Programação Dinâmica Determinística versus Estocástica em um Problema de Planejamento da Operação de Sistemas Hidrotérmicos

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1 Septeber 24-28, 2012 Prograação Dinâica Deterinística versus Estocástica e u Problea de Planejaento da Operação de Sisteas Hidrotéricos Danilo A. da Silva 1, Luiz H. B. Bertolucci 1, Marinho G. Andrade 1, Eduardo F. Costa 1, Secundino Soares 2 1 Departaento de Mateática Aplicada e Estatística ICMC/USP - Capus de São Carlos Caixa Postal 668, São Carlos-SP, Brasil 2 Departaento de Engenharia de Sisteas - FEEC/UNICAMP Caixa Postal 6101, Capinas-SP, Brasil Eails: RESUMO Alguas abordagens para o problea de Planejaento Ótio da Operação de Sisteas Hidrotéricos POOSH utiliza odelos estocásticos para representar as vazões afluentes dos reservatórios do sistea. Estas abordagens utiliza e geral técnicas de Prograação Dinâica Estocástica PDE para resolver o POOSH. Por outro lado, uitos trabalhos tê defendido o uso dos odelos deterinísticos ou, particularente, a Prograação Dinâica Deterinística PDD por representar de fora individualizada as usinas hidroelétricas do sistea. Neste contexto, este trabalho te por objetivo coparar o desepenho da solução do POOSH obtida via PDD co a solução obtida pela PDE, que eprega u odelo Markoviano periódico, co distribuição condicional log-noral truncada para representar as vazões. As coparações fora feitas siulando a operação das usinas hidroelétricas de Furnas e Sobradinho, considerando ua séries de vazões geradas artificialente. PALAVRAS CHAVE: Planejaento Ótio da Operação de Sisteas Hidrotéricos, Prograação Dinâica Estocástica, Prograação Dinâica Deterinística. ABSTRACT The proble of Optial Operation Planning of Hydrotheral Systes OOPHS is soeties solved by eploying stochastic odels to represent the inflows in the reservoirs that copose the syste. These approaches tipically use the Stochastic Dynaic Prograing SDP to solve the OOPHS. On the other hand, any authors propose the use of deterinistic odels and, particularly, the Deterinistic Dynaic Prograing DDP as it individually represents the interaction between the hydroelectric plants. In this context, this paper ais to copare the perforance of the solution for the OOPHS obtained via DDP with the one given by SDP. The SDP eploys a Markovian odel with conditional truncated log-noral distribution to represent the inflow. We have copared the perforances of the DDP and SDP solutions by siulating the hydroelectric plants of Furnas and Sobradinho, eploying artificially generated series. KEYWORDS: Operation Planning of Hydrotheral Systes, Stochastic Dynaic Prograing, Deterinistic Dynaic Prograing. 1232

2 Septeber 24-28, Introdução O problea do planejaento da operação de u conjunto de usinas hidroelétricas visa estabelecer regras para deterinar a turbinage de cada reservatório de acordo co o volue de água presente no sistea e co os valores observados para as vazões afluentes. Esta é ua tarefa de alta coplexidade, ua vez que envolve inúeras restrições, relacionadas à capacidade de arazenaento e turbinage dos reservatórios; dependência de variáveis estocásticas, considerando principalente a aleatoriedade das vazões afluentes; e utilização de equações não lineares, coo, por exeplo, para o cálculo da potência gerada pelas usinas. Para a otiização do problea, pode-se adotar diversas funções objetivo, tais coo, iniização da perda de energia potencial arazenada, axiização da energia total produzida, iniização da quantidade de água vertida, dentre outros Wurbs 1996, Yeh Poré, neste trabalho foi considerada ua função objetivo relacionada co a iniização dos custos de produção de energia e u sistea hidrotérico Pereira 1985, Soares & Carneiro 1991, ou seja, constituído de usinas hidroelétricas e teroelétricas. A produção de energia hidroelétrica, alé de enos poluente, apresenta u custo uitas vezes enor que a teroelétrica, ua vez que a prieira utiliza-se da energia potencial gravitacional da água e u reservatório para geração de energia elétrica, enquanto ua usina teroelétrica utiliza-se de cobustíveis coo carvão, óleo, gás ou cobustíveis nucleares. Assi, ua boa estratégia é utilizar prioritariaente hidroelétricas, enquanto teroelétricas deve cuprir u papel de copleentação para garantir o atendiento à deanda energética. No Brasil, a criação do Sistea Interligado Nacional SIN facilitou o intercâbio de energia elétrica entre as regiões geográficas brasileiras, favorecendo a ipleentação desta estratégia, couente denoinada iniização da energia copleentar Barros, Tsai, Yang, Lopes & Yeh Co isto, este problea passa a ser denoinado coo planejaento da operação de u sistea hidrotérico, cuja solução consiste e definir regras para a turbinage de u sistea de usinas hidroelétricas que proova o enor custo de copleentação energética por teroelétricas. Os odelos ateáticos utilizados para representar o Planejaento Ótio da Operação de Sisteas Hidrotéricos POOSH tê coo ua de suas principais características a odelage da natureza estocástica das vazões que chega aos reservatórios. E vista disto, uitos trabalhos tê utilizado técnicas de Prograação Dinâica Estocástica PDE para resolver o POOSH. No entanto, e todos estes trabalhos, co o intuito de contornar o problea de diensionalidade da PDE, esta técnica é epregada considerando-se u odelo agregado das usinas hidroelétricas, ou seja, as usinas hidroelétricas que copõe o sistea não são representadas de fora individualizada, o que acarreta u certo grau de subotialidade na solução do problea. Por outro lado, ao abrir ão da representação estocástica das vazões epregando-se a Prograação Dinâica Deterinística PDD, é possível tratar de fora ais coerente a interação individualizada entre as usinas hidroelétricas do sistea. Assi, a PDD por u lado diinui a subotialidade introduzida pelo odelo agregado de usinas da PDE, as por outro introduz a perda de otialidade ao não considerar a estocasticidade das vazões afluentes. Neste contexto, torna-se iprescindível fazer ua coparação entre estas duas técnicas para avaliar a subotialidade provocada pela representação deterinística das vazões. Considerando o exposto, neste trabalho te-se por objetivo fazer coparações entre as soluções da PDE e a PDD para o problea de POOSH, considerando u sistea coposto por ua usina hidroelétrica e ua teroelétrica, e u cenário co deanda de potência conhecida. É iportante apresentar os custos relativos à PDE pois, desconsiderando a necessária discretização das variáveis, a solução dada por esta técnica e u sistea co ua 1233

3 Septeber 24-28, 2012 única usina pode ser considerada coo ótia para o problea Ouarda & Labadie Na PDE, o odelo proposto para as vazões afluentes ao reservatório, é u processo de Markov periódico odelo periódico autorregressivo, PAR1 co distribuição condicional log-noral truncada. Para avaliar o grau de subotialidade da solução obtida via PDD e relação à PDE, são feitas siulações da operação do sistea considerando séries de vazões geradas artificialente co o odelo PAR1. Nos estudos realizados neste trabalho fora considerados dados reais das usinas hidroelétricas de Furnas e Sobradinho. 2 Modelage do Problea Na forulação deste problea é considerado a discretização ensal co horizonte de planejaento T e as seguintes variáveis: x t : volue de água h 3 arazenado no reservatório, t = 0,..., T. E geral, estes volues deve atender às restrições físicas da capacidade de arazenaento do reservatório, tal que, x in x t x ax. y t : vazão afluente 3 /s ao reservatório, t = 0,..., T 1. Esta vazão é de natureza aleatória e odelada coo u processo de Markov co função densidade de probabilidade condicional, f y t y t 1, definida para todo t = 0,..., T 1 co y 1 conhecido. u t : vazão turbinada 3 /s, t = 0,..., T 1. A vazão u t é a variável de decisão do problea de POOSH e, e geral, deve atender às restrições físicas da turbina, ou seja, u in u t u ax. v t : vazão vertida 3 /s, t = 0,..., T 1. O vertiento ocorre para anter o volue do reservatório abaixo do volue áxio de operação, ou seja, x t x ax. E geral, as vazões vertidas deve atender as restrições físicas do vertedouro, tal que 0 v t v ax. q t : vazão defluente 3 /s, t = 0,..., T 1. A vazão q t corresponde a soa das vazões turbinadas u t e vertida v t, ou seja, q t = u t + v t. Estas variáveis define a equação dinâica do reservatório, tabé chaada de equação de balanço hídrico, dada para t = 0,..., T 1, por x t+1 = x t + α y t q t, 1 e que α é ua constante que converte unidades de vazão 3 /s e unidades de volue h 3. Coo é visto abaixo, u fator iportante a ser considerado no cálculo da potência hidroelétrica gerada, é a altura de queda bruta, pois é co o uso desta que se obté a capacidade de produção da usina hidroelétrica. Esta variável é definida coo a diferença entre os níveis de água do reservatório cota de ontante e do canal de fuga cota jusante. A cota de ontante é ua função do volue arazenado no reservatório x t. Costuase utilizar polinôios para representar esta função. A obtenção desses polinôios é feita a partir de estudos topográficos da região alagada pela construção da barrage. Neste trabalho denota-se o polinôio de cota de ontante por h 1 x t. Assi coo a cota de ontante do reservatório, a cota do canal de fuga tabé é representada por u polinôio. 1234

4 Septeber 24-28, 2012 O polinôio de cota do canal de fuga depende da defluência q t e será representado por h 2 q t. Desta fora, a altura de queda bruta da usina pode ser calculada coo h x t, q t = h 1 x t h 2 q t. 2 A função de geração da usina hidroelétrica, denotada por H t x t, u t, v t, representa a quantidade de energia gerada pela hidroelétrica e MW-ês e cada ês t = 0,..., T 1, e função do volue de água arazenado no reservatório, da vazão turbinada e da vazão vertida. Após alguas siplificações, esta função é representada por H t x t, u t, v t = ρh x t, q t u t, 3 e que ρ representa a produtividade específica da usina, que corresponde ao produto da aceleração da gravidade pela densidade da água e pelo rendiento édio do conjunto turbina-gerador, neste trabalho considerada constante. Denota-se por D t a deanda de energia elétrica e MW-ês a ser atendida pelo sistea a cada ês t = 0,..., T 1 e denota-se por G t a geração térica copleentar, necessária para o atendiento da deanda D t, tal que G t = D t H t x t, u t, v t. Associada a estas variáveis define-se ua função, que representa o custo da geração térica e u horizonte T, dada por T 1 J u = {D t H t x t, u t, v t } 2 + Ψ x T, 4 t=0 e que Ψ x T representa o custo terinal, co x T = x ax. Co isso, te-se a forulação do POOSH coo u problea de otiização estocástico, considerando x 0 e y 1 conhecidos e as equações 1-4, para t = 0,..., T 1. A odelage desse problea é dada por } sujeito a: V 0 x 0, y 1 = Min E u 0,...,u T 1 { T 1 [D t H t x t, u t, v t ] 2 + Ψ x T t=0 x t+1 = x t + α y t q t, 5 H t x t, u t, v t = ρh x t, q t u t, 6 x in x t x ax, 7 u in u t u ax, 8 v t = ax 0, x t + αy t u t x ax, 9 q t = u t + v t, 10 0 v t v ax, 11 e que o valor esperado e 5 é calculado co relação as densidades de probabilidade condicional das vazões f y t y t 1 para t = 0,..., T 1. 3 Prograação Dinâica Basicaente, a proposta da Prograação Dinâica é fragentar o problea original e sub-probleas cujas soluções pode ser obtidas ais facilente. Para detalhes sobre o étodo e discussão sobre diferentes foras de ipleentação da prograação dinâica 1235

5 Septeber 24-28, 2012 no gerenciaento de reservatórios, consulte Nandalal & Bogardi 2007, e, para excelente revisão sobre o tea, consulte Yakowitz Para resolver o problea 5-11 usando o algorito da PDE, é necessário obter a equação de Bellan, ou seja, calcular a função recursiva definida por } V t x t, y t 1 = Min E {[D t H t x t, u t, v t ] 2 + V t+1 x t+1, y t x t, y t 1 u t sujeito as restrições 5-11, para t = 0,..., T 1, co V T x T, y T 1 = Ψ x T. A forulação do problea de PDE exige a deterinação de u odelo estocástico para a série de vazões, que consiste na escolha e ajuste das funções densidade de probabilidade condicional fy t y t 1 para t = 0,..., T 1. Para obter o controlador da PDD, eprega-se a esa forulação que a PDE, no entanto, adite-se que a vazão y t seja conhecida, de odo que é possível supriir o valor esperado da equação acia. 3.1 Modelo de Vazão Para desenvolver o odelo de vazões LN-Truncada, alguas considerações deve ser feitas. Dado que y t é a vazão do ês corrente, te-se: i y t y in, y ax ; ii Seja z t Ò, então z t = ln yt y in y ax iii z t Nµ z, σ z2, yt ; onde t = tr, = sr 1 +, s = 12, = 1,..., 12 e r = 1, 2,..., n, na qual r refere-se aos anos e n o núero de anos a ser considerado. Alé disso, é razoável supor que z t e as observações anteriores, z t 1, z t 2,..., esteja relacionadas por u odelo periódico autorregressivo de orde p, no entanto, a utilização desse odelo terá forte ipacto na distribuição condicional utilizada na PDE, tornando o problea intratável quanto ao tepo coputacional, este fenôeno é conhecido coo aldição da diensionalidade Bertsekas Sendo assi, é necessário utilizar-se de u odelo de baixa orde, nesse caso, será adotado u odelo periódico autorregressivo de orde p = 1, PAR1, dado por z t µ z σ z = φ z t 1 µ z σ z + a t, onde a t são ruídos independentes identicaente distribuídos i.i.d. co distribuição noral N0, σ a2 e φ u polinôio do prieiro grau, descrito coo: φ A = 1 φ A, co φ < 1, para cada. A partir do odelo PAR1, te-se que: z a t = t µ z z t 1 µ z φ σ z. σ z então σ z a t = z t µ z { σ z2 Ea 2 t = E z t µ z σ φ z z σ z t 1 µ z, } σ φ z z σ z t 1 µ z 2, 1236

6 Septeber 24-28, 2012 portanto e Mostra-se, facilente, que µ z = µz Para o odelo PAR1, te-se: Portanto, e 13, te-se: σ z2 = σz2 σ a2 Substituindo 14 e 12, te-se: σ a2 σ z2 = σz2 σ a2 σ z + φ σ z z t 1 µ z 12 Ea 2 t = σ z2 σ a2. 13 = 1 φ ρ z 1,. 14 ρ z 1, = φ. = 1 ρ z2 1,. 15 = σ z2 1 ρ z2 1,. 16 Coo z t Nµ z, σ z2, a densidade de probabilidade condicional fz t z t 1 é dada por: { 1 fz t z t 1 = z exp 1 z 2πσ 2σ z2 t µ z }, 2 epregando as equações 11 e 15, te-se: { 1 fz t z t 1 = 2πσ z 1 ρ z2 1, 1/2 exp 1 2σ z2, pode-se obter a densidade de probabili- Co isso, usando a relação z t = ln yt y in y ax dade condicional fy t y t 1 da seguinte fora: exp { 1 2σ z2 yt 1 fy t y t 1 = [ ln yt y in y ax y t µ z ρ z 2πσ z 1, σz σ z [ z t µ z ρ z 1, σz σ z z t 1 µ z ] 2 }. 1 ρ z2 1, ln 1/2 yt 1 y in y ax y t 1 µ ] } z 2 Zz t, y t, onde o tero Zz t, y t refere-se ao jacobiano da transforação e é dado por: Zz t, y t = dzt y dy t = ax yin y t y in y ax y. t Portanto, te-se a densidade de probabilidade condicional fy t y t 1, dada por: exp { 1 2σ z2 fy t y t 1 = z 2πσ 1 ρ z2 1, [ ln yt y in y ax y t µ z ρ z y ax y in 1/2yt y in y ax y t 1, σz σ z ln yt 1 y in y ax y t 1 µ ] } z 2. Note que para cada valor de afluência no ês anterior y t 1, te-se ua função distribuição de probabilidade no ês atual fy t /y t 1 diferente. Considerar estas funções densidade de probabilidade variando e função de y t 1 na PDE deve reproduzir adequadaente a estocasticidade das vazões. 1237

7 Septeber 24-28, Métodos e Casos de Estudos Para cuprir o objetivo deste trabalho, eprega-se a Usina Hidroelétrica de Furnas, localizada no curso édio do rio Grande, no trecho denoinado Corredeiras das Furnas, entre os unicípios de São José da Barra e São João Batista do Glória, e Minas Gerais; e a Usina Hidroelétrica de Sobradinho, localizada no unicípio de Sobradinho, Bahia, no curso édio do rio São Francisco. Os parâetros necessário para construir o odelo destes reservatório fora obtidos diretaente do sítio eletrônico da Câara de Coercialização de Energia Elétrica CCEE. Para avaliar o odelo estocástico utilizado na solução do problea POOSH, foi coparado, via siulação, o uso das tabelas de decisão obtidas co a PDE e PDD. Para odelar as vazões, fora utilizadas as séries históricas obtidas do sitio eletrônico do Operador Nacional do Sistea Elétrico ONS que se estende de Janeiro de 1931 a Dezebro de Nos experientos, considera-se as vazões ínias e áxias do histórico coo liitantes para truncar a função densidade de probabilidade do odelo de vazões. Co isto, foi estiado os 12 odelos Log-noral trucados PAR1 e gerou-se ua série sintética de 4000 anos. Cabe destacar que foi epregado este eso odelo coo distribuição condicional para as vazões no cálculo da PDE. E seguida, foi considerado a prieira etade da série coo u pseudo-histórico de vazões e epregou-se sua édia coo o odelo de vazões para PDD. Vale ressaltar aqui que não fora constatadas diferenças significativas entre as édias obtidas dos históricos de vazõese e as do pseudo-histórico. Após, utilizou-se da segunda etade da série, co 2000 anos de vazões, para coparar os odelos deterinístico e estocástico, ou seja, o desepenho da PDE e relação à PDD. Para o cálculo dos controladores via PDD e PDE, epregou-se u horizonte de tepo de 45 eses, suficientes para a convergência das tabelas da Prograação Dinâica. É interessante ressaltar que estes resultados estão de acordo co, por exeplo, Archibald, McKinnon & Thoas 1997, e que os autores obtivera convergência da Prograação Dinâica após 30 eses. Para obter estes controladores, utilizou-se ainda 100 pontos para discretizar a variável de estado x t e 50 pontos para discretizar a variável de controle u t. Especificaente para a PDE, utilizou-se 50 pontos para discretizar a variável de vazão no periodo anterior y t 1 e, para o cálculo do valor esperado, 100 pontos para discretizar a variável de vazão no periodo atual y t. E nosso prieiro caso de estudos, foi considerado que a deanda de energia a ser atendida pela usina de Furnas é de D t = 2100 MW-ês, para t = 0,..., T 1, já para o sistea hidrotérico de Sobradinho epregou-se D t = 1650 MW-ês. É iportante encionar ainda que foi considerado coo nulo o liite inferior para a turbinage, ou seja, u in = 0. Esta odificação do problea real se faz necessária para que a solução da PDE seja ótia para todo o espaço aostral das vazões. 5 Resultados e Discussões Os resultados da siulação obtidos co as duas técnicas são apresentados nas Figuras 1 a 3. Na Figura 1 são apresentadas as trajetórias do volue édio dos dois reservatórios. Nota-se que para o reservatório de Furnas, a PDE apresenta ua operação co níveis de reservatório ais baixo do que a PDD. Coo consequência a PDD apresenta ais vertiento do que a PDE, coo pode ser observado pela Figura 2. Ua situação parcialente oposta pode ser observada para o Reservatório de Sobradinho. Neste caso, a PDE apresenta ua trajetória édia do volue acia da PDD na aior parte do tepo. Poré, esta situação não leva esta técnica a verter ais que a PDD, coo pode-se notar na Figura 2, o vertiento édio entre abas é seelhante. 1238

8 Septeber 24-28, 2012 Figura 1: Trajetórias édias de volue para a Furnas e b Sobradinho, obtidas co as técnicas PDD e PDE. Esta figura tabé ilustra as trajetórias édias de turbinage obtidas co as duas técnicas. Destaca-se que, apesar da operação feita co o uso da PDD resultar e ais vertiento, isto não afeta de fora significativa o rediento das usinas, coo pode ser observado pelas trajetórias de geração hidroelétrica e copleentação térica da Figura 3. Figura 2: Trajetórias édias das turbinagens curvas acia e vertientos curvas abaixo para a Furnas e b Sobradinho, obtidas co as técnicas PDD e PDE. 1239

9 Septeber 24-28, 2012 Figura 3: Geração hidroelétrica édia curvas acia e copleentação térica édia curvas abaixo para as usinas de a Furnas e b Sobradinho, obtidas co as técnicas PDD e PDE. Na Tabela 1 é apresentado os valores totais de geração e custo de operação para os dois reservatórios considerados. Analisando estes resultados, constata-se que a PDE apresenta ua vantage de aproxiadaente 1, 5% e relação a PDD no tocante aos custos, e de 0, 7% e 0, 4%, respectivaente para Furnas e Sobradinho, e teros de geração hidroelétrica. Tabela 1: Resultados para a operação de Furnas e Sobradinho GH = Geração Hidráulica Média; GT = Geração Térica Média. Furnas PDD PDE PDD/PDE GH MW-ês 754, , , 9930 GT MW-ês 1345, , , 0039 Custo Milhões 1, , , 0142 Sobradinho PDD PDE PDD/PDE GH MW-ês 663, , , 9957 GT MW-ês 986, , , 0029 Custo Milhões 1, , , 0157 Ua análise seelhante foi feita para os períodos de aior escassez hídrica, que é denoinado períodos críticos, identificados na série de vazões epregada nas siulações. Para o reservatório de Furnas fora identificados 8 períodos críticos que tivera e édia ua janela de aproxiadaente 39 eses, para Sobradinho fora obtidos 12 períodos críticos co extensão de aproxiadaente 22 eses. Nestes períodos, e édia, a PDE anté ua arge significativa de ganho e relação à PDD, coo pode-se observar na Tabela 2, co destaque para o custo no reservatório de Sobradinho e que a PDD obteve u valor de 2.6% aior que a PDE. A análise dos resultados apresentados nesta seção revela que a vantage da PDE e frente a PDD é e torno de 1, 5% e teros de custo e que ua arge positiva de ganho se ante nos períodos críticos. Devido ao grande porte do sistea de energia elétrica brasileiro, esta vantage pode representar u ganho significativo na operação do sistea. 1240

10 Septeber 24-28, 2012 Tabela 2: Resultados para o período crítico de Furnas e Sobradinho GH = Geração Hidráulica Média; GT = Geração Térica Média. Furnas PDD PDE PDD/PDE GH MW-ês 457, , , 9855 GT MW-ês 1644, , , 0031 Custo Milhões 2, , , 0062 Sobradinho PDD PDE PDD/PDE GH MW-ês 363, , , 9554 GT MW-ês 1291, , , 0133 Custo Milhões 1, , , Conclusões Neste trabalho foi coparado o desepenho da solução do POOSH obtida via PDD co a solução obtida pela PDE, que eprega u odelo Markoviano periódico, co distribuição condicional log-noral truncada para representar as vazões. Co isto, fora apresentados resultados no sentido de avaliar o ganho obtido co a utilização de u odelo estocástico na forulação do problea de POOSH. A partir dos resultados obtidos foi observado que a PDE pode apresentar ua vantage significativa e relação à PDD, co ua diferença de custo édio e torno de 1, 5% nos casos de estudo avaliados hidroelétricas de Furnas e Sobradinho. Considerando ainda a vantage apresentada pela PDE tabé nos períodos críticos e o grande porte do sistea de energia elétrica brasileiro, conclui-se que o ganho obtido co a utilização de u odelo estocástico no POOSH pode ser significativo na operação do sistea. 7 Agradecientos Os autores agradece à CAPES Processo / e FAPESP Processos 2010/ e 2011/ pelo apoio financeiro concedido. Referências Archibald, T., McKinnon, K. & Thoas, L An aggregate stochastic dynaic prograing odel of ultireservoir systes, Water Resources Research 332: Barros, M. T. L., Tsai, F. T.-C., Yang, S., Lopes, J. E. G. & Yeh, W. W.-G Optiization of large-scale hydropower syste operations, Journal of Water Resources Planning and Manageent 1293: Bertsekas, D. P Dynaic Prograing and Optial Control, Vol. 1, 2 edn. Nandalal, K. D. W. & Bogardi, J. J Dynaic prograing based operation of reservoirs: applicability and liits, Cabridge University Press. Ouarda, T. & Labadie, J Chance-constrained optial control for ultireservoir syste optiization and risk analysis, Stochastic Environental Research and Risk Assessent 153:

11 Septeber 24-28, 2012 Pereira, M Optial Scheduling of Hydrotheral Systes - An Overview, IFAC - Syposiu on Planning and Operation of Electric Energy Syste pp Soares, S. & Carneiro, A Optial Operation of Reservoirs for Electric Generation, Power Delivery, IEEE Transactions on 63: Wurbs, R Modeling and Analysis of Reservoir Syste Operations, Prentice- Hall. Yakowitz, S Dynaic-Prograing Applications in Water-Resources, Water Resources Research 184: Yeh, W. W. G Reservoir Manageent and Operations Models: A State-ofthe-Art Review, Water Resources Research 2112:

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