Simone Dutra Ramos Edezio Pantoja Sacramento

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1 CÁLCULO BÁSICO Simone Dutra Ramos Edezio Pantoja Sacramento

2 Conteúdo Prefácio iv 1 Conjunto dos números reais Conjuntos numéricos Eercícios A reta numérica (ou real) Intervalos Eercícios Valor absoluto (ou módulo) Eercícios Distância entre números reais Geometria 8 3 Epressões algébricas Introdução Polinômios Operações Eercícios Produtos notáveis e fatoração Eercícios Simplicação de epressões racionais Eercícios Funções reais de uma variável real Introdução Eercícios: Função injetora, sobrejetora e bijetora Função Composta Função Inversa Função par e função ímpar ii

3 Simone e Edezio iii 4.7 Eercícios Raiz e sinal de uma função Função módulo (ou valor absoluto) Eercícios Funções do primeiro e segundo graus Função Polinomial Função do primeiro grau Eercícios Sinal do produto e quociente de funções do primeiro grau Eercícios Função am e função linear Eercícios complementares Função do segundo grau Eercícios Eercícios Complementares Função Eponencial e Função Logaritmica Função Eponencial Eercícios Função Logarítmica Eercícios Eercícios Complementares Funções Trigonométricas Círculo Trigonométrico Relações Fundamentais Relações Derivadas Sinais nos Quadrantes Funções Trigonométricas Eercícios APÊNDICE 67 BIBLIOGRAFIA 68 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 84

4 Prefácio É fato que o avanço tecnológico tem provocado uma signicativa reestruturação dos cursos de Cálculo na última década. Entretanto, qualquer professor verdadeiramente comprometido com o ensino dessa disciplina percebe que, ao longo dessa mesma década, a qualidade na formação matemática dos estudantes egressos do ensino médio vem sofrendo uma queda considerável. Esse desequilíbrio, no ensino, compromete de forma grave a formação dos discentes e, em muitos casos, impede a conclusão dos seus estudos. Esse trabalho visa minimizar as deciências do ensino médio e consequentemente iniciar o aluno, de forma segura, no aprendizado do Cálculo. Com esta intenção, busca-se apresentar, de forma clara e didática, conceitos e resultados matemáticos necessários ao estudo do Cálculo Diferencial e Integral. Com a nalidade de que este trabalho seja um instrumento útil, em especial, aos estudantes que chegam à Universidade com pouca base matemática, procurou-se, intencionalmente, dar ao teto algumas características próprias tais como: Os resultados são apresentados através de uma linguagem direta e simples priorizando suas aplicações em eercícios, em detrimento de suas demonstrações; Os eercícios propostos são sempre seguidos de respostas apresentadas ao nal desse trabalho. Evita-se propor eercícios em número ecessivo, pois isso muitas vezes desorienta o leitor em vez de ajudá-lo; Um apêndice que oferece ao aluno alguns tópicos do ensino fundamental que, eventualmente, precise rever. Convém ressaltar que, por melhor que seja o professor, o aprendizado é um processo intrínseco ao aluno e requer, antes de mais nada, esforço individual que inclui atenção em sala de aula, assim como dedicação diária resolvendo os eercícios propostos. Além disso, é importante dizer que, na medida em que as diculdades são superadas, torna-se natural a complementação do estudo, através dos diversos tetos encontrados nos livros clássicos de Cálculo. Desejo agradecer a leitura dos revisores e em especial, ao Prof. César Luiz Farah, pela sugestão dos eercícios propostos no capítulo 2. Esperando ter contribuído didaticamente para o aprendizado do Cálculo, coloco-me à disposição dos leitores para sugestões e críticas que possam melhorar e complementar esse trabalho. Os autores Rio de Janeiro, fevereiro de 212. iv

5 Capítulo 1 Conjunto dos números reais A importância desse capítulo reside no fato de que o conceito de continuidade e as operações de limite, derivada e integral estudados nos cursos de cálculo envolvem funções que são denidas e assumem valores em conjuntos de números reais. 1.1 Conjuntos numéricos Os principais conjuntos numéricos são: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, Reais e Compleos. Números Naturais: N = {, 1, 2, 3, 4,...}; Números Naturais Positivos ou não-nulos: N = {1, 2, 3, 4,...}; Números Inteiros: Z = {..., 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...}; Números Inteiros não-nulos: Z = {..., 3, 2, 1, 1, 2, 3,...}; Números Inteiros não-negativos: Z + = {, 1, 2, 3,...}; Números Inteiros não-positivos: Z = {..., 3, 2, 1, }; Números Inteiros positivos: Z + = {1, 2, 3,...}; Números Inteiros negativos: Z = {..., 3, 2, 1}; Números Racionais: Q = { p q \p Z q Z } Os números racionais são todos os números que podem ser escritos sob a forma de fração de números inteiros. Têm representação decimal nita ou periódica. Eemplo(s) : 1 2 =, 5 e 1 3 =, =, 3; Números Irracionais (I): são aqueles que não são racionais, ou seja, cuja representação decimal não é nita nem periódica. Eemplo(s) : 3 = 1, e π = 3, ; Números Reais: R = Q I; Números Compleos (C): são aqueles escritos na forma a + bi, onde a, b R e o número i é denido por i := 1. Eemplo(s) : 2 + 3i é um número compleo. 1

6 Simone e Edezio 2 Observação : Note que N Z Q R C e I R. As relações de inclusão entre os conjuntos numéricos cam claras num diagrama conhecido com Diagrama de Venn. Veja a gura abaio. C I R Q Z N Figura 1.1: Diagrama de Venn 1.2 Eercícios 1. Classique cada uma das armativas a seguir em Verdadeira (V) ou Falsa (F). 1) 3 é natural ( ); 2) é natural ( ); 3) -4 é natural ( ); 4) -4 é inteiro ( ); 5) 7 é inteiro ( ); 6) 8/4 é inteiro ( ); 7) 1/3 é inteiro ( ); 8) 1/3 é racional ( ); 9) 8/4 é racional ( ); 1) -5 é racional ( ); 11),37 é racional ( ); 12), é racional ( ); 13), é racional ( ); 14) 1, é racional ( ); 15) 2 = 1, é racional ( ); 16) π = 3, é irracional ( ); 17) e = 2, é irracional ( );

7 Simone e Edezio 3 18) 3 7 é irracional ( ); 19) 3 8 é irracional ( ); 2) 3 7 é real ( ); 21) 6 é real ( ); 22) -8 é real ( ); 23) 2/5 é real ( ); 24) 1,37 é real ( ); 25), é real ( ); 26) 4 é real ( ); 27) Todo natural é inteiro ( ); 28) Todo inteiro é racional ( ); 29), é racional ( ); 3) Todo racional é inteiro ( ); 31) Todo racional é real ( ); 32) Todo irracional é real ( ); 33) Eiste um inteiro que é irracional ( ); 34) Eiste um natural que não é real ( ); 35) Eiste um real que não é racional ( ); 36) A união dos racionais com os irracionais é o conjunto dos reais( ). 2. Classique em verdadeira (V) ou falsa (F), cada uma das armativas a seguir: a) 3 N; b) 4 N; c) 4 Z; d) 8 4 Z; e) 1 3 Z; f) 1 3 Q; g) 5 Q; h), 37 Q; i) 1, Q; j) π = 3, I; k) e = 2, I; l) 6 R; m) 1, 37 R; n) 4 R. 1.3 A reta numérica (ou real) Para representar os números reais, traçamos uma reta horizontal e marcamos o número real zero que identicamos com o ponto O e chamamos de origem. Os números positivos estão representados à direita da origem e os negativos, à esquerda.

8 Simone e Edezio 4 B E C O D F A -3-1,9 -,2 1,4 2 2 Figura 1.2: Reta numérica Sobre essa reta, podemos representar todos os números reais. Observe, na reta numérica representada acima, que: o ponto A corresponde ao número +2; o ponto B corresponde ao número 3; o ponto C corresponde ao número, 2; o ponto D corresponde ao número +1, 4; o ponto E corresponde ao número 1, 9; o ponto F corresponde ao o número + 2 = 1, Observação : Em uma reta numérica: a todo número real corresponde um e só um ponto da reta; a todo ponto da reta podemos associar um e só um número real. eiste uma orientação e o sentido positivo (da esquerda para a direita) é indicado com uma seta. Isso equivale a dizer que o conjunto dos números reais é ordenado, ou seja, podemos comparar quaisquer dois números reais que não são iguais usando desigualdades; podemos dizer que um é "menor que"ou "maior que"outro. Geometricamente, a < b signica que o número denotado por b está à direita do número denotado por a (de modo equivalente, a está à esquerda de b) na reta numérica. 1.4 Intervalos Sejam a, b R, a < b. Podemos denir os seguintes tipos de intervalos: 1. (a, b) =]a, b[= { R/a < < b} (intervalo limitado e aberto); a b

9 Simone e Edezio 5 2. [a, b] = { R/a b} (intervalo limitado e fechado) a b 3. [a, b) = [a, b[= { R/a < b} (intervalo limitado e fechado à esquerda e aberto à direita); a b 4. (a, b] =]a, b]{ R/a < b} (intervalo limitado e aberto à esquerda e fechado à direita); a b 5. (, b) =], b[= { R/ < b} (intervalo ilimitado e aberto); b 6. (, b] =], b] = { R/ b} (intervalo ilimitado e fechado); b 7. (a, + ) =]a, + [= { R/ > a} (intervalo ilimitado e aberto); a 8. [a, + ) = [a, + [= { R/ a} (intervalo ilimitado e fechado); a

10 Simone e Edezio 6 9. (, + ) =], + [= R (intervalo ilimitado) Nas denições acima, os números a e b são denominados etremos dos respectivos intervalos. 1.5 Eercícios 1. Descreva os seguintes intervalos na forma {/p()}: a) (1, 2); b) (1, 2]; c) [1, 2]; d) [1, 2); e) (1, + ); f) [ 2, + ); g) (, 1]; h) (, ); i) (, + ). 2. Se A = [1, + [ e B = [, 5[, obtenha: a) A B; b) A B; c) A B. 3. Se A = [ 2, 2), B = (, + ) e C = (, 1], determine: a) A B; b) A C; c) B C; d) A B C; e) A B; f) A C; g) B C; h) A B C; i) A B; j) A C; k) B C. 1.6 Valor absoluto (ou módulo) Denição : Seja R. O módulo ou valor absoluto de, representado por, é denido do seguinte modo:, se =, se < Interpretação geométrica: O módulo de um número real é representado geometricamente como a distância desse "número" à origem na reta numérica. a) > b) < = = Figura 1.3: Interpretação geométrica do A seguir, enunciamos algumas propriedades de módulo que podem ser úteis ao nosso estudo.

11 Simone e Edezio 7 Propriedades: Sejam a, b R. a e a = se, e somente se, a = ; ab = a b e se b, a b = a b ; a = a ; a 2 = a 2 ; a + b a + b (Desigualdade triangular). Observação : Se R, então 2 =. De fato, 2 é, por denição, o único número positivo ou nulo que elevado ao quadrado é igual a 2. Como 2 = 2 e, temos que 2 =. 1.7 Eercícios 1. Resolva, com auílio da interpretação geométrica do conceito de módulo, as equações e inequações a seguir: a) < 2; b) 1; c) = 1; d) > 5; e) < 1 f) 3; g) 1 3; h) 3 5 > 1; i) 3 1 < 2; j) = 1; k) = 1; l) 2 1 3; m) 3 1 = 2 + 1; n) 3 < ; o) 2 1 = Distância entre números reais Denição : Sejam a, b R com a < b. Considere A e B os pontos na reta numérica correspondentes aos números a e b respectivamente. A distância entre os números a e b, ou equivalentemente entre os pontos A e B, é denida da seguinte forma: d(a, B) = b a Observação : É fácil ver, através da reta numérica ilustrada abaio, que: d(o, B) = b = b ; d(a, B) = d(b, A). A O B a b Figura 1.4:

12 Capítulo 2 Geometria 8

13 Capítulo 3 Epressões algébricas Este capítulo tem por nalidade desenvolver no aluno a habilidade de manipulação de epressões algébricas. Em particular, busca-se familiarizá-lo com a álgebra dos polinômios. Além disso, visando a compreensão do conceito de limite introduzido no curso de Cálculo I, damos destaque especial as técnicas de fatoração e a simplicação de epressões racionais. 3.1 Introdução As epressões matemáticas que apresentam números e letras são chamadas epressões literais ou algébricas. Eemplo(s) : a) 2 + 7; b) a 5b + 3z; c) a 6b2 3 ; d) ab 2. Observe que, no último eemplo acima, os termos algébricos são: 5 3 com coeciente (parte numérica) 5 e parte literal 3 ; 7 2 com coeciente -7 e parte literal 2 ; 5 3 com coeciente 5 3 e parte literal ; ab 2 com coeciente 1 2 e parte literal ab. 9

14 Simone e Edezio Polinômios Denição : Um polinômio em é qualquer epressão que pode ser escrita na forma: onde n IN e os coecientes a, a 1,, a n IR. P () = a n n + a n 1 n a 1 + a, Polinômios com um, dois e três termos são chamados monômios, binômios e trinômios, respectivamente. Um polinômio escrito com as potências de na ordem decrescente está na forma padrão. Denição (Polinômio nulo ou identicamente nulo): Polinômio nulo é aquele em que todos os seus coecientes são iguais a zero (P () ). Denição (Grau): Dado P () = a n n + a n 1 n a 1 + a, não identicamente nulo e na forma padrão, com a n, dizemos que o grau do polinômio P () é o número n. Denição (Valor numérico e raíz): Seja P () um polinômio não nulo. O valor numérico de um polinômio P () para = a R é o número real P (a). Quando P (a) =, dizemos que a é uma raíz ou um zero de P (). Eemplo(s) a (a) P () = = 2, a 2 = 1, a 1 = 3, a = 1 e n = P () = 1 e P ( 1) = = 5. a 1 = 3, a = 2 e n = 1. (b) P () = 3 2 P (5) = 15 2 = 13 e P (2/3) =. a 1 = 5, a 9 = a 8 = a 7 = a 6 =, a 5 = 1, a (c) P () = = a 3 = a 2 = a 1 =, a = 5 e n = 1. P () = 5, P (1) = = 1 e P ( 1) = = 1. Contra-eemplos(não representam polinômios): (a) F () = 3 1/2 + 5; (b) F () = Operações Adição (ou subtração) Para adicionar ou subtrair polinômios, usamos a propriedade distributiva e adicionamos ou subtraímos os termos semelhantes, ou seja, os termos dos polinômios que têm a variável elevada à mesma potência. Multiplicação A multiplicação de dois polinômios requer a multiplicação de cada termo de um polinômio por todos os termos do outro. Assim, torna-se natural o uso da propriedade distributiva.

15 Simone e Edezio 11 Eemplo(s) : Sejam f() = , g() = e h() = Vamos calcular: (i) f() + g(); (ii) h() g(); (iii) g() f(). Solução: (i) f() + g() = = = (ii) h() g() = ( ) = = = (iii) g() f() = ( ) ( ) = = = Divisão Observe a divisão numérica ilustrada a seguir: A divisão, seja de números inteiros ou de polinômios, envolve um dividendo dividido por um divisor para obter um quociente e um resto. Veja, nos próimos eemplos, como podemos dividir polinômios usando um algoritmo bastante semelhante ao que já conhecemos para a divisão numérica. Eemplo(s) (Método da chave): O algoritmo da divisão(ou método da chave) para polinômios pode ser apresentado no seguinte esquema: onde: (i) grau de D() grau de d(); (ii) grau de R() < grau de d(); (iii)!q() e!r() tais que D() = d() Q() + R();

16 Simone e Edezio 12 (i) Assim, Q() = +4 R() = 1+9 (ii) Assim, Q() = 2 +2 R() = 2+5 dividendo D() d()( ) divisor resto R() Q() quociente (iv) grau D() = grau de d() + grau de Q(); (v) D() é divisível por d() se, e somente se, R() = R (ou seja,r ). Observação : Além do método acima, eiste o Método de Descartes (ou método dos coecientes a determinar) que se baseia na análise dos graus dos polinômios e utiliza a resolução de sistemas lineares. Teorema (Teorema do resto): d() = a R() = D(a). Em geral, d() = a b R() = D(b/a). Eemplo(s) : Vamos calcular o resto da divisão de P () = por: (a) 1 R = P (1) = = 1; (b) + 1 R = P ( 1) = = 5;

17 Simone e Edezio 13 (c) 2 1 R = P (1/2) = = = 1 4/ 1 2/ 2 1/ Teorema (Teorema de DAlembert): D() é divisível por a se, e somente se, D(a) =. Eemplo(s) : Podemos fatorar D() = , ou seja, escrevê-lo como um produto de polinômios, dividindo D() pelo fator + 4, já que D( 4) =. De fato, Logo, D() = = ( + 4)(3 5). O eemplo seguinte eibe um esquema denominado Dispositivo Prático de Briot-Runi. Este método simplica os cálculos usados no Método de Descartes para a obtenção do quociente Q() e o resto R da divisão de D() por a. Eemplo(s) : A divisão de D() = por d() = + 2 pode ser efetuada do seguinte modo: raiz de d() coef. de D() resto coef. de Q() De fato, 2 ( 2) 3 = 7 (2 o coef.); 7 ( 2) + = 14 (3 o coef.); 14 ( 2) + 1 = 27 (4 o coef.); 27 ( 2) 4 = 5 (resto). Logo, Q() = e R = 5. Em geral: se D() = a n n + a n 1 n a 1 + a e d() = a, o Dispositivo Prático de Briot-Runi pode ser ilustrado no seguinte esquema:

18 Simone e Edezio 14 a n a n 1 a 1 a a b n 1 b n 2 b R coef. de Q() resto onde : b n 1 = a n ; b n 2 = a b n 1 +a n 1 ; b = a b 1 +a 1 ; R = a b +a. 3.3 Eercícios 1. Dados os polinômios A() = , B() = e C() = 3 1, calcule: a) A() + B(); e) A() B(); b) A() + C() B(); f) [A() + B()] C(); c) A() C(); g) [A() 2 B()] [B() + C()]. d) B() C(); 2. Sendo P () = , calcule [P ()] Se A() = 2 3, determine: a) A( + 1); b) A(2 ); c) [A( 1)] Qual é o grau dos polinômios seguintes? a) f() = ; b) g() = ; c) h() = 1 + 5; d) i() = 52; e) j() = Dado o polinômio f() = , calcule o seu valor numérico para: a) = ; b) = 1; c) = 2; d) = 1/2. 6. Determine o valor de k de modo que os polinômios abaio tenham uma raiz igual a 1. a) f() = (k + 2) 2 + 5k; b) h() = (2k + 1) k + (7 + k) Determine o valor de k de modo que seja raiz do polinômio f() = 2k k Determine um polinômio cujas raízes são 2, -1 e 3.

19 Simone e Edezio Dados os polinômios f() = 2 + 1, g() = e h() = 2 +, calcule: a) f() + g() + h(); b) f() g(); c) h() f(); d) f() g() + h(). 1. Efetue os seguintes produtos: a) ( ) (2 + 3); b) ( ) ( 4); c) ( 3 + 7) ( 2 2). 11. Efetue a divisão dos seguintes polinômios pelo método da chave: a) e 3; b) e ; c) e Efetue a divisão dos seguintes polinômios pelo dispositivo de Briot-Runi: a) e 2; b) e + 7; c) e Determine, sem efetuar a divisão, o resto da divisão de: a) por 1/2; b) por 2 4; c) por Determine k lr, de modo que: a) k + 1 seja divisível por 1; b) k 2 (2k + 1) 13k + 3 seja divisível por + 4; c) k seja divisível por Dividindo-se um polinômio P () por 3, resulta um resto de -7 e um quociente de 4. Qual é P ()? 16. Calcule a, de modo que dividindo-se f() = a por 2 seja obtido resto Dividindo o polinômio P () = pelo polinômio Q(), obtemos o quociente S() = 1 + e o resto R() = + 1. O polinômio Q() satisfaz a:

20 Simone e Edezio 16 a) Q(2) = ; b) Q(3) = ; c) Q() ; d) Q(1) ; e) n.d.a. 18. O polinômio 3 + p + q é divisível por Os valores de p e q são respectivamente: a) 2 e 5; b) 5 e 2; c) 1 e 5; d) 1 e -1; e) 3 e Um polinômio f, dividido por 1 e + 3, dá restos -2 e 1, respectivamente. O resto da divisão de f por ( 1)( + 3) é: a) ; b) ; c) ; d) ; e) Produtos notáveis e fatoração Eistem produtos de polinômios que aparecem freqüentemente nos cálculos com epressões algébricas. Tais produtos podem ser obtidos a partir de certas regras e são chamados produtos notáveis: (i) Quadrado da soma de dois termos: ( + a) 2 = 2 + 2a + a 2 ; (ii) Quadrado da diferença de dois termos: ( a) 2 = 2 2a + a 2 ; (iii) Produto da soma de dois termos pela sua diferença: ( + a)( a) = 2 a 2 ; (iv) Cubo da soma de dois termos: ( + a) 3 = a + 3a 2 + a 3 ;

21 Simone e Edezio 17 (v) Cubo da diferença de dois termos: ( a) 3 = a + 3a 2 a 3 ; (vi) Quadrado da soma de três termos: ( + a + b) 2 = 2 + a 2 + b 2 + 2a + 2b + 2ab. Observação : Devemos notar que, em geral, ( ± a) 2 2 ± a 2 ( ± a) 3 3 ± a 3 = ( ± a)( 2 a + a 2 ). A seguir, deniremos, para polinômios, o conceito de fatoração análogo ao conceito conhecido para números. Denição : Fatorar um polinômio é escrevê-lo como um produto de dois ou mais fatores polinomiais. Principais casos de fatoração: Caso 1 (fator comum em evidência): = 3( + ); 9a 2 12a 2 = 3a 2 (3 4) parte numérica: M.D.C.(9, 12) = 3. parte literal: a 2. Caso 2 (agrupamento): a + a } {{ } +b + b } {{ } 1 o grupo 2 o grupo 2 2 4a } {{ } 1 o grupo 2 o grupo fator comum:2 = a( + ) + b( + ) = ( + )(a + b). fator comum 3 + 6a = 2( 2a) 3( 2a) = ( 2a)(2 3). } {{ } fator comum:-3 Caso 3 (trinômio quadrado perfeito): 2 + 2a + a 2 = ( + a) 2 ; 2 2a + a 2 = ( a) 2. Caso 4 (diferença de dois quadrados): 2 a 2 = ( + a)( a). Caso 5 (soma ou diferença de dois cubos): 3 ± a 3 = ( ± a)( 2 a + a 2 ). fator comum Caso 6 (trinômio do 2 o grau do tipo 2 + (m + n) + mn):

22 Simone e Edezio (m + n) + mn = ( + m)( + n). Um outra opção, para fatorar esse trinômio, é utilizar o seguinte resultado: 2 + (m + n) + mn = ( ( m))( ( n)), onde m e n são soluções da equação 2 + (m + n) + mn = (veremos a resolução dessa equação posteriormente). Caso 7 (casos de fatoração simultâneos): = 5 2 ( 2 9) = 5 2 ( + 3)( 3); = 4 2 ( ) = 4 2 ( 2) Eercícios 1. Fatore cada uma das epressões abaio: a) ab; m) 4a 4 + 4a ; b) z; n) a 2 4 2ab b 4 2 ; c) 2a 2 b + 5ab; o) ; d) p + p; p) ; e) 3(a + b) 5(a + b); q) ; f) am + na + bm + bn; r) m 2 8m + 7; g) 1a + 5a + 6b + 3b; s) ; h) b + a + ab; t) 2 + (a + b) + ab; i) 2 2b 2 5a + 1ab; u) 9a 2 16; j) 2 3a 3a + 9a 2 ; v) ; k) 9a 2 6a + 1; ) ; l) ; z) Simplicação de epressões racionais Frações algébricas ou epressões racionais são epressões algébricas que têm a forma de uma fração, em que o numerador e o denominador são polinômios, sendo que o denominador não é um termo independente de variáveis. Eemplo(s) : a) 1 2 ; b) ; c) Note que, a fração pode ser simplicada do seguinte modo: ( )( + ) = ( + ) =. De modo geral, para simplicar frações algébricas:

23 Simone e Edezio 19 decompomos o numerador e o denominador em fatores; cancelamos os fatores comuns. Observação : Uma fração algébrica só tem sentido se o denominador não for nulo. Então, os fatores desse denominador também não são nulos e podem ser cancelados quando a fração for simplicável. 3.7 Eercícios 1. Simplique as seguintes frações algébricas: a) a + a 1 2 ; h) ; m + m 1 b) 6 2 ; i) m 2 ; 1 c) 5a2 + 1ab ; j) ab ; ) d) ( ; k) m 2 m2 2 e) a2 2a + 1 a 2 ; l) ; : ( m + m ) ; f) ; m) m + n + 1 m 2 n 2 ; g) (a + b)2 (a 2 b 2 ) 3a 3 + 3b 3 ; n) Efetue e simplique: 2 16 a) ; a 4 d)4 a. + a 2 + a 2 ; b) ; e) c) ;

24 Capítulo 4 Funções reais de uma variável real O elemento fundamental do cálculo são as funções. Este capítulo abre o caminho para o cálculo, apresentando os conceitos básicos inerentes às funções e seus grácos. 4.1 Introdução Denição : Sejam A e B conjuntos. Seja f uma relação de A em B. Suponhamos que: (i) Dom f(domínio de f)= A; (ii) Im f(imagem de f) B; (iii) Cada elemento A está associado a um único elemento B. Dizemos, então que f é uma função de A em B e B é chamado o contradomínio da f. Notação: f : A B = f() Além disso, o gráco da função f é denido por: Graf f := {(, ) A B/ = f()}. Denição : Se A R e B R, então f é dita uma função real de uma variável real. Observação : Sabemos que um dos requisitos que uma relação deve satisfazer para ser uma função é que a cada elemento, pertencente ao domínio, deve corresponder um único, pertencente a imagem. Esta propriedade, interpretada num gráco, signica que qualquer reta vertical intercepta o gráco de uma função em, no máimo, um ponto. Observe os grácos a seguir: 2

25 Simone e Edezio 21 a) b) f f 1 c) f 2 f é gráfico de funcão fnão é gráfico de funcão f é gráfico de funcão Figura 4.1: Denição : Duas funções f e g são iguais se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas: (i) Dom f = Dom g; (ii) Im f = Im g; (iii) Contradom f = Contradom g; (iv) Dom f, f() = g(). Eemplo(s) : Note a igualdade das funções f e g denidas abaio: f : R R g : R R f() = 1 e g() = Eercícios: 1. Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: a) f() = 2 ; f) = ; b) f() = 1 2 ; g) F () = 2 ; c) h() = 4 2 ; h) M() = ; + 1 d) k() = 1 1 ; i) T () = + 1 ; e) = 1; j) G() = Esboce o gráco e encontre o domínio e a imagem das funções abaio: 2; 1 + 5; 2 a) f() = 2; 1 < < 1; b) f() =. 1; = 2 3; 1

26 Simone e Edezio Dado o conjunto A = {1, 2, 5, 7, 8}, determine: a) o conjunto A 2 = A A e sua representação gráca; b) o subconjunto W = {(, ) A 2 / < }; c) o subconjunto Z = {(, ) A 2 / = 2 + 3}; d) o subconjunto T = {(, ) A 2 / = 4}. 4. Dada a função f() = 7 3, com Dom f = lr, obtenha: ( a) f(2); d) f( 1); g) f 1 ) ; 3 b) f(6); e) f( 2); h) f(a + b). c) f(); ( ) 1 f) f ; 2 5. Dada a função f() = 2 3, obtenha: a) f(3); c) o valor de tal que f() = 49; b) f( 4); d) o valor de tal que f() = Dada a função f() = m + 3, determine m sabendo-se que f(1) = Faça o gráco da função f() = 2 + 1, com Dom f = {, 1, 2, 3, 4}. Determine o conjunto imagem. 8. Faça o gráco da função f() = 2, sendo Dom f = { 3, 2, 1,, 1, 2, 3}. Determine o conjunto imagem. 9. Faça o gráco da função f() = 3, sendo Dom f = R. 1. Esboce o gráco da função f, de domínio Dom f = R, dada por: 1, se f() = 1, se <. 11. Sendo f() = ( 3) 3, calcule: a) f(2); b) f(); c) f( 2); d) f( 1); e) f(2 + 1). 12. Dado f( + 1) = + 1, determine o valor de f(3) Considere a função f : R R tal que 1, se é racional f() = 1, se é irracional. Determine: f(1/2), f(π), f(2, ) e f( 2). 14. Considere a função f : R R denida por f() = 3 1, se > 3 2 2, se , se < 2

27 Simone e Edezio 23 Determine: i) f(2); ii) f(); iii) f( 1); iv) f( 3). 15. Qual dos seguintes grácos dene uma função: a) b) c) d) 16. Uma função f associa a cada número natural n a raiz quadrada positiva do menor quadrado perfeito maior que n. Calcule f(1) + f(15) + f(25). 4.3 Função injetora, sobrejetora e bijetora Denições : Seja f : A B uma função: (i) se a cada Im f B está associado um único Dom f = A, dizemos que f é uma injeção ou uma função injetora ou injetiva; (ii) se Im f = B, dizemos que f é uma sobrejeção ou uma função sobrejetora ou sobrejetiva; (iii) se f é uma injeção e sobrejeção, dizemos que f é uma bijeção ou uma função bijetora ou bijetiva. Eemplo(s) : Podemos identicar, entre os diagramas de setas da gura 4.2, os que representam funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras de A em B:

28 Simone e Edezio 24 f 1 f 2 f 3 f 4 a) b) c) d) A B A B A B A B f 5 f 6 f7 e) f) g) A B A B A B Figura 4.2: De fato, são injetoras as funções f 1 e f 7 ; sobrejetora as funções f 3, f 5 e f 7 e bijetora a função f 7. Note que as relações representadas nos diagramas (d) e (f) não são funções. Observação : (i) O gráco de uma função injetora se caracteriza pelo fato de que uma reta horizontal o intercepta em, no máimo, um ponto (caso contrário, teríamos um mesmo Im f associado a dois Dom f). Observe os grácos que se seguem: f f função injetora função não injetora Figura 4.3: (ii) Observe que, se f é uma injeção de A em B, então n(a) 1 n(b); (iii) Além disso, se f é uma sobrejeção de A em B, então n(a) n(b); (iv) Assim, se f é uma bijeção de A em B, segue que n(a) = n(b). 1 n(a) denota o número de elementos do conjunto A.

29 Simone e Edezio Função Composta Denição : Sejam f : A B e g : C D funções tais que Im f C. A função composta de g com f é denida por: (g f)() = g(f()), A. Notação: g f : A D g(f()) Eemplo(s) : Sejam f() = e g() = 2 3, então temos: a) Dom f = [, + ); b) Dom g = R; c) (g f)() = g(f()) = g( ) = 2 3 e Dom (g f) = [, + ); d) (f g)() = f(g()) = f(2 3) = 2 3 e Dom(f g) = [3/2, + ) já que 2 3 se, e somente se, 3/ Função Inversa Denição : Seja f : A B uma bijeção. Uma função g : B A é dita função inversa de f se f(g()) =, B e g(f()) =, A. Notação: f 1 () Observação : Quando a função f é denida por meio de uma fórmula do tipo = f(), isto é, Graf f = {(, ) R 2 / = f()}, a sua inversa f 1 pode ser obtida trocando-se as letras e na fórmula = f(). Veja o eemplo seguinte. Eemplo(s) : Seja f : R R tal que = f() = 3 5. Como f é uma bijeção, podemos encontrar f 1 trocando-se as letras e. Assim, obtemos = 3 5 donde = Portanto, f 1 é dada por: f 1 : R R tal que f 1 () = Observação : f(a) = b a = f 1 (b), isto é, (a, b) Graf f (b, a) Graf f 1. Assim, podemos concluir que os grácos de f e f 1 são simétricos com relação à reta =. Veja a gura a seguir:

30 Simone e Edezio 26 f = f 1 Figura 4.4: 4.6 Função par e função ímpar Denições : Seja f uma função cujo domínio é simétrico em relação a (ou seja, se está no domínio de f então - também está): (i) Dizemos que f é uma função par se f( ) = f() Dom f; (ii) Dizemos que f é uma função ímpar se f( ) = f() Dom f. Do ponto de vista geométrico, uma função par é aquela cujo gráco é simétrico em relação ao eio dos, e uma função ímpar é aquela cujo gráco é simétrico em relação à origem. Veja os grácos ilustrados nos eemplos seguintes. Eemplo(s) : (i) A função f() = 2 é par, já que f( ) = ( ) 2 = 2 = f() Dom f = R; (ii) A função f() = 3 é ímpar, já que f( ) = ( ) 3 = 3 = f() Dom f = R; (iii) A função f() = não é par nem ímpar. De fato, se tomarmos, por eemplo, = 1 teremos f(1) = 5 e f( 1) = 3.

31 Simone e Edezio 27 f( ) f() f() 5 = f(1) f( 1) = f( ) Eemplo (i) Eemplo (ii) Eemplo (iii) Figura 4.5: 4.7 Eercícios 1. Sejam f() = 1 + e g() = Calcule: a) g f; b) f g; c) f f; d) g g. 2. Determine a função inversa das seguintes funções: a) f() = 3; b) = 5 + 1; c) f() = Determine quais das seguintes funções são pares ou ímpares. a) f() = ; e) f() = 5 3 2; b) f(s) = s 2 + 2s + 2; f) f(t) = t 6 4; c) f() = ; g) f() = ; d) f() = ; h) f() = Raiz e sinal de uma função Denição : Chama-se raiz (ou zero) de uma função f um número real c do seu domínio tal que f(c) =. Geometricamente, isto signica que o número c é a abscissa de um ponto onde o gráco intercepta o eio dos. Observe que através da representação gráca de uma função podemos fazer um estudo do seu sinal. De fato, se o ponto do gráco está acima do eio dos, o valor da função é positivo, e se está abaio, é negativo. Eemplo(s) : A gura seguinte ilustra quatro raízes de uma função, e mostra também que ela é positiva nos intervalos [ 1, 2 ), ( 3, 4 ) e ( 5, 6 ] (o gráco está acima do eio dos nesses intervalos) e negativa nos intervalos ( 2, 3 ) e ( 4, 5 ) (o gráco está abaio do eio dos nesses intervalos).

32 Simone e Edezio 28 f , 3, 4 e 5 sãoraízesdef. Figura 4.6: 4.9 Função módulo (ou valor absoluto) Denição : A função módulo ou valor absoluto é a função dada por f() =. Assim, com base na denição de módulo, temos, para todo real: se f() = se < Pela denição de módulo, segue que f é uma função par cujo domínio é o conjunto R e o conjunto imagem é o conjunto R +. Além disso, seu gráco coincide com a reta = se e com a reta = se <, e portanto é fácil representá-lo.. Figura 4.7: Gráco de f() = 4.1 Eercícios 1. Verique se o número dado é raíz de f, nos casos: a) f() = ; 1 b) f() = ( 4) 2 ; 2 c) f() = ; 1

33 Simone e Edezio Estude o sinal da função de domínio [ 4, 2], cujo gráco está representado na gura abaio: A função = , para < 1, é denida pela lei: 3 a) = 5 2; b) = 5 4; c) = 4 5; d) = 3 4; e) = A imagem da função = 2 2 2, é o conjunto: a) { 1,, 1}; b) { 1, 1, 2}; c) {, 1, 2}; d) { 1, 1, 3}; e) { 1, 2, 3}. 5. Usando a denição de módulo, faça os grácos das funções: a) f() = 2 ; b) f() = 2 ; c) f() = + 2; d) f() = ; e) f() = O gráco da relação = é:

34 Simone e Edezio 3 d) e) 7. No gráco a seguir, está representada a função am f(). f() 5 3 O gráco que melhor representa g() = f() 1 é:

35 Simone e Edezio 31

36 Capítulo 5 Funções do primeiro e segundo graus Muitos problemas, em matemática, são modelados por funções polinomiais. Estudaremos nesse capítulo, em particular, as funções do primeiro e segundo graus e seus respectivos grácos. 5.1 Função Polinomial Denição : Seja n N. Uma função real polinomial é uma função f : R R denida por f() = a n n + a n 1 n a 1 + a, onde a i R, i =,..., n. Se a n o número n é chamado o grau de f. A função dada por f() é considerada uma função polinomial de grau indenido. Eemplo(s) : f() = é uma função polinomial de grau 5. Contra-eemplo: g() = não é uma função polinomial. Todas as funções constantes eceto, a função identicamente nula, são funções polinomiais de grau zero. Seus grácos são retas horizontais, como mostram os eemplos ilustrados a seguir. Eemplo(s) : (i)f : R R f() = 7 (ii)f : R R f() = 5 (iii)f : R R f() = 32

37 Simone e Edezio Eemplo (i) Eemplo (ii) Eemplo (iii) Figura 5.1: Observação : Uma função que pode ser escrita como quociente de polinômios é chamada de função racional. Ela se diz imprópria se o grau do polinômio do numerador é maior ou igual ao do polinômio do denominador; caso contrário, ela se diz própria. Em particular, toda função polinomial é uma função racional imprópria. O domínio de uma função racional é formado pelos números que não anulam o denominador. 5.2 Função do primeiro grau Denição : Sejam a, b R, com a. Chamamos de função do primeiro grau à função dada por: f : R R f() = a + b Características: (i) Im f = R; (ii) O gráco de f é uma reta no plano cartesiano, inclinada em relação aos eios cartesianos; (iii) O número b é denominado coeciente linear da reta e determina a ordenada em que esta reta intercepta o eio (pois b = f()); (iv) O número a é denominado coeciente angular ou inclinação (especica a direção de uma reta não vertical). Além disso, se Se P 1 ( 1, f( 1 )) e P 2 ( 2, f( 2 )) são pontos distintos na reta, então a = tgθ = f = f( 2) f( 1 ) 2 1 onde θ é o ângulo que a reta forma com sentido positivo do eio dos. Veja a gura a seguir:

38 Simone e Edezio 34 f( 2 ) P 2 f( 1 ) P 1 θ θ f 1 2 Figura 5.2: Note que o valor de a independe da escolha dos pontos P 1 e P 2 sobre a reta. Observe também que f( 2 ) f( 1 ) = a( 2 1 ). Daí, segue que: se a > então f() = a + b é crescente, isto é, 2 > 1 f( 2 ) > f( 1 ) (isto signica que à medida que "aumentam"os valores de, "aumentam"os valores correspondentes = f()). Veja gura 5.3 (a); se a < então f() = a + b é decrescente, isto é, 2 > 1 f( 2 ) < f( 1 ) (isto signica que à medida que "aumentam"os valores de, "diminuem"os valores correspondentes = f()). Veja gura 5.3 (b). f( 2 ) P 2 f( 1 ) f( 1 ) P 1 P 1 f( 2 ) P 2 b a b a (a) (b) Figura 5.3: (v) Observe também, na gura 5.3, que o estudo da variação de sinal da função f() = a + b pode ser dividido em dois casos: 1 caso: a >. Então, temos: f() = se = b a ;

39 Simone e Edezio 35 f() > se > b a ; f() < se < b a. 2 caso: a <. Então, temos: f() = se = b a ; f() < se > b a ; f() > se < b a. Eemplo(s) : (i) f() = 2 é uma função do primeiro grau crescente cujo gráco é uma reta que passa pela origem do plano cartesiano; (ii) f() = é uma função do primeiro grau crescente cujo gráco coincide com as bissetrizes do 1 o e do 3 o quadrantes; (iii) f() = é uma função do primeiro grau decrescente que intercepta os eios cartesianos nos pontos (1, ) e (, 2); (iv) f() = +1 é uma função do primeiro grau crescente que intercepta os eios cartesianos nos pontos ( 1, ) e (, 1). 2 1 Eemplo (i) Eemplo (ii) Eemplo (iii) Eemplo (iv)

40 Simone e Edezio 36 Observação : Note que nos dois primeiros eemplos o coeciente linear é nulo. Convém ressaltar que quando b =, a função f() = a é dita função linear (conceito que será apresentado na próima seção). Em particular, se a = 1 então f() = é chamada função identidade. Observação : (i) Retas verticais não são grácos de funções. Nesse caso, suas equações são do tipo = k, onde k representa uma constante real; (ii) Retas horizontais são grácos de funções do primeiro grau cujo coeciente angular é nulo ( a = ). Nesse caso, suas equações são do tipo = k, onde k representa, novamente, uma constante real; (iii) Duas retas, não verticais, de equações = a 1 + b 1 e = a 2 + b 2 são paralelas se, e somente se, elas têm o mesmo coeciente angular, isto é, a 1 = a 2 ; (iv) Duas retas, inclinadas em relação aos eios cartesianos, de equações = a 1 + b 1 e = a 2 + b 2 são perpendiculares se, e somente se, o produto dos seus coecientes angulares é igual a -1, isto é, a 1 a 2 = Eercícios 1. Determine a função do primeiro grau f tal que f(3) = e f() = Classique as funções abaio em crescentes ou decrescentes: a) f() = 3; b) f() = 2 + 1; c) f() = Os grácos abaio representam funções f() = a + b. Determine, em cada item, os sinais de a e b. 4. Determine os zeros das seguintes funções: (i) f() = 2 1; (ii) f() = 5 + 1; (iii) f(g()) sendo f() = e g() = Estude o sinal das funções abaio: (i) f() = + 3; (ii) f() = 5 + 1; (iii) f() = ( + 3) 2 ( 2) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto ( 3, 4) e é paralela ao eio dos ; 7. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (1, 7) e é paralela ao eio dos ;

41 Simone e Edezio 37 (i) (ii) (iii) (iv) 8. Encontre a equação da reta que passa pelos pontos (1, 3) e (2, 2); 9. Encontre a equação da reta que passa por ( 2, 5) e tem inclinação 3; 1. Encontre a equação da reta que passa pela origem e divide ao meio o ângulo entre os eios no segundo e no quarto quadrantes; 11. Dados a reta r com equação 2 5 = 1 e o ponto P (5, 1), encontre a equação da reta que passa por P e: a) seja paralela à reta r; b) seja perpendicular à reta r. 12. Determine o domínio e a imagem e esboce o gráco das seguintes funções: 2, 1 a) f() = 2, 1 < < 1 ; 3, 1 + 5, 2 b) f() = ; 1, = 2 c) f() = Sinal do produto e quociente de funções do primeiro grau O estudo da variação de sinal do produto de funções do primeiro grau pode ser feito a partir do estudo da variação do sinal das funções fatores.

42 Simone e Edezio 38 Eemplo(s) : f() = ( + 3)(2 1). Devemos construir um quadro que represente o sinal dos fatores g() = + 3 e h() = 2 1. Assim, 3 1/2 g() = h() = f() = (+3)(2 1) + + f() > se < 3 ou > 1/2; f() < se 3 < < 1/2; f() = se = 3 ou = 1/2. O estudo da variação de sinal do quociente de funções do primeiro grau pode ser feito de modo análogo ao feito no caso do produto. Devemos tomar apenas um cuidado especial, já que a função racional não é denida no ponto (ou pontos) onde o denominador se anula. Eemplo(s) : f() = Assim, 1 2 g() = +1 + h() = 2 + f() = / f() > se 1 < < 2; f() < se < 1 ou > 2; f() = se = 1; f() não está denida para = 2, isto é, f(2).

43 Simone e Edezio Eercícios 1. Resolva as equações abaio: a) = + 7; b) 3 1 ( + 2) = 2 3; c) 3( 2) + 7 = + 2( 1); d) 3( 1 3 ) + = ; e) = 6 2 ; f) 2(3 4z) 5(2z + 3) = z 17; 9 g) = 1; h) 1 2 = Resolva as seguintes inequações: a) 2 < ; b) 3 (5 ) 5; 3 c) Resolva: Estude o sinal das funções abaio: a) f() = ( 1)( + 2); b) f() = ; c) f() = ( + 1)( 3); d) f() = 3. < 2; d) 1 ( 4) 2 5(3 ) Resolva as seguintes inequações: a) ( 2)( + 1)( 4) < ; b) (1 )(1 + ). 6. Determine o domínio da função denida por: a) f() = (2 1)( + 3); b) f() = Resolva as inequações: (i) ; (ii) Função am e função linear Uma breve consulta à literatura clássica pode constatar que os conceitos de função am e função linear são apresentados de forma relativamente arbitrária. As denições seguintes podem ser encontradas em [1] e [3]. Denição : Uma função f é chamada de função am se eistem números reais a e b tais que f() = a + b, para qualquer real. Se b =, ou seja, se f() = a, f é chamada de função linear.

44 Simone e Edezio 4 Com base nessa denição, a classe de funções ans pode ser caracterizada como o conjunto de funções cujos grácos são retas. Retas inclinadas em relação aos eios cartesianos são grácos de funções do primeiro grau, enquanto retas horizontais são grácos de funções constantes. As funções lineares representam a subclasse das funções ans cujos grácos são retas que passam pela origem. 5.7 Eercícios complementares 1. A temperatura de uma caldeira varia linearmente de o C a 3 o C no intervalo de min a 1 min e, a partir daí, sua temperatura permanece constante. a) Qual é a lei que epressa a temperatura da caldeira em função do tempo? b) Construa o gráco da temperatura da caldeira em função do tempo. 2. Uma barra de ferro foi aquecida até uma temperatura de 3 o C e a seguir foi resfriada até a temperatura de 6 o C. O gráco mostra a temperatura da barra em função do tempo. Temperatura ( o C) Tempo (min) a) Depois de quanto tempo, após o início do resfriamento, a temperatura da barra atingiu o C? b) De a 6 min. em que intervalo de tempo a temperatura da barra esteve positiva? c) De a 6 min. em que intervalo de tempo a temperatura da barra esteve negativa? 3. A água que usamos em nossas casas vem de grandes represas que devem ser conservadas sempre limpas. Suas margens não devem ser povoadas, para que esgotos não sejam despejados em suas águas. Suponha que numa dessas represas o medidor do nível da água consista de uma barra graduada, perpendicular à superfície da água, sendo m o nível mínimo para abastecimento da região servida pela represa. O gráco mostra o nível dessa represa em função do tempo, nos dez primeiros dias do mês de maio. Supondo que o gráco em todo o mês de maio seja um segmento de reta, responda: a) Em que dia do mês de maio o nível da água atingirá o mínimo necessário para o abastecimento da região?

45 Simone e Edezio 41 Nível da água(m) Tempo (dias) b) Durante quanto tempo no mês de maio o nível da água se apresentará negativo? c) Durante quanto tempo no mês de maio o nível da água se apresentará positivo? 4. (UFMG) Observe o gráco, em que o segmento AB é paralelo ao eio das abscissas. Esse gráco representa a relação entre a ingestão de certo composto e a absorção pelo organismo, em mg/dia. A única armativa falsa Absor cão (mg/dia) 18 A B 2 Ingestão (mg/dia) relativa ao gráco é: a) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante; b) A absorção resultante da ingestão de mais de 2 mg/dia é igual à absorção resultante da ingestão de 2 mg/dia; c) Para ingestões acima de 2 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do composto ingerido; d) Para ingestões de até 2 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida. 5. (Vunesp) Um botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Ligando os pontos colocados por ele num gráco, resulta a gura abaio. Se for mantida sempre essa relação entre tempo (t) e altura (h), a planta terá, no trigésimo dia, uma altura igual a: a) 5 cm; b) 6 cm; c) 3 cm; d) 15 cm; e) 3 cm.

46 Simone e Edezio 42 h (cm) t (dias) 6. (ENEM) Uma empresa produz jogos pedagógicos para computadores, com custos os de R$ 1., e custos variáveis de R$ 1, por unidade de jogo produzida. Desse modo o custo total para jogos produzidos é dado por C() = 1 +, 1 (em R$ 1.,). A gerência da empresa determina que o preço de venda do produto seja de R$ 7,. Com isso a receita bruta para jogos produzidos é dada por R() =, 7 (em R$ 1.,). O lucro líquido, obtido pela venda de unidades de jogos, é calculado pela diferença entre a receita bruta e os custos totais. O gráco que modela corretamente o lucro líquido dessa empresa, quando são produzidos jogos, é: a) Lucro (em R$ 1.,) Número de jogos vendidos b) Lucro (em R$ 1.,) Número de jogos vendidos c) Lucro (em R$ 1.,) d) Lucro (em R$ 1.,) Número de jogos vendidos Número de jogos vendidos e) Lucro (em R$ 1.,) Número de jogos vendidos

47 Simone e Edezio (ENEM) Todos os anos, no mundo, milhões de bebês morrem de causas diversas. É um número escandaloso mas que vem caindo. O caminho para se atingir o objetivo dependerá de muitos e variados meios, recursos, políticas e programas - dirigidos não só às crianças, mas às suas famílias e comunidades. Admitindo-se que os pontos do gráco abaio pertencem a uma reta, a mortalidade infantil em 215, em milhões, será igual a: a) 9; b) 8; c) 7; d) 6; e) 5. Mortalidade Panorama Mundial Mortalidade Infantil por ano (em milhôes de bebês) anos 8. (ENEM) O gráco abaio, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de etinção. número de espécies ameaçadas de etinção ano Se mantida, pelos próimos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráco, o número de espécies ameaçadas de etinção em 211 será igual a: a) 465; b) 493; c) 498; d) 538; e) Função do segundo grau Denição : Sejam a, b e c R, com a. Chamamos de função do segundo grau ou quadrática à função dada por: f : R R a 2 + b + c.

48 Simone e Edezio 44 Características: (i) O gráco de f é uma curva no plano cartesiano denominado parábola. Além disso, se a >, então a concavidade da parábola é voltada para cima. Veja gura 5.4 (a); a <, então a concavidade da parábola é voltada para baio. Veja gura 5.4 (b). (a) (b) Figura 5.4: (ii) Para determinar os zeros da função quadrática f() = a 2 + b + c, devemos resolver a equação do 2 grau: a 2 + b + c =. Como sabemos, as raízes dessa equação são calculadas pela fórmula (de Bhaskara): = b ±, 2a onde = b 2 4ac denomina-se discriminante (ou delta) da equação. Note que, a eistência e o número de zeros da função dependem do sinal de. Assim, podemos dividir o estudo do sinal da função quadrática em três casos: 1 caso: > Nesse caso, a função apresenta dois zeros reais distintos: 1 = b + 2a e 2 = b. 2a Veja gura 5.5.

49 Simone e Edezio a > a < Figura 5.5: 2 caso: = Nesse caso, a função apresenta um zero real duplo: 1 = 2 = b. Veja gura a 1 = = 2 a > a < Figura 5.6: Observação : A soma e o produto das soluções da equação do 2 o grau são dados por b a e c a respectivamente. Além disso, se, podemos fatorar o trinômio a 2 + b + c da seguinte forma: a 2 + b + c = a( 1 )( 2 ). onde 1 e 2 são as raízes reais da equação a 2 + b + c =. 3 caso: < Nesse caso, a função não apresenta zeros reais. Veja gura 5.7.

50 Simone e Edezio a > a < Figura 5.7: (iii) A gura 5.8, ilustrada abaio, mostra uma parábola, gráco da função f() = a 2 + b + c, com três elementos importantes assinalados: r c V Figura 5.8: O número c determina a ordenada em que esta parábola intercepta o eio (pois c = f()). O ponto V é chamado vértice da parábola. A reta r, perpendicular ao eio e passando pelo vértice, é o eio de simetria da parábola. O vértice V é dado por V ( v, v ) com v = b 2a ; v = 4a (já que v = f( v ) = a( v ) 2 + b v + c). (iv) A imagem de f é obtida com auílio do vértice da parábola, como se segue: 1 caso: a > (concavidade é voltada para cima) Nesse caso, a função apresenta um valor mínimo, igual à ordenada do vértice da parábola. Veja a gura 5.9.

51 Simone e Edezio 47 c v v V Figura 5.9: Assim: v = b 2a é chamado ponto de mínimo de f ; v = 4a é chamado valor mínimo de f. Logo, Im f = { R/ 4a } = [ 4a, + ). 2 caso: a < (concavidade é voltada para baio) Nesse caso, a função apresenta um valor máimo, igual à ordenada do vértice da parábola. Veja a gura 5.1. v V c v Figura 5.1: Assim: v = b 2a é chamado ponto de máimo de f ; v = 4a é chamado valor máimo de f. Logo, Im f = { R/ 4a } = (, 4a ].