7 As limitações da calculadora gráfica e os manuais escolares do Ensino Secundário

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1 175 7 As limitações da calculadora gráfica e os manuais escolares do Ensino Secundário 7.1 Introdução O programa actual de Matemática A do Ensino Secundário ([15]), que entrou em vigor no 10º ano de escolaridade no ano lectivo 2003/2004, tal como o programa que o antecedeu, alerta os professores para as limitações da calculadora gráfica, como já foi referido no capítulo 2. As publicações lançadas pelo Ministério da Educação através do Departamento do Ensino Secundário, a partir do ano lectivo de 1997/1998 ([64], [65] e [66]), chamam igualmente a atenção dos professores para o facto da tecnologia ter limitações (mesmo com a entrada do novo programa, estas publicações permanecem actuais). Na brochura de Funções do 10º ano ([64] pp , 30 34) encontram-se diversos exemplos (alguns deles estudados no capítulo 5 deste trabalho) em que os gráficos das funções, realizados numa calculadora gráfica, sugerem conclusões erradas. É na brochura de Funções do 11º ano ([65] pp , 32, 33, 48 53) que se encontra um estudo mais pormenorizado das calculadoras gráficas no que diz respeito a alguns aspectos do seu funcionamento (nomeadamente o

2 176 sistema numérico de ponto flutuante que tem incorporado), às suas limitações no estudo dos limites de funções (uma vez que o programa oficial sugere uma abordagem numérica com base na utilização da calculadora) e no cálculo de derivadas. Finalmente na brochura de Funções do 12º ano ([66] pp ) os professores são alertados para os limites da calculadora gráfica no cálculo de valores aproximados para o número de Neper, através do limite da sucessão de termo geral ( 1+ 1 ) n (este caso foi analisado na secção 6.1) n 29. Apesar da preocupação demonstrada, quer no programa oficial, quer nas publicações anteriores, em alertar para os limites do uso da calculadora gráfica, de um modo geral, este cuidado não se encontra claramente presente nos manuais escolares analisados. De facto, dos exemplos apresentados ao longo deste trabalho para ilustrar as limitações da calculadora gráfica no estudo de diversos conceitos matemáticos, poucos são aqueles que se encontram incluídos nos manuais escolares. No entanto, em todos os manuais analisados, de uma forma mais ou menos explícita, é referido o cuidado que se deve ter na utilização das calculadoras, sobretudo no que diz respeito à representação de gráficos. De um modo geral, os manuais analisados incluem poucos dos exemplos apresentados nas três brochuras. Vejamos em seguida como são abordados nos manuais do Ensino Secundário, os exemplos apresentados nos capítulos anteriores e outros susceptíveis de levar os alunos a resultados erróneos. Foram analisados quatro manuais do 10.º ano do tema Funções ([6], [28], [36] e [46]), quatro do 11.º ano dos temas Funções e Sucessões, ([7], [8], [29], [37], [38], [47] e [48]) e três do 12º ano do tema Funções ([35], [41] e [45]). 29 Este exemplo surge nesta publicação uma vez que não chegou a ser publicada uma brochura sobre as Sucessões (tema incluído no 11º ano de escolaridade).

3 Sucessões ( 1 ) n O programa oficial prevê o estudo intuitivo da sucessão de termo geral 1+ num contexto de modelação matemática, devendo o número de Neper n ser definido como o limite desta sucessão. Para determinar um valor aproximado para este limite, deverá ser utilizada a calculadora gráfica. O manual da Porto Editora ([48] p. 95), apresenta a definição do número de Neper e refere que: com uma calculadora gráfica podemos procurar valores aproximados do limite da sucessão de termo geral a ( 1+ 1 ) n n =. No n entanto, tal procura não é efectuada, apresentando somente o gráfico da sucessão, e uma aproximação de e para n = 25, isto é, a , que possui somente um algarismo correcto! Este compêndio não segue a indicação metodológica do programa oficial e, por conseguinte, não alerta para as limitações no uso da calculadora gráfica. Os manuais da Contraponto ([8] pp ), da Texto Editora ([29] pp ) e da Areal Editores ([38] pp ), introduzem a sucessão de termo geral ( 1+ 1 ) n num contexto de modelação matemática: a capitalização n contínua dos juros (num dos manuais é mesmo referido que o número de Neper é conhecido nos círculos financeiros por constante bancária). Em [38] é obtida para 5 n = , uma aproximação para o número de Neper com 5 algarismos correctos (juro capitalizado de minuto a minuto) e em [8] e [29] obtém-se para 7 n = uma aproximação para o valor de e com 6 algarismos correctos (juro contabilizado segundo a segundo). Não existem, em qualquer um dos manuais, referências para as limitações da calculadora gráfica na abordagem do limite desta sucessão.

4 Funções Este tema é estudado ao longo de todo o Ensino Secundário e prevê a utilização da calculadora como um instrumento de pesquisa. São diversos os subtemas em que o uso da calculadora é imprescindível Funções polinomiais e racionais No 10º ano, o estudo de algumas funções polinomiais de grau superior a dois, só poderá ser efectuado com o recurso à utilização da calculadora gráfica 30. Sempre que não se possuem os valores exactos dos pontos notáveis, todos os manuais analisados cometem incorrecções. Vejamos o seguinte exercício ([29] p. 13) 31 : Recorrendo à calculadora faz uma representação gráfica da função definida em R por 4 3 ( x) = 0.5x + 2x 2x + 5 f. Assinala as coordenadas dos pontos de intersecção com os eixos e os extremos relativos (com 1 c.d.). Regista num quadro a variação de sinal de f e, num outro, os intervalos de monotonia e extremos. Uma vez que os zeros desta função não podem ser obtidos exactamente, o quadro de variação de sinal e o dos intervalos de monotonia e extremos não podem ser apresentados correctamente, mas somente com valores aproximados (ver exemplo da secção 6.5). No manual não existe qualquer referência a esta limitação. Pelo contrário no exemplo apresentado em [7], p. 29, é efectuado o estudo em R da função racional ( x) 4x 2 + 8x + 88 f =. x Só no 12.º ano será possível efectuar o estudo analítico completo de funções. 31 Em [46] (pp. 107, 157 e 161) surgem igualmente alguns exercícios propostos, que apresentam inexactidões no conjunto solução de inequações, intervalos de monotonia e contradomínio.

5 179 O cálculo dos extremos da função só pode ser efectuado, no 11º ano, com o auxílio da calculadora (figura 7.1). Fig. 7.1 Cálculo dos extremos de f na Texas TI - 83 Como não foram obtidos valores exactos, o manual apresenta de uma forma correcta: o contradomínio: CD = ] M ] [ m, + [ f, r r os intervalos de monotonia: crescente em ], [ e em ] [ decrescente ] x, 1 M [ e em ] 1, x m [. x M x m,+ e Não há qualquer referência no manual para o facto de não se apresentar os intervalos com valores aproximados. Este mesmo problema surge na resolução de inequações de grau superior a dois e sempre que não se possuem os valores exactos do(s) extremo(s) do(s) intervalo(s) do conjunto - solução. Em [28], p. 95, adoptam um procedimento análogo ao utilizado em [7]. No entanto os autores do manual entram em contradição ao apresentar nas soluções para os exercícios propostos, conjuntos soluções com valores aproximados para os extremos (pp. 94 e 118, por exemplo). Em [36], pp , é apresentada a resolução da inequação x + 36 > 30 x, com x [ 0,6], recorrendo à representação gráfica e a uma tabela. Os valores de x que satisfazem esta condição pertencem ao intervalo [ 0,3 6[ ] 3 + 6,6]. No entanto, neste manual é apresentado o conjunto solução = [ 0, α[ ] β,6] S, sendo α 0, 55 e β 5, 45. Como ,4494, o conjunto S contém valores de x que não satisfazem a inequação dada.

6 Gráficos De um modo geral, todos os manuais analisados alertam para a importância da escolha de uma janela de visualização adequada à observação do comportamento global de uma função. Referem igualmente que por vezes torna-se necessário considerar várias janelas de visualização para captar as características mais importantes de uma função ([6] pp ). Vejamos um exemplo ([6] pp ): (...) a representação da função y = x 3 10x 2 + 8x 1 pode levantar algumas dúvidas, conforme a janela de visualização escolhida. Por exemplo: Fig. 7.2 Gráfico da função obtido na Texas TI - 83 Modificando a janela verifica-se que a função tem três zeros. Fig. 7.3 Gráficos obtidos na Texas TI - 83 Neste caso apenas podemos dar valores aproximados das soluções da equação: x 0,154. x 0, 709. x 9, 136. Não é referido no entanto que não é possível visualizar simultaneamente os três zeros e o mínimo relativo da função.

7 181 É claro que sempre que o domínio da função seja um conjunto ilimitado devemos procurar uma representação que evidencie as principais características da função, já que é impossível obter todo o seu gráfico ([6] p. 37). Em muitos casos os manuais limitam-se a apresentar a janela de visualização não explicando como obtê-la. Outros manuais referem que o aluno poderá escolher a janela de visualização consultando uma tabela (na máquina) que lhe dê uma ideia do valor das imagens para objectos por ele escolhidos. Em [46] (pp ) são apresentados alguns exemplos e propostos exercícios que têm como objectivo o aluno escolher um rectângulo de visualização adequado a cada função. Apesar da escolha da janela de visualização estar intimamente relacionada com a função que se está a estudar, o aluno deverá desde o princípio experimentar diversas janelas, adquirindo dessa forma uma certa sensibilidade para a escolha mais correcta. Em [29], p. 14, na representação gráfica de uma função definida por ramos, é aconselhado o uso da opção Draw Type Plot (nas máquinas Casio) no sentido de se evitar os riscos verticais que surgem no modo Connect (exemplo análogo surge em [28] p. 66). Não há qualquer chamada de atenção para a distinção entre as duas opções disponibilizadas pela calculadora, assim como para o facto de surgirem os denominados riscos verticais 32. Como foi referido no capítulo cinco, a utilização do modo Plot ou Connect, poderá levar ao aparecimento de segmentos de recta verticais. Por exemplo, em [7], p. 21, surge a representação gráfica da função ( x) aluno alertado para o facto da linha recta não fazer parte do gráfico da função nem ser a representação da assimptota. Contudo, não é apresentada qualquer justificação para a sua existência. O mesmo acontece em [37], p. 36 e [47], p x 5 f = (figura 7.4), sendo o 2 x 6 Fig Gráfico da função obtido na Texas TI Dos manuais analisados, em nenhum aparece uma distinção clara entre estas duas opções e quais as suas consequências.

8 182 No manual do 10.º ano ([46] p. 18), é apresentado o gráfico da função racional ( x) 1 f = onde surgem duas rectas verticais, não havendo x 2 1 qualquer referência para esse facto. Note-se ainda que as funções racionais fazem parte do programa do 11.º ano e não do 10º ano. Como já foi referido, aquando da apresentação do gráfico de uma função na calculadora, o aluno deverá ser capaz de encontrar o rectângulo de visualização que melhor ilustre o comportamento da função na identificação das suas características. Assim actividades como as que surgem em [29], p. 17 (actividade 2) e p. 36 (actividade 5), deverão ser propostas apenas numa primeira fase. Posteriormente o aluno, de acordo com os conhecimentos que possui da função, deverá escolher sempre o rectângulo de visualização mais apropriado. A constante indicação da janela de visualização por parte do manual ao aluno, poderá levar a que este, perante uma nova função, não saiba como proceder. Actividade 2 Obtém com a calculadora representações gráficas das funções f, g e h nas janelas de visualização indicadas. Depois explica, para cada função, qual das representações achas mais eficaz na identificação: do domínio de existência da função; das imagens de número muito, muito grandes ou muito, muito pequenos; das imagens de números muito próximos de 1. 5 = x º f ( x) em [ 6,6] [ 4,4] ; [ 10,10] [ 10,10] (...) ; [ 50,50] [ 5,5] [ 10,10] [ 50,50]

9 183 Depois da resolução da actividade anterior, o manual chama a atenção para o facto de que as dificuldades na compreensão do comportamento das funções, através da observação dos gráficos, prendem-se com a identificação das imagens de números muito grandes ou muito pequenos, bem como a identificação das imagens de valores muito próximos de números que não pertencem ao domínio das funções. Actividade 5 Recorrendo à calculadora obtém (...) os gráficos das funções f, g, h e j nas janelas indicadas 33 : f ( x) e g( x) = em [ 6,6] [ 4,4] x = x 2 1 x ( x) = em [ 5,5] [ 1,5] h 2 2x x ; (...) senx x j ( x) = em [ 25,25] [ 1,1 ] Aquando da realização desta actividade o manual adverte o aluno para os erros que a máquina poderá apresentar, devendo manter a todo o momento uma postura crítica ao utilizares a calculadora para obter o gráfico de uma função tens que ser crítico em relação ao que a máquina te apresenta. Não te deixes enganar! Tem em atenção, por exemplo, o que deves saber acerca do domínio de existência da função. O manual XEQMAT do 10º ano ([28] pp ) é aquele que apresenta, em relação aos outros manuais analisados, um estudo mais pormenorizado das limitações das calculadoras gráficas na representação gráfica de funções. O manual citado apresenta alguns dos exemplos que foram abordados no 33 As funções h e j não fazem parte do programa do 11.º ano mas sim do 12.º.

10 184 capítulo cinco (exemplos 1, 3, 4, 5 e 6), não apresentando porém qualquer justificação. Refere este manual que, As calculadoras ou os computadores podem constituir uma ferramenta de grande utilidade no estudo das funções, nomeadamente pelas potencialidades gráficas que oferecem. Há, no entanto, necessidade de um constante apoio de conhecimentos teóricos (...). Vamos analisar alguns exemplos de situações enganosas que podem surgir e, progressivamente, irás adquirindo armas com que te poderás defender e, consequentemente, tirar o máximo partido das tecnologias que tens ao teu dispor. Após a apresentação dos vários exemplos, o mesmo manual refere que a intenção dos exemplos não é desencorajar o aluno na utilização da calculadora gráfica, mas sim alertá-lo para a necessidade de possuir conhecimentos teóricos que facilitem a interpretação dos gráficos apresentados pela calculadora e permitam efectuar boas escolhas para os rectângulos de visualização. De acordo com [36] a calculadora deve ser encarada pelo estudante como uma ferramenta que, tal como outras, deve estar sempre presente no seu trabalho. Assim, ao longo de todo este manual encontram-se diversos exemplos resolvidos com o auxílio da máquina gráfica, alertando o aluno para os cuidados que deverá ter na sua utilização (ver por exemplo pp ). Neste sentido, este manual (pp ) indica como calcular várias imagens com a calculadora e como obter um quadro de valores, representações gráficas e uma janela apropriada: O aluno deve estar sensibilizado para a grande importância da escolha e definição da janela na resolução de problemas. Está em causa uma interpretação correcta do domínio da variável independente e dos valores do contradomínio. Exige muitas vezes uma previsão sustentada pela manipulação da TABLE, para uma definição dos valores de X max, Y min e X min, Y max que sejam adequados ao problema. (...) À medida que os estudantes progredirem para o 11.º e 12.º anos, onde

11 185 conhecerão novas famílias de funções, eles compreenderão a importância de saberem escolher sem perda de tempo as dimensões da janela, na sua calculadora. E esta capacidade só pode ser adquirida se conhecerem muito bem esta sua nova ferramenta de trabalho, se a usarem muitas vezes para descobrir, estudar e verificar resultados e se dominarem bem as suas limitações. Refere este manual a propósito da representação gráfica na calculadora (pp. 31, 39, 96 e 141): Consideremos a representação gráfica da função f : R R. 2 x ax Consoante as escalas escolhidas, o gráfico anterior pode modificar o seu aspecto. Da mesma forma, quando representamos funções recorrendo às calculadoras gráficas, poderemos obter representações bem diferentes, consoante as dimensões do rectângulo de visualização escolhido. Por outro lado, muitas funções há, que não permitem ter uma visão completa do seu gráfico, por mais próximos ou mais afastados que estejam os valores de X min e X max ou Y min e Y max. Se os valores estiverem muito próximos, grande parte do gráfico não é visualizado, podendo não estar representados aspectos importantes do gráfico; por outro lado, se estão muito afastados, alguns comportamentos vão esconder-se para além da curva que aparece no rectângulo de visualização. (...) A menos que se trate de representações gráficas de funções conhecidas, só após o estudo (...) da importante ferramenta matemática que é a derivada, e que é um importante complemento à utilização crítica da calculadora, é que poderemos ter a certeza se determinada representação gráfica de uma função está completa ou não. (...) A resolução algébrica (com recurso ao material de escrita tradicional) pode agora ser facilitada ou confirmada, mas nem sempre substituída, pelo método numérico ou pelo método gráfico.

12 186 (...) Algumas vezes, com papel e lápis, confirmaremos analiticamente os resultados que obtivemos com a calculadora; outras vezes, optaremos pela resolução algébrica e verificaremos a correcção dos cálculos efectuados recorrendo à calculadora gráfica (...). Muitas vezes, ao pedirmos à calculadora o gráfico, quando ela toma valores muito grandes (ou muito pequenos), as suas características ficam escondidas, isto é, a parte que se vê no visor não nos dá algumas características importantes da curva. (...) Um gráfico completo é o que não esconde qualquer característica importante do comportamento da função. (...) (...) O gráfico de uma função polinomial dir-se-á completo, se nele forem visíveis as principais características da função, ou seja: O comportamento inicial e o comportamento final da função (crescendo ou decrescendo) quando x é muito grande, quer seja positivo ou negativo. Intervalos em que a função cresce ou decresce. Localização dos extremos. Intervalos em que a função tem a concavidade voltada para cima ou para baixo. Localização dos zeros. Teremos de ter sempre presente que só nos é acessível a parte do gráfico que se situe dentro do rectângulo de visualização Igualdade de funções A utilização da calculadora gráfica no estudo da igualdade de duas funções poderá levar a conclusões erradas se apenas se utilizar o gráfico. Como é referido em [29], p. 41, as diferenças entre alguns pares de funções são tão pouco evidentes no gráfico que podem perfeitamente passar despercebidas se não tiveres conhecimentos teóricos adequados.

13 187 São apresentados neste manual, entre outras, as funções f ( x) = 2 x + x x e ( x) =x + 1 g, que diferem no ponto de abcissa = 0 ( x) =x 1 g que diferem no ponto de abcissa x = 1. x e ( x) 2 x 1 f = e x + 1 Como já foi mencionado na secção 5.3 (exemplo 4), o gráfico da função 2 x 9 y = só poderá assinalar o ponto aberto se x = 3 for um dos x 3 disponíveis, o que depende obviamente da janela de visualização escolhida e não da calculadora utilizada. Porém, em [37], p. 48, chama-se atenção para o seguinte, x i Note que a maioria das calculadoras gráficas apresentam a seguinte representação gráfica da função 2 x 9 y = : x 3 Fig. 7.5 Gráfico obtido na Texas TI 83 com a janela Standard Quando a representação correcta seria: Fig. 7.6 Gráfico obtido na Texas TI 83 na janela [ 4.7;4.7] [ 2,7] É claro que esta chamada de atenção não está correcta.

14 Resolução de inequações fraccionárias O programa do 11º ano prevê o estudo de inequações fraccionárias no contexto de resolução de problemas, podendo a sua resolução ser gráfica ou analítica. Em [29], p. 65, surge no contexto de um problema a inequação x x + 1 x em R \ { 12}, a qual é resolvida analiticamente, uma vez que segundo o manual não é fácil de obter, simultaneamente, boas representações gráficas de x y = e x +12 y = x +1. No entanto, não é apresentada qualquer 20 justificação para este facto, cabendo ao aluno essa tarefa. Parece-nos que esta era uma oportunidade a ser explorada para dar a entender ao aluno qual é a limitação da máquina Limites Conforme já foi mencionado ao longo deste trabalho, o estudo do limite de algumas funções deverá ser realizado, com o apoio da calculadora gráfica, através da observação de tabelas e gráficos. Por vezes os manuais não seguem esta recomendação do programa oficial (é o caso, por exemplo, de [47]). Por outro lado, os manuais da Areal Editores ([35] e [37]) estudam todos os limites de forma intuitiva seguindo as orientações do programa oficial. Vejamos, por exemplo, o caso da função ( ) x qual se pretende determinar lim f ( x) e f ( x) x + f x = 2 ([35] pp. 20 e 21), para a lim. x Para isso são apresentadas as seguintes tabelas 34 : x f ( x) E E E60 Tabela 7.1 Estudo da função f quando x + 34 É igualmente apresentado o gráfico da função.

15 189 x f ( x) E E E E E-91 Tabela 7.2 Estudo da função f quando x Perante valores de x relativamente pequenos em valor absoluto, os alunos poderiam questionar a utilização de valores de x muito maiores. Como resposta a esta questão são colocadas ao aluno duas propostas de trabalho, onde eles poderão ter conhecimento das limitações da calculadora no cálculo destes limites: 1.ª Recorra à sua calculadora e verifique se é possível determinar f ( 330), f ( 335), f ( 340) e f ( 380). Explique porquê. 2.º Averigúe se algum dos valores seguintes pode ser nulo: f ( 330), f ( 335), f ( 340) e f ( 370) confirma a resposta dada e explique porquê.. Verifique se a sua calculadora Em [35], p. 60, surge uma actividade muito semelhante ao exemplo apresentado na secção 6.2, onde se chama atenção para o facto de uma tabela poder levar a conclusões erradas acerca do limite da função: Actividade 5 Recorrendo à tecla TABLE de uma calculadora, obtiveram-se as seguintes tabelas de valores de uma certa função Y 1. Fig. 7.7 Tabelas obtidas na Texas TI 83 Q1) Com base nos elementos fornecidos, conjecture, se for possível, o valor para que tende Y 1, quando x tende para +.

16 190 Q2) A representação gráfica de 1 Y em [ 1,31] [ 25,25] é Fig. 7.8 Gráfico obtido na Texas TI 83 Recorrendo ao gráfico e aos valores apresentados nas tabelas comente a afirmação: Quando x tende para +, Y 1 tende para Derivadas Como foi referido no capítulo seis, as calculadoras gráficas possuem diversas potencialidades no que diz respeito ao cálculo de derivadas. Os diversos manuais estudados, apresentam as funcionalidades das calculadoras relativas ao estudo das funções ([29] pp. 96 e 97; [37] pp. 96, 97 e 102; [47] p ). De acordo com o que foi referido na secção 6.7.2, na Texas TI 83, para calcular a derivada da função num ponto é necessário indicar um valor para ε, quando este valor não é indicado a máquina assume ε = Em [29] refere que quanto menor for o valor de ε, melhor será a aproximação. Já vimos que tal não é verdade. Em [37] são apresentados de forma detalhada, os procedimentos a adoptar nas calculadoras Texas TI 83 e Casio CFX 9850, para calcular uma aproximação numérica do valor da derivada de uma função num ponto do seu domínio. Este manual chama a atenção para dois aspectos importantes no cálculo de derivadas utilizando a calculadora (pp ) 35 : 35 Em [47] surge um estudo semelhante, mas somente na Texas TI 83.

17 191 nderiv utiliza para valor da derivada num ponto de abcissa x o valor da taxa média de variação no intervalo [ x h, x + h] fórmula utilizada pelo comando nderiv é tomando tmv h [ x h, x+ ] = f ( x + h) f ( x h) f ( x + h) f ( x h), x + h x + h = 2h. Isto é, a 3 10 para valor da amplitude h do intervalo (se nada for dito em contrário). Claro que, quanto mais próximo de zero estiver o valor de h, melhor é aproximação ao valor da derivada. (...) É, no entanto, importante referir que, fazendo diminuir o valor de h, a aproximação da derivada, na calculadora, só melhora até certo ponto. É importante referir, no entanto, que, devido à fórmula que aplica, a instrução nderiv pode fornecer um valor errado. É o que acontece, por exemplo, se recorremos à calculadora para determinarmos o valor da derivada da função ( x) x f = no ponto x = 0. No que diz respeito à derivada das funções módulo, em [29] o aluno é aconselhado a verificar que sendo ( x) = x ( 2) f a calculadora apresenta o valor ZERO para f '. Esse resultado está ERRADO (...) não existe derivada da função no ponto x = 2. Todavia, não é apresentada qualquer justificação para este facto. 2 3 Em [47], p. 140, é apresentada a função ( ) f x = 1 x. Como já vimos na secção 5.3 (exemplo 8), o gráfico apresentado pelas máquinas Texas TI 83 e Casio CFX 9850 é diferente. Por outro lado, na Texas TI 83 esta função admite derivada para x = 0, o que não corresponde à verdade (ver figura 7.9). Porém, esta situação nem sequer é referida no manual, limitando-se a apresentar o gráfico da função obtido na Texas TI 83.

18 192 Fig. 7.9 Gráfico de f obtido na Texas TI Conclusão Os manuais escolares são somente um dos recursos que os alunos e os professores dispõem no ensino-aprendizagem da Matemática, mas a verdade é que tal recurso constitui em muitos casos um instrumento de trabalho de intensa e privilegiada utilização. Os professores como profissionais, deverão assumir constantemente uma atitude crítica e construtiva em relação aos manuais escolares. Esta atitude deverá, na medida do possível, ser transmitida aos alunos. Como sabemos, o manual escolar adoptado, no actual sistema de ensino, cumpre um papel importante como elemento de estudo dos alunos, que são obrigados a adquiri-lo, podendo usá-lo em qualquer momento, em casa ou na escola. Porém, ele constitui muitas vezes a principal (e em certos casos, mesmo a única) fonte de orientação do professor. Tirando um ou outro caso pontual, a qualidade científica e pedagógica dos manuais, assim como o respeito pelos programas e a sua adequação ao trabalho dos alunos não têm sido analisados por comissões independentes, tornando-se públicas as conclusões e recomendações respectivas. Um estudo conduzido durante alguns anos por uma comissão liderada por E.M. Sá (na parte respeitante à disciplina de Matemática) alerta para a qualidade deficiente que apresentam, regra geral, este importante instrumento de trabalho religiosamente seguido por muitos professores ([77]).

19 193 A grelha de análise proposta pelo Ministério da Educação mostra-se insuficiente, tanto sob o ponto de vista pedagógico como científico, sendo particularmente difícil prever os aspectos mais salientes relativos ao seu uso pelos alunos (ver anexo E). Deste modo os grupos disciplinares sentem com frequência grandes dificuldades na selecção dos manuais a adoptar, tanto mais que esta é feita num intervalo de tempo curto para a análise profunda de diversas opções que o mercado coloca à consideração. Por exemplo, para o próximo ano lectivo (2005/2006), é necessário escolher três novos manuais, dois deles de disciplinas novas: Matemática B do 11º ano, Matemática Aplicada às Ciências Sociais (11º ano) e Matemática A do 12º ano. Esta decisão tem de ser tomada num intervalo de tempo (23 de Maio a 24 de Junho) que, além de reduzido, coincide com a avaliação final dos alunos e o início dos exames do 9º e 12º anos. Acresce ainda o facto de que as Editoras nem sempre conseguem ter atempadamente os seus manuais disponíveis. Apesar da sua importância, os manuais escolares não têm sido objecto de muitas investigações em educação matemática. Deste modo, não se sabe dizer com rigor quais são as características mais desejáveis num manual para os alunos de cada nível etário, nem quais os modos mais eficazes de apoiar os professores na sua selecção e utilização. Alguns dos manuais escolares analisados não têm claramente uma abordagem didáctica compatível com as orientações curriculares oficiais. De um modo geral, eles não apresentam explicitamente exemplos que ilustrem as limitações da calculadora gráfica, apresentando as respectivas justificações. Todavia, alguns dos manuais que foram publicados a partir do ano lectivo 2003/2004, para o novo programa de Matemática A, já demonstram mais cuidado, no estudo de funções através da calculadora gráfica, chamando a atenção para algumas das limitações (estas relacionam-se sobretudo com a janela de visualização). No entanto, este aspecto não deverá ter sido considerado pelos professores aquando da escolha do manual nas suas escolas.

20 194 É claro que a compreensão completa das limitações das calculadoras gráficas não está ao alcance da maioria dos alunos do Ensino Secundário. Porém, e de acordo com o que é referido no programa oficial, é importante que os alunos tenham conhecimento e entendam que a máquina gráfica tem limitações, devendo para isso o manual ilustrar através de exemplos estes aspectos, apresentado breves explicações. O professor, por seu lado, deverá ter perfeito conhecimento das limitações subjacentes ao uso da calculadora gráfica, estando à vontade para esclarecer todas as dúvidas que os alunos poderão colocar e todas as surpresas que as calculadoras gráficas lhes reservem.