INSTITUTO SUPERIOR DE AGRONOMIA. Departamento de Matemática. Exercícios de Apoio às Aulas Práticas da disciplina. Estatística

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1 INSTITUTO SUPERIOR DE AGRONOMIA Departamento de Matemática Exercícios de Apoio às Aulas Práticas da disciplina Estatística (com algumas soluções) 2005/2006 0

2 EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1. Numa turma há 6 raparigas e 12 rapazes. Quantas maneiras diferentes existem de formar uma comissão de 6 pessoas que tenha no máximo duas raparigas e que, entrando uma rapariga ela seja a mais nova da turma. 2. De um baralho com 40 cartas tiram-se, com reposição, 6 cartas. Qual a probabilidade de que saiam exactamente três figuras? 3. Num saco estão sete bolas numeradas de 1 a 7. Retira-se uma bola do saco dez vezes, com reposição. Qual a probabilidade do acontecimento A bola com o número 5 não sai mais de duas vezes? 4. O Vitor dispõe de um saco com 10 bolas pretas e quer introduzir certo número de bolas brancas de tal forma que, ao tirar uma bola, a probabilidade de ela ser branca seja maior do que 0.1. Quantas bolas brancas se deve introduzir na urna? 5. Colocaram-se três pares de sapatos diferentes só na cor, dentro de uma caixa. A Sara tem os olhos vendados e vai retirar dois sapatos da caixa. Qual a probabilidade de tirar um par? 6. O José está indeciso quanto à compra de três discos. Resolveu fazer o seguinte: para cada um atira uma moeda ao ar e se sair face compra o disco. Determine a probabilidade de: (a) não comprar nenhum; (b) comprar pelo menos um; (c) comprar pelo menos dois. 7. O João tem 20 pares de meias e o José tem 16. Se escolhermos ao acaso um par de meias de cada um, a probabilidade de ambas serem brancas é Se o João tem 10 pares de meias brancas quantas meias brancas tem o José? 8. Fez-se uma aposta simples no totoloto (selecção de 6 números em 49). Determine a probabilidade de: (a) acertar nos seis números; (b) acertar em cinco números; (c) acertar em três números. 9. Cinco amigos vão dar um passeio num automóvel de 5 lugares. Sabendo que só três deles podem conduzir, qual o número de formas diferentes que eles têm de ocupar os lugares durante o passeio. 1

3 10. Os medicamentos em ensaio num determinado laboratório são identificados por códigos que obedecem às seguintes regras: têm 5 letras seguidas de 2 algarismos; começam por vogal; não podem ter duas vogais nem duas consoantes seguidas; o último algarismo é 0 ou 1. (a) Qual o número máximo de códigos diferentes. (b) Escolhendo um código ao acaso, calcule a probabilidade de que ele não tenha letras nem algarismos repetidos. (Nota: Considere 23 letras e 10 algarismos) 11. Para o jantar de encerramento de um torneio de ténis inscreveram-se 40 raparigas e 80 rapazes, que vão ser distribuidos por 20 mesas de seis lugares. Sabendo que em cada mesa ficarão 2 raparigas e 4 rapazes, (a) Determine de quantas formas distintas pode a organização constituir o grupo que ficará na mesma mesa que o rapaz e a rapariga vencedores do torneio. (b) De cada uma das vinte mesas vai escolher-se ao acaso um representante. Determine a probabilidade de que, nos 20 representantes, haja exactamente 5 raparigas. 12. Considere seis mil milhões de habitantes na Terra e suponha que cada um recebe um cartão de identificação com uma sequência de letras. Qual tem de ser o número mínimo de letras a usar em cada cartão, para garantir que as sequências são todas diferentes? Indique quando será necessário aumentar esse número mínimo de uma unidade. (Nota: Considere o alfabeto com 26 letras e que todas as sequências têm o mesmo número de letras.) 13. Um comerciante foi informado que tem 4 embalagens premiadas de entre as 20 que adquiriu de um certo produto, mas não sabe quais são. Dispondo as 20 embalagens em fila na montra por uma ordem qualquer, qual a probabilidade de que as embalagens premiadas fiquem todas juntas no início ou no fim da fila? 14. Dos ouvintes de uma estação radiofónica 37% ouvem o programa X, 53% ouvem o programa Y e 15% ouvem ambos os programas. Ao escolher aleatoriamente um ouvinte desta estação qual a probabilidade de que i) ouça apenas um dos referidos programas; ii) não ouça nenhum destes dois programas. 15. Foram oferecidos dez bilhetes para uma peça de teatro a uma turma com 12 rapazes e 8 raparigas. Ficou decidido que o grupo que vai ao teatro é formado por cinco raparigas e cinco rapazes. De quantas maneiras diferentes se pode formar este grupo? 2

4 16. Num grupo de 1000 alunos de uma escola verificou-se que 200 praticam natação, 250 praticam futebol e 700 não praticam nenhuma destas modalidades. Escolhendo ao acaso 20 destes alunos, qual é a probabilidade de que só 4 pratiquem pelo menos uma das modalidades. 17. Num aquário existem 5 peixes vermelhos, 3 dourados e 2 azuis. Retiram-se sucessivamente 3 peixes. (a) Qual a probabilidade de saírem 2 da mesma cor e um de cor diferente? (b) Qual a probabilidade de o terceiro peixe a ser retirado ser azul? 18. Lança-se quatro vezes consecutivas um dado com as faces numeradas de 1 a 6. No primeiro lançamento sai face 1 e no segundo sai face 2. Qual é a probabilidade de os números saídos nos 4 lançamentos serem todos diferentes. 19. A Joana tem na estante do seu quarto três livros de José Saramago, quatro de Sophia de Mello Breyner Andresen e cinco de Carl Sagan. Quando soube que ia passar as férias a casa da avó, decidiu escolher 6 desses livros, para ler nesse período. A Joana pretende levar dois livros de José Saramago, um de Sophia de Mello Breyner Andresen e três de Carl Sagan. (a) De quantas maneiras pode fazer a sua escolha? (b) Admita agora que a Joana já seleccionou os seis livros que irá ler em casa da avó. Supondo aleatória a sequência pela qual estes seis livros vão ser lidos, qual é a probabilidade de os dois livros de José Saramago serem lidos um a seguir ao outro? 20. Uma nova marca de gelados, oferece em cada gelado, um de três bonecos: rato Mickey, Peter Pan ou Astérix. Sete amigos vão comprar um gelado cada um. Supondo que os três bonecos têm igual probabilidade de sair, qual é a probabilidade de o Rato Mickey sair exactamente a dois dos sete amigos? 3

5 Soluções dos Exercícios de revisão 1. 5 C C C C 6 3 (3/10)3 (7/10) i=0 C 10 i (1/7) i (6/7) 10 i 4. Pelo menos 2 bolas. 5. 1/5 6. a) 1/8; b)7/8; c) 1/2 7. Tem a)1/(c6 49) b) C6 5 C C a) ; b) a)c 39 1 C 79 3 b) p n = i) 0.60 ii) C 12 5 C C4 300 C C a) 0.66; b) /3 19. a) 120; b) 1/ C 7 2 (1/3)2 (2/3) 5 ; c) C6 3 C43 3 C6 49 4

6 EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES 1. Lança-se um dado de seis faces, perfeito. Qual a probabilidade de o resultado ser: a) par; b) divisível por três; c) par ou divisível por três. 2. Lançam-se dois dados de seis faces, perfeitos. Qual a probabilidade de a soma dos resultados do lançamento ser: a) par; b) divisível por três; c) par ou divisível por três. 3. Considere o tempo de vida de uma lâmpada em centenas de horas. Seja Ω = {t : t > 0} o espaço de resultados associado à duração de vida da lâmpada. Considere os acontecimentos: A = {t : t > 15} B = {t : 2 < t < 10} C = {t : t < 12} Caracterize os seguintes acontecimentos: A B A C A B (A B) C A (B C) 4. Sejam A, B e C acontecimentos aleatórios tais que P(A) = P(B) = P(C) = 1 4, P(A B) = P(B C) = 0 e P(A C) = 1 8. Calcule a probabilidade de se verificar pelo menos um dos acontecimentos A, B ou C. 5. Sejam A e B dois acontecimentos aleatórios. Mostre que: a) P(A B) P(A) P(A B) P(A) + P(B); (Exame 17/7/90) P(A)[1 P(B A)] b) P(A B) =, supondo P(A) 0 e P(B) 1; 1 P(B) (Exame 10/7/91) c) P[(A B) (A B)] = P(A) + P(B) 2P(A B); (Exame 23/7/91) 5

7 d) P(B) = P(A)P(B A) P(A)P(B A) + P(B A), supondo 0 < P(A) < 1; (Exame 13/9/91) e) max{0, P(A) + P(B) 1} P(A B) min{p(a), P(B)} (desigualdade de Boole). 6. Sejam A e B dois acontecimentos aleatórios tais que P(A) = 0.4, P(B) = p e P(A B) = 0.7. Para que valores de p, os acontecimentos A e B: a) podem ser mutuamente exclusivos? b) são independentes? 7. Numa propriedade agrícola, sabe-se que 60%, 75% e 50% das árvores são de folha caduca, de fruto e de fruto com folha caduca, respectivamente. Calcule a probabilidade de uma árvore da propriedade, escolhida ao acaso: a) não ser árvore de fruto; b) ser árvore de fruto ou de folha caduca; c) ser árvore de fruto, sabendo que tem folha caduca. 8. Sejam A, B e C três acontecimentos aleatórios tais que P(A) = P(B) = p e P(C) = 0.5p. Sabendo que A e B são independentes, determine, em função de p, a probabilidade de pelo menos um dos três acontecimentos se realizar e indique os valores possíveis de p, quando: a) C é mutuamente exclusivo de A e de B; b) C é mutuamente exclusivo de A e independente de B; c) A, B e C são independentes. 9. As probabilidades de três corredores de velocidade percorrerem 100 metros em menos de 10 segundos são respectivamente: 1/3, 1/5 e 1/10. Considerando que os tempos dos três atletas são independentes, calcule a probabilidade de, uma corrida em que participam apenas os três atletas, ser ganha em menos de 10 segundos. 10. Sejam A, B e C três acontecimentos aleatórios, com probabilidade não nula, definidos num espaço de resultados Ω. Mostre que: (Exame de ) P(AC BC) = P(A BC) = P(AB C) P(B C). 6

8 11. Sejam A e B acontecimentos aleatórios. (a) Prove que se A e B são independentes, então: i. A e B são independentes; ii. A e B são independentes; iii. A e B são independentes. (b) Prove que se P(B) 0, então P(A B) = 1 P(A B). (c) Se P(B) {0, 1}, será verdade que P(A B) = 1 P(A B)? Justifique. 12. Considere três acontecimentos A, B e C tais que P(C) = 0.3, P(B C) = 0.4, P(B C) = 0.8, P(A (B C)) = P(A (B C)) = 0.2. a) Calcule P(C B). b) Calcule P [(B C) A]. c) Diga, justificando, se os três acontecimentos são ou não independentes. (Exame de ) 13. Considere um espaço de resultados formado por N acontecimentos elementares {a i } e por M acontecimentos elementares {b j }. Os elementos a i são equiprováveis, o mesmo acontecendo com os elementos b j. Por outro lado P[{b j }] = 2P[{a i }] i, j. Prove que um acontecimento E formado por n( N) elementos a i e por m( M) elementos b j tem probabilidade (Exame 17/9/92) P[E] = n + 2m N + 2M. 14. Um vendedor de bolbos prepara encomendas a partir de 3 lotes de bolbos que, por terem idades diferentes, não apresentam a mesma probabilidade de germinação. A probabilidade de germinação de um bolbo é de 0.80 se pertence ao lote A, de 0.85 se pertence ao lote B e de 0.90 se pertence ao lote C. a) i) Qual a probabilidade de germinação de um bolbo retirado ao acaso de um lote escolhido ao acaso? ii) Retirou-se um bolbo ao acaso de um lote escolhido ao acaso e verificouse que não germinava. Qual a probabilidade de o bolbo ter sido retirado do lote C? b) Se uma encomenda for constituída por um bolbo (retirado ao acaso) de cada lote, qual a probabilidade de pelo menos dois bolbos germinarem, admitindo a independência de germinação entre os bolbos retirados de lotes diferentes? 7

9 15. Um teste é constituído por uma pergunta com n respostas alternativas. O aluno ou sabe a resposta ou responde ao acaso. Seja p a probabilidade de o aluno saber a resposta. Admita que as probabilidades de o aluno responder correctamente à pergunta se souber a resposta e de o aluno responder correctamente à pergunta se responder ao acaso são 1 e 1/n, respectivamente. a) Verifique que a probabilidade de um aluno não ter respondido ao acaso se np respondeu correctamente é 1 + (n 1)p. b) Supondo n = 5 e p = 0.2, calcule a probabilidade de um aluno não responder correctamente à pergunta. 16. Três amigos A, B e C almoçam juntos. Só um deles pagará a despesa total de acordo com o seguinte jogo: A lança uma moeda de 1 Euro suposta equilibrada, se sair face euro paga a despesa; caso contrário B lança a moeda. Se sair face euro B paga; caso contrário B joga mais uma vez a moeda e conforme obtém face euro ou face país assim é ele ou C a pagar a despesa (sem que C chegue a fazer algum lançamento). (a) Calcule, para cada um, a probabilidade de pagar a despesa. (b) Determine a probabilidade de B pagar sabendo que A não pagou. (c) (*) Estes três amigos decidem fazer uma série consecutiva de almoços nos quais a despesa é paga sempre de acordo com o jogo descrito acima. Quantos almoços deverão combinar no máximo por forma a que a probabilidade de B não pagar mais de 5 almoços seja superior a 0.90? (Sugestão: se não resolveu a alínea (a) considere a probabilidade de B pagar o almoço igual a 0.4). ((*) A resolução desta alínea necessita de matéria leccionada mais tarde - distribuições.) (Exame de 21/7/92) 17. Considere quatro urnas U 1, U 2, U 3 e U 4. Suponha que em cada uma há bolas brancas e pretas, assim distribuídas: U 1 U 2 U 3 U 4 brancas pretas a) Calcule a probabilidade de, tendo sido escolhida uma urna ao acaso e nessa urna uma bola ao acaso: i) a bola escolhida ser branca, sabendo que foi escolhida a urna U 2 ; ii) a bola escolhida ser branca; iii) ter sido escolhida a urna U 2, sabendo que a bola escolhida foi branca. 8

10 b) Diga, justificando, se os acontecimentos escolher a urna U 2 e escolher bola branca são independentes. 18. As famílias de uma certa cidade escolhem uma das três alternativas para fazer férias: praia, campo ou ficar em casa. Durante a última década verificou-se que escolhiam aquelas alternativas, respectivamente, 50%, 30% e 20% das famílias da referida cidade. A probabilidade de descansar durante as férias está relacionada com a alternativa escolhida: 0.4, 0.6 e 0.5 conforme se tenha ido para a praia, para o campo ou ficado em casa. a) Qual a probabilidade de uma família daquela cidade descansar durante as férias? b) Sabendo que determinada família descansou durante as férias, qual a alternativa mais provável de ter sido escolhida por esta família? 19. Um determinado tipo de peças é produzido pelas fábricas F 1, F 2 e F 3. Durante um certo período de tempo, F 1 produziu o dobro das peças de F 2 enquanto F 2 e F 3 produziram o mesmo número de peças. Sabe-se ainda que 2%, 2% e 4% das peças produzidas por F 1, F 2 e F 3, respectivamente, são defeituosas. Todas as peças produzidas nesse período de tempo foram colocadas num depósito. a) Qual a percentagem de peças defeituosas provenientes a fábrica F 2? b) Qual a percentagem de peças defeituosas armazenadas? c) Foi encontrada uma peça defeituosa no depósito. Qual a origem(fábrica) menos provável dessa peça? (Adaptado do exame de 14/11/97) 20. Num dado país 10% da população sofre de uma determinada doença: 6% de forma grave e 4% de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efectuado um teste que dá resultado positivo: com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave; com probabilidade 0.75 para um indivíduo com doença na forma moderada; com probabilidade 0.05 para um indivíduo não doente. a) Efectuando um teste num indivíduo ao acaso, qual a probabilidade de o resultado ser positivo? b) Se, para um dado indivíduo, o resultado do teste foi positivo, qual a probabilidade de ele ter a doença? c) Será que existe independência entre ter a doença na forma moderada e na forma grave? Justifique. 9

11 21. Uma estação agrária levou a cabo um estudo para avaliar a precisão da previsão do estado do tempo para uma dada região. Com base num grande número de registos, fornecidos pelo Serviço de Meteorologia, obtiveram-se as seguintes conclusões: Probabilidade de, para um dia chuvoso, ter sido prevista chuva = 0.85; Probabilidade de, para um dia sem chuva, ter sido prevista chuva = 0.40; Probabilidade de um dia chuvoso = Calcule as seguintes probabilidades: a) Previsão de um dia sem chuva; b) Chover sabendo que a previsão foi chuva; c) Previsão correcta. (Exame de 23/7/91) 22. Um dado tipo de barómetro está preparado para prever chuva ou prever não chuva. Tem-se verificado que ele prevê não chuva em 10% dos dias chuvosos, chuva em 20% dos dias com sol e quando um dia não tem sol nem chuva ele prevê não chuva com probabilidade igual a Num país em que se tem verificado nos últimos anos que faz sol em cerca de 60% dos dias e faz chuva em 30% dos dias, responda às seguintes questões (considere que dia com sol, dia com chuva e dia sem sol e sem chuva constituem uma partição do espaço de resultados associado à classificação dos dias quanto ao estado do tempo):. a) Qual a probabilidade de o barómetro prever chuva? b) Qual a probabilidade de fazer sol num dia para o qual a previsão seja de chuva? c) Qual a probabilidade de o barómetro errar? (Exame de ) 23. Seja X uma variável aleatória discreta que toma valores em IN com a seguinte função probabilidade: P(X = j) = 1 2 j, j IN. Calcule: a) P(X par); b) P(X > 5); c) P(X divisível por 3). 24. Considere a variável aleatória discreta X que toma valores em IN 0 com a seguinte função probabilidade: P(X = j) = (1 a)a j, j IN 0, em que a é uma constante desconhecida, não nula. 10

12 a) Indique o(s) valor(es) possível(eis) para a. b) Mostre que, para quaisquer inteiros não negativos s e t, se verifica: P(X s + t X s) = P(X t). 25. Três bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém 4 bolas vermelhas e 6 bolas brancas. Seja X a variável aleatória que representa o total de bolas vermelhas retiradas. a) Construa a distribuição de probabilidades de X. b) Represente graficamente a distribuição obtida na alínea a). c) Determine a função distribuição cumulativa de X e represente-a graficamente. d) Calcule P(1 X 3). 26. Uma caixa contém 10 iogurtes, estando 4 estragados. Retiram-se 5 com reposição: a) Sendo X o número de iogurtes estragados determine a função massa de probabilidade de X. b) Determine a função distribuição cumulativa de X. Represente-a graficamente. c) Calcule P[1 X 3]. 27. Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de probabilidades: a) Calcule E(X) e V (X). x i P(X = x i ) b) Determine a função distribuição cumulativa de X. c) Calcule P(X 0 X < 2). d) Determine a distribuição de probabilidades da variável aleatória Y = X Seja X uma variável aleatória discreta que toma os valores x = 1, 2,..., n,...2n 1, n IN, com probabilidades p(x). Considere p(n + k) = p(n k), k IN. Mostre que: a) E(X) = n; b) Todos os momentos de ordem ímpar em torno do valor médio se anulam. 11

13 29. O número de televisores encomendados mensalmente em determinada loja é bem descrito por uma variável aleatória X com a seguinte função distribuição cumulativa: 0 se x < se 0 x < 1 F(x) = 0.3 se 1 x < se 2 x < 3 1 se x 3 a) Determine a função massa de probabilidade da variável aleatória X. b) Quantos televisores deve ter a loja em stock, por mês, para que a probabilidade de satisfazer todas as encomendas seja superior a 0.95? c) Se num dado mês a loja só tiver 2 televisores em stock, determine a distribuição de probabilidades da variável aleatória que representa a diferença, em valor absoluto, entre as encomendas e o stock. 30. O peso, em Kg, de um coelho com idade compreendida entre os 8 e os 14 meses é a variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade: f(x) = 0 se x 1 x 1 se 1 < x < k 3 x se k x < 3 0 se x 3, k ]1, 3[. a) Calcule k. b) Determine a função distribuição cumulativa de X. c) Qual a probabilidade de um coelho com idade compreendida entre os 8 e os 14 meses ter peso superior a 2 Kg. (Exame de 7/12/90) 31. Considere a variável aleatória contínua X com a seguinte função distribuição cumulativa: 0 se x < 0 F(x) = ax + b se 0 x < π 1 se x π. a) Determine a e b. b) Determine a função densidade de probabilidade de X. c) Calcule P(X < π X π ). 2 4 d) Calcule: d1) E(X) e V ar(x); 1 d2) E( X + 2 ). 12

14 32. Considere a função real de variável real assim definida: f(x) = ke x, k IR e x IR. a) Determine o valor de k de modo que seja função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X. b) Determine a função de distribuição cumulativa de X. c) Calcule P( X E(X) < 1). 33. Considere a função f θ (x) = { θ 2 xe θx para x > 0 0 para x 0, em que θ > 0. a) A função f θ (x) define uma função densidade de probabilidade? b) Determine a função de distribuição cumulativa associada a f θ (x). c) Seja X a v.a com função densidade f θ (x). Determine P(X 1). 34. Seja X uma v. a. contínua com a seguinte função distribuição cumulativa : F(x) = a) Determine o valor de k. b) Determine a função densidade de X. { k c 3 /x 3 para x c 0 para x < c, c > 0. c) Calcule o primeiro quartil da distribuição de X. d) Determine o valor médio e a mediana de X. e) Calcule P[c < X < 3c X < 4c]. f) O que pode dizer quanto ao valor do terceiro momento de X? E do quarto momento? g) Determine a função densidade da v.a. Y = X A proporção de álcool em certo produto pode ser considerada uma variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade: { 20x f(x) = 3 (1 x) 0 < x < 1 0 restantes valores de x. a) Determine a função distribuição cumulativa de X e esboce o seu gráfico. b) Calcule µ X, σ 2 X e σ X. c) Suponha que o preço de venda do produto depende da percentagem de álcool. Se 1/3 < X < 2/3 o produto é vendido por A 1 euros/l, caso contrário por A 2 euros/l. Calcule a distribuição de probabilidades do lucro líquido por litro de produto, supondo que o custo por litro é de B euros. 13

15 36. Seja X a variável aleatória contínua com a seguinte função densidade de probabilidade: f(x) = 1 2 e x α, x IR, em que α IR. a) Mostre que f é uma função densidade de probabilidade. b) Determine a função distribuição cumulativa de X e represente-a graficamente. c) Calcule P( X α < 1). d) Mostre que a função geradora de momentos de X é M X (t) = eαt 1 t 2, t < 1. e) Determine E(X) e V ar(x). f) Determine a mediana de X. 37. Num processo de inventário concluíu-se que a raridade de determinada espécie animal era inversamente proporcional à área observada até que se avistasse um exemplar da espécie, associada ao percurso de amostragem. Considere então a v.a. X designando a distância percorrida até se avistar algum exemplar da espécie, com função densidade dada por f(x) = { b k x 2 1 x b 0 restantes valores de x. (a) Indique quais as condições que k e b devem verificar de modo que f(x) seja uma função densidade. (b) Determine a função de distribuição cumulativa de X. (c) Calcule a mediana de X. (d) Considere a v.a. Y = C 0 +C 1 X, que caracteriza o custo de amostragem, onde C 0 designa os custos fixos e C 1 o custo por unidade de percurso. Determine o custo esperado para o inventário. (Exame de 10/7/92) 38. Mostre que, se a variável aleatória contínua X tem função densidade de probabilidade par então, caso exista E(X), tem-se E(X) = A distribuição de probabilidades conjunta do par aleatório (X, Y ) é a seguinte: Y X

16 a) Calcule as distribuições de probabilidades marginais de X e Y. b) X e Y são variáveis aleatórias independentes? Justifique. c) Calcule P(X = 3, Y = 2) e P(X = 3 Y = 2). d) Determine: d1) E(X), E(Y ) e E(XY ); d2) COV (X, Y ) e ρ X,Y. 40. O peso de cada saco de quilo de café de certa marca é uma variável aleatória que, segundo um estudo realizado por uma organização de defesa do consumidor, tem função densidade de probabilidade uniformemente distribuída entre 0.8 Kg e b Kg, i.e., a) Determine b. f(x) = { < x < b 0 restantes valores de x. b) Determine a função distribuição cumulativa da variável aleatória e representea graficamente. c) Qual a percentagem de sacos de café da referida marca que pesam menos de 1 Kg? d) Se o peso dos sacos for independente de saco para saco e se uma pessoa comprar 4 sacos, qual a probabilidade de todos os sacos pesarem menos de 1 kg? 41. Um cliente de uma livraria pode fazer encomendas de livros estrangeiros em inglês e francês que não existam em stock. O número de livros em inglês e francês encomendados semanalmente é o par aleatório (X, Y ) com a seguinte distribuição de probabilidades: Y X a) Qual a probabilidade de numa semana serem encomendados no máximo dois livros? b) Qual a percentagem de semanas em que existe igualdade de livros ingleses e franceses encomendados? c) Determine as funções distribuição marginais das variáveis X e Y. d) Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y e interprete o seu resultado. 15

17 e) Qual a distribuição de probabilidades da variável aleatória "Número total de livros em inglês e francês encomendados semanalmente"? f) Qual a probabilidade de numa semana se encomendar pelo menos um livro em inglês sabendo que foram encomendados dois livros em francês? 42. Sejam X 1 e X 2 variáveis aleatórias independentes e semelhantes com distribuição de probabilidade assim definida: p X (x) = θ x 1 (1 θ) 0 < θ < 1, x = 1, 2,... (a) Mostre que p X é de facto uma distribuição de probabilidade. (b) Calcule P[X 1 + X 2 = 4]. (Exame de 21/7/92) 43. Um posto de gasolina é reabastecido uma vez por semana. As vendas no passado sugerem que a função densidade de probabilidade do volume de vendas semanais, X, medido em dezenas de milhares de litros, é dada por: f(x) = x 1 1 x < 2 3 x 2 x < 3 0 restantes valores de x. a) Determine a probabilidade de numa semana o volume de vendas se situar entre os litros e os litros. b) Determine a função distribuição cumulativa da variável aleatória X. c) Calcule o valor esperado, a mediana e o desvio padrão do volume de vendas semanais. d) Determine a quantidade mínima de gasolina com que o posto se deve abastecer, por semana, para que a gasolina não se esgote no referido posto em mais de 8% das semanas. e) (*) Admitindo que o volume de vendas é independente de semana para semana, qual a probabilidade de, em 2 anos, o posto vender mais de 210 dezenas de milhares de litros. ((*) Esta questão só poderá ser resolvida mais tarde, após estudada a distribuição normal e Teorema Limite Central.) 44. Considere a extracção sucessiva de dois números tais que, na primeira extracção podem sair os números 1, 2, 3 e 4 com igual probabilidade e na segunda extracção pode obter-se, também com igual probabilidade, um dos valores do conjunto {1,..., k}, onde k designa o resultado da primeira extracção. Considere as seguintes variáveis aleatórias: X-variável aleatória que indica o número da primeira extracção; Y -variável aleatória que indica o número da segunda extracção. 16

18 a) Determine a distribuição de probabilidade conjunta do par (X, Y ). b) Qual a probabilidade de sair 2 na segunda extracção se saíu 3 na primeira? c) Serão X e Y variáveis aleatórias independentes? Justifique. d) Calcule E[X + Y ]. (Exame de ) 45. Uma empresa seguradora tem ao balcão dois vendedores de seguros de vida. A experiência tem revelado que 50% das pessoas que contactam o vendedor A e apenas 25% das pessoas que contactam o vendedor B fazem um seguro de vida. Considere o par aleatório (X, Y ) que representa o número de apólices vendidas diariamente por A e B num dia em que cada vendedor atende 2 pessoas. a) Admitindo que que cada pessoa contactou um só vendedor, determine a distribuição de probabilidades conjunta do par aleatório (X, Y ). b) Qual a probabilidade de se vender pelo menos um seguro de vida? c) Qual a probabilidade de A vender pelo menos um seguro de vida sabendo que B vendeu dois seguros? d) Calcule E(X + Y ) e V ar(x). 46. Seja (X, Y ) o par aleatório com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta: f(x, y) = { a (x + y) 1 x 2 1 y 2 0 restantes valores de (x, y). a) Determine o valor da constante a. b) X e Y são variáveis aleatórias independentes? Justifique. c) Calcule P[Y < X] e P[Y > 3 X]. Comente. d) Determine o valor médio de 1/X. e) Determine a função densidade condicional de Y X = 3/ Seja (X, Y ) a variável aleatória bidimensional contínua com a seguinte função densidade conjunta: f(x, y) = { 4xye x 2 y 2 se x > 0 e y > 0 0 para outros valores. a) Determine as funções densidade marginais de X e Y. b) X e Y são variáveis aleatórias independentes? Justifique. c) Calcule COV (X, Y ). 17

19 48. Seja X o tempo total desde a chegada de um cliente a uma estação de serviço até ao momento em que faz o pagamento, e seja Y o tempo que está em fila até efectuar o pagamento (medidos em unidades de 5 minutos). Suponha que as variáveis (X, Y ) têm função densidade de probabilidade conjunta assim definida: f(x, y) = { (x/2)e x se 0 y x < 0 para outros valores de (x, y). a) Calcule as funções densidade marginais de X e Y. b) Qual a probabilidade de o tempo gasto na fila ser superior a 5 minutos se o tempo total gasto por um cliente for inferior a 15 minutos. c) Calcule o tempo médio de serviço. Qual a variância do tempo de serviço.? d) As variáveis aleatórias X e Y são independentes? Justifique. 49. Uma experiência aleatória pode dar dois resultados: êxito ou fracasso. O custo de uma experiência que resulte em êxito é de 5 euros e em fracasso de 10 euros. A experiência é repetida 20 vezes, de forma independente. Seja X a variável aleatória que conta o número de êxitos. a) Sabendo que a probabilidade de uma experiência resultar em êxito é 0.9, construa a distribuição de probabilidades de X. b) Calcule P[X > 15]. c) Calcule a probabilidade de haver mais êxitos do que fracassos. d) Mostre que o custo total C das 20 experiências pode ser expresso como C = 200 5X. e) Calcule E(C). f) Calcule P[C < 125]. (Exame 4/7/88) 50. Uma dada experiência biológica analisa cobaias. Cada vez que se repete a referida experiência, uma cobaia diferente é analisada e cada repetição só usa uma cobaia. Sabendo que a experiência é bem sucedida em 40% dos casos, calcule: a) A probabilidade de ter pelo menos duas experiências bem sucedidas, se tiver 10 cobaias. b) O número de cobaias necessário para que o número esperado de sucessos seja 24. c) O número de cobaias necessário para que a probabilidade de obter pelo menos uma experiência com sucesso não seja inferior a (Exame de 18/7/88) 51. Uma pessoa planta 6 bolbos, escolhidos ao acaso de uma caixa que contém 5 bolbos de túlipa e 4 bolbos de junquilho. Qual a probabilidade de essa pessoa plantar 2 bolbos de junquilho e 4 de túlipa? 18

20 52. Numa escola, vai realizar-se um exame de uma dada disciplina num determinado dia. Está prevista uma greve às avaliações para este dia à qual 75% dos docentes vão aderir. Dos 20 docentes existentes, 8 são convocados para a vigilância daquele exame. Sabendo que os alunos vão ser distribuídos por duas salas e que se admite a possibilidade de o exame se realizar com um docente por sala, qual a probabilidade de o referido exame se realizar para todos os alunos? (Exame 25/9/95) 53. Um método frequentemente utilizado para estimar o número de animais de uma dada espécie num certo habitat é o da captura-recaptura. O método pode ser exemplificado pela seguinte situação: Num lago são capturados, marcados e devolvidos à água 5 peixes de uma certa espécie. Passado algum tempo (a fim de permitir que os peixes marcados se distribuam aleatoriamente pelo lago, embora não convenha deixar passar demasiado tempo, para se poder admitir que a dimensão da população permaneceu constante) são pescados 4 peixes dessa mesma espécie e conta-se quantos de entre eles estão marcados, o que será representado pela variável aleatória X. a) Qual a probabilidade de nenhum dos 5 peixes marcados ser recapturado, se existirem 10 peixes da referida espécie no lago? E se existirem 100? b) A ideia do método de captura-recaptura consiste em considerar o tamanho da população como sendo aquele que torna mais provável o valor de X que resultou de uma experiência deste tipo. Assim, por exemplo, qual dos 4 valores N = 10, N = 20, N = 100 ou N = 1000, considera mais plausível para o tamanho da população se: i) da experiência resultou X = 1; ii) da experiência resultou X = Na época natalícia, certa pastelaria fabrica 3 tamanhos de bolo-rei: de 500g, de 750g e de 1000g. Nem todos os bolos fabricados contêm brinde. Este é colocado de tal forma que 20% dos bolos de 500g ficam sem brinde, o mesmo sucedendo com 10% dos bolos de 1000g e com 30% dos bolos de 750g. 25% dos bolos fabricados são de 500g e outros 25% de 1000g. a) Qual a probabilidade de um bolo sem brinde ser de 750g? b) A filha de um casal seu amigo apareceu-lhe com um brinde que lhe saíu no bolo-rei comprado na referida pastelaria. Qual dos bolos (tamanho) tem maior probabilidade de ter sido comprado pelo casal? c) A referida pastelaria tem uma produção diária de 1000 bolos. Qual a probabilidade de uma pessoa que compra 10 desses bolos ter pelo menos 2 com brinde? (Exame 7/12/90) 19

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