Técnico em Fabricação Mecânica Disciplina de Resistência dos Materiais LORENA BRAGA MOURA

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1 Ministério da Educação - MEC Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica (SETEC) Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará Técnico em Fabricação Mecânica Disciplina de Resistência dos Materiais LORENA BRAGA MOURA

2 CRÉDITOS Presidente Dilma Vana Rousseff Ministro da Educação Aloizio Mercadante Oliva Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Marco Antonio de Oliveira Reitor do IFCE Cláudio Ricardo Gomes de Lima Pró-Reitor de Extensão Gutenberg Albuquerque Filho Coordenador Adjunto - Campus Fortaleza Fabio Alencar Mendonça Elaboração do conteúdo Lorena Braga Moura Equipe Técnica Manuela Pinheiro dos Santos Kaio Lucas Ribeiro de Queiroz Vanessa Barbosa da Silva Dias Edmilson Moreira Lima Filho Vitor de Carvalho Melo Lopes Rogers Guedes Feitosa Teixeira Pró-Reitor de Ensino Gilmar Lopes Ribeiro Pró-Reitor de Administração Virgilio Augusto Sales Araripe Diretor Geral Campus Fortaleza Antonio Moises Filho de Oliveira Mota Diretor de Ensino Campus Fortaleza José Eduardo Souza Bastos Coordenador Geral - Reitoria Jose Wally Mendonça Menezes Coordenador Adjunto - Reitoria Armênia Chaves Fernandes Vieira Supervisão - Reitoria Daniel Ferreira de Castro André Monteiro de Castro

3 O QUE É O PRONATEC? Criado no dia 26 de Outubro de 2011 com a sanção da Lei nº /2011 pela Presidenta Dilma Rousseff, o Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego (Pronatec) tem como objetivo principal expandir, interiorizar e democratizar a oferta de cursos de Educação Profissional e Tecnológica (EPT) para a população brasileira. Para tanto, prevê uma série de subprogramas, projetos e ações de assistência técnica e financeira que juntos oferecerão oito milhões de vagas a brasileiros de diferentes perfis nos próximos quatro anos. Os destaques do Pronatec são: Criação da Bolsa-Formação; Criação do FIES Técnico; Consolidação da Rede e-tec Brasil; Fomento às redes estaduais de EPT por intermédio do Brasil Profissionalizado; Expansão da Rede Federal de Educação Profissional Tecnológica (EPT). A principal novidade do Pronatec é a criação da Bolsa-Formação, que permitirá a oferta de vagas em cursos técnicos e de Formação Inicial e Continuada (FIC), também conhecidos como cursos de qualificação. Oferecidos gratuitamente a trabalhadores, estudantes e pessoas em vulnerabilidade social, esses cursos presenciais serão realizados pela Rede Federal de Educação Profissional, Científica e Tecnológica, por escolas estaduais de EPT e por unidades de serviços nacionais de aprendizagem como o SENAC e o SENAI. Objetivos Expandir, interiorizar e democratizar a oferta de cursos de Educação Profissional Técnica de nível médio e de cursos e programas de formação inicial e continuada de trabalhadores; Fomentar e apoiar a expansão da rede física de atendimento da Educação Profissional e Tecnológica; Contribuir para a melhoria da qualidade do Ensino Médio Público, por meio da Educação Profissional; Ampliar as oportunidades educacionais dos trabalhadores por meio do incremento da formação profissional. Ações Ampliação de vagas e expansão da Rede Federal de Educação Profissional e Tecnológica; Fomento à ampliação de vagas e à expansão das redes estaduais de Educação Profissional; Incentivo à ampliação de vagas e à expansão da rede física de atendimento dos Serviços Nacionais de Aprendizagem; Oferta de Bolsa-Formação, nas modalidades: Bolsa-Formação Estudante; Bolsa-Formação Trabalhador. Atendimento a beneficiários do Seguro-Desemprego; 2

4 SUMÀRIO Apresentação da disciplina... 5 Aula 1 Revisão dos Fundamentos de trigonometria... 6 Tópico 1 Revisão de Trigonometria... 7 Aula 2 Introdução à Mecânica Tópico 1 Conceitos Básicos de Mecânica Tópico 2 Fundamentos de Estática Aula 3 Fundamentos de Resistência dos Materiais Tópico 1 Principais conceitos da Resistência dos Materiais Aula 4 Tensão e Deformação Tópico 1 Tensão e Deformação Aula 5 Propriedades Mecânicas: Fundamentos Tópico 1 Propriedades mecânicas e Diagrama tensão-deformação Aula 6 Carga Axial Tópico 1 Membros carregados axialmente Aula 7 Vasos de pressão de paredes finas Tópico 1 Vasos Cilíndricos e esféricos Referências Bibliográficas

5 APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA O objetivo principal de uma disciplina de resistência dos materiais é o desenvolvimento das relações entre as cargas aplicadas a um corpo deformável (nãorígido) e as forças internas e deformações nele originadas. O desenvolvimento de qualquer projeto de máquina ou estrutura na engenharia baseiase nos fundamentos de resistência dos materiais. Sendo necessário primeiro usar os princípios básicos da estática para determinar as forças que atuam tanto sobre como no interior dos corpos. A dimensão dos elementos, sua deformação e sua estabilidade dependem também do tipo de material do qual são feitos. Dessa forma, a compreensão do comportamento do material quando submetido às solicitações externas é de vital importância para o desenvolvimento das equações de resistência dos materiais e consequentemente para a realização de projetos mecânicos. Esta apostila aborda os conceitos básicos de resistência dos materiais, com o propósito de tornar o assunto mais acessível aos alunos que estão sendo iniciados em seus estudos de mecânica dos corpos deformáveis. Revisaremos os conceitos fundamentais da trigonometria, alguns princípios importantes da estática e mostraremos como eles são utilizados para determinar os esforços internos resultantes em um corpo. Serão introduzidos ainda os conceitos de tensão normal, tensão de cisalhamento, tensão admissível, fator de segurança, deformação, além de uma revisão das propriedades mecânicas dos materiais. O estudo da mecânica dos materiais é muito mais amplo e complexo do que o apresentado neste material, deixando clara a necessidade de mais pesquisas e estudos para a total compreensão e domínio do assunto. Para isso é sugerida uma bibliografia básica para que o aluno aprofunde seu conhecimento de resistência dos materiais. 4

6 AULA 1 Revisão dos Fundamentos de trigonometria Nessa primeira aula serão apresentadas algumas definições importantes para orientar o estudo em questão, abordando uma rápida revisão das relações e fundamentos básicos de trigonometria para o entendimento geral de conceitos posteriores relacionados à estática e à resistência dos materiais. Ao final dessa aula você deverá ser capaz de calcular as relações métricas do triângulo retângulo, as dimensões de um triângulo retângulo através do teorema de Pitágoras e os ângulos através das funções trigonométricas especiais. Objetivos Revisão das relações métricas de um triângulo retângulo Revisão do teorema de Pitágoras Revisão das funções trigonométricas 5

7 TÓPICO 1 Revisão de Trigonometria Objetivos do tópico: Definir as relações métricas do triângulo retângulo e o teorema de pitágoras Apresentar as funções trigonométricas especiais e Apresentar a relação fundamental da trigonometria 1.1 Triângulo Retângulo Triângulos retângulos são figuras geométricas planas com três lados e três ângulos que possuem um ângulo reto, ou seja, medindo 90. a) Elementos Considerando-se um triângulo ABC, retângulo em A, podem-se caracterizar os seguintes elementos: Lado AB = c: cateto Lado AC = b: cateto Lado BC = a: hipotenusa Lado AD = h: altura relativa à hipotenusa Lado BD = m: projeção de c sobre a Lado DC = n: projeção de b sobre a b) Relações métricas c m h n D Figura 1.1 b Conduz-se a altura AD relativa à hipotenusa do triângulo ABC, obtem-se dois triângulos retângulos ABD e ACD semelhantes ao triângulo ABC. Devido à congruência dos ângulos indicados: B 1 (complementos de C) C 2 (complementos de B) Figura 1.2 Com base na semelhança dos triângulos ΔABC, ΔABD e ΔACD, determinam-se as seguintes relações: 6

8 1.2. Teorema de Pitágoras Figura 1.3. (1) b² = a. n (3) h² = m. n (5) b. h = c. n (2) c² = a. m (4) b. c = a. h (6) c. h = b. m O teorema de Pitágoras pode ser provado considerando-se as relações (1) e (2) definidas anteriormente, e somando-se membro a membro, como segue: (1) b² = a. n b² + c² = am + an b² + c² = a(m + n) b² + c² = a² (2) c² = a. m Demonstrou-se que: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos a² = b² + c² 1.3. Seno, Cosseno e Tangente de um ângulo agudo (30, 45 e 90 ) Sendo θ a medida de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo ΔABC mostrado, tem-se: C b a A c θ B Figura 1.4. Seno de θ = Cosseno de θ = 7

9 tangente de θ = a) Razões trigonométricas especiais Tabela 1.1. razões trigonométricas especiais b) Relação fundamental da trigonometria Relacionando o teorema de Pitágoras com as funções trigonométricas do seno e do cosseno, obtemos a seguinte relação: b = a senθ a² = b² + c² a² = (a senθ)² + (a cosθ)² c = a cosθ a² = a² sen²θ + a² cos²θ a² = a² (sen²θ + cos²θ) sen²θ + cos²θ = Alfabeto grego Nas formulações matemáticas de resistência dos materiais usualmente utilizam-se letras do alfabeto grego, portanto, é necessário conhece-las. 8

10 Tabela 1.2. Alfabeto grego 1.5. Exercícios 01. Determine o valor de x nos casos: a) b) c) 9

11 02. Determine x nos casos abaixo: a) b) c) 03. Utilizando as relações métricas determine o valor de x: a) b) c) 04. Determine x e y nos triângulos abaixo: a) b) 05. Determine o valor de x nas figuras planas mostradas: a) quadrado b) trapézio isóceles c) losango e) paralelogramo 10

12 06. Determine a altura de um triângulo eqüilátero de perímetro igual a 24m. 07. A altura relativa à base de um triângulo isósceles excede a base em 2m. Determine a base, se o perímetro é de 36m. 08. Determine o senα nos casos seguintes: a) b) c) 09. Determine o cosα nos casos: a) b) c) 10. Determine a tgα nos casos: a) b) c) 11

13 11. Determine o valor de x : a) b) c) d) 12. Determinar x e y nas figuras abaixo: a) Retângulo b) Paralelogramo c) trapézio retângulo 13. Determine a diagonal de um retângulo de perímetro 20m e base 6m. 14. O perímetro de um triângulo isósceles é de 18m e a altura relativa à base mede 3m. Determine a base. 15. Determine a menor altura de um triângulo cujos lados medem 4m, 5m e 6m. 12

14 AULA 2 Introdução à Mecânica O físco e matemático inglês, Isaac Newton, em 1686, foi o primeiro a apresentar uma teoria que explicava satisfatoriamente os movimentos, em um trabalho sobre os princípios da mecânica. O sucesso da Mecânica Newtoniana foi imediato e duradouro, ela reinou por mais de 200 anos. Houve, na verdade, a necessidade de alguns aperfeiçoamentos feitos mais tarde por outros físicos, mas a base da mecânica de Newton permaneceu inalterada até o começo do século XX, com o surgimento da Mecânica Relativística e da Mecânica Quântica para explicar certos fatos que a mecânica Newtoniana não consegue. A mecânica relativística é necessária quando os corpos se movem com velocidades muito altas (v > 3000Km/s), enquanto que a mecânica quântica é necessária para o estudo dos fenômenos atômicos e nucleares. Nessa aula abordaremos a definição de alguns conceitos básicos da mecânica necessários para o entendimento dos princípios da resistência dos materiais. Além da classificação da mecânica clássica e das unidades de medida utilizadas pelo sistema internacional de Unidades (SI). Serão abordados também os fundamentos de estática, com o estudo das forças, momentos, equações de equilíbrio, apoios e suas reações. Objetivos Definir conceitos fundamentais de Mecânica Apresentar a classificação da mecânica Apresentar o Sistema Internacional de Unidades Determinar os princípios da estática. Estudar as forças e momentos Estudar as equações de equilíbrio, os apoios e suas reações. 13

15 TÓPICO 1 Conceitos Básicos de Mecânica Objetivos do tópico: Apresentar a definição e a divisão da mecânica clássica Apresentar o sistema internacional de unidades 2.1. Introdução A Mecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças e dos movimentos. Descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob a ação de forças. A finalidade da Mecânica é explicar e prever fenômenos físicos, fornecendo, assim, os fundamentos para as aplicações da Engenharia e para fenômenos encontrados no dia a dia. A Mecânica é subdividida em três grandes ramos: Mecânica dos Corpos Rígidos, Mecânica dos Corpos Deformável e Mecânica dos Fluídos, como indicado na figura 2.1 abaixo: Estática Mecânica dos Corpos Rígidos Dinâmica Mecânica Mecânica dos Corpos Deformáveis Cinemática Resistência dos Materiais Mecânica dos Fluidos Figura 2.1 Divisões da mecânica clássica. Fluidos incompressíveis (fluidos) Fluidos compressíveis (gases) Mecânica dos corpos rígidos: é subdividida em: Estática, Cinemática e Dinâmica. A Estática se refere aos corpos em repouso e estuda as forças em equilíbrio, independentemente do movimento por elas produzido. Na Estática, os corpos analisados são considerados rígidos, conseqüentemente, os resultados obtidos independem das propriedades do material. A Cinemática estuda os movimentos em si e as leis que os regem: - movimento uniforme móvel percorrendo espaços iguais em tempos iguais para quaisquer trechos de trajetória; 14

16 - movimento uniformemente variado a velocidade do móvel varia de valores iguais em tempos iguais. Se houver crescimento da velocidade, o movimento será uniformemente acelerado; se houver decréscimo, o movimento será uniformemente retardado; - movimentos de rotação. A Dinâmica estuda a relação entre o movimento e a causa que o produz (força). Mecânica dos corpos deformáveis: as estruturas e as máquinas nunca são absolutamente rígidas, deformando-se sob a ação das cargas a que estão submetidas. Estas deformações são geralmente pequenas e não alteram apreciavelmente as condições de equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada. No entanto, essas deformações terão importância quando houver riscos de ruptura do material. A Mecânica dos corpos deformáveis é estudada pela Resistência dos Materiais, também conhecida como Mecânica dos Materiais ou Mecânica dos Sólidos. O estudo dos corpos deformáveis resume-se na determinação da resistência mecânica, da rigidez e da estabilidade de elementos estruturais. Mecânica dos fluídos: A Mecânica dos Fluídos é subdividida no estudo dos fluidos incompressíveis (líquidos) e fluidos compressíveis (gases). Uma importante subdivisão do estudo de fluidos incompressíveis é a hidráulica Conceitos fundamentais Os conceitos fundamentais da mecânica clássica baseiam-se na mecânica newtoniana, ou seja, nas leis de Newton. Isaac Newton ( ) foi um físico e matemático inglês quem primeiro apresentou uma teoria que realmente explicava as causas do movimento. Algumas definições tornam-se necessária para o melhor entendimento da mecânica: Ponto Material é um corpo cujas dimensões podem ser desprezadas. É considerado um ponto geométrico em que se concentra toda a massa do corpo; Corpo Extenso quando as dimensões do corpo influenciarem no estudo; Referencial é um corpo em relação ao qual se analisa o estado de movimento de um móvel; Espaço o conceito de espaço é associado à noção de posição de um ponto material, o qual pode ser definido por três comprimentos, medidos a partir de um certo ponto de referência, ou de origem, segundo três direções dadas. Estes comprimentos são conhecidos como as coordenadas do ponto; Tempo para se definir um evento não é suficiente definir sua posição no espaço. O tempo ou instante em que o evento ocorre também deve ser dado; Massa é uma medida da quantidade de matéria contida no corpo; Força a força representa a ação de um corpo sobre outro; é a causa que tende a produzir movimento ou a modificá-lo. A força é caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido; uma força é representada por um vetor; 15

17 As três Leis ou princípios da mecânica são: o princípio da inércia (primeira lei de Newton), o princípio fundamental da dinâmica (segunda lei de Newton) e o princípio da ação e reação (terceira lei de Newton). Estabelecem que: Primeira lei de Newton qualquer corpo em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme tende a permanecer nesses estados, a menos que seja obrigado a alterá-los por aplicação de forças externas; Segunda lei de Newton A força resultante externa, agindo sobre um corpo, produz uma aceleração, na mesma direção e no mesmo sentido da força, inversamente proporcional à massa do corpo. F = m.a Terceira lei de Newton quando um corpo exerce uma força sobre um segundo corpo, o segundo corpo reage sobre o primeiro com uma força de mesma direção, de mesma intensidade e de sentido contrário Sistema Internacional de Unidades O sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas ou fundamentais e unidades derivadas. As grandezas fundamentais adotadas na mecânica são: comprimento, massa e tempo. As grandezas derivadas podem ser relacionadas com as unidades básicas, que são entre outras, força, pressão, trabalho, etc. As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as três unidades básicas escolhidas são independentes dos locais onde são feitas as medições. Tabela 2.1. Unidades Básicas Unidade fundamental Sím bolo Comprimento Metro M Massa Quilograma Kg Tempo Segundo s Algumas unidades derivadas são importantes para o presente estudo: Tabela 2.2. Unidades derivadas Unidade derivada Símbolo Área Metro quadrado m² Força Newton N Momento Newton vezes metro N.m Tensão Pascal Pa A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que imprime a aceleração de 1 m/s 2 à massa de 1 kg. A partir da Equação F = m.a (segunda Lei de Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg 1 m/s 2. As medidas estáticas de forças são efetuadas por meio de instrumentos chamados dinamômetros. 16

18 O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N). Da equação P = m.g (terceira Lei de Newton) segue-se que o peso de um corpo de massa 1 kg é = (1 kg) (9,81 m/s 2 ) = 9,81 N, onde g=9,81m/s 2 é a aceleração da gravidade. A tensão ou pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como a pressão exercida por uma força de 1 Newton uniformemente distribuída sobre uma superfície plana de 1 metro quadrado de área, perpendicular à direção da força Pa = N /m². Pascal é também unidade de tensões normais (compressão ou tração) ou tensões tangenciais (cisalhamento). Múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais e derivadas são utilizados na forma de potências inteiras de dez. esses múltiplos e submúltiplos são designados por prefixos. Observe a tabela: Tabela 2.3. Múltiplos e submúltiplos Pre fixo Sím bolo Fator pelo qual a unidade é multiplicada Exa- E = Peta- P = Tera- T = Giga- G 10 9 = Mega- M 10 6 = Quilo- K 10 3 = Hecto- h 10 2 = 100 Deca- da 10 1 = 10 Deci- d 10-1 = 0,1 Centi- c 10-2 = 0,01 Mili- m 10-3 = 0,001 Micro- μ 10-6 = 0, Nano- n 10-9 = 0, Pico- p = 0, Femto- f = 0, Atto- a = 0,

19 TÓPICO 2 Fundamentos de Estática Objetivos do tópico: Forças no plano, força resultante e momento de uma força Equilíbrio de um ponto material e de um corpo extenso rígido Apoios, reações e tipos de estruturas A estática é um assunto de grande utilidade na engenharia e mesmo no seu dia a dia, como por exemplo, ao abrir uma porta, ao usar um alicate ou ao trocar um pneu de carro, você mesmo sem saber está utilizando os conceitos e aplicações da estática Forças no plano A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido. A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI). A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo, como indicado na figura 3.1. Figura 3.1. Definição de força O sentido da força é indicado por uma seta (vetor). Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um único ponto de um corpo (figura 3.2). P Figura 3.2. Grupo de forças Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos diversos de um mesmo corpo (figura 3.3). F5 β θ F3 F4 F2 α Figura 3.3 sistema de forças F1 18

20 3.2. Força Resultante A força resultante (R) de um grupo de forças é a força que determina o mesmo efeito que o grupo de forças (figura 3.4 e 3.5). Formas de determinar a resultante das forças: Regra do paralelogramo: vale para duas forças de cada vez. P P = + = + = + + Figura 3.4. Regra do paralelogramo Método das Projeções: escolhem-se dois eixos ortogonais x e y no plano das forças aplicadas ao ponto P e que formam com as direções das forças ângulos conhecidos. Cada uma das forças é projetada sobre os eixos x e y, encontrando-se as respectivas projeções ortogonais: Figura 3.5. Método das projeções Aplicando as relações trigonométricas para os ângulos α, β e θ, temos: F 1x = - F 1 senβ F 2x = F 2 cosα F 3x = F 3 senθ F 1y = F 1 cosβ F 2y = F 2 senα F 3y = - F 3 cosθ 19

21 Efetua-se então a soma algébrica das projeções para cada eixo, obtendo-se as resultantes (R x e R y ) em cada um desses eixos x e y, respectivamente: y R x = F 1x + F 2x + F 3x = - F 1 senβ + F 2 cosα + F 3 senθ R y = F 1y + F 2y + F 3y = F 1 cosβ + F 2 senα - F 3 cosθ Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo R y R com hipotenusa R, catetos Rx e Ry, temos: R² = R² x + R² y R x x Figura 3.6. Representação da resultante 3.3. Equilíbrio de um ponto material Considere um ponto material P sujeito a um sistema de forças F 1, F 2, F 3,..., F n Figura 3.7. ponto material sujeito a n forças O ponto material P está em equilíbrio quando é nula a resultante das forças que atuam sobre ele, isto é: Σ F = 0 ou R = F 1 + F 2 + F F n = 0 Utilizando o método das projeções ainda pode-se dizer que é nula a soma algébrica das forças atuando nos dois eixos ortogonais x e y: Σ F x = 0 ou R x = F 1x + F 2x + F 3x F nx = 0 Σ F y = 0 ou R y = F 1y + F 2y + F 3y F ny = 0 A condição de equilíbrio de um ponto material é uma garantia de que o ponto material não sofrerá translação Momento de uma força Quando um corpo rígido (extenso) está sujeito a um sistema de forças, ele pode adquirir movimento de translação ou de rotação. Para um corpo rígido de peso desprezível, sujeito às forças F 1 e F 2 de mesma direção, mesma intensidade, mas sentidos diferentes, como na figura 3.8. F 1 F 2 Figura 3.8. Momento de uma força 20

22 É claro que a resultante das forças é nula, isto é, R = F 1 + F 2 = 0, garantindo que o corpo não sofre translação. Contudo, o corpo na situação acima pode sofrer rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano da figura (saindo do papel). Por esse motivo as condições de equilíbrio de um corpo extenso rígido devem levar em conta também a rotação. Defini-se, portanto, uma grandeza vetorial denominada momento de uma força em relação a um ponto, como uma medida da tendência da força provocar uma rotação em torno daquele ponto. A intensidade do momento de uma força F, aplicada em um ponto P, em relação a um ponto O, é calculada por: Figura 3.9. Equação do momento Onde: F intensidade da força, em Newton (N) d distância do ponto O até a linha de ação da força, em metro (m) M o intensidade do momento da força, em Newton. metro (N.m) O é o pólo ou centro do momento. O momento Mo é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto O. O sentido de Mo é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F. Convenciona-se momento positivo se a força F tender a girar o corpo no sentido anti-horário e negativo, se tender a girar o corpo no sentido horário. Figura Convenção de sinais para momento No SI, onde a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m). Portanto, o momento é expresso em newtons metros (N m). Momento de um binário Duas forças F e F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formam um binário. A soma das componentes das duas forças em qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um dado ponto não é zero. Apesar de as duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, tendem a fazê-lo girar. 21

23 Figura Momento de um binário 3.5. Equilíbrio de Corpos Rígidos Para garantir o equilíbrio de um corpo extenso rígido devemos impor duas condições: uma para evitar a translação do corpo e outra para evitar sua rotação. Então as condições para que um corpo extenso sujeito a um sistema de forças esteja em equilíbrio, são: 1ª) A resultante do sistema de forças deve ser nula, ou seja, que o somatório das forças na direção x e na direção y seja igual a zero. R = F 1 + F 2 + F F n = 0 ( Σ F = 0 ) Equilíbrio da translação ou R x = F 1x + F 2x + F 3x F nx = 0 ( Σ F x = 0 ) R y = F 1y + F 2y + F 3y F ny = 0 ( Σ F y = 0 ) 2ª) A soma algébrica dos momentos das forças do sistema deve ser nula em relação a qualquer ponto: M 1 + M 2 + M M n = 0 ( Σ M = 0 ) Equilíbrio da rotação 3.6. Apoios e suas reações Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não basta conhecer somente as forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este corpo rígido está apoiado. Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e recebem a seguinte classificação: a) Apoio móvel: Figura Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao plano do apoio; Permite movimento na direção paralela ao plano do apoio; Permite rotação. 22

24 b) Apoio Fixo: Figura Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; Permite rotação. c) Engastamento: Figura Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; Impede rotação. Outros exemplos de apoios e suas reações podem ser observados na tabela 3.1. abaixo: Tabela 3.1.: Tipos de acoplamentos (apoios) e suas reações 23

25 3.7. Tipos de Estruturas As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada. Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais: Σ F x = 0 Σ F y = 0 e Σ M o = 0 As estruturas são classificadas como: Hipostática, Isostática e Hiperestática. A definição de cada uma delas é dada a seguir. a) Estruturas Hipostáticas São aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos (2) é inferior ao número de equações (3) fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. Figura A figura ilustra um tipo de estrutura hipostática. As incógnitas são duas: RA e RB. Esta estrutura não possui restrição a movimentos horizontais. b) Estruturas Isostáticas São aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é igual ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. No exemplo da estrutura da figura 3.15., as incógnitas são três: RA, RB e HA. Esta estrutura está fixa; suas incógnitas podem ser resolvidas somente pelas equações fundamentais da Estática. Figura c) Estruturas Hiperestáticas São aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é superior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 24

26 Um tipo de estrutura hiperestática está ilustrado na figura As incógnitas são quatro: RA, RB, HA e MA. Figura As equações fundamentais da Estática não são suficientes para resolver as equações de equilíbrio. São necessárias outras condições relativas ao comportamento da estrutura, como por exemplo, a sua deformabilidade para determinar todas as incógnitas. Em casos como esse se torna necessário o conhecimento da mecânica dos corpos deformáveis, ou seja, de resistência dos materiais Exercícios 16. Determinar a Resultante das duas forças P e Q que agem sobre o parafuso A. sen20 =0,34; cos20 =0,93; sen45 =0,71; cos45 =0, Determinar a resultante do sistema de forças indicado. sen50 =0,77; cos50 =0,64; sen30 =0,5; cos30 =0,86. 25

27 18. Determinar o valor da força F para que o ponto material esteja em equilíbrio. sen60 =0,87, cos60 =0,5 a) b) c) d) e) f) sen65 =0,91; cos65 =0, Um ponto material sujeito a duas forças. Determine a força resultante e o ângulo que ela faz com a horizontal. a) F 1 = 30N b) F 1 = 0,6N F 2 = 40N F 2 = 0,8N 26

28 20. determine a resultante de um sistema de forças de um ponto material. a) b) 10N 2N N 10N N 4N 21. Um ponto material P está em equilíbrio. Sendo F 1 = 3N, senα = 0,6 e cosα = 0,8. Determine as forças F 2 e F 3. F 2 α F 3 F As forças indicadas agem sobre um ponto material que se encontra em equilíbrio. Sabendo que F 1 = 10N, sen30 = 0,5 e cos30 = 0,87. Determine F 2 e F 3. F 2 30 F 3 F Determine as tensões nos cabos, o sistema está em equilíbrio e g = 10 m/s 2 a) b) 27

29 24. Nas figuras abaixo determine os momentos das forças dadas em relação ao ponto A. a) F = 2,5 N e L = 1,5 m b) c) 25. Uma barra homogênea de peso P = 20N está apoiada nos extremos A e B distância 1,0m. A 0,20m da extremidade B é colocado um corpo C de peso Pc = 20N. Determine a intensidade dos apoios A e B sobre a barra. 26. Uma barra homogênea AB de peso P igual a 10N e comprimento L de 0,5m está apoiada em um ponto O a 0,1m de A. De A pende um corpo de peso Q1 = 50N. A que distância X de B deve ser colocado um corpo de peso Q2 = 10N para que a barra fique em equilíbrio na horizontal. 28

30 27. Uma barra homogênea de peso 100N é articulada em A e mantida em equilíbrio por meio de fio BC. Em B é suspenso um peso de 200N. Determine a intensidade da força que traciona o fio BC e a reação da articulação A (Componente vertical e horizontal). 28. Determine as reações nos apoios A e B da viga. 29. Calcule as reações no apoio A na barra submetida a uma carga distribuída de 2kN/m e carga concentrada de 5kN. 29

31 AULA 3 Fundamentos de Resistência dos Materiais Nessa aula aplicaremos alguns conceitos da estática e mostraremos como eles são usados para determinar os esforços internos resultantes em um corpo. Definiremos resistência dos materiais e sua aplicabilidade na área de projetos de estruturas e máquinas. As forças aplicadas aos corpos serão também classificadas. Objetivos Apresentar definição e história da resistência dos materiais Classificar as forças Determinar o método das seções. 30

32 TÓPICO 1 Principais conceitos da Resistência dos Materiais Objetivos do tópico: Definir alguns Conceitos fundamentais Apresentar a classificação das forças Apresentar o método das seções 4.1. Introdução Resistência dos Materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo. Esse conhecimento é empregado para realizar a análise e o projeto de qualquer estrutura ou máquina sujeita a diferentes carregamentos. Importante para o projeto seguro de aviões, navios, espaçonaves, prédios, pontes, máquinas etc. Aplica-se, por exemplo, no dimensionamento correto dos parafusos usados no acoplamento de uma estrutura metálica que estão submetidos à tensão. Os primeiros estudos relacionados à resistência dos materiais surgiram na Antiga Grécia com os fundamentos da estática dos corpos rígidos, mas nada relativo às deformações. A origem da resistência dos materiais baseava-se na Teoria e na Experiência, com as pesquisas realizadas por: - Leonardo da Vinci ( ): apresentou interesse pela estática dos corpos deformáveis e pelas propriedades mecânicas dos materiais de engenharia; - Galileo Galilei ( ): realizou experiências para estudar os efeitos das cargas em hastes e vigas e estabeleceu descrições experimentais precisas das propriedades mecânicas dos materiais. - Robert Hooke ( ): seus estudos levaram a definição da Lei de Hooke em que as tensões são proporcionais às deformações. - Leonard Euler ( ): Desenvolveu a teoria matemática de colunas e calculou a carga crítica de uma coluna em Outros estudos notáveis foram realizados por: Bernouilli, Navier, Coulomb,Thomas Young, Poisson entre outros. - Problemas complexos com a utilização de Matémática avançada e computador, amplia o campo de estudo de resistência dos materiais para disciplinas de mecânica avançada como as teorias da elasticiadade e da plasticidade. Suposições introduzidas na resistência dos materiais (hipóteses básicas) a) Material homogêneo: possui as mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo o seu volume, afim de que o material sofra deformação uniforme; b) Material isotrópico: possui essas mesmas propriedades em todas as direções. Ex. Aço. material anisotrópico: possui propriedades diferentes em diferentes direções 31

33 4.2. Classificação das forças externas e carregamentos Internos Figura 4.1. Classificação das forças Força externa: pode ser força de superfície ou força de corpo a) Forças de superfície: causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície de outro (força distribuída na área de contato entre os corpos). - Força concentrada: quando a área de contato for pequena em relação à área total da superfície. - Carga linear distribuída: se a carga na superfície for aplicada ao longo de uma área estreita. c) Força de corpo: quando um corpo exerce uma força sobre outro sem contato físico direto. Exemplo: Peso efeito da gravidade. Diagrama de corpo livre: é desenhado para especificar os efeitos de todas as forças e conjugados aplicados no corpo e que serão considerados nas equações de equilíbrio. Carga interna resultante: Determinação da força resultante e do momento em que atuam no interior do corpo, necessários para manter o corpo unido quando submetido a cargas externas. Tipos de cargas internas resultantes: N (Força Normal) força que atua perpendicular à área (quando forças externas tendem a empurrar ou puxar); V (Força Cisalhante) força que se localiza no plano da área, ou seja, tangente à seção transversal considerada; T (Momento de Torção ou Torque) Efeito criado quando as cargas tendem a torcer uma parte do corpo em relação à outra; M (Momento Fletor) Provocado pelas cargas que tendem a fletir o corpo em relação ao eixo localizado no plano da área. 32

34 4.3. Método das seções: Utilizado para determinar as cargas internas que atuam em uma região específica no interior do corpo. 1. Faz-se uma seção (seção transversal) ou corte através da região em que as cargas internas devem ser determinadas. 2. As duas partes do corpo são separadas, e o diagrama de corpo livre de uma das partes é desenhado. 3. Utiliza-se as equações de equilíbrio para relacionar as forças externas sobre o corpo à força resultante e ao momento em qualquer ponto específico O da área secionada. 4. O ponto O é comumente escolhido como centróide da área secionada. Três Dimensões (plano x-y-z): Força Normal, N. Força de cisalhamento,v. Momento de torção ou torque, T. Momento fletor, M. Figura 4.2. Em um sistema de coordenadas x, y, z, cada uma das cargas apresentadas é determinada diretamente pelas seis equações de equilíbrio aplicadas a qualquer segmento do corpo. Cargas Coplanares (plano x-y) Força Normal, N. Força de cisalhamento,v. Momento fletor, M. Figura

35 4.4. Exercícios 30. A barra AB é uniforme e tem peso igual a 1 kn. Ela está apoiada nas duas estremidades e suporta os pesos ilustrados na figura ao lado. Nessas condições e, considerando que o sistema está em equilíbrio, calcule as reações nos apoios A e B. 2 m 5 m 3 m A B 0,5 kn 1,5 kn 31. A barra representada ao lado é uniforme e tem peso igual a 0,5 kn. Ela está apoiada nos pontos A e B e suporta as forças representadas na figura ao lado. Nessas condições e, considerando que o sistema está em equilíbrio, calcule as reações nos apoios A e B. 0,5 kn 1,5 kn 2 m 5 m 3 m A B 32. A barra rígida representada na figura ao lado está presa em uma de suas extremidades e na outra recebe a ação de uma força de 100 N, conforme indicado. Nestas condições determine as reações vertical e horizontal e a intensidade do momento no apoio. 100 N m 33. Um bloco compacto pesando 20 kn está suspenso, conforme ilustrado ao lado. Considerando desprezível o peso da barra AB, determine a intensidade das forças que atuam no cabo BC e na barra AB. 34

36 34. Na estrutura representada ao lado a esfera pesa 300 N. Qual deverá ser o peso da barra para que o sistema fique em equilíbrio? 2 m 8 m 35. Na estrutura representada ao lado, o peso da barra é de 1 kn, sendo que o bloco pesa 2 kn e, o sistema está em equilibrio. Calcule as reações nos apoios A e B. 3 m 7 m 2 kn A 36. Aplicando o método das seções determine as cargas internas no ponto C das estruturas abaixo. a) b) B c) d) e) f) 35

37 AULA 4 Tensão e Deformação Nesta aula abordaremos os conceitos de tensão, sua classificação e como determina-la. Também apresentaremos os conceitos e classificação de deformação de um corpo. Em um projeto de elementos estruturais ou mecânicos deve-se restringir a tensão do material a um nível segura, é preciso analisar quais cargas adicionais podem ser suportadas e baseando-se nesses cálculos determina-se uma tensão segura ou admissível para garantir a segurança do projeto. Nessa aula também definiremos o conceito de fator de segurança. Objetivos Apresentar a classificação e definição dos vários tipos de defeitos cristalinos Calcular o número de lacunas em equilíbrio em um material Definir defeitos de contorno de grão e de macla. Definir fator de segurança 36

38 TÓPICO 1 Tensão e Deformação Objetivos do tópico: Definição de tensão Classificação de tensão Definição e classificação de deformação Definição de fator de segurança 5.1. Introdução Uma TENSÃO descreve a intensidade da força interna sobre um plano específico (área) que passa por determinado ponto. Considerando que exista uma força finita de intensidade F atuando sobre uma seção da área A, a relação F/A é chamada de tensão. Devem-se supor duas hipóteses em relação às propriedades do material: a) contínuo distribuição uniforme da matéria, sem vazios b) coeso todas as suas partes estão bem unidas, sem trincas ou falhas. Dependendo da direção do carregamento interno com relação à seção transversal considerada pode-se classificar a tensão em dois tipos: Tensão Normal (σ) e Tensão de Cisalhamento (τ). Cada uma dessas tensões será discutida nos tópicos seguintes através de suas definições, fórmulas, classificações e deformações associadas Tensão normal média ( - sigma). Define-se como a intensidade da força P, ou força por unidade de área, que atua no sentido perpendicular a A, Classifica-se em dois tipos dependendo da característica do carregamento externo aplicado: Onde: - Tensão normal média em qualquer ponto da área da seção Transversal (Pa); P Resultante da força normal interna, aplicada no centróide da área da seção transversal. P é determinada pelo método das seções e pelas equações de equilíbrio (N); A - Área da seção transversal da barra (m 2 ). Figura 5.1. a) tensão de tração - seção transversal submetida a um carregamento de tração. Considerada positiva; b) tensão de compressão seção transversal submetida a um carregamento de compressão. Considerada negativa. 37

39 No SI (Sistema Internacional de Medidas) a unidade de medida de tensão é: ou 5.3. Tensão cisalhante média (τ tau) A tensão de cisalhamento atua tangencialmente à área seccionada. Supondo que as cargas estão distribuídas uniformemente, define-se cisalhamento médio como: τ tensão de cisalhamento média na seção; V resultante interna da força de cisalhamento; A área da seção. Figura 5.2. Exemplo de uma viga submetida a força cisalhante Classifica-se o cisalhamento em dois tipos de acordo com a seção transversal que está submetida ao cisalhamento, são eles: a) Simples ou direto: é provocado pela ação direta da carga aplicada F com apenas uma superfície de cisalhamento. Ocorrem frequentemente em vários tipos de acoplamentos simples que usam parafusos, pinos, material de solda etc. Nesse caso: 38

40 Figura 5.3. Chapas de aço fixadas por pino e placas de madeira coladas b) Duplo: quando existem duas superfícies de cisalhamento. Ocorre em acoplamentos geralmente chamados de juntas de dupla sobreposição. Nesse caso: Figura 5.4. Juntas de aço e madeira sobre a ação de cisalhamento duplo 5.4. Tensão admissível e fator de segurança Dentro das aplicações da engenharia, a determinação de tensões não é o objetivo final, mas um passo necessário no desenvolvimento de dois dos mais importantes estudos. 1. A análise de estruturas e máquinas: para prever o comportamento sob condições de carga específicas. 2. O projeto de estruturas e máquinas: que devem ser projetadas de forma econômica e segura. É necessário escolher uma tensão admissível que restrinja a carga aplicada a um valor menor do que a carga que o elemento possa suportar integralmente. Por várias razões: - a carga de projeto pode ser diferente do carregamento aplicado; - erros de fabricação ou montagem em componentes; - vibrações desconhecidas; - corrosão atmosférica, deterioração ou desgaste durante o uso; - variações nas propriedades mecânicas. 39

41 Quando se aplica a carga admissível, apenas uma parte da capacidade de resistência do material está sendo utilizada; outra parte é reservada para assegurar ao material condições de utilização segura. Para especificar a carga para o projeto ou a análise de um elemento usa-se um número denominado Coeficiente ou Fator de Segurança (F.S.) que é a relação entre o carregamento último (carga de ruptura) e o carregamento admissível. Quando existe uma correspondência linear entre carga aplicada e tensão provocada pela carga, tem-se: Tensão Normal: Tensão Cisalhante: A escolha de um coeficiente de segurança baixo pode levar à estrutura a possibilidade de ruptura e a escolha de um coeficiente de segurança alto pode levar a um projeto não econômico. Deve-se, portanto, fazer uma escolha apropriada para F.S. Consideração de alguns fatores que influenciam na escolha do coeficiente de segurança: - Modificações que ocorrem nas propriedades dos materiais - O número de vezes em que a carga é aplicada durante a vida da estrutura ou máquina - O tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poderá atuar futuramente. - O modo de ruptura que pode ocorrer - Métodos aproximados e análise - Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido à falta de manutenção ou por causas naturais imprevisíveis - A importância de certo membro para a integridade de toda a estrutura Deformação São mudanças na forma e no tamanho de um corpo ocasionadas pela aplicação de uma força. Podem ser perfeitamente visíveis (borracha) ou imperceptíveis (aço) sem o uso de equipamento para fazer medições precisas. Também pode ser ocasionada por variação da temperatura. Para o nosso estudo admitiremos que as barras são prismática, as cargas atuam no centróide das seções transversais e que o material da barra é homogêneo. A deformação pode ser classificada em deformação normal e deformação de cisalhamento dependendo do tipo de tensão aplicada ao material. 40

42 Deformação Normal (ε ) Ocorre quando uma barra reta muda de comprimento com a aplicação de uma carga axial tornando-se mais comprida (em tração) e mais curta (em compressão). Provocando mudança de volume do elemento retangular. Definida como o alongamento ou contração de um pequeno segmento de reta por unidade de comprimento, associada a tensão normal O alongamento (δ) ou variação do comprimento (ΔL) é o resultado do estiramento ou contração através do volume da barra. Deformação normal é dada pela equação (medida adimensional, m/m ; mm/mm) : onde: ΔL = L - L o P Lo L δ Figura 5.5. Onde: ε deformação δ alongamento ou contração (variação no comprimento) L o Comprimento inicial da barra L - Comprimento final da barra Deformação Cisalhante (γ) A mudança de ângulo ocorrida entre dois segmentos de reta originalmente perpendiculares entre si. O ângulo é designado por γ (gama) e medido em radianos (rad). A deformação cisalhante provoca mudança no formato do elemento retangular. (a) Sem deformação (b) com deformação cisalhante Figura 5.6. Deformação por cisalhamento. Para Materiais da engenharia que apresentam relação linear entre tensão e deformação na região de elasticidade, isto é, um aumento na tensão provoca um aumento proporcional na deformação. Esse fato é conhecido como lei de Hooke. Matematicamente, é expressa por: (Para tensão normal) 41

43 (Para tensão cisalhante) Onde: E Módulo de elasticidade ou módulo de Young. G Módulo de Elasticidade para ao cisalhamento ou módulo de rigidez 5.6. Exercícios 37. Determine a força máxima que pode ser aplicada a um cabo de latão, com 5 mm de diâmetro, se a resistência do material, à tração, é de 20 MPa. 38. Dimensionar a seção reta de uma barra de latão, de 10 cm de comprimento, se a resistência do material, à tração, é de 250MPa, sendo a força máxima de ruptura igual a 100 kn. A seção da barra é quadrada. 39. Determine o alongamento total de uma barra de aço, com 80 cm de comprimento, sendo a tensão de tração for igual a 105 MPa, sendo o Módulo de Elasticidade do material igual a 210 Gpa. 40. Uma barra de aço, com 100 mm de comprimento foi submetida a uma tensão de tração de 40 MPa, apresentando uma variação de comprimento de 0,002 cm. Qual é o valor do Módulo de Elasticidade do material dessa barra? 41. Uma barra de aço ABNT 1020, com 150 mm de comprimento, possui Módulo de Elasticidade igual a 210 GPa. Determine qual deve ser o diâmetro dessa barra, para que ela possa resistir a uma carga de tração de 70 kn, apresentando um alongamento de 0,0025 cm 42. Determine o diâmetro que deve ter um cabo de aço ABNT 1030, cujo limite de escoamento é igual a 180 MPa, para que o mesmo possa resistir, com segurança, a uma força de tração de 50 kn, adotando-se um coeficiente de segurança igual a Um eixo cilindro, oco, de cobre, com diâmetro externo de 80 mm e diâmetro interno de 60 mm, foi carregado com uma força axial de compressão, de 50 kn. Calcule a tensão normal induzida no eixo, bem como a variação de comprimento do mesmo. O eixo tinha 60 cm de comprimento e o Módulo de Elasticidade do material é igual a 120 GPa. 44.Uma barra cilindrica, oca, de ferro fundido, com diâmetro externo de 4 cm e o interno de 2 cm e, com 100 mm de comprimento, está submetida a uma determinada força de tração. Sabe-se que esta força produziu, no material, uma tensão de 210 MPa e que o comprimento da barra aumentou para 100,20 mm, pergunta-se: a) Qual a intensidade da força aplicada? b) Qual o Módulo de Elasticidade do material? c) Qual a deformação linear no material? 42

44 45. Determine a tensão normal que atua na seção de engastamento da barra de aço, representada na figura ao lado, cujo diâmetro é de 200 mm, tem 15 metros de comprimento e está submetida a uma força axial, de tração, de 300 kn. Calcule também a variação de comprimento da barra, sabendo que o peso específico do material da mesma é 78 kn/m 3 e o Módulo de elasticidade igual a 210 Gpa. 15 m 300 kn 46. Determine a tensão normal na haste de seção circular com área de A haste = 0,002 m 2 e a tensão de cisalhamento no bloco com área A bloco = 0,1 m 2, provocadas pela carga de 50kN. 50 kn 47. A barra de aço da figura foi submetida a uma tensão normal σ = 130MPa, possui módulo de elasticidade E aço = 200GPa. Determine a deformação (Є) e a carga (P). Sabendo que a área A = 0,02m 2. P P 48. Calcule o diâmetro mínimo para que o pino suporte uma tensão de cisalhamento admissível τ adm = 15Mpa. O pino está sujeito a cisalhamento duplo. P = 30 kn 43

45 49. Calcule o valor da tensão e a deformação no cisalhamento para um pino de aço com diâmetro igual a 10mm carregado como mostra as figuras. Considere o módulo de rigidez (G) do aço de 75GPa. a) b) F = 12kN 50. Emprega-se um rebite para ligar duas barras de aço, como se indica na figura, Se o diâmetro do rebite é 19 mm e a carga P = 30 kn, qual a tensão de cisalhamento no rebite? 51. A barra mostrada é suportada por uma haste de aço AC que tem diâmetro de 20 mm e bloco de alumínio que tem área de 1800 mm². Os pinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão submetidos a cisalhamento simples. Para P = 168kN na estrutura, considerando a tensão de ruptura do aço e do alumínio (σ aço ) rup = 680MPa e (σ al ) rup = 70MPa, respectivamente, e a tensão de cisalhamento de ruptura de cada pino (τ pino ) rup = 900MPa. Aplicas fator de segurança F.S = 2. Determine: a) as tensões admissível para a haste, o bloco e os pinos. b) Calcule as cargas suportadas pela haste, bloco e pinos, verifique se a estrutura falha ou não devido a aplicação de P. 44

46 AULA 5 Propriedades Mecânicas: Fundamentos A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar a carga sem deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente ao próprio material e deve ser determinada através de ensaios mecânicos. Nessa aula será mostrado como a tensão pode ser relacionada à deformação por meio experimental determinando o diagrama tensão-deformação par aum material específico. Será discutido o comportamento descrito pelo diagrama para materiais de construção mecânica, mostrando a determinação das propriedades mecânicas através desse diagrama. Objetivos Apresentar o diagrama tensão-deformação Apresentar algumas propriedades mecânicas Apresentar relação entre a deformação lateral e longitudinal 45

47 TÓPICO 1 Propriedades mecânicas e Diagrama tensão-deformação Objetivos do tópico: Diagrama tensão-deformação Materiais dúcteis e frágeis Lei de Hooke e Coeficiente de Poisson 6.1. Introdução Quando em serviço, os componentes mecânicos de máquinas e estruturas estão submetidos à ação de esforços ou cargas. O projeto adequado desses componentes exige o conhecimento do comportamento mecânico ou das propriedades mecânicas dos materiais de que são fabricados. A tensão pode se relacionada à deformação por meio de um diagrama tensãodeformação para um material específico. Algumas propriedades mecânicas importantes, como a resistência mecânica à tração ou à compressão, a ductilidade, a dureza, entre outras, podem ser determinadas através de ensaios ou experimentos de laboratório, cuidadosamente elaborados Diagrama tensão-deformação A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar a carga sem deformação excessiva ou ruptura. Um dos testes mais importantes a realizar nesse sentido é o teste de tração ou compressão, utilizado principalmente para determinar a relação entre a tensão normal média e a deformação normal média em muitos materiais da engenharia, tais como, metais, cerâmicas, polímeros e materiais compostos. Com os dados do teste pode-se construir um gráfico para os diversos valores de tensão e deformação. A curva resultante é denominada diagrama tensão-deformação. Pode ser convencional ou real. No diagrama tensão-deformação convencional, os dados registrados da tensão (σ) são obtidos dividindo-se a carga aplicada (P) pela área transversal inicial (A o ) do corpode-prova. A deformação nominal ou de engenharia é medida diretamente pela leitura do extensômetro ou dividindo-se a variação do comprimento (δ ou ΔL) pelo comprimento inicial do corpo de prova (L o ). Enquanto que o diagrama tensão-deformação real para calcular a tensão e a deformação usa-se a área real da seção transversal e o comprimento do corpo-deprova no instante em que a carga é medida. Os valores da tensão e da deformação obtidos com essas medidas são chamados tensão real e deformação real. As diferenças entre os diagramas começam a aparecer na faixa de endurecimento por deformação, em que a intensidade da deformação torna-se mais significativa. Apesar das diferenças entre os diagramas, a maioria dos projetos de engenharia é feita na faixa de elasticidade onde a distorção do material geralmente não é severa, a deformação permanece pequena e o erro do uso dos valores do diagrama convencional 46

48 será muito pequeno (cerca de 0,1%) quando comparado aos valores reais. Essa é uma das principais razões para usar os diagramas tensão-deformação convencionais Diagrama Tensão-Deformação Convencional (ou de engenharia) Figura 6.1. Na figura 6.1 apresenta-se um diagrama tensão-deformação para um aço estrutural (aço mole ou aço de baixo teor de carbono) amplamente utilizado em prédios, pontes, guindastes, navios, torres, veículos entre outras aplicações. As deformações são apresentadas no eixo horizontal e as tensões no eixo vertical. As características da curva serão discutidas identificando-se quatro regiões do comportamento do material dependendo da deformação nele provocada e considerando o diagrama tensão-deformação convencional do ponto O ao ponto F. Comportamento Elástico ocorre quando as deformações estão na região elástica. O diagrama começa com uma linha reta de origem em O ao ponto A, de modo que a tensão e a deformação são proporcionais. O ponto A é chamado de limite de proporcionalidade e a inclinação da reta é chamada de módulo de elasticidade. Se a tensão excede ligeiramente o limite de proporcionalidade o material ainda pode 47

49 responder elasticamente até o limite de elasticidade ponto B. Para o aço o limite de elasticidade é muito próximo do limite de proporcionalidade. Escoamento com um aumento da tensão além do limite de elasticidade, a curva fica horizontal (trecho C- D), pois um alongamento do corpo ocorre sem um aumento notável da força de tração. Esse fenômeno é conhecido como escoamento e a tensão que provoca escoamento é chamada tensão limite de escoamento ou ponto de escoamento (σ E ). Na região entre C e D o material fica perfeitamente plástico, ou seja, ele se deforma sem um aumento da carga aplicada e faz com que ele se deforma permanentemente. Endurecimento por deformação após o escoamento o aço começa a recuperação, passando por mudanças em sua estrutura cristalina, resultando em um aumento da resistência do material para mais deformação. O alongamento do corpo de prova na região D-E exige um aumento na carga de tração o que resulta em uma curva que cresce continuamente, mas que se torna mais plana até que alcança a tensão máxima denominada limite de resistência (σ LRT ou σ r ) ou tensão normal última. Estricção Ao atingir o limite de resistência, a área da seção transversal começa a diminuir em uma região localizada do corpo de prova. Forma-se gradualmente uma estricção ou contração (empescoçamento) nessa região à medida que o corpo se alonga. Como a área da seção transversal está decrescendo continuamente, a área menor pode suportar apenas carga decrescentes, portanto o diagrama curva-se para baixo até que o corpo de prova quebre com a tensão de ruptura (σ rup ) Diagrama tensão-deformação real (ou verdadeiro) Quando esse diagrama é construído, adquire o formato mostrado pela curva do ponto O até o ponto G, na figura 6.1. Observe que os diagramas convencional e real são praticamente coincidentes quando a deformação é pequena, até o ponto D. As diferenças começam a aparecer na faixa de endurecimento por deformação, em que a intensidade da deformação torna-se mais significativa. Pelo diagrama tensão-deformação real, a área real na região de estricção é sempre decrescente até a ruptura, e desse modo, o material suporta realmente tensão crescente. Apesar de os diagramas tensão-deformação real e convencional serem diferentes, a maioria dos projetos de engenharia é feita na faixa de elasticidade, onde para a maioria dos metais a deformação até o limite de elasticidade permanecerá pequena e o erro do uso dos valores de engenharia será pequeno. Essa é uma das razões principais para usar os diagramas tensão-deformação convencionais Materiais Dúcteis e Frágeis Os materiais dúcteis são caracterizados por sua capacidade de escoar na temperatura ambiente. Á medida que o corpo de prova é submetido a uma carga crescente, seu comprimento inicialmente aumenta linearmente com a carga e a uma taxa muito baixa. Após alcançar um valor crítico de tensão (σ E ), o corpo de prova sofre uma grande deformação com aumento relativamente pequeno da carga aplicada. São materiais dúcteis o aço estrutural e muitas ligas de outros metais. 48

50 Os materiais frágeis, que incluem ferro fundido, vidro e pedra, são caracterizados pelo fato de que a ruptura ocorre sem nenhuma mudança prévia notável na taxa de alongamento. Para materiais frágeis não há diferença entre o limite de resistência e a resistência à ruptura. E a deformação no instante da ruptura é muito menor para materiais frágeis do que para materiais dúcteis. Uma medida padrão da ductilidade de um material é sua deformação percentual, definida como: Deformação percentual = L L o x 100 L o Onde L o e L são respectivamente, o comprimento inicial do corpo de prova e o seu comprimento final na ruptura. Uma outra medida da ductilidade é a redução percentual da área, definida como: Redução percentual da área = A o A x 100 A o Onde Ao e A são respectivamente a área da seção transversal inicial do corpo de prova e sua área de seção transversal mínima na ruptura Lei de Hooke e Módulo de Elasticidade A relação diretamente proporcional entre a tensão e a deformação específica é conhecida como lei de Hooke, em homenagem ao matemático inglês Robert Hooke. Definida como: = ε E τ = γ G (Para tensão normal) (Para tensão cisalhante) O coeficiente E é chamado de módulo de elasticidade do material envolvido, ou também módulo de Young, em homenagem ao cientista inglês Thomas Young. O coeficiente G é chamado de módulo de elasticidade para o cisalhamento ou módulo de rididez. Como a deformação específica é adimensional, o módulo de elasticidade é expresso nas mesmas unidades da tensão, ou seja, em pascal (Pa). Quando um material é deformado por uma carga externa, tende a armazenar energia internamente em todo o seu volume essa energia é denominada energia de deformação (ΔU). A formula da energia de deformação por unidade de volume de material denominada densidade de energia de deformação, pode ser expressa por: u = ΔU = σε ΔV 2 Se o comportamento do material for linear elástico, então se aplica a lei de Hooke e a densidade de energia pode ser expressa em termos da tensão uniaxial: 49

51 u = σ 2 2E A resiliência de um material é sua capacidade de absorver energia sem sofrer qualquer dano permanente, ou seja, dentro da região elástica. Quando a tensão atinge o limite de proporcionalidade, a densidade de energia de deformação é denominada módulo de resiliência (u r ), que equivale à área triangular na regiação elástica do diagrama σ x ε (figura 6.2-a). u r = 1 σ lp ε lp = 1 σ lp E a) b) Figura 6.2. Representação gráfica do módulo de resiliência e de tenacidade A tenacidade é a capacidade de um material em absorver energia até a ruptura. A densidade de energia do material um pouco antes da ruptura é denominada módulo de tenacidade, representada pela área inteira sob o diagrama tensão-deformação (figura 6.2-b). Ligas de metais também mudam sua resiliência e tenacidade. Os diagramas tensãodeformação da figura 6.3, por exemplo, mostram como os graus de resiliência e tenacidade podem mudar, conforme muda a porcentagem de carbono no aço. Figura 6.3. Variação da resiliência e da tenacidade com relação ao percentual de carbono no aço. 50

52 6.5. Coeficiente de Poisson Figura 6.4. Deformação lateral e longitudinal de material carregado por tração. Quando submetido a uma força de tração axial, um corpo deformável não apenas se alonga, mas também se contrai lateralmente. Da mesma forma na compressão, que provoca contração na direção da força e expansão lateral. A razão entre as deformações na direção lateral e longitudinal é uma constante, denominada coeficiente de Poisson (ν), O coeficiente de Poisson é adimensional e seu valor está compreendido em 0 ν 0, Exercícios 52. O teste de tração para uma liga de aço resulta no diagrama tensão-deformação da figura 6.5. Calcular o módulo de elasticidade e a resistência ao escoamento com base em uma deformação residual de 0,2%. Identificar no gráfico o limite de resistência e a tensão de ruptura. Figura

53 53. O diagrama tensão deformação de uma liga de alumínio usada para fabricar peças de aeronaves é mostrado na figura 6.6. Supondo que um corpo-de-prova desse material seja tracionado com 600MPa, determine a deformação permanente que ficará no corpo-de-prova quando a carga for removida. Calcular também o módulo de resiliência tanto antes como depois da aplicação da carga. Figura A haste de alumínio mostrada na figura 6.7-a tem seção transversal circular e está submetida a uma carga axial de 10kN. Se uma parte do diagrama tensão-deformação do material é mostrada na figura 6.7-b, determinar o alongamento aproximado da haste quando a carga é aplicada. Se a carga for removida, qual será o alongamento permanente da haste? Suponha que E al = 70GPa. Figura 6.7-a Figura 6.7-b 55. uma barra feita de aço (Eaço = 200GPa) tem as dimensões mostradas na figura 6.8. supondo que uma força axial de P = 80kN seja aplicada a ela, determinar as mudanças em seu comprimento e nas dimensões de sua seção transversal depois de aplicada a carga. O material comporta-se elasticamente. 52

54 53

55 AULA 6 Carga Axial Nas aulas anteriores desenvolvemos o método para encontrar a tensão normal em elementos carregados axialmente. Nessa aula discutiremos como determinar a deformação desses elementos, desenvolvendo um método para encontrar as reações dos apoios quando elas não poderem ser determinadas com a utilização das equações de equilíbrio. Analisaremos os efeitos da tensão térmica e a variação no comprimento provocada pela temperatura. Objetivos Apresentar a deformação elástica de um elemento com carga axial Apresentar determinação das reações problemas estaticamente indeterminados Apresentar os efeitos da tensão térmica. 54

56 TÓPICO 1 Membros carregados axialmente Objetivos do tópico: Determinar o deslocamento provocado por cargas axiais Analisar membros estaticamente indeterminados Calcular deslocamento provocado por uma tensão térmica 7.1 Carregamento axial com comportamento elástico. Componentes estruturais submetidos apenas à tensão ou compressão são chamados de membros carregados axialmente. Barras sólidas com eixos longitudinais retos são o tipo mais comum, embora cabos e molas espirais também suportem cargas axiais. Exemplos de barras carregadas axialmente são membros de suporte, hastes de conexão em motores, aros em rodas de bicicleta, colunas em prédios entre outras aplicações. As barras carregadas axialmente sofrem alongamento sob carga de tração e encurtamento sob cargas de compressão. Para analisar esse comportamento, vamos considerar uma barra (Fig.7.1) submetida a uma carga de tração P. A tensão normal uniforme nas seções transversais é dada pela equação σ = P/A, em que A é a área da nto inicial da barra. Assumindo que o material é elástico linear, logo ele segue a lei de Hooke σ = ε.e, em que E é o módulo de elasticidade. P Figura 7.1 Usando a lei de Hooke e as definições de tensão e deformação, desenvolveremos uma equação para determinar a variação do comprimento (ΔL) de um elemento submetido a cargas axiais. e substituindo na lei de Hooke Equação

57 Embora a equação 7.1 tenha sido formulada a partir de um membro em tração, ela se aplic encurtamento da barra. Por convenção, o alongamento é usualmente tomado como positivo e o encurtamento como negativo. Se a barra for submetida a diversas forças axiais diferentes ou, ainda, a área da seção transversal ou o módulo de elasticidade mudarem abruptamente de uma região para outra da barra, a equação 7.1 poderá ser aplicada a cada segmento da barra em que essa quantidades sejam todas constantes. O deslocamento de uma extremidade da barra em relação à outra é então determinado pela adição algébrica dos deslocamentos de cada segmento. Equação 7.2 Convenção de sinal positivo para carga e deslocamento na figura 7.2 Figura 7.2 Como exemplo considere a barra da figura 7.3 para obter o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D devemos determinar as forças axiais internas P pelo método das seções para cada segmento, substituir os respectivos valores com o sinal adequado, temos: ( ) ( ) ( ) Figura

58 7.2. Estruturas Estaticamente Indeterminadas Quando as reações e forças internas de determinada estrutura podem ser calculadas unicamente a partir de diagramas de corpo livre e equações de equilíbrio sem saber as propriedades dos materiais, classifica-se esse tipo de estrutura em estaticamente determinada. A maioria das estruturas é mais complexa e suas reações e forças internas não podem ser encontradas apenas através da estática. Essas estruturas são classificadas como estaticamente indeterminadas. Para analisar tais estruturas devemos suplementar as equações de equilíbrio com equações adicionais de deslocamentos da estrutura. As forças desconhecidas dos problemas estaticamente indeterminados são calculadas satisfazendo-se os requisitos de equilíbrio, compatibilidade e forçadeslocamento do membro. Seguindo os passos do procedimento de análise abaixo é possível determinar as forças desconhecidas, então: 1. Desenhar o diagrama de corpo livre do elemento a fim de identificar todas as forças que atuam sobre ele. 2. O problema é classificado como estaticamente indeterminado se o número de reações desconhecidas no diagrama de corpo livre for maior que o número de equações de equilíbrio disponíveis; 3. Escrever as equações de equilíbrio do membro; 4. Para estabelecer as equações de compatibilidade, desenhar o diagrama de deslocamento a fim de investigar a maneira como o elemento alonga-se ou contrai-se quando submetido a cargas externas; 5. Expressar as condições de compatibilidade em termos do deslocamento provodado pelas forças; 6. Usar uma relação cargaos deslocamentos desconhecidos com as reações desconhecidas; 7. Resolver as equações de equilíbrio e compatibilidade para as forças de reação desconhecidas. Considerando a figura 7.3, tem-se uma barra dita estaticamente indeterminada visto que as equações de equilíbrio não são suficientes para determinar as reações de apoio. Equação de equilíbrio: ΣFy = 0 F A + F B P = 0 57

59 As condições de compatibilidade especificam as restrições que ocorrem nos apoios ou outros pontos do membro. Como as extremidades da barra estão fixas em apoios rígidos a condição de compatibilidade adequada requer que o deslocamento relativo entre as extremidades seja nulo, logo: Condição de compatibilidade: δ A/B = 0 ; δ A/D = δ AC + δ CB = 0 supondo AE constante, resolvendo as duas equações ( ) ( ) 7.3. Tensão Térmica Uma mudança na temperatura pode provocar alterações nas dimensões de um material. Em geral, se a temperatura aumenta, o material se expande; se a temperatura diminui, o material se contrai. Para material homogêneo e isotrópico, pode-se T) a partir da equação 7.3 δ T = α.δt.l Onde: α é o coeficiente linear de expansão térmica (1/ C), ΔT é a mudança na temperatura do elemento e L é o comprimento inicial do elemento Exercícos 56. A barra (figura 7.4) composta de aço A-36 (E aço = 210 GPa)é composta por dois segmentos, AB e BD, com áreas de seção transversal A AB = 600 mm 2 e A BD = 1200 mm 2, respectivamente. Determine o deslocamento vertical da extremidade A em relação à extremidade D. Figura 7.4 Figura

60 57. Uma viga rígida AB está apoiada nos dois postes curtos (figura 7.5). O poste AC é feito de aço e tem diâmetro de 20 mm, e o poste BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 mm. Determine o deslocamento do ponto F em AB se uma carga vertical de 90kN for aplicada nesse ponto. Considere E aço = 200GPa, E al = 70GPa. 58. A coluna de aço (E aço = 200GPa) é usada para suportar as cargas simétricas dos dois pisos de um edifício (figura 7.6). Determine o deslocamento vertical de sua extremidade, A se P 1 = 200kN, P 2 = 310kN e a coluna tiver área de seção transversal de mm 2. Figura O eixo de cobre (figura 7.7) está sujeito às cargas axiais mostradas na figura. Determine o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de cada segmento forem d AB = 20mm, d BC = 25 mm e d CD = 12 mm. Considere E cobre = 126 GPa. Figura 7.7 Problemas Estaticamente indeterminados (60 a 62) 60. A haste de aço (figura 7.8) tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede fixa em A. antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede em B e a haste. Determine as reções em A e B se a haste for submetida a uma força axial P = 20kN. Despreze o tamanho do colar em C e considere E aço = 200 GPa. Figura