Geometria Plana 01 Prof. Valdir

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1 I ÂGULS 1. efinição - é reunião de dus semi-rets de mesm origem. Geometri ln 01 rof. Vldir 6. issetriz de um ângulo issetriz de um ângulo é semi-ret de origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos de mesm medid (congruentes). issetriz Ângulo Ô, onde e são os ldos e é o vértice.. ertur do ângulo os ângulos são medidos em grus ou rdinos que são s uniddes mis importntes. Um volt 360 [1 60 minutos( ) e 1 60 segundos ( )] Um volt.π rdinos. 3. lssificção de ângulos qunto à medid () gudo: 0 < < 90 Reto: 90 tuso: 90 < < 180 s.: ângulo rso Ângulos complementres e suplementres. omplementres são dois ângulos cuj som ds medids é 90. Suplementres são dois ângulos cuj som ds medids é 180. s.: Se medid de um ângulo é, então: 90 complemento de. 180 suplemento de. 5. Ângulos djcentes e opostos pelo vértice. djcentes são dois ângulos que possuem pens um ldo em comum. (s regiões interns são disjunts). 7. Ângulos formdos por dus rets prlels e um trnsversl. r s Ângulos lternos internos: e, λ e. Ângulos lternos eternos: e d, e c. Ângulos correspondentes: e, e, e c, λ e d. Ângulos colteris internos: e, λ e. Ângulos colteris eternos: e c, e d. servções: 8. Teorem ngulr de Tles c λ d + + λ c + d λ c + d 180 c d λ t r // s s ângulos Ô e Ô são djcentes. 9. Teorem do ângulo eterno m um triângulo qulquer, medid de um ângulo eterno é igul à som ds medids dos ângulos internos não djcentes. postos pelo vértice (V) - são dois ângulos cujos ldos de um deles são s respectivs semi-rets oposts os ldos do outro. s.: ois ângulos V têm medids iguis. Ô e Ô V s.: m um triângulo isósceles, os ângulos d se têm mesm medid. se y + y 1

2 II SIGUL TRIGULR Sejm, e c s medids dos ldos de um triângulo qulquer. Sendo ssim, teremos: - <c <+ -c < <+c -c <<+c u sej, medid de cd ldo é mior que o módulo d diferenç e menor que som ds medids dos outros dois ldos. ercícios resolvidos: ercícios resolvidos: 01. Um imoiliári, trvés de um corretor de imóveis, eie plnt de um lotemento como mostr figur seguir. s lotes,, e têm form de trpézios retângulos. Um comprdor desej ser s medids y (fundo do lote ) e cujos vlores numéricos não são presentdos n plnt. Sendo ssim, o corretor, pós lguns cálculos simples, chegou os vlores corretos de e y. lcule esses vlores. emplo: s ldos de um triângulo medem 3 cm, 4 cm e. Sendo ssim, determine o intervlo possível pr os vlores de. 4 3 < < < < 7. onclusão: medid do ldo é mior que 1 e menor que 7. 0 m y 16 m 14 m 1 m 10 m 59 m y 39 m III TR TLS Se dus rets são trnsversis de um feie de rets prlels, então dois segmentos quisquer de um dels são proporcionis dois segmentos correspondentes d outr. m n G H r s t w 0 m plicndo itágors n figur nterior, teremos: (4.13) + (3.13) (5.13) 65 m plicndo o teorem de Tles, teremos: y y 17,5 m Respost: 65 m e y 17,5 m. 16 m 14 m 1 m 10 m 5 m 0 m hipótese: r//s//t//w, m e n trnsversis. tese: G s.: teorem de Tles pode precer disfrçdo em váris situções plicáveis n prátic. serve s figurs io: IV SLHÇ TRIÂGULS ois triângulos são semelhntes se, e somente se, possuem os três ângulos ordendmente congruentes e os ldos homólogos proporcionis. k '' '' '' k é constnte de proporcionlidde ou rzão de semelhnç dos triângulos e. Se // s.: É fácil concluir que semelhnç de triângulos é eplicd pelo Teorem de Tles.

3 V TRIÂGUL RTÂGUL onsideremos o triângulo retângulo, sendo: hipotenus. e ctetos. H ltur reltiv à hipotenus H projeção ortogonl de sore. H projeção ortogonl de sore. 0. Um escd de comprimento desconhecido está poid em um prede verticl e no piso horizontl, como mostr figur seguir. Se-se que escd está encostd no ponto do loco de fce qudrd de ldo 3 m. Se distânci é de 4 m, clcule distânci entre o ponto e o ponto. c m H h n 1º) H c hc c h m c.m (1) 3 m 3 m 4m º) H c n h {.n () 3º) H H c h m n h Teorem de itágors s equções (1) e (), teremos que: { h² m.n ² + c².m +.n (m + n). ² u sej: qudrdo d medid d hipotenus é igul à som dos qudrdos ds medids dos ctetos (Teorem de itágors). ercícios resolvidos 01. Um escd de 10 m de comprimento está encostd em um prede no ponto e no piso em como mostr figur seguir. r que escd não escorregue, um cord esticd foi fid no ponto (encontro d prede com o piso) e no ponto d escd que está 6 m do ponto. Sendo-se que distânci do pé d escd () té o encontro do piso com prede () mede 6 m, clcule distânci do ponto piso. ² ² + c² prede 6 7 1/4 3 4 Respost: 5,5 m 03. figur seguir, é um triângulo escleno cuj se À mede 1 cm e ltur reltiv à se mede 6 cm. retângulo G tem se igul o triplo d ltur. etermine medid d se do retângulo G G G Q 4 piso 1 plicndo itágors no, teremos: () cm omo Q, vem que: Q , m Respost: 3, m 6 G ,4 cm 1 se 3. 7, cm Respost: 7, cm. 3

4 04. figur seguir, é um retângulo e é um triângulo retângulo em. Sendo-se que 6 cm e 9 cm, clcule medid do ldo do retângulo. centro 5. ÂGUL SGT É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferênci, sendo que um de seus ldos é um secnte e o outro tngente à circunferênci num dos pontos onde secnte cort circunferênci. 6 cm 9 cm med omo é ltur do, teremos: (). () cm. Respost: 3 6 cm 3. ÂGUL TR US RS (vértice interno) VI ÂGULS U IRURÊI 1. ÂGUL TRL É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro d circunferênci. medid de um ângulo centrl é igul à medid do rco que seus ldos delimitm n circunferênci cujo centro coincide com o seu vértice. med. ÂGUL ISRIT É todo ângulo cujo vértice pertence à um circunferênci e os seus ldos são rets secntes dest. medid de um ângulo inscrito é igul à metde d medid do rco que seus ldos delimitm n circunferênci. V 4. ÂGUL TR US STS (vértice eterno) V Teorem do qudrilátero inscritível Se um qudrilátero é inscrito em um círculo, então seus ângulos opostos são suplementres. + - med emonstrção: e omo + 360º, então: + 180º s.: Todo ângulo inscrito num semicircunferênci é reto. u sej, se um triângulo é inscrito num semicircunferênci, então ele é retângulo. 4

5 servção: m todo qudrilátero inscritível, o produto ds digonis é igul à som dos produtos dos ldos opostos. (Teorem de Hiprco). emonstrção: onsideremos s digonis e e um segmento de ret, com etremidde n digonl, tl que. Semos que - -. ntão, teremos: Respost: 0 ess form, teremos. Logo, podemos firmr que:.. (I) mesm form, teremos. í, teremos:.. (II) dicionndo, memro memro, s igulddes (I) e (II), vem:.( + ). +. omo +, otemos: ercícios resolvidos: figur seguir, os rcos e medem respectivmente, 60 e 90. etermine medid do ângulo entre s cords e Semos que. ntão, teremos: Respost: 75 V figur seguir, os pontos,,, e pertencem à circunferênci de centro. ssim, clcule medid do ângulo ssinldo. figur temos:.5 50 ˆ 5º omo ˆ é ângulo eterno do triângulo, temos: ˆ ˆ 65 omo é medid de um ângulo eterno do triângulo, temos: Respost: figur seguir o qudrilátero é inscrito n circunferênci. Se os ângulos  e medem, respectivmente, 60 e 0, clcule s medids dos ângulos e. qudrilátero é inscrito no círculo. ssim, pelo teorem do qudrilátero inscritível, teremos: o triângulo, teremos: λ λ 80 o triângulo, teremos: + λ λ Respost: 10 e º λ 0 5º 0. figur seguir, os rcos e medem, respectivmente, 100 e 60. etermine medid do ângulo entre s secntes V e V. V

6 VII TÊI U T 1. US STS T ITRIR ic: triângulo é semelhnte o triângulo. US STS T XTRIR ic: triângulo é semelhnte o triângulo. 3. U ST U TGT ret que pss por e é tngente à circunferênci no ponto. serve que, sendo o rio d circunferênci (S + Q) + (Q + S) + (S + S) + (Q + Q) + ssim, fic provdo que: + +. ercícios resolvidos: 01. figur seguir, os segmentos de ret, e, medem, respectivmente 6 cm, 3 cm e 4 cm. etermine medid do segmento de ret. plicndo pontênci do ponto em relção à circunferênci, teremos: cm. Respost: 8 cm 6 cm 3 cm 0. figur seguir, os segmentos de ret e medem, respectivmente, 6 cm e 4 cm. etermine medid do segmento de ret, sendo-se que ret é tngente à circunferênci no ponto. 4 cm 6 cm (). 4 cm ic: omo no cso, temos US RTS TGTS s.: esse cso. () () plicndo pontênci do ponto em relção à circunferênci, teremos: (). 6 4.(4 + ) cm Respost: 5 cm 03. (IT) Sej um ponto eterno um circunferênci. s segmentos e interceptm ess circunferênci nos pontos e, e, e, respectivmente. cord d circunferênci intercept o segmento no ponto G. Se 5, 7, 4, G 3 e G 6, clcule o comprimento do segmento G. Teorem do qudrilátero circunscritível. Se um qudrilátero é circunscritível em um círculo, então + +. R G 5 4 emonstrção: Sejm, Q, R e S os pontos de tngênci os ldos,, e, respectivmente. ssim, teremos: + ( + ) + (R + R) S omo: S, Q, Q R e R S, temos: Q zendo G, d potênci do ponto, temos: 4.(7 + ) cm zendo G y, d potênci do ponto G, temos: y y 4 cm Respost: G 4 cm 6

7 04. figur seguir, ret r é tngente à circunferênci no ponto, ret s é secnte nos pontos e e intercept ret r no ponto. cord intercept ret s no ponto. Sendo que 6 cm, 4 cm, cm e 4 cm, clcule os comprimento dos segmentos de ret e. e //, então G G. ssim: G.G G.G G.G ) Um medin divide o triângulo em dois triângulos de mesm áre; r s 4 H 4 6 y r Vej: s triângulos e têm ses iguis ( ) e H como ltur. ssim, eles têm áres iguis. c) s três medins dividem o triângulo em seis triângulos de mesm áre. s figur cim, plicndo potênci dos pontos e, teremos: (8 + ) 1 cm y y cm Respost: 1 cm e cm. VIII. TS TÁVIS U TRIÂGUL 6 3 G 1 omo consequênci d propriedde ), temos que: RITR É o ponto de equilírio ou centro de grvidde do triângulo. ricentro coincide com o ponto de intersecção ds medins do triângulo (n figur seguir G). edin é o segmento de ret que une um vértice o ponto médio do ldo oposto. medin reltiv o ldo medin reltiv o ldo medin reltiv o ldo G. ITR É o centro d circunferênci inscrit no triângulo. incentro coincide com o ponto de intersecção ds issetrizes dos ângulos internos de um triângulo. issetriz intern é o segmento de ret que une um vértice com o ldo oposto formndo dois ângulos de mesm medid. issetriz do ângulo  issetriz do ângulo issetriz do ângulo I é o incentro do roprieddes: ) ricentro divide cd medin em dois segmentos n rzão de pr 1. Justifictiv: onsiderndo figur nterior, como é médio de e é médio de, teremos: // e. I Teorems: 1) Teorem ds issetrizes interns: 7

8 issetriz do ângulo interno de um triângulo determin sore o ldo oposto dois segmentos de ret de medids proporcionis os dois ldos que formm o referido ângulo. o triângulo : sen(180 - ) sen o triângulo : () sen sen (1) omo sen(180 -) sen, dividindo (1) por (), teremos: Se é issetriz do ângulo Â, então, pode-se firmr que: sen(180 - ) sen sen sen (rovdo) emonstrção: plicndo lei dos senos nos triângulos e d figur seguir, teremos: o triângulo : (1) sen sen o triângulo : () sen sen omo + 180, temos que sen sen. ssim, dividindo (1) por (), vem que: sen sen (rovdo) sen sen ) Teorem d issetriz etern Se issetriz de um ângulo eterno de um triângulo intercept ret que contém o ldo oposto, então el divide este ldo oposto eternmente em segmentos proporcionis os ldos djcentes. : 3. IRUTR É o centro d circunferênci circunscrit no triângulo. circuncentro coincide com o ponto de intersecção ds meditrizes dos ldos do triângulo. editriz de um segmento de ret é o lugr geométrico do plno cujos pontos são equidistntes dos etremos do segmento. r é meditriz do ldo s é meditriz do ldo r s ircuncentro do triângulo ntão,, e são segmentos de ret que têm mesm medid do rio d circunferênci que pss por, e. servções: ) um triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio d hipotenus e medin reltiv à hipotenus tem o comprimento do rio d circunferênci circunscrit. ( rio, onde é medin reltiv à hipotenus). s r emonstrção: plicndo lei dos senos nos triângulos e d figur seguir, teremos: ) circuncentro () de um triângulo otusângulo é um ponto eterior o triângulo. (0 < < 180 ) 8

9 4. RTTR É o ponto de intersecção ds lturs de um triângulo. 8 cm 10 cm S 1 S 1 cm elo teto, S é issetriz do ângulo. ssim, pelo teorem ds issetrizes interns, vem que: é ltur reltiv o ldo. é ltur reltiv o ldo. é ltur reltiv o ldo. é o ortocentro do triângulo. servções: I. o triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e, no triângulo otusângulo, é um ponto eterior o triângulo. II. triângulo cujos vértices são os pontos,, é chmdo de triângulo órtico. ortocentro () do triângulo é o incentro do triângulo órtico. u sej, circunferênci inscrit no triângulo tem centro no ponto. III. s pontos,, e pertencem à circunferênci de diâmetro. ssim como os pontos,, e pertencem à circunferênci de diâmetro e os pontos,, e pertencem à circunferênci de diâmetro. S S S 1- S 16 S omo é medin, temos que: 6 cm. ssim, teremos: S S S 3 cm Respost: S /3 cm 0. Sej o triângulo de ldos, e respectivmente iguis 9 cm, 8 cm e 10 cm. Sejm e s issetrizes intern e etern do triângulo no vértice com e pontos d ret que contém o ldo. ssim, clcule o comprimento do segmento de ret Usndo os teorems ds issetrizes, teremos: cm 36 cm ssim, teremos: + 40 cm ercícios resolvidos: 01. do o triângulo cujos ldos medem 10 cm, 8 cm e 1. Sej S o segmento de ret que pss pelo centro d circunferênci inscrit no triângulo e medin reltiv o ldo. etermine o comprimento do segmento de ret S. Respost: 40 cm (Letr ) 03. figur seguir, é um triângulo retângulo no vértice, é issetriz do ângulo  e é medin reltiv o ldo. Sendo-se que o ângulo Ê mede e o ângulo ˆ mede, então clcule +. S 0 9

10 triângulo é retângulo em. ssim, o ponto, médio de, é o circuncentro do triângulo. que se pode concluir que. omo o triângulo é isósceles, o ângulo mede 0 e o ângulo mede 70 (complemento). Sendo um issetriz, o ângulo mede 35. elo teorem do ângulo eterno, nos triângulos e, temos que: Respost: figur seguir, é um triângulo retângulo em sendo 3 cm e 4cm. segmento é um issetriz e um medin. Sendo ssim, clcule medid do segmento de ret. 3 cm onsiderndo, e plicndo o teorem ds issetrizes interns no, teremos: 3 4,5-, ,5 5/14 Respost: 5/14 cm Relção de Stewrt 4 cm 7, Sej um triângulo e cevin reltiv o ldo, sendo um ponto do ldo, como mostr figur seguir. m + +..m.cos c n + -.n.cos ultiplicndo 1ª equção por n e ª por m, teremos: nm n+ n+..m.n.cos c mnm+ m-.n.mcos dicionndo s dus equções, teremos: n + c m m n + n m + m + n n + c m mn(m+n) + (m + n) n. + m.c (m + n).(m.n + ) omo m + n, vem que: n. + m.c (m.n + ) (Relção de Stewrt) ercícios resolvidos: 01. Sej o triângulo cujos ldos, e medem, respectivmente 8 cm, 9 cm, 10 cm. etermine o comprimento d medin reltiv o ldo. 8 plicndo relção de Stewrt, teremos: n. + m.c.(m.n + ) (5.5 + ) ,5 c Respost: 6,9 cm. m Sendo: : comprimento d cevin,, c: medids dos ldos do triângulo m, n: medids dos segmentos e, prtes do ldo n 0. Sej o triângulo cujos ldos, e medem, respectivmente 8 cm, 10 cm, 9 cm. etermine o comprimento d issetriz S reltiv o vértice relção de Stewrt será: n. + m.c (m.n + ) emonstrção: plicndo lei dos cossenos nos triângulo e, teremos: m + -..m.cos c n + -.n.cos omo cos cos, teremos: lculndo m e n pelo teorem ds issetrizes interns. m n m 10-m m 4 cm n 5 cm ssim, plicndo relção de Stewrt, teremos: n. + m.c.(m.n + ) (4.5 + ) ,9 cm Respost: 5,9 cm m S 9 n 10

11 IX. LÍGS VXS s.: um polígono regulr, ldos e ângulos são congruentes. Logo, teremos: i e i 3 e 3 i 1 i i 3... i i S i / n e 1 e e 3... e e S e / n e 1 i 1 i 4 e 4 4. ÚR IGIS LÍG número de digonis () de um polígono conveo de n ldos é ddo por:... n.(n-3) servndo o polígono... d figur nterior, teremos: 1. LTS,,,,... vértices do polígono.,,, ldos do polígono.,,,... digonis do polígono. i 1, i, i 3,... medids dos ângulos internos. e 1, e, e 3,... medids dos ângulos eternos.. S S ÂGULS XTRS (S e ) onsiderndo um polígono conveo de n ldos, som dos seus ângulo eterno será dd por: S e 360 emonstrção: serv-se que e 1, e, e 3,... e n, são os desvios ngulres, em cd, vértice qundo considermos um trjetóri que coincide com o polígono. ssim, pr efetur um volt complet em, cominhndo pelos ldos do polígono, o desvio ngulr é de 360. ess form, emonstrção: igonl é um segmento de ret que lig dois vértices não consecutivos de um polígono conveo. ortnto, (n 3) é o número de digonis que sem de cd vértice. u sej, de um vértice não si digonl pr ele mesmo e nem pr os dois vértices consecutivos ele. onclui-se, então, que o número totl de digonis de um polígono conveo de n vértices é ddo por n.(n-3) (rovdo) s1.: Se o polígono for regulr de n ldos, teremos: ) Se n for pr, n/ digonis pssm pelo seu centro e ssim, teremos n.(n 4)/ digonis que não pssm pelo seu centro. ) Se n for ímpr, então nenhum digonl pss pelo centro do polígono. s..: Todo polígono regulr é inscritível e circunscritível em um circunferênci. e 1 + e + e e n 360 S e 360 (rovdo) 3. S S ÂGULS ITRS (S i ) onsiderndo um polígono conveo de n ldos, som dos ângulos internos do polígono será dd por: S i (n ).180 emonstrção: serv-se que, em cd vértice do polígono, som ds medids dos ângulos interno e eterno é 180. ntão: e 1 + i e + i 180 e 3 + i e n + i n 180 dicionndo s n prcels, teremos: e 1 + e + e e n + i 1 + i + i i n n S i 180.n S i 180.n 360 S i (n ).180 (rovdo) ercícios resolvidos: 01. Um polígono conveo de 15 ldos tem s medids de seus ângulos internos em progressão ritmétic de rzão igul. etermine o mior ângulo interno desse polígono. Se os ângulos internos formm um crescente de rzão º, então, o termo centrl (i 8 ) é médi ritmétic ds medids dos ângulos internos. ssim, S S (15-).180 n o n 15 i8 156 medid do mior ângulo interno será: i 15 i r i Respost:

12 0. Um polígono conveo tem dois ângulos de 150º e os outros medem 155º. etermine o número de digonis desse polígono. Se i 1 150º e 1 30º e i 155º e 5º. ssim, como som dos ângulos eternos é 360, teremos: L (n ).5 360º (n ) n 1 n 14 lculndo o número de digonis, teremos: n.(n-3) 14.(14-3) 77 Respost: 77 digonis. 0. erâmics pentgonis regulres form usds pr compor o piso de um sl, como mostr figur seguir. serv-se que, o compor o piso, entre s peçs justposts prece um espço vzio n form de um estrel de cinco ponts chmd pentgrm. onsiderndo figur e s informções do teto, determine: ) medid do ângulo de cd pont d estrel. ) distânci entre dus ponts consecutivs d estrel sendo-se que medid do ldo d cerâmic pentgonl é 10 cm e cos 108-0, o polígono regulr... o número de digonis é o triplo do número de ldos. Sendo ssim, determine medid do ângulo formdo pels digonis e desse polígono. (Lemrete: todo polígono regulr é inscritível). Sendo n o número de ldos, teremos: n.(n-3) 3.n n 9n 0 n 9 (eneágono) Inscrevendo o eneágono em um círculo, teremos: ) som dos ângulos eternos do pentágono regulr, teremos: 5.e 360 e 7 i 108 ssim, no piso, teremos: + i + i + i Respost: 36 ) distânci entre dus ponts consecutivs d estrel é igul à medid d digonl do pentágono regulr. ssim, plicndo lei dos cossenos no triângulço, teremos: cos (-0,3) m Respost: 65 m i e 10 m 10 m omo o polígono tem 9 ldos, vem que: o 360 o omo é um ângulo inscrito, teremos: 40 Respost: 40 G X. QURILÁTRS TÁVIS 1. efinição É o polígono que possui qutro ldos. r o nosso estudo, vmos considerr pens os qudriláteros conveos. e i Sendo:,,, vértices do qudrilátero; i 1, i, i 3, i 4 ângulos internos; e 1, e, e 3, e 4 ângulos eternos;,,, ldos do qudrilátero;, digonis do qudrilátero. i 1 e 1 e 3 i 3 i 4 e 4 1

13 . Tipos de qudriláteros..1. Tipos de trpézios:.1. rlelogrmo É o qudrilátero cujos ldos opostos são prlelos. scleno // e Isósceles roprieddes: s ldos opostos de um prlelogrmo são congruentes; s ângulos opostos de um prlelogrmo são congruentes; s digonis de um prlelogrmo cortm-se no ponto médio e. s triângulos e são congruentes ssim como os triângulos e. Retângulo // e.1.1. Retângulo É o prlelogrmo que tem os qutro ângulos retos. onseqüentemente sus digonis têm mesm medid. // e... se médi É o segmento de ret que lig os pontos médios dos ldos não prlelos..1.. Losngo É o prlelogrmo que tem os qutro ldos congruentes entre si. onseqüentemente s digonis são perpendiculres entre si e são issetrizes dos ângulos internos. se médi do trpézio; e pontos médios dos ldos e se de euler (medin de uler) É o segmento de ret que lig os pontos médios ds digonis do trpézio Qudrdo É o prlelogrmo que tem os qutro ldos e os qutro ângulos congruentes entre si. ntão o qudrdo é um losngo e um retângulo o mesmo tempo... Trpézio É o qudrilátero que tem dois ldos prlelos entre si. Vmos considerr os trpézios que tem pens dois ldos prlelos entre si, os quis são denomindos de ses. ercícios resolvidos: 01. figur é um trpézio, é se médi, 1 cm, 0 cm, e interceptm nos pontos e. etermine e cm cm Respost: 16 cm e 4 cm 13

14 0. o trpézio escleno d figur digonl mede 9m. lcule s medids dos segmentos prtes dest digonl, determindos pelo ponto de intersecção com outr digonl. 8m XI. ÁR IGURS LS 1. rlelogrmo h.h 10 m 8m. Retângulo 9-10 m h.h omo //, teremos que. ssim, 8 4 cm 9-10 Respost: 4 cm; 5 cm 3. Qudrdo 03. é um qudrilátero plno qulquer e,, e Q são pontos médios dos ldos,, e, respectivmente. ostre que o qudrilátero Q é um prlelogrmo cujo perímetro é igul som dos comprimentos ds digonis do qudrilátero. Sej o qudrilátero, d figur seguir. 4. Losngo Q omo e são pontos médios de e, respectivmente, então //. ssim, os triângulo e são semelhntes de rzão. u sej: d d d.,., então.. omo e Q são pontos médios de e, então Q // e.q. ssim, Q // e Q. 5. Trpézio nlogmente, // // Q e.q,.. ssim, // Q e Q. ess form, como // Q e //Q, teremos que o qudrilátero Q é um prlelogrmo. Qunto o perímetro, teremos: (Q + ) + (Q + ) +. h 6. Áre de um qudrilátero qulquer. (+).h.. sen 14

15 emonstrção: h 1 h c ( n) n c n n + c - +c n (3) Sustituindo (3) em (1), teremos: - +c c +h - +c h c - - +c h c - h c - ( - +c ) 4 zendo h 1 e h s lturs dos triângulos e, respectivmente, então áre do qudrilátero será:.h1.h Áre() + Áre() + omo h 1.sen e h.sen, vem que:..sen..sen (+)..sen +..sen (rovdo) h ( ) 4 c - - +c 4 ssim, áre do triângulo será: ( ) 1 4 c - - +c. 4 ( ) 1 4 c - - +c h 4 (c + - +c ).(c - + -c ) 16 4 c -( - +c) Triângulo 7.1. dos se e ltur 7.. dos os três ldos (órmul de Heron) c h h d p.(p-).(p-).(p-c) Sendo: ++c p (( +c +c )- ).( - ( -c +c )) 16 ((+c) - ).( - (-c) ) 16 (+c+)(+c-).((+-c).(-+c) 16 (+c+)(+c+-).((++c-c).(++c-) 16 +c+. +c+ ++c c ++c zendo ++c p (semiperímetro), teremos: p.(p-).(p-).(p-c) (órmul de Heron) emonstrção: onsideremos figur: 7.3. dos dois ldos e e o ângulo formdo por eles c h h..sen n - n s.:.sen h ltur omo áre é dd por.h, vmos determinr ltur h em função de, e c. plicndo itágor nos triângulo e, teremos: : c n + h (1) : ( - n) + h () e (1) e (), vem que: 7.4. Triângulo eqüilátero de ldo L L s.: ltur h L L L 3 h L

16 7.4. dos o semiperímetro e o rio do círculo inscrito r p.r el lei dos senos, temos que, em qulquer triângulo inscrito em um círculo, vle relção: R sen sen R áre do triângulo será:.c..c.sen R..c 4.R (provdo) p: semiperímetro do triângulo emonstrção: Ligndo o centro do círculo o vértices, e, o triângulo fic dividido em três triângulos, e de ses, e, respectivmente, e lturs iguis o rio do círculo, como mostr figur seguir: 8. írculo R π.r r r r 8.1. Setor circulr m grus: ssim, áre do triângulo será:.r.r.r + + (++) r zendo (++) p (semiperímetro), teremos: R R.π.R 360 m rdinos:.r p.r 8.. Segmento circulr 7.5. dos os três ldos e o rio do círculo circunscrito. R R segm. setor c R..c 4.R s.: Sustituindo áre do setor e e áre do triângulo, podemos ter tmém:.r R.R.sen R.(-sen) segm. - segm. Sendo em rdinos. emonstrção: 8.3. oro irculr..c 4.R r π(r r ) c R R 16

17 ercicios resolvidos: 01. (T) figur mostr um circunferênci de centro e rio igul e um pentágono regulr, cujos vértices e pertencem à circunferênci. lcule áre d região hchurd. TRIGUL p.r r r 5 cm c) Rio d circunferênci circunscrit (R). TRIÂGUL..c 4.R R 1 5 R R cm som dos ângulos internos do pentágono regulr é dd por: 04. (UG-dptdo) onsidere um semicircunferênci de diâmetro 6 cm e um triângulo, conforme figur seguir: S (5 ) ntão, medid do ângulo do setor () é igul à medid do ângulo interno do pentágono. ssim: áre do setor será:.π.r 108.π π Respost: cm 5 6.π 5 cm 0. figur, é um heágono regulr de ldo 1cm. lcule áre do triângulo. digonl pss pelo centro do heágono e tem comprimento igul o doro d medid de seu ldo. omo o triângulo é retângulo em, teremos: () () () () 1 3 cm ssim, áre do triângulo será: ) presse áre do triângulo em função do ângulo pens. ) etermine o vlor de pr que áre do triângulo sej máim. ) Sendo o centro do semicírculo, ponto médio de, o segmento é medin reltiv hipotenus do triângulo. Sendo ssim, divide o triângulo em dois triângulos de mesm áre. ssim, teremos:. 6.6.sen 18.sen ) r que áre do triângulo sej máim, temos: sen 1 90º figur seguir, s rets que contem os segmentos de ret e são tngentes à circunferênci de centro e rio 6 cm. Se-se que o ângulo mede 30. etermine áre do segmento circulr determindo pel cord cm 3 Respost: cm 03. Um triângulo possui ldos cujs medids são 7 cm, 8 cm e 9 cm. lcule: ) áre do triângulo. ) medid do rio d circunferênci inscrit no triângulo. c) medid do rio d circunferênci circunscrit no triângulo. 30º 6 cm S ) plicndo fórmul de Heron, teremos: p.(p-).(p-).(p-c) 1.(1-7).(1-8).(1-9) cm ) Rio d circunferênci inscrit (r). figur, temos que: ssim, áre do segmento circulr destcdo será: o π sen150º - o

18 15π 9 3(5π 3) cm Respost: 3.(5π 3) cm. 06. figur seguir tem-se um qudrdo inscrito em outro qudrdo. ode-se clculr áre do qudrdo interno, sutrindose d áre do qudrdo eterno s áres dos 4 triângulos. eito isso, verific-se se que é um função d medid. esss condições, lcule o vlor mínimo de. 8 lculndo áre do qudrdo interno, teremos: (8 ) / má -Δ Respost: