Lista 09: Estimação de Parâmetros

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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA-AERONÁUTICA MB-210: Probabilidade e Estatística Lista 09: Estimação de Parâmetros Prof. Denise Beatriz Ferrari denise@ita.br 2 o Sem/ Seja X 1, X 2,..., X n uma a.a. de uma população uniforme no intervalo [ θ, θ], com θ desconhecido. (a) Mostre que a estatística a seguir é um estimador não-viesado de θ 2 : T = 3 n (X2 1 + X X 2 n) (b) T é um estimador não-tendencioso de θ? Em caso negativo, o viés é positivo ou negativo? Nota: Desigualdade de Jensen: ϕ(e[x]) E[ϕ(X)], para qualquer função ϕ convexa. 2. Considere a seguinte massa de dados contendo a vida útil de esferas de rolamentos (em horas) Deseja-se estimar a vida útil mínima deste tipo de esfera de rolamento. Os dados são modelados como a realização de uma a.a. X 1, X 2,..., X n, em que cada v.a. X i é representada como X i = δ + Y i, em que Y i tem distribuição Exp(λ) e δ > 0 é um parâmetro desconhecido que modela a vida útil mínima. O objetivo é construir um estimador não-tendencioso para δ. Sabe-se que: E[M n ] = δ + 1 nλ e E[ X n ] = δ + 1 λ, em que M n = mínimo de X 1, X 2,..., X n e X n = (X 1 + X X n )/n. (a) Mostre que a seguinte estatística é um estimador não-tendencioso de 1/λ: T = (b) Construa um estimador não-viesado para δ. n n 1 ( X n M n ) (c) Utilize a massa de dados para calcular uma estimativa para a vida útil mínima, δ. 1

2 3. Sejam T e W dois estimadores para o parâmetro θ. Sabe-se que Var[T ] = 4 e Var[W ] = 40. (a) Suponha que E[W ] = θ e E[T ] = θ + 3. Qual estimador é preferível? Por quê? (b) Suponha que E[W ] = θ e E[T ] = θ + a, para algum número positivo a. Para cada valor de a, qual estimador é preferível? Por quê? 4. No experimento realizado por Michelson em 1879 para determinar a velocidade da luz (µ), a média amostral (aqui representada por T ) de um grande número de repetições foi utilizada como estimador. Os dados coletados resultaram na estimativa t = ,4km/s. Suponha que o desvio-padrão do estimador vale σ T = 100km/s. (a) Mostre que, a partir da desigualdade de Chebyshev, é possível obter: P [ T θ < 3σ T ] 8 9 (b) Com base no resultado do item (a), qual o intervalo de confiança obtido para a velocidade da luz e o nível de confiança associado? (c) Qual a interpretação deste intervalo de confiança? (d) Por que este IC pode ser considerado conservador? (e) Suponha que 40 IC 95% serão construídos. Quantos destes podemos esperar que não contenham a média populacional? Seria surpreendente se 10 deles não contivessem a média populacional? Utilize argumentos probabilísticos. 5. Considere a a.a. X 1, X 2,..., X n i.i.d. N(0,1). Sejam as estatísticas U n = g(x 1, X 2,..., X n ) e V n = h(x 1, X 2,..., X n ), tais que P [U n < µ < V n ] = 0,95, µ. Suponha que para uma determinada a.a., o IC 95% correspondente seja (u n, v n ) = ( 2, 5). (a) Suponha que θ = 3µ+7. Seja Ũn = 3U n +7 e Ṽn = 3V n +7. Mostre que P [Ũn < µ < Ṽn] = 0,95. (b) Escreva o IC 95% para θ em termos de u n e v n. (c) Seja θ = 1 µ. Determine Ũn e Ṽn, bem como o IC correspondente para θ. (d) Seja θ = µ 2. É possível construir um IC para θ? Justifique. 6. Um determinado IC 95% para o valor esperado de uma certa distribuição contém o número 0. (a) O IC 98% é construído com base na mesma amostra. Este novo intervalo conterá o número 0? (b) Uma nova amostra de mesmo tamanho é coletada e um novo IC 95% é construído para o valor esperado desconhecido. Este novo intervalo conterá o número 0? 7. Seja Z 1, Z 2,..., Z n i.i.d. N(0,1). Definamos X i = µ + σz i, para i = 1, 2,..., n e σ > 0. Sejam X e Z as médias amostrais e S X e S Z os devios-padrão amostrais para as v.a. s X i e Z i, respectivamente. (a) Mostre que X 1, X 2,..., X n é uma a.a. de uma população N(µ, σ 2 ). (b) Escreva X e S X em termos de Z, S Z, µ e σ. X µ Z S Z / n (c) Mostre que S X / n = e explique por que este resultado mostra que a distribuição da média padronizada não depende de µ e σ. 2

3 8. Considere um intervalo de confiança (1 α)100% para a média de uma distribuição normal com variância conhecida σ 2, baseado em uma amostra aleatória contendo n observações. Explique como a largura do intervalo se altera quando: (a) n aumenta, mantendo-se σ 2 e α constantes; (b) σ 2 aumenta, mantendo-se n e α constantes; (c) α diminui, mantendo-se n e σ 2 constantes. 9. Mostre que MSE[ Θ] = V ar[ Θ] + (E[ Θ] θ) Seja S 2 = n i=1 (X i X) 2 /n. (a) Mostre que E[S 2 ] = [(n 1)/n]σ 2 e, portanto S 2 é um estimador viesado de σ 2 ; (b) Qual o viés de S 2? (c) Mostre que o viés de S 2 tende a zero conforme n ; (d) Compare as variâncias dos estimadores S 2 e S 2 e determine qual deles é mais eficiente; Nota: A variância de uma v.a. χ 2 ν vale 2ν. (e) Compare os estimadores em termos de MSE a fim de determinar qual deles é mais eficiente. Nota: Analise MSE[S 2 ]/MSE[S 2 ]. 11. Explique o significado das afirmações abaixo: (a) Y é uma estatística. (b) A estatística Y é um estimador não-viesado de θ. (c) Nas condições do item (b), suponha que Y tenha variância kθ 2. Calcule o erro médio quadrático de cy e determine o valor da constante c que tornam MSE[cY ] mínimo. (d) Se S 2 é um estimador não-viesado da variância σ 2 de uma certa distribuição, explique por que S não necessariamente também é um estimador não-viesado do desvio-padrão σ, correspondente. 12. Seja X uma v.a. binomial. Mostre que: (a) P = X/n é um estimador não-tendencioso de p; (b) P = (X + n/2)/(n + n) é um estimador viesado de p; (c) Mostre que o estimador P se torna não tendencioso quando n. 13. (a) Sejam X 1 e X 2 os números de sucessos em dois experimentos binomiais independentes, com n 1 e n 2 tentativas e com mesma probabilidade de sucesso p em cada tentativa. Mostre que ˆp, dado abaixo, é um estimador não-viesado para p. ˆp = ˆp 1 + ˆp 2 ; ˆp i = X i, i = 1,2. 2 n i (b) Determine as condições para a razão n 1 /n 2 para as quais V ar[ˆp] < V ar[ˆp 1 ] e V ar[ˆp] < V ar[ˆp 2 ]. (c) Mostre que, se n 1 n 2, então existe um estimador não-viesado de p da forma p = wˆp 1 + (1 w)ˆp 2, com 0 < w < 1, cuja variância é menor que a de ˆp. 14. Uma companhia produz lâmpadas cuja vida útil é aproximadamente normalmente distribuída com desvio-padrão 40h. Uma a.a. de 30 lâmpadas foi observada e resultou em vida útil média de 780h. 3

4 (a) Construa um IC 96% para a vida média populacional de todas as lâmpadas produzidas pela companhia; (b) Qual deve ser o tamanho da a.a. se desejarmos 96% de certeza de que a média amostral diste no máximo 10h da média real? 15. Uma a.a. de 100 motoristas em SJC mostrou que estes percorrem, em média, km por ano com desvio padrão de 3.900km. Considere distribuição normal. (a) Construa um IC 99% para a distância média percorrida por ano em SJC; (b) O que se pode dizer com 99% de confiança sobre o erro cometido ao estimar a distância média percorrida por ano em SJC como sendo km? 16. Estudos mostram que o consumo regular de refrigerantes contribui para a ocorrência de cáries, doenças coronarianas e outras doenças degenerativas. A quantidade de açúcar foi medida em uma a.a. de 20 porções de refrigerante, resultando em uma média de 11,3g e desvio-padrão de 2,45g. Considere a população normalmente distribuída. (a) Construa um IC 95% para a quantidade de açúcar em um porção de refrigerante; (b) Construa um IC 95% para σ Tanques de aço inoxidável são comumente utilizados em plantas de produção de químicos para armazenar fluidos corrosivos. Estes aços são especialmente suceptíveis a ruptura por fadiga corrosiva em certas condições. Em uma a.a. de 295 falhas em aço que ocorreram em refinarias de petróleo no Japão, 118 foram causadas por fadiga corrosiva. Construa um IC 95% para a proporção verdadeira de falha por fadiga corrosiva nas ligas de aço. 18. Um novo sistema lançador de foguetes está sendo considerado para uso no lançamento de foguetes de baixo alcance. O sistema atual possui probabilidade p = 0,8 de lançamento bem-sucedido. Em uma amostra de 40 lançamentos experimentais com o novo sistema, 34 foram realizados com sucesso. (a) Construa um IC 95% para p; (b) É possível concluir que o novo sistema é melhor que o atual? 19. Um certo fornecedor produz tapetes emborrachados para automóveis. Por questões de segurança, o material utilizado para a confecção dos tapetes deve ter certas características de dureza e tapetes defeituosos devem ser descartados. O fabricante afirma que a proporção de tapetes defeituosos é de 0,05. Um experimento foi conduzido com o intuito de avaliar a afirmação do fabricante. Sendo assim, 400 tapetes foram testados e 17 foram considerados defeituosos. (a) Construa um IC 95% bicaudal para a proporção de tapetes defeituosos; (b) Calcule um IC 95% unicaudal apropriado para a proporção de tapetes defeituosos; (c) Como podem ser interpretados os IC s dos itens acima? O que se pode dizer a respeito da afirmação do fabricante? 20. Sejam X 1 e X 2 as médias de duas amostras de tamanhos n 1 e n 2, cujas populações são N(µ 1, σ1) 2 e N(µ 2, σ2), 2 independentes. Se σ1 2 e σ2 2 são conhecidas, mostre que um IC 100(1 α)% para µ 1 µ 2 é dado por P ( X 1 X 2 ) z α/2 σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 < µ 1 µ 2 < ( X 1 X 2 ) + z α/2 σ σ2 2 = 1 α. n 1 n Um estudo foi realizado a fim de investigar se um determinado tratamento superficial exerce algum 4

5 efeito na quantidade de metal removido de peças mergulhadas em um banho químico. Para tanto, uma a.a. de 100 peças não-tratadas foi mergulhada em um banho por 24h, resultando em uma média de 12,2mm de metal removido, com desvio padrão amostral de 1,1mm. Uma segunda amostra de 200 peças tratadas foi submetida ao mesmo banho por um período de 24h, resultando em uma média de 9,1mm de metal removido, com desvio padrão amostral de 0,9mm. (a) Construa o IC 98% para a diferença entre as médias populacionais. (b) Podemos concluir que o tratamento parece reduzir a quantidade de metal removido? Por quê? 22. Agências de fomento conferiram bolsas para que 9 grupos de pesquisa investiguem a capacidade produtiva de duas novas variedades de soja. Cada variedade foi plantada pelos grupos em lotes de mesma área. A produção resultante (em kg/lote) é dada na tabela a seguir: Grupo de Pesquisa Variedade Construa um IC 95% para a diferença das médias de produção entre as duas variedades de soja, assumindo que as diferenças sejam aproximadamente normalmente distribuídas. É necessário utilizar emparelhamento? Por quê? 23. Um estudo clínico foi conduzido para investigar se um determinado tipo de vacina tem efeito na incidência de uma certa doença. Uma amostra de 1000 ratos foi mantida em ambiente controlado por um período de 1 ano e a 500 deles foi administrada a vacina. No grupo que não recebeu o tratamento, houve 120 casos de manifestação da doença. Do grupo que recebeu o tratamento, 98 ratos contraíram a doença. Sejam p 1 a probabilidade de incidência da doença nos ratos sem tratamento e p 2, a probabilidade de contrair a doença após a vacinação. (a) Construa um IC 90% para p 1 p 2. (b) Podemos concluir que a vacina afeta a incidência da doença? 24. Um arquiteto considera duas marcas de tinta para uso em um projeto. 15 latas de cada tipo de tinta foram selecionadas de maneira aleatória e independente e o tempo de secagem (em horas) foi observado para cada espécime: Tinta A AAAAAAAA Tinta B 3,5 2,7 3,9 4,2 3,6 4,7 3,9 4,5 5,5 4,0 2,7 3,3 5,2 4,2 2,9 5,3 4,3 6,0 5,2 3,7 4,4 5,2 4,0 4,1 3,4 5,5 6,2 5,1 5,4 4,8 Considere que o tempo de secagem das tintas seja normalmente distribuído, com σ A = σ B. (a) Construa um IC 95% para µ B µ A. (b) O que se pode dizer sobre os tempos de secagem das duas tintas? (c) Construa um IC 95% comparando as duas variâncias. (d) A hipótese da igualdade das variâncias poderia, de fato, ter sido utilizada? 25. Um fabricante de um certo aparelho eletrodoméstico mantem linhas de produção para este aparelho em duas plantas. Ambas as plantas possuem os mesmos fornecedores de componentes. O fabricante pode economizar se comprar um determinado componente para os aparelhos produzidos na planta B de um fornecedor local. Um único lote foi comprado do fornecedor local e foi submetido a testes a fim de determinar se estes componentes têm mesma acurácia que os componentes do fornecedor atual. 5

6 Os componentes foram ajustados para o nível 550 e medidas foram tomadas com um instrumento com precisão 0,1. Os dados obtidos encontram-se nas tabelas abaixo: (a) Construa um IC 95% para σ 2 1/σ 2 2. (b) Construa um IC 95% para σ 1 /σ 2. Fornecedor Local 530,3 559,3 549,4 544,0 551,7 566,3 549,9 556,9 536,7 558,8 538,8 543,3 559,1 555,0 538,6 551,1 565,4 554,9 550,0 554,9 554,7 536,1 569,1 Fornecedor Atual 559,7 534,7 554,8 545,0 544,6 538,0 550,7 563,1 551,1 553,8 538,8 564,6 554,5 553,0 538,4 548,3 552,9 535,1 555,0 544,8 558,4 548,7 560,3 (c) Existe diferença significativa na qualidade do componente do fornecedor local? 6