E = ΔV Δx. (1) E uma partícula de carga q movendo-se em um campo elétrico E (unidimensional) sofre uma força F dada por: f = qe.

Transcrição

1 Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque Eletrodifusão e Até o mometo, cosideramos apeas o trasporte de solutos eutros (sem carga elétrica) através de membraas. Nesta aula, vamos estudar o trasporte de um soluto carregado (ío) por uma membraa. Se as partículas que se difudem através da membraa tiverem carga elétrica e estiverem sob o efeito de um campo elétrico, haverá trasporte de partículas provocado por dois mecaismos físicos diferetes: Difusão, devido à existêcia de um gradiete de cocetração de partículas etre os dois lados da membraa celular; e Arrasto, devido à existêcia de um gradiete de potecial elétrico etre os dois lados da membraa celular. Lembrado das aulas de eletricidade e magetismo, um gradiete de potecial elétrico está associado a um campo elétrico pela relação (em uma dimesão): E = ΔV Δx. (1) E uma partícula de carga q movedo-se em um campo elétrico E (uidimesioal) sofre uma força F dada por: f = qe. (2) Esta força elétrica é a força de arrasto atuado sobre as partículas. 1

2 Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque Como há dois mecaismos de trasporte de partículas carregadas através de uma membraa celular (difusão e arrasto), podemos escrever as expressões correspodetes aos fluxos de partículas por esses dois mecaismos. O fluxo por difusão é descrito pela lei de Fick (equação 1 da aula sobre difusão): φ D = D Δc Δx, (3) ode c é a cocetração de partículas (que tem valores diferetes dos dois lados da membraa) e D é o coeficiete de difusão. Note que o sub-ídice D foi usado em φ D para idicar explicitamete que este é o fluxo por difusão. Segudo a teoria do movimeto browiao, o coeficiete de difusão D pode ser escrito como (equação 4 da aula sobre difusão): D = l 2 2τ, (4) ode l é o livre camiho médio etre duas colisões moleculares e τ é o tempo médio etre duas colisões. Já o fluxo devido ao arrasto provocado pelo campo elétrico pode ser escrito como (dedução ão mostrada aqui): ode: φ a = cv = ucf, (5) 2

3 Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque v = velocidade de arrasto de um mol de partículas; f = força elétrica por mol de partículas; u = mobilidade mecâica molar (u = v/f). Note o uso do sub-ídice a em φ a para idicar explicitamete que este é o fluxo por arrasto. Vamos cosiderar que as partículas são íos (portato, com carga) de valêcia z e que a força f é causada por um campo elétrico com itesidade E = ΔV Δx, ode V é o potecial elétrico. Etão, a força elétrica sobre um mol de partículas é ode q é a carga de um mol de partículas. f = qe, (6) A carga de um mol de partículas pode ser escrita em termos da costate de Faraday F. A costate de Faraday é defiida como a carga de um mol de partículas moovaletes (z = 1). A carga de uma partícula moovalete é a carga elétrica fudametal e: e = 1, C. 3

4 Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque O úmero de partículas em um mol é o úmero de Avogadro: N A = 6, mol 1. Portato, o valor de F é: F N A e = 9, C/mol. A carga de um mol de partículas de valêcia z qualquer é etão, q = zf, (7) de maeira que a força elétrica sobre um mol de partículas pode ser escrita como: f = qe = zfe = zf ΔV Δx. (8) Combiado as equações (5) e (8): Esta equação é chamada de lei de Plack. φ a = uczf ΔV Δx. (13) Max Plack ( ) foi um físico alemão, um dos pais da física quâtica. 4

5 Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque A lei de Plack descreve o fluxo de partículas carregadas sob a ação de um campo elétrico em um meio viscoso (ote que as partículas ão estão se movimetado o vácuo, mas sofrem colisões com as partículas do meio). Ela implica que o movimeto de cargas elétricas positivas (z > 0) ocorre o setido cotrário ao do gradiete do potecial elétrico V(x). Já as partículas com carga elétrica egativa (z < 0) se movem o setido do gradiete do potecial elétrico V(x). Combiado as equações (3) e (13), obtemos a equação que descreve o fluxo de partículas da espécie iôica sob ação dos mecaismos de difusão e de arrasto: Δc φ = D (x,t) u z Fc (x,t) ΔV(x,t)! #" Δx ## $!###" Δx $ difusão arrasto ####. (14) Note que as uidades do fluxo escrito acima são úmero de moles por uidade de área por uidade de tempo. Se multiplicarmos o fluxo φ pela carga de um mol de partículas da espécie, teremos uma gradeza cujas uidades serão carga elétrica por uidade de área por uidade de tempo. No SI, essa gradeza tem uidades de C/m 2.s (coulombs por metro quadrado por segudo). A correte elétrica I em um dado poto do espaço é defiida como a carga elétrica que passa por esse poto do espaço dividida pela uidade de tempo. 5

6 Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque No SI, a uidade de I é o ampère (A): 1 A 1 C/s. Portato, as uidades de fluxo iôico são as de correte elétrica por uidade de área. No SI, C/m 2.s = A/m 2. Estas são as uidades de desidade de correte (deotada por J): J = I A, (15) ode A é a área da superfície perpedicular à direção do fluxo de correte I. Voltado à equação (14), multiplicado o fluxo iôico φ pela carga de um mol de íos da espécie (z F) teremos a desidade de correte dos íos da espécie : J (x,t) = z Fφ (x,t). (16) De forma explícita: # Δc J (x,t) = z F D (x,t) % $ Δx + u z Fc (x,t) ΔV(x,t) Δx & (. (17) ' Esta é a chamada equação de Nerst-Plack. Ela é a base teórica para a descrição do fluxo iôico através de membraas celulares em decorrêcia do efeito combiado dos gradietes de cocetração e de potecial elétrico. Walther Nerst ( ) foi um físico alemão, um dos pioeiros da físicoquímica mudial. 6

7 O sial egativo idica que: Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque a) Íos positivos (z > 0): a correte elétrica apota a direção oposta dos gradietes de cocetração e de potecial elétrico. Neste caso a correte elétrica coicide com a direção do fluxo dos íos. b) Íos egativos (z < 0): a correte elétrica apota a direção do gradiete de cocetração e a direção oposta do gradiete de potecial elétrico (ote que o segudo termo etre parêteses é multiplicado por z ). Como este caso a direção da correte elétrica é cotrária à do fluxo de íos (pois os íos são egativos), o movimeto dos íos vai a direção oposta à do gradiete de cocetração, mas a mesma direção do gradiete de potecial. Esta equação pode ser reescrita usado-se a chamada relação de Eistei (obtida da teoria para o movimeto browiao desevolvida por Eistei em 1905): D = urt, (18) ode D é o coeficiete de difusão, R é a costate uiversal dos gases (= 8,314 J/mol.K), T á a temperatura absoluta e u é a mobilidade mecâica molar (equação 11 da aula 13). Usado a relação de Eistei a equação de Nerst-Plack fica escrita como: # J (x,t) = u z F% RT Δc (x,t) $ Δx + z Fc (x,t) ΔV(x,t) Δx & ( '. (19) 7

8 Eletrodifusão o Equilíbrio Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque Uma situação importate que pode ser estudada com o auxílio da equação de Nerst-Plack é aquela em que o fluxo dos íos da espécie é zero, ou seja, a situação em que há equilíbrio eletrodifusivo do fluxo dos íos da espécie. Fazedo J = 0 a equação (1) obtemos a codição, " u z F$ RT Δc (x,t) # Δx + z Fc (x,t) ΔV(x,t) Δx % ' = 0 &. (12) Existem várias maeiras de satisfazer esta codição. Três delas são triviais: (1) se u = 0, ou seja, se as partículas da -ésima espécie iôica estiverem fixas, com mobilidade zero; (2) se z = 0, ou seja, se as partículas ão tiverem carga, de maeira que mesmo que haja difusão de partículas ão exista eletrodifusão; e (3) se c = 0, que é o caso quado ão há partículas da -ésima espécie iôica. Quado ehuma dessas codições triviais existe, o equilíbrio só é possível quado, RT dc (x,t) dx + z Fc (x,t) dv(x,t) dx ode passamos a deotar as derivadas usado a otação usual. = 0, (13) Separado as variáveis, obtemos 8

9 Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque 1 c ( x) dc( x) dx zf dv ( x) =. (14) RT dx Itegrado esta equação etre x 0 (o poto de referêcia para o potecial) e x obtemos: c ( x) zf l = 0 c ( x0 ) RT ( V ( x ) V ( x) ). (15) Resolvedo esta equação para c (x), obtemos a distribuição espacial de partículas da -ésima espécie iôica o equilíbrio, c ( x) ( V ( x) V ( x0 )) RT = c ( x ) e. (16) 0 z F Esta equação os diz que, se ão houver difereça de potecial etre os dois potos, x e x 0, e/ou se z = 0, a cocetração da espécie iôica é uiforme o espaço. Equilíbrio e o Vamos cosiderar agora que o processo de eletrodifusão ocorre através de uma membraa. 9

10 Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque Vamos supor que a membraa separa os lados itero e extero de uma célula e que esses dois lados cotêm soluções iôicas com cocetrações do ío iguais a, respectivamete, i c e iôica é J. O modelo está ilustrado a figura abaixo. e c. A desidade de correte associada a esta espécie O potecial de membraa será defiido como V m = V ( 0) V ( d), (17) isto é, como o potecial do lado de detro meos o potecial do lado de fora da célula. Vamos cosiderar que o fluxo eletrodifusivo dos íos da espécie iôica através da membraa está em equilíbrio, ou seja, ele é descrito pela equação (15) acima. Idetificado x 0 = 0 e x = d a equação (15), temos: 10

11 Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque c l c ( d) = (0) zf RT ( V (0) V ( d) ). (18) Como esta equação vale apeas para o equilíbrio, vamos chamar a difereça de potecial etre o iterior e o exterior da célula este caso de V m eq : V m eq = V(0) V(d). (19) Portato, a equação (18) os diz que, o equilíbrio, o potecial de membraa da célula é dado por: V eq m RT z F l " c (d) % $ '. # c (0) (20) & Vamos assumir que as iterfaces da membraa com as soluções itera e extera temos a seguite relação, k c (0) c ( d) = =, (21) i c ode k é o coeficiete de partição do ío a iterface etre a membraa e a e i solução. Usado esta relação, temos que ( c ( d) c (0)) = ( c c ), de maeira que a equação (20) pode ser reescrita como: V eq m RT z F l " c e % $ i '. # c. (21) & e c 11

12 Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque Defiido o potecial de Nerst do ío como temos que a equação (21) os dá, E RT z F l " c e % $ i ', # c (22) & E = V m. (23) Portato, quado há equilíbrio o fluxo da espécie iôica, o potecial de membraa deve ser igual ao potecial de Nerst do ío. Por isso, o potecial de Nerst do ío é também chamado de potecial de equilíbrio para a espécie iôica. O potecial de Nerst determia o valor do potecial de membraa para o qual o fluxo líquido dos íos da espécie através da membraa é ulo. Para etedermos como o potecial de equilíbrio de Nerst pode ser gerado, vamos cosiderar uma situação como a mostrada a figura a seguir. 12

13 Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque Imagiemos uma cuba cotedo uma solução eletrolítica separada em dois compartimetos por uma membraa permeável apeas ao ío. Por simplicidade, vamos assumir que o ío tem valêcia positiva. Vamos supor que a cocetração deste ío é maior do lado 2 do que do lado 1. Em t < 0, a membraa está evolvida por uma partição impermeável que ão deixa passar o ío. Em t = 0, retira-se essa partição e a solução dos dois lados fica em cotato com a membraa. Porém, apeas os íos podem fluir pela membraa (existem outras espécies iôicas, que ão podem passar pela membraa, mas que fazem com que a carga líquida dos dois lados da membraa seja ula). Como existem mais íos do tipo do lado 2 da membraa, iicialmete haverá um fluxo iôico difusivo do lado 2 para o lado 1. Já que os íos passado pela membraa têm carga positiva e, em t = 0, as duas soluções estão eutras, este fluxo iicial irá levar a um acúmulo de cargas positivas do lado 1 e deixará um excesso equivalete de cargas egativas do lado 2. 13

14 Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque Como, supostamete, as soluções dos dois lados da membraa são boas codutoras elétricas, esses excessos de carga irão rapidamete se distribuir ao logo dos dois lados da membraa, gerado uma cofiguração como a mostrada a figura para t > 0. A separação de cargas etre os dois lados da membraa gerará um potecial elétrico através dela, com o lado 1 estado a um potecial positivo em relação ao lado 2. Uma vez gerado, esse potecial elétrico irá dificultar o fluxo dos íos positivos do lado 2 para o lado 1. Porém, aida assim cotiuará a haver fluxo líquido de íos do tipo do lado 2 para o 1. Este fluxo só será zero quado o acúmulo da cargas positivas do lado 1 (e o acúmulo equivalete de cargas egativas do lado 2) for tal que o valor do potecial gerado impeça um deslocameto líquido de partículas. Este valor particular do potecial através da membraa é o potecial de Nerst E para o ío. Este exemplo os diz que, para íos de valêcia positiva, como é o caso do exemplo, o potecial de Nerst gerado é tal que o lado com meor cocetração do ío fica a um potecial mais elevado do que o lado com maior cocetração do ío. Por outro lado, para íos de valêcia egativa, o lado com maior cocetração do ío deve ficar a um potecial mais elevado. 14

15 Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque Podemos verificar isto olhado para a tabela abaixo, que dá os valores das cocetrações de algus íos e dos seus respectivos poteciais de Nerst para o axôio gigate da lula, a 20 C. Cosiderado que o valor do potecial é tomado como o valor o iterior da célula meos o valor o exterior, os dados da tabela (os siais dos poteciais) estão cosistetes com a aálise feita acima. Detro (mm) Fora (mm) Potecial de Equilíbrio (Nerst) K mv Na mv Cl a ( 33) mv Ca 2+ 0,4x mv No processo de geração do potecial de equilíbrio para o ío, uma quatidade líquida de íos foi trasferida do lado 2 para o lado 1 da membraa. Podemos estimar o úmero de íos por uidade de área que teve que ser trasferido para gerar um potecial de equilíbrio da ordem do medido para uma célula típica. Note que o acúmulo de carga de um sial de um lado da membraa e de carga do sial oposto do outro lado faz com que a membraa se comporte como um capacitor. 15

16 Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque Se a capacitâcia por uidade de área da membraa for C m e o potecial elétrico de equilíbrio for E, o excesso de carga acumulada a membraa por uidade de área da membraa é Q m = C m E. (24) Um valor típico medido experimetalmete para a capacitâcia por uidade de área de membraas de células é C m 1µF/cm 2. Usado E 100 mv, a equação (24) os dá que Q m 0,1 µc/cm 2. Com este valor, podemos estimar o úmero de moles do ío por uidade de área que se deslocou através da membraa para gerar o potecial E. Lembrado que z F é a carga de um mol de íos da espécie, o úmero de moles do ío por uidade de área deslocado é (supodo que o ío tem valêcia uitária, z = 1, e usado F 10 5 C/mol): N = Q m z F 1 pmol/cm2. Este é um úmero de moles bem pequeo. Um valor típico para a cocetração de uma espécie iôica em solução biológica é c 10 4 mol/cm 3. 16

17 Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque Cosidere um volume cilídrico de solução com área da base uitária (= 1 cm 2 ) e comprimeto l. Supodo que cada seção reta desse cilidro teha desidade de moles do ío por uidade de área igual a 1 pmol/cm 2, o comprimeto l do cilidro deve valer: lc = N l = N c =10 8 cm = 1 Å. Portato, basta que uma pequea pastilha cilídrica de solução, com área de 1 cm 2 e espessura de 1 Å, cotedo íos da espécie seja trasferida de um lado para o outro da membraa para carregá-la de modo a provocar uma difereça de potecial de 100 mv. O potecial de Nerst para o ío pode ser escrito em termos do logaritmo da razão das cocetrações a base 10, de maeira que: RT e e c RT c l = log i. (25) c zf log10 e c V = 10 i zf Substituido esta expressão os valores das costates, R = 8,31 J.K -1.mol -1, F = 9,65 x 10 4 C/mol e T = 273,15 + t c, ode t c é a temperatura em graus cetígrados, temos que, a uma temperatura de 24 º C, RT/F 26 mv e RT/(F log 10 e) 59 mv. Portato, se a razão etre as cocetrações do ío detro e fora da célula for 10, o potecial de equilíbrio de Nerst vale (59/z ) mv. Já se a razão for igual a 100, o potecial de equilíbrio vale (118/z ) mv. 17

18 Biofísica I Turma de Biologia FFCLRP USP Prof. Atôio Roque E se a razão etre as cocetrações for igual a 0,01, o potecial de equilíbrio vale ( 118/z ) mv. Em geral, as razões etre as cocetrações iôicas detro e fora das células estão a faixa etre 0,01 e 100. Portato, os cálculos feitos acima explicam porque, em geral, os valores do potecial de Nerst estão em toro de ±100 mv. 18