Séries de Tempo. José Fajardo. Setembro Fundação Getulio Vargas-EBAPE. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

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1 Séries de Tempo José Fajardo Fundação Getulio Vargas-EBAPE Setembro 2011 José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

2 Motivação A série temporal não estacionária não pode ser estimda trivialmente. Problema: é impossível estimar todos os momentos da série e fazer inferências estatísticas. A variância não condicional de um AR (1) é: var (y t ) = 1 1 φ 2. Se φ = 1, o que caracteriza uma série não estacionária de raiz unitária, então a variância explode. Solução: diferenciar a série tantas vezes quantas sejam necessárias para estacionarizá-la. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

3 TENDÊNCIA ESTACIONÁRIA Suponha o seguinte modelo: y t = y 0 + δt + ψ (L) ε t. Tal modelo é chamado de tendência estacionária, porque flutua em torno de uma tendência determinística. A série também poderia ser estacionarizada pela primeira diferença, isto é: y t (1 L) y t = y t y t 1 = δ + (1 L) ψ (L) ε t. Essa diferenciação estacionariza a série, entretanto introduz ruído por tornar o erro não invertível. Logo, se uma série é tendência estacionária, é melhor estimá-la usando a variável explicativa t. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

4 TENDÊNCIA ESTOCÁSTICA Considere outra possibilidade: y t = δ + ε t = y t = y t 1 + δ + ε t. Compondo recursivamente y t, obtém-se: y t = y 0 + δt + t i=1 A variável aleatória y t é dada pela composição de todos os choques havidos, t i=1 ε i. Define-se tal série como sendo tendência estocástica ou diferença estacionária. Os choques produzem mudanças permanentes na série y t, ainda que aleatórias. Séries, cuja tendência é estocástica, são séries integradas e denotadas por I (d), em que d é a ordem de integração. Séries integradas com erros estacionários são chamadas de séries ARIMA (p, d, q). Diferenciando d vezes a série, obtém-se uma série estacionária. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61 ε i.

5 Tendência estocástica pura No caso I (1) com δ = 0, define-se o passeio aleatório ou tendência estocástica pura pela equação: y t = y t 1 + ε t. A previsão condicional H passos à frente é dada pela observação atual, isto é: E t (y t+h ) = y t + A covariância é dependente do tempo: H h=1 E t (ε t+h ) = y t. ( ) t Var (y t ) = Var ε i = tσ 2 ; i=1 ( ) ( ) t t j Cov (y t, y t j ) = E ε i ε s = (t j) σ 2. i=1 s=1 José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

6 Tendência estocástica pura Divide-se a covariância pelo produto do desvio padrão em t e t j: (t j) σ2 t j ρ j = = = 1 j tσ (t j)σ t t. Remark Num processo não estacionário, a autocorrelação demora a cair, pois j t se reduz lentamente. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

7 Tendência estocástica com drift Ao adicionar um drift ao modelo, encontra-se o passeio aleatório com drift: y t = y t 1 + δ + ε t = = y 0 + δt + t i=1 Nesse caso, o comportamento de y t depende de um componente determinístico e de outro estocástico. A previsão H passos à frente é: E t (y t+h ) = y t + δh + H h=1 ε i. E t (ε t+h ) = y t + δh. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

8 Tendência estocástica com drift e ruído É possível generalizar o modelo de passeio aleatório adicionando um ruído a ele. É o passeio aleatório com ruído: em que {η t } é um ruído branco; ε t η t j. y t = y 0 + t i=1 ε i + η t, Pode-se, com isso, encontrar que: y t = ε t + η t. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

9 Tendência estocástica com drift e ruído Importância: ser I (1) com uma correlação menor do que naquele passeio aleatório puro, em razão da presença de σ 2 η: ( ) t Var (y t ) = Var ε i + η t = tσ 2 + σ 2 η; i=1 ( ) ( ) t t j Cov (y t, y t s ) = E ε i + η t ε s + η t j = (t j) σ 2 ; i=1 s=1 ρ s = (t j) σ 2 ( ) [ ] 1 < j tσ 2 + σ 2 η (t j) σ 2 + σ 2 t. η José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

10 Tendências: Figura: Séries temporais com tendência. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

11 Tendência geral mais componente irregular O modelo mais geral possível inclui tendência determinística e estocástica e resíduos que seguem um processo ARMA (p, q). O modelo é chamado de tendência geral mais componente irregular: y t = δt + y 0 + t i=1 ε i + ψ (L) η t. (1) José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

12 REMOVENDO A TENDÊNCIA No modelo com tendência estocástica, basta diferenciá-lo, inclusive se houver tendência determinística: y t = δ + ε t + ψ (L) η t. Se y t for integrado de ordem d, toma-se a d-ésima diferença. Porém, como estimar uma série cuja tendência é determinística? 1 Estime por mínimos quadrados ordinários: y t = δ 0 + δ 1 t + δ 2 t δ n t n + e t, em que e t = ψ (L) ε t, e obtenha os resíduos estimados: ê t. 2 Estime o modelo ARMA (p, q) a partir dos resíduos estimados. Para determinar n, use testes t, F ou AIC /BIC. Em geral, estima-se o modelo com um n máximo, n max. Se o teste t sobre δ nmax não é rejeitado, retira-se t n e estima-se o modelo até t n 1, repetindo o teste. Procede-se assim até rejeitar que δ n i = 0. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

13 REMOVENDO A TENDÊNCIA É proibido diferenciar uma série que é tendência estacionária, porque isso adiciona ruído à série original. É proibido estimar uma série que é tendência estocástica usando tendência determinística, porque isso não elimina a tendência estocástica. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

14 REGRESSÃO ESPÚRIA A necessidade de definir variável explicada e explicativa torna-se muito importante na presença de raiz unitária. Podem-se encontrar relações econométricas entre duas ou mais variáveis econômicas sem qualquer relação de causalidade entre uma e outra por puro acaso. Por exemplo, a regressão de uma variável I (1) com outra I (1) obtida independentemente gera alto R 2 e significante t-estatístico. Contudo, o resultado é sem significado. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

15 REGRESSÃO ESPÚRIA Considere a seguinte experiência. Gere duas séries I (1) independentemente uma da outra e regrida uma contra a outra. Qual resultado você obtém? Em 75% das vezes, parecer-lhe-á que elas são correlacionadas. Suponha: y t = y t 1 + ε y,t ; z t = z t 1 + ε z,t. A Figura 2 mostra duas séries geradas independentemente uma da outra, como no modelo anterior. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

16 REGRESSÃO ESPÚRIA Regrida y t contra z t : y t = α + βz t + e t. Nas simulações com 300 observações, com a amostra entre 201 e 300, obteve-se o seguinte resultado: y t = 6, 37 (1,544) 0, 770z t + e t, R 2 = 0, 30, (0,142) em que o desvio padrão está entre parênteses. Conclusão: cuidado com a regressão que se faz. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

17 DICKEY-FULLER Considere o seguinte modelo: y t = φy t 1 + ε t. Tendência: estimar esse modelo e usar um teste convencional de t sobre φ, tendo como hipótese nula H 0 : φ = 1. Alternativamente, poder-se-ia alterar o teste subtraindo y t 1 de ambos os lados: y t = (φ 1) y t 1 + ε t = αy t 1 + ε t, (2) em que se define α φ 1. Assim, H 0 : φ = 1 é equivalente a H 0 : α = 0. Problema: sob a nula, a distribuição do teste não é convencional, ou seja, não é igual à distribuição t estatística, pois y t não é estacionário. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

18 DICKEY-FULLER: experimento de Monte Carlo Visualização: 1 Gere uma seqüência de erros normais com esperança nula e variância σ 2, {ε t }, com T + n observações; 2 Gere a seqüência {y t } sob a hipótese nula de raiz unitária, dado y 0 ; 3 Estime a equação (2) usando as T últimas realizações e armazene o valor da estatística t; 4 Retorne ao item (1) S vezes (em geral, S ); 5 Faça o gráfico da distribuição da estatística t. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

19 DICKEY-FULLER: experimento de Monte Carlo A Figura 3 mostra o historgrama empírico dessa estatística em que T = 100, n = 50, S = e y 0 = 0. Figura: Distribuição da estatística t student sob H 0 : φ = 1. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

20 DICKEY-FULLER: experimento de Monte Carlo A média da estatística t não é zero. Em 10% das vezes, a estatística t < 1, 60; em 5%, t < 1, 95; e em 1%, t < 2, 60. Ou seja, o uso da estatística t olhando para a tabela convencional implicaria cometer o erro do tipo I 1 com muito mais freqüência. 1 rejeitar a nula quando ela verdadeira José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

21 DICKEY-FULLER: experimento de Monte Carlo Dickey and Fuller (1979), Distribution of the estimator for autoregressive time series with a unit root. J. of the American Statistical Association. Recalcularam o valor da estatística t, esta se altera, conforme se define a equação de regressão e segundo o tamanho da amostra: y t = αy t 1 + ε t τ; y t = µ + αy t 1 + ε t τ µ ; y t = µ + δt + αy t 1 + ε t τ τ. Sob H 0 : α = 0, as três estatísticas associadas foram obtidas por meio de simulações de Monte Carlo. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

22 DICKEY-FULLER Como calcular a estatística do teste de Dickey e Fuller? 1 Supondo T + 1 observações, {y t } T t=0, faça OLS e subtraia 1 do parâmetro φ, para proceder ao teste sob H 0 : α = 0: 2 Calcule a variância amostral: α = T t=1 y t 1 y t T t=1 y 2 t 1 1. S 2 = 1 T T 1 ( y t αy t 1 ) 2. t=1 3 Calcule o desvio padrão do coeficiente α, s ( α): s ( α) = S. T t=1 yt Obtenha o valor calculado da estatística t: τ = α s ( α). José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

23 DICKEY-FULLER AUMENTADO Problema do teste anterior: o erro é um ruído branco. Será? Suponha que y t seja um processo auto-regressivo de ordem p, com raiz unitária: y t = µ + φ 1 y t φ p 1 y t p+1 + φ p y t p + ε t. Como testar esse modelo para raiz unitária? Idéia: estimar o modelo com as variáveis auto-regressivas. Forma de corrigir o desvio do valor correto da estatística, ou seja, trata-se de encontrar os desvios de y t em relação à sua média, para deslocar a distribuição de α em direção a zero, caso a hipótese nula seja verdadeira. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

24 DICKEY-FULLER AUMENTADO Adicione e subtraia φ p y t p+1 à equação anterior: y t = µ + φ 1 y t φ p 1 y t p+1 + φ p y t p + +φ p y t p+1 φ p y t p+1 + ε t = ) = µ + φ 1 y t (φ p 1 + φ p y t p+1 φ p y t p+1 + ε t. Utilizando o mesmo procedimento, desta vez com (φ p 1 + φ p ) y t p+2 : ) ) y t = µ + φ 1 y t (φ p 1 + φ p y t p+2 (φ p 1 + φ p y t p+2 + ) + (φ p 1 + φ p y t p+1 φ p y t p+1 + ε t = µ + φ 1 y t ) (φ p 2 + φ p 1 + φ p + y t p+2 (φ p 1 + φ p ) y t p+2 φ p y t p+1 + ε t. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

25 DICKEY-FULLER AUMENTADO Repetindo isso p vezes, obtém-se ao final: p 1 y t = µ + αy t 1 + i=1 λ i y t i + ε t, em que α = (1 p i=1 φ i ) ; λ i = p 1 j=i φ j+1. O teste então pode ser feito, usando os mesmo valores críticos encontrados por Dickey e Fuller. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

26 DICKEY-FULLER AUMENTADO E se o modelo for ainda mais complexo, com termos de médias móveis, o que fazer? Mesmo procedimento no caso de um ARIMA (m, 1, n), j que sempre se pode transformar um MA (q) num AR ( ). Como estimar um modelo de infinitas defasagens? Provou-se que um modelo ARIMA (m, 1, n) pode ser bem aproximado por um ARIMA (p, 1, 0), em que p T 3 1 (Ver Said and Dickey, 1984). Experimentos de Monte Carlo mostraram que o valor da estatística t permanece inalterado. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

27 DICKEY-FULLER AUMENTADO Como escolher a ordem p para executar o teste de raiz unitária? Para definir p, existem duas possibilidades equivalentes. 1 Acrescentar o número de defasagens suficientes para encontrar resíduos que sejam isentos de autocorrelação. 2 Fixar um p max relativamente alto. Em seguida, estimar o modelo por mínimos quadrados ordinários para p max, p max 1,..., 0 e coletar os valores de algum dos critérios de informação como Hannan-Quinn, Schwarz ou Akaike, ou utilizando testes estatísticos convencionais até que se rejeite a hipótese nula, usando como nível de significância 20%. Como definir o p max? Critério proposto por Schwert (1989): [ ( ) 1 ] T 4 p max = int 12, 100 em que int (x) é a parte inteira de x. Uma série com 100 observações teria um p max de 12 defasagens. Outra série com 200 observações teria 14 defasagens, no máximo. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

28 DEMAIS TESTES DE DICKEY E FULLER O teste de Dickey e Fuller pode ser feito conjuntamente para dois ou três coeficientes. Considere as seguintes especificações: y t = αy t 1 + p i=1 y t = µ + αy t 1 + λ i y t i + ε t ; p i=1 y t = µ + δt + αy t 1 + λ i y t i + ε t ; p i=1 λ i y t i + ε t. Dickey e Fuller (1981) calcularam estatísticas F para testes conjuntos, chamando-as de Φ i, i = 1, 2, 3, com distribuições não convencionais. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

29 DEMAIS TESTES DE DICKEY E FULLER As hipóteses a testar são: H 0 : α = µ = 0 Φ 1 ; H 0 : α = δ = µ = 0 Φ 2 ; H 0 : α = δ = 0 Φ 3. Essas estatísticas são construídas da mesma forma que os testes convencionais: ( ε ε restrita ε ε ) não restrita /r Φ i = ε ε, não restrita / (T k) em que r é o número de restrições, igual a 2 ou 3; T é o número de observações; k é o número de parâmetros estimados no modelo não restrito. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

30 PHILLIPS-PERRON Usar um modelo auto-regressivo gera perda de graus de liberdade. Talvez fosse melhor um teste especificado independentemente das ordens p e q do modelo. Phillips e Perron (1988) usam essa idéia e propõem uma correção não paramétrica ao teste de Dickey e Fuller, gerando uma estatística consistente mesmo que haja variáveis defasadas dependentes e correlação serial nos erros. As equações estimadas e os testes designados são idênticos aos de Dickey e Fuller. A interpretação também é análoga. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

31 PHILLIPS-PERRON Possibilidades com as respectivas estatísticas associadas: y t = αy t 1 + u t z t, y t = µ + αy t 1 + u t z t,µ, y t = µ + δt + αy t 1 + u t z t,τ, em que u t é um processo estacionário. Phillips e Perron (1988) também definem testes diretamente sobre os coeficientes do modelo, em vez de usar a estatística t, como anteriormente. Eles chamaram tais testes de z α. A correção, z t,µ, empregada por Phillips e Perron para τ µ é seqüencialmente estimada da seguinte forma, dado y 0 : Estime as seguintes médias: y = T t=1 y t T, y 1 = T t=1 y t 1 T ; Estime o parâmetro de maior interesse: α = T t=1(y t 1 y 1 )(y t y) 1; T t=1(y t 1 y 1 ) 2 José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

32 PHILLIPS-PERRON Estime a constante ou drift: µ = y ( α + 1) y 1 ; Estime a variância populacional da regressão: σ 2 = T t=1 ût 2 T = T t=1( y t µ αy t 1 ) 2 T ; Calcule o desvio padrão do parâmetro de interesse: σ s ( α) = ; T t=1 y 2 t 1 Calcule a estatística de Dickey e Fuller: τ µ = Estime a variância de longo) prazo, HAC: υ 2 = σ T M j=1 ω T t=j+1 û t û t j ; ( j M+1 Calcule a estatística de Phillips e Perron: ( ) ( ) ẑ t,µ = τ µ σ υ 1 υ 2 σ 2 2. υ T 2 T t=1 y 2 t 1 α s( α) ; José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

33 Variância de longo prazo O termo υ 2 é a variância de longo prazo, em que estão incluídas todas as autocovariâncias do processo u t : υ 2 = lim T T 1 T j=0 t=j+1 u t u t j T Não existem infinitas observações para calcular j= γ j, logo trunca-se j em algum ponto. A opção T a T não é boa, pois quanto mais distante a autocovariância, menos informação ela produz em troca de muito mais ruído É necessário calcular M j= M γ j, em que γ j = γ j, pode-se escrever: M j= M γ j = γ M lim M,T T M j=1 γ j. 0. Como José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

34 Variância de longo prazo Para o cálculo amostral, estima-se: M γ j = T t=1 ût 2 T j= M + 2 T M T j=1 t=j+1 û t û t j. Por razões de amostras finitas, é preciso ponderar as observações mais distantes das observações mais recentes. ( ) Essa ponderação é dada pela função ω j M+1, ou função janela: { 1 z, se z < 1; Bartlett: ω (z) = 0, se z z 2 + 6z 3, se 0 z 1 2 ; Parzen: ω (z) = 2 (1 z) 3, se 1 2 z 1; Quadrática : ω (z) = 3 ( 6π 5 z) 2 0, caso contrário. [ ( sen 6π 5 z) 6π 5 z cos ( ) ] 6π 5 z. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

35 Variância de longo prazo Perron (1990) recomenda o uso da janela de Parzen, embora grande parte dos trabalhos empíricos ainda use a janela de Bartlett. Não é trivial definir que valor M deveria ser. Critério de Newey-West (1994) ou Andrews (1991). Definida a janela, procede-se à correção não paramétrica ( definida pela ) estatística ẑ t,µ. Multiplique τ µ por σ υ e subtraia 1 υ 2 σ 2 2. υ T 2 T t=1 yt 1 ( ) 2 O termo 1 υ 2 σ 2 2 é subtraído para centrar a distribuição υ T 2 T t=1 y 2 t 1 de z t em zero. O termo σ υ é multiplicado para corrigir a amplitude de distribuição do teste. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

36 Estratégia de teste 1 Estime y t = µ + δt + αy t 1 + u t e teste H 0 : α = 0 H 1 : α < 0. Se rejeitar a hipótese nula, não é necessário avançar. [ ] [ ] [ ] [ ] 2 α 0 α 0 Teste: H 0 : = H δ 0 1 : =, usando a δ 0 estatística Φ 3 de Phillips e Perron. Se não rejeitar H 0, há raiz unitária. α 0 α 0 3 Se não rejeitar H 0, teste: δ = 0 H 1 : δ = 0 µ 0 µ 0 usando Φ 2 de Phillips e Perron. Se não rejeitar H 0, teste para raiz unitária usando a estatística z t. 4 Se [ rejeitar ] [ H 0,] teste sem[ tendência ] [ ] α 0 α 0 = H µ 0 1 : = usando a estatística Φ µ 0 1 de Phillips e Perron. Se rejeitar H 0, teste usando a estatística z t,µ. 5 Se não rejeitar H 0 usando Φ 1, teste usando a estatística z t. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

37 KPSS Kwiatkowski, Phillips, Schmidt and Shin (1992) Teste de Dickey e Fuller: baixo poder = o teste não consegue rejeitar a nula para uma infinidade de séries importantes. Hipóteses: H 0 : y t I (0) (estacionariedade) contra H 1 : y t I (1): Assuma que y t = x t + u t, x t = x t 1 + υ t Onde υ t i.i.d (0, σ 2 ) e u t um processo estacionario. Idéia: testar a variância de passeio aleatório x t. Se essa variância for nula, o processo é estacionário: H 0 : σ 2 υ = 0 H 1 : σ 2 υ > 0. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

38 KPSS Pode-se acrescentar uma tendência determinística ao modelo da seguinte forma: Logo: x t = x t 1 + δ + υ t y t = δ + υ t + u t. var ( y t ) γ 0 = σ 2 υ + 2σ 2 u; γ 1 = σ 2 u = ρ 1 = σ2 u σ 2 υ + 2σ 2 ; u γ j = 0, j > 1. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

39 KPSS Considere y t = µ + δt + x t + u t, com x t = x t 1 + υ t e defina e t x t + u t. 1 Estime y t = µ + δt + e t e obtenha: ê t = y t µ δt. 2 Defina a soma parcial dos resíduos como: 3 O teste KPSS é dado por: S t = t ê j. j=1 KPSS = T t=1 S 2 t T 2 υ 2, υ 2 = T t=1 ê 2 t T + 2 T M ( ) j T ω ê t ê t j j=1 M + 1 t=j+1 José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

40 KPSS Se y t é estacionário, então S t será I (1) e o numerador do KPSS é um estimador da variância de S t que, por sua vez, tem um limite assintótico. O termo no denominador assegura que a distribuição é livre de ruídos. Se, por outro lado, y t é I (1), o numerador vai crescer sem limites, o que faz a estatística se tornar bastante grande. O poder do KPSS é muito baixo se o modelo se trata de um ARIMA (p, 1, 1). José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

41 ERS: Elliot, Rothemberg and Stock (1996) Qual é o problema de poder? Quando α 1, mas α < 1, o teste comete o erro do tipo II: não rejeita a nula, quando ela é falsa. Suponha: y t = d t + u t ; u t = αu t 1 + e t ; e t = ψ (L) ε t ; d t = N δ n t n δ x t. n=0 Perron e Ng relatam que o teste ADF tem um poder de 25, 8% quando δ n = 0 e α = 0, 95, T = 200. Isto é, em 74, 2% das simulações do modelo, o teste ADF não rejeitou a nula, quando ela era falsa. A mesma tabela mostra que o poder aumenta para 92, 5% quando α = 0, 85. Elliot, Rothemberg e Stock argumentam que o poder do teste pode ser aumentado se termos determinísticos forem expurgados da regressão. Eles denominaram este teste de DF-GLS. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

42 ERS a Dada uma seqüência qualquer observada {y t } T t=0, defina a nova seqüência: ( y α 0, yt α ) (y0, (1 αl) y t ), t = 1, 2,..., T, b c d para algum α 1 c T ; Encontre δ (α) que minimiza a seguinte função: [ L (α) = yt α δ (α) xt α min {δ n (α)} N n=0 ] [ y α t δ (α) x α t Em seguida, obtenha a série com os termos determinísticos expurgados, em que o sobrescrito d representa detrended: y d t y t δ (α) x t ; Proceda ao teste de Dickey-Fuller usando a nova seqüência: y d t = αy d t 1 + p i=1 ] ; λ i y d t i + ε t. (3) José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

43 ERS Como yt d é livre de termos determinísticos, é desnecessário incluir constante ou tendência, sendo c dado por: { 7, se N = 0; c = 13, 5, se N = 1. O valor de c decorre de experimentos de Monte Carlo, de forma a maximizar o poder do teste α = 1 contra α = α, quando se fixa o poder em 50%. A intuição do teste é que o poder vai aumentar conforme α se distancie de α. Na prática, o valor de c fixado para um poder de 50% funciona bem para faixas de poder que variam de 25% a 95%. Resultado: o poder do teste ADF aumenta, passando de 10% para 26%, quando α = 0, 95 e φ 1 = 0, 5, e para 95%, quando α passa a 0, 70. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

44 ERS: Point Optimal 1 Obtenha os resíduos da regressão y t = d t + αy t 1 + p i=1 λ i y t i + ε t,p ; 2 Calcule a variância amostral desses resíduos: σ 2 p = T t=p+1 ε 2 t,p T p ; 3 Calcule a variância de longo prazo em que λ (1) p λ i : i=1 υ 2 AR = σ 2 p [ ] 2, 1 λ (1) 4 Calcule a estatística P T, ajustada pela correlação serial dos resíduos: P T = L (α) αl (1) υ 2. AR José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

45 ERS: Point Optimal Se a série for integrada, a diferenciação gerará uma série de variância pequena se α = 1, porém o valor de L (α = 1) será grande. Logo, P T é grande e não se rejeita a hipótese nula. Se a série for estacionária, a diferenciação da série em L (α = 1) será estacionária, e o mesmo acontecerá com L (α = 1). Os valores serão baixos e, conseqüentemente, P T terá um valor baixo. Portanto, se PT calculado < PT crítico, rejeita-se a nula de raiz unitária. Uma variante do teste é usar como variância de longo prazo o estimador: υ 2 = σ T σ 2 = T t=1 êt 2, T ê t = y t µ δt. M ( ) j T ω ê t ê t j ; j=1 M + 1 t=j+1 José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

46 NG E PERRON O teste de raiz unitária tem problema de tamanho, quando θ 1: y t = φy t 1 + ε t + θε t 1 (1 φl) y t = (1 + θl) ε t. Se θ estiver próximo de 0, 9, a rejeição da hipótese nula é muito mais freqüente do que se desejaria, em razão das distorções de tamanho. Ng e Perron relatam que o tamanho do teste DF-GLS quando θ = 0, 8, T = 100 é de 62, 4%, enquanto o ideal seria de 5% ou 10%. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

47 Embora as duas séries sejam integradas, é difícil reconhecer isso José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61 NG E PERRON A Figura 4 mostra duas séries simuladas com os mesmos erros. Porém, a série que flutua ao redor de zero foi calculada com θ = 0, 8. Figura: Passeios aleatórios com diferentes médias móveis.

48 NG E PERRON Perron e Ng (1996) propõem os M testes, Modificados, em que alguma eventual tendência já foi expurgada : ( y 2 TT υar) 2 Mz α = T = z 2 T t=1 yt 1 2 α + T 2 Mz t = Mz α MSB = z t MSB = T t=1 yt 1 2 T 2 υ 2 AR MP GLS T = c 2 T 2 T t=1 yt 1 d T c (yt d ) 2 υ 2 AR c 2 T 2 T t=1 yt 1 d 1 c T (yt d ) 2 υ 2 AR 2 ( α 1)2 ; T t=1 yt 1 2 υ 2 ( α 1) 2 ; AR, quando N = 0;, quando N = 1. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

49 CRITÉRIO DE INFORMAÇÃO E JANELA ÓTIMA Assim como as demais regras de decisão para raiz unitária, se o valor calculado dessa estatística for menor que o valor crítico, rejeita-se a hipótese de raiz unitária. Os testes são sensíveis ao tamanho da defasagem auto-regressiva p. Por exemplo, Ng e Perron mostram por simulações de Monte Carlo que o tamanho do teste DF-GLS com uma amostra de 250 observações, H = 0 e θ = 0, 8, reduz-se de 98, 5%, quando p = 0, para 9, 9%, quando p = 10. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

50 CRITÉRIO DE INFORMAÇÃO E JANELA ÓTIMA Foi preciso desenvolver uma técnica dependente da amostra para selecionar a defasagem ótima. Critério de Informação Definição Modified AIC - MAIC ln σ 2 + (n + τ) 2 T Modified BIC - MBIC ln σ 2 + (n + τ) ln T T Modified HQ - MHQ ln σ 2 + (n + τ) 2 T ln ln T. em que n é o número de parâmetros estimados na regressão 3; τ = α 2 T (yt 1) d 2 t=p max +1 ; σ 2 p = T t=p max +1 σ 2 p ε 2 t,p T p max. Observe aqui que ε 2 t,p é calculado a partir da regressão y t = d t + αy t 1 + em que p é fixado otimamente. p i=1 λ i y t i + ε t,p, Ng e Perron recomendam que se use o método MAIC. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

51 EXEMPLO Considere agora o exemplo da série de inflação, usando a janela espectral GLS-detrended AR com constante, com M = 12, definido pelo critério AIC modificado. Então, tem-se: IPCA Mz GLS α,µ Mz GSL t,µ MSB GLS MP GLS T Valor Calculado 1, 138 0, 593 0, , 967 1% 13, 800 2, 580 0, 174 1, 780 Valores Críticos 5% 8, 100 1, 980 0, 233 3, % 5, 700 1, 620 0, 275 4, 450 Nesse caso, não se rejeita. O resultado do teste é invariante a outras especificações de janela, ou cálculo paramétrico da variância de longo prazo. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

52 RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS Maneira mais direta: usar variáveis dummies para captá-las: y t = µ t + p i=1 λ i y t i+1 + ε t, µ t = α 0 + α 1 D 1t + α 2 D 2t + α 3 D 3t + αy t 1 + δt. Experimentos de Monte Carlo demonstram que a distribuição do teste sobre α não se altera na presença de sazonalidade determinística, mesmo na presença de tendência temporal, t. Sendo impossível usar dummies e havendo raiz unitária sazonal, suponha dados trimestrais, de modo que: (1 φ 1 L) (1 + φ 2 L) (1 iφ 3 L) (1 + iφ 4 L) y t = ε t. Se houver raiz unitária sazonal, então φ 1 = φ 2 = φ 3 = φ 4 = 1, gerando ( 1 L 4). José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

53 RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS Possibilidades: a b c Se φ 1 = 1, y t é o típico caso de um passeio aleatório, testado como já sabido; Se φ 2 = 1, a seqüência tende a se replicar a cada seis meses, portanto há uma raiz unitária semi-anual, já que a solução homogênea é: y t + y t 1 = 0. Por exemplo, se y t = 1, y t+1 = 1, y t+2 = 1,... Se φ 3 = 1 ou φ 4 = 1, a seqüência tem uma raiz unitária de ciclo anual. Para ver isso, suponha y t = 1, então y t+1 = i, y t+2 = i 2 = 1, y t+3 = i, y t+4 = 1. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

54 RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS Para entender o teste, expanda (1 φ 1 L) (1 + φ 2 L) (1 iφ 3 L) (1 + iφ 4 L) por Taylor em torno de φ 1 = φ 2 = φ 3 = φ 4 = 1. (1 φ 1 L) (1 + φ 2 L) (1 iφ 3 L) (1 + iφ 4 L) y t = ε t [ ( 1 L 4) L ( 1 + L + L 2 + L 3) (φ 1 1) +L ( 1 L + L 2 L 3) (φ 2 1) il ( 1 L 2) (1 + il) (φ 3 1) + +il ( 1 L 2) (1 il) (φ 4 1)]y t Definindo α j φ j 1, para todo j = 1, 2, 3, 4, e notando que i (1 + il) = i L e i (1 il) = i + L, pode-se escrever: ( 1 L 4 ) y t = α 1 ( 1 + L + L 2 + L 3) y t 1 α 2 ( 1 L + L 2 L 3) y t ( 1 L 2) [α 3 (i L) α 4 (i + L)] y t 1 + ε t. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

55 RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS Ou seja: ( 1 L 4 ) y t = ( α L + L 2 + L 3) ( y t 1 α 2 1 L + L 2 L 3) y t ( 1 L 2) [i (α 3 α 4 ) (α 3 + α 4 ) L] y t 1 + ε t. Definindo 2α 3 = α 6 iα 5 e 2α 4 = α 6 + iα 5, tem-se que (α 3 α 4 ) i = α 5 e (α 3 + α 4 ) = α 6. Disso resulta que: ( 1 L 4 ) y t = α 1 ( 1 + L + L 2 + L 3) y t 1 α 2 ( 1 L + L 2 L 3) y t ( 1 L 2) (α 5 α 6 L) y t 1 + ε t. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

56 RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS 1 Com base nessas derivações, monte séries auxiliares: x t 1 = y t 1 + y t 2 + y t 3 + y t 4 ; z t 1 = y t 1 y t 2 + y t 3 y t 4 ; m t 1 = y t 1 y t 3. 2 Estime a regressão aumentada de Dickey e Fuller: ( 1 L 4 ) y t = µ t + α 1 x t 1 α 2 z t 1 + α 5 m t 1 α 6 m t 2 + p i=1 λ i ( 1 L 4 ) y t i + ε t. 3 Se não se rejeita α 1 = 0, existe raiz unitária não sazonal. Se não se rejeita α 2 = 0, existe uma raiz unitária semestral. Se não se rejeita o teste F conjunto que α 5 = α 6 = 0, de modo que o valor calculado seja menor do que o valor crítico, há sazonalidade anual. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

57 RAÍZES UNITÁRIAS SAZONAIS Tabela: Valores Assintóticos para o Teste de Raiz Unitária Sazonal H 0 : α 1 = 0 α 2 = 0 α 5 = α 6 = 0 Regressores/T µ t = µ t = α µ t = α i=1 α i D it µ t = α 0 + δt µ t = α i=1 α i D it + δt Fonte: Tabelas 1A e 1B de Hyllleberg, et alli (1990). É preciso consultar as tabelas originais para outras amostragens. As hipóteses anteriores não são conjuntamente excludentes. José Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Não Estacionários Setembro / 61

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