Contribuições ao Estudo das Perturbações Geomagnéticas na Superfície da Terra

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1 OBSERVATÓRIO NACIONAL MINISTÉRIO DA CIÊNCIA E TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA Contribuições ao Estudo das Perturbações Geomagnéticas na Superfície da Terra Alberto Fares Akel Junior Orientador: Dr. Andrés Reinaldo Rodriguez Papa Rio de Janeiro Fevereiro de 2010

2 Contribuições ao Estudo das Perturbações Geomagnéticas na Superfície da Terra Alberto Fares Akel Junior Orientador: Dr. Andrés Reinaldo Rodriguez Papa Dissertação apresentada ao Observatório Nacional como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Geofísica. Rio de Janeiro Fevereiro de 2010

3 Agradecimentos Ao meu orientador Andrés Reinaldo Rodriguez Papa, por toda a paciência e dedicação durante a minha orientação. Ao Observatório Nacional por todo apoio estrutural que me foi fornecido durante estes dois anos, dando condições favoráveis e um ambiente agradável para realização deste mestrado. Aos professores Valiya Hamza, Valéria Cristina, Irineu Figueredo, Cosme Ponte- Neto, Jandyr Travassos, Sérgio Fontes, Ney Avelino e Katia Pinheiro, por todos os ensinamentos. A todos os colegas da pós graduação de geofísica e astronomia. mestrado. À querida Ana Paula por todo o carinho e companhia durante estes dois anos de E finalmente à CAPES, pela concessão da bolsa de estudos, o que permitiu a realização deste estudo. i

4 Resumo Apresentamos uma análise estatística através de transformadas wavelets de dados geomagnéticos correspondentes a locais de baixa latitude e de valores do índice global Dst. Introduzimos inicialmente alguns elementos qualitativos e quantitativos que sugerem a preferência por transformadas wavelets em lugar da mais tradicional transformada de Fourier. Contudo, a utilidade de alguma filtragem de Fourier prévia à aplicação de transformadas wavelets ficou clara no caso dos dados locais puros. Após isto, apresentamos as razões que nos levaram à utilização da transformada wavelet de Morlet (dentre a ampla gama de transformadas wavelets disponíveis). São discutidas algumas características dos nossos cálculos e são dadas sugestões para trabalhos futuros. ii

5 Abstract We present a wavelet statistical analysis of low latitude geomagnetic data and global geomagnetic Dst index. We first introduce some qualitative and quantitative elements that justify the preference for wavelets instead of Fourier analysis. However, the utility of some Fourier filtering previous to the application of wavelet transforms emerged in the study of local raw data. Later on we present the reasons that advice the selection of the Morlet wavelet among the large set of them. We discuss some characteristics of our calculations as well as possible extensions and corrections to be taken into account in futures works. iii

6 Sumário 1 Introdução 3 2 Tempestades Geomagnéticas A Origem das Tempestades A Magnetosfera Terrestre As Tempestades Geomagnéticas Índices Geomagnéticos De Fourier às Wavelet Domínio de Fourier Linearidade e Teorema da Convolução Limitações da Transformada de Fourier Análise Wavelet As Wavelets A Transformada Wavelet Bases wavelets Morlet Mexican-hat Shannon Relação Escala -frequência Análise dos Dados Descrição dos dados Análises de Resultados Tempestade de março de Tempestade de setembro de

7 Tempestade de fevereiro de Tempestade de agosto de Tempestade de março e abril de Tempestade de novembro de Análises gerais Conclusões 37 Referências Bibliográficas 39

8 Capítulo 1 Introdução Quando comentamos no dia-a-dia que a chuva de ontem foi muito forte ou que o final de semana foi muito ensolarado, estamos falando do tempo atmosférico que é associado ao clima atmosférico local de cada região do planeta. Mas além desse tipo de clima, o planeta tem um clima muito importante no qual este trabalho é inserido, O Clima Espacial. O estudo da climatologia espacial é relativamente novo quando comparado com os estudos atmosféricos. Quando os informes jornalísticos nos dizem que amanhã poderá chover ou que em 3 dias o tempo irá mudar, estamos falando de previsões baseadas em resultados de modelos e de estudo estatísticos. Na climatologia espacial, podemos dizer que o evento maior alvo de previsões são as tempestades geomagnéticas. As tempestades geomagnéticas recebem este nome em analogia às rápidas mudanças que ocorrem no tempo. São objeto de estudo desde o século XVIII quando Graham observou grandes variações na agulha de sua bússola. Hoje sabemos que as tempestades podem ser muito prejudiciais à vida moderna, uma prova disto foi a grande tempestade de março de 1989 que deixou aproximadamente 6 milhões de pessoas sem energia no Canadá durante quase 9 horas. A tempestade geomagnética pode ser compreendida como uma grande perturbação na magnetosfera terrestre, provocada por uma intensificação da atividade solar que por sua vez intensifica um complexo sistemas de correntes elétricas, denominado anéis de corrente. Esta intensificação provoca uma diminuição peculiar da componente horizontal do campo geomagnético na Terra (GONZALEZ et al., 1994). Para melhor compreender a morfologia de uma tempestade, alguns índices geomagnéticos foram de- 3

9 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4 senvolvidos para monitorar a atividade geomagnética no planeta e muitos estudos têm sido feitos sobre estes índices (GONZALEZ et al., 2007; MENDES, 1992; PAPA et al., 2006; RUSSELL, 2000; WANLISS e SHOWALTER, 2006). Dentro desse contexto, apresenta-se uma abordagem estatística entre a atividade geomagnética monitorada pelo índice Dst( Disturbance storm time) e a atividade magnética registrada pelo Observatório de Vassouras(VSS), localizada na cidade de Vassouras-RJ para seis eventos do 23 ciclo solar. O foco desta análise estatística é o estudo das possíveis pertubações provocadas pelas tempestades no observatório de Vassouras (VSS) não observadas pelo índice Dst. Para isso foi utilizada a análise Wavelet, que permite uma melhor análise para situações não estacionarias, como as tempestades. No capítulo 2 é apresentada uma breve descrição do ambiente Sol-Terra no qual estão inseridas as tempestades. É feita uma revisão dos principais aspectos da morfologia da magnetosfera e dos sistemas de correntes criados com as tempestades, assim como uma explicação do comportamento dos índices durante a atividade magnética. No capítulo 3 é feita a abordagem da metodologia empregada para o estudo e das principais vantagens da transformada wavelet sobre a de Fourier. No capítulo 4 é feita a descrição dos dados utilizados e são apresentados os resultados obtidos e as discussões dos mesmos, e finalizando, no capítulo 5 são apresentadas as conclusões e considerações sobre o trabalho e as perspectivas futuras para novos trabalhos.

10 Capítulo 2 Tempestades Geomagnéticas A ocorrência de grandes flutuações no campo geomagnético é conhecido desde meados do século XVIII, quando Graham observou uma pertubação na orientação da agulha de sua bússola (STERN, 1989). Hoje, sabe-se que esta pertubação é causada por uma relação existente entre a magnetosfera terrestre e atividade solar,com os ventos solares. Mas, como tal evento acontece? Neste capítulo será dada uma breve revisão dos principais agentes envolvidos, a morfologia da magnetosfera e os índices que nos ajudam a identificar se um determinado evento pode ser classificado, ou não, como uma tempestade geomagnética. 2.1 A Origem das Tempestades A origem das tempestades magnéticas está em nossa estrela mais próxima, o Sol. Ela emite constantemente partículas em pequenas erupções, em especial em regiões próximas aos sunspots e em locais onde as linhas do campo magnético solar são abertas (CAMPBELL, 2001). Entre a cromosfera e a coroa solar existe uma região de grande gradiente de temperatura, as altas temperaturas alcançadas pela coroa solar e a pressão muito maior que no meio interplanetário fazem o gás ionizado contido na atmosfera se expandir para o meio interplanetário através das linhas de campo (LUCAS, 2005). O vento solar foi descrito teoricamente e experimentalmente por Eugene Parker em 58 (PARKER, 1958, 1970). Na década seguinte foi proposto por Alfvén um mod- 5

11 CAPÍTULO 2. TEMPESTADES GEOMAGNÉTICAS 6 elo tridimensional para a heliosfera e para o vento solar chamado de Ballerina model (ALFVÉN, 1977) como mostra a figura 2.1. O que parece com uma saia de uma bailarina é a região que separa as linhas positivas e negativas do campo magnético as quais são expulsas para o meio interplanetário pelo plasma do vento solar e fluem radialmente para o exterior (BALMACEDA, 2008). Sabe-se hoje que existem dois tipos de ventos solares. Eles podem ser denominados de lentos, com velocidade de 250 km/s a 400 km/s, e rápidos, com velocidades de 400 km/s a 800km/s, mas muito além de suas velocidades as suas naturezas diferem, assim como suas origens, seus mecanismos de aceleração e topologia (WILHELM et al., 2000). Durante a atividade solar máxima, podemos classificar mais dois tipos de ventos : 1) os lentos do tipo máximo, que emergem de grandes áreas distribuidas no Sol e contêm normalmente o dobro do conteúdo de hélio, e 2) as nuvens de plasma que são liberadas em grandes erupções e contêm grande quantidade de hélio, elas são denomidadas de ejeção de massa coronal (CME, Coronal Mass Ejection) quando elas tem uma contribuição ao redor de 10 % do fluxo solar total (BALMACEDA, 2008). Ao se propagar no meio interplanetário essa estrutura passa a ser denominada de ICME ( Interplanetary Coronal Mass Ejection ), e estas são as estruturas que mais aparecem associadas às tempestades geomagnéticas quando ocorre o choque com a magnetosfera terrestre. Figura 2.1: Modelo saia de bailarina. Fonte: (KELLEY, 2009).

12 CAPÍTULO 2. TEMPESTADES GEOMAGNÉTICAS A Magnetosfera Terrestre A magnetosfera pode ser caracterizada como uma região magnética dominada pelas interações eletrodinâmicas entre o vento solar e o campo magnético terrestre. O campo magnético terrestre atúa com um escudo para a radiação solar, e é deformado pela pressão exercida pelo vento solar. O tamanho da magnetosfera é determinado pelo balanço de pressão na fronteira entre a pressão do vento solar de um lado e a pressão magnética do campo planetário do outro lado. A figura 2.2 apresenta as principais regiões da magnetosfera. Figura 2.2: Ilustração da magnetosfera. Fonte: Adaptada de RUSSELL (2000). Na região interna da magnetosfera, logo após a magnetopausa, temos a bainha magnética, essa região é caracterizada pela forte turbulência devido à compressão e aquecimento do plasma na ocorrência e na intensificacao dos efeitos magnetosféricos dinâmicos. A magnetopausa separa duas naturezas de plasmas, o solar e o magnetosférico; sobre esta interface flui uma corrente denominada Chapman-Ferraro ou corrente da magnetopausa. Na direção noturna temos longas linhas de campo que podem se estender até 200 raios terrestres, esta região funciona como um reservatório de energia do vento solar, que será dissipada posteriomente na região interna e na Auroral.

13 CAPÍTULO 2. TEMPESTADES GEOMAGNÉTICAS 8 A lamina de plasma funciona como um reservatório iônico de origen solar e ionosférico e é o responsavel em dividir a cauda magnética em norte e sul com direcões do campo magnético opostas. Na cauda, a existencia de partículas de diferentes cargas cria uma diferença de potêncial elétrico entre elas que por sua vez resulta no surgimento de um campo elétrico denominado dawn-dusk (LUCAS, 2005). Hoje é bem estabelecido que o principal mecanismo de transferência da energia oriunda do vento solar para a magnétosfera é o processo denominado reconexão magnética (TSURUTANI et al., 2003), como mostra a figura 2.3. Quando o campo magnético interplanetário, que é arrastado conjuntamente com o vento, está na direção oposta às linhas de campo magnético da Terra, ocorre um cancelamento das linhas no lado iluminado da Terra e uma acumulação de energia magnética no lado noturno da cauda magnética (magnetotail). Posteriomente a isso a reconexão magnética no lado noturno injeta plasma no lado noturno da cauda magnética. Os prótons energizados deslocan-se para oeste enquanto que os eletrons pra leste, formando um anel de corrente em aproximadamente 8 raios terrestres, próximo ao equador magnético da Terra (ring current) (TSURUTANI et al., 2003). Figura 2.3: Esquema de Reconexão Magnética. Fonte: Adaptada de TSURUTANI et al. (2003).

14 CAPÍTULO 2. TEMPESTADES GEOMAGNÉTICAS As Tempestades Geomagnéticas Uma tempestade magnética é entendida como um aumento na densidade de energia das partículas que compõem a corrente de anel equatorial, levando a uma deflexão global em médias e baixas latitudes na componente horizontal do campo geomagnético medido na superfície terrestre sendo acompanhada com a intensificaçao do brilho das auroras (MENDES, 1992). A variação no campo magnético durante as tempestades é dividida em três fases: A fase inicial, onde temos um aumento rápido e de alguns minutos aproximadamente, a fase principal, onde o campo inicia seu decaimento até atingir seu valor mínimo que pode ser de maneira suave ou abrupta, e finalmente, a fase de recuperação, onde o campo retorna lentamente até valores normais de periodo calmo, o que pode levar alguns dias. A descrição acima pode ser vista na figura 2.4 através do indice Dst ( Disturbance storm time) que será abordado na seção seguinte. Figura 2.4: Fases da Tempestade geomagnética de novembro de O número 1 identifica o início da fase inicial, caracterizada por um aumento no índice Dst. O número 2 corresponde ao início da fase principal, que se estende até 3, e onde o Dst decresce. A seqüência de 3 a 4, apresenta a fase de recuperação até voltar ao estado não pertubado. As fase mencionadas podem ser explicadas por processos distintos. A fase súbita ou inicial é a compressão da magnetosfera pelos ventos solares, essa pertubaçao intensifica o sistema de correntes que fluem na magnetosfera causando um aumento do campo magnético medido na superfície. A fase principal, que é caracterizada pela redução do campo, pode ser explicada por meio da energização da corrrente de anel através do processo de reconexão na magnetosfera diurna, no qual cria um campo magnético com

15 CAPÍTULO 2. TEMPESTADES GEOMAGNÉTICAS 10 sentido oposto ao do campo geomagnético. Finalmente, a fase de recuperação associa-se com a perda de ions da corrente de anel com a diminuiçao do fluxo solar (GONZALEZ et al., 2007) Índices Geomagnéticos A principal finalidade dos índices geomagnéticos é fornecer informações de forma contínua sobre o comportamento da atividade geomagnética no planeta. Uma variedade de índices ajudam a especifícar a intensidade de um distúrbio geomagnético de acordo com a sua localização. Na Zona Auroral são utilizados os índices AU, AL e AE. Na zona subauroral são utilizados o Kp e o Ap e em medias e baixas latitudes os índices mais utilizados são o Dst, o Sym e o Asy. Neste trabalho limitaremos apenas ao indice Dst. O Índice Dst O índice Dst é derivado usando dados de quatro observatórios magnéticos, apresentados na Tabela 2.1. Estes observatórios foram escolhidos com base na qualidade da observação e por suas localizações serem suficientemente distantes dos eletrojatos aurorais e equatorial para minimizar seus efeitos, sendo eles distribuídos em intervalos de longitude aproximadamente eqüidistantes (SUGIURA e KAMEI, 1991). Observatório Lat.Dipolo Long. Dipolo Lat. Geográfica Long. Geográfica Honolulu San Juan Hermanus Kakioka Tabela 2.1: Observatorios Magnéticos usados para o cálculo do índice Dst. (WDC, 2009) Fonte: Durante forte atividade magnética, a assinatura da corrente de anel é monitorada em registros do campo magnético na superfície da Terra em todo o mundo como uma depressão, abaixo do nível de tempo quieto, da intensidade da componente horizontal do campo, também chamada de fase principal. O aumento da energia na corrente de anel, que resulta na típica depressão de mais de 100 nt, está relacionada ao pro-

16 CAPÍTULO 2. TEMPESTADES GEOMAGNÉTICAS 11 cesso de reconexão do campo magnético interplanetário e o campo magnético da Terra (KAMIDE et al., 1998). O índice Dst é provavelmente aquele que melhor monitora e registra o fenômeno para o qual foi designado. Isto se deve à grande simplicidade das variações magnéticas causadas pela corrente de anel: elas são axialmente simétricas em seu regime estacionário e não dependem da longitude ou da hora local. Supondo que outras variações transitórias regulares ou irregulares são eliminadas na derivação, obtém-se um índice que já não é uma informação sumarizada, mas um registro puro do fenômeno a qualquer taxa de amostragem (PRESTES, 2002). No entanto, várias dificuldades são encontradas na eliminação das variações transitórias, como as variações geomagnéticas seculares, que ao longo dos anos variam de observatório para observatório. Como o campo produzido pela corrente de anel equatorial é quase paralelo ao eixo do dipolo, seu efeito é predominante na componente H do campo geomagnético e mais forte em baixas latitudes. Nessa região, é menor a amplitude das variações irregulares originadas em latitude aurorais, porém é grande a influência das variações regulares Sq (variação magnética de períodos calmos governada pelo Sol) e do eletrojato equatorial, que devem ser eliminadas no cálculo de Dst. O índice Dst, é usado para inferir a intensidade do evento através do seu valor mínimo. Para eventos com Dst < -50 nt, as tempestades são classificadas como moderadas, para valores inferiores a -100 nt elas são ditas como tempestades intensas (GONZALEZ et al., 1994).

17 Capítulo 3 De Fourier às Wavelet A análise e o processamento de sinais são de grande importância para diversos campos. Em geofísica, sua aplicação pode ser tanto a nível exploratório, em busca de riquezas minerais, como ao nível de previsão de fenômenos oceanográficos e atmosféricos. Neste capítulo, procurarei apresentar alguns aspectos teóricos e a necessidade da utilização da transformada wavelet neste trabalho para sinais geomagnéticos. 3.1 Domínio de Fourier Freqüentemente nos encontramos na física-matemática pares de funções descritas pela seguinte forma: g(α) = b a f(t)k(α, t)dt (3.1) onde temos que a função g(α) é chamada de transformada de f(t) pelo kernel K(α, t). Esta operação pode ser entendida como uma descrição da função f(t), em outro espaço, dada pela função g(α). A transformada mais conhecida é a transformada de Fourier, onde o kernel é dado pela função e iωt e as partes real e imaginária dadas por co-senos e senos respectivamente. Devido a este kernel, a transformada de Fourier consegue descrever uma função em forma sinusoidal (ARFKEN e WEBER, 2005). A Transformada direta é dada por: ˆf(ω) = e a transformada de Fourier inversa por : + f(t)e iωt dt (3.2) 12

18 CAPÍTULO 3. DE FOURIER ÀS WAVELET 13 f(t) = 1 + 2π ˆf(ω)e iωt dt (3.3) 3.2 Linearidade e Teorema da Convolução Uma das propriedades mais importantes para a análise de sinais é o teorema da convolução. Dadas duas funções contínuas por partes f(t) e g(t), a operação definida pela integral h(t) = f(t) g(t) = + f(τ t)g(t)dt (3.4) é denominada de convolução das funções f(t) e g(t). A interpretação física mais clássica para esta operação é a caracterização da entrada e saída de um sistema linear invariante no tempo 1, conhecido como caixa preta (ver figura 3.1). O sistema é representado pela função g(t), o sinal de entrada é representado pela função f(t), e o sinal de saída pela convolução h(t) = f(t) g(t). Pelo teorema da convolução, aplicando a transformada de Fourier em 3.4, observamos que a convolução no domínio da freqüência é simplesmente o produto entre as duas funções (MALLAT, 1999): ĝ(ω) = ˆf(ω)ĥ(ω) (3.7) 1 Um sistema é linear se satisfaz a seguinte condição: O sinal de entrada: f i (t) = αf i1 (t) + βf i2 (t) (3.5) produz o sinal de saída f o (t) = αf o1 (t) + βf o2 (t) (3.6) em que f o1 (t) e f o2 (t) são as componentes de saída correspondentes, respectivamente, às componentes de entrada f i1 (t) e f i2 (t). Um sistema linear é dito invariante no tempo se dados os sinais de entrada f i (t) e de saída f o (t) se verifica que o sinal de entrada f i (t+τ) produz o sinal de saída f o (t+τ), para qualquer t. Isto significa que as funções de entrada e saída são funções do tempo, no entanto, as funções em si independem do tempo.

19 CAPÍTULO 3. DE FOURIER ÀS WAVELET 14 Figura 3.1: Sistema linear. 3.3 Limitações da Transformada de Fourier Quando realizamos a transformada de Fourier de um sinal, obtemos as informações sobre o conteúdo de freqüência de todo o sinal, limitando-se às características globais do mesmo. Quando estamos lidando com sinais onde temos variações na freqüência dependente do tempo, ou seja, sinais não estacionários, a transformada de Fourier não fornece a informação sobre o momento no qual esta mudança ocorre. As figuras 3.2 e 3.3 mostram a transformada de Fourier de dois sinais com as mesmas freqüências, um estacionário e outro não estacionário. Observamos que o espectro do sinal estacionário tem suas freqüências e amplitudes muito bem definidas. No sinal não estacionário, observamos lóbulos entre picos de freqüência assim como uma incoerência nas amplitudes. As variações de freqüência dependentes do tempo são muito comuns na música,na voz humana, nos sinais sísmicos e em sinais geofísicos não estacionários, entre outros. Para estudar tais sinais, deve-se efetuar uma transformada capaz de obter o conteúdo de freqüência de um sinal localmente no tempo (ou no espaço). Com isso, nos últimos anos (FARGE, 1992), algumas soluções foram desenvolvidas a fim de representar o sinal no espaço tempo-freqüência. Basicamente duas metodologia foram desenvolvidas: A Transformada de Fourier janelada e a Transformada wavelet. A transformada de Fourier janelada consiste em uma técnica desenvolvida por Dennis Gabor, de aplicar uma janela a uma pequena seção do sinal. Tal adaptação nos fornece alguma informação sobre a não estacionaridade do sinal. Embora seja possível mapear alguma informação no tempo e na freqüência, essa abordagem é pouco flexível com respeito ao tamanho da janela que irá percorrer o sinal (PROTÁZIO, 2002). A Transformada wavelet, por sua vez, permite que estas janelas sejam flexíveis podendo assim assimilar as informações de diferentes dimensões no espaço tempo-freqüência.

20 CAPÍTULO 3. DE FOURIER ÀS WAVELET 15 Figura 3.2: a) Sinal estacionário formado por três amplitudes 1, 1 e 1.5 e componentes monocromáticas de frequências 0.2, 0.5 e 0.1 Hz respectivamente, e que se superpõem em todo tempo; b) Espectro de potência correspondente a a). 3.4 Análise Wavelet A Análise Wavelet tem se tornado um ferramenta bastante comum para a análise de dados com variações locais em series temporais. Pela decomposição do sinal em um espaço tempo-freqüência ou tempo-escala é possível determinar em ambos os domínios o modo no qual ocorre a variação de freqüência no domínio do tempo. Inúmeros estudos geofísicos têm sido realizados nas ultimas décadas utilizando wavelets, tais como a organização de convecção tropical (LAU e WENG, 1995), as dispersões de ondas oceanográficas (MEYERS et al., 1993), estudos de estruturas em fluidos turbulentos (FARGE, 1992), análise intermitente de tempestades geomagnéticas (BOLZAN et al., 2005), observações de ondas planetárias na Antártica (JARVIS e LAWRENCE, 2001) e análise de magnetogramas (MENDES et al., 2005), entre muitas outras.

21 CAPÍTULO 3. DE FOURIER ÀS WAVELET 16 Figura 3.3: a) Sinal não estacionário formado por três componentes monocromáticas de frequências e amplitudes identicas as da figura 3.2. b) Espectro de frequência correspondente a a). 3.5 As Wavelets O termo wavelets associa-se à idéia de pequenas ondas. No sentido da análise wavelet, esse termo está associado a ondas localizadas que aumentam e diminuem em um período limitado de tempo. Matematicamente para que uma função seja denominada wavelet, deve satisfazer as propriedades de: 1) A integral da função wavelet, denotada por ψ, deve ser igual a zero, + ψ(t)dt = 0 (3.8) esta condição assegura que a função wavelet tenha a forma de onda. Esta condição é conhecida como Admissibilidade. 2) A função wavelet deve ter energia unitária, + ψ(t) 2 dt = 1 (3.9)

22 CAPÍTULO 3. DE FOURIER ÀS WAVELET 17 Isso garante que a wavelet tenha suporte compacto ou tenha um rápido decaimento de amplitude (e-folding), garantindo a localização espacial. As funções wavelet possuem a propriedade de dupla localização. A localização temporal ocorre por ser a função wavelet localizada em um intervalo finito. Dessa forma, à medida que a escala aumenta, as funções wavelet ficam localizadas em intervalos de comprimento menores. A localização em freqüência deve-se a que a transformada de Fourier da função wavelet ˆψ(ξ) poder ser interpretada como um filtro passa-banda, que privilegia as freqüências (f). Tendo em vista as propriedades de dupla localização das wavelets, a transformada wavelet é dita do tipo local em tempo-freqüência com resolução temporal e freqüencial inversamente proporcionais, como ilustrado na figura 3.4. x ξ = constante Figura 3.4: Esquema do plano tempo x freqüência. 3.6 A Transformada Wavelet A transformada Wavelet de uma função f é definida por: W f(a, b) = + f(t)ψ a,b (t)dt (3.10) onde ψ a,b (t) = 1 a ψ ( ) t b a (3.11) representa a família de funções wavelets escolhida, denominada wavelet-mãe; a é o parâmetro de escala e b é o parâmetro de translação ou localização; e ψ a,b (t) é o complexo conjugado de ψ a,b (t). Mudando-se o valor do parâmetro a, tem-se um efeito

23 CAPÍTULO 3. DE FOURIER ÀS WAVELET 18 de dilatação (a > 1) e um valor de contração (a < 1) da wavelet mãe enquanto que as mudanças no parâmetro b tem o efeito de analisar a função f(t) em torno deste ponto. Essa transformada é chamada de transformada wavelet contínua (TWC), porque os parâmetros de escala e localização assumem valores contínuos. obter a inversa dessa transformada, que está expressa por : É possível também 1 C ψ a 2 W f(a, b)ψ a,b(t)dadt (3.12) em que C ψ é uma constante que depende da função wavelet escolhida (DOMINGUES et al., 2005). A TWC é equivalente a um microscópio matemático, no qual a ampliação é dada pelo inverso do parâmetro de dilatação e da capacidade ótica dada pela wavelet mãe. A figura 3.5 apresenta um exemplo do resultado obtido com a transformada wavelet contínua. Figura 3.5: Transformada Wavelet Contínua do sinal não estacionário da figura 3.3 a).

24 CAPÍTULO 3. DE FOURIER ÀS WAVELET 19 Para analisar as escalas dominantes, o espectro wavelet global(ewg) foi definido por (MENEVEAU, 1991) como S(a) = + W f ψ (a, t)dt (3.13) O EWG apresenta um comportamento mais suave quando comparado ao de Fourier. Os coeficientes da transformada wavelet são influenciados pelos eventos locais; enquanto que na transformada de Fourier os coeficientes são função do domínio como um todo. Isso faz com que o EWG seja uma melhor medida da variância atribuída a eventos localizados. Outra vantagem desse espectro é que ele pode ser construído mesmo quando há falhas na série temporal. Isso facilita a análise de períodos mais longos, em que em geral é muito difícil não haver falhas nos dados atmosféricos. Máximos locais nesse espectro provêem informações sobre as escalas em que importantes características ou eventos coerentes dão uma contribuição significativa. Em analogia ao EWG, definimos uma integral para o tempo dada por: S(t) = + ela nos ajuda a quantificar a energia envolvida na escalas. W f ψ (a, t)da (3.14) 3.7 Bases wavelets Morlet Esta wavelet é definida por uma onda plana modulada pela função gaussiana e é dada pela equação 3.15 onde ξ é um valor não dimensional e geralmente é igual a 6, o que satisfaz a condição de admissibilidade. Ela tem suporte infinito, no entanto seu suporte efetivo está contido no intervalo [ 4, 4]. ψ(t) = π 1 4 ( ) e iξt e ξ2 2 e t2 2, (3.15) A figura 3.6 ilustra o gráfico desta função complexa. A Wavelet de Morlet é indicada para o estudo de series temporais com variações suaves. Por ser uma wavelet complexa permite a análise de mudanças de amplitude e fase do sinal estudado. Ela

25 CAPÍTULO 3. DE FOURIER ÀS WAVELET 20 localiza melhor as variações de freqüências do que variações temporais de um sinal. Figura 3.6: Parte real (à esquerda) e parte imaginária (à direita) da Wavelet de Morlet Mexican-hat Esta função, também conhecida como Maar, é a segunda derivada da função densidade de probabilidade gaussiana e é definida por: ψ(t) = 2 1 e t2 2 3π 4 ( 1 t 2 ). (3.16) tem suporte infinito, assim como a Morlet, porém seu suporte efetivo está contido no intervalo [-5, 5] como mostra a figura 3.7 Figura 3.7: Wavelet de Maar.

26 CAPÍTULO 3. DE FOURIER ÀS WAVELET Shannon A wavelet de Shannon real é dada por: ψ(t) = 2sinc(2t) sinc(t), (3.17) onde sinc(t) = sin(πt), (3.18) πt e a wavelet de Shannon complexa é definida por: ψ(t) = sinc(t)e i2πt. (3.19) As Figuras 3.8 e 3.9 ilustram as wavelets de Shannon real e complexa, respectivamente. Figura 3.8: Wavelet de Shannon Real.

27 CAPÍTULO 3. DE FOURIER ÀS WAVELET 22 Figura 3.9: Wavelet de Shannon Complexa: parte real (à esquerda) e parte imaginária (à direita). 3.8 Relação Escala -frequência Pode-se relacionar as escalas da transformada wavelet com frequências (melhor definido como pseudo-frequência) pela relação mostrada a seguir F a = δf c a (3.20) onde δ é a frequência de amostragem, e F c é a frequência central da Wavelet e F a é a pseudo-frequência correspondente à escala a.

28 Capítulo 4 Análise dos Dados 4.1 Descrição dos dados Neste trabalho foram usadas 6 séries temporais mensais para a componente horizontal do observatório magnético de Vassouras-VSS (Latitude , Longitude ) e para o índice Dst. As séries temporais foram escolhidas levando em conta a atividade magnética perturbada. Foram observadas neste período tempestades magnéticas intensas e superintensas 1 conforme mostra a tabela 4.1. Os dados obtidos no observatório magnético de Vassouras, possuem uma amostragem de 1 minuto com precisão de 1 nt o erro relativo das medições é da ordem de O campo magnético médio medido em Vassouras é da ordem de nt com amplitude média de 450 nt. Os dados do índice Dst foram obtidos no World Data Center For Geomagnetism (WDC, 2009) e possuem uma amostragem horária. As estacões magnéticas usadas para o cálculo do índice possuem uma precisão de 5 nt. Para os dados de VSS foram encontrados alguns pontos espúrios que foram corrigidos através de polinômios lineares. No mês agosto do ano 2000 não houve dados para o dia 29, desta forma optou-se em analisar os dados até o dia 28. A tabela 4.2 apresenta o número de pontos corrigidos para cada mês. Para a série de dados de VSS, foi feita uma reamostragem dos dados para valores horários através de uma simples média, desse modo, pode-se ter uma correlação mais concisa com os dados do índice Dst. 1 Classificação dada em (GONZALEZ et al., 1994) onde a nomenclatura é dada de acordo com o menor valor do índice Dst. Super intensas para Dst menor que -250 nt e intensas para valores entre -250 nt e -100 nt. 23

29 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DOS DADOS 24 Mês Ano Dst(nT) H(nT) Março Setembro Fevereiro Agosto Março Abril Novembro Tabela 4.1: Eventos de tempestade magnética selecionados. Na primeira e na segunda coluna temos o mês e o ano, respectivamente, da ocorrência das tempestades. Na terceira coluna temos o menor valor obtido para o índice Dst no respectivo mês. Na quarta coluna temos o menor valor obtido para a componente horizontal de VSS. Mês Ano N de pontos espúrios Março Setembro Fevereiro Agosto Março Abril Novembro Tabela 4.2: Número de pontos descartados. 4.2 Análises de Resultados Os dados de VSS foram tratados em duas etapas distintas. Na primeira realizouse a filtragem do sinal no domínio da freqüência a fim de eliminar as componentes diárias e de períodos mais longos, para isso utilizou-se o filtro de Butterworth de segunda ordem conforme (PAPA et al., 2006). Em seguida calculou-se a transformada inversa de Fourier e em seguida a diferença entre o sinal filtrado e o não filtrado, obtendo finalmente as bandas de freqüência rápidas. Na Segunda parte da análise, foi efetuada a TWC da diferença entre os sinais. A wavelet escolhida foi a de Morlet, pois ela permite uma melhor aproximação entre as escalas e as pseudo-freqüências, uma boa resolução temporal e também pelo fato dela ser uma wavelet complexa que nos possibilita calcular modulo e fase. Para o caso do índice Dst, a primeira etapa não foi necessária pois o índice já é trabalhado para identificar as mudanças abruptas das tempestades. Desse modo, apenas a segunda etapa foi realizada para o índice Dst. Além do espectro wavelet, foi obtido o espectro de wavelet global e a amplitude da energia envolvida nas escalas para cada tempo. As

30 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DOS DADOS 25 figuras de 4.1 à 4.12 apresentam em a) a dependência temporal do sinal investigado, em b) a transformada wavelet do sinal, em c) o espectro wavelet global e em d) a energia envolvida. Para os resultados das transformas wavelet temos a cor vermelha representativa do máximo valor obtido e a cor azul para o menor valor obtido. As tabelas 4.3 e 4.4 apresentam os máximos e mínimos valores obtidos para todas as transformadas. Mês Ano Máximo Mínimo Março Setembro Fevereiro Agosto Março Abril Novembro Tabela 4.3: Máximos e mínimos coeficientes para a TWC de Vassouras. Mês Ano Máximo mínimos Março Setembro Fevereiro Agosto Março Abril Novembro Tabela 4.4: Máximos e mínimos coeficientes para a TWC do índice Dst Tempestade de março de 1998 As Figura 4.1 e 4.2 apresentam os resultados obtidos para o mês de março de Neste mês percebemos que o índice Dst caracteriza muito bem o evento de duas tempestades, a do dia 10 e a do 21, apresentando perfeitamente a assinatura das suas fases. Notamos que esses eventos aparecem também destacados no sinal de VSS e além deste percebemos uma feição de uma tempestade próximo ao dia 28 do mês. Nos resultados da TWC em 4.1 b) e 4.2 b), percebemos que os eventos descritos aparecem perfeitamente identificados na banda de freqüência investigada, nota-se no entanto uma nova feição próxima ao dia 24 no índice que parece estar ligeiramente ligada à fase de recuperação do evento anterior do dia 21. Os máximos valores das

31 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DOS DADOS 26 transformadas são de 3.48 u.a e 3.53 u.a para VSS e para o índice respectivamente. Esses máximos valores encontram-se ligeiramente próximos. Em VSS esse máximo se encontra próximo a freqüências de 0.15 CPH(ciclos por hora), enquanto que no índice ele se apresenta nas bandas mais baixas investigadas, ao redor de 0.05 CPH. Chamase a atenção para o fato de que as bandas de freqüência mais baixas de Vassouras foram cortadas pela filtragem, e mesmo em freqüências distintas a energia encontramse ligeiramente próximas. Em VSS a feição próxima ao dia 28 encontra-se destacada próxima a 0.12 CPH. No EWG; os gráficos das figuras 4.1 c) e 4.2 c) do índice Dst, não notamos nenhuma influência significatica nas proximidades das freqüências Notamos que as amplitudes destacadas em VSS são ao redor de 2000 u.a enquanto que no índice ela é próxima a 500 u.a. Na energia envolvida temporalmente no gráfico das figuras 4.1 d) e 4.2 d) percebemos que tanto em VSS quanto no índice ela identifica os picos de energia. Notamos que o evento do dia 24 aparece ligeiramente em ambos os sinais. Em VSS ela surge menos destacada pelo fato da energia total de cada banda de freqüência ser quase 6 vezes maior que no índice e devido também a ela se encontrar na fronteira da filtragem do sinal Tempestade de setembro de 1999 Os resultados obtidos para o mês de setembro de 1999 são apresentados nas figuras 4.3 e 4.4. Neste mês percebemos perfeitamente todas as fases da tempestade marcada pelo índice Dst. O início súbito próximo ao dia 21, a fase principal no dia 22 e a fase de recuperação até o dia 25. Percebemos que a fase principal e o final da fase de recuperação são notados em VSS. Notamos que assim como o evento de fevereiro de 1998, os máximos valores da TWC entre o índice e o sinal de VSS encontram-se próximos (4.18 u.a para VSS e 3.55 u.a para Dst) e em freqüências distintas como pode ser visto em 4.3 b) e 4.4 b). Nota-se que para o dia 25 há uma feição bem percebida em VSS e fracamente notada no índice. Percebemos também que o EWG apresenta as maiores energias para as banda de freqüência de 0.15 CPH a 0.08 CPH com um leve queda na freqüência de 0.1 CPH nos gráficos das figuras 4.3 c) e 4.4 c). Na figura 4.3 d) e 4.4 d) percebemos que a energia envolvida no dia 25 é bem notada novamente em VSS e despercebida no índice Dst.

32 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DOS DADOS Tempestade de fevereiro de 2000 Para o mês de fevereiro de 2000 (figuras 4.5 e 4.6), percebemos dois eventos nos dias 6 e 12. Ambos eventos são muito bem destacados nos sinais. O evento do dia 6 é mais fraco que o do dia 12. Percebemos que o final da fase de recuperação da tempestade do dia 6 é o inicio da segunda tempestade deste mês e isso é mais bem notado no índice Dst. Notamos que a resposta da TWC para a primeira tormenta em VSS aparece mais prolongada e descontinua no tempo quando comparamos com o índice. Notamos que os máximos valores das transformadas, representativas da tormenta do dia 12, não apresentam as mesmas peculiaridades dos eventos de 1998 e Notamos que em VSS a transformada tem o máximo valor no segundo evento assumindo o valor de 3.55 u.a enquanto para o índice para a mesma data assume o valor de 2.27 u.a. Constatamos também uma maior banda de freqüência para o evento para o índice deste mês, alcançado a freqüências da ordem de 0.18 CPH. Nos gráficos 4.5 c) e 4.6 c) não é notado nenhuma particularidade em especial em relação aos eventos de 1998 e de No gráfico 4.5 d) notamos que a energia parece demorar mais a cair que nos outros eventos investigados, enquanto que no índice percebe-se um leve salto no dia 6 e então uma diminuição até o dia 10 quando ela aumenta até o dia 11 quando começa a cair gradativamente até o dia 15 onde se mantem quase constante Tempestade de agosto de 2000 Ainda no ano 2000, destacamos outro evento no mês de agosto. Esse aparece bastante perturbado para os dias de 11 a 15, em VSS e para o índice. Percebemos nos resultados da TWC (ver em figuras 4.7 b) e em 4.8 b) ) e na resposta da energia em função das escalas (ver em 4.7 d) e em 4.8 d) )em Vassoura notamos a presença de duas singularidades nos dias 12 e 14 e no índice percebemos apenas a presença de uma singularidade de grande intensidade no dia 12. Notamos que assim como no evento de fevereiro os máximos valores alcançados pelas transformadas apresentam uma diferença significativa. Em VSS o máximo coeficiente é de 4.14 u.a, enquanto que no índice Dst ele alcança o máximo de 2.81 u.a. Percebemos também que esses máximos ocorrem em bandas de freqüência distintas, em VSS por volta de 0.35 CPH enquanto que no índice Dst é alçando nas baixas freqüências investigadas da TWC. No EWG não houve

33 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DOS DADOS 28 nenhuma mudança significativa em relação aos demais eventos investigados Tempestade de março e abril de 2001 Para os meses de março e abril de 2001, as figuras 4.9 e 4.10 o cálculo foi realizado para os dois meses seguidos devido a presença de uma grande tempestade entre esses dois meses. Neste período, ocorreram as maiores tempestades investigadas neste trabalho. Houve 4 tempestades significativas neste período de 60 dias. Nos dias 20 e 31 de março e nos dias 9 e 12 de abril. Percebemos que a tempestade do dia 31 de março e do dia 12 de abril são as mais significativas em todos os gráficos apresentados. Notamos que em VSS há a presença de alguns eventos de fraca intensidade nas redondezas desse evento e isso é muito bem visto na sua representação do espaço tempo-freqüência na figura 4.9 b, e no índice Dst no gráfico da figura 4.9 a. Percebemos que esse evento de grande intensidade foi precedido e sucedido por alguma seqüencia de pequenas tempestades geomagnéticas que de alguma forma podem estar ou não associadas com o evento principal. Nos gráficos da TWC de VSS e do índice não é notada nenhuma característica organizada seja ela na freqüência ou no tempo Tempestade de novembro de 2001 No mês de novembro de 2001, figuras 4.11 e 4.12, percebemos que em VSS foram detectadas 3 singularidades nos dias 6, 15 e 24 de novembro enquanto que no índice Dst foram percebidos apenas 2 eventos típicos de tempestades nos dias 6 e 24. Nos gráficos das transformadas, notamos que o evento do dia 15 para VSS encontra-se em uma freqüência intermediaria entre as duas freqüências dos eventos caracterizados como tempestades do dias 6 e 24. O evento do dia 6 é observado nas faixas de 0.15 e 0.3 CPH, o evento do dia 15 é notado próximo a 0.17 CPH e o do dia 24 na faixa de 0.25 CPH. Notamos que para este mês o EWG (ver gráficos das figuras 4.11 c) e 4.12 c) ) apresentou-se com uma banda de freqüência mais ampla mostrando que nos informa a notoriedade desses eventos não estacionários para o mês de novembro para VSS. Percebemos que os máximos valores das transformadas, representativos da tempestade do dia 15, assumem valores bem distintos. Em VSS possui 4.58 e no resultado do índice 3.55.

34 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DOS DADOS Análises gerais Nota-se, em todas as figuras analisadas ( de 4.1 à 4.12 ), que o método utilizado para as medições de VSS consegue detectar eventos que em muitas ocasiões passam despercebidos pelo índice Dst e pela sua correspondente transformada wavelet. Isto pode indicar que a metodologia de cálculo do Dst, por ser um tipo de média entre vários observatórios, acaba por perder informações locais sobre as tempestades. Percebemos que nos eventos de março de 1998, setembro de 1999, março e abril de 2001 os máximos valores correspondentes às transformadas encontram-se muito próximos e isso nós possibilita dizer que a metodologia empregada para esses eventos de uma maneira qualitativa é mais coesa, e que a resposta de VSS é bem coerente com a resposta do índice Dst. Percebe-se também, de uma maneira geral, a existência de uma banda de freqüência mais significativa nas transformadas obtidas em VSS se comparadas às do índice Dst. Existem duas possíveis explicações para este fato: 1) que as medições de VSS apresentem uma amostragem temporal mais densa ou, 2) que a filtragem utilizada para o cálculo do Dst leve a isto. Contudo, como explicado anteriormente, para este estudo comparativo, os dados de VSS foram ré-amostrados em intervalos de tempo iguais aos do índice Dst (1 hora), e, portanto, a primeira explicação deve ser descartada. Parece ser muito mais plausível a segunda explicação. Isto está em concordância com a idéia, exposta no parágrafo anterior, de que o cálculo do Dst, por incluir algum tipo de média entre vários observatórios, acaba retirando informação que, neste particular, é notado pelo estreitamento do intervalo de freqüências, e pelos próprios valores de freqüência na transformada wavelet, e nos restantes cálculos apresentados aqui, do índice Dst. O cálculo do Dst se semelha mais a um filtro passa banda que a um filtro passa alta (que é a resultante do procedimento adotado para os dados de VSS). Isto último é parcialmente devido ao cálculo sobre vários observatórios que acaba anulando as contribuições de altas freqüências, enquanto que as baixas são retiradas na filtragem de Fourier (e outras operações) realizadas para o cálculo do Dst. Finalmente nota-se, em todas as figuras mencionadas anteriormente, que a transformada wavelet do índice Dst, e os restantes cálculos, como mencionado anteriormente, conseguem perceber a futura ocorrência de grandes perturbações com maior antecedência que os seus correspondentes para os dados de VSS onde uma resposta mais abrupta (chamada anteriormente de iminente) é observada. Novamente existem,

35 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DOS DADOS 30 para esta observação, duas possíveis explicações: que a transformada wavelet utilizada introduza uma dispersão maior no caso do índice Dst ou que a diferença entre as metodologias utilizadas para o próprio cálculo do Dst e dos dados de VSS introduza esta diferença. Como explicado anteriormente, a metodologia utilizada para o cálculo em ambos casos (Dst e dados de VSS) foi exatamente a mesma (após a filtragem dos dados de VSS) e, portanto, novamente também, a primeira explicação deve ser abandonada. Uma possível dispersão temporal causada pela largura da mother wavelet seria idêntica para os dois casos. A explicação para esta observação parece estar no fato de que o cálculo do índice Dst considera valores futuros das medições dos observatórios que entram no cálculo (isto se traduz, na prática, em que os valores definitivos do índice Dst são só publicados dois anos após o seu cálculo inicial). Por outro lado, os dados de VSS, ou a sua resultante após a filtragem, não utilizam dados futuros. Estas últimas observações apontam para o fato de que as medições puras do observatório de VSS (ou de qualquer outro observatório) devem ter maior utilidade real quando se procuram metodologias que permitam a predição de grandes perturbações, ou tempestades geomagnéticas: elas não tiram nenhuma informação do futuro que pretendemos predizer.

36 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DOS DADOS 31 Figura 4.1: a) Dados do Observatório Magnético de Vassouras para o período de março de 1998 após filtragem apropriada (ver texto); b) Transformada wavelet dos dados em a); c) Espectro wavelet ( energia ) em função da freqüência correspondente à transformada em b); d) Energia total envolvida em função do tempo da transformada em b). Figura 4.2: a) Valores do índice Dst(nT) para o período para o período de março de 1998; b) Transformada wavelet dos dados em a); c) Espectro wavelet ( energia ) em função da freqüência correspondente à transformada em b); d) Energia total envolvida em função do tempo transformada em b).

37 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DOS DADOS 32 Figura 4.3: a) Dados do Observatório Magnético de Vassouras para o período de setembro de 1999 após filtragem apropriada (ver texto); b) Transformada wavelet dos dados em a); c) Espectro wavelet ( energia ) em função da freqüência correspondente à transformada em b); d) Energia total envolvida em função do tempo transformada em b). Figura 4.4: a) Valores do índice Dst(nt) para o período de setembro de 1999; b) Transformada wavelet dos dados em a); c) Espectro wavelet ( energia ) em função da freqüência correspondente à transformada em b); d) Energia total envolvida em função do tempo transformada em b).

38 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DOS DADOS 33 Figura 4.5: a) Dados do Observatório Magnético de Vassouras para o período de fevereiro de 2000 após filtragem apropriada (ver texto); b) Transformada wavelet dos dados em a); c) Espectro wavelet ( energia ) em função da freqüência correspondente à transformada em b); d) Energia total envolvida em função do tempo transformada em b). Figura 4.6: a) Valores do índice Dst(nT) para o período de fevereiro de 2000; b) Transformada wavelet dos dados em a); c) Espectro wavelet ( energia ) em função da freqüência correspondente à transformada em b); d) Energia total envolvida em função do tempo transformada em b).

39 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DOS DADOS 34 Figura 4.7: a) Dados do Observatório Magnético de Vassouras para o período de agosto de 2000 após filtragem apropriada (ver texto); b) Transformada wavelet dos dados em a); c) Espectro wavelet ( energia ) em função da freqüência correspondente à transformada em b); d) Energia total envolvida em função do tempo transformada em b). Figura 4.8: a) Valores do índice Dst(nT) para o período de agosto de 2000; b) Transformada wavelet dos dados em a); c) Espectro wavelet ( energia ) em função da freqüência correspondente à transformada em b); d) Energia total envolvida em função do tempo transformada em b).

40 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DOS DADOS 35 Figura 4.9: a) Dados do Observatório Magnético de Vassouras para o período de março e abril de 2001 após filtragem apropriada (ver texto); b) Transformada wavelet dos dados em a); c) Espectro wavelet ( energia ) em função da freqüência correspondente à transformada em b); d) Energia total envolvida em função do tempo transformada em b). Figura 4.10: a) Valores do índice Dst(nT) para o período março e abril de 2001; b) Transformada wavelet dos dados em a); c) Espectro wavelet ( energia ) em função da freqüência correspondente à transformada em b); d) Energia total envolvida em função do tempo transformada em b).

41 CAPÍTULO 4. ANÁLISE DOS DADOS 36 Figura 4.11: a) Dados do Observatório Magnético de Vassouras para o período de novembro de 2001 após filtragem apropriada (ver texto); b) Transformada wavelet dos dados em a); c) Espectro wavelet ( energia ) em função da freqüência correspondente à transformada em b); d) Energia total envolvida em função do tempo transformada em b). Figura 4.12: a) Valores do índice Dst(nT) para o período de novembro de 2001; b) Transformada wavelet dos dados em a); c) Espectro wavelet ( energia ) em função da freqüência correspondente à transformada em b); d) Energia total envolvida em função do tempo transformada em b).

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