Avaliação de opções reais através do método dos mínimos quadrados de monte carlo

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1 XXIV Encontro Nac. de Eng. de Produção - Florianópolis, SC, Brasil, 0 a 05 de nov de 4 Avaliação de opções reais através do método dos mínimos quadrados de monte carlo Rubens Oliveira de Araújo (PUC-Rio) araujorubens@yahoo.com.br Tara Keshar Nanda Baidya (PUC-Rio) baidya@ind.puc-rio.br Resumo O presente trabalho tem como objetivo testar empiricamente a eficiência e a aplicabilidade do método dos mínimos quadrados de Monte Carlo (LSM) na avaliação de projetos envolvendo opções reais. Inicialmente, o método passou por uma série de testes de sensibilidade para validação do mesmo. Em seguida, alguns exemplos de projetos de exploração e produção (E&P) de petróleo com opções reais foram elaborados, e seus valores determinados através do LSM. Estes resultados foram comparados aos resultados obtidos com o modelo binomial que, devido a sua simplicidade e ampla utilização, foi escolhido como benchmark para analisar a eficiência do método LSM. Palavras chave: Opções reais, Simulação de monte carlo, Regressão. 1. Introdução O objetivo mais relevante da teoria de Finanças é o de determinar o preço justo de determinado ativo. Os modelos de apreçamento de ativos, em última análise, buscam descrever a evolução dos preços ao longo do tempo. Se o ativo é negociado em mercados com alguma liquidez, torna-se factível a verificação se determinado modelo está aderente com a realidade. Os modelos de apreçamento de ativos derivativos ganharam destaque devido à sua capacidade de reproduzir os preços praticados nos mercados. Não tardou muito para que tais modelos fossem transladados para o mundo dos ativos reais. Hoje pode-se dizer que existe uma nova disciplina de avaliação econômica de projetos denominada Teoria das Opções Reais. Nesta, o projeto é visto como um ativo derivativo de um ativo subjacente que descreve um processo estocástico conhecido. Assim, a aplicação dos fundamentos de avaliação de opções financeiras à análise de projetos de investimento busca suprir a deficiência dos métodos tradicionais de FCD através da incorporação da flexibilidade gerencial ao longo das interações estratégicas e/ou competitivas, que são de suma importância para os tomadores de decisão. Devido às semelhanças entre oportunidades de investimento em ativos financeiros e reais, muitos estudos são realizados no sentido de adaptar instrumentos financeiros para a avaliação econômica de projetos. Muitas pesquisas sobre opções reais foram desenvolvidas em exploração de recursos naturais, em especial no setor de petróleo (DIAS, 199). Isso ocorre devido ao porte dos investimentos que são realizados neste setor e as suas características peculiares: o mercado de petróleo é bem desenvolvido (presença de mercado futuro, instrumentos de proteção financeira, derivativos etc); os investimentos ocorrem num ambiente de incertezas econômicas e / ou técnicas; os projetos demandam uma série de flexibilidades gerenciais (prazos alternativos para execução dos investimentos, possibilidade de mudanças na escala do projeto, entre outras). Tais características fazem com que seja necessária uma avaliação mais cautelosa e criteriosa destes ativos reais. Uma nova ferramenta desenvolvida neste sentido é o método dos mínimos quadrados de Monte Carlo (LSM), que consiste na avaliação de opções americanas através de simulações e ENEGEP 4 ABEPRO 2248

2 XXIV Encontro Nac. de Eng. de Produção - Florianópolis, SC, Brasil, 0 a 05 de nov de 4 de regressões simples. A maior dificuldade encontrada na utilização de métodos numéricos envolvendo simulações para a avaliação de opções americanas está na definição da data de exercício ótimo da opção. Por definição, a simulação é um processo forward, enquanto a decisão de exercício da opção é um processo backward. A grande contribuição deste método é desenvolver um algoritmo que permite integrar simulações e regressões para definir o exercício ótimo da opção. 2. O Método LSM O método LSM revela-se uma alternativa promissora frente às tradicionais técnicas de diferenças finitas e árvores binomiais. A intuição que está por trás do método é a da programação dinâmica: a cada instante anterior à data de vencimento de uma opção americana, o proprietário desta opção compara o payoff do exercício antecipado com o seu valor de continuação, para assim tomar uma decisão ótima. A estratégia de exercício ótimo de uma opção americana é determinada fundamentalmente pela expectativa condicionada do seu valor de continuação. A grande contribuição dos autores foi identificar que a expectativa condicionada pode ser estimada a partir de informações crosseccionais na simulação usando o método dos mínimos quadrados. Esta técnica é definida pelos autores como método dos mínimos quadrados de Monte Carlo (LSM). O método pode ser utilizado na avaliação de opções que dependem de múltiplos fatores; derivativos com características de opções americanas e dependentes do caminho; e opções cujas variáveis de estado seguem um processo estocástico qualquer (jump diffusion, por exemplo), ou um processo não-markoviano. Recentemente, Gamba (2/0) propôs uma abordagem alternativa para avaliar opções compostas e projetos envolvendo opções reais múltiplas baseada no método LSM. O objetivo do algoritmo LSM é fornecer uma aproximação para a regra de exercício ótimo que maximiza o valor de uma opção americana (LONGSTAFF & SCHWARTZ, 1). Seja C (w, s; t, T) os fluxos de caixa gerados pela opção, condicionada à restrição da opção não ser exercida antes do instante t, onde w corresponde a uma simulação de trajetória de preços. O dono da opção seguirá uma estratégia de exercício ótimo para cada instante s, onde t < s < T. Na data de vencimento da opção (T), o investidor exercerá a opção se ela estiver in-the-money. Em qualquer instante t n anterior à data T, porém, o investidor deve escolher entre exercer imediatamente a opção ou esperar até o instante t n+1 para novamente tomar uma decisão. Em cada trajetória de fluxos de caixa, a opção será maximizada se for exercida quando o valor de exercício antecipado for superior ou igual ao valor de continuação. Em t n, o valor de exercício antecipado é conhecido pelo investidor, mas o valor de continuação não é. A teoria de avaliação de ativos sem arbitragem, porém, indica que o valor de continuação da opção é dado pelo valor esperado dos fluxos de caixa futuros descontados até t n com base numa medida Q de probabilidade neutra ao risco. Assim, o valor de continuação em t n, definido como F (w; t n ), será dado pela seguinte fórmula: F ( w, t ) ( ) n = EQ exp r w, s ds C( w, t j ; tn, T ) I( tn ) N j= n+ 1 t t j n onde r (w, t) é a taxa de desconto livre de risco, I (t n ) corresponde ao conjunto de informações disponíveis em t n para a tomada de decisão, e N é o número de intervalos de tempo entre o instante inicial e T (N = T/ t e t N = T). Para aplicar o método na avaliação de opções, inicialmente são simuladas diversas trajetórias de preços ou de fluxos de caixa, de acordo com a definição do comportamento destas ENEGEP 4 ABEPRO 2249

3 XXIV Encontro Nac. de Eng. de Produção - Florianópolis, SC, Brasil, 0 a 05 de nov de 4 variáveis. Em seguida, o LSM usa o método dos mínimos quadrados para obter uma aproximação da função de expectativas condicionadas. Em t N-1, assumimos que F (w, t N-1 ) é desconhecido, mas pode ser representado como uma combinação linear de um grupo de funções básicas L j (X), onde X é uma variável de estado. Assim, o valor de continuação pode ser escrito da seguinte forma: F ( w, t ) a L ( X ) N 1 = j= 0 onde os coeficientes a j são constantes. As funções básicas podem ser polinômios de Jacobi, de Chebyshev, funções exponenciais, potências, entre outros. Quando há duas ou mais variáveis de estado (preço do petróleo e custo de exploração, por exemplo), as funções básicas devem incluir todas estas variáveis, inclusive envolvendo mais de uma variável simultaneamente. Para aplicar o LSM, obtém-se uma aproximação de F (w, t N-1 ) usando um conjunto M de funções básicas. Esta aproximação, denominada F M (w, t N-1 ), é estimada através da regressão dos valores descontados de C (w, s; t N-1, T) nas funções básicas, para as simulações onde a opção está in-the-money no instante t N-1. Os autores demonstram no artigo que, a medida que aumentamos o número de simulações, a estimativa ( w t) j j F ^ M, converge para F M ( w, t). Uma vez estimada a função de expectativas condicionadas para t N-1, pode-se determinar se o exercício antecipado neste instante é ótimo através da comparação entre o valor de exercício F ) ( w, t ) antecipado e M N 1. Esta comparação é feita separadamente em cada uma das simulações que estão in-the-money em t N-1. Feito isso, repete-se o procedimento para o instante t N-2 e assim por diante, até chegarmos ao instante inicial, quando as decisões de exercício ótimo em todas as simulações terão sido determinadas. O valor da opção será igual à média dos fluxos de caixa provenientes do exercício ótimo em cada simulação, descontados até o instante inicial. A fórmula a seguir indica este procedimento: V OPÇÃO = 1 K r = taxa de desconto livre de risco; K w= 1 FC * ( w, t * ) exp( t r) K = número de trajetórias de preços simuladas; * t = data de exercício ótimo da opção na simulação w; w * FC( w t ) =, w w w, onde: fluxo de caixa gerado pelo exercício da opção no instante * t w na simulação w. O algoritmo LSM mostra-se uma ferramenta simples e elegante de aproximar a regra de exercício ótimo de uma opção do tipo americana. A estrutura do método LSM pode ser resumida nas seguintes etapas, como indica a figura a seguir. ENEGEP 4 ABEPRO 2250

4 XXIV Encontro Nac. de Eng. de Produção - Florianópolis, SC, Brasil, 0 a 05 de nov de 4 SIMULAÇÕES DAS VARIÁVEIS DE ESTADO VALOR DE EXERCÍCIO ANTECIPADO (V.E.A.) De T até T 0 VALOR DE CONTINUAÇÃO (V.C.) (função de expectativas condicionadas) DECISÃO ÓTIMA: Max (V.E.A.; V.C.) VALOR DA OPÇÃO Figura 1 Estrutura do método LSM. Análise de sensibilidade do método LSM Para fazer uma análise de sensibilidade do método LSM, tomamos como base exemplos de call e put americanas. Para os exemplos considerados, assumimos que o valor do ativo base segue um MGB. O método teve sua eficiência testada com relação a dois fatores: número de simulações de trajetórias de preços (m) e número de intervalos de tempo (n). Em todas as análises realizadas, utilizou-se a técnica das variáveis antitéticas para a redução da variância. O modelo binomial foi utilizado em todos os exemplos como referência para a validação dos resultados obtidos através do método LSM. Tais resultados são apresentados nas Tabelas 1 e 2. Nestas tabelas, os valores apresentados nas colunas de Erro Relativo correspondem à diferença (em módulo) entre os resultados do método binomial e do método LSM. Os dados gerais adotados para análise de sensibilidade do método LSM foram: Preço inicial do ativo base (P 0 ): $ 720 Taxa de juros livre de risco (r): 10 % aa Preço de exercício da opção (E): $ 800 Taxa de dividendos (q) 5 % aa Volatilidade (anual) do preço do ativo: σ Data de vencimento da opção: T. Dados Erro Relativo (CALL) σ T m = m = 00 m = m = % 0.12% 0.00% 0.2% 1 0.4% 0.8% 0.1% 0.0% % 0.7% 0.14% 0.10% 4 0.4% 0.4% 0.8% 0.14% % 0.48% 0.11% 0.2% Erro Relativo (PUT) m = m = 00 m = m = % 7.98% 7.9% 12.2% 12.91% 12.97% 12.99%.0% % 5.99% % 8.2% 7.8% 7.5% 7.4% 7.48% Tabela 1 Resultados da análise de sensibilidade. Variável de análise: número de simulações. O método LSM foi aplicado utilizando-se , , e trajetórias de preços. Em todas as situações, o método foi aplicado usando variáveis antitéticas para redução de variância, com n = T (intervalos de tempo anuais) e polinômio linear de 8 o grau na regressão (ou seja, até o termo P 8 ). ENEGEP 4 ABEPRO 2251

5 XXIV Encontro Nac. de Eng. de Produção - Florianópolis, SC, Brasil, 0 a 05 de nov de 4 Dados Erro Relativo (CALL) σ T m = 5000 n = T n = * T n = * T n = 12 * T 0.42% 2.9% 2..22% 1 0.0% 0.97% 1.70% 1.90% 2 0.0% 2.59%.02% % 1.% % % 2.58% 2.08% 2.0% Erro Relativo (PUT) m = 5000 n = T n = * T n = * T n = 12 * T 8.01% 1.99% 0.94% 0.04% 12.97%.% % 0.88% 0.09% 8.57% 2.1% 1.14% 0.07% 7.% 2.02% 0.70% 0.22% Tabela 2 Resultados da análise de sensibilidade. Variável de análise: discretização do tempo. A análise foi realizada considerando-se, respectivamente, intervalos de tempo anuais (n = T), quadrimestrais (n = *T), bimestrais (n = *T) e mensais (n = 12*T). O método LSM foi aplicado usando m = trajetórias de preços (2.500 simulações mais antitéticas) e polinômio linear de 8 o grau na regressão (ou seja, até o termo P 8 ). 4. Avaliação de opções reais através do método LSM Em seguida, o método LSM será utilizado na avaliação de opções reais. Foram elaborados dois projetos (X e Y) envolvendo opções reais, procurando simular características de projetos de E&P de petróleo. Para validar os resultados obtidos com o LSM, utilizou-se também o método binomial, devido à sua fácil e ampla aplicação, comparando-se então os resultados obtidos pelos dois métodos. O objetivo principal desta análise é verificar, empiricamente, a eficiência e aplicabilidade do método LSM na avaliação de opções reais. A abordagem de Gamba (2/0) foi utilizada para avaliar as opções reais dos projetos elaborados. Visando uma melhor validação do método LSM, bem como ilustrar a sua aplicabilidade, os projetos X e Y foram avaliados em dois cenários diferentes, com diferentes graus de incerteza, como ilustra a tabela abaixo: CENÁRIOS Cenário 1 P t segue um MGB Cenário 2 P t segue um MGB FATORES DE INCERTEZA B segue uma distribuição uniforme (B ~ unif(150, 250)) Q segue uma distribuição uniforme (Q ~ unif(18%, 22%)) Tabela Fatores de incerteza dos cenários considerados na avaliação dos projetos O Projeto X apresenta as seguintes características: Trata-se de um projeto já existente que possui uma opção futura de expansão; Devido a restrições técnicas e / ou operacionais, durante o período que vai do instante inicial até o instante T 1, o projeto não poderá ser expandido, mesmo que o cenário (econômico e / ou técnico-geológico) mostre-se favorável; No instante T 1, há a possibilidade de expandir imediatamente o projeto. Ou seja, trata-se de uma opção européia com data de vencimento igual a T 1 ; Caso o cenário não torne interessante expandir o projeto imediatamente em T 1, o mesmo poderá ser expandido a qualquer momento entre os instantes T 1 e T 2. Ou seja, pode-se dizer que o Projeto X apresenta, entre os instantes T 1 e T 2, uma flexibilidade gerencial semelhante a uma opção americana. Os dados do Projeto X são: Taxa de juros livre de risco: r Preço inicial do petróleo: P 0 ENEGEP 4 ABEPRO 2252

6 XXIV Encontro Nac. de Eng. de Produção - Florianópolis, SC, Brasil, 0 a 05 de nov de 4 Volatilidade (anual) do preço do petróleo: σ Custo unitário para expansão do projeto: C UNIT Dividendos (anual): q Qualidade econômica da reserva: Q Volume da reserva: B (em MM bbl) Prazo de vencimento da opção européia de expansão: T 1 Prazo de vencimento da opção americana de expansão: T 2 O valor do projeto X num instante t qualquer (V t ), bem como o investimento necessário para realizar a expansão do projeto (ou seja, o preço de exercício da opção), são dados pelas seguintes fórmulas: V t = P t x Q x B; I = C UNIT x B O Projeto Y consiste numa opção de adiar o investimento, seguida de uma opção de reduzir a escala do projeto. Inicialmente, há uma opção de adiar o projeto, válida até o instante T 1. Ou seja, a qualquer instante entre a data atual e T 1, pode-se realizar o investimento I para execução do projeto, cujo valor é V t. Uma vez realizado o projeto, o mesmo pode ter posteriormente sua escala reduzida (opção de redução). Devido a restrições técnicas e / ou operacionais, a opção de redução poderá ser exercida apenas entre os instantes T 1 e T 2, mesmo que o projeto tenha sido executado numa data bem anterior a T 1. A redução do projeto resulta num resgate de parte do investimento realizado. Os dados do Projeto Y são: Taxa de juros livre de risco: r Preço inicial do petróleo: P 0 Volatilidade (anual) do preço do petróleo: σ Custo unitário para execução do projeto: C UNIT Valor de resgate do investimento inicial: V RESG Dividendos (anual): q Qualidade econômica da reserva: Q Volume da reserva: B (em MM bbl) Fator de redução de escala do projeto: k Prazo de vencimento da opção de adiar o investimento: T 1 Prazo de vencimento da opção de redução: T 2 O valor do projeto Y num instante t qualquer (Vt), o investimento I necessário para realizar o projeto e a parcela resgatada do investimento, caso a opção de redução seja exercida (X), são dados pelas seguintes fórmulas: V t = P t x Q x B; I = C UNIT x B; X = V RESG x B Enquanto a incerteza com relação ao preço do petróleo prevalece ao longo de toda a vida útil dos projetos (P segue um MGB), as incertezas com relação ao volume e a qualidade econômica da reserva existem apenas no início de cada projeto, sendo eliminadas assim que os investimentos para a execução dos projetos forem realizados. Para cada iteração do método ENEGEP 4 ABEPRO 225

7 XXIV Encontro Nac. de Eng. de Produção - Florianópolis, SC, Brasil, 0 a 05 de nov de 4 LSM, sorteiam-se valores únicos para B e Q, dentro das distribuições pré-definidas. Na aplicação do modelo binomial, adotou-se a mesma estratégia: sorteamos valores únicos para B e Q, e aplicamos o modelo. Vale ressaltar que as avaliações através do LSM e do modelo binomial foram realizadas de forma independente, ou seja, os sorteios dos valores de B e Q para cada método foram feitos isoladamente. Os resultados obtidos em cada cenário são apresentados nas tabelas a seguir. PROJETO X PROJETO Y Dados Lattice Least Square Monte Carlo Lattice Least Square Monte Carlo σ q Q B T2 T1 n = 1000 média desv pad erro rel n = 1000 média desv pad erro rel % 0.07% % % 0.0% % 0.57% % -0.21% % 0.8% 2% % % -0.0% 8% % -1.02% % 0.7% % 0.8% % 2.07% % -0.1% % 0.1% % % -0.07% % 0.59% % % 0.77% % -0.9% % 0.10% Tabela 4 Resultados do cenário 1, obtidos com m = trajetórias de preços ( simulações antitéticas), intervalos de tempo anuais e fazendo a regressão com um polinômio de 8o grau. Os resultados do modelo binomial foram obtidos com n = intervalos de tempo. Foram realizadas 20 iterações do método LSM para obtenção da média e desvio padrão para cada exemplo avaliado. Dados: r = 10 % aa; P 0 = $ 18 / bbl; C UNIT = $ 5 / bbl. PROJETO X PROJETO Y Dados Lattice Least Square Monte Carlo Lattice Least Square Monte Carlo s q Q B T2 T1 n = 500 média desv pad erro rel n = 500 média desv pad erro rel % % -9.0% % % 1.9% % 2.8% % % 11.8% % % 1.70% % % -.7% 2% % % -7.1% % % 8% % -0.54% % % -2.47% % % 0.% % % -5.0% % % -5.29% Tabela 5 Resultados do cenário 2, obtidos com m = trajetórias de preços ( simulações antitéticas), com intervalos de tempo bimestrais (Projeto X) e anuais (Projeto Y), e fazendo a regressão com um polinômio de 8 o grau. Estes resultados foram comparados com os resultados do modelo binomial, com n = 500 intervalos de tempo. Foram realizadas 40 iterações tanto do método LSM como do modelo binomial para obtenção da média e desvio padrão para cada exemplo avaliado. Dados: r = 10 % aa; P 0 = $ 18 / bbl; C UNIT = $ 5 / bbl; V RESG = $ 4 / bbl; k = 0,5. ENEGEP 4 ABEPRO 2254

8 XXIV Encontro Nac. de Eng. de Produção - Florianópolis, SC, Brasil, 0 a 05 de nov de 4 5. Conclusões A análise dos resultados dos testes de sensibilidade do método LSM nos permite fazer algumas considerações importantes. Com relação ao número de simulações (Tabela 1), o método LSM não se mostrou completamente satisfatório apenas quando lidamos com opções de venda. Porém, um aspecto a ser considerado é que, nesta análise, dividimos o tempo em intervalos anuais. Como sabemos, a possibilidade de exercer antecipadamente uma opção americana agrega valor. Como este exercício antecipado pode ocorrer a qualquer instante ao longo da vida útil da opção (ou seja, de forma contínua), a aplicação do LSM com uma discretização do tempo em intervalos menores pode levar a resultados mais satisfatórios. Isto ficou evidenciado na análise de sensibilidade com relação ao número de intervalos de tempo (Tabela 2). Assim, a análise destes resultados iniciais sugere que, enquanto as opções de compra americanas são mais sensíveis e convergem mais rapidamente com um aumento no número de simulações, as opções de venda americanas são mais sensíveis e convergem mais rapidamente com uma maior discretização do tempo. De maneira geral, a eficiência do método LSM depende de três fatores: número de simulações, discretização do tempo e, menos importante, das funções básicas usadas na regressão. A definição adequada destes parâmetros permitirá que os resultados obtidos pelo método sejam satisfatórios. Deve-se atentar para o tradeoff entre o custo computacional decorrente da aplicação do método e o nível esperado de precisão dos resultados. Os resultados apresentados nas Tabelas 4 e 5 indicam que o método LSM é uma poderosa ferramenta para a avaliação de opções reais, em especial no setor de E&P de petróleo. A performance do método é praticamente idêntica ao método binomial, com a vantagem de que seu campo de aplicação é bem mais amplo. Os testes de sensibilidade do método LSM alertam para o cuidado que se deve ter na definição dos parâmetros de simulação e de regressão. Este aspecto mostrou-se de fundamental importância para que os resultados obtidos tenham uma precisão e confiabilidade satisfatórias.. Referências ARAÚJO, R.O. Avaliação de Opções Reais Através do Método dos Mínimos Quadrados de Monte Carlo. Dissertação de Mestrado, Departamento de Engenharia Industrial, PUC-Rio, 4. BAIDYA, T. K. N.; CASTRO, A. L. Convergência dos Modelos de Árvores Binomiais para Avaliação de Opções. Pesquisa Operacional, vol 21, 1, pp COX, J.C.; ROSS, S.A.; RUBINSTEIN, M. Option Pricing: A Simplified Approach. Journal of Financial Economics, no 7, 1979, pp DIAS, M. A. G. Investimento sob Incerteza em Exploração e Produção de Petróleo. Dissertação de Mestrado, Departamento de Engenharia Industrial, PUC-Rio, 199. Site de Opções Reais DIXIT, A. K.; PINDYCK, R. S. Investment under uncertainty. Princeton University Press, FROTA, A. E. F. Avaliação de Opções Americanas Tradicionais e Complexas. Dissertação de Mestrado, Departamento de Engenharia Industrial, PUC-Rio,. GAMBA, A. Real Options Valuation: a Monte Carlo Approach. Working Paper Series 2/0, Faculty of Management, University of Calgary. LONGSTAFF, F.A.; SCHWARTZ, E.S. Valuing American Options By Simulation: A Simple Least-Square Approach. Review of Financial Studies, vol.14, no 1, Spring 1, pp TRIGEORGIS, L. Valuing Real Investment Opportunities: an Options Approach to Strategic Capital Budgeting. Tese de Doutorado, Harvard University, 198. ENEGEP 4 ABEPRO 2255