos jogm squeteol Alguns homens ltos são nddores s expressões Alguns homens ltos não se referem, ns dus firmções, o mesmo suconjunto do conjunto dos homens. Pr podermos formlizr rgumentos como o nterior precismos ds vntgens d chmd Lógic de Predicdos. Est lógic contém lógic proposicionl e permite-nos nlisr um gm mis vst de rgumentos, sendo dequd pr exprimir um prte significtiv d mtemátic. Um predicdo é um expressão do tipo x é um número pr, ou se x e y são mãe e filho, então x é mis velho que y, que dquire vlor lógico qundo s vriáveis são sustituíds por elementos de um ddo conjunto. Gerlmente os predicdos representm-se no estilo de funções, por exemplo, p(x)= x é um número pr. Neste cso p(2) é um proposição verddeir e p(3) um proposição fls. Não se pode chmr p(x) um proposição, d mesm mneir que não se diz que x+5 é um número. Pode dizer-se que p(x) é um predicdo ou um expressão proposicionl. Pr se formlizrem proposições que envolvem expressões como Todos e Alguns introduzem-se os chmdos quntificdores universl e existencil, respectivmente, d lógic de predicdos. Quntificção universl Sej p(x) um predicdo. A proposição x A, p(x) lê-se Pr todo o elemento x do conjunto A proposição p(x) é verddeir. Est proposição d lógic de predicdos é verddeir se e somente se p(x) é verddeir pr todos os elementos do conjunto A, e é fls se p(x) é fls pr lgum elemento de A.

8 Mtemátic Discret ESTiG\IPB 2012/13 Cp1 Lógic pg 25 Exemplos x N, x 0, é um proposição verddeir; neste cso x 0 é o predicdo. x N, x 2, é um proposição fls, um vez que existe um elemento de N, Quntificção existencil Sej p(x) um predicdo. A proposição o número 1, que sustituído n vriável do predicdo o torn num proposição fls. x A, p(x) lê-se Existe pelo menos um elemento x do conjunto A pr o qul proposição p(x) é verddeir. Est proposição é verddeir se e somente se p(x) é verddeir pr pelo menos um dos elementos do conjunto A, e é fls se p(x) é fls pr todos os elementos de A. Exemplos x N, x 5, é um proposição verddeir. x N, x 2 x 2, é um proposição fls, um vez que não existe nenhum elemento de N que sej simultnemente mior que 2 e menor que 2. Negção de proposições envolvendo quntificções x A, p(x) x A, p(x) x A, p(x) x A, p(x) As negções de expressões envolvendo quntificdores existenciis e universis, são um extensão ds leis de De Morgn d lógic proposicionl expressões com um número qulquer de operdores de disjunção ou conjunção, podendo este número ser infinito. São por isso designds por Segunds Leis de De Morgn. [Oservção. Esoço de justificção de ests leis se chmrem Segunds Leis de De Morgn.] Se for A 1,2,3 e se p(x) for um propriedde sore os elementos de A, então x A, p(x) signific p(1) p(2) p(3),

9 Mtemátic Discret ESTiG\IPB 2012/13 Cp1 Lógic pg 26 x A, p(x) signific p(1) p(2) p(3), x A, p(x) signific p(1) p(2) p(3), e então signific x A, p(x) x A, p(x) p(1) p(2) p(3) p(1) p(2) p(3) que é um ds leis de De Morgn generlizd o cso em que temos três proposições.]