Lógica e Raciocínio. Lógica Proposicional. Universidade da Madeira.

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1 Lógica e Raciocínio Uniersidade da Madeira htt://dme.uma.t/edu/ler/ Lógica Proosicional 1

2 Proosição Uma rase é uma roosição aenas quando admite um dos dois alores lógicos: Falso (F) ou Verdadeiro (V). Proosição Frases que não são roosições Pare! Quer uma cháena de caé? Feliz Natal! Frases que são roosições A Lua é o único satélite do laneta terra (V) A cidade do Porto é a caital da região de Madeira (F) O número 712 é ímar (F) A raiz quadrada de dois é um número irracional (V) 2

3 Algumas leis undamentais Lei do Meio Excluído: Uma roosição ou é alsa (F) ou é erdadeira (V): não há meio termo. Lei da Contradição: Uma roosição não ode ser, simultaneamente, V e F. Lei da Funcionalidade: O alor lógico (V ou F) de uma roosição comosta é unicamente determinada êlos alores lógicos de suas roosições constituintes. Comosição de Proosições É a construção de roosições a artir de roosições já existentes. Suonha que tenhamos duas roosições, 1. = "Maria tem 23 anos" 2. q = "Maria é menor Pela legislação corrente de Argentina, uma essoa é considerada menor idade caso tenha menos de 18 anos, o que az com que a roosição q seja F, na interretação da roosição ser V. Vamos a alguns exemlos: 3

4 Comosição de Proosições "Maria não tem 23 anos" (não A) "Maria não é menor (não B) "Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B) "Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B) "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não A e B) "Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não B) Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A então B) Conectios Deinimos os conectios como aquelas exressões lógicas que ermitem ligar entre si árias roosições simles, obtendo roosições comlexas cuja erdade ou alsidade estarão deendentes da erdade ou alsidade das roosições iniciais e da natureza dos conectios enolidas. 4

5 Sintaxe Alabeto: Variáeis roosicionais:, q, r,...,, q,... Constantes, Conectios lógicos: ~,,,, símbolos auxiliais: (, ) Sintaxe Deinição: Uma órmula (roosicional) atómica é: 1. Uma ariáel roosicional, 2. ou 3.. 5

6 Sintaxe Deinição Indutia: 1. Toda órmula atómica é uma b. 2. Se F é uma b, então ~F é uma b. 3. Se F e G são b, então F G, F G, F G, F G são b. 4. O conjunto de todas as b é gerado or as regras 1 3. Precedência de conectios 1. ~ Então (( (q r)) ((~ q) (1 ))) ode ser escrita como ( q r) (~ q 1 ) Mais q r éambígua. 6

7 Semântica: Podemos deinir o alores de erdade como o conjunto Tr = {erdadeiro (), also ()} Uma interretação consiste em atribuir um alor de erdade a cada órmula atómica. Para obter o alor de erdade de uma órmula bem ormada arbitraria é necessário dar signiicado aos conectios lógicos. Tabelas de erdade Desse modo, atribuindo alores de erdade as ariáeis roosicionais odemos obter o alor de erdade duma órmula. Podemos utilizar tabelas de erdade ara olhar como odem ser interretados os símbolos da linguagem. 7

8 Tabelas de erdade Sejam e q roosições. Então temos a tabela: Obsere que o número de linhas da tabela deende do número de roosições, e ode-se obter azendo 2n ( onde n é a quantidade de roosições) q Tabelas de erdade Negação ~ A negação é o único conectio unário 8

9 9 Tabelas de erdade q q q q Tabelas de erdade q q q q

10 Tabelas de erdade Dada qualquer órmula F, odemos construir sua tabela de erdade a artir do alor de erdade das sub-órmulas: Exemlo: ( q) ( q) q q q Interretação e Modelo Cada ila de uma tabela de erdade reresenta uma interretação na qual cada ariáel roosicional toma o alor corresondente a ela na tabela Uma interretação I é um modelo ara uma b F se F e erdadeira em I. Uma interretação I é modelo de um conjunto de b S, se I é modelo de cada b de S. q q 10

11 Fórmulas Equialentes Duas órmulas F e G são logicamente equialentes se têm os mesmos modelos, isto é se têm a mesma tabela de erdade Notação: Se duas órmulas F e G são logicamente equialentes, então notaremos F G Fórmulas Equialentes q r (q r) ( q) ( r) 11

12 Algumas Equialências (1) q q (q r) (q r) ( q) ( q) (q r) (q r) q q ( q) r ( q) r ( q) ( r) ( q) ( r) idemotencia idemotencia simetria simetria associatiidade associatiidade absorção absorção distributiidade distributiidade Algumas Equialências (2) ~ ~ ~ ~ ~ ( q) ~ ( q) ~ ~ q ~ ~ q dula negação Lei de De Morgan Lei de De Morgan 12

13 Algumas Equialências (3) q q q ~ q ~ q ~ ( q) (q ) disjunção material Tautologias Uma órmula F é uma tautologia se é erdadeira em toda interretação. 13

14 Tautologias F... Tautologia Teorema: Duas órmulas F e G são equialentes se e somente se F G é uma tautologia. 14

15 Contradição Uma órmula F é uma contradição se é alsa em toda interretação. Contradição F... 15

16 Contingente Uma órmula F é uma contradição se é alsa em algumas interretações e erdadeira em outras. Contradição F 16

17 Regra de Substituição 1 Podemos substituir uniormemente órmulas or ariáeis Exemlo: De F(,q) = (q ) obtemos F (~ r, ~) = (~ r) (~q (~ r)) Regra de Substituição 1 Teorema: Se F( 1,... n ) G( 1,... n ) então F(q 1,...q n ) G(q 1,...q n ) 17

18 Teorema da substituição 2 Exemlo: Se substituímos a segunda aarição de q na órmula F ( q ) (r ( q ) ) ela órmula equialente q, obtemos a órmula F ( q ) (r ( q ) ) F resulta equialente a F Teorema da substituição 2 Sejam F(P), X, Y órmulas Teorema (arte 1): Se (X) = (Y), então (F(X)) =( F(Y)) Teorema (arte 2): Se X Y, então F(X) F(Y) 18

19 Relação dos conectios. Um conjunto de conectios é adequado se ara toda órmula roosicional existe uma órmula equialente ormada só or os conectios do conjunto dado. Proosição: {~, }, {~,,} {~, } são conjuntos adequados de conectios. Conjuntos adequados de conectios. Proosição: {~, }, não é um conjunto adequados de conectios. Demonstração: Fica como exercício. 19