MÓDULO 20 MÓDULO 19 FRENTE 1 ÁLGEBRA MÉTODO DE GAUSS (ESCALONAMENTO) SISTEMAS LINEARES MATEMÁTICA E

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1 FRENTE ÁLGEBRA MÓDULO 9 MÓDULO 0 MÉTODO DE GAUSS (ESCALONAMENTO) SISTEMAS LINEARES. Resolver, aplicando a Regra de Cramer, o seguinte sistema: x + y = x + y z = x + z =. (UESPI) Se o terno (x 0, y 0, z 0 ) é a solução do sistema x + z = x + y + z =, então x 0 + y 0 + 4z 0 é igual a: y z = a) 8 b) 7 c) 6 d) e) 4. (FUVEST) Considere o sistema de equações lineares x + y + z = m x y z = m x + y z = m + Para cada valor de m, determine a solução (x m, y m, z m ) do sistema. 4. ax + y + a z = a O valor de z no sistema bx + y + b z = b cx + y + c z = c, sabendo-se que a b, a c, b c, é: a) abc b) ab + ac + bc c) a + b + c d) a e) x + y + z =. Se o sistema x + y + z = tem uma única solução, então: 4x + y + az = 4 a) a = b) a c) a = d) a e) a 4 6. Resolver o sistema do exercício anterior para a =. 7. (ESPM) O par ordenado (k; k) é solução do sistema. Pode-se afirmar que x + y é igual a: kx y = x + ky = a) b) 8 c) 8 d) 0 e) 6 x + y + z = 4. (FUVEST) Se 4y + z =, então x é igual a: 6z = 8 a) 7 b) c) 0 d) e). Se x = a, y = b, z = c e w = d é solução do sistema x + y = 0 y + z = 0, então o produto abcd vale: z + w = 0 y + w = a) b) c) d) e) (MACKENZIE MODELO ENEM) O diretor de uma empresa, o Dr. Antônio, convo cou todos os seus funcionários para uma reunião. Com a chegada do Dr. Antônio à sala de reuniões, o número de homens presentes na sala ficou quatro vezes maior que o número de mulheres também presentes na sala. Se o Dr. Antônio não fosse à reunião e enviasse sua secretária, o número de mulheres ficaria a terça parte do número de homens. A quantidade de pessoas, presente na sala, aguardando o Dr. Antônio é: a) 0 b) 9 c) 8 d) e) 4 4. (UNICAMP) As pessoas A, B, C e D possuem juntas R$.78,00. Se A tivesse o dobro do que tem, B tivesse a metade do que tem, C tivesse R$ 0, 00 a mais do que tem e, finalmente, D tivesse R$ 0,00 a menos do que tem, então todos teriam a mesma importância. Quanto possui cada uma das quatro pessoas?. (UEL) Numa loja, os artigos A e B, juntos, custam R$ 70,00; dois artigos A mais um C custam R$ 0,00, a dife rença de preços entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$,00. Qual é o preço do artigo C? a) R$ 0,00 b) R$,00 c) R$ 0,00 d) R$,00 e) R$ 40,00 6. (FEI) Um comerciante adquiriu 80 rolos de arame, alguns com 0 m e outros com 0 m, num total de 080 m de comprimento. Quantos rolos de 0 m foram adquiridos? a) 40 b) c) 8 d) e) 48 7

2 x + y + z = x + z + t = 7. Se tivermos, então x + y + z + t é igual a: y + z + t = 7 x + y + t = 4 a) b) 7 c) d) 4 e) /9 8. (MACKENZIE) A equação matricial: x. y = a) não admite solução, qualquer que seja k. b) admite solução, qualquer que seja k. c) admite solução se k = 4. d) admite solução somente se k = 8. e) admite solução somente se k =. z k 7. (FATEC) Se o sistema de equações lineares x + 7my + 6z = 0 my + 4z = 0, (m )x + y mz = 0 nas variáveis x, y e z, admitir soluções diferentes da trivial, então: a) m = 4 ou m = 6 b) m = 4 ou m = 6 c) m = 4 ou m = 6 d) m = ou m = e) m = ou m = 8. a x + y a z = 0 Os valores de a para os quais o sistema x a y + z = 0 x + y z = 0 admite outras soluções além de x = y = z = 0 são: a) ± b) ± c) ± d) ± e) ± MÓDULO MÓDULO SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO DIVISÃO EM, MÚLTIPLOS E DIVISORES EM x + y + z = 0. Resolver o sistema x + 7y + z = 0 x + 9y + z = 0. Determinar o valor do divisor na divisão em que 7 é o dividendo, 7 é o quociente e é o resto.. Resolva o sistema: 4 7 x 0 y = 0 z 0. Ao dividir 4 por x, obteve-se quociente 7 e resto 6. Determinar x.. Ao dividir 4 por x, obteve-se quociente 8 e resto. Determinar x.. (FUVEST) Sabendo-se que x, y e z são números reais e (x + y z) + (x y) + (z ) = 0, então x + y + z é igual a: a) b) 4 c) d) 6 e) 7 4. x + y + z = 0 Dado o sistema: 4x my + z = 0, determinar m para que ele x + 6y 4mz = 0 admita soluções distintas da trivial.. x + αy z = 0 (FGV) O sistema linear x + y + z = 0 admite solução não x y z = 0 trivial, se: a) α = b) α c) α = d) α e) α, sendo o conjunto dos números reais. 6. x + y z = 0 (FUVEST) Seja o sistema: x my z = 0 x + y + mz = m a) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite solução. b) Resolva o sistema, supondo m = O número a dividido pelo número b dá quociente e resto. O número a + dividido pelo número b dá quociente e a divisão é exata. Determine a. b.. Ao dividir x por y, obteve-se quociente e resto ; ao dividir x por y +, obteve-se quociente e resto iguais a 4. Calcular x + y. 6. (FGV) A soma de dois números é 4. Dividindo-se o maior por 8, encontra-se o mesmo quociente que o da divisão do menor por 4. Sabendo que as duas divisões são exatas, a soma do maior com a metade do menor é: a) 6 b) c) 80 d) 7 e) (FGV) Numa divisão, o quociente é 8 e o resto é 4. Sabe-se que a soma do dividendo, do divisor, do quociente e do resto é 44. Então, a diferença entre o dividendo e o divisor é: a) 7 b) 7 c) 00 d) 48 e) (FGV) A diferença entre os quadrados de dois números naturais é 4. Um possível valor do quadrado da soma desses dois números é: a) 76 b) 44 c) 64 d) 400 e) 9 9. (UEG) Prove que todo número de quatro algarismos, alterna - damente iguais, isto é, números da forma abab (por exemplo, o número ), são divisíveis por 0. 8

3 MÓDULO MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 0. (PUC) No conjunto dos números naturais, considere um número n que, dividido por, deixa resto ; dividido por 4, deixa resto e dividido por, deixa resto 4. Conclua que o menor valor de n pertence ao intervalo: a) 0 < n < 0 b) 0 < n < 80 c) 80 < n < 0 d) 0 < n < 40 e) 0 < n < 80 MATEMÁTICA E. Calcular o número de divisores de 00.. Calcular o número de divisores de.. (UECE MODELO ENEM) A senha do cartão de crédito de Luiz é um número maior do que 008, divisível por, formado por quatro algarismos, todos diferentes de zero. Se a soma dos algarismos da senha é igual a nove, então seu terceiro algarismo é a) b) c) d) 4 e) 6. Sejam a e b dois números naturais tais que a = n. e b =.. n. Sabendo-se que ab possui 8 divisores naturais, determinar a e b. 4. (MACKENZIE) A soma de dois números inteiros positivos, a e b, é 4. Sabendo-se que mdc(a,b).mmc(a,b)=90, o valor absoluto da diferença desses números é a) b) c) 4 d) 49 e) 7 FRENTE ÁLGEBRA MÓDULO 9 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA. (FUVEST) Sejam a e b o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de 60 e 00, respectivamente. Então o produto ab vale: a) 4 4 b) c) d) 6 e) (UNIOESTE) Dois números naturais, x e y, x < y, são tais que o máximo divisor comum entre eles é e o mínimo múltiplo comum entre eles é 78. Sabendo-se que tanto x quanto y são compostos por dois fatores primos, pode-se afirmar que a) x y = 0 b) xy = 46 c) y x = 0 d) x/y = / e) x + y = 7. (UNESP MODELO ENEM) Três viajantes partem num mesmo dia de uma cidade A. Cada um desses três viajantes retorna à cidade A exatamente a cada 0, 48 e 7 dias, respectivamente. O número mínimo de dias transcorridos para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A é: a) 44 b) 40 c) 60 d) 480 e) (FUVEST) Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas quadradas, todas com lado de mesma medida inteira, em centíme - tros. A sala é retangular, de lados m e m. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas somente lajotas inteiras. Quais são os possíveis valores do lado das lajotas? 9. (PUCC MODELO ENEM) Dois livros, um dos quais tem 6 páginas e outro, 60 páginas, são formados por fascículos com o mesmo número de páginas (superior a 0 e inferior a 0). Cada fascículo a) pode ter páginas. b) pode ter 4 páginas. c) tem 6 páginas. d) tem 8 páginas. e) tem páginas.. (PUC) Se a razão de uma P.G. é maior que e o primeiro termo é negativo, a P.G. é chamada a) decrescente. b) crescente. c) constante. d) alternante. e) singular.. (PUC MODELO ENEM) Pode-se estimar o crescimento de uma população su pon do que ela ocorra em progressão geo métrica. Nessas condições, a tabela deve ser completada com o número: ano n ọ de habitantes a) b) c) 000 d) 00 e) 000. O ọ termo da sequência (; ; 4; 8; 6; ;...) é um número a) menor que 00 b) entre 00 e 000 c) entre 000 e d) entre e e) entre e (PUC) - Dada a progressão geométrica,,,..., determine seu ọ termo.. (FGV MODELO ENEM) Uma pintura de grande importância histórica foi com prada em 90 por 00 dólares, e, a partir de então, seu valor tem dobrado a cada 0 anos. O valor dessa pintura, em 00, era de a) dólares b) dólares c) 00 dólares d) dólares e) dólares 9

4 6. (FATEC MODELO ENEM) Uma certa espécie de bactéria divide-se em duas a cada 0 minutos, e uma outra, a cada 0 minutos. Depois de horas, a relação entre o número de bactérias da ạ e o da ạ espécie, originadas por uma bactéria de cada espécie, é: a) 8 b) 4 c) 6 d) / e) / 7. (UNIP) A sequência (, a, ) é uma P.G.. O nono termo desta progressão é 6. O valor de a pode ser: a) 4 b) c) d) / e) 8 a) x = 4 b) y = 6 c) z = d) x = y e) y = x 6. Calcular o produto dos primeiros termos da P.G. (, 6, 8,...). 7. (FUVEST) Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a e razão igual a. Se o produto dos termos dessa progressão é 9, então o número de termos é igual a a) b) c) 4 d) e) 6 8. (FUVEST MODELO ENEM) A cada ano que passa, o valor de um carro diminui de 0% em relação ao seu valor no ano anterior. Se v for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo ano será: a) (0,7) 7 v b) (0,) 7 v c) (0,7) 8 v d) (0,) 8 v e) (0,) 9 v MÓDULO SOMA DOS TERMOS DA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA E SÉRIES GEOMÉTRICAS 9. O número de termos da P.G.,,,..., 79 é: 9 a) 8 b) 9 c) 0 d) 8 e) 4. (FGV) Qual é a soma dos 0 primeiros termos da seguinte progressão:,, 4, 8, 6,? a) 6 b) 0 c) 488 d) 9 e) (VUNESP) Os números ; ; x formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. Então x vale 6 a) 9 b) c) d) 9 e). (PUC) Se a sequência (4x, x +, x,...) é uma P.G., então o valor de x é: a) b) 8 c) d) 8 e) 8 8. (VUNESP) Sejam a, b e c números reais estritamente positivos, distintos entre si. Se log a, log b e log c são termos consecutivos de uma progressão aritmética, então: a) a, b e c é uma progressão aritmética b) a, b e c é uma progressão geométrica c) a + c = b d) a < b < c e) c < b < a 4. (MODELO ENEM) Adicionando-se um número fixo x aos nú - meros, e 6, têm-se, nesta ordem, os três primeiros termos de uma progressão geométrica. A razão da progressão geométrica é: a) b) c) d) e). (PUC) Sabe-se que a sequência, a, 7, na qual a > 0, é uma progressão geométrica e a sequência (x, y, z), na qual x + y + z =, é uma progressão aritmética. Se as duas progressões têm razões iguais, então: 60 MÓDULO 0 PROPRIEDADES DA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA E PRODUTO DOS TERMOS. (F. CARLOS CHAGAS) Os frutos de uma árvore atacados por uma moléstia foram apodrecendo dia após dia, segundo os ter mos de uma progressão geométrica de primeiro termo e ra zão, isto é, no ọ dia apodreceu fruto, no ọ dia outros, no ọ dia 9 outros e assim sucessivamente. Se, no 7 ọ dia, apodre ceram os últimos frutos, o número de frutos atacados pela molés tia foi: a) 6 b) 64 c) 79 d) 09 e) 09. (UNESP) Em uma determinada região de floresta na qual, a princípio, não havia nenhum desmatamento, registrou-se, no período de um ano, uma área desmatada de km, e a partir daí, durante um determinado período, a quantidade de área des matada a cada ano cresceu em progressão geométrica de razão. Assim, no segundo ano, a área total desmatada era de +. = 9 km. Se a área total desmatada nessa região atingiu 8 km nos n anos em que ocorreram desmatamentos, deter mine o valor de n. 4. O vazamento de um torneira aumenta a cada hora de modo que na primeira hora do dia vazou uma gota de água, na segunda hora vazaram duas gotas, na terceira hora quatro gotas e assim por diante formando uma progressão geométrica. Admitindo-se que 4 gotas corresponde a um litro, a quantidade aproximada de litros de água que vazaram nesse dia, é: a) 04 b) 048 c) 4096 d) 87 e) 644. (FEI) Dada a progressão geométrica,, 9, 7,... se a sua soma é 80, então ela apresenta a) 9 termos. b) 8 termos. c) 7 termos. d) 6 termos. e) termos. 6. (F.I.A.) Numa progressão geométrica, tem-se a = 40 e a 6 = 0. A soma dos oito primeiros termos é a) 700 b) 80 c) 80 d) 700 e) (AFA) Numa progressão geométrica, com n termos, a =, a n = 4 e S n = 8, tem-se a) q < n b) q = n c) q > n d) q < a e) q = a

5 8. Dado x 0 =, uma sequência de números x, x, x,... satisfaz a condição x n = ax n, para todo inteiro n, em que a é uma constante não nula. a) Quando a =, obtenha o termo x dessa sequência. b) Quando a =, calcule o valor da soma x + x x (UNIFESP MODELO ENEM) No interior de uma sala, na forma de um paralele pípedo com altura h, empilham-se cubos com arestas de medidas,, 9,, e assim por diante, con - 7 forme mostra a figura.. (FGV) O conjunto solução da equação x x x x x = é 9 7, a) b) c) {, 4} d) {, 4} e) {, }, MÓDULO MATEMÁTICA E FATORIAL E NÚMERO BINOMIAL E TRIÂNGULO DE PASCAL OU TARTAGLIA O menor valor para a altura h, se o empilhamento pudes se ser feito indefinidamente, é: 7 a) b) c) d) e) 0. (UNESP MODELO ENEM) Considere um triângulo equilátero cuja medida do lado é 4cm. Um segundo triângulo equilátero é construído, unindo-se os pontos médios dos lados do triângulo original. Novamente, unindo-se os pontos médios dos lados do segundo triângulo, obtém-se um terceiro triângulo equilátero, e assim por diante, infinitas vezes. A soma dos perímetros da infini - dade de triângulos formados na sequência, incluindo o triângulo original, é igual a a) 6 cm. b) 8 cm. c) 0 cm. d) 4 cm. e) cm..! O valor de é: 9! a) 0 b) 400 c) 40 d) 7980 e) 40! 0!. O valor de é: 9! a) 0 b) 40 c) 60 d) 400 e) 00 (n + )!. Simplificando a expressão, obtemos: (n )! a) n b) n + c) n + n d) n e) n n 4. (FEI) Se (n + 4)! + (n + )! = (n + )!, então: a) n = 4 b) n = c) n = d) n = e) n = 0. (ACAFE) Os raios de infinitos círculos formam a P.G.,,,.... A soma das áreas desses círculos será: 4 a) 6 π u.a. b) 9 π u.a. c) π u.a. d) 8 π u.a. e) 4 π u.a.. (MACKENZIE) Sendo S a soma dos infinitos termos da progres - são geométrica,,,, a a a a, o valor de a de tal forma que log S = é a) b) c) d) 4 e). O valor do número binomial é: a) 9900 b) 0000 c) 9800 d) 9800 e) Resolver a equação x + = 7 n k n p 4 x 7. Se = 0, então, obrigatoriamente: a) k = p b) k + p = n c) k = n n d) k = p = e) k = p ou k + p = n. (U. JUIZ DE FORA) A soma dos infinitos termos de uma progre ssão geométrica decrescente é igual a. Se o primeiro termo dessa progressão é 8, o quinto é: a) 8 b) c) d) e) 8 4. (U.E.FEIRA DE SANTANA) A solução da equação x x x x = 60 é 9 7 a) b) 40 c) 0 d) 600 e) Resolver a equação 4 4 = 0 x 7 9. O valor de 0 + é: a) b) c) 4 d) e) x 4 6

6 0. (PUC) Se m m = 0 e =, então p m p m p é igual a: a) 40 b) 4 c) 0 d) e) 60. Calcular o termo de grau no desenvolvimento de x +. x Questões de a 7 Lembrando que a k, por exemplo, significa k = a + a + a 4 + a + a 6 + a 7 e utilizando as propriedades do Triângulo de Pascal, calcular: = = k 0 4 k = = = k 4 k = k 4. = = k = 4 k = = k 0 4 k = (PUC) No desenvolvimento do binômio x +, o termo x independente de x é o: a) ọ b) ọ c) ọ d) ọ e) 4 ọ 7. Calcular a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (x + y). 8. A soma dos coeficientes numéricos dos termos do desenvol - vimento de (x y) 04 é: a) b) c) 0 d) 04 e) FRENTE GEOMETRIA ANALÍTICA MÓDULO 9 COEFICIENTE ANGULAR DA RETA 0 p. = 4 p = 4 6. (MODELO ENEM) O valor de m que satisfaz a sentença m k = 0 m k = é: a) b) 6 c) 7 d) 8 e) 9. (F. CARLOS CHAGAS) O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A 0; e B m ; 0 m, com m 0, é: a) m b) m c) d) e) m. (F. CARLOS CHAGAS) Os coeficientes angulares de AB e CD valem, respectivamente: a) e b) e c) e / d) e e) e MÓDULO TEOREMA DO BINÔMIO E TERMO GERAL Questões de e Utilizando o Teorema do Binômio de Newton, desenvolver:. (x y) 4. (x ) 6. Calcular o quarto termo do desenvolvimento de (x + ) 0, feito segundo os expoentes decrescentes de x.. (F. CARLOS CHAGAS) Sejam a e b, respectivamente, as abscissas dos pontos A e B, representados na figura abaixo. Pode-se concluir que: a) b a = 6 b) a + b = 4 c) b = a d) a + = b e) a = b 4 4. (UESPI) O coeficiente de x 4 no desenvolvimento de x + é: 7 9 a) b) c) d) 6 e) 6

7 4. (F. CARLOS CHAGAS) O triângulo ABC tem vértices A(0; 0), B ; e C ;. A equação da reta que passa por A e pelo ponto médio BC é: a) x = 0 b) y = 0 c) y =. x. (F. CARLOS CHAGAS) As retas x = y e x + y = a) são paralelas. b) contêm ambas o ponto (0; ). c) são perpendiculares. d) contêm ambas o ponto (; ). e) formam ângulo de 60. MATEMÁTICA E d) y =. x e) y =. x Questões de a 7. Determinar a equação reduzida das retas que passam pelos seguintes pares de pontos.. A(0; ) e B( ; 0) 6. C(; ) e D( ; 4) 7. E(; 4) e F( 4; ) x y 8. Dada a reta de equação = 0, a sua expressão sob a 0 forma reduzida é: a) x y = 0 b) y =. x c) x = y +. (MODELO ENEM) Os valores de K para os quais a reta que passa pelos pontos (K; ) e ( ; ) é paralela à reta determinada pelos pontos (; K) e (; 0) a) não são todos racionais. b) são todos positivos. c) não são todos inteiros. d) são todos negativos. e) não satisfazem nenhuma das 4 afirmativas anteriores. 4. A equação (x y) = 4 representa a) retas paralelas. b) retas perpendiculares. c) retas coincidentes. d) uma única reta que não passa pela origem. e) um ponto. a a d) x y = e) y = x +. (FUVEST) As retas de equações x y + = 0 e 0y x + = 0 a) são reversas. 9. (F. CARLOS CHAGAS) Considere o triângulo V (0; 0), V (a; a) e V (a; a). A equação da reta que passa pelo vértice V e pelo ponto médio do lado V V é: b) concorrem na origem. c) não têm ponto em comum. d) formam um ângulo de 90. a) y =. x + 9 b) y = x + a e) têm um único ponto em comum. c) y = x d) y =. x + 6. (FEI) Se duas retas ax + by + c = 0 e a x + b y + c = 0 são perpendiculares, então temos, necessariamente: e) y = x + a a b a) = a b b) a. a + b. b = 0. Os vértices de um triângulo são os pontos A( ; 0), B(0; ) e a a C(; 4). Determinar os coeficientes angulares e lineares das três c) a. a + b. b = 0 d) b b retas suportes dos lados. c c = 0 e) a. a b. b = 0 Questões e. Obter as equações segmentárias das retas determinadas pelos pares de pontos: 7. Determinar k, de modo que a reta x = ky 6 seja perpendicular à reta y = x + :. A(; 0) e B(0; ).M(; ) e N(; ) a) 6 b) c) d) e). (ABC) A reta abaixo tem por equação: a) x y = 0 b) x + y = 0 c) y = x + d) x = y + e) x + y = 0 MÓDULO 0 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS 8. (UNISA) Achando-se os valores de K e L para os quais x + Ky + = 0 e x y L = 0 são equações de uma mesma reta, verifica-se que K + L é igual a: 4 a) 4 b) 6 c) d) e) 0, (FUVEST) Qual dos pares de retas abaixo são retas perpen - diculares? a) x + y = 0 e x y = 0 b) y = x + e y = x c) x + y + = 0 e x + y = 0 d) x y = e x + y = 9 e) x y = e x + y =. Determinar a posição relativa das seguintes retas tomadas duas a duas: ) x y + = 0 ) x y + = 0 ) x 6y = 4) x y + = 0 ) x + 4y + = 0 6) 4x y = 6 0. (EESCUSP) As retas x + y = 0 e 4x + 6y 0 = 0 a) são paralelas. b) são coincidentes. c) são perpendiculares. d) são concorrentes e não perpen diculares. e) passam pela origem. 6

8 . Para que valor de k as retas (r) kx + y + k = 0 (s) 4x + (k + ). y = 0 são paralelas (distintas)?. Determinar o valor de x, sabendo-se que as retas AB e CD são perpendiculares entre si. São dados A(x; ), B(; ), C(0; 0) e D(; ). a) b) c) 4 d) e). Determinar o valor de y, sabendo-se que a reta que passa pelos pontos A(; 7) e B(4; y) é perpendicular à reta que passa pelos pontos C(9; 0) e D(6; 8). 4. (ULBRA) O valor de α para que as retas x y = 0 e y + αx = 0 sejam perpendiculares é a) b) c) d) e). (ESC.ENG.MAUÁ) Calcule o coeficiente angular (declive) da reta r perpendicular à reta que passa pelos pontos A(; ) e B(4; 6). 4. (UN. CAT. RS) Uma equação da reta que intercepta o eixo das π ordenadas em P(0; ) e tem uma inclinação α = é a) x + y + = 0 b) x + y + = 0 c) x y = 0 d) x y = 0 e) x + y + = 0. (UESB) Uma reta t que intercepta o eixo Oy no ponto P(0; ) e forma com este um ângulo de 0 tem como equação a) y = x + b) y = x + c) y = x + d) y = x + e) y = x + 6. (FGV) Sabendo que o ΔABC é um triângulo retângulo em B, calcular as coordenadas do vértice C. 6. Achar a equação geral da reta que intercepta o eixo dos y no ponto de ordenada e cujo coeficiente angular é. 7. (UESB) 7 a) (; ) b) ( ; ) c) (4; ) 9 d) ( ; ) e) (; ) MÓDULO FEIXE DE RETAS CONCORRENTES NUM PONTO O gráfico anterior representa a função definida pela equação y = ax + b. Nessas condições, o valor de b é: a) b) c) d) e) 8. (UN. ESTÁCIO DE SÁ) No gráfico abaixo, estão representadas duas retas, r e s, perpendiculares. O ponto de intersecção dessas retas é P(a; b). Pode-se afirmar que a + b é igual a:. Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P(; ) e cujo coeficiente angular é. 4. (F. OSVALDO ARANHA) A equação da reta que passa pelo ponto ( ; 4) e tem coeficiente angular igual a é: a) y x + 4 = 0 b) y + x + 4 = 0 c) y x = 0 d) y + x + = 0 e) y x 4 = 0. Achar a equação geral da reta que passa pelo ponto (; ) e forma um ângulo (inclinação) de com o eixo dos x a) b) c) d) e) 64 64

9 9. (USF) Sendo r uma reta que passa pelos pontos A(; ) e B(; 4) e s: mx + ny + = 0, perpendicular a r, pode-se afirmar que a) m = n b) m = n c) m + n = d) m + n = e) m = n Questões de 0 a. Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P(; ) e é: MÓDULO CIRCUNFERÊNCIA I MATEMÁTICA E 0. paralela ao eixo Ox.. perpendicular ao eixo Ox.. paralela à reta: x y 4 = 0. perpendicular à reta: x y 4 = 0 4. (FEI) Dar a equação da reta que passa por (a; a), a > 0, e é paralela à reta ax + a y =.. (FATEC) No plano cartesiano, considere o triângulo determinado pelo ponto A e pelos pontos de abscissas e 7, representado abaixo. Questões de a 8. Escrever a equação da circunferência. de centro (; ) e raio.. de centro ( 4; ) e diâmetro 8.. de centro (4; ) e que passa pelo ponto ( ; ). 4. que tem como diâmetro o segmento que liga os pontos ( ; ) e (7; ).. cujo centro é ( 4; ) e tangente ao eixo y. 6. cujo centro é a origem e corta o eixo x na abscissa tangente aos eixos, de centro no segundo quadrante e raio igual a que passa pela origem, com raio 0 e abscissa do centro igual a (U.C.SANTOS) Assinale a equação da circunferência da figura abaixo: A área desse triângulo é a) 40 b) c) 0 d) e) 0 6. (FFCLUSP) A equação da reta perpendicular à reta x y = pelo ponto (4; ) é: a). (x 4) +. (y ) = 0 b). (x 4) +. (y ) = 0 c). (x 4). (y ) = 0 d). (x 4). (y ) = 0 e) 4. (x ) +. (y ) = 0 a) x πx + y = 0 b) x x + πy = 0 c) x + y π x = 0 d) x + y πy = 0 e) x + y = π 7. (MACKENZIE) Observe a figura. Pertence à reta r o ponto: a) (0; ) b) ( ; 0) c) (0; 6) d) ( ; 0) e) (0; ) 8. A equação da reta perpendicular à reta y = x e que passa pela intersecção das retas: x y = 0 e x y = 0 é: a) x + y + = 0 b) x + y = 0 c) 7x + 7y 6 = 0 d) x + y 4 = 0 e) x + y 6 = 0 0. (UECE) Em relação à circunferência que passa pela origem e cujo centro é o ponto ( ; ), podemos afirmar: a) está totalmente contida no primeiro quadrante; b) tem área igual a π unidades de área; c) passa pelo ponto ( ; 0); d) tem raio igual a unidades de comprimento; e) tem equação x + y =.. (F.ED.SERRA DOS ÓRGÃOS MODELO ENEM) A equação da circunferência cujo centro é o ponto (; ) e que contém o ponto (; ) é: a) x + y x y = 0 b) x + y x y = 0 c) x + y x 4y + = 0 d) x + y + x + y 9 = 0 e) x + y + x + 4y = 0 6

10 . (USF) Os pontos A(; ) e C(4; ) são as extremidades da diagonal de um quadrado. A circunferência inscrita nesse quadrado tem equação a) x + y + 6x + 8y + = 0 b) x + y 6x 8y + 4 = 0 c) x + y 4x + 6y = 0 d) x + y 6x 8y = 0 e) x + y 6x 8y + 6 = 0 MÓDULO CIRCUNFERÊNCIA II. (ACAFE) A equação da circunferência que passa pelos pontos A(; 7), B( ; ) e C(4; ) é: a) x + y 4x y + 0 = 0 b) x + y x 4y 0 = 0 c) x + y x y 0 = 0 d) x + y x 6y = 0 e) x + y x 4y + xy = 0 4. (CEF.E.T.PARANÁ) Uma circunferência λ tem centro em A(; ) e tangencia o eixo das abscissas. Uma reta (r) é para lela à bissetriz dos quadrantes ímpares e intercepta λ diametralmente. Sobre a situa ção descrita, são feitas as seguintes afirma ções: I) A equação (x ) + (y ) = pode representar λ II) A r III) r : y = x + 4 IV) r λ = + ;, + ; Sobre as afirmações é correto dizer: a) somente uma é verdadeira. b) somente uma é falsa. c) existem duas verdadeiras e duas falsas. d) todas são falsas. e) todas são verdadeiras.. (USF) Considere C a circunferência de centro no ponto (; ) e raio e C, a circunferência concêntrica a C e de raio igual a. Se P(m; 0) é um ponto que está na região do plano que é interior a C e exterior a C, então pode afirmar-se que a) 0 < m < b) < m < c) < m < d) < m < 0 e) < m < 6. Escrever a equação da circunferência de centro ( ; ) e que é tangente à reta 0x y 4 = Escrever a equação da circunferência de centro ( ; ) e tangente à reta que passa pelos pontos ( ; 4) e (; ). 8. (FUVEST) O centro da circunferência que passa pelos pontos (4; 6) e ( 6; 4) e pertence à reta x + y = 0 é: a) (6; ) b) ( 6; 0) c) (0; ) d) (6; ) e) ( 6; ) 9. A equação da circunferência que passa pelo ponto (; 0) e que tem centro no ponto (; ) é dada por: a) x + y 4x 6y + 4 = 0 b) x + y 4x 9y 4 = 0 c) x + y x y + 4 = 0 d) x + y x y 4 = 0 e) (x ) + y = 9 0. (ESPM) Uma circunferência localizada no primeiro quadrante tangencia os dois eixos coordenados e seu centro pertence à reta de equação 4x + y 4 = 0. Sua equação é: a) x + y 4x 4y + 4 = 0 b) x + y 4x 4y + 8 = 0 c) x + y 4x 4y = 0 d) x + y x y + 4 = 0 e) x + y x y + 8 = 0 Questões de a 4. Determinar o centro e o raio da circunferência de equação:. x + y 8x + 0y = 0. x + y + 6x 8y = 0. (x ) + (y + ) = 4. x + y x = 0. Determinar a equação reduzida da reta que passa pelos centros das circunferências: C : x + y 6y + = 0 C : x + y + x = 0 6. (F. CARLOS CHAGAS) A equação da reta perpendicular ao eixo das abscissas que passa pelo ponto médio do segmento AB, em que A(; ) e B é o centro da circunferência de equação x + y 8x 6y + 4 = 0, é: a) y = b) y = 4 c) x = 4 d) x = e) x + 4y = 0 7. (FUVEST) O raio da circunferência x + y 4x + 6y = 0 é igual a: a) b) c) d) 4 e) 6 8. (OSEC) A distância entre os centros das circunferências x + y 8x 6y = 7 e x + y 0x y = 00 é: a) 4 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 9. (UBERABA) A distância da origem ao centro da circunferência (x ) + (y + ) = é igual a: a) b) c) d) e) 0. (F. CARLOS CHAGAS) O lugar geométrico dos pontos de coordenadas (x; y), tais que y + (x ) = 0, é: a) a origem b) duas retas concorrentes c) um ponto que não é a origem d) conjunto vazio e) uma reta. (PUC) Quantos são os pontos que têm coordenadas inteiras e são interiores à circunferência de equação x + y = 6? a) 9 b) c) 8 d) e). (FGV) O ponto simétrico da origem com relação ao centro da circunferência x + y + x + 4y = R é: a) ( ; 4) b) (; 4) c) (; ) d) depende de R e) ( ; ). (U.N.PARANÁ) As coordenadas do centro da circunferência 4x + 4y 4x y + = 0 são: a) (; 6) b) ( ; ) c) ( ; ) d) ( ; ) e) (0; 0) 66

11 Vide resoluções comentadas no site: FRENTE MÓDULO 0 ) D ) A ) B 4) C ) A 7) B MATEMÁTICA E MÓDULO 9 MÓDULO ) B 4) E ) D 7) C ) A ) E 4) A ) B 6) B 7) C 9) E 0) D )C ) E ) B 4) B )A MÓDULO 0 ) E ) C ) B ) B 6) E 7) C 8) E MÓDULO ) C ) D ) C 4) E ) A 7) E 9) C 0)B ) 6 ) 6 ) 0 4) )46 6) E MÓDULO ) C ) A 7) E 8) A MÓDULO 4) A 6) D 8) C MÓDULO 6) D 7) D 8) B FRENTE MÓDULO 4) B ) C 6) A 7) E 9) A 0) B ) A MÓDULO 9 ) C ) D ) A 4) A 8) B 9) B )A MÓDULO 9 FRENTE ) A ) D ) E ) D 6) A 7) C 8) A 9) B MÓDULO 0 ) C ) E 4) A ) C 6) C 7) A 8) E 9) C 0) C ) D 4)D 6)C 67

12 MÓDULO ) D 4) C ) E 7) D 8) D 9) B )E 6) A 7) A 8) C MÓDULO 9) A 0) D ) C ) B ) B 4) C ) A 8) B 9) A 0) A MÓDULO 6) D 7) D 8) D 9) E 0) C ) D 68

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