Propostas de Resolução

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1 Proposts de Resolução Eeríios de MATEMÁTICA A 0. no Mri August Ferreir Neves Luís Guerreiro António Leite P online Como utilizr este fiheiro e lolizr rpidmente resolução pretendid? Verifique se n Brr de Ferrments deste doumento eiste i de pesquis do seu Adoe Reder. Se tl não sueder, tive-, lindo om o otão direito do rto e seleionndo opção pretendid. N i de pesquis (Find), digite Pág., om o P miúsulo e sem esqueer o ponto finl, seguido de um espço e do número de págin onde se enontr o eeríio ou prolem do qul pretende onheer resolução. Depois de vlidr informção, telndo em Enter, surgirá no erã págin do doumento PDF om tods s resoluções dos eeríios d págin seleiond do livro. CEXMA0 Porto Editor Dependendo d su etensão, resolução poderá estr n olun ou té n págin seguinte do PDF.

2 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Cpítulo CEXMA0 Porto Editor. + 7 = h h h > 0 = 6 h = œ6 Pág. Respost: (C).. d = + d d > 0 = d = œ P = p r = (r)p = œ p P = p œ m Respost: (B). œ œ. (A) = œ = œ, é flso; = œ œ œ œ (B) œ =, é flso; œ = (œ) (œ) + œ = œ (C) œ + œ = œ œ = œ, é flso; (D) =- - * = - - = -, é verddeiro. Respost: (D). œ * œ - (œ). AE = 8 - = 6 Pág. DE = (œ) + 6 DE = + 6 DE = œ8 P = EB + CB + DC + DE = + œ œ8 = = 0 + œ * + œ6 * = 0 + œ + œ = œ Respost: (D).. AC = 0 Comprimento do ro AC = BC = BC = 0 * BC = 0 œ P = p œ ) 9,9 Respost: (A). = p 6. œ + œ - = œ6 = œ9 * 6 + * œ * 6 - œ6 * 6 = œ6 + * œ6 - * 6 œ6 = œ6 + œ6 - œ6 = œ6 Respost: (D).. Pág. (œ) =. Fls:.. Verddeir: œ =.. Fls: ( œ) = * = 0.. Verddeir:.. Fls: œ8 + = œ9 = 0 œ Fls: œ + œ = œ6 * + œ = œ + œ = 7 œ..7 Fls: = - œ + = - œ 0. (œ - ) Œ 6 = Œ9 * 6 = Œ (œ) * œ + œ = œ6 * * * p œ - œ (œ - œ) œ - œ6 - œ.8 Fls: = = 0. œ œ * œ.. - œ ( - œ) = - œ * ( + œ) + œ - ( - œ) ( + œ) - - œ.. œ - œ œ (œ - œ) = œ œ œ (œ + œ) œ - œ (œ - œ) (œ + œ) œ + œ + œ ) F = + œ = = + œ + = 6 + œ = + œ + ( + œ) = = = + F ; + + œ ) = F = ( - œ) ( - œ) = = + œ œ ( + œ) - = = = + œ - = F -. + œ. ; - - = 0 + œ - + œ ( + œ) ( - œ) - = 0 + œ œ - = 0 + œ - + œ - = 0 + œ - - œ - 0 = 0 = 0 0 = 0.. Pág.. AB = œ8 P = * œ8 = * œ9 * = * œ = œ P = œ m.. AB = œ8 AF + FB = (œ8) AF + AF =8 AF =8 AF > 0 AF = 9 AF = P = * AF = * = m.. Em [ABCD]: AC = AB + BC AC = (œ8) + (œ8) AC = 6 AC = 6 AC AB = 6 = 6 œ8 = 6 * œ9 * = 6 * œ = œ œ AB Em [AFBE]:. AF = œ8 = œ = œ.. FB> 0 FB = 0 FB = œ0 FC = FB + BC FC = FC = œ0 FC = œ * 0 œ0 FC = œ0 m.

3 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. HF = EF + EH HF = AB + FG 6. HF > 0 HF = + (œ0) HF = HF = œ = 0 0 HF = œ9 * HF = œ 80 HF = œ m. 80 m = 8, m. FC + HF = œ0 + œ ),0 FC + HF ),0 m. Respost: (C).. V = Áre d se * ltur = 0 * = 00 V = 00 m = A T = * AB * BF + * 0 = * * œ0 + 0 = 0 m = 0 * œ * + 0 = 0 * œ + 0 = 0 (œ + ) Respost: (B). A T = 0 (œ + ) m. CEXMA0 Porto Editor MB = BN = MN = MB + BN MN = + MN = œ0 MN = œ m. * 6. A írulo = p * r = p * œ = p * =,p * A írulo = ( *,p) m = 0p m. 6. A = A qudrdo - A írulo = 0 - p m = (00 - p) m.. 6 (Rzão) = 9 Pág. 9 Rzão = AB = m AB = 6 m Respost: (B).. (Rzão) = ; r = 7 r = A = = 9 A Respost: (D).. AC = œ + AC = EG Rzão de semelhnç: r = = AC = P [ABCD] = * + * = m P [EFGH] = * m = m Respost: (D).. A áre de d tijoleir nov é = 9 vezes áre Pág. 0 de um tijoleir velh. 900 Logo, Cristin preis de = 00 tijoleirs. 9 Respost: (B).. Os triângulos [ACD] e [ABD] são semelhntes (têm dois ângulos geometrimente iguis: DC W A = BD W A e DA W B = CA W D) M 0 = + > = 0 8 Respost: (C). 7. Rzão de semelhnç: r = A = r A = * m Respost: (B).. Pág.. Sim. Dois írulos são sempre semelhntes.. Como s pizzs têm mesm ltur, onsideremos pens s sus áres. A = p * m = p m. A = p * 0 m = 00p m. A = p * m = p m. A 00p = A = p n = n n A pizz médi deve ser ortd em qutro ftis iguis. p. ) =, N 00p Não é possível. p ) = 9 p Cort-se pizz grnde em 9 prtes iguis.. 0,0 * 00 ), Æ p dm = 00 m,00 * 00 ),9 Æ 00p,0 * 00 ), Æ p O preço de um fti om dm de áre é de, Æ n pizz grnde,,9 Æ n médi e, Æ n pequen. Logo, pizz om melhor preço é grnde e que tem pior preço é médi... 0 = 6 = r =. V B. = ; V A V A = 8 = 8. V B. V = * V A = 7 * p * * 0 m = 0p m. A. A = =. A B

4 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. V C = 0p m V A = p * * 0 m = 90p m V C = 0p V A 90p = R = R = Œ Sejm: ltur de C = h ; rio d se de C = r h h = 0 * Œ h ),0 m ; 0 = Œ r r = * Œ r ),0 m. = Œ. Pág.. = * m = 6 m ; A rest do uo mior é 6 m.. r L =.. r = = 9 ; r = (r L ).. r v = = 7 ; r v = (r L )... œ = 0 0 dm = m A rest do uo mede metros.. r volumes = r rests = œ = * œ m ),78 m... 8 * * * = 9 9 ols.. r = = 8 m * = 6 m m * = 8 m Comprimento: 6 m ; lrgur: 8 m.. A rzão dos volumes é = 7 7 * 8 = 6 6 ols. 6. r = 8 = * m = m ; * m =, m Lrgur: m ; ltur:, m. 6. Pág. 6. V esfer = p * = 00p 00p ) V one = V esfer * A * h = 00p * p * * h = h = 00 h = 0 Altur do one: 0 m. 00p ) V ilindro = V esfer p * * h = 00 0 h = h = 0 Altur do ilindro: m. CEXMA0 Porto Editor 6. ) As lturs do one e do ilindro tmém umentrm 0%. A ltur do one umentou 0, * 0 m = 6 m e ltur do 0 ilindro umentou 0, * m = m. Respost: 6 m e m. ) As dimensões dos sólidos umentrm 0%. Logo, form multiplids por,. Os seus volumes form multiplidos por, =,97. O volume d nov esfer é: 00p. Pr determinr o umento do volume dos sólidos, lul-se diferenç entre o volume d nov esfer e o volume d esfer iniil (por eemplo): 098,p = 99,p. Os volumes umentrm 99,p ou sej, 9,7% A totl = 8 * 0 * + 0 * 0 * + A topos = = 70 + A ilindro = = 70 + p * * + p * * 8 = = p + 80p = p A = (70 + 0p) m. 7. Se d um ds dimensões d é umentd em 0% então é multiplid por,, pois d + 0, d = ( + 0,) d =, d. Então, áre orrespondente, A, é multiplid por, =,69, ou sej, A =,69 A.. BC = 6 Pág. BD = BO = 0 DC + BC = BD DC + 6 = 0 *, = 098,p - 00p DC = 6 DC = 8 A = A írulo - A qudrdo = = p * - 8 * 6 = = p - 8 Respost: (C).. A írulo = p p r = p r = r = œ * h A triângulo = = (r) * r Respost: (D). = r = (œ) =. Ldo do qudrdo = L= œ P = L = œ = œ6 * = * œ = 6 œ Respost: (C).

5 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. r + = h Pág. 6 h + = 6 h = œ7 h = œ A [ABC] = AB * h A [AOB] = * 9 œ = œe d f± = œ = œ A d [AOB] = 6 * = g r = h - = œ - œ = œ ),. Respost: (B).. O ldo do heágono é L= = m. 6 O ldo do heágono regulr é igul o rio d irunferêni irunsrit. Logo, r = m. A írulo = pr = p * = 6p. Respost: (C). 6. A írulo = p pr = p r = r = œ, pois r > 0 d = r = œ L +L = d (œ) L = L = 0 L = 0 A qudrdo = 0 m Respost: (D). = 6 * œ = 9 œ. Pág. 7. Um polígono é regulr se tiver todos os ldos om o mesmo omprimento e todos os ângulos geometrimente iguis.. Por eemplo:. Qutro ldos: 90 ; Cino ldos: 60 = = 7 = 80-7 Ângulo interno = = = 80-7 = 08 ; Dez ldos: Ângulo interno = = 60 = 80 - = ; 0 n ldos: Ângulo interno = 60 = n. Qunto os ldos: Esleno: tem os ldos todos diferentes. Isóseles: tem pelo menos dois ldos iguis. Equilátero: tem os três ldos iguis. Qunto os ângulos: Otusângulo: tem um ângulo otuso. Autângulo: tem os ângulos todos gudos. Retângulo: tem um ângulo reto..6 ) Um triângulo isóseles tem um eio de simetri ou três, no so de ser equilátero. ) Um polígono regulr de 8 ldos tem 8 eios de simetri..7 (A), (D) e (E) são firmções verddeirs. *.8 ) A = = 0 ; A = 0 m ; + ) A = * 6 = * 6 = 8 ; A = 8 m ; 6 * ) A = + 6 * - * p * = Pág. 8 = p = - p ; A = ( - p) m ; d) A = 6 * 8 - A - A - A = 6 * 6 = * - 8 * = = = 8 A = 8 m ; CEXMA0 Porto Editor. Porque o ângulo interno de um pentágono regulr tem 08 de mplitude e 08 não é divisor de 60. e) A = 8 * 9 - A - A = = 7 - * 7 - * = = = = 6 A = 6 m ;

6 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA0 Porto Editor f) A = A qudrdo - A qurto de írulo = = 8 - *p * 8 = 6-6p A = A qudrdo - A = = 8 - (6-6p) = = p = = p - 6 A = (p - 6) m ; g) A = * p * = p A = A = p A = p m.. P = 6 * + * = 8 P = 8 m. A = * 6 + *, = +, =, A =, m. Pág. 9. Se L é o ldo do qudrdo, então temos: (r) =L +L ( * œ) = L 7 = L L = 6. A áre do qudrdo é 6 m.. Considere s seguintes figurs: A A A = A qudrdo + * A semiírulo = 6 + * * p * = 6 + 8p (r) = r = * 6 r = 8 A = pr = p * 8 = 8p A = A - A = 6 + 8p - 8p = 6 = A qudrdo (.q.m.).. h + = h = Œ - h = Œ 7 œ h = A heágono = 6 * A triângulo = = 6 * * œ = * œ = 7 œ 7 œ A heágono = m.. A olorid = 6 * A semiírulo + A heágono - A írulo = 6 * - p * * p * 7 œ + 7p 7 œ = + - p = 7 œ 7 œ A olorid = - p m. Neste so, áre d prte olorid é diferente d áre do heágono.. P = m L= = h + 7 = h = œ96-9 h = œ7 h = œ9 * h = 7œ * 7 œ A triângulo = = 9 œ A triângulo = 9 œ m O triângulo [ABC] é retângulo em C porque o ângulo insrito num semiirunferêni é reto. 6. AB = 0 m BC = sin AB BC = 0 * sin AC = os AB AC = 0 * os AC * BC 0 os * 0 sin A triângulo = = ),08 A = A írulo - A triângulo ) p -,08 ) 9,. A áre d prte d figur representd zul é 9, m.. V = 7 m Pág. A * h = 7 Comprimento d rest do uo. * 7 = 6 œ 6 6 Respost: (C). - p

7 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. Áre totl = + + = ( + + ).. (A) A T = (,8 * +,8 * + * ) = 8,8 (B) A T = (, * +, * 9 + * 9) = 69 (C) A T = ( * + * + * ) = (D) A T = (, * +, * + * ) =, Respost: (C).. h + = Pág. h h > 0 = 6 h = V = A * h V = * p * * = p Respost: (C).. A T = 7p m Rio d se: r = * h = h A T = AL +A = p r * h + p r h = p * h + p = p h 8p A T = 7p h = 7p 9 h h > 0 = 8 h = 9 h Rio d se = r = = = 9 V = A * h = p * * 9 = 8p m Respost: (A).. V = V i - V esfer = A * h - * p r M h = 6r = p * r * 6r - p r = 6p r - p r = p r Respost: (C).. AI = AE + EI Pág. AI = 0 + AI = œ AI = œ AI = œ m h + p h 9 = 8p 9 h. PJ = 8 + 7, PJ = œ80, PJ = 9, ou PJ = + 0, PJ = œ, PJ ) 8, A joninh tem de perorrer um distâni mínim de 8, m.. MN =, +, MN = œ7,8 MN ),6 m ; MN = 0 +,7 MN = œ,06 MN ) 0,68 m ; MN =, +, MN = œ,8 MN ), m ; O omprimento do fio é 0,68 m.. Como o rol não pode perorrer fe [ABCD], restm-lhe dus opções: prtir sore fe [BCGF] fe O ou sore fe [CDHG] fe O. Pr d um dests opções tem ind dois minhos lterntivos. Há portnto qutro minhos onsiderr: CEXMA0 Porto Editor A formig tem de perorrer um distâni mínim de œ m. 6

8 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO O O MC = MH + HC 6. Arest do uo: = 0 m MC = + () Rio, r, d esfer insrit (metde d rest do uo) 0 r = = MC = Œ 7 Rio, R, d esfer irunsrit (metde M > 0 d digonl espil do uo) MC = œ7 d = d = 0œ R = œ. MC = MD + DC MC = + MC = Œ MC = œ M > 0 00p 6. V = p r = p * = 00p V = m. 6. V = p R = p (œ) = * p * * œ 00œ p = 00œ p V = m. 6. A = p * = 00 p m (œ) A = p * = p * * = 00 p m A - A = (00 p - 00 p) m = 00 p m. 7. V águ + V esfer = p * 0 * 6 = 600 p V esfer = p * = 6 p V águ = 600 p - 6 p = 6 p V = 6 p m. CEXMA0 Porto Editor O MC = AC + AM = () + MC MC = Œ MC = M > 0 O MC = CG + GM = + MC M > 0 MC = œ œ A distâni mínim é (O rol trvess fe [CDHG] e ort um ds rests, [HG] ou [HD], em direção M).. Trt-se de determinr o volume do one de rio d Pág. se AB = m e ltur BC = m : V = p * * p V = m. 8. Pág ) O dul do tetredro é o tetredro; ) O dul do otedro é o uo; ) O dul do dodeedro é o iosedro; d) O dul do iosedro é o dodeedro. 8. ) = + = œ * = œ m ; ) A fe do otedro é um triângulo equilátero. P = * œ P = œ m ; ) h = * - * h = Œ 7 œ * Œ 7 A triângulo = œ A = m. h + œ = (œ) = œ7 = * œ 7

9 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA0 Porto Editor d) V = * A * h = * (œ) * 0 00 = * * = 00 V = m. 8. O dul do uo é um otedro regulr que pode ser deomposto em dus pirâmides qudrngulres regulres de ltur, metde d rest do uo. A se omum às dus pirâmides é um qudrdo de ldo L, sendo: L = + L = * = V otedro = * V pirâmide = * A * ltur = = * * L * (.q.m.). = * * = 6 8. Sej o omprimento d rest do uo, em entímetros: = 6 = 7 6 œ A rest do uo mede m. 9. A áre d seção produzid zul pode ser luld Pág. 7 omo diferenç de dus áres, omo se ilustr n figur seguinte: A = *,7 - *,7 = 6,9 A = 6,9 m. 9. V = A * ltur = 6,9 * 8 = 9, V = 9, m = 9 00 dm. A pisin tem 9 00 litros de águ. 9. V = (9, - 0) m =, m A = - *,7 A = - 0,6 Então, temos que: V = ( - 0,6) * 8 V =, ( - 0,6) * 8 =, - 0,6 = 0,6 6,,, m V opo = A * ltur = * p * * 6 = * p = p 0 6 -,7,7 p m ) 9, m 0 m = L V ),9 L. 0. V esfer = p, m = p 8 V líquido = A * h Pel semelhnç de triângulos tem-se: r h r =, * r =, = h 6 6 h V líquido = * A * h = * p r * h = p * h h = p h = p h V líquido = V esfer p h = p 8 h = 8 * h =,8 h = œ,8 h ),98 h = œ,8 m ),98 m. 0. V opo = p m p V geldo = 8 V opo * 8 = ),7 V geldo * Depois de derretido e pens um geldo inteiro. œ9. A fe opost é. Pág. 0 7 A fe opost é œ. 9 7 A fe opost é. œ6 A fe opost œ é = 0,(). 9 Respost: (D).. Respost: (C).. I É verddeir. Um prism om n ldos tem n vérties. II É verddeir. O dul do dodeedro é o iosedro que tem 0 fes, vérties e 0 rests. 8

10 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA0 Porto Editor III Flso. Um poliedro onveo om 0 rests e 6 vérties tem 6 fes (Lei de Euler: F + V = A + ). Logo, o seu dul tem 6 vérties. Respost: (A).. A interseção do plno om esfer é, neste so, Pág. um írulo de rio r = m. P Ç = * p * = 0p m ; A Ç = p * = p m. Respost: (C).. A seção pedid é um retângulo de que [BH] e [HM] são dois ldos. Respost: (B). 6. (A) [EHXY] é um retângulo (A) é verddeir. (B) XF = BF = * = EX = + 6 A [EXYH] = œ0 * = 8œ0 m (B) é verddeir. (C) P [EXYH] = EX + XY = * œ0 + * = (œ0 + 8) m (C) é verddeir. (D) A seção em us é o retângulo [EBCH]. EB = 6 + EB = EB = œ EB = œ A [EBCH] = EB * BC = œ * = œ m (D) é fls. Respost: (D). 7. V uo = Pág. V orifíio = = 7 V V orifíio = uo 7 V uo = 7 * V orifíio Respost: (C). 8. Um plno interset plnos prlelos segundo rets prlels. Respost: (D).. Pág.. Plnos DHE e GHD, por eemplo.. Plnos ABC e ABF, por eemplo.. [ABGH] é um retângulo.. AB = œ m = m. 9 EX = XF + EF EX = œ0 EX = œ0 XY = BG = BC + CG BG = + 6 BG = œ6 P = * AB + * BG = * + * œ6 = 0 + œ6 P = (0 + œ6) m ),6 m. BN = BF + FN = 6 + BN A = AB * BN = * A =, m... Plnos AEF e AEH, por eemplo.. ) Rets AB e EG, por eemplo; ) Plnos ABC e ABG, por eemplo.. ) Conorrentes não perpendiulres; ) Conorrentes não perpendiulres. A interseção é ret BC ; ) Conorrentes.. BF = m ; AB = * = 8 ; AB = 8 m ; BF = V = 76 m. ) V = 76 m A se * ltur = 76 m (EF * FG) * BF = 76 8 * FG * = 76 FG = 6 m (.q.p.). ) A = * ( * 8) + (6 * ) + * (6 * 8) A = m ; ) AC = AC = 0 m CM = 6 m AM = AC + CM AM = AM = œ6 AM = œ P = ( œ) m = (6 + œ) m ; AC * CM d) A = = 0 * 6 = 0 A = 0 m. e) O plno ABM divide o sólido em dois: o sólido que ontém se [HEFG] e o sólido que ontém se [ABCD]. O sólido que ontém se [ABCD] é o prism de se [BCM] e ltur DC. BC * CM V = A * ltur = * DC = 6 * 6 * 8 = m No so do sólido que ontém se [EFGH] : V = volume do prism - = = * 8 * 6 - = m Assim, o volume de d um dos sólidos é m e m.. Pág.. BN = Œ 69 BN =

11 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6.. Arest do uo = 0 m BD = BD = œ0 * BD = 0œ 6. PO = + HF = BD PO = œ * P = BD + BF = * 0œ + * 0 = 0œ + 0 P = (0œ + 0) m ; A = BD * BF = 0œ * 0 = 00œ m. PO = œ m NO = 0 m A [MPON] = œ * 0 = 0œ. Arest = 6 m A = 0œ m. [AMGN] é um losngo. 6. HF = HF = œ0 * HF = 0œ m PO = œ m FO = + 0 FO = œ HP = FO = œ AC = AC = œ6 * AC = 6œ FH - OP QH = = AG = AC + CG AG = 6 * + 6 0œ - œ œ = = AG = œ6 * AG = 6œ [HPOF] é um trpézio isóseles NM = AC = 6œ ou de ltur h. Sendo rest de um uo, temos que: digonl fil de um uo é igul œ e digonl espil de um uo é igul h + œ h = - = (œ) œ ; então, NM = 6 œ e AG = 6 œ. AG * NM 6œ * 6œ œ A losngo = = = 8œ6 h = Œ h = h = œ A = 8œ6 m. 0œ + œ A = * œ = œ * œ = =,.. EL = A =, m. =, m EA 6. Trt-se do triângulo EG = 8 + EG = œ08 = œ m LT = EG = œ m isóseles [ANM]. MN = PO = œ AN = MA = OF = œ CEXMA0 Porto Editor [ELT] é um trângulo retângulo em L. E, L V EL * LT, * œ A [ELT] = = = 9œ A = 9œ m.. MN = œ6 + 6 = 6œ MG = NG = œ6 + 8 = 0 [MNG] é um trângulo isóseles h + (œ) = 0 h = 00-8 h = œ8 6œ * œ8 A [MNG] = = œ6 = = * œ = 6œ A = 6œ m. T h + œ = (œ) h = - h = Œ h = œ œ * MN * h œ A = = = 7, A = 7, m Ldo [LM] LM = LH + HM LM = + (HD + DM ) LM = LM = œ0 LM = œ6 = * 0

12 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO Ldo [LN] LN = LG + GN LN = + (GF + FN ) Plnifições LN = LN = œ6 Ldo [MN] MN = MA + AN MN = + (AB + BN ) MN = MN = œ6 P = œ6 + œ6 + œ6 P = œ6 m ; [LMN] é um triângulo equilátero de ldo œ6 m h + (,œ6) = (œ6) h = 0-7, h = œ, œ6 * œ, A = = œ67 = * œ = 7,œ A = 7, œ m. 7. FN = ; MN = œ6 FM = FB + MB FM = 0 + (MA + AB ) FM = FM = œ FM = P = ( + œ6 + ) m = (0 + œ6) m. 7. A ltur d pirâmide é FN = m 00 V = A se * ltur = * 0 * = 00 V = m.. Pág.. ) ) Comprimento dos diversos minhos e : œ + = œ ; e : œ + = œ7 ; e : œ + = œ = ; e : œ + = œ9. Cminhos e : œ m ; minhos e : œ7 m ; Cminhos e : m ; minhos e : œ9 m. A menor distâni entre A e M é œ m ),6 m e orresponde os minhos e que onsistem em trvessr fe [ABFE] e seguir em direção M, ortndo rest [BF] ou [EF].. Volume d pirâmide de se [HGM] e vértie em C : * V pirâmide = * A * h = * * = ) Em qulquer um dos minhos formig perorre 6 metros.. ) Prtindo do vértie A, formig tem oito opções pr tingir M : Atrvess fe Cort s rests Opções CEXMA0 Porto Editor [ABCD] [ADHE] [ABFE] [BC] [DC] e [CG] [DC] e [HG] [EH] [DH] e [CG] [DH] e [HG] [BF] [EF] Volume d prte do depósito io do plno HCM : V = - = 8 - = m m ) 7, m = 7 dm Colondo o depósito de form que o plno HCM fique horizontl este fi om um pidde de proimdmente 7 litros.

13 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO. Pág. 6. A seção produzid no uo pelo plno EMC é o losngo [EMCN].. EM = EF + FM EM = EM = œ00 EM = œ00 * EM = 0œ P = * 0 œ = 0œ m.. Digonl D = NM = 0 œ (digonl fil do uo). Digonl D = EC = 0 œ (digonl espil do uo). D * D 0 œ * 0 œ A losngo = = = 00 œ6. A = 00 œ6 m.. h = Œ 8 = œ = œ œ8 œ œ * œ A triângulo = œ = œ 8 Áre de d fe qudrd: A qudrdo = = œ = œ A totl = 8A triângulo + 6A qudrdo = 8 * + 6 * = œ + 8 A = (œ + ) m (.q.p.). ) Volume de d pirâmide trund : V = A * ltur A se é um triângulo retângulo ujos tetos medem V = * A * ltur = * m d. * * = * 8 * = 8 V uotedro = V uo - 8 * A pirâmide = - 8 * 8 = 6 V = m. 6 ) Sej rest do uo.. ) O uo trundo tem fes, vérties e 6 rests. ) Otógonos regulres (seis) e triângulos equiláteros (oito). V uo = Volume de d pirâmide trund : V = A * ltur V = * * * V = 6 * V = 8 V uotedro = V uo - 8 * V pirâmide = - 8 * = 8 = -. 6 = 6 Logo, V uotedro = V uo (.q.p.). 6. Pág. 7. Os dois triângulos são triângulos retângulos. ) Arest do uotedro = = + Œ * CEXMA0 Porto Editor œ = œ = Áre de d fe tringulr: * œ = œ h + œ = œ h = - 8 DE W F = FC W G por serem ângulos gudos de ldos prlelos. Logo, os triângulos são semelhntes porque têm dois ângulos geometrimente iguis.

14 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA0 Porto Editor. FE = 8 * rio = 8 * = FE = m... A se = = 9 Pág. 8. DE = = ; Fe tringulr FG = h + = FD + DE = FE FD = - FD = œ FD = œ CG FD = FG DE CG œ CG = œ m.. DH = Pel semelhnç de triângulos: CF FE = FG DE CF = CF = 6 Altur do triângulo ABC HC = HD + DF + FC = + œ + 6 = 9 + œ Sej o ldo do triângulo ABC = = + (9 + œ) = + (9 + œ) (9 + œ) = (9 + œ) (9 + œ) œ œ (9 + œ) œ( + œ) (6 œ + ) m. Bse * ltur (6œ + ) (9 + œ). A triângulo = = = (œ + ) (9 + œ) ), m. CG = œ.6 ) Distâni perorrid = = * digonl +, = = œ(,8) + (,) +, = = œ0,09 +, ) ) 7,8 m ; ) Distâni perorrid = = œ +, + + * œ, + 0,7 + = œ0,7 +,8 ) ) 9,7 m. (medids em metros) h = Œ9-9 h = Œ 7 h = œ A triângulo = 9œ A totl = A qudrdo + A triângulo = 9 + * = 9 + 9œ A = m.. V = * A * ltur Altur d pirâmide h + (9 + 9œ) = œ 7 h = - 9 h = Œ 8 h = œ V = * * œ 9œ V = 9œ V = m.. Altur do prlelepípedo = * ltur d pirâmide œ = * = œ V prlelepípedo = * œ = 7 œ V = V prlelepípedo - V pirâmide 9 œ œ = 7 œ - = œ V = m.. Ddo que // ABC, BCE = FG e ABC BCE = BC, tem-se que FG // BC, porque um ddo plno interset plnos prlelos segundo rets prlels.. Os triângulos [EBC] e [EFG] são semelhntes (têm ângulos geometrimente iguis). FG FG Então, FG =, =, BC = EF EB FG =, m. * œ = 9œ

15 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO.6 As pirâmides [ABCDE] e [IFGHE] são semelhntes. A rzão de semelhnç é. Logo, rzão de semelhnç ds sus áres é = e rzão de semelhnç dos seus volumes é = 8. ) V [IFGHE] = * V [ABCDE] = 8 * 9 œ = 9 œ œ V [ABCDIFGH] = - 9 œ 6 = 6 6 œ 6œ V [ABCDIFGH] = m ; 6 ) A [IFGHE] = * A [ABCDE] = (9 + 9 œ) A = (9 + 9 œ) m.. Pág. 9. Reorrendo à semelhnç de triângulos, vem: h - h =, h - = h (.q.m.)., h -. = h, (6) () 6h - 0 = h h = 0 h = 7 h - = 7 - = 0 O one menor tem 0 m de ltur.. V i = V one mior - V one menor = = * p *, * 7 - * p * * 0 ) 7 979,80 m. r. r = 8,7 = 6, 0 6. Pág V uo = V pirâmide = A * h = * h = V uo h = h = A ltur d pirâmide é metde d rest do uo. Altur d se lterl d pirâmide: k k = k = Arest lterl d pirâmide: L L = k L = + L = œ L = Altur d pirâmide: u..; œ Arest lterl d pirâmide: u.. V uo 6. V pirâmide = = u. v ) V uo = (œ) = œ V uo = œ m ; œ ) Altur d pirâmide = h = œ h = m ; ) Volume d pirâmide = œ œ = V uo = m = m ; 6 6 d) Digonl de uo = d d = (œ) + (œ) + (œ) d = œ9 d = m ; FG = (œ) + (œ) e) FG = œ6 m ; CEXMA0 Porto Editor V águ = p * 8,7 * 6, - p * * 0 ) 8,79 m.. V ilindro = V i hei - V i té metde de ltur = = 7 979,80-8,79 ) 6 7,07 V ilindro = 6 7,07 p * * h = 6 7,07 h ),7 m. f) Altur d fe lterl = A totl = A se + * A triângulo = œ * œ = (œ) œ + * = œ = + = + * = + œ œ A totl = ( + œ) m. Œ Œ = (œ) = Œ

16 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 7. Pág. 7. Digonl do qudrdo: d 8. ) VC = ( - ) m = 8 m ; ) Ddo que os triângulos [AOV] e [DCV] são semelhntes: CD CD 0 = 8 AO = VC VO CD = 0 CD = 0 m. CEXMA0 Porto Editor d = d = 0 œ Diâmetro d i mior: R = 0 œ = = 0 œ + 0 O diâmetro d i mior é: (0 œ + 0) m. 7. (0 + r) = r = 0 œ r = (0 œ - 0) m r = (0 œ - 0) m ou 0 + r + 0 = digonl do qudrdo [ABCD] r + 0 = 0 œ r = 0 œ - 0 O diâmetro d i mis pequen é: (0 œ - 0) m. 7. Altur do triângulo [ABC] h + 0 = 0 h = œ00 h = 0 œ 0 * 0œ A [ABC] = = 00œ Áre dos três setores irulres: Como * 60 = 80, os três setores têm áre de um semiírulo de rio 0 m. Determinemos ess áre: A = p * 0 = 0p. Logo, áre, A, d prte d figur olorid or verde é: A = (00œ - 0p) m. 8. Pág. 8. [AOB] é um triângulo equilátero (o ldo de um heágono regulr é igul o rio d irunferêni irunsrit) Ldo do heágono = = 0 m 6 VA = 0 + VA = œ VA = œ6 m. 8. A seção é um heágono regulr. Como o ldo do heágono é igul o rio d irunferêni irunsrit tem-se que o ldo é igul CD = 0 m. 0 Logo, P = 6 * = 0 m. Perímetro d se 8. A = A se pirâmide mior = * pótem Determinção do pótem: 0 = p + p = 00 - p = œ7 p = œ Então, tem-se: 60 A = * œ A = 0 * œ A = 0 œ Perímetro d se A = A se pirâmide menor = * pótem Determinção do pótem: 0 = p = p p = p = Œ 00 9 p = 0 œ p = Então, tem-se: A = 0 œ00 * 0 œ 0 00 œ A = Dest form, temos: 00 V = * 0 œ * - * * 8 œ 600 V = 600 œ - œ V = œ m. 9

17 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Cpítulo. Pág. 6. F (-, - ) ; A (, - ) Respost: (C).. H (0, ) ; I (0, - ) Respost: (A).. B (, ) ; E (-, - ) Respost: (B).. [ABDC] é um retângulo.. A (-, 0) ; O (0, 0) ; B (, 0) ; D (, ) ; C (0, ) e E (-, ).. ) P = (AB + BD) = (8 + ) = ; ) A = AB * BD = 8 * = ; AB * OC ) A = = 8 * = 6 ; d) BC = œ + = œ P = AB + BC + AC = 8 + œ + œ = 8 + 8œ P = œ ) 9, ; e) A = A [OBC] + A [ACE] = A [ABC] = 6 ; AB + CD f) A = * BD = 8 + * = ; g) P = AB + BD + CD + AC = = œ = 6 + œ ),7. CEXMA0 Porto Editor Respost: (C).. B (0, 0) Pág. 7 A (0, 0) E (7, ;,) G (, ; 7,) Respost: (C).. A = A [DEFG] - A qurto de írulo = - A írulo = = - p *, = - 6,p m. Respost: (A).. C (, ) B (8 ;,) ; B' (8 ; -,) A ( ;,) ; A' (- ; -,) O ponto A tem iss e o ponto E tem iss. Respost: (C).. A [ABCD] = A [ABCF] + A [FCD] = 6 + * (œ0 - ) = * ( -,) + = œ0 =, + - =, + =, + Respost: (D). œ œ0. Pág. 8 CEXMA0-RES-. OC = + OC = œ Pág. 9 A (0, - œ) ; B (œ, 0) ; C (, ) ; D (0, œ) ; E (- œ, 0) e F (œ, - œ)... Por eemplo, o referenil o. m. Oy seguinte:. ) A = A [OBCD] - A [OAE]. OA * OE * A = 8 * - = - = 0 A = 0 m. ) V = A se * ltur = 0 * = m = dm = litros... - > 0 y - > 0 > y >.. - > 0 y - < 0 > y <. 6. Pág ) Q' (-, - ) ; ) Q'' (, ) ; ) Q''' (-, ). 6. ) P' (-, ) ; ) P'' (, - ) ; ) P''' (-, - ). 6

18 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 7. B (- -, + ) B å. o qudrnte? Terá de ter iss positiv e ordend negtiv: - - > 0 + < 0 Como - - é sempre negtivo, o ponto B não poderá pertener o. o qudrnte. 8. C (, - y + ) C å. o qudrnte? Terá de ser < 0 - y + < 0 < 0 y > É impossível, porque 0, pr todo år... Rzão entre s áres: 9 ; rzão entre os ldos:. A rzão entre s áres é o qudrdo d rzão entre os ldos. 9. O (0, 0) ; A (, - ) ; B (, 0) ; C (, ). 9. O' (0, 0) ; A' (-, - ) ; B' (-, 0) ; C' (-, ). 9. O'' (0, 0) ; A'' (-, ) ; B'' (-, 0) ; C'' (-, - ). 9. O simétrio do ponto B reltivmente o eio O é o próprio ponto B (, 0).. - > 0 > Pág. 6 Respost: (C).. - y 0 y Respost: (A).. > y Respost: (A).. y Respost: (A).. 0 y 0 Pág. 6 Respost: (A). 6. œ y Respost: (D). 7. (y 0 y ) (y 0 - y ) Respost: (A). C é o ponto de iss menor do que, interseção dos ros de rio AB, om entros em A e B, respetivmente.... y =-.. AB = œ + = œ0.. h + œ0 = (œ0) 0 h + = 0 h = Œ = œ œ A triângulo = œ = (.q.m.). * = * œ * = œ. Pág. 67. e. œ0 * œ œ = œ0 œ = œ6 œ6 œ = œ œ œ CEXMA0 Porto Editor. Pág. 66. ) A (0, ) ; B (0, - ) ; C (6, - ) e D (6, ) ; ) O (0, 0) ; E (, - ) ; F (6, 0) e G (, ) ; ) H (, - ) ; I (, - ) ; J (, ) e K (, ).. ) y = ; ) 6 ; ) y = 0 ; d) 0 ; e) y = ; f) y =-.. OG = œ + = œ * = œ P = * œ = œ.. A [ABCD] = 6 = 6 6 A [HIJK] = = ; =

19 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO... A = {(, y) å R : } (\ )} Pág. 7 } (\ ) \ < - < < Respost: (D).. } ( > ) Respost: (D)...6. y - y < Pág. 7 (y < y -) } (y y <-) Respost: (D).. y = 0 y = ( 0 ) y = } ( < 0 > ) Respost: (C)... ) y = 6 ; ) y = ; ) y = 0 ; d) ; e) ; f) 7 ; g) 0.. ( 0 y ) (0 7 y 6) Pág. 7. } ( ) <.. } (y < ) y.. } ( 7) } ( ) <.. } (y 0 7) y = 7.. } ( ) ) > <.. } ( < ) y ) y >.. } ( y - < ) 0 y -..6 } ( + 0 y ) + = y <..7 } (- < < ) } ( >- < ) -..8 } (\y - < ) \y -... <- } ( -).. y y - } (y > y <-). CEXMA0 Porto Editor 6. A (-, 7) ; B (7, 7) e C (-, - ). 6. AB = 9 ; AC = 9. 9 * 9 A triângulo = = 0, u.. 7. Pág y. 7. y - y ou - y ou y - y < ou - y < y y y. 7.8 (- 0 0 y ) (0 - y 0). 7.9 y - y (y > 0) (y < 0) (y <- y 0) (y >- y 0).. y >-.. Pág. 79. E (,, 6) Respost: (A).. ABE : Respost: (D).. EF : y = z = 6 Respost: (C).. [AB] : z = 0 0 y Respost: (B).. BG = OG + OG BG = 6 + (OA + AB) BG = BG = œ0 Respost: (A). 8

20 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA0 Porto Editor. Pág. 80. B (0,, 0) ; A (, 0, 0) ; J (,, 0) ; I (0,, - ) Respost: (D).. C (0, 0, ) ; F (-, 0, ) ; D (-,, ) ; E (-,, 0) Respost: (B).. AGH : AG : y = 0 ḢG : z = y - [CG] : y = 0 z = 0 Respost: (C).. Pág. 8. O (0, 0, 0) ; R (, 0, 0) ; Q (,, 0) ; P (0,, 0) ; S (0, 0, ) ; V (, 0, ) ; U (,, ) e T (0,, ).. RT = RP + TP RT = ( + ) + RT = œ * RT = œ.. P = * (VR + VT) = ( + œ + ) = ( + œ) = = œ... V (,, 0) ; B (0,, ) ; C (0, 0, ) e D (, 0, ).. E (,, ).. V = A * ltur = * * = 6 V = 6 u. v.. O plno de equção z =, ort pirâmide nos pontos D', A', B' e C', pontos médios ds rests lteris d pirâmide. Atendendo à semelhnç dos triângulos [ADV] e [A'D'V'], de rzão, tem-se que D'A' = * =. DA = Logo, [D'A'B'C'] é um qudrdo de ldo e áre =.. Pág z =-0.. y =-.. z =.. - y =..6 z =.. A (0,, 0) ; B (0, 0, ) ; C (-, -, ) ; D (-, 0, ) ; E (, -, 0) ; F (, 0, - ) ; G (,, - ) e H (0,, - )... Se A pertene o plno de equção,, D pertene o plno de equção -,. Logo, AD =, - (-,) =. A se do prism é um qudrdo de ldo. V prism = 90 m A se * ltur = 90 * BF = 90 BF = 0 Logo, ot de F = 0 : = (.q.v). F (, ;, ; ).. A (, ; -, ; - ) ; B (, ;, ; - ) ; C (-, ;, ; - ) ; D (-, ; -, ; - ) ; E (, ; -, ; ) ; G (-, ;, ; ) e H (-, ; -, ; ).. ) -, ; ) y =-, z =- ; ) 0, 0 y, 0 z.. A seção produzid no prism pelo plno OFG é o retângulo [AFGD]. FG = AF = AB + BF AF = + 0 AF = œ09 A = FG * AF = œ09 m.. Pág. 8. ) 7 ; ) y = ; ) y =-.. ) y y 0 ; ) y - y y 7 ; ) y - y 7 y 9 6 ; d) y y - -8 y 0.. OH = + OH = œ * OH = œ km OH ),8 km. *. ) A = A = 8 km ; * ) A = * + = +,.. Pág. 8. P (8, - 0, - ) ; Q (8, 0, - ) ; R (0, 0, - ) ; S (0, - 0, - ) ; T (8, - 0, ) ; U (8, 0, ) ; V (0, 0, ) e X (0, - 0, ). 9

21 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA0 Porto Editor. ) Q' (- 8, 0, ) ; ) Q'' (- 8, 0, - ).. ) PQU : 8 ; ) [TUXY] : z = y 0 ; ) VU : y = 0 z = ; d) [PQ] : 8 z =- - 0 y 0. e) [PQRSTUVX] : y 0 - z.. ) Ret XT ; ) Ret PS ; ) Segmento de ret [TU] ; d) Segmento de ret [VR].. A seção é o retângulo [SPUV]. SP = 8 PU = œ0 + 6 = œ6 = œ A = 8 * œ A = 6œ m.. Pág. 8. P (, -, 0) ; S (-, -, 0) e R (-,, 0).. V = 8 A * ltur = 8 * 6 * OV = 8 * OV = 8 OV = 7. (.q.m.). ) y = ; ) y =- ; ) -.. ) Os triângulos [VOA] e [VCB] são semelhntes: BC AO = VC VO BC = 7 BC = 6 7 A seção produzid n pirâmide pelo plno é um qudrdo de ldo BC = * 6. 7 = 7 A = = u. v. 7 9 ) A pirâmide im do plno de equção z = é semelhnte à pirâmide [PQRSV]. A rzão de semelhnç é. 7 Logo, o volume dest pirâmide é 8 *. 7 = V trono = 8 - = u. v Pág. 86. G (,, 0) EG = A = = 6 u... V = 8 A * ltur = 8 * 6 * OB = 8 OB = 9 ) E (, 0, 0) ; F (0,, 0) ; A (, 0, 9) ; D (,, 9) ; C (0,, 9) e B (0, 0, 9). ) H (,, 9).. ) A seção produzid pelo plno é um qudrdo. ) Os triângulos [HMN] e [HEG] são semelhntes. Então, tem-se: MN EG = HM HE MN (M é o ponto médio de [HE]) = MN = A qudrdo = MN = =.. ) A seção produzid no prism pelo plno DCO é o retângulo [DCOE]. ) DC = ED = EG + GD ED = + 9 ED = œ97 P = * DC + * ED P = * + * œ97 P = 8 + œ97 u.. 0

22 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Cpítulo CEXMA0 Porto Editor. Ldo do triângulo [ABC] : L=90 : = 0. Pág. 90 Altur do triângulo [ABC] : h h + = 0 h = œ0 - h = œ Logo, A (-, œ). Respost: (D).. EC = EC = œ EC = œ Respost: (C).. A (0, ) ; B (, ) ; C (, - ) AB = œ( - 0) + ( - ) = œ + = œ AC = œ( - 0) + (- - ) = œ9 + 9 = œ BC = œ( - ) + (- - ) = œ + = œ6 P = œ + œ + œ6 =( œ + œ6) m Respost: (D).. A = p pr = p r = r = (r > 0) C (0, -, 0) Respost: (D).. A (, ) ; B (-, ) ; C (-, ) Pág. 9. ) AB = œ(- - ) + ( - ) = œ6 + = œ7 ; ) BC = œ(- + ) + ( - ) = œ6 + = œ0 = œ ; ) AC = œ(- - ) + ( - ) = œ + = œ.. O triângulo [ABC] é esleno.. M (-, ) ; A (-, - ) ; R (, ) MA = œ(- + ) + (- - ) = œ + 6 = œ0 MR = œ( + ) + ( - ) = œ6 + = œ0 AR = œ( + ) + ( + ) = œ6 + 6 = œ80 O triângulo [MAR] é retângulo, porque AR = MR + MA isóseles, porque MA = MR... AB = m.. HF = œ6 + = œ0 = œ0 m.. IE = œ6 + = œ = œ m.. FD = œ + = œ8 = œ m.. AC = œ + = œ8 = œ m..6 JF = œ8 + = œ89 m.. Pág. 9. ) A [ABCD] = AB = + = ; ) A [BEFG] = BE = + = 8. e AC + EG 8 +. A [AEGC] = * ltur = * 6 = 6.. AB = BG A rzão de semelhnç é. A rzão dos perímetros tmém é.. A (, ) ; B (-, ) ; C (- 6, - ).. AB = œ(- - ) + ( - ) = œ6 + 6 = œ = œ. BC = œ(- 6 + ) + (- - ) = œ9 + = œ.. Os triângulos [CBE] e [BDA] são semelhntes porque têm dois ângulos iguis: os ângulos CBE e DBA são vertilmente opostos e os ângulos BCE e BAD são gudos de ldos prlelos. AB. r = =. BC = œ œ. E e C estão n mesm ret vertil. Logo, omo C (- 6, - ), tem-se E (- 6, y ) BE = œ(- 6 + ) + (y - ) pois, B (-, ) e E (- 6, y ). BE = 9 + (y - ) BC = œ ; BC = BE = BC (o triângulo [CBE] é isóseles) BE = BC 9 + (y - ) = (y - ) = - 9 (y - ) = y - = y - = - y = y =- Como y > 0, tem-se y =. Logo, E (- 6, ) D tem mesm iss de A. Então D (, y ) DB = œ( + ) + (y - ) pois, B (-, ) e D (, y ). DB = 6 + (y - ) AB = œ ; AB = * = DB = AB (o triângulo [BDA] é isóseles) DB = AB 6 + (y - ) = (y - ) = 6 y - = - y - = y =- y = M y < 0 y =- D (, - ) E (- 6, ) e D (, - ).. A (, ) ; E (- 6, ) ; D (, - ) ; C (- 6, - ). AD + EC A [ADCE] = * ltur \ + + \ + = * \ = * 9 = u..

23 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO O (0, 0, 0) ; A (, 0, 0) ; B (,, 0) ; C (0,, 0) ; G (0, 0, ) ; D (, 0, ) ; E (,, ) e F (0,, ). 6. AF = œ + + = œ * = œ. 6. ) A seção produzid é o retângulo [ACFD]. FC = AC = AB + BC AC = + AC = œ * AC = œ A [ACFD] = AC * FC = œ * = 9 œ m. ) A seção produzid é o triângulo equilátero [DBF]. DF * h A [DBF] =. Vmos determinr h : h + œ = (œ) 9 * h + = 9 * 7 h = h = Œ 7 (h > 0) Então, tem-se: œ * œ7 œ A [OBF] = = œ7 = 9 œ 9 œ A [DBF] = m. 6. P = 8p pr = 8p r = Sej R o rio d superfíie esféri: R = + R = + y + z = é um equção d uperfíie esféri. Respost: (C). 7. A esfer definid + (y - 7) + z 9 tem entro C (0, 7, 0) e rio. Logo, est esfer ontém um prte do eio Oy. Respost: (B).. Pág Centro (-, ) ; r = œ Pág. 97 (œ) ( - (- )) + (y - ) = ( + ) + (y - ) = Respost: (C). C (-, - ) e A (-, 0) CEXMA0 Porto Editor r = CA = œ(- + ) + (0 + ) = œ + = œ9 ( - (- )) + (y - (- )) = (œ9) ( + ) + (y + ) = 9 Respost: (C). Fronteirs: Cirunferêni: Rio: r = ; Centro (, ) Equção: ( - ) + (y - ) = Rets: 0 ; y = Condição: [( - ) + (y - ) 0] [( - ) + (y - ) 0 y ] Respost: (D). O rio d esfer é distâni do entro o plno Pág. 98 Oy, ou sej, é ot de C : r = ( - ) + (y - ) + (z - ) Respost: (D). define o plno perpendiulr O que pss no entro d superfíie esféri definid por ( - ) + (y - ) + (z - ) =. A interseção é um irunferêni. Respost: (A)....6

24 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO y = (y + ) =.. + (y + ) = 8. ( - œ). ( - 0,) + (y -,) = 0, y = Centro: (0, 0) ; rio:.. ( - ) + y = Centro: (, 0) ; rio: œ.. ( + ) + (y - ) = œ Centro: (-, ) ; rio:.. + (y + œ ) = œ Centro: (0, - œ ) ; rio: ŒŒ = œ CEXMA0 Porto Editor

25 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA0 Porto Editor. Pág. 00. Cento d irunferêni: C (, ). O rio d irunferêni é distâni de C à ret de equção y =- : r =. Equção d irunferêni: ( - ) + (y - ) = 6.. A (, ) Sustituindo s oordends de n equção d irunferêni, vem: ( - ) + ( - ) = 6 ( - ) = 6 - ( - ) = - = - œ - = œ = - œ = + œ Logo, A (, -œ) ou A (, +œ).. ( - ) + (y - ) > 6 0 y > Áre do triângulo [ABC] : 8 * 9 A = = 8 Áre do semiírulo de rio 9 : 8 A = p * 9 = p Áre do semiírulo de rio AQ : r = AQ = AC = œ9 + 9 = 9 œ A = * p * 9 œ 8 = * p * * 8 = p 8 A áre do semiírulo de rio BP é, tmém, igul p. A lúnuls = A + A - A = 8 8 = 8 + * p - p = 8 A A A A + A Áre ds lúnuls = 8 = Áre do triângulo [ABC]. 6. Cirunferêni de entro O : + y = 8 Cirunferêni de entro Q : Cirunferêni de entro P : Condição pedid: y y y A + A - A A y - 9 = y - 9 = 8 7. Pág y. 7. ( - ) + y 9 ( y ) y 9 ( + ) + (y - ) 9 ( - ) + (y - ) y 9 [( + ) + y 9 ( - ) + y 9] ( - ) + (y + ) + (z - ) = ; ( - ) + (y + ) + (z - ) (y + ) + (z - ) = 9 ; + (y + ) + (z - ) ( + ) + y + z = 8 ; ( + ) + y + z Centro: (-, 0, ) ; rio: œ. -, -, - œ 9. Centro: ; rio:. œ 9. Centro: (œ ; 0, ; 0) ; rio:. 0. Centro: C (,, - ) ; A (-, 0, ) Pág. 0 é um ponto d superfíie esféri. Rio: r = AC = œ(- - ) + + ( + ) = = œ6 + + = œ ( - ) + (y - ) + (z + ) =... + y + z + + y = 0 ( + ) + (y + y) + z = 0 ( + + ) - + (y + y + ) - + z = 0 ( + ) + (y + ) + z = Centro: (-, -, 0) ; rio: œ.. + y + z - + z = 0 ( - ) + y + (z + z) = 0 ( - + ) - + y + (z + z + ) - = 0 ( - ) + y + (z + ) = Centro: (, 0, - ) ; rio: œ.. ( - ) + (y + ) + (z - ) + (y - ) = z ( - ) + y + y + + 6y (z - z + ) - z = 0 ( - ) + (y + 8y) (z - z) + = 0 ( - ) + (y + 8y + 6) (z - z + ) - + = 0 ( - ) + (y + ) + (z - ) = 6 Centro: (, -, ) ; rio: œ6.. + y + z - y - = 0. Por eemplo: Se 0 e y = z = 0 z = z =- œ z = œ (0, 0, -œ) e (0, 0, œ), por eemplo, são pontos d superfíie esféri.

26 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA0 Porto Editor. A (-,, œ) (- ) + + (œ) - * - = = 0 A pertene à superfíie esféri; B (,, 7) = > 0 B é eterior à superfíie esféri; C (-, 0, - ) (- ) (- ) - * 0 - = + - < 0 C é interior à superfíie esféri Cirunferêni de entro (0, 0, 0) e rio, ontid no plno de equção z = 0 (plno Oy) œ7 = œ, on- Cirunferêni de entro (0, -, 0) e rio tid no plno de equção y =-. Semiesfer de ot não negtiv om entro no ponto (0, 0, 0) e rio. Círulo de entro (0, 0, 0) e rio, ontido no plno yoz. Círulo de entro no ponto (0, 0, ) e rio, ontido no plno Oz.. Vmos onsiderr o plno prlelo o plno Oy definido pel equção z = : ( + ) + (y - ) z = ( + ) + (y - ) z = (por eemplo).. Plno perpendiulr Oy no ponto de ordend ; y =. + y + z = z = 0 + y + z = 6 y =- + y + z z 0 y + z 0 + y + (z - ) y = 0 + y + z 9 + z 9 y = 0. y = 0 + (y - ) + z (y - ) + z 0. 0 ( + ) + (y - ) + (z - ) z = ( - ) + (y - ) + (z - ) 9 y = + y = z = 0 + (- ) + z = 6 y =- + (z - ) y = 0 ( - ) + ( - ) + (z - ) 9 y = + z = 7 y =- ( - ) + (z - ) y =.. A (, 0) Pág. 06 B (-, ) P (k +, k) (k + - ) + (k - 0) = (k + + ) + (k - ) k + = (k + ) 9k + 9k - k + = + 8k k + k = 0 k = Respost: (C).. P (, 0) ; A (, ) ; B (, ) AP = BP ( - ) + (0 - ) = ( - ) + (0 - ) = , logo, P. 8 8, 0 Respost: (B)... E ; E (,, - ) Respost: (C).. C (,, ) ; E (,, - ) ; P (, y, z) CP = EP ( - ) + (y - ) + (z - ) = ( - ) + (y - ) + (z + ) y z - 8z + 6 = = y z + AP = BP k y + y - 8z - z = y - z + 6 = 0 + y + z - 9 = 0 Respost: (D).. A (-, ) ; B (, - ) ; P (0, y) Pág. 07 AP = BP k,, - 6 y (0 + ) + (y - ) = (0 - ) + (y + ) 9 + y - 8y + 6 = y + - 8y - y = y =- y = P 0,. ( - ) + + (z - ) 9 y = ( - ) + (z - ) y = y z y

27 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA0 Porto Editor. O (0, 0, 0) ; A (, 0, 0) ; B (,, 0) ; C (0,, 0) ; G (0, 0, ) ; F (, 0, ) ; E (,, ) e D (0,, ).. O entro é M, ponto médio de [GD]: M (0,, ) ; O rio é. Superfíie esféri de diâmetro [GD]: + (y - ) + (z - ) =.. ) Plno medidor de [FG]: É o plno perpendiulr O que pss em N, ponto médio de [FG]: Equção do plno:. ) D (0,, ) ; F (, 0, ) ; P (, y, z) PD = PF ( - 0) + (y - ) + (z - ) = ( - ) + (y - 0) + (z - ) + y - 8y + 6 = y 6-8y = 0 6-8y + 7 = 0.. P (t, t, 0) ; A (0,, - ) ; B (-, 0, ) ; PA = PB, 0, (t - 0) + (t - ) + (0 + ) = (t + ) + (t - 0) + (0 - ) t + t - t + + = t + t + + t t - t = 0-6t = t =-. 6. A (-, ) ; B (, - ) ; C (, ) e I (, ).. AB = œ( + ) + (- - ) = œ6 + 6 = œ ; AC = œ( + ) + ( - ) = œ6 + = œ08 ; BC = œ( - ) + ( + ) = œ + 6 = œ60 ; AB + AC = + 08 = 60 = BC AB + AC = BC ± O triângulo [ABC] é retângulo em A (Teorem de Pitágors).. IB = œ( - ) + ( + ) = œ + 6 = œ6 ; IC = œ( - ) + ( - ) = œ + 6 = œ6 ; IB = IC = œ6 ± I pertene à meditriz de [BC].. AI = œ( + ) + ( - ) = œ9 + 6 = œ6 ; BC = œ( - ) + ( + ) = œ + 6 = œ60 = œ6 ; AI = œ6 ; BC = œ6 ; BC = AI.. AI = œ6 ; BI = œ( - ) + ( + ) = œ + 6 = œ6 ; CI = œ( - ) + ( - ) = œ + 6 = œ6 ; AI = BI = CI = œ6. A, B e C são equidistntes de I logo, pertenem à mesm irunferêni de entro I.. A (,, ) B (, 7, 0) ; C (6, 7, 0) ; D (6,, 0) ; E (,, 0).. AB = œ( - ) + ( - 7) + = œ + + = œ ; AC = œ( - 6) + ( - 7) + = œ + + = œ ; AD = œ( - 6) + ( - ) + = œ + + = œ ; AE = œ( - ) + ( - ) + = œ + + = œ ; AB = AC = AD = AE = œ.. AC = AB ± A pertene o plno medidor de [CB]. De igul modo, omo AB = AE, AE = AD e AD = AC, A pertene o plno medidor de d um ds rests [BE], [ED] e [DC].. B (, 7, 0) ; C (6, 7, 0) ; P (, y, z) PB = PC ( - ) + (y - ) + z = ( - 6) + (y - ) = AD = AB. Logo, o triângulo [ADB] é isóseles e, omo G é o ponto médio de [DB], o triâmgulo [AGB] é retângulo. AG é ltur d pirâmide. GB = = DB = = œ (6 - ) + ( - 7) + 0 = œ6 + 6 = = = * œ = œ AB = œ AG + GB = AB AG + (œ) = (œ) AG = œ - 8 AG = Arest d se: BC = œ(6 - ) + (7-7) + 0 = V pirâmide = A * AG = * BC * = = * * = 80 = 80 AG = u.. ; V = u. v. 6. Pág (A) Triângulo isóseles; (B) Retângulo. 6. Prism A A (0,, 0) ; B (0, 0, ) ; O (0, 0, 0) ; C (- 6,, 0) Ldo do qudrdo d se: OB =. Altur do prism: AC = œ(- 6) + ( - ) + 0 = 6 z 6

28 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO Ldos do triângulo: e = + = œ = + = œ0 P triângulo = + = = œ + œ0. Altur do triângulo h + œ = (œ0) h = 0 - h = Œ 9 œ * œ9 œ A triângulo = = œ9. Prism B A (0, 0, ) ; B (, 0, ) ; C (, 0, - 8) AB = œ ( - ) = BC = œ( - ) ( + 8) = 0 Ldos do retângulo: e = AB = = + = œ9 P retângulo = * + œ9 = = 8 + œ9 A retângulo = œ9 Triângulo: P = (œ + œ0) m ; œ9 A = m. Retângulo: P = (8 + œ9) m ; A = œ9 m B (, 0, ) ; E (0,, ) ; D (,, ) e C (,, ). 7. Centro: G (,, ) ; rio: ( - ) + (y - ) + (z - ) =. 7. A (,, ) ; B (, 0, ) ; P (, y, z) ( - ) + (y - ) + (z - ) = ( - ) + y + (z - ) y - y + + z - z + = y + z - z + - y - z + z + = 0 y + z - = É um losngo. A medid do ldo é igul à ltur do triângulo equilátero [AEB]. BE = œ( - 0) + (0 - ) + ( - ) = œ h + œ = (œ) œ6 P = *. = œ6 A seção produzid por no otedro é um losngo de ldo œ6.. Pág. 09. AP = BP h = - h = Œ = œ = œ6 œ B (0, 8, 7) ; C (0, 0, 7) ; D (8, 0, 7) ; E (,, 7) e V (,, 0).. ) z = y 8 ; ) + y + z + z y = 0. y = 0 CEXMA0 Porto Editor. D (8, 0, 7) ; B (0, 8, 7) e P (, y, z). DP = BP ( - 8) + y + (z - 7) = + (y - 8) + (z - 7) y = + y - 6y y y.. Centro: E (,, 7) Rio: EC = œ + + (7-7) = œ ( - ) + (y - ) + (z - 7) =. 7

29 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA0 Porto Editor. DC = 8.6 ) VC = œ = œ8 = 9 P = = 6 u...6 Altur d pirâmide: 7 V = * A * ltur = * 8 * 7 = 8 V = u. v..7 O (0, 0, 0) E (,, 7) F (, k, - k) OF = EF + k + (- k) = ( - ) + (k - ) + (- k - 7) + k + k = + k - 8k k + 8k + 9 0k =-6 k =-.. Pág. 0. Centro: C (-, - ) Rio: r = AC = ( + ) + (y + ) = Ret AC : y =-. A ret r é perpendiulr à ret y =- e pss no ponto de tngêni A (-, - ). r : -.. P (-, ) é um ponto d irunferêni: (- + ) + ( + ) = 9 ( + ) = 8 + = œ + = - œ =- + œ =- - œ (-, - + œ) ; (-, - - œ).. ( + ) + (y + ) < 9 > 0.. AC = ; C (-, - ) ; - + =. A ret pedid é tngente à irunferêni no ponto (, - ). Como é prlel à ret r tem omo equção, por eemplo,. ) D (-, ) (- + ) + ( + ) = 9 ( + ) = 9 + = + = - = =- =- M < 0 D (-, - ) ; A (-, - ) ; B (, - ) AB =\- - =6 AD = œ(- + ) + (- + ) = œ9 + 9 = œ BD = œ(- - ) + (- + ) = œ9 + 9 = œ P = œ + œ + 6 = = 6 œ + 6 ; o triângulo [ABD] é isóseles. ) ) C é um ponto d meditriz de [AD] porque CA = CD (são rios d irunferêni); ) A (-, - ) ; D (-, - ) e P (, y). AP = DP ( + ) + (y + ) = ( + ) + (y + ) y y + = y y = 0 6-6y + 6 = 0 - y + = 0. y 8

30 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO Cpítulo CEXMA0 Porto Editor. AB = DC, BA = CD, AD = BC, DA = CB, Pág. AC, CA, DB e BD 8 vetores Respost: (C).. Respost: (D).. Não se define som de um vetor om um ponto. Logo, A e D não são verddeirs. D + HI = D + DE = E G + IC = G + GA = A Respost: (B).. Pág. 6. ) [A, B], [B, C], [C, D], [D, A], [B, A], [C, B], [D, C] e [A, D] ; ) [A, B], [B, C], [C, D], [D, A], [C, A], [B, D], [B, A], [C, B], [D, C], [A, D], [A, C] e [D, B] ; ) AB = DC, BA = CD, BC = AD, CB = DA ; d) AB = DC, BA = CD, BC = AD, CB = DA, DB, BD, AC e CA.. ) \\ BC \ = \\ DC \ =, ; ) \\ DO \ = \\ DB \ = * =, ; ) \\ OC \ +\\ DO \ =\\ CD \ \\ OC \ +, =, \\ OC \ + 6, -, \\ OC \= œ \\ OC \= \\ AC \ = \\ OC \ = * =.. ) A + AB = B ; ) O + AO = O + OC = C ; ) D + DB = B ; d) A + AO = O ; e) O + OB = B ; f) C + CA = A.. [D, C], [A, B], [D', C'] e [A', B'].. Pág. 7. ) Seis ; ) Por eemplo, EF e OA ; ) \\ OP \ + = \\ OP \ = 7 œ \\ OP \ = m. - * œ \\ED * \\OP. A [ODE] = = = 9œ. 9œ A heágono = 6 *. = œ 7œ A heágono = m.. ) F + DC = F + FA = A ; ) O + OP = P ; ) D + DA = A ; d) A + AB = B ; e) E + CB = E + EF = F ; f) O + FO = O + OC = C... \\ EG \ =\\ EF \ +\\ FG \ \\ EG \ = \\ EG \ = 00 \\ EG \= 0.. \\ AG \ =\\ AC \ +\\ CG \ \\ AG \ =\\ EG \ + \\ AG \ = 00 + \\ AG \= œ \\ AG \= œ.. \\ AH \ = \\ ED \ = \\ CF \ = \\ GB \ CF, por eemplo.. GD, por eemplo.. GD e FA por eemplo.. AB + CG = AB + BF = AF Pág. 0 HF + EA = HF + FB = HB AB - HG = AB - AB = 0» AD - FB = AD + BF = AD + DH = AH Respost: (B)... AC = AB 0 BA AE = AD + DE = AD + DE 0 AE AF = (AD + DF ) = AD + DF GE = GC (verdde) DE =- ED =-CB 0-BC Respost: (C).. C + CG = G ; C - GC = G»v = GC Respost: (B).. Pág.. = AC.. BA + (AD + DC ) = BA + AC = BC.. - BA + (- AD ) = AB + DA = DA + AB = DB.. DC + AD = AB + BC AE + EB + AD = AB + AD. ED + DB = EB. = AB + BC = AC. 9

31 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO.. k»v =»v k = k =.. k (k»u) = 9»u (0k )»u = 9»u 0k = 90 k = 9 k = k =-...» =-»..»e =- f»..»g =- h».. -» =- d».. \\ \=», \\» \..6 \\ f» \= \\»i \..» = (-, ) ;» = AB ; Pág. 6 A (0, ) ; B (, y) AB = B - A (-, ) = (, y) - (0, ) (-, ) = (, y - ) B (-, 8) Respost: (B)..»u = (, - k) ;»v = (k, )»u =»v = k - k = k = k =- (k =- k = ) k =- k =- Respost: (C).. A (, - ) ; B (-, - ) P (, y) AP = PB P - A = B - P ( -, y + ) = (- -, - - y) - = - - y + = - - y P, - Respost: (A). - y - = y =-. Arest do uo = œ 7 = R (, 0, 0) ; T (0,, ) RT = T - R = (-,, ) Respost: (D). y =- - y = 8.. BA = (0, - ) = FE ( BA e FE têm mesm direção, o mesmo sentido e o mesmo omprimento).. Por eemplo: HI e ID, IF e AC, JH e BD.. J (, ) ; G (, 7) ; E (, ) e C (, ).. JH = (, ) ; BD = (, ) ; AC = (, ) ; GD = (0, - ) e HF = (, 0).. BD = DE..6 Por eemplo: IJ = (-, 0) ; IB = (0, - ) ; EB = (-, - ) e OF = (, 6).. ST = (- 0, - ) ; S (-, ) ; T (, y) T - S = ST (, y) - (-, ) = (- 0, - ) T (-, - 0)... ) A (0, ) ; ) B (, 0) ; ) C (0, - ) ; d) D (-, 0).. ) AB = B - A = (, - ) ; ) BA = A - B = (-, ) ; ) AC = C - A = (0, - 6) ; d) CD = D - C = (-, ).. DA = (, ) = CB. ) A + DC = A + AB = B = (, 0) ; ) A + OC = A + AC = C = (0, - ).. Pág = -0 y - = - - y =-0 CEXMA0 Porto Editor. Pág. 7 Vetor Coordends Componentes» (, )»i e»j» (, )»i e»j» (0, ) 0»i e»j»d (, - )»i e -»j»e (-, - ) -»i e -»j»f (-, - ) -»i e -»j»g (-, 0) -»i e 0»j C (, ) e D (, ) ou C' (-, ) e D' (-, - ) 0

32 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA0 Porto Editor. P (, y) QP = (-, ) ; Q (-, ) P - Q = QP (, y) - (-, ) = (-, ) + = - y - = P (-, 8).. Por eemplo: - y = 8 Há um infinidde de representções pr»,» e» É um polígono om seis ldos. 6. A (-, - ) ; B (, - ) ; C (, ) ; D (, ) ; E (-, ) e F (-, ). 6. AB = B - A = (, 0) ; BC = C - B = (, ) ; CD = D - C = (-, ) ; DE = E - D = (-, 0) ; EF = F - E = (-, - ) ; FA = A - F = (, - ) ; AF = F - A = (-, ). 6. OC = (, ) ; OD = (, ) ; OE = (-, ) ; OF = (-, ) ; OA = (-, - ) e OB = (, - ). As oordends destes vetores são iguis às dos pontos C, D, E, F, A e B, respetivmente As digonis de um prlelogrmo issetm-se. Logo, AO = OI. 7. A + MI = A + AL = L. 7. ) M + OL = M + MO = O ; ) A + LI = A + AM = M ; ) (M + ) IL + MI = (M + MA ) + MI = A + AL = L ; d) M + MI = M + AL = I.. AB = B - A = (0, ) - (, ) = (-, ) Pág. CD = D - C = (, - ) - (-, 0) = (6, - ) AB + CD = (-, ) + (6, - ) = (, 0) Respost: (C).. A (, 0, 0), > 0 B (0, y, 0), y > 0 AB = B - A = (-, y, 0) ; - < 0 y > 0 Respost: (C).. A (-, ) ; B (, ) ; C (-, - ) BC = C - B = (-, - ) - (, ) = (-, - ) AB = B - A = (, ) - (-, ) = (, ) BC - AB = (-, - ) - (, ) = (-, - 7) Respost: (C).. As oordends do vetor»u são negtivs. Logo, omo k < 0 e»v = k»u, s oordends do vetor»v são positivs. Respost: (D).. P (, - ) ; Q (, - ) ; Pág. R (, - ) e S (-, - ).. Q + QR = R Ponto R (, - ).. PQ = Q - P = (, - ) - (, - ) = (, - ) RS = S - R = (-, - ) - (, - ) = (- 6, 0) PQ + RS = (, - ) + (- 6, 0) = (-, - ) Vetor (-, - ).. QS = S - Q = (-, - ) - (, - ) = (- 8, ) QS = (- 8, ) = (-, ) R + QS = (, - ) + (-, ) = (-, ) Ponto (-, ).. PP - PS = O» + SP = SP = P - S = (, - ) - (-, - ) = (, 0) Vetor (, 0).. A ; B ; C e D (-, - ). P (, y).. OP = (, y) AB = B - A = - = (, y) = P.. - CD = DC = C - D = - (-, - ) = OP = (, y) (, y) = P.. AP = AB + BC ; AP = AC AP = P - A = (, y) - = AC = C - A = - = AP = AC +, y - d d, + = -, -, 0, -, - 6, - 6, y - =- = -, 0 P. -, 0, - -, 0 -, - y = 0, - -, -,, - 6 +, y -, -,

33 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA0 Porto Editor. PB = B - P = - (, y) = œ9 + ( - k) = = C - A = - - -, =, - ± 9 + ( - k), 0 = 9 AC ( - k) = 0 BD = D - B = (-, - ) -, - = -, k = 0 k = AC - BD = - = + = Respost: (B). = PB = AC - BD -, - - y, -, -, 9 6 =, d d d- dy = y = P - 7., - 6.» = (-, 0, ) ;» = (0, 0, ) e» = (,, )..»u =» +» = (-, 0, ) + (0, 0, ) = (-, 0, )..»v =» = (0, 0, ) = (0, 0, )..»w =» - = (,, ) - (0, 0, ) = (,, ) - (0, 0, ) = = (,, )..»t =» -» -» = (-, 0, ) - (,, ) - (0, 0, ) = = (- 9, 0, ) + (-, -, - ) + (0, 0, - 0) = (-, -, - 9).. A (-, - ) ; B (-, - ) Pág. 7 M - -, - - e M -., - Respost: (B).. A (-, -, - ) ; B (,, ) O entro C é o ponto médio de [AB]. C - +, - +, - + ; C (0, 0, 0) Rio: r = BC = œ + + = œ + y + z = Respost: (C).. A (,, ) ; Centro: C (,, ) AC = C - A = (,, ) B = C + AC = (,, ) + (,, ) = (,, 7) Respost: (B).. A (, 0, ) ; B (-,, - ) BA = A - B = (, -, ) \\ BA \= œ + (- ) + = œ = œ9 Respost: (B).. A (, - ) ; B (-, - k) AB = B - A = (-, - k + ) \\ AB \= œ(- ) + ( - k) = œ9 + ( - k) \\ AB \= -, - 8 -, - - y d d, y =- 6 8, 6. Pág. 8.» = (-, 0) \\» \ = œ(- ) + 0 = œ9 =..» = (0, - ) \\ \» = œ0 + (- ) = œ =..» = (-, ) \\» \ = œ(- ) + = œ.. d» = (-, ) \\ d \» = œ(- ) + = œ..»e = (, -, ) \\»e \ = œ + (- ) + = œ9 =..6 f» = (œ, 0, ) \\ f» \ = Œ(Œ ) = œ6... A (0, ) ; B (, 0) AB = B - A = (, - ) \\ AB \= œ + (- ) = œ9 * = œ.. A (œ, œ) ; B ( œ, - œ) ; AB = B - A = (œ, - œ) \\ AB \= Œ(Œ ) + (- Œ ) = œ + = œ.. A ; B (, -, ) AB = B - A = - 6 7, - 7, 7 Œ \\ \= = AB + 7 = Œ œ0 = Œ 0 = »u = (, ) ;»v = -, - - = (, ) São olineres:»u =-»v..»u = (-, ) ;»v = (, - ) São olineres:»u =-»v..»u = (6, - 8) ;»v = (9, - ) ;»u = k»v (6, - 8) = k (9, - ) (6, - 8) = (9k, - k) 7, - 7, 7 -, - 6 = 9k - 8 = -k São olineres:»u =»v. k = 6 9 k = 8 k =.»u = (0, 0, 0) ;»v = (, 6, 9) São olineres. O vetor nulo é oliner om qulquer vetor. d d CEXMA0-RES-

34 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 0. ANO PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO CEXMA0 Porto Editor..» = (, ) ;» = (0, 0)» = k» (, ) = k (0, 0) k = = 0k d 0 k = 0 0k d 0 * 0..» = (, - ) ;» = (0, 6)» = k» (, - ) = k (0, 6) = 6k k = » = (, ) ;» = (0, 0) Como» é o vetor nulo.» e» são olineres qulquer que sej o vlor de..» = (- œ,, 0) ;» = (œ, - œ, 0)» = k» (- œ,, 0) = k (œ, - œ, 0) k =- d - œ = kœ d -œk d 0 = 0 d œ œ... A (, ) ; B (, ) ; C (, 6) AB = B - A = (, ) BC = C - B = (, ) BC = AB Os vetores AB e BC são olineres. Logo, os pontos A, B e C estão linhdos.. A (, 0, ) ; B (, 0, ) ; C (-, 0, - ) AB = B - A = (, 0, ) BC = C - B = (- 6, 0, - ) AB =- BC. Logo, os pontos A, B e C estão linhdos. 6. Pág OA = (, ) e OB = (, 9). 6. AB = B - A = (, 6) \\ AB \= œ + 6 = œ0 = œ0. 6. OB = r OA (, 9) = r (, ) = r r =. 9 = r 7. 7.»v = (, )»u = k»v»u = (k, k) \\»u \ = 0 œk + (k) = 0 ± k + 9k = 00 0k = 00 k = 0 k =- œ0 k = œ0»u = (- œ0, - œ0) ou»u = (œ0, œ0). 7.» = (,, - œ)» = k»» = (k, k, - œk) \\» \ = 0 Œ (k) + (k) + (-Œ k) = 0 ± k + 6k + k = 00 k = 00 k = k =- k =» = (-, - 8, œ) ou» = (, 8, - œ) AB = ; BD = œ + = œ O heágono não é regulr ( AB 0 BD, por eemplo). 8. A (, 0) ; F (6, 7) AF = F - A = (, 7) B (6, 0) ; D (8 ;,) BD = D - B = ( ;,) (, 7) = k ( ;,) (, 7) = (k ;,k) e BD têm mesm direção, pois AF = BD. 8. ) HE = (8, 0) GF = (, 0) HE = GF k = ; ) FD = D - F = (8 ;,) - (6, 7) = ( ; -,) BG = G - B = (, 7) - (6, 0) = (-, 7) FD =- BG k =-. 8. Por eemplo: A heágono = A [AGI] + A [ABFG] = * 7 * + * 7 = u.. 9. A (-, ) ; B (, - ) ; Q (-, 0) P (, y) (P pertene à ret de equção ) PQ = Q - P = (- 8, - y) AB = B - A = (, - 7) PQ = k AB (- 8, - y) = k (, - 7) (- 8, - y) = (k, - 7k) 0. AF = k BD AF k = k =.,k = 7 k =-8 - y =-7k P. BC = BA + AC BC = DA + AE BC = (DA + AE ) BC = DE, - 6 k =- 8 y =- 6 Logo, BC e DE são olineres (.q.m.).