MODELAGEM ESTATÍSTICA PARA ENSAIOS DE RESISTÊNCIA NA INDÚSTRIA DE CELULOSE E PAPEL

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1 XXIX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO. MODELAGEM ESTATÍSTICA PARA ENSAIOS DE RESISTÊNCIA NA INDÚSTRIA DE CELULOSE E PAPEL JOHNNY ROCHA JORDAN (UNIPLAC) johnny@jordan.eng.br A Estatística é uma ciência que trabalha essencialmente com dados. Entretanto, nem sempre estes dados são analisados ou interpretados da forma correta. Além de ser uma ciência, no sentido Lato da palavra, em outras áreas do conhecimento eela é um poderoso e útil instrumento. Este trabalho apresenta a Estatística como ferramenta na predição de valores de SCT (Short Span Compression Test), a partir dos valores de RCT (Ring Crush Test), para papéis Kraft. Para tanto, foram utilizados técnicas estatísticas usuais, tais como diagrama de dispersão, análise de correlação e regressão, os quais resultaram em uma equação bastante aderente, independente da gramatura. Palavras-chaves: Modelagem estatística,diagramas de dispersão, Correlação, Regressão, RCT, SCT

2 1. Introdução No mercado brasileiro de Papel e também em vários países, a utilização do ensaio de Ring Crush Test (RCT) como uma importante medida da resistência do papel Kraft à compressão ou esmagamento. Em alguns países, é o principal ensaio realizado e também a principal característica utilizada pelas empresas fabricantes de caixas, na seleção de seus fornecedores. A explicação para este fato está na relação existente entre a resistência da folha ao esmagamento e a sua influência na capacidade da embalagem resistir ao empilhamento de um determinado número de caixas. Entretanto, o ensaio de RCT apresenta algumas características inerentes ao seu método de teste, seja em função do equipamento que está sendo utilizado, seja em função do suporte e discos usados para análise. Além dessas variáveis, está o comprimento da tira (15 mmm) a ser utilizada e seu correto manuseio durante a execução do ensaio. Em contrapartida, muitas fábricas em vários países na Europa (e algumas aqui no Brasil), utilizam o ensaio Short Span Compression Test (SCT), como alternativa ao RCT, tendo como justificativa a rapidez e a praticidade do ensaio, além da menor variabilidade dos seus resultados. É bastante comum as fábricas convertedoras do exterior, ao encomendar o papel Kraft brasileiro, solicitar o atendimento a uma série de características de qualidade básicas, como gramatura, umidade e espessura, bem como as características de qualidade de resistência do papel, dentre elas, o SCT. Porém, nem todas fábricas de papel Kraft possuem o equipamento que realiza este ensaio, principalmente em função da cultura papeleira existente em nosso país, acostumada com o ensaio de RCT. O objetivo deste trabalho é utilizar o ferramental estatístico de maneira a poder obter valores de SCT a partir de dados reais de RCT, sem levar em consideração, no entanto, as diferentes configurações de máquinas e suas variáveis da fabricação do papel ou as variáveis do cozimento.. A estatística como ferramenta: Gráfico de dispersão Considerando-a como uma poderosa ferramenta, a Estatística possui valiosos instrumentos que auxiliam a analisar e compreender os dados, seu comportamento e suas relações. O primeiro passo é definir os tipos de variáveis existentes, que podem ser classificadas, de uma maneira simplista, em variáveis quantitativas e variáveis qualitativas. Se pensarmos em relacionamento entre duas variáveis, então existirão três possíveis combinações que devem ser consideradas (WILD & SEBER, 005): a) quantitativa versus quantitativa; b) quantitativa versus qualitativa e c) qualitativa versus quantitativa. Para cada uma dessas combinações haverá, pelo menos, uma ferramenta que permita explorar o relacionamento entre as variáveis e fornecer informações que possibilitem o seu perfeito entendimento. Para Wild & Seber (005), quando uma das variáveis é qualitativa, pode-se utilizar gráficos de caixa, gráficos de pontos ou histogramas. Se as duas variáveis são qualitativas, o processo de análise é conhecido como tabulação cruzada ou tabela de contagem de dois fatores. No presente caso, as duas variáveis (RCT e SCT) são quantitativas, e existe uma ferramenta gráfica muito simples, presente em todas as planilhas e softwares estatísticos, de fácil

3 utilização: o gráfico de dispersão, considerado por Moore (005) a maneira mais eficiente de mostrar a relação entre duas variáveis quantitativas. Entre as informações apresentadas pelo gráfico de dispersão, estão a qualidade da relação encontrada, podendo ser entendida como relações lineares e não-lineares e a direção da relação entre as variáveis, de forma direta (diretamente proporcional) ou indireta (inversamente proporcional) (MILONE, 004). Apesar do gráfico de dispersão indicar a forma, direção e intensidade da relação (MOORE, 005), de maneira visual e intuitiva, existe uma medida estatística calculada, que mede o grau de associação linear, denominada correlação. A limitação desta estatística é que uma relação entre variáveis com correlação linear igual a zero, indica apenas que esta relação não segue uma equação de primeiro grau, ou seja, uma reta. Dentre os vários métodos de ajustamento utilizados para obter-se matematicamente um valor que permita classificar a relação entre as variáveis, o mais utilizado é o método dos mínimos quadrados, que é composto de uma relação de técnicas que permite não só qualificar como também determinar os valores dos coeficientes das equações de ajuste (MILONE, 004). Basicamente, o método de mínimos quadrados procura ajustar uma equação linear aos valores obtidos, com o menor erro possível. Este erro é denominado erro padrão e é definido como a equação 1 abaixo (MILONE, 004): 1 Se ( yr yc ) n v Equação 1: erro padrão da estimativa Onde: y r = iésimo valor real (observado) y c = iésimo valor calculado n = número de observações = número de coeficientes da estimativa (para o caso da reta, = ). A equação do coeficiente de correlação(r) é mostrada a seguir, nas equações e 3: r _ ( y Y) c _ ( y Y) r Equação : coeficiente de correlação r x y i i nxy x nx ( y ny i i 3

4 Equação 3: coeficiente de correlação A diferença entre as equações, é tão somente a forma de escrevê-las, sendo a equação 3 a mais conhecida de todas, pelo seu largo uso nos bancos escolares. A interpretação do coeficiente de correlação é bastante simples, baseada na faixa que ele pode assumir. As correlações perfeitas têm valores de r iguais a +1 (correspondendo as relações diretamente proporcionais) e -1 (correspondendo as relações inversamente proporcionais). Para os demais casos, quanto mais próximo de um dos extremos, melhor será a relação entre as variáveis estudadas. Novamente, deve ser lembrado que uma relação entre variáveis só é válida se existir um componente lógico, relacionando causa e efeito. Isto significa que deve existir uma relação de causa e efeito entre uma variável e a outra. 3. A estatística como ferramenta: regressão linear Foi apresentado anteriormente que a regressão linear é uma forma para exprimir matematicamente o comportamento (relacionamento) entre variáveis quantitativas. De uma maneira simples, o modelo de regressão linear pode assumir a seguinte forma: y x i 0 1 i i Equação 4: modelo de regressão linear Onde: 0 = intercepto de y i 1 = inclinação i = erro aleatório para a iésima observação Neste modelo, a inclinação da reta de regressão representa a variação esperada em y por cada variação unitária de x. Ela representa o tamanho da variação em y (que pode ser positiva ou negativa) para uma determinada variação em x. O encontro da reta com o eixo y, representa o valor médio de y, quando x é igual a zero. O último componente do modelo, i, representa o erro aleatório em y, para cada valor de x. (LEVINE, BERESON & STEPHAN, 000). Ao se trabalhar as ferramentas de dispersão, correlação e regressão é preciso notar dois componentes principais na relação de regressão: tendência e dispersão. A tendência é o padrão observado no gráfico de dispersão (formato, direção). Já a dispersão é o espalhamento de dados em relação a um eixo imaginário (reta ou curva) ao longo da distribuição destes dados (intensidade). Assim pode-se escrever que a Relação de regressão = tendência + dispersão residual (WILD & SEBER, 005). 4. Pressupostos da correlação e regressão linear Antes de validar o modelo de regressão encontrado, deve-se seguir um conjunto de regras específicas, de forma a garantir que ao resultado obtido apresente significância estatística, além de robustez. Para tanto, alguns pressupostos são elencados por Levine, Bereson & Stephan, (000): 4

5 a) Normalidade b) Homocedasticidade c) Independência de erros d) Linearidade A normalidade requer que os valores de y sejam normalmente1 distribuídos para cada valor de x. Para a homocedasticidade, o requisito é que as variações em torno da reta de regressão sejam constantes para todos os valores de x. A principal implicação deste pressuposto está na determinação dos coeficientes de regressão, quando o método de mínimos quadrados é utilizado. O terceiro pressuposto, a independência dos erros, requer que o erro seja independente para cada valor de x. Finalmente, a linearidade, que estabelece que as relações entre as variáveis devam ser lineares, já que elas poderiam perfeitamente estar relacionadas de uma maneira não-linear. Existem várias técnicas para a avaliação do atendimento ou não destes pressupostos. Entretanto, há um método simples, denominado Análise de Resíduos, que permite avaliar de maneira gráfica, eventuais violações dos pressupostos acima mencionados. Em determinadas situações deste trabalho, esta técnica será utilizada, quando aplicável. 5. Obtenção dos valores de SCT O propósito deste trabalho é encontrar uma equação matemática, a partir da modelagem estatística dos dados de RCT que permitam obter valores correspondentes de SCT. Para isso, mais de 0 mil pares de valores {RCT x SCT }foram utilizados inicialmente, para a construção do diagrama de dispersão, o que indicou o que já era esperado: uma relação forte, diretamente proporcional e crescente, como pode ser visto no gráfico 1. Outro procedimento utilizado e ainda não mencionado foi a análise de outliers, ou seja, valores em princípio anômalos. O objetivo deste procedimento é verificar e descartar dados que eventualmente possam ser não-válidos. Em relação aos demais dados, o outlier é um valor extremo, localizado muito distante dos demais. Caso seja possível, deve-se verificar a sua procedência e sua veracidade. Se for real, deve-se mantê-lo. Caso contrário deverá ser desconsiderado, já que pode afetar significativamente a média e o desvio-padrão, além de distorcer o histograma, que pode ser utilizado na análise da normalidade dos dados. 5

6 Gráfico 1: Dispersão RCT x SCT sem retirada dos outliers O gráfico 1 acima foi gerado utilizando o software STATISTICA e a linhas pontilhadas (semelhantes aos limites dos gráficos de controles de Shewhart) indicam os prováveis valores discrepantes, com uma margem de confiança de 95%. Estes limites são conhecidos como gráficos de controle de regressão (SOUZA, JACOBI & PEREIRA, 005) e foram calculados considerando um nível de confiança de 95%. Para facilitar a visualização dos potenciais outliers, estes foram destacados pelas elipses. Após eliminar os dados que estavam fora dos limites indicados pelo gráfico de controle de regressão, ficou comprovado que existe um forte relacionamento entre as variáveis e que esta relação é positiva. Gráfico : Dispersão RCT x SCT com retirada dos outliers Assim que os dados discrepantes são retirados da análise, é possível obter através de planilhas ou softwares estatísticos, a equação que relaciona uma variável à outra, assim como o coeficiente de determinação (R ), que mede o quanto de uma variável é explicada pela outra. A equação que relaciona o RCT ao SCT é: SCT 0,9717 1,394* RCT R 96,49% 6. Verificação dos Pressupostos da Regressão Para que a equação obtida seja significativa estatisticamente, deve-se validar cada um dos pressupostos anteriormente mencionados. O pressuposto da homocedasticidade pode ser verificado através de um gráfico de resíduos versus valores de RCT: 6

7 Gráfico 3: Resíduos padronizados versus RCT A análise visual da dispersão dos dados não indica a existência de um padrão, o que permite concluir não haver uma violação do pressuposto da homocedasticidade, que também pode ser comprovada através da equação de regressão e pelo valor da correlação r = -0,8*10-8, fornecidos pelo software estatístico. É claro que esta informação é válida apenas para a análise de uma possível violação da homocedasticidade, na forma de uma função linear. Para a verificação do pressuposto da normalidade, a análise mais simples é dispor os resíduos em uma distribuição de freqüência, apresentando-os na forma de um histograma. Outra maneira também gráfica de se verificar o pressuposto é obter através de softwares estatísticos um gráfico de probabilidade normal. Nos dois casos, a verificação é facilmente realizada, bastando ao analista um pouco de prática. Segundo VIEIRA (1999), existem testes estatísticos, conhecidos como testes de aderência, utilizados para testar a normalidade dos dados. Entre os principais, estão: a) Kolmogorov Smirnov ; b) Shapiro Wilks e c) Teste de (lê-se qui-quadrado). Para ilustrar este pressuposto, a seguir são apresentados os gráficos de distribuição de freqüência dos resíduos e de probabilidade normal. Gráfico 4: Histograma dos resíduos 7

8 Gráfico 5: Probabilidade Normal para os resíduos Em ambos os gráficos, não há evidência que a normalidade tenha sido violada, já que o histograma mostra uma distribuição residual muito próxima da distribuição normal e o gráfico de probabilidade norma indica a grande maioria dos resíduos está localizada sobre a reta. Aqui deve ficar claro que a análise é feita para os valores centrais plotados e não os valores das extremidades. Com relação ao pressuposto da independência, deseja-se perceber a existência de auto-correlação entre os dados analisados, ou seja, se uma observação foi influenciada ou influenciou as observações que a antecederam ou as que a sucederam. Uma das maneiras é plotar os resíduos obtidos contra o tempo ou a ordem em que foram observadas e analisar a existência ou não de algum tipo de padrão no gráfico. O gráfico 6 mostra que não há um padrão nos valores residuais que permitam concluir não haver independência entre os dados, isto é, não há uma auto-correlação. 7. Adequação do modelo obtido Gráfico 6: Resíduos padronizados na ordem observada Por mais que a equação obtida seja consistente, do ponto de vista estatístico, através da validação de cada pressuposto, a melhor forma de verificar e comprovar a eficiência do modelo é coletar novos dados de RCT e SCT e a partir dos valores de RCT estimar quais valores de SCT serão previstos, comparando-os com os valores realmente obtidos, como pode ser visto a seguir: 8

9 Gráfico 7: SCT calculado versus SCT real O gráfico mostra uma significativa correlação entre os valores realmente obtidos de SCT e os valores calculados (previstos) a partir da equação de regressão. Pode-se observar também que alguns pontos (destacados em vermelho) estão fora do limite do gráfico de regressão, indicando uma pequena divergência entre o calculado e o real, para uma margem de erro igual a 5% de significância, mas tratando-se de um modelo que não considera uma série de variáveis que poderiam influenciar no resultado final, o modelo estatístico é bastante aderente. 8. Limitações do Modelo e considerações finais A principal limitação desta modelagem matemática e estatística está no fato de que a equação obtida não é fruto de um processo dinâmico, mas estático. Isto significa que durante os meses de coleta, tabulação e análise dos dados as condições de fabricação do papel podem ter-se alterado, face às mudanças inerentes ao processo produtivo. Entretanto, como foram coletadas amostras e resultados de várias fábricas aqui do Brasil e do exterior, além de se trabalhar com um leque variado de gramaturas (leves, médias e pesadas), não há indicativo que o modelo deixe de ser considerado estatisticamente significativo, justamente pela sua abrangência. Ao se buscar o relacionamento entre as variáveis quantitativas, optou-se por mostrar, sempre que possível, a forma mais simples: a gráfica. A razão desta opção é evitar a utilização de fórmulas e demonstrações, procurando desmistificar a ciência estatística como uma ciência árida, compreendida apenas pelos iniciados. Os principais pressupostos estatísticos da correlação e da regressão (normalidade, homocedasticidade, independência dos erros e linearidade) foram confirmados, demonstrando a significância dos resultados obtidos. Finalmente, o agradecimento do autor às empresas que permitiram a utilização dos dados para a construção do modelo e as empresas que forneceram os dados que permitissem a validação dos resultados encontrados. 9. Referências LEVINE, D M.; BERENSON, M. L. & STEPHAN, D. Estatística: Teoria e aplicações. Rio de Janeiro: editora LTC, 000. MILONE, G. Estatística: Geral e Aplicada. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 004. MOORE, D. S. Estatística básica e a sua prática. Rio de Janeiro: LTC, 005. SOUZA, A. M.; JACOBI, L. F. & PEREIRA, J. E. Gráficos de Controle de Regressão usando o Statistica. Florianópolis SC: Ed. Visual Books, 005. SPINELLI, W. & SOUZA, M. H. S. Introdução à Estatística. São Paulo: Ed. Ática, TRIOLA, M. F. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC,

10 VIEIRA, S. Estatística Experimental..ed.- São Paulo: Atlas, WILD, C. J. & SEBER, G. A.F. Encontros com o acaso: Um primeiro curso de análise de dados e Inferência. Rio de Janeiro: LTC,