2.GRANDEZASESCALARESEVETORIAIS

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1 Jacir. J. Ventri Vetores CAPÍTULO 1.SINOPSEHISTÓRICA A história da matemática raramente apresenta eentos bombásticos. As formlações inicialmente tênes edifsas percorrem m espinhosotrajetoatéatingiramagnitdedesedesenolimento. OconceitodeetorsrginaMecânicacomoengenheiroflamengo Simon Stein -o"arqimedesholandês". Em 1586 apresento em sa EstáticaeHidrostática,oproblema dacomposição deforçaseenncio ma regra empírica para se achar asoma de forças aplicadas nm mesmoponto.talregra,aconhecemoshojecomoregradoparalelogramo. Os etores aparecem considerados como "linhas dirigidas" na obraensaiosobrearepresentaçãodadireção pblicada em 1797 por Gaspar Wessel, matemáticodinamarqês. Asistematização da teoria etorial ocorre no séclo XIX com os trabalhosdoirlandêswilliamhamilton(notaelmenteprecoce:aos5anos lia grego, latim ehebraico), do alemão Hermann Grassmann edo físico norte-americanojosiahgibbs..grandezasescalaresevetoriais Certas grandezas ficam determinadas apenas por m número real, acompanhado pela nidade correspondente. Por exemplo: 5kg de massa,10mdeárea,1cmdelargra.taisgrandezassãochamadasde escalares.otrasgrandezasnecessitamalémdonúmeroreal,tambémde madireçãoedemsentido.exemplificando:aelocidade,aaceleração, o momento,opeso,ocampo magnético,etc.sãoasgrandezas etoriais. 3.DEFINIÇÕES,ETIMOLOGIAENOTAÇÕES a)vetor DEF.1:Vetorématriplaconstitídademadireção,msentidoe m númeronãonegatio. b)vetor DEF.: Vetor éoconjnto de todos os segmentos orientados de mesmadireção,de mesmo sentidoede mesmo comprimento.

2 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA c)imagemgeométricaorepresentantedem etor Na figra ao lado tem-se m conjnto de segmentos orientados de múnicoetor.osegmentoorientadoé m conjnto de pontos, ao passo qe etor é m conjnto de segmentos orientados. Cada segmento orientado é, arigor, a imagem geométrica o o representante dem etor. Afigra apresenta qatro segmentosorientadosoentãoqatroimagens geométricasdem mesmoetor. Como abso de lingagem, emprega-se apalara etor em ez de imagem geométrica do etor. De acordo com alocção latina abss non tollit sm (o abso não tolhe o so) também nós amos escreer o erbalizar apalara etor como imagemgeométricadoetor. A d)etimologiadapalaraetor B Proém do erbo latino ehere: transportar, lear. Vetor éoparticípio passado de ehere,signifi- cando transportado, leado.apesar de primitia eaté bizarra, apalara etor épertinente: oponto Aé"transportado"atéB. e)notaçõesde etor I. Umaletralatinaminúsclaencimadapormaseta. Exemplos: a,b,c,,w... II. Umaletralatinaminúsclasobrelinhada. Exemplos: abc,, w,,... III. Dois pontos qe são aorigem eaextremidade de m representantedoetor. Exemplo: AsomadopontoAcomoetor éopontob.

3 Jacir. J. Ventri B A+=B o A z 4 P =B A ondeaéaorigemebéaextremidade doetor. Esta notação éassaz antajosa pelas aplicações das operações algébricas eédeida ao matemático alemão H. Grassmann ( ). Tambémbastantesalanotação =AB IV.Umaternaordenadadenúmerosreais:=(x,y,z) Exemplo: =(1,5,4) Nafigra =(P O) x 1 O 5 y Comoabsodenotação tem-seainda =(P O)=P OBSERVAÇÃO: Usalmente,qandojáestierfixadoosistemadecoordenadas,o representante do etor é aqele cja origem coincida com a origemdosistema. f)módlo( ) Éonúmeronãonegatioqeindicaocomprimentodoetor. Exemplo: Então =4 g)vetor nlo ( 0 ) Éoetordedireçãoesentidoarbitrários,emódloigala zero.o etornlotemcoordenadas(0,0,0)esarepresentaçãográficaéaorigem dosistemadecoordenadas.

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5 Jacir. J. Ventri Exemplo: Os etores e são paralelos e podem ser representados colinearmente: OBSERVAÇÃO: Faceoexpostoatéaqi,podemosassociaraoconceitodeetora idéiadetranslação.talidéia,comoésabido,nãosetransferepara retas paralelas, ma ez qe estas possem posições fixas e determinadas. Exemplo: A r B s Os etores e são No entanto, as retas ressão paraleloso colineares. paralelas ejamaiscolineares. b)vetoreseqiersosecontraersos Doisetoresparalelossãoeqiersos se demesmosentido. Se desentidoscontrários,são contraersos. Exemplo: esão eqiersos esão contraersos 5.MULTIPLICAÇÃODEUMVETORPORUM ESCALAR a)definição Sejak mescalaremetor.oprodtodoetorpelonúmero realk érepresentadopor k. Então,se:

6 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA I. k>0 Osetoreseksãoeqiersos. Exemplos: (dado) 1 li. k<0 Osetoreseksãocontraersos. Exemplo: (dado) b)casosparticlares: 0()=0. k=0 k=0o =0. ( 1) = onde éoopostode. c)propriedades Nas expressões abaixo, m e n são escalares qaisqeree wsãoetoresarbitrários: I. Propriedade associatiaem relação aos escalares. II. Propriedadedistribtia em relaçãoàadiçãodeescalares. III. Propriedadedistribtiaemrelaçãoàadiçãodeetores. lv. Se=(x,y,z),então: m(n)=n(m)=(mn) (m+n)=m+n m(+w)=m+mw m =m(x,y,z)=(mx,my,mz)

7 Jacir. J. Ventri 6.COPLANARIDADEDEVETORES Os etores, ewsão coplanares se tierem imagens geométricas paralelas ao mesmo plano. Cmpre enfatizar: dois etores são sempre coplanares, enqanto qe três etores podem o não ser coplanares. Exemplos: w β α w, ewsão coplanares α, ewnão são coplanares Conenção: Oetor nlo éparalelo aqalqer etor; écoplanar aqalqer conjntodeetorescoplanares. 7.ADIÇÃODEVETORES a)definição Dados dois etores e,para se obter asoma +,fixamos m ponto qalqer A do plano e e consideramosospontosb=a+ ec=b+,conformeafigra;nessascondições, +=(C-A). C Denotandopordiferençadepontos: +=(B-A)+(C-B)=(C-A) A B Donde AC éoetor resltante, obtido daadiçãodecom. Geometricamente, asoma de netores (sendo nm número inteiro positio qalqer) éfeita considerando imagens geométricas dos

8 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA etores de modo qe aextremidade de cada etor coincida com aorigem doetorseginte;oetorsomaéoetorqefechaapoligonal. Exemplos: Dados,ew,obtergraficamenteasoma: Dados a) +w=? w +w w b) +w=? c) ++w=? w w +w Graficamente, oetor soma éosegmento orientado qe fecha a poligonal,tendopororigem,aorigemdoprimeiroetoreporextremidade, aextremidadedoúltimoetor. b)sobaformadetriplas: Dadososetores =(x,y,z)e=(x,y,z),então+=(x +x,y +y,z +z) c)propriedades I.Comtatia: +=+ Demonstração: Considereasimagensgeométricasdosetores erepresentadosnafigra. D C 1.º membro: +=(B -A) +(C -B) =(C -A) A B.º membro: +=(D -A) +(C -D) =(C -A) donde +=+(cqd)

9 Jacir. J. Ventri Conseqüência Regra do paralelogramo: Adiagonal do paralelogramo constrídosobreasimagensgeométricasde erepresentaasoma +. OBSERVAÇÃO: Sabe-seqeoparalelogramoapresentadasdiagonaisdistintas. Para a"regra do paralelogramo" constrído sobre as imagens geométricasdeedemesmaorigema,adota-seadiagonalqe contémopontoa. A"regradoparalelogramo"émitosalnacomposiçãodeforças em Mecânica. II.Associatia: (+)+w=+(+w) Demonstração:Sejam,ewetoresdados. D w 1.ºmembro: (+)=(B-A)+(C-B)=(C-A) (+)+w=(c-a)+(d-c)=(d-a) C.ºmembro: (+w)=(c-b)+(d-c)=(d-b) +(+w)=(b-a)+(d-b)=(d-a) A B Então: (+)+w=+(+w)(qed) III.Elementonetro: +0= lv. Elemento oposto: Dado m etor, existe m único etor indicadopor-,talqe: +(-)=0 Oetor(-)éoetoropostode. V.Leidocacelamento: +=+w =w 8.SUBTRAÇÃODEVETORES a)definição Dadososetores e,definimosadiferença -por: -=+(- ).

10 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA Denotandopordiferençadepontos: C 1.ºcaso: -=(B-A)-(C-A)=(B-C) A B C.ºcaso: -=(C-A)-(B-A)=(C-B) A B Graficamente,adiferençadedoisetoreseéobtidafazendo-se com qe etenham amesma origem. Adiferença de etores não é comtatia:- -. b)exemplos 1)Dadososetores,ewobtergraficamente: Dados a) +w=? b) -w=? w w w c) +w=? d) -w=? e) 1 =? 1 w w 1

11 Jacir. J. Ventri ) Nm paralelogramo constrído sobre dois etores e, as diagonais são as imagens geométricas do etor soma +edo etor diferença-. + Exercícios Qemqer fazeralgma coisaencontra mmeio. Qemnãoqerfazer nada, encontra ma desclpa." Aforismaárabe 01. Determinar aorigem Ado segmento qe representa oetor =(,3,-1),sendosaextremidadeopontoB=(0,4,). Resp.:A=(-,1,3) 0. Nafigraabaixooetors=a+b+c+déigala: c d b Resp.:s=0 a 03. Representadososetoresenafigra,achargraficamente oetorxtalqe++x=0. Resp.: + x (ondex= (+))

12 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA Noscbosabaixo,representarasomadosetoresindicados. a) b) Resp.: a)(g-a) b)(e-a) Notetraedroenoparalelepípedoretânglo,acharasomados etoresrepresentadosporsasimagensgeométricas. a) b) Resp.: a)(d-a) b)(e-o) Nohexágonoreglar,obter: a)(b-a)+(e-f)+(f-a) b)(d-a)-(e-a)+(e-b) Resp.: a)(d-a) b)(d-b) A B C D E F G H A B C D F G H E A B D C A B C O D G E F A B C D E F

13 Jacir. J. Ventri 07. Dados = (1,, 0), = (, 1, -1) e w = (0,, 3), achar: a) a) - + 4w b) b)3( + ) -( - w) Resp. : a) (0, 11, 13) b) (1, 9, 7) 08. Conhecidos A = (1, 3, 0), B = (5, 5, ) e = (1, 3, -) calclar: a) a) A + B) b) A - 3B - Resp.: a) (, 6, -) b) (-14, -1, - 4) 09. Sendo A = (, 0, 1 ), B = (0, 3, -), C = (1,, 0), determinar D = (x, y, z ) tal qe BD = AB + CB. Resp. : D = (-3, 7, -7 ) 10. Calclar o etor oposto de AB sendo A = (1, 3, ) e B = (0, -, 3). Resp. : BA= (1, 5, -1) 11. Conhecendo-se = (1,, 0 ), = (0, 1, 3) e w = (-1, 3, 1) calclar os escalares m, n e p em m + n + pw = (0, 0, 14). Resp.: m = -1, n = 5, p = Os etores, e w formam m triânglo, conforme a figra. Sendo = (1,, 0) e = (3, 0, 3), então w é igal a: w Resp.: (-,, -3) 13. Determinar o etor x, tal qe 5x = -, sendo = (-1, 4, -15) e = (-3,, 5). 76 Resp.: x = (1, 0, -5)

14 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA 14. CalclarPtalqe AP = AB. 3 DadosA=(-1,-1,0)eB=(3,5,0). 5 Resp.: P =, 3, Sabendo-seqe esãoperpendiclarestaisqe =5e =1,calclar + e -. Resp.:13e13 9.COMBINAÇÃOLINEARDEVETORES Considereosetores,,, 1 3 neosescalares k,k,k, k. 1 3 n Diz-seqeécombinaçãolinear de,,, 1 3 n qandoescritossoba formade: =k+k+k+ k n n 10.EXPRESSÃOCARTESIANADEUM VETOR z a) Seja x, yezm sistema cartesiano ortogonal. Conenciono-se representarpori,jek,nestaordem, os ersores dos eixos cartesianos ortogonaisx,yez. k O i j y Então: i=(1,0,0) j=(0,1,0) x k=(0,0,1) Epeladefiniçãodeersor,qepossem módlonitário,tem-se: i = j = k =1

15 Jacir. J. Ventri OBSERVAÇÃO: Osersoresi,jekconstitemmabaseortonormaldeE porser formadadeetoresnitáriosemtamenteortogonais. 3 b) Considere-sempontoP=(x,y,z)doespaçotridimensionalei, z jek os ersores dos eixos cartesianos ortogonais x, yez. Oetor P z =(P O) tem origem em O e P extremidade em Pepode ser expresso como combinação linear z de i, je k. Do paralelepípedo representado na figra ao lado ob- y O x P y y tém-se: P x (P-O)=(P -O)+(P -O)+(P-O) x y z x como (P- O)= =xi+yj+zk (Px -O) =xi (Py -O) =yj (Pz -O) =zk tem-se denominadaexpressãocartesiana do etor (P -O), onde x, yezsão as coordenadas xi,yjezk as componentes do citado etor.oetor representa adiagonal do paralelepípedo reto, cjas arestas são os etores coordenadas xi,yjezk. OBSERVAÇÃO: Emparticlaroetor(P-O)podeterimagemgeométricanmdos planoscartesianos.porexemplo,se (P-O)estiernoplanoxy,a 3.ªcoordenadaénla:(P-O)=xi+yj. D A x c)exemplos z G 3 E O B F 4 C y Doparalelepípedoretângloobtém-se: (A -O) =i (C -O) =4j (G -O) =3k (B -O) =i +4j (D -O) =i +3k (F -O) =4j +3k (E -O) =i+4j +3k

16 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 11. CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DOIS VETORES a) Teorema Dois etores não nlos e são paralelos se, e somente se, existir m escalar k tal qe: = k Podemos afirmar qe é expresso linearmente em fnção de. Demonstração: 1) Sendo e paralelos, os ses ersores só podem diferir qanto ao sentido: ers = ± ers o o o Como é m número real, chamemo-lo de k. Donde = k (cqd) ) Reciprocamente, se = k, então é paralelo a, pela definição de prodto de etor por escalar. b) Vetores representados por pontos A igaldade persiste se os etores forem representados por pontos. Seja = (B - A) e = (C - D), então: (C - D) = k(b - A) Exemplos: Enfatizando o paralelismo dos etores representados por sas imagens geométricas, podemos afirmar qe: 79

17 Jacir. J. Ventri Q P A B (B A) = (P Q) 1 (P Q) = (B A) (M N) = 3(P Q) M N (B A) = (M N) 3 c)vetoresrepresentadosportriplas Sejam =(x 1,y,z) 1 1 e =(x,y,z). Peloteorema, éparalelo a se,esomentese,existirmnúmeroreal k talqe =k;oainda, (x,y,z)=k(x 1,y,z). 1 1 Explicitando ok, obtém-se acondição de paralelismodosetores e: x x 1 y z = = y z ( = k) 1 1 Conenção: Anlidade de m dos denominadores implica na nlidade do correspondentenmerador. Exemplo: z 3 O A 4 y Sãoparalelososetores =(3,,0) e=(6,4,0). Na figra ao lado, =(A -O) e =(B -O). Obsere qe =, e qeemparticlarosetores e têm imagens geométricas no planoxy. 6 x B

18 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA Exercícios Sempre seoirãoozesemdiscordância, expressando oposiçãosemalternatia;disctindooerradoenncao certo;encontrandoescridãoemtodaaparteeprocrando exercer inflênciasemaceitar responsabilidades." JohnF.Kennedy( ),presidente dose.u.a. 01. Determinarx,sabendo-separalelososetores: a)=(1,3,10) e=(-,x,-0) b)=(0,,x) ew=(0,3,6) c)=i -3j-ke=xi -9j -3k Resp.: a)x=-6 b)x= 4 c)x= 6 0. SendoA,B,C,Dérticesconsectiosdemparalelogramo, calclarascoordenadasdoérticed. Dados:A=(1,3),B=(5,11)eC=(6,15) Resp.: D=(,7) 03. SejaABDCmparalelogramodeérticesconsectiosnaordemescrita. AcharoérticeA,sabendo-seqeB=(0,1,3),C=(,3,5)e D=(-1,0,). Resp.: A=(3,4, 6) 04. ProarqeospontosA=(3,1,5),B=(,0,1)eC=(4,,9)são colineares. SUGESTÃO: A B C Porexemplo:osetores(C-A)e(B-A)deemserparalelos.

19 Jacir. J. Ventri 05. CalclarxeysabendoqeospontosA=(1,-1,3),B=(x,y,5)e C=(5,-13,11)sãocolineares. Resp.: x=ey= Nafigraabaixo,obteraexpressãocartesianadoetor(P-O). z o 1 4 y Resp.: (P-O)=i+4j-k x P 07. Sejaoparalelepípedorepresentadonafigra.Conhecendo-se osérticesb=(1,,3),d=(,4,3),e=(5, 4,1)eF=(5,5,3),pede-seos érticesaeg. E H F G Resp.: A=(1,1,1) G=(6,8,5) D C A B SérieB "Unsnasceramparaomartelo,otrosparaa bigorna." (FrançoisM.Voltaire ( ),escritor francês.

20 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA A geometria plana apresenta algns próceros teoremas. Demonstre-osetorialmente. 08. Osegmento qe ne os pontos médios de dois lados de m triângloéparaleloaoterceiroladoeigalàsa metade. SUGESTÃO: C M A + = C B + e N = C A M N B Faça: A + C B + C 1 ( M N) = = ( A B) 09. Asdiagonaisdemparalelogramosebissecam. D SUGESTÃO: P C A + C B + D P = = donde:(a+c)=(b+d) o(a-b)=(d-c) A B 10. Ospontosmédiosdosladosdemqadriláteroqalqer,são érticesdem paralelogramo. P 4 A SUGESTÃO: D P 3 P 1 B P C A + B B + C P1 = ; P = ; C + D A + D P3 = ; P4 = ; sbtraindo-se membroamembro: 1 ( P1 P ) = ( A C) 1 ( P4 P3 ) = ( A C)

21 Jacir. J. Ventri 11. Osegmento qe ne os pontos médios dos lados não paralelosdem trapézioéparaleloàsbaseseigalàsasemi-soma. 1. Osegmento qe ne os pontos médios das diagonais de m trapézio,éparaleloàsbasesetemcomprimentoigalàsemi-diferençados comprimentosdasbases. SUGESTÃO: D C M N M A + = C N B + = D Faça:(M-N) A B 13. DemonstraretorialmenteqeobaricentroGdem triânglo A + B + C ABCéG=. 3 SUGESTÃO: C G 1 Nafigra: (G-C)=(M-G) Porém: M A + = B A M B 1.CONDIÇÃODECOPLANARIDADEDEVETORES a)teorema Oetorécoplanaraosetorese 1 (nãonlosenãoparalelos entresi)se,esomentese: 1 1 =k +k

22 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA O seja, se esomentese,forcombinaçãolinear dee,sendoke 1 1 kescalares. Demonstração: A B C 1 Sejam,, 1 etores coplanares, (B -A) aimagem geométricadoetor.pelaorigem Acondzimos ma paralela ao etor,epela 1 extremi- dadeb,maparalelaa.cé oponto de intersecção de tais paralelas. 1 Então: (C-A)=k 1 1 (B-C)=k Dafigra:(B-A)=(C-A)+(B-C) Sbstitindo: =k+k 1 1 (qed) Reciprocamente,épassíeldedemonstração: se=k+kentãoosetores,esãocoplanares b)coplanaridadedeetoresrepresentadosportriplas Três etores 1 =(x 1,y,z), 1 1 =(x,y,z)e 3 =(x 3,y,z)são 3 3 coplanaressemdelesforcombinaçãolineardosotrosdois.lpsofacto,o sedeterminantedeesernlo: x y z x y z x y z = 0 Exemplo: Osetores=(,3,5),=(3,0,-1)ew=(7,6,9)sãocoplanares.

23 Jacir. J. Ventri Exercícios "Sege sempre qemte dápoco,enãoqemmitote promete." Proérbiochinês 01. Calclar a sabendo-secoplanaresosetores: a)=(1,3,0), =(,1,4) ew=(3,4,a) b)=ai-3j, =aj+kew=i+j+k Resp.: a)4; b) 1 ± ProarqeospontosA=(4,5,1),B=(-4,4,4),C=(0,-1,-1)e D=(3,9,4)sãocoplanares. SUGESTÃO: Odeterminantedascoordenadasdosetores (B-A),(C-A)e(D-A)énlo. 03. Dados =i, =i+j+kew=-i +6j +6k, exprimir wcomo combinaçãolineardee. Resp.: w=-4+6 SUGESTÃO: w=k+k 1 então (-, 6, 6) =k (, 0, 0) +k (1, 1, 1) Sendo=(0,,-1),=(0,1,3)e=(0,3,0)exprimircomo 1 combinaçãolineardee. 1 Resp.: 3 = (31 + ) Exprimirw=(-,6,)comocombinaçãolinearde=(,0,0)e =(1,1,1). Resp.:impossíel OBS.: Defato,osetores,ewnãosãocoplanares.

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25 1 3 Jacir. J. Ventri B 3 Demonstração: α A C 3 Fixemos no E m ponto A e tracemosoplanoα paralelamentea e 1 e passantepora. Aimagem geométricadoetoré(b-a).porb condzimos ma paralela ao etor,interceptandoα nopontoc. 3 DotriângloABC: (B-A)=(C-A)+(B-C) 1 Como(C-A)écoplanaraea: (C-A)=k +k 1 1 Como(B-C)éparaleloa: (B-C)=k Sbstitindo e 3 em 1: 3 =k+k+k (cqd) Exercícios Qeojoemde hoje setransformeemlocomotiaenão emagões;emágiasenãoemoelhas. 01. Noparalelepípedo,expressar(F-A)comocombinaçãolinear de(c-d),(d-a)e(e-b). H G E F Resp.: (F-A)=(C-D)+(D-A)+(E-B) A D B C

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27 Jacir. J. Ventri θ θ θ =180º (esão contraersos) 0º< θ <90º 15.MULTIPLICAÇÃOINTERNAOUESCALAR a)símbolo:. Anotação acima édeida ao físico norte-americano J. W. Gibbs ( ). OBSERVAÇÃO: Representa-setambémx. (notaçãoemdesso) b)definição Oprodto interno o escalar de dois etores eéonúmero (escalar)talqe:.= cos θ éamedida do ânglo formado entre oseto- Onde rese. 0º θ 180º OBSERVAÇÃO: AoperaçãodemltiplicaçãoescalarfoicriadaporGrassmann. c)sinaldoprodtointerno.>0indicaqecos θ>0,oqeocorreqandoθéângloag- do.se.<0,entãoθ éângloobtso.

28 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA d)nlidadedoprodtoescalar.=0,se: I)m dos etores for nlo; II)osdoisetoresforemortogonais,poiscos90º=0. e)módlodem etor Omódlo de m etor pode ser calclado atraés do prodto interno,pois:.= cos0º Donde: =. =. f)ânglodedoisetores Ocálclo do ânglo entre dois etores se faz de forma triial, isolando-seocosθ nafórmladoprodtoescalar: cos θ =. g)interpretaçãogeométricadoprodtoescalar A A θ B B Na figra A'B' éamedida algébrica da projeção do etor sobre a direção do etor. Em símbolos: A'B'=proj DotriângloretângloAB'B: A'B'=ABcos θ = cos θ

29 Jacir. J. Ventri Seja*oersordoetor.Aúltimaigaldadenãosealterasea mltiplicarmospor *. A'B'= * cos θ Aigaldadepersistecom*= : proj = o..= proj Seoângloentreeforagdo,amedidaalgébricadaprojeção serápositia.seobtso,negatia. Exemplo: o Dados =3e =e=60,acharamedida daprojeçãodo etorsobre. Resolção:.= cos 60 o 60º 1 =(3) () =3. 3 proj = = 3 h)propriedadesdoprodtoescalar: I. Comtatia:.=. II. Associatiaem relaçãoàmltiplicaçãoporm escalark: k(.) =(k).=.(k) III.Distribtiaem relaçãoàadiçãodeetores:.( +w) =.+.w

30 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA Demonstração:Nafigra=(B-A)ew=(C-B)eporconseqüência+w=(C-A).OspontosA',B'e C' são as projeções ortogonais de C A,BeCsobremaretaparalelaao w etor. B PeloteoremadeCarnot: A'C'=A'B'+B'C' A A B C o proj AC=proj AB+proj BC oainda: proj (+w)=proj +proj w Mltiplicandoosdoismembrospor tem-se: proj (+w) = proj + proj w igaldade qe pela interpretação geométrica do prodto interno pode ser escrita:.( +w) =.+.w (qed) Exemplo: o Sendo =4, =5e=10,calclar: 1) + Resolção: + =( +).(+) = = + + cos θ O =(4) +(5) +(4) (5) cos 10 =1 Resp.: + = 1

31 Jacir. J. Ventri )ers(+) Resolção: ers (+) ers ( +) = º = + 1 Exercícios "Semliberdade,oser hmanonãose edca. Sematoridade, nãoseedca para aliberdade." JeanPiaget ( ), edcador eepistemologistasíço 01. Calclar + eoersorde(+),sabendo-seqe =4, O =6e=60. Resp.: 7 - e 7 O O 0. Sendo =, =3, w =4,=90 ew=30,calclar: OBS.:,ewsãocoplanares. a) + Resp.: 13 b)ers(+) c)(+).(-) Resp.: + 13 Resp.: -5 d) ++w Resp.: 1+1 3

32 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA e)oetorwcomocombinaçãolineardee. SUGESTÃO: w=k+k 1 1) mltipliqe escalarmente por ) mltipliqeescalarmentepor 3 Resp.: w= Determinaroânglo, sabendo-seqe ++w=0, =, =3e w =4. Resp.: =arc cos 1 4 SUGESTÃO: +=-wo (+).(+)=(-w).(-w) 04. Proaraleidosco-senos:c=a+b -abcos θ SUGESTÃO: b θ a c c=a-b c.c=(a -b).(a -b) c = a + b -a.b c = a + b - a b cos θ 05. Seja m paralelogramo constrído sobre e.determinar o ângloθ entreasdiagonaisdoparalelogramo. Dados = π 3, =1e= 6 7 Resp.: θ =arccos 7 SUGESTÃO: Asdiagonaissão+e-. Entãoseprodtointernoé(+).(-)= (+) (-) cos θ

33 Jacir. J. Ventri 07. Sendo,ewmtamenteortogonais,demonstrarqe: a) + = + b) ++w = + + w 08. Na figra,calclaroânglo θ entre os etores bec,sendo a = e b =. b c Resp.: 5π 6 60º a SUGESTÃO: Comoc=a-bfaçao prodtoescalarentrebea-b. 06. Calclar oânglo entre os etores a+b -c e-a+b-c, sabendo-se qe a = b = c =1eqea,becsãomtamenteortogonais. π Resp.: Na figra estão representadas as imagens geométricas dos etores,ew. Sendo = =e w =4escreerwcomocombinaçãolineardee. w 10º 10º 10º Resp.:w=-(+) 10. Sabendo-seqeosetores,ewformamdoisadoisânglosde60ºetaisqe =4, =e w =1. Acharomódlodoetors=++w. Resp: s = 35 SUGESTÃO: Desenola oprodto interno: s.s=( ++w).( ++w)

34 16.EXPRESSÃOCARTESIANADOPRODUTOESCALAR De extraordinária importância éaexpressão cartesiana de.. Nm sistema cartesiano ortogonal são conhecidos os etores epor sasexpressõescartesianas: Dedção: Noentanto: i.i=j.j=k.k= i = j = k =1 i.j=i.k=j.k=0 Donde: =xi+yj+zk =xi+yj+zk.=(x i+yj+zk).(xi+yj+zk) =xxi.i+xyi.j+xzi.k xyi.j+yyj.j+yzj.k xzi.k+yzj.k+zzk.k =xx+yy+zz ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA qeéaexpressãocartesiana doprodtoescalar.destatambémsepinça acondiçãodeortogonalidade dee: xx+yy+zz= etambémomódlo demetor: =.=x +y +z Geometricamente,omódloéamedidadadiagonaldemparalelepípedoreto.

35 Jacir. J. Ventri 1) ) 10 3) 3 4) (10)

36 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA Exercícios 01. Calclar os módlos eoprodto escalar dos etores =3i+4j e=i-j+ 7k Resp.: =5; =3;.=-1 0. lndicarqaisetoressãonitários: =(1,1,1) =, 0, w=(0,0,1) Resp.:ewsãonitários. e=i- 03. Determinarm,sabendo-seortogonaisosetores=3i+mj+k j-k. Resp.: m = 04. Sendo=i-j+ke=-i+j,achar: a)amedidadoângloentreosetorese; Resp.: 150 b)amedidadaprojeçãodoetorsobreoetor. Resp.: 05. Sabendo-seqe,ewsãocoplanarese=j-k,=j+3ke w=3j,exprimirwcomocombinaçãolineardee. Resp.: 6.c. 9 3 w = + 7 7

37 Jacir. J. Ventri 06. Acharoângloθ entreosetores=(10,-5,0)e=(1,,3). Resp.: π θ = 07. Proarqe ABC é triânglo retânglo, sendo A=(3,-,8), B=(0,0,)eC=(-3,-5,10). pontos 08. Demonstrar etorialmente afórmla da distância entre os = (x, y, z ) e P (x, y, z ). P = Resp.: d = (x x1) + (y y1) + (z z1) SUGESTÃO: (P-P)=(x 1 -x)i+(y 1 -y)j+(z 1 -z)k 1 entãod= (P -P) Dados=i+ke=i+j,calclaroers(+). Resp.: i 3 1 j + 3 k Osetores=ai+j e =i-j+kformammânglode45º. Acharosaloresdea. Resp.:1e7 11. Os etores esão paralelos. Calclar oetor,conhecendo-se=i+j+ke.=3. Resp.: 1 = i + j + 1 k 1. Sãoortogonaisosetores=(,4,1)e=(1,0,-)? Resp.:Sim

38 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA 13. Dado otriânglo retânglo ABC com ânglo reto em B, determinaramedidadaprojeçãodocatetoabsobreahipotensa AC. DadosA=(0,0,),B=(3,-,8)eC=(-3,-5,10) Resp.: Seja o triânglo de értices A = (0,0,0), B = (1,-,1) C=(1,1,-). Pede-seoânglointernoaoérticeA. e Resp.: 10º 15. Acharo(s)etor(es)=(x,y,z)taisqe: 1) = 6; ) éortogonala=(3,-3,0); 3)éortogonalaw=(0,,-1). Resp.: ( ± 1, ± 1, ± ) 16. Pede-seoetor=(x,y,z)sabendo-seqe: 1) éparaleloa=(-1,1,) ).w=15,ondew=(,1,3). Resp.: (-3,3,6) 17. Sendo=(a,a,a),determinara paraqesejam ersor. Resp.: 1 a = ± Determinar =(1,a,0)ej. a paraqesejade45ºoângloentreosetores Resp.: a=± 1

39 Jacir. J. Ventri 19. Calclaroalordem paraqeoetor+sejaortogonalao etorw-,onde=(,1,m),=(m+,-5,)ew=(m,8,m). Resp.: -6e3 0. OspontosA=(,1,),B=(1,,z)eC=(-1,0,-1)sãoértices dem triângloretânglo,comângloretoem B.Calclar z. Resp.: -1o SUGESTÃO: Oprodtointernodoscatetosdeesernlo. Porexemplo:(B-A).(C-B)=0 SérieB "Oamornãogarantemaboa coniência." Dema psicoterapeta,na Rádio CBN 1. Proarqeasdiagonaisdemlosangosãoortogonaisentresi. SUGESTÃO: C Seasdiagonaissãoortogonais: D B (C-A).(B-D)=0 Mas (C-A)=(B-A)+(C-B)e A (B-D)=(A-D)+(B-A) Sbstitindo: [(B-A)+(C-B)].[(A-D)+(B-A)]=0 Aplicandoapropriedadedistribtia: B-A - A-D =0 donde B-A = A-D

40 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA. Demonstrar qe nm triânglo retânglo qalqer cateto é média geométrica entre sa projeção sobre ahipotensa eahipotensa inteira. SUGESTÃO: Nafigra: b c a=b+c Mltiplicandoescalarmente θ m a porb: a.b=b.b+b.c a b cos θ = b + b c cos90 Porém b cos θ =m Então a m= b O b=am 3. Demonstrar qe nm triânglo retânglo aaltra relatia à hipotensa émédia geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotensa. SUGESTÃO: Nafigra: b=m+h b m a h n b.c=(m +h).(n -h) 0=m.n-m.h+n.h-h.h 0 0 c c=n-h Mltiplicando escalarmente, membro amembro: Logo:h=mn

41 Jacir. J. Ventri 17.MULTIPLICAÇÃOVETORIALOUEXTERNA a)símbolo: xw b)triedropositio w Osetores,,wnestaordem, formam m triedro positio se, m obseradorpostadoemwedefrente para etem àsa direita oetor eàsaesqerdaoetor. α w Aoreptodeconencionarotriedropositio,aFísicatilizaaregrada mão esqerda: dispõe-se o dedo médionadireçãoesentidode;oindicador na direção esentido de ; o polegarindicaráadireçãoeosentido dew. c)definição Oprodto etorial o externo de dois etores enão paralelos entresi,émterceiroetor comassegintescaracterísticasqanto: 1) àdireção: oetorxéperpendiclaraosetorese. α θ ) ao sentido: os etores, ex, nestaordem,formamm triedropositio. 3) ao módlo: x = sen θ

42 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA ondeθ éamedidadoângloentree. OBSERVAÇÕES: 1) Como operação atônoma, amltiplicação etorial foi criada porj.gibbs. ) Merecemcidados:.= cos θ (erdadeiro) x= sen θ (falso) d)nlidadedoprodtoexterno x=0,se: I)m dos etores for nlo; II)osdoisetoresforemparalelos, poisosen θ =0qando θ =0º o θ =180º. OBSERVAÇÃO: Enfatizemosqepara 0e 0: a) oprodto interno énlo para eortogonais; b) oprodto externo énlo para eparalelos. Faceoexposto, nãoéfactíelo cancelamentodofatorcommà.w=.eàxw=x. e)propriedades I) Anti-comtatia: x=-x Ajstificatiaéapresentadapelafigra: onde x = x α

43 Jacir. J. Ventri II) Associatia: k(x)=(k)x=x(k) III) Distribtiaem relaçãoàadiçãodeetores: x( +w) =x+xw OBSERVAÇÃO: Ademonstração fica postergada. Está condicionada àapresentaçãodaspropriedadesdoprodtomisto. f)mltiplicaçãoexternadosersores i,jek k Emparticlarosersoresi,jeknesta ordem,representamm triedropositio. j i i j + k Na prática, tilize a"circnferência" para efetar o prodto externo de dois desses ersores, cjo resltado éoersor faltante,de sinal positio se no sentido anti-horário. Negatio, se no sentido horário. Exemplos: ixj=k ixk=-j kxj=-i kxi=j Casosparticlares: ixi=jxj=kxk=0

44 g)expressãocartesianadoprodtoetorial Todo ocapítlo de etores apresenta ma importância assaz grande para asa ida acadêmica eqiçá profissional. Em especial, o assntoempata. ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA Dados =xi+yj+zk e =xi+yj+zk calclarxnabase ortogonal(i,j,k). x=(x1i+yj+zk) 1 1 x(xi+yj+zk) =xxixi+xyixj+xzixk k -j +xyjxi+yyjxj+yzjxk k 0 i +xzkxi+yzkxj+zzkxk j -i 0 Fatorandoem relaçãoaosersoresi,jek: x=(y z-yz)i+(x z-xz)j+(x y-xy)k Tal expressão pode ser escrita nma forma mais mnemônica, atraésdo"determinante": i j k x= x y z x y z

45 Jacir. J. Ventri Exemplo: Sendo=i-j+ke=i+j-k,calclar: 1)x= Resolção: i j k x= -1 1 =i+5j+3k )oetornitárioortogonalaoetorea. Resolção: n x n=ers ( x) = x Onde α x = (1) + (5) + (3) = 35 Então: i + 5j + 3k 1 5 n = = i + j k 35 Exercícios Seomndoérim, taleznãosejapela qantidade de mas, mas pelamediocridade dos bons. 01. Efetar: a) (ixk)x(ixj)= b)(ixk)x(kxj)x(jxj)= Resp.: a)-j; b)0

46 0. Conhecidos=i+3j+ke=i-j+k,pede-se: a) x b) x c) x ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA Resp.: 7i-3j-5k Resp.: -7i+3j+5k Resp.: 83 d) x Resp.: Determinaroetornitárion,ortogonalaosetores=(,3,-1) e=(1,1,). 7 Resp.:n=, 5 3-1, Achar oetor w=(x,y,z),tal qe w.(1,0,)=3e wx(1,0,-1)=(-,3,-). Resp.: w=(3,,0) O 05. Calclaro,conhecendo-se x = 4, =e=45. Resp.: Oetor wtem módlo 7, forma m ânglo agdo com oeixo dasabscissaseéortogonalaosetores =i+j e=i+4j+3k. Pede-sew. Resp.: w=6i-3j+k

47 Jacir. J. Ventri 07. Determinar m etor concomitantemente perpendiclar aos etores+e-,sendo=i+je=i-k. Resp.: -3i+3j-6k 08. Representarnotriedropositioi,jek: a) a=(j)x(3i) Resp.: z b) b=ix(3k) c) c=(j)xk x b c O a a= 6k b= 3j c= i y 09. Calclaroetordemódlo18esimltaneamenteortogonala =(,-1,0)ea=(,-4,3). Resp.:(-6,-1,-1) o(6,1,1) 10. Sendo=(1,-1,1),calclaro(s)etor(es)=(x,y,z)qesatisfaça(m)astrêscondiçõessegintes: 1) sejaortogonalaoeixox; ).=0; 3) x = 3 6. Resp.: =(0,3,3)o =(0,-3,-3) SUGESTÃO: Se éortogonal ao eixo x =(0, y,z).

48 11. Sendo =5, =e.=8.calclar x. Resp.: 6 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA 1. Nafigraabaixoobter:.+.w+.w+ xw w Resp.: w 13. Nmhexágonoreglar,amedidadecadaladoale. Calclar (A-B)x(C-B). E D F C A B Resp.: Seja α m plano determinado pelos etores =(, -1, 0) e =(0,1,-1).Determinaroconjntodeetoresortogonaisa α. Resp.:k(1,,) 18.ÁREADEUMPARALELOGRAMOEDEUMTRIÂNGULO Tratar-se-á da interpretação geométrica do prodto externo de doisetores. a)áreadem paralelogramo D C h θ A B Seja m paralelogramo constrído sobre =(B -A) e =(D-A) ehasaaltra. Dageometriaplana: S =(AB)h ABCD

49 Jacir. J. Ventri Mas AB= h= sen θ Sbstitindo: S = senθ o ABCD S ABCD = x O seja: geometricamente omódlo do prodto externo de e coincidecomaáreadoparalelogramoconstrídosobree. Pordiferençadepontos: S ABCD = (B -A) x(d -A) C b)áreademtriânglo Faceoexposto,depreende-sefacilmenteqeaáreadotriângloABCé obtidapor: A B Pordiferençadepontos: 1 S ABC = (B -A) x(c -A) 1 S ABC = x c)áreadepolígono P 3 Conhecidososérticesdempolígono, podemos decompô-lo em triânglos. P 5 P Exemplificando: seja m pentágonodeértices P=(x,y,z)com i i i i i=1,,3,4,5, P 1 S=S +S +S P 1 P P 3 P 1 P 3 P 4 P 1 P 4 P 5

50 ÁLGEBRAVETORIAL EGEOMETRIAANALÍTICA Exercícios "Nãose medeaeficiência de madministrador, se problemasexistem,mas aaliandoseessesproblemas aindasãoos mesmos." John Foster Dlles( ),secretáriodeEstadonorte-americano O 01. Sendo =4, =3e=150,calclar: a)aáreadotriângloconstrídosobree; b)aáreadoparalelogramoconstrídosobre+e-3. Resp.: a)3.a.;b)30.a. 0. Pede-seaáreaoparalelogramoconstrídosobre+e-, O sendo =4, =3e=10. Resp.: 18 3.a. 03. Proar qe aáreadoparalelogramoconstrídosobrea+be a-béodobrodaáreadoparalelogramoconstrídosobreaeb. SUGESTÃO: Área do paralelogramo sobre a+bea-b S= (a +b) x(a -b) Aplicando apropriedade distribtia: S= bxa (cqd) 04. Calclar aáreadotriânglo constrído sobre =-i+j-k. =i-j+ke Resp.:.a. 05. Aárea de m paralelogramo constrído sobre=(1,1,a)e =(-1,1,0)éigala.Pede-seoalordea. Resp.: a= ± 3

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