Uma memória é uma função total de identificadores para valores inteiros: se x=y

Transcrição

1 Semântica denotacional é um estilo de semântica que visa dar modelos matemáticos para linguagens de programação (por isso ela também é chamada semântica matemática). Significados de programas são definidos como sendo elementos de alguma estrutura matemática apropriada. Um comando de IMP, por exemplo, dado um estado inicial, produz um estado final, ou não termina. Podemos então dizer que comandos de IMP denotam funções parciais entre estados que, por sua vez, são representados como funções de identificadores de variáveis para inteiros. Objetos Semânticos. Num primeiro momento é suficiente assumir que as estruturas matemáticas apropriadas para a semântica denotacional de IMP são simplesmente conjuntos. Representação da memória (1) Uma memória é uma função total de identificadores para valores inteiros: Σ Ident Z σ, σ, σ 1, σ 2... Ident Z σ[x n] é o mesmo que σ, exceto que mapeia x para n Notação: σ[x n](y) = n σ(y) se x=y caso contrário Um estado (ou uma memória) é um mapeamento pertencente ao conjunto de funções Ident Z e vamos assumir que essas funções são totais, ou seja que todo identificador possui um valor inteiro associado a ele na memória. Por conveniência, de agora em diante vamos nos referir ao conjunto Ident Z pelo nome Σ e usamos σ, σ... como meta-variáveis para elementos de Σ. Portanto, para IMP temos: Objetos Semânticos para IMP (2) Os significados de elementos de Aexp? funções totais pertencentes a Σ Z Os significados de elementos de Bexp? funções totais pertencentes a Σ B onde B = verdadeiro, falso} sourcefile 5 Rev: revision, 16 de Junho de 2014

2 Os significados de elementos de Com? funções parciais pertencentes a Σ Σ Exercício 1.1 Explique porque os significados de expressões aritméticas da linguagem IMP são (i) funções pertencentes a Σ Z e não simplesmente elementos de Z e (ii) porque são funções totais Exercício 1.2 Explique porque os significados de expressões booleans da linguagem IMP são (i) funções pertencentes a Σ B e não simplesmente elementos de B e (ii) porque são funções totais. Exercício 1.3 Explique porque os significados de comandos da linguagem IMP são funções pertencentes a Σ Σ e (ii) porque são funções parciais. Exercício 1.4 Como podemos transformar as funções que são significados de comandos da linguagem IMP em funções totais pertencentes a Σ Σ Funções auxiliares. As seguintes funções serão usadas na definição da semântica denotacional de IMP: +,,, =,,, e. Observe, que esses símbolos são sobrecarregados. O contexto de uso dirá se eles são operadores (sintáticos) da linguagem IMP ou se são os nomes das funções matemáticas. Funções Semânticas Funções semânticas definem o mapeamento entre a sintaxe é a semântica. Em geral, temos uma função semântica para cada categoria sintática. Os nomes das funções semânticas são tradicionais em semântica denotacional. Funções Semânticas (3) A semântica denotacional de IMP é dada através de três funções semânticas Para a Aexp, b Bexp e c Com temos: E, para σ Σ: A[[ ]] Aexp (Σ Z) B[[ ]] Bexp (Σ B) C[[ ]] Com (Σ Σ) A[[a]] Σ Z B[[b]] Σ B C[[c]] Σ Σ A[[a]]σ Z B[[b]]σ B C[[c]]σ Σ caso C[[c]]σ for definido 6

3 1.1 Tentativa de definição atráves da formulação de propriedades 1.1 Tentativa de definição atráves da formulação de propriedades Equações Semânticas A definição das funções semânticas, e portanto a definição do significado matemático de construções de IMP, consiste de um conjunto de equações semânticas. Definições (4) As equações semânticas podem ser escritas na forma ou, usando a notação lambda, na forma A[[a]]σ =... B[[b]]σ =... C[[c]]σ =... A[[a]] = λσ Σ.... B[[b]] = λσ Σ.... C[[c]] = λσ Σ.... Tanto A[[a]]σ =... como A[[a]] = λσ Σ.... possuem a mesma leitura: a denotação da expressão a é a função que, dada uma memória σ... a denotação da expressão b é a função que, dada uma memória σ... a denotação do comando c é a função que, dada uma memória σ... Equações Semânticas para Expressões Aritméticas (5) O significado de uma expressão aritmética é uma função em Σ Z definida como segue: A[[n]]σ = n (EqN) A[[x]]σ = σ(x) (EqId) A[[a 1 +a 2 ]]σ = A[[a 1 ]]σ + A[[a 2 ]]σ A[[a 1 -a 2 ]]σ = A[[a 1 ]]σ A[[a 2 ]]σ A[[a 1 *a 2 ]]σ = A[[a 1 ]]σ A[[a 2 ]]σ (Eq+) (Eq-) (Eq*) Exercício: A[[x + (5 * 4)]]σ = A[[x]]σ + A[[5 4] σ (Eq+) = σ(x) + A[[5 4] σ (EqId) = σ(x) + A[[5] σ A[[4] σ (Eq ) = σ(x) + (5 4) (EqN, EqN) = σ(x) + 20 Note que a definição do significado de expressões booleanas faz uso da função de atribuição de significado para expressões aritméticas: 7

4 Equações Semânticas para Expressões Boolenas (6) B[[t]]σ = t (EqB) B[[a 1 =a 2 ]]σ = A[[a 1 ]]σ = A[[a 2 ]]σ (Eq=) B[[a 1 <a 2 ]]σ = A[[a 1 ]]σ < A[[a 2 ]]σ (Eq<) B[[ b]]σ = B[[b]]σ (EqNeg) B[[b 1 b 2 ]]σ = B[[b 1 ]]σ B[[b 2 ]]σ (EqAnd) B[[b 1 b 2 ]]σ = B[[b 1 ]]σ B[[b 2 ]]σ (EqOr) Segue abaixo a definição da denotação de comandos. O significado do comando while exige cuidados e será visto mais adiante: Equações Semânticas para Comandos (7) O significado de um comando é uma função em Σ Σ definida como segue C[[skip]]σ = σ (EqSkp) C[[x:=a]]σ = σ[x A[[a]]σ] (EqAtr) C[[c 1 ;c 2 ]]σ = C[[c 2 ]](C[[c 1 ]]σ) (EqSeq) C[[if b then c 1 else c 2 ]]σ = se B[[b]]σ então C[[c 1 ]]σ senão C[[c 2 ]]σ (EqIf) C[[while b do c]] =... (EqWh) Segue abaixo um exemplo no qual é calculado o significado matemático de um comando utilizando as equações acima: 8

5 1.1 Tentativa de definição atráves da formulação de propriedades Exemplo (8) C[[x:=1;(skip;y:=2)]]σ = C[[skip;y:=2]] (C[[x:=1]]σ) (EqSeq) = C[[skip;y:=2]] σ[x A[[1]]σ] (EqAtr) = C[[skip;y:=2]] σ[x 1] (EqN) = C[[y:=2]] (C[[skip]]σ[x 1]) (EqSeq) = C[[y:=2]] σ[x 1] (EqSkp) = σ[x 1][y A[[2]]σ[x 1]] (EqAtr) = σ[x 1][y 2] (EqN) Semântica com funções totais. O tratamento formal fica mais simples se lidar somente com funções totais. Podemos adicionar o elemento (lido bottom, ou indefinido ) ao conjunto Σ para representar indefinição. Escrevemos Σ para nomear o conjunto Σ }. Ao invés de dizermos que os significados de comandos pertencem ao conjunto de funções parciais de Σ para Σ dizemos que pertencem ao conjunto de funções totais de Σ para Σ. E, finalmente, como o comando c 1 em c 1 ;c 2 pode não terminar, dizemos que os significados de comandos pertencem ao conjunto de funções totais Σ Σ. Essas funções são estritas, ou seja se aplicadas a produzem. Σ = Σ } representa a indefinição Lifting - trabalhando com funções totais (9) C[[c]] é agora função total em Σ Σ Exemplo : C[[(while true do c); c 2 ]]σ = C[[c 2 ]](C[[while true do c]]σ) = C[[c 2 ]] = Significado do Comando while Como fica a equação para o comando while? Podemos começar lembrando que o significado do comando while b do c é equivalente ao significado do comando Logo if b then (c;while b do c) else skip. 9

6 Significado do comando while? (10) C[[while b do c]]σ = C[[if b then (c;while b do c) else skip]]σ = se B[[b]]σ então C[[c;while b do c]]σ senão C[[skip]]σ (EqIf ) = se B[[b]]σ então C[[while b do c]](c[[c]]σ) senão C[[skip]]σ (EqSeq) = se B[[b]]σ então C[[while b do c]](c[[c]]σ) senão σ (EqSkp) Ou seja: [[while b do c]]σ = se [[b]]σ então [[while b do c]]([[c]]σ) senão σ ou, usando W para [[while b do c]]: W σ = se [[b]]σ se W([[c]]σ) senão σ Contudo a equação C[[while b do c]]σ = se B[[b]]σ então C[[while b do c]](c[[c]]σ) senão σ (EqWhV1 ) não é suficiente para definir o significado de comandos while, e a razão é simples: ao contrário das demais equações para a linguagem que definem explicitamente uma única função de Σ Σ dado um comando está equação (como veremos nos exercícios abaixo), dado um comando while específico, pode ter várias soluções. O significado do comando é, com certeza, uma dessas soluções, mas a equação acima, por si só, não indica qual delas. Equações e Definições - Revisão (11) Dado um universo U, uma equação define um elemento de U quando ela possui solução em U, e a solução é única Se uma equação possui mais de uma solução, ela não define um elemento de U Uma propriedade adicional pode ser adotada para apontar uma das soluções como sendo o elemento definido Exemplos: Equações e Definições - Revisão (12) x = x + 1 não possui solução, seja lá qual for o universo 10

7 1.1 Tentativa de definição atráves da formulação de propriedades x = 3x 4 possui o natural 2 como uma única solução em N, logo essa equação define x como sendo o natural 2 2x 2 = 8 possui duas soluções em R: 2 e 2, logo ela por si só não define nenhum número real Exercício 1.5 Considere o comando while x 0 do x:=x-2 Obtenha a equação associada a esse comando No que segue W [[while (x 0) do x := x 2]]: Wσ = se [[x 0]]σ então W([[x := x 2]]σ) senão σ (EqWhV1) = se [[x]]σ [[0]]σ então W([[x := x 2]]σ) senão σ (EqDif) = se σ(x) [[0]]σ então W([[x := x 2]]σ) senão σ (EqId) = se σ(x) 0 então W([[x := x 2]]σ) senão σ (EqN) = se σ(x) 0 então W(σ[x [[x 2]]σ]) senão σ (EqAtr) = se σ(x) 0 então W(σ[x [[x]]σ [[2]]σ]) senão σ (EqSub) = se σ(x) 0 então W(σ[x σ(x) [[2]]σ]) senão σ (EqId) = se σ(x) 0 então W(σ[x σ(x) 2]) senão σ (EqN) Usando σ σ[x σ(x) 2] a equação fica: Wσ = se σ(x) 0 então Wσ senão σ Verifique se as funções g 1 e g 2 definidas abaixo são soluções dessa equação: g 1 σ = g 2 σ = onde σ 1 e σ 2 podem ser estados quaisquer ou σ[x 0] se σ(x) é par e σ(x) 0 caso contrário σ[x 0] se σ(x) é par e σ(x) 0 σ 1 se σ(x) é par e σ(x) < 0 se σ(x) é ímpar σ 2 Verificação se g 1 é solução da equação acima: 11

8 g 1 σ = se σ(x) 0 então g 1 σ senão σ = se σ(x) 0 então (se par(σ (x)) σ (x) 0 então σ [x 0] senão ) senão σ = se σ(x) 0 então (se par(σ(x) 2) σ (x) 0 então σ [x 0] senão ) senão σ = se σ(x) 0 então (se par(σ(x)) σ (x) 2 então σ [x 0] senão ) senão σ = se σ(x) 0 então (se par(σ(x)) σ(x) 2 0 então σ[x 0] senão ) senão σ = se σ(x) 0 então (se par(σ(x)) σ(x) 2 então σ[x 0] senão ) senão σ = se σ(x) 0 então (se par(σ(x)) σ(x) 2 então σ[x 0] senão ) senão σ[x 0] = se par(σ(x)) σ(x) 0 então σ[x 0] senão = g 1 σ Verificação se g 2 é solução da equação acima: g 2 σ = se σ(x) 0 então g 2 σ senão σ = se σ(x) 0 entao (se par(σ (x)) σ (x) 0 entao σ [x 0] senao se par(σ (x)) σ (x) < 0 entao σ 2 senao σ 3 ) senao σ = se σ(x) 0 entao (se par(σ(x)) σ(x) 2 entao σ[x 0] senao se par(σ(x)) σ(x) < 2 entao σ 2 senao σ 3 ) senao σ[x 0] = se par(σ(x)) σ(x) 0 entao σ[x 0] senao se par(σ(x)) σ(x) < 0 entao σ 2 senao σ 3 ) = g 2 σ Qual das duas funções, g 1 ou g 2 deve ser o significado do comando while acima? Exercício 1.6 Considere o comando while true do skip. Escreva a equação associada ao comando e explique por que todas as funções em Σ Σ são soluções para esta equação. Qual dessas funções é o significado deste comando? Exercício 1.7 Considere o comando while (x=0) do skip. Escreva a equação correspondente ao comando while acima; 12

9 1.2 Voltando a tentativa de definição pela formulação de propriedades Verifique se as funções g 1 e g 2 abaixo são soluções desta equação se σ(x) 0 g 1 σ = σ se σ(x) = 0 σ 3 se σ(x) 0 g 2 σ = σ se σ(x) = 0 Qual dessas funções é o significado do comando? Certifique-se de que a função g definida abaixo não é solução da equação acima gσ = para todo σ Σ Exercício 1.8 Considere o comando while (x=0) do x:=x-1. Escreva a equação associada a esse comando. Verifique se funções definidas abaixo são soluções dessa equação: g 1 σ = para todo σ Σ σ[x 0] se σx 0 g 2 σ = se σx < 0 σ[x 0] se σx 0 g 3 σ = σ se σx < 0 g 4 σ = σ[x 0] g 5 σ = σ para todo σ Σ para todo σ Σ Qual dessa funções é o significado do comando while acima? 1.2 Voltando a tentativa de definição pela formulação de propriedades Observe, pelos exercícios da seção 1.1, que há uma relação de ordem entre as soluções de uma equação baseada na quantidade de informação que cada uma expressa. Formalmente podemos definir essa relação de ordem da seguinte maneira: Definição de menor (13) Considere o seguinte relação ordem entre funções deσ Σ : f g σ fσ = fσ = gσ (1.1) Nessa ordem uma função com menos informação é dita menor. 13

10 ou seja, quando f é definida, g também é definida e produz o mesmo resultado do que f. Em todos exemplos acima, a solução correspondente ao significado do comando sempre foi a menor solução (dada a relação de ordem acima). Formulamos então a seguinte hipótese: Hipótese - o significado é a menor solução (14) o significado de um comando while é a menor solução da equação C[[while b do c]]σ = se B[[b]]σ então C[[while b do c]](c[[c]]σ) senão σ Exercício 1.9 Ordene as soluções das equações dos exercícios anteiores utilizando a definição de ordem dada acima. 1.3 Equações de Ponto Fixo Até agora, usando somente a nossa intuição e alguns exemplos, levantamos a hipótese de que o significado de comando while deve ser a menor solução da equação para o comando while associada associada. Mas como obter/calcular essa menor solução? Para começar vai ser necessário colocar a equação (EqWhV1) no formato geral de equação de ponto fixo. Equações de ponto fixo são aquelas que podem ser colocadas no seguinte formato geral x = f(x). Uma solução para uma equação de ponto fixo x = f(x) é dita ponto fixo de f. A equação Equação no formato de equação de ponto fixo (15) C[[while b do c]]σ = se B[[b]]σ então C[[while b do c]](c[[c]]σ) senão σ no formato geral de equação de ponto fixo, fica: [while b do c] = F ([while b do c]) onde F (Σ Σ ) (Σ Σ ) é definido como: F g = λσ Σ. se [[b]σ então g([c]σ) senão σ Sendo assim a nossa hipótese a cerca do significado de qualquer comando while pode ser reescrita nas seguintes formas equivalentes: Hipótese - o significado é a menor solução (II) (16) O significado de um comando while é a menor solução da equação abaixo, ou ainda O significado de um comando while é o menor ponto fixo de F da equação abaixo 14

11 1.4 Calculando menor ponto fixo [while b c] = F ([while b c]) onde: F (Σ Σ ) (Σ Σ ) é definido como: F g = λσ Σ. se [[b]σ então g([c]σ) senão σ Outra forma equivalente de formular a nossa hipótese faz uso da seguinte notação empregada para se referir ao menor ponto fixo de F : fix F ou ainda, µ F [while b c] = fix F Hipótese (III) (17) onde: F (Σ Σ ) (Σ Σ ) é definido como: F g = λσ Σ. se [[b]σ então g([c]σ) senão σ Exercício 1.10 Reescreva as equações dos comandos while dos exemplos/exercícios das seções anteriores colocando-as no formato geral de equação de ponto fixo. 1.4 Calculando menor ponto fixo Para obter o menor ponto fixo de F começamos aplicando F a função totalmente indefinida de Σ Σ e assim aplicamos F sucessivamente a cada resultado obtido anteriormente. A idéia é que, acada aplicação de F obtemos uma função de Σ Σ com mais informação e, eventualmente, obtemos uma função que é ponto fixo de F (ou seja que é o significado do comando while). Exemplo 1 (18) Considere while x 0 do x:=x-2. O funcional F associado a esse comando é: F g = λσ Σ. se σ(x) 0 então gσ[x σ(x) 2] senão σ Usando σ no lugar de σ[x σ(x) 2] temos: F g = λσ Σ. se σ(x) 0 então gσ senão σ Calculando F 0 ( ), F 1 ( ), F 2 ( ),...: Exemplo 1 (19) 15

12 F 0 ( ) = def F 1 ( ) = F ( ) = λσ Σ. se σ(x) 0 então (σ ) senão σ = λ.σ Σ. se σ(x) 0 então Σ senão σ[x 0] = λ.σ Σ. se σ(x) = 0 então σ[x 0] senão Σ F 2 ( ) = F (F 1 ( )) = λσ Σ. se σ(x) 0 então (F 1 )σ senão σ = λσ Σ. se σ(x) 0 então (se σ (x) = 0 então σ [x 0] senão Σ ) senão σ = λσ Σ. se σ(x) 0 então (se σ(x) = 2 então σ[x 0] senão Σ ) senão σ = λσ Σ. se σ(x) = 0 σ(x) = 2 então σ[x 0] senão Σ F 3 ( ) = F (F 2 ( )) =... = λσ Σ. se σ(x) = 0 σ(x) = 2 σ(x) = 4 então σ[x 0] senão Σ... Exemplo 1 (20) Com cada aplicação de F a informação cresce e temos a seguinte cadeia: F 0 ( ) F 1 ( ) F 2 ( ) F 3 ( ) Intuitivamente, no limite da cadeia acima temos σ[x 0] se par(σ(x)) x 0 g = λσ Σ. caso contrário representa a função que é ponto fixo de F (verifique isso) corresponde ao significado do comando while Exemplo 2 (21) 16

13 1.4 Calculando menor ponto fixo Considere while x>0 do x:=x-1. O funcional F associado a esse comando é o seguinte: F g = λσ Σ. se σ(x) > 0 então gσ[x σ(x) 1] senão σ Usando σ para σ[x σ(x) 1] temos: F g = λσ Σ. se σ(x) > 0 então gσ senão σ Exemplo 2 (22) F 0 ( ) = def F 1 ( ) = F ( ) = λσ Σ. se σ(x) > 0 então σ senão σ = λ.σ Σ. se σ(x) > 0 então Σ senão σ F 2 ( ) = F (F 1 ( )) = λσ Σ. se σ(x) > 0 então (F 1 )σ senão σ... σ se σ(x) 0 = λσ Σ. σ[x 0] se σ(x) = 1 Σ se σ(x) > 1 σ se σ(x) 0 F 3 ( ) = F (F 2 ( )) = = λσ Σ. σ[x 0] se σ(x) = 1 σ(x) = 2 Σ se σ(x) > 2 σ se σ(x) 0 F 4 ( ) = F (F 3 ( )) = = λσ Σ. σ[x 0] se σ(x) = 1 σ(x) = 2 σ(x) = 3 Σ se σ(x) > 3 Exemplo 2 (23) Com cada aplicação de F a informação cresce: F 0 ( ) F 1 ( ) F 2 ( ) F 3 ( ) 17

14 Intuitivamente, no limite da cadeia acima, temos a seguinte função: σ se σ(x) 0 λσ Σ. σ[x 0] se σ(x) > 0 representa a função que é ponto fixo de F (verifique isso) corresponde ao significado do comando while Exemplo 3 (24) Considere o comando while x>0 do skip. O funcional F associado a esse comando é o seguinte Calculando F 0 ( ), F 1 ( ), F 2 ( ),... F g = λσ Σ. se σx > 0 então gσ senão σ F 0 ( ) = def F 1 ( ) = F ( ) = λσ Σ. se σ(x) > 0 então (σ) senão σ = λσ Σ. se σ(x) > 0 então Σ senão σ F 2 ( ) = F (F 1 ( )) = λσ Σ. se σ(x) > 0 então (F 1 ( ))(σ) senão σ = λσ Σ. se σ(x) > 0 então (se σ(x) > 0 então Σ senão σ) senão σ = λσ Σ. se σ(x) > 0 então Σ senão σ F 3 ( ) = F (F 2 ( )) =... = λσ Σ. se σ(x) > 0 então Σ senão σ F 4 ( ) = F (F 3 ( )) =... = λσ Σ. se σ(x) > 0 então Σ senão σ... 18

15 1.4 Calculando menor ponto fixo Exemplo 3 - continuação (25) Neste caso obtemos um ponto fixo para F já na terceira aplicação. Observe que a função λσ Σ. se σ(x) > 0 então Σ senão σ obtida dessa forma : é o menor dentre os pontos fixos de F corresponde ao significado do comando while x>0 do skip Tendo em vista os exemplos anteriores podemos refinar a nossa hipótese sobre o significado do comando while para C[[while b do c]] = limite superior de cadeia F 0 ( ) F 1 ( ) F 2 ( ) F 3 ( ) Observação: os termos limite superior e cadeia serão precisamente definidos mais adiante. Veremos também que uma cadeia pode ter mais do que um limite superior e que estamos interessados no menor limite superior. Logo C[[while b do c]] = menor limite superior de cadeia F 0 ( ) F 1 ( ) F 2 ( ) F 3 ( ) De agora em diante vamos escrever F n ( ) n 0 para menor limite superior de cadeia F 0 ( ) F 1 ( ) F 2 ( ) F 3 ( ). reescrevemos a hipótese acima para Assim C[[while b do c]] = F n ( ) n 0 Exercício 1.11 Calcule o significado dos seguintes comandos: while x 0 do x:= x - 1 while (x = 0) do x:=x - 1 while true do skip 19