ANÁLISE MULTICRITÉRIO COM PREFERÊNCIAS DESCONHECIDAS: UMA APLICAÇÃO DO MÉTODO SMAA-2

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1 ANÁLISE MULTICRITÉRIO COM PREFERÊNCIAS DESCONHECIDAS: UMA APLICAÇÃO DO MÉTODO SMAA-2 Luz Flavo Autran Montero Gomes Ibme/RJ Av. Presdente Wlson 118, Sala 1110, Ro de Janero, RJ Luís Alberto Dunan Rangel UFF - Esola de Engenhara Industral Metalúrga de Volta Redonda, Av. dos Trabalhadores 420, Vla Santa Ceíla, , Volta Redonda, RJ Hdunan@metal.eemvr.uff.brH Resumo As aplações do Apoo Multrtéro à Desão são normalmente dependentes das expltações das preferênas dos desores por alternatvas para ada rtéro, bem omo das avalações, por tas agentes, das mportânas relatvas dos rtéros. Busando-se resolver problemas de avalação e desão multrtéro nos quas essas preferênas, juntamente om tas mportânas relatvas, não estão dsponíves, pesqusadores fnlandeses desenvolveram, na últma déada, a famíla de métodos SMAA, omo SMAA-1, SMAA-D, SMAA-O, SMAA-2, SMAA-3, SMAA-A, SMAA-TRI, Ref-SMAA e SMAA-P. Estes métodos onsstem, em essêna, na formulação de problemas nversos no espaço de pesos, resultando na resolução de ntegras multdmensonas, sendo assm propíos ao tratamento por smulação de Monte Carlo. Neste artgo apresentam-se os prnpas onetos de tal famíla e mostra-se uma aplação numéra de um dos mas mportantes dentre esses métodos, o SMAA-2. Conlu-se pela propredade da aplação dos métodos SMAA dante da supratada nexstêna das nformações e reomenda-se um futuro desenvolvmento de pesqusa. PALAVRAS CHAVE: Desões multrtéro sob desonhemento das preferênas Resolução de ntegras múltplas por smulação Apoo Multrtéro à Desão Abstrat Applatons of Multrtera Deson Adng are normally dependent on preferenes onernng alternatves for eah rteron. They are also dependent on measures of mportane of rtera. Ether suh preferenes or measures are not avalable or are hghly unertan Fnnsh researhers have developed n the last deade a famly of analytal methods named SMAA. Methods belongng to ths famly are SMAA-1, SMAA-D, SMAA-O, SMAA-2, SMAA-3, SMAA-A, SMAA-TRI, Ref-SMAA and SMAA-P. Those onsst n essene n formulatng nverse problems n the weght spae. Those problems lead to solvng multdmensonal ntegrals and an be approahed by Monte Carlo smulaton. In ths artle major onepts of SMAA methods are presented. A numeral applaton example of one of the most mportant among these methods, the SMAA-2 method, s shown. The artle loses by pontng out the approprateness of usng SMAA methods when the above-mentoned lmtatons preval. A future researh development s reommended. KEYWORDS: Multrtera desons under unnown preferenes Resoluton of multple ntegrals by smulaton Dsrete multrtera deson adng 3213

2 1. Introdução A tomada de desão no mundo orporatvo enfrenta desafos ada vez mas omplexos nfluenados por fatores dversos tas omo a dsponbldade de reursos fnaneros, reursos humanos, polítas nternas e externas, varáves ténas e estratégas, dentre outros. A velodade em que desões presam ser tomadas e exeutadas pode resultar em ganhos de vantagem ompettva em alguns momentos, assm omo em perdas sgnfatvas em outros. Este aspeto passa pelo desonhemento a pror de enáros futuros, gerando nsegurança quanto aos resultados orundos da tomada de desão em stuações omplexas e uma neessdade resente de faltar-se o proesso desóro em ambentes de rso e nerteza. Embora o advento de um ampo de onhemento denomnado Apoo Multrtéro à Desão, na segunda metade do séulo passado, tenha enrquedo onsderavelmente o proesso de análse de desão em ambentes omplexos, anda assm as desões sempre se dão em meo ao rso e à nerteza (BELTON & STEWART, 2002; GOMES, ARAYA & CARIGNANO, 2004). Por outro lado, embora exsta uma oferta expressva de métodos analítos para apoo multrtéro à desão, a quase totaldade de tas métodos parte tradonalmente da premssa segundo a qual as preferênas dos agentes de desão são reveladas de uma forma presa ou, alternatvamente, que tas preferênas podem ser tratadas por ténas para modelagem de mpresão e nerteza, tas omo onjuntos nebulosos, onjuntos aproxmatvos, métodos ntervalares ou, anda, a teora de evdêna de Dempster-Shafer (FIGUEIRA, GRECO & EHRGOTT, 2005; SALICONE, 2007). Desta forma, na tentatva de analsar e resolver problemas de tomada de desão em presença de múltplos rtéros, bem omo de gnorâna, mpresão e nerteza, pesqusadores flandeses reentemente desenvolveram uma nova famíla de métodos. Esta famíla denomna-se Análse Multrtéro Estoásta de Aetabldade, ou, sntetamente, SMAA (de Stohast Multrtera Aeptablty Analyss). Os métodos desta famíla tem sdo desenvolvdo para abordar problemas multrtéro de seleção (Pα), ordenamento ou ranng (Pγ), ou lassfação (Pβ). Assm, aetando o desonhemento dos parâmetros do problema, os métodos SMAA tem omo base uma análse nversa do espaço de valores váves desses parâmetros. Por onsegunte, tomando-se omo exemplo um problema de ordenamento, o que um método SMAA orrespondente (no aso, o SMAA-O) faz é, em essêna, alular as probabldades de que as alternatvas tenham determnadas posções no ordenamento desejado. Este artgo apresenta as déas entras dos métodos SMAA, bem omo um exemplo numéro de aplação de um dos mas mportantes dentre esses métodos, o SMAA A Famíla de Métodos SMAA A vsão subjaente aos métodos SMAA onsste em abordar-se o problema de desão de uma forma nversa: ao nvés de busar os valores dos parâmetros e, através de um álulo por um método multrtéro, obter-se uma resposta para tal problema, dentfam-se os valores dos parâmetros do problema que resultam em dferentes resultados (TERVONEN & LAHDELMA, 2007; TERVONEN & FIGUEIRA, 2008). Desta forma, pode-se afrmar que os métodos SMAA tem raízes nos artgos de Charnets (1973) e Charnets & Soland (1978), na medda em que estes autores busaram alular, para ada alternatva, o volume do espaço multdmensonal de pesos que torna ada alternatva a mas preferda dentre todas. Também tem a ver om a proposta de Retveld (1980), depos amplada em Retveld & Ouwersloot (1992); nestas, seus autores apresentaram formulações smlares às daqueles dos prmeros autores, embora para problemas om rtéros ordnas e nformação ordnal sobre preferênas. Fnalmente, pode-se anda afrmar que o trabalho de Bana e Costa (1986) sobre rtéro de ompromsso global é outro preursor dos métodos SMAA, na medda em que esse autor propôs, porém para três rtéros apenas, alular-se a quantdade de onflto entre as preferênas de dferentes desores de modo a defnr-se uma função de densdade de probabldade onjunta para o espaço de pesos. Os métodos da famíla SMAA são, além do SMAA-1 (LAHDELMA, HOKKANEN & SALMINEN, 1998), SMAA-D (LAHDELMA, SALMINEN & HOKKANEN, 1999), SMAA-O (LAHDELMA, MIETTINEN & SALMINEN, 2003), SMAA-2 (LAHDELMA; SALMINEN, 2001), SMAA-3 (LAHDELMA & SALMINEN, 2002), SMAA-A (LAHDELMA, MIETTINEN 3214

3 P (w) segundo P maor & SALMINEN, 2002), Ref-SMAA (LAHDELMA, MIETTINEN & SALMINEN, 2005), SMAA-TRI (TERVONEN et al., 2007), e SMAA-P (LAHDELMA & SALMINEN, 2009). Sejam m alternatvas X = {xb1b,..., xbb,..., xbmb} e n rtéros {gb1b,...,gbjb,...,gbnb}. Por gbj B(xBB) desgna-se a avalação da alternatva xbb o rtéro gbjb. A famíla de métodos SMAA parte da premssa de que a estrutura de preferênas do desor pode ser representada por uma função de utldade (KEENEY & RAIFFA, 1976) de valor real u (xbb,w), assoada às dferentes alternatvas e dependente dos valores dos omponentes do vetor de pesos w W. Consdere-se também que podem haver múltplos desores e ada um destes desores tem uma estrutura de preferênas representada por um vetor de pesos ndvdual w e uma função de utldade de valor real u (xbb,w), om uma forma onsensualmente aeta. A função de utldade lnear, mostrada na Equação (1), é a mas omumente empregada: n u( x, w) = w u ( x ) (1) j= 1 j j j Sendo os supratados pesos dos rtéros valores não-negatvos e normalzados, esreve-se o espaço de pesos vável omo sendo n n W = { w R : w 0 w j} (2) j= 1 A função de utldade total mostrada em (1) é uma função onvexa de funções de utldade paras u j ( x j ), lendo-se os valores dos pesos dos rtéros em uma esala de 0 a 1. Se os valores dos pesos dos rtéros fossem presamente onhedos e um vetor peso úno estabeledo, o problema sera resolvdo trvalmente através do álulo do valor da função de utldade para ada alternatva, esolhendo-se então a alternatva om o maor valor de utldade. No entanto, omo os métodos SMAA foram desenvolvdos justamente para stuações onde os valores dos pesos não são, de um modo geral, onhedos, representa-se esses valores por varáves estoástas ξbj Borrespondentes às avalações determnístasb B(xBB)B BgBj Bom probabldade onjunta de dstrbução presumda ou estmada e uma função de densdade onjunta fbχb(ξ) no mxn espaço χ RP P. Analogamente, pode-se representar as preferênas desonhedas ou paralmente onhedas dos desores por meo de uma dstrbução de pesos om função de densdade onjunta fbwb no espaço vável de pesos W. Faz-se uso da dstrbução unforme de pesos em W quando se desonhee ompletamente nformações sobre os pesos, ou seja: f 1 w ( w) = (3) vol( W ) Na maora das vezes, os valores dos rtéros podem ser tratados omo varáves estoástas ndependentes, uja função de densdade onjunta é expressa por um produtóro, de aordo om a Equação (4): mn f ( ξ ) = f j ( ξj ) (4) j A função de utldade é então usada para mapear os rtéros estoástos, bem omo as dstrbuções de peso, em dstrbuções de utldade u (ξbb,w). Os métodos SMAA permtem assm determnar-se para ada alternatva o onjunto de pesos favoráves WBB(ξ) defndo pela Equação (5): W ( ξ ) = { w W : u( ξ, w) u( ξ, w, 1,..., m)} (5) = Qualquer peso w WBB(ξ) torna a utldade geral de xbb ou gual que a utldade de qualquer outra alternatva. Todas as análses posterores são baseadas nas propredades desses onjuntos. Por meo de smulação de Monte Carlo determna-se um onjunto de índes (ou seja, de meddas) dos métodos SMAA. Quando o número de smulações é sufentemente grande as margens de erro são desprezíves. Dentre os possíves índes, o índe de aetabldade desreve a ontrbução de dferentes avalações a tornar uma dada alternatva a mas preferda dentre 3215

4 de PBB omo om PBB é todas. Calula-se o índe de aetabldade abb uma alternatva omo o volume multdmensonal porém om (n-1) dmensões esperado dos pesos favoráves por meo de uma ntegral multdmensonal sobre as dstrbuções de rtéros e sobre o espaço favorável de peso, omo mostrado na Equação (6): a f ( ξ ) f ( w) dwdξ (6) = x W ( ξ ) O índe de aetabldade pode ser usado para lassfar as alternatvas omo estoastamente efentes (abb» 0) ou nefentes (abb gual a 0 ou próxmo de 0 omo, por exemplo, <0.05). Um índe de aetabldade gual a 0 nda que a alternatva jamas poderá ser onsderada a melhor om o modelo de preferêna adotado, ou seja, om a função de utldade assumda. Por outro lado, para alternatvas estoastamente efentes o índe de aetabldade mede a força da efêna, onsderando-se a gnorâna e a nerteza sobre as medções dos rtéros e sobre as preferênas dos desores. Defne-se anda o vetor entral de pesos wp o entro de gravdade esperado do espaço favorável de pesos. Calula-se então o vetor entral de pesos omo uma ntegral multdmensonal sobre as dstrbuções de rtéros e de pesos, de aordo om a Equação (7): w x f ( ξ ) f ( w) dwdξ (7) a = W ( ξ ) Com a dstrbução de pesos presumda, o vetor entral de pesos representa as preferênas de um desor típo apoando a alternatva xbb o modelo de preferêna adotado. Os pesos entras podem ser apresentados ao desor a fm de ajudá-lo a ompreender omo dferentes pesos podem onduzr a esolhas dferentes. O vetor entral de pesos é, naturalmente, ndefndo para alternatvas nefentes; para estas, onvenona-se que wp nulo. Outras meddas útes são os fatores de onfança, que expressam a probabldade de que uma dada alternatva alane a prmera posção quando se esolhe o vetor entral de pesos. Também se pode alular fatores de onfança para quasquer vetores entras de pesos dados. O que esses fatores medem é, na verdade, a auráa das medções dos rtéros de modo a poder dentfar as alternatvas efentes (TERVONEN, LAHDELMA & SALMINEN, 2004). O fator de onfança p é a probabldade de uma alternatva obter a prmera posção quando o vetor entral de pesos e o ponto de referêna entral são esolhdos. Calula-se o fator de onfança omo uma ntegral multdmensonal sobre os rtéros e as dstrbuções de preferênas pela Equação (8): p n n = ( f ( ξ ) δ ( W W ) δ ( X X )* f ( S) dw dx ds dx) (8) x x l v ( X ) R Em (8) emprega-se a função δ de Dra para restrngr a dstrbução de pesos de mportâna para o vetor entral de pesos e a dstrbução dos pontos de referêna para o ponto de referêna entral. Observe-se que, nas formulações ama apresentadas, pode-se tratar rtéros determnístos xbjb omo um aso espeal de varáves estoástas ndependentes om funções de densdade omo mostradas na Equação (9): fj ( ξ j ) = δ ( ξj xj ) (9) Pode-se então omputar os índes de aetabldade e os vetores entras de pesos pelas Equações (10) e (11): a = f ( w) dw (10) w = w w f ( w) dw a Na práta, resolvem-se as ntegras multdmensonas das Equações (6) e (7) através da smulação de Monte-Carlo, onde problemas de amostragem são gerados aleatoramente por matrzes de rtéros e vetores de dstrbuções de pesos. s R (11) 3216

5 a 3. O Método SMAA-2 O método SMAA-2 (LAHDELMA & SALMINEN, 2001) fo desenvolvdo para problemas de desão que abrangem, no aso mas geral, avalações das alternatvas e pesos dos rtéros segundo os quas representa-se essas avalações por varáves estoástas, bem omo múltplos desores, sendo espealmente ndado para stuações onde nem todos os rtéros e pesos são presamente onhedos. Pode-se onsderar que o SMAA-2 é um método emblemáto da famíla SMAA, pos ontém a grande maora dos índes empregados nos demas métodos desta famíla. O método SMAA-2 utlza, omo no método SMAA-1, uma análse nversa do espaço de pesos para desrever, para ada alternatva, qual tpo de preferêna va torná-la a mas ndada, ou oloá-la em uma determnada posção em um ordenamento predefndo. O problema de desão é representado por um onjunto de m alternatvas que serão avaladas por n rtéros. A estrutura de preferêna dos desores é representada por uma função de valor u (xbb,w). Esta função de valor mapea as dferentes alternatvas para um vetor de pesos w que quantfará as preferênas ndvduas de ada um dos desores. Crtéros nertos ou mpresos são representados por varáves estoástas ξbjb junto om a função de densdade fbχb(ξ) mxn onde X RP P. As preferênas desonhedas ou paralmente onhedas são representadas por uma função de dstrbução de peso om uma função de densdade onjunta fbwb(w), onde w representa o espaço de pesos permtdo. Caso haja uma total falta de nformação quanto à preferêna, a função é representada pela dstrbução de pesos unforme em W fbwb(w)={1/(vol(w)}. Defne-se o espaço de pesos de aordo om a natureza do problema, porém, normalmente, os pesos são postvos e normalzados. A varável W sera, então, desrta pela Equação (2). Emprega-se a função de utldade para transformar os rtéros estoástos e as dstrbuções de peso em dstrbuções de utldade u (ξbb,w). Com base na dstrbução de utldade, defne-se a lassfação de ada alternatva omo um número ntero que vara da melhor lassfação (= 1) para a por lassfação (= m). Tal defnção se dá por meo da função de lassfação apresentada na Equação (12): m ran(, ξ, w) = 1+ ρ( u( ξ, w) > u( ξ, w)) (12) = 1 em que ρ (verdadero) = 1 e ρ (falso) = 0. Com base na análse dos onjuntos de pesos estoástos, obtém-se a lassfação favorável pela Equação (13): W r ( ξ ) = { w W : ran(, ξ, w) r} = (13) Qualquer peso tal que w WBrB(ξ) assoa à -ésma alternatva genéra a posção (ou ran) rbb. A prmera medda desrtva do SMAA-2 é o índe de aetabldade, omo se vu ama. Este índe mede a multpldade de dferentes preferênas ou pesos que onedem à alternatva xbb posção rbb. O produto de todos os pesos avalados torna vável a opção aetável r para uma determnada lassfação. Calula-se o índe de aetabldade b por meo da ntegral multdmensonal da Equação (14): r b = fx( ξ ) fw( w) dw dξ (14) ξ X r w W ( ξ ) As alternatvas mas ndadas são aquelas om aetação alta que alançam as melhores lassfações. Os índes de aetação estão no ntervalo [0, 1], onde 0 nda que a alternatva nuna obterá uma lassfação no ordenamento e 1 nda que a alternatva sempre obtém a lassfação, ndependente das esolhas de pesos. 4. Uma Aplação do Método SMAA Defnção do Problema Consdere-se o aso de um reém graduado om dos anos de experêna em 3217

6 onsultora que deseja ursar mestrado om os objetvos de qualfação profssonal, evolução pessoal e alavanagem das suas possbldades de hegar num período máxmo de quatro anos ao nível de sóo em uma onsultora Top 4, ou em argo equvalente em uma empresa S & P 500 STANDARD & POOR S, 2011). Como alternatvas ele onsdera, a partr de uma prmera avalação pessoal, no ursos da lsta dos melhores MBAs exeutvos do mundo, onforme avalação do Fnanal Tmes publada na revsta Exame em 08 de novembro de 2010 (ZAMBARDA, 2010). Os rtéros de avalação para a tomada de desão, segundo os valores desse reém graduado, são: A. o usto do urso a ser mnmzado; B. os ustos omplementares de manutenção, aqu nluídos aomodação, materal ddáto, almentação e outros gastos estmados também a ser mnmzado; C. o saláro esperado a ser atngdo 3 anos após o térmno do MBA a ser maxmzado; D. a posção do urso no ranng do Fnanal Tmes também a ser mnmzado. Todas as nformações possíves referentes aos rtéros, om exeção dos ustos omplementares, estmados om base em experênas própras anterores, foram oletados de Zambarda (2010). A Fgura 1 apresenta os valores básos que o reém graduado dede empregar na sua análse de desão. Alternatvas A (US$) B(US$) C(US$) D 1.HKU Hong Kong UST Busness Shool CBS Columba Busness Shool LBS London Busness Shool DUF Due Unversty Fuqua EAESP Intervalo de aetação [30000, ] [10000, 19000] [185000, ] [1, 22] Fgura 1 Alternatvas, rtéros e ntervalos de aetação utlzados na análse de desão Neste exemplo de aplação, pela gnorâna e onseqüente nerteza do reém graduado suas preferênas são desonhedas e ele, por onsegunte, opta por empregar o método SMAA-2 para apoá-lo em sua desão. Ele também esolhe o software Matlab (MATHWORKS, 2011) para programação e desenvolvmento de algortmos do método SMAA- 2, por forneer reursos para trabalhar om as múltplas varáves do problema, bem omo para aloação de memóra. O Matlab fornee ao seu usuáro uma bblotea de funções de engenhara e de matemáta, elmnando a neessdade de uma manpulação maor do ódgo e permtndo que o usuáro lego em omputação possa testar ada função em todas as etapas de produção de resultados. Além dsto, o Matlab possu pratamente todas as araterístas de uma lnguagem de programação tradonal, nlundo operadores de artméta, ontrole de fluxo, estruturas de dados, tpos de dados, programação orentada a objetos e reursos de depuração. Alternatvamente ao Matlab, ele podera também utlzar o software JSMAA, de domíno públo (TERVONEN, 2010) Aplação do Método SMAA-2 O método SMAA2 fo odfado em Matlab a partr do trabalho de Tervonen et al. (2010). A Fgura 2 mostra o rotero para aplação do SMAA

7 AB2B AB3B AB4B AB5B 1. Defnr o problema em termos de rtéros e alternatvas. 2. Esolher uma forma e esala para a função de utldade que os desores devem onjuntamente aetar. 3. Inlur todas as nformações dsponíves quanto aos pesos. 4. Calular a lassfação para os índes de aetabldade para ada alternatva e ada oloação ( r ). b 5. Calular o índe de aetabldade, a função de pesos entras e os fatores de onfança ( a, w, p ). 6. Apresentar os resultados das etapas 4 a 6 para os desores. Eles devem esolher quas as meddas mas útes: a ou b. a. Posções (rans) de aetabldade a, ou b. Índes p. 7. Os desores devem defnr se o proesso está ompleto ou se deve ser revsto. Fgura 2 Rotero para aplação do método SMAA-2 (fonte: LAHDELMA; SALMINEN & HOKKANEN, 2002) Como se vu, este problema tem 5 alternatvas e 4 rtéros. Ao realzar os álulos do método SMAA-2, o reém graduado obtém os resultados apresentados nas Fguras 3 e 4. Para a smulação de Monte Carlo usou-se um total de terações, de modo a hegar-se a um resultado de alta onfabldade. Calulam-se os vetores entras de pesos (Fgura 3), os índes de aetabldade (Fgura 4) e os índes de onfanças (Fgura 4). Alternatvas p W A 1. EAESP HKU LBS CBS DUF Fgura 3 - Resultados para os vetores entras de pesos w aos fatores de onfança W B W C W D, ordenados de forma deresente em relação p Alternatvas AB1B p 1. EAESP HKU LBS CBS DUF Fgura 4 Índes de aetabldade e posonamentos ABB, ordenados de forma deresente em relação aos fatores de onfança Para análse dos resultados o desor (no aso, nosso reém graduado) pode afrmar que todas as alternatvas são aetáves dentro dos parâmetros estabeledos, uma vez que todas possuem um índe de aetabldade não nulo. Apresentam-se os índes de aetabldade na Fgura 5. As Fguras 6 e 7 lustram, respetvamente, as varações dos fatores de onfança e dos pesos entras om as alternatvas. p 3219

8 e Fgura 5 Índes de aetabldade a Fgura 8 Fatores de onfança p para ada alternatva. Fgura 1 Pesos entras w, de ada rtéro para ada alternatva avalada Segundo a lóga do SMAA-2, nosso desor dede então elmnar a alternatva DUF, pos esta possu o por valor do índe de aetabldade para a prmera posção (ou ran) AB1B 3220

9 e por ter o menor índe de onfança ( p ). Ele também dede por elmnar a alternatva HKU, pos esta tem os pores valores de índes de aetabldade para as posções AB2B, AB3B AB4B. O desor seleonou então, para sua análse fnal, as alternatvas EAESP, CBS e LBS, por possuírem as maores médas de valores para os índes de aetabldade. Consderando somente essas três alternatvas e que os fatores de onfança são relatvamente baxos para todas, de modo a tomar uma desão fnal raonal o desor presa avalar os vetores entras de pesos para as alternatvas. A alternatva EAESP possu pesos entras om a menor varação entre os rtéros, tornando-a a alternatva mas atratva neste enáro. Esta alternatva (EAESP) também possu os melhores valores de índes de aetabldade para a prmera e a segunda posções (AB1B e AB2B) e o maor valor de fator de onfança ( p ) dentre todas as alternatvas avaladas. A Fgura 10 mostra o ordenamento das alternatvas om base nos valores dos índes de aetabldade. Fgura 20 Ordenamento om base no índe de aetabldade. Levando em onsderação a proxmdade dos resultados enontrados, reomenda-se ao reém graduado, nosso desor neste exemplo, que o mesmo proure defnr outros rtéros para uma avalação multrtéro mas fna, onduente à uma solução om maor aetabldade e, ao mesmo tempo, om maor erteza. 5. Conlusão Como se vu neste artgo, os métodos SMAA são empregados presamente para se resolver o problema nverso da análse multrtéro tradonal. Nesta busa-se dentfar as preferênas dos desores que vão servr omo varáves de entrada (sto é, de nputs) para o uso de métodos multrtéro. Quando se gnora tas preferênas, o que os métodos SMAA fazem é, por meo de um pequeno onjunto de meddas de natureza probablísta, estmar a verossmlhança assoada a determnados resultados. Assm, por exemplo, em uma problemáta do tpo Pβ, usa-se o método SMAA-TRI para estmar-se a verossmlhança de que ada alternatva se nsra em uma das lasses predefndas. No exemplo de aplação apresentado neste artgo, através do uso do método SMAA-2 e das meddas ama apresentadas estmou-se a verossmlhança da assoação de ada uma das alternatvas às posções dstntas no ordenamento. Pode-se, om sto, hegar à melhor solução para o problema. Vablzou-se a utlzação da smulação de Monte Carlo, no exemplo aqu apresentado, fo vablzada pelo software Matlab. Um desenvolvmento de pesqusa nteressante assoado à famíla SMAA dz respeto à stuação em que se têm múltplos agentes de desão ujos omportamentos são onsstentes om a Teora dos Prospetos (TVERSKY & KAHNEMAN, 1991). O método multrtéro TODIM (GOMES & LIMA, 1992; GOMES & RANGEL, 2009) é uma das raras tentatvas exstentes no sentdo de se tornar operaonal essa teora. Pos o amnho para tal desenvolvmento fo apontado, por meo do delneamento do método SMAA-P, por LAHDELMA & SALMINEN (2009). Embora estes dos autores tenham, na formulação do SMAA-P, utlzado funções de dferença lneares por partes, no método TODIM estas funções não são lneares. Além dsto, no ontexto de um problema multrtéro de desão om múltplos desores é de se esperar que os 3221

10 P pontos de referêna sejam também sujetos à gnorâna, bem omo as preferênas daqueles desores. Portanto, juntar a metodologa da famíla SMAA e o método TODIM onsste em objetvo de pesqusa a ser persegudo. Agradementos Os autores agradeem o apoo reebdo do CNPq através dos Projetos de Pesqusa / e / Também agradeem a Jorge Falão do Rego Barros por ter realzados os álulos do exemplo no Matlab. Referênas Bana e Costa, C.A. A multrtera deson ad methodology to deal wth onfltng stuatons on the weghts. European Journal of Operatonal Researh, 26: 22-34, Belton, V. & Stewart, T.J. Multple rtera Deson analyss: an ntegrated approah. Massahusetts: Kluwer Aadem Publshers, Charnets, J.R. The multple attrbute problem wth partal nformaton: the expeted value and omparatve hypervolume methods, Ph.D. Thess. Austn: The Unversty of Texas at Austn, Charnets, J.R. & Soland, R.M. Statstal measures for lnear funtons on polytopes, Operatons Researh 24, , Gomes, L.F.A.M.; Araya, M.C.G. & Cargnano, C. Tomada de desões em enáros omplexos: ntrodução aos métodos dsretos do apoo multrtéro à desão. São Paulo: Ponera Thomson Learnng, Gomes, L.F.A.M. & Lma, M.M.P.P. TODIM: Bass and Applaton to Multrtera Ranng of Projets wth Envronmental Impats, Foundatons of Computng and Deson Senes, vol.16, 4, , Gomes, L.F.A.M. & Rangel, L.A.D. An applaton of the TODIM method to the multrtera rental evaluaton of resdental propertes, European Journal of Operatonal Researh, 193, , Keeney, R. L. & Raffa, H. Desons wth multple objetves: preferenes and value tradeoffs. Nova Yor: Wley, Lahdelma, R.; Hoanen, J. & Salmnen, P. SMAA stohast multobjetve aeptablty analyss. European Journal of Operatonal Researh, 106: , Lahdelma, R., Mettnen, K. & Salmnen, P. Stohasts Multrtera Aeptablty Analyss usng ahevement funtons, Tehnal Report 459, TUCS Turu Center for Computer sene, Avalable at HThttp:// Lahdelma, R.; Mettnen, K. & Salmnen, P. Ordnal rtera n stohast multrtera aeptablty analyss (SMAA), European Journal of Operatonal Researh, 147(1): , Lahdelma, R.; Mettnen, K. & Salmnen, P. Referene pont approah for multple deson maers, European Journal of Operatonal Researh, 164(3): , Lahdelma, R. & Salmnen, P. Prospet theory and stohast multrtera aeptablty analyss (SMAA), Omega 37, , Lahdelma R. & Salmnen P. SMAA-2: stohast multrtera aeptablty analyss for group deson mang, Operatons Researh, v. 49, p , Lahdelma, R. & Salmnen, P. Pseudo-rtera versus lnear utlty funton n stohast multrtera aeptablty analyss, European Journal of Operatonal Researh, 14: , Lahdelma, R.; Salmnen, P. & Hoanen, J. Combnng Stohast Multobjetve Aeptablty Analyss and DEA. In: D.K. Despots & C. Zopounds (eds.) Integratng Tehnology & Human Desons: Global Brdges nto the 21stP Century, Athens: New Tehnologes Publatons, , Lahdelma, R.; Salmnen, P. & Hoanen, J. Loatng a waste treatment falty by usng stohast multrtera aeptablty analyss wth ordnal rtera, European Journal of Operatonal Researh, 142: ,

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