Otimização Contínua e Discreta

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Otimização Contínua e Discreta"

Transcrição

1 Universidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia de Produção Otimização Contínua e Discreta PPGEP - Semestre 01/2015 Prof. Pedro Munari

2 Objetivos da aula de hoje Estudar o método Subgradiente e como aplicá-lo; Estudar aplicações da Relaxação Lagrangiana em problemas de otimização linear discreta, seus benefícios e suas particularidades.

3 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Resolva o problema de dimensionamento de lotes abaixo usando Relaxação Lagrangiana e o método de planos de corte. min 1.0x x x x x x I I I I 22 s.a 0.1x x x x x x x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 I 10 = 0, I 20 = 0 x 11, x 12,..., x 23 0 I 11, I 12,..., I 23 0

4 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício Após aplicar relaxação Lagrangiana: max 240p p p3+ p 1,p 2,p min ( p 1)x 11 + ( p 2)x 12 +( p 3)x I I 12 s.a x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 I 10 = 0 x 11, x 12, x 13 0 I 11, I 12, I min ( p 1)x 21 + ( p 2)x 22 +( p 3)x I I 22 s.a x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 I 20 = 0 x 21, x 22, x 23 0 I 21, I 22, I 23 0

5 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 0 Problema mestre relaxado inicial (PMR 0 ) max 240p p p 3 + v 1 + v p p p 3 0 v v p = (0, 0, 0); v = (10 4, 10 4 )

6 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 0 (SP 0 1 ) min ( p 1 )x11 + ( p 2 )x12 0.1p 3 )x I I12 +(2.0 s.a x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 I 10 = 0 x 11, x 12, x 13 0 I 11, I 12, I 13 0 x x 12 0 x 13 Ī = , f1 = 6750 < v 1 Ī Ī 13 0 Um novo corte deve ser inserido: (c 1 p T A 1 ) x1 v 1 Ī 1 c 1 x1 Ī 1 p T A 1 x1 Ī 1 v (p 1, p 2, p 3) 0 v1 0 v p

7 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 0 (SP 0 2 ) min 0.08p 2 )x22 +( p 3 )x I I22 ( p 1 )x21 + (0.5 s.a x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 I 20 = 0 x 21, x 22, x 23 0 I 21, I 22, I 23 0 x x x 23 Ī = , f2 = 1100 < v 2 Ī Ī 23 0 Um novo corte deve ser inserido: (c 2 p T A 2 ) x2 v 2 Ī 2 c 2 x2 Ī 2 p T A 2 x2 Ī 2 v (p 1, p 2, p 3) 112 v2 0 v2 + 32p p

8 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 1 Problema mestre relaxado (PMR 1 ) max 240p p p 3 + v 1 + v 2 v p v2 + 32p p p p p 3 0 v v p = ( , 0, 0); v = (10 4, ); g =

9 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 1 (SP 1 1 ) min ( )x11 + ( p 2 )x12 +( p 3 )x I I12 s.a x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 I 10 = 0 x 11, x 12, x 13 0 I 11, I 12, I 13 0 x 11 x 12 x 13 Ī = 11 Ī 12 Ī , f1 = < v Um novo corte deve ser inserido: (c 1 p T A 1 ) x1 v 1 Ī (p 1, p 2, p 3) 360 v1 0 v1 + 90p p

10 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 1 (SP 1 2 ) min ( )x21 + ( p 2 )x22 +( p 3 )x I I22 s.a x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 I 20 = 0 x 21, x 22, x 23 0 I 21, I 22, I 23 0 v 2 está bem estimado! Nenhum corte será inserido. x 21 x 22 x 23 Ī 21 Ī 22 Ī 23 = , f2 = 1332 > v 2

11 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 2 Problema mestre relaxado (PMR 2 ) max 240p p p 3 + v 1 + v 2 v p v2 + 32p p v1 + 90p p p p p 3 0 v v p = ( , , 0); v = (10 4, 2140); g =

12 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 2 (SP 2 1 ) min ( )x11 + ( )x12 +( p 3 )x I I12 s.a x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 I 10 = 0 x 11, x 12, x 13 0 I 11, I 12, I 13 0 x x 12 0 x 13 Ī = , f1 = < v 1 Ī 12 0 Ī 13 0 Um novo corte deve ser inserido: (c 1 p T A 1 ) x1 v 1 Ī (p 1, p 2, p 3) 0 v1 180 v p p

13 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 2 (SP 2 2 ) min ( )x21 + ( )x22 +( p 3 )x I I22 s.a x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 I 20 = 0 x 21, x 22, x 23 0 I 21, I 22, I 23 0 x x x 23 Ī = , f2 = 1800 < v 2 Ī 22 0 Ī 23 0 Um novo corte deve ser inserido: (c 2 p T A 2 ) x2 v 2 Ī (p 1, p 2, p 3) 48 v2 64 v2 + 32p p p

14 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 3 Problema mestre relaxado (PMR 3 ) max 240p p p 3 + v 1 + v 2 v p v2 + 32p p v1 + 90p p v p p v2 + 32p p p p p p 3 0 v v p = ( 1.875, 1.875, 0); v = ( , 1370); g =

15 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 3 (SP 3 1 ) min ( )x11 + ( )x12 +( p 3 )x I I12 s.a x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 I 10 = 0 x 11, x 12, x 13 0 I 11, I 12, I 13 0 O limitante está bem estimado! Nenhum corte a inserir. x 11 x 12 x 13 Ī 11 Ī 12 Ī 13 = , f1 = = v 1

16 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 3 (SP 3 2 ) min ( )x21 + ( )x22 +( p 3 )x I I22 s.a x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 I 20 = 0 x 21, x 22, x 23 0 I 21, I 22, I 23 0 x 21 x 22 x 23 Ī = 21 Ī 22 Ī , f2 = 1370 = v O limitante está bem estimado! Nenhum corte a inserir. Solução ótima encontrada!

17 Método Subgradiente A otimização de funções contínuas e diferenciáveis pode ser feita usando-se o método gradiente; Dado uma função diferenciável g e um dado ponto p em seu domínio, o gradiente g(p) aponta para a direção de crescimento da função a partir do ponto p; Dado um ponto inicial p 0, o método gradiente calcula uma sequência de iterações p i+1 = p i + α i g(p i ), i = 0, 1, 2,... até que g(p i ) = 0 para algum i; Quando a função não é diferenciável, não é possível calcular o gradiente em todos os seus pontos e, assim, recorremos a um subgradiente.

18 Método Subgradiente Seja g : R m R uma função côncava; Um subgradiente de g no ponto p é qualquer vetor s R m que satisfaz g(p) g( p) + s T (p p), p R m. O método subgradiente é comumente usado para encontrar o ótimo de funções côncavas lineares por partes; Em geral, resolve problemas do tipo: { } max g(p) = min p R m t=1,...,t {ht p γ t }. sendo h t p = γ t, t = 1,..., T, um conjunto de T hiperplanos conhecidos. Nesses casos, o vetor h t é um subgradiente.

19 Método Subgradiente

20 Método Subgradiente

21 Método Subgradiente

22 Método Subgradiente

23 Método Subgradiente

24 Método Subgradiente

25 Método Subgradiente Seja g : R m R uma função côncava; Um subgradiente de g no ponto p é qualquer vetor s( p) R m que satisfaz g(p) g( p) + s( p) T (p p), p R m. É método subgradiente é comumente usado encontrar o ótimo de funções côncavas lineares por partes. Em geral, resolve problemas do tipo: { } max g(p) = min p R m t=1,...,t {ht p γ t }. sendo h t p = γ t, t = 1,..., T, um conjunto de T hiperplanos conhecidos. Nesses casos, o vetor h t é um subgradiente.

26 Método Subgradiente Em relaxação Lagrangiana, queremos resolver: max g(p) = min p Rm x 0 c 1 x c K x K + p T (b A 1 x 1... A K x K ) s.t. D 1 x 1 = d 1 D 2 x 2 = d D K x K = d K Usando a notação X k = {x k D k x k = d k, 0 x k u k }, reescrevemos: max g(p) p R m = min c 1 x c K x K + p T (b A 1 x 1... A K x K ) x k X k k=1,...,k

27 Método Subgradiente Substituindo em x k todos os pontos extremos de X k, os quais são denotados por x k q, q Qk, obtemos: max g(p) p R m = min q Q k k=1,...,k c 1 x 1 q ck x K q + pt (b A 1 x 1 q... AK x K q ) Assim, temos uma função côncava linear por partes, do tipo: { } max g(p) = min p R m t=1,...,t {ht p γ t }, com h t = (b A 1 x 1 q... A K x K q ) e γ t = c 1 x 1 q c K x K q. Logo, podemos aplicar o método subgradiente, usando como subgradiente: s = (b A 1 x 1 q... AK x K q ).

28 Método Subgradiente Como não é viável calcular todos os pontos extremos de cada X k a priori, fazemos isso de forma iterativa; Para um dado vetor de multiplicadores p, cada subproblema de minimização é resolvido independentemente, como visto antes: g( p) = min c 1 x c K x K + p T (b A 1 x 1... A K x K ) x k X k k=1,...,k K = p T b + min p T A k )x k x k=1 X k(ck Então, os pontos extremos x k q obtidos como soluções dos subproblemas são usados para calcular o subgradiente: s = (b A 1 x 1 q... A K x K q ).

29 Método Subgradiente 1. Iniciando com um multiplicador p 0 e índice i = 0, fazemos: 2. Resolver cada subproblema min x k X k(ck p i A k )x k ; 3. Sejam x k q os pontos extremos obtidos como solução dos subproblemas; 4. Calcular o gradiente s i = (b A 1 x 1 q... A K x K q ); 5. Determinar um tamanho de passo α i > 0; 6. Obter um novo vetor de multiplicadores p i+1 = min{0, p i + α is i }; 7. Se o critério de parada não for satisfeito, incrementar i e voltar para o Passo 2.

30 Método Subgradiente Em geral, o método é muito sensível à escolha do tamanho de passo α i; Algumas regras: 1. α i = (δ) i α 0, para algum δ < 1; 2. α i = ε i (LS g(p i )) s i 2, com 0 < ε i < 2 e LS limitante superior para g(p ); Pode-se fazer ε i+1 = δ ε i quando g(p i+1 ) g(p i ), δ < Pode-se usar também um limitante inferior LI g(p ): α i = ε i (g(p i ) LI) s i 2.

31 Método Subgradiente Teorema [Wolsey (1998), p. 174] 1. Se i αi e αi 0 quando k, então g(pi ) g(p ), sendo g(p ) o valor ótimo do problema dual Lagrangiano; 2. Se α i = (δ) i α 0 para algum δ < 1, então g(p i ) g(p ) se α 0 e δ forem suficientemente grandes; 3. Se LI g(p (g(p i ) LI) ) e α i = ε i com 0 < ε s i 2 i < 2, então g(p i ) g(p ), ou o algoritmo encontra p i com LI g(p i ) g(p ). Ver também: 1. Held et al., Validation of subgradient optimization, Math Progr, 1974; 2. Bazaraa and Sherali, On the choice of step size in subgradient optimization, EJOR, 1981.

32 Método Subgradiente Idealmente, o critério de parada deveria ser s t = 0 (condição necessária para ponto ótimo); Entretanto, esse critério é raramente atingido na prática e, assim, o algoritmo é terminado quando um número máximo de iterações é atingido ou quando a mudança no valor da função objetivo se torna muito pequena.

33 Método Subgradiente Exercício: Resolva o problema de dimensionamento de lotes abaixo usando Relaxação Lagrangiana e o método subgradiente. min 1.0x x x x x x I I I I 22 s.a 0.1x x x x x x x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 I 10 = 0, I 20 = 0 x 11, x 12,..., x 23 0 I 11, I 12,..., I 23 0

34 Método Subgradiente Após aplicar relaxação Lagrangiana: max 240p p p3+ p 1,p 2,p min ( p 1)x 11 + ( p 2)x 12 +( p 3)x I I 12 s.a x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 I 10 = 0 x 11, x 12, x 13 0 I 11, I 12, I min ( p 1)x 21 + ( p 2)x 22 +( p 3)x I I 22 s.a x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 I 20 = 0 x 21, x 22, x 23 0 I 21, I 22, I 23 0

35 Método Subgradiente Diferentemente do método de planos de corte, o método subgradiente é sem memória. Em planos de corte, as soluções dos subproblemas são mantidas na forma de restrições no problema mestre e, assim, não são esquecidas (nem recalculadas); Já no subgradiente, as soluções são usadas para calcular a direção apenas. Uma vez que o ponto foi atualizado, essa direção é esquecida. É comum ter-se um comportamento zig-zag como no método gradiente, em que os multiplicadores oscilam de um lado para o outro em iterações consecutivas, sem progredir com o valor da função objetivo; Esse comportamento é ainda pior no subgradiente, devido zerarmos as componentes que se tornam positivas; Vantagens do subgradiente: iterações rápidas; simples de implementar.

36 Problemas de otimização discretos Até o momento vimos a aplicação da Relaxação Lagrangiana a problemas de otimização contínua; Quais a principal vantagem nesse contexto? Permite explorar a estrutura do problema, reduzindo-o a problemas mais fáceis ; Nos últimos anos, com o avanço da computação e softwares de otimização, essa vantagem já não é tão significativa; Assim, a Relaxação Lagrangiana tem sua principal aplicação em problemas de otimização discreta.

37 Problemas de otimização discretos Principais motivos para seu sucesso em otimização discreta: Os subproblemas são tipicamente problemas de otimização combinatória e, assim, resolvê-los separadamente pode contribuir significativamente para a melhoria do desempenho; Além disso, esses subproblemas são geralmente problemas clássicos, como o problema da mochila, de caminho mínimo, etc. e, assim, podem ser usados algoritmos específicos para resolvê-los de forma mais eficiente; O problema dual Lagrangiano fornece um limitante inferior para o problema original (minimização) que, em muitas vezes, é bem melhor que aquele fornecido pela relaxação linear. Por que?

38 Relaxação Lagrangiana em Otimização Discreta min f(x) = c T x, s.t. Ax = b, (restrições de acoplamento) Dx = d, (estrutura em blocos) x Z n + D = D 1 D 2... D K

39 Relaxação Lagrangiana em Otimização Discreta min f(x) = c T x, s.t. Ax = b, (restrições de acoplamento) Dx = d, (estrutura em blocos) x Z n + D = D 1 D 2... D K

40 Relaxação Lagrangiana em Otimização Discreta min c 1 x 1 + c 2 x c K x K s.t. A 1 x 1 + A 2 x A K x K = b D 1 x 1 = d 1 D 2 x 2 = d D K x K = d K x Z n +

41 Relaxação Lagrangiana em Otimização Discreta Para um dado vetor de multiplicadores p R m : g(p) = min x Z n + c 1 x 1 + c 2 x c K x K + p T (b A 1 x 1 A 2 x 2... A K x K ) s.t. D 1 x 1 = d 1 D 2 x 2 = d D K x K = d K g(p) = min x Z n + p T b + (c 1 p T A 1 )x 1 + (c 2 p T A 2 )x (c K p T A K )x K s.t. D 1 x 1 = d 1 D 2 x 2 = d D K x K = d K

42 Relaxação Lagrangiana em Otimização Discreta g(p) = p T b + min x 1 Z n {(c 1 p T A 1 )x 1 D 1 x 1 = d 1 } + min x K Z n K + {(c K p T A K )x K D K x K = d K } = p T b + K k=1 min x k Z n k + Para todo p R m e x factível: g(p) f(x ); Em geral, g(p) f(x ) para todo p R n ; {(c k p T A k )x k D k x k = d k } Melhor limitante Problema Dual Lagrangiano: K max g(p) = max p Rm p R m pt b + min {(c k p T A k )x k D k x k = d k } k=1 x k Z n k +

43 Relaxação Lagrangiana em Otimização Contínua g(p) = p T b + min {(c 1 p T A 1 )x 1 D 1 x 1 = d 1 } x min {(c 2 p T A 2 )x 2 D 2 x 2 = d 2 } x min {(c K p T A K )x K D K x K = d K } x K 0 K = p T b + min {(c k p T A k )x k D k x k = d k } x k=1 0 Para todo p R m e x factível: g(p) f(x); Problema Dual Lagrangiano: { } K max g(p) = max p T b + min {(c k p T A k )x k D k x k = d k } p Rm p R m x k=1 k 0

44 Relaxação Lagrangiana em Otimização Contínua min f(x) = c T x, s.t. Ax = b, (restrições de acoplamento) Dx = d, (estrutura em blocos) x R n + D = D 1 D 2... D K

45 Problemas de otimização discretos Temos sempre min x k Z n k + {(c k p T A k )x k D k x k = d k } min {(c k p T A k )x k D k x k = d k }; x k 0 Assim, pelo domínio dos subproblemas, a Relaxação Lagrangiana mantém a integralidade das variáveis no caso discreto. A solução ótima de cada subproblema é inteira e, portanto, o limitante fornecido pelo problema dual Lagrangiano é melhor do que aquele obtido pela relaxação linear do problema original. E se o subproblema tiver a propriedade de integralidade? (i.e. a solução ótima da relaxação linear está em Z n k + ) R: Temos igualdade na relação acima :(

46 PDL com restrição de capacidade e tempo de preparação min s.a n T n T n T c it x it + h it I it + s i y it i=1 t=1 i=1 t=1 i=1 t=1 n (a i x it + st i y it ) b t, t = 1,..., T, i=1 x it + I i,t 1 = d it + I it, i = 1,..., n; t = 1,..., T, x it Cy it, i = 1,..., n; t = 1,..., T, I i0 = 0, i = 1,..., n, x it 0, I it 0, y it {0, 1} i = 1,..., n; t = 1,..., T.

47 PDL com restrição de capacidade e tempo de preparação Exemplo Uma indústria de refrigerantes produz dois tipos de bebidas, por meio de um único tanque. Para processar 1000 litros da bebida 1 são necessárias 100 horas do tanque, enquanto para 1000 litros da bebida 2, são necessárias 80 horas. A produção de uma bebida em um dado período requer a limpeza e resfriamento do tanque. Esse tempo é de 12 horas para a bebida 1 e 8 horas para a bebida 2. A disponibilidade do tanque para a fabricação destas bebidas nos próximos 3 meses é de 240, 320 e 200 horas. O departamento de vendas fez uma previsão de demanda para os próximos 3 meses. A demanda de cada bebida e os possíveis custos envolvidos são dados na tabela abaixo. Deseja-se determinar quanto produzir e estocar de cada bebida em cada período. Bebida 1 Bebida 2 Período Demanda (L) Custo prod (R$/L) Custo estoc (R$/L) Custo prep (R$)

48 PDL com restrição de capacidade e tempo de preparação Exemplo: formulação min 1.0x x x x x x I I I I y y y y y y 23 s.a 0.1x x y y x x y y x x y y x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 x y 11 x y 21 x y 12 x y 22 x y 13 x y 23 I 10 = 0, I 20 = 0 x 11, x 12,..., x 23 0 I 11, I 12,..., I 23 0 y 11, y 12,..., y 23 {0, 1}

49 PDL com restrição de capacidade e tempo de preparação Exemplo: formulação min 1.0x x x x x x I I I I y y y y y y 23 s.a 0.1x x y y (p 1) 0.1x x y y (p 2) 0.1x x y y (p 3) x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 x y 11 x y 21 x y 12 x y 22 x y 13 x y 23 I 10 = 0, I 20 = 0 x 11, x 12,..., x 23 0 I 11, I 12,..., I 23 0 y 11, y 12,..., y 23 {0, 1}

50 PDL com restrição de capacidade e tempo de preparação Exemplo: problema dual Lagrangiano max 240p p p3+ p 1,p 2,p min ( p 1)x 11 + ( p 2)x 12 +( p 3)x I I 12 +( p 1)y 11 + ( p 2)y 12 +( p 3)y 13 s.a x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 x y 11 x y 12 x y 13 I 10 = 0 x 11, x 12, x 13 0 I 11, I 12, I 13 0 y 11, y 12, y 13 {0, 1} + min ( p 1)x 21 + ( p 2)x 22 +( p 3)x I I 22 +( p 1)y 21 + ( p 2)y 22 +( p 3)y 23 s.a x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 x y 21 x y 22 x y 23 I 20 = 0 x 21, x 22, x 23 0 I 21, I 22, I 23 0 y 21, y 22, y 23 {0, 1}

51 Problemas de otimização discretos A aplicação dos métodos continua a mesma no caso discreto; Deve-se tomar cuidado apenas com a teoria do método de plano de cortes, pois a solução ótima dos subproblemas não é necessariamente um ponto extremo ou raio extremo!

52 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

53 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

54 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

55 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

56 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) Problema Dual Lagrangiano: max g(p) = max p Rm p R m { p T b + } K min p T A k )x k D k x k = d k } x k X k{(ck k=1 com X k = {x k D k x k = d k, x k Z n k + }; Para formulá-lo como um problema de programação linear, precisamos eliminar as minimizações internas; Para um dado p R m, temos que o k-ésimo subproblema pode ou ter solução ótima ou ser ilimitado; Para continuarmos com o conceito de pontos e raios extremos, precisamos recorrer ao envoltório convexo C k dos pontos inteiros em X k, combinado com possíveis raios extremos do conjunto.

57 Aula 02: Programação linear Envoltório convexo x 1 x 3 x 2 x 3 x 7 x 5 x 4 x 6

58 Aula 02: Programação linear Envoltório convexo x 1 x 3 x 2 x 3 x 7 x 5 x 4 x 6

59 Aula 02: Programação linear Envoltório convexo x 1 x 3 x 2 x 3 x 7 x 5 x 4 x 6

60 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

61 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

62 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

63 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

64 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

65 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) Assim, usando C k em vez de X k, sabemos que se o subproblema possui solução ótima, então existe um ponto extremo ótimo x k C k tal que: min p T A k )x k = (c k p T A k ) x k x k C k(ck = min p T A k ) x k q Q k(ck q sendo Q k o conjunto de todos os pontos extremos de C k ; Temos então: max min p T A k )x k = max min p T A k ) x k p R m x k C k(ck p R m q Q k(ck q = max p R m{vk v k (c k p T A k ) x k q }

66 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) Caso o subproblema seja ilimitado, então existe um raio de descida: min p T A k )x k. x k C k(ck Como estamos interessados em limitantes, esse resultado é irrelevante e deve ser evitado impondo-se (c k p T A k ) x k r 0, r R k, sendo R k o conjunto de todos os raios extremos de C k.

67 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) Logo, o problema Dual Lagrangiano se torna: max g(p) = p T b + p R m K k=1 v k s.a (c k p T A k ) x k q v k, k = 1,..., K, q Q k, (c k p T A k ) x k r 0, k = 1,..., K, r R k. sendo Q k e R k os conjuntos de todos os pontos extremos e raios extremos de C k, respectivamente. Dado o número imenso de pontos e raios extremos, precisamos recorrer ao Método de Planos de Corte.

68 Problemas de otimização discretos Mas algo precisa ficar bem claro no caso discreto: O valor ótimo do dual Lagrangiano é apenas um limitante inferior para o valor ótimo do problema original; O Teorema da dualidade forte não vale em otimização discreta; Assim, a Relaxação Lagrangiana e seus métodos (planos de corte, subgradiente) são usados para obter bons limitantes inferiores; Para garantir uma solução discreta, deve-se combinar com outros métodos: branch-and-bound, heurísticas,...

69 Problemas de otimização discretos Heurística Lagrangiana Usar as soluções dos subproblemas para tentar determinar uma solução factível do problema original; Por exemplo, em uma dada iteração do método subgradiente, a solução ótima de um dado subproblema provavelmente viola as restrições relaxadas (penalizadas); Assim, são feitas tentativas de se factibilizar essas soluções de modo a obter uma solução factível para o problema original.

70 Problemas de otimização discretos Heurística Lagrangiana European Journal of Operational Research 175 (2006) Production, Manufacturing and Logistics A Lagrangian-based heuristic for the capacitated lot-sizing problem in parallel machines Franklina Maria Bragion Toledo a, Vinícius Amaral Armentano b, * a Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, Caixa Postal 668, São Carlos SP, CEP , Brazil b Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, Universidade Estadual de Campinas, Caixa Postal 6101, Campinas SP, CEP , Brazil Received 13 April 1999; accepted 17 June 2005 Available online 31 August Abstract This paper addresses the capacitated lot-sizing problem involving the production of multiple items on unrelated parallel machines. A production plan should be determined in order to meet the forecast demand for the items, without exceeding the capacity of the machines and minimize the sum of production, setup and inventory costs. A heuristic based on the Lagrangian relaxation of the capacity constraints and subgradient optimization is proposed. Initially, the heuristic is tested on instances of the single machine problem and results are compared with heuristics from the literature. For parallel machines and small problems the heuristic performance is tested against optimal solutions, and for larger problems it is compared with the lower bound provided by the Lagrangian relaxation. Ó 2005 Elsevier B.V. All rights reserved.

71 Problemas de otimização discretos Heurística Lagrangiana 2. Problem formulation In order to state the problem mathematically, let sij setup cost of item i on machine j; cij unit production cost of item i on machine j; h i unit inventory cost of item i; d it demand of item i in period t; b ij time to produce one unit of item i on machine j; fij setup time of item i on machine j; Cj capacity of machine j (in units of time); xijt amount of item i produced on machine j in period t (a decision variable); yijt a binary variable which assumes value 1 if item i is produced on machine j in period t and 0, otherwise (a decision variable); I it inventory of item i at the end of period t (a decision variable); M an upper bound on x ijt. The CLSPP can be formulated as the following mixed integer programming model. Minimize XT t¼1 subject to Xm j¼1 X n i¼1 X m j¼1 X n i¼1 ðsijy ijt þ cijxijtþ þ XT t¼1 X n i¼1 hii it xijt þ I i;t 1 I it ¼ dit i ¼ 1;... ; n; t ¼ 1;... ; T ; ð1þ ðbijxijt þ fijy ijt Þ 6 Cj j ¼ 1;... ; m; t ¼ 1;... ; T ; ð2þ xijt 6 My ijt i ¼ 1;... ; n; j ¼ 1;... ; m; t ¼ 1;... ; T ; ð3þ y ijt 2 f0; 1g; xijt P 0; I it P 0 i ¼ 1;... ; n; j ¼ 1;... ; m; t ¼ 1;... ; T. ð4þ The objective function expresses the sum of setup, production and inventory costs. Constraints (1) represent the inventory balance equations. Constraints (2) indicate that the amount of capacity used for production is limited. Constraints (3) ensure the incidence of a setup cost and a setup time when xijt is positive. Backlogging is not allowed as indicated by the nonnegative restriction on I it in (4).

72 Problemas de otimização discretos Heurística Lagrangiana ARTICLE IN PRESS Int. J. Production Economics 119 (2009) Contents lists available at ScienceDirect Int. J. Production Economics journal homepage: A Lagrangian relaxation approach to a coupled lot-sizing and cutting stock problem M.C.N. Gramani a,, P.M. Franc-a b, M.N. Arenales c a Faculdade IBMEC-SP, R. Quatá, 300 Vila Olímpia , São Paulo, Brazil b FCT, Universidade Estadual Paulista - UNESP, Brazil c ICMC, Universidade de São Paulo - USP, Brazil a r t i c l e i n f o Article history: Received 17 July 2008 Accepted 27 February 2009 Available online 18 March 2009 Keywords: Lot-sizing Cutting stock Production planning Mixed-integer programming Lagrangian relaxation a b s t r a c t Industrial production processes involving both lot-sizing and cutting stock problems are common in many industrial settings. However, they are usually treated in a separate way, which could lead to costly production plans. In this paper, a coupled mathematical model is formulated and a heuristic method based on Lagrangian relaxation is proposed. Computational results prove its effectiveness. & 2009 Elsevier B.V. All rights reserved.

73 Problemas de otimização discretos Heurística Lagrangiana ARTICLE IN PRESS M.C.N. Gramani et al. / Int. J. Production Economics 119 (2009) cp: unit cost of the plate to be cut; cit: unit production cost of final product i in period t; h it: unit inventory cost of final product i in period t; s it: setup cost of final product i in period t; L W: length and width of the plate; l p w p: length and width of the part of type p. Variables: xit: number of final products i to be manufactured in period t; I it: number of final products i stocked at the end of period t; y jt: number of plates cut according to pattern j in period t; z it: binary variable: z it ¼ 1 if x it40; zero, otherwise. The mixed-integer mathematical model (LCP) can be written then as follows: Z ¼ Min XM i¼1 X T t¼1 ðc itx it þ h iti it þ s itz itþ þ XN j¼1 X T t¼1 cplwy jt s:t: x it þ I i;t 1 I it ¼ d it; i ¼ 1;... ; M; t ¼ 1;... ; T (7) (6) The following constraints should be considered. Inventory balance of final products: x it þ I i;t 1 I it ¼ d it; i ¼ 1;... ; M; t ¼ 1;... ; T (1) These constraints assure that the demand of final product i in period t (dit) is met without delay, i.e., IitX0, i ¼ 1,y,M; t ¼ 1,y,T. Without loss of generality, the initial inventory can be considered zero. Note that in this paper, the storage costs for the parts are not considered. Having in mind that the most important parcel of the storage cost is the alternate use of the immobilized capital incorporated in final products, the storage cost for the parts is implicitly considered in the final product holding cost. Parts demand: X N j¼1 a pjy jt X XM r pix it; p ¼ 1;... ; P; t ¼ 1;... ; T (2) i¼1 The left hand side is the number of type p parts cut which has to be greater than or equal to the number of X N j¼1 X M i¼1 a pjy jt X XM r pix it; p ¼ 1;... ; P; t ¼ 1;... ; T (8) i¼1 v ix itpbt; t ¼ 1;... ; T (9) x itpqz it; i ¼ 1;... ; M; t ¼ 1;... ; T (10) x it; I itx0; z it 2 f0; 1g; i ¼ 1;... ; M; t ¼ 1;... ; T (11) y jt X0; j ¼ 1;... ; N; t ¼ 1;... ; T (12) The integer condition on decision variables xit, Iit, and yjt can be relaxed if demands are high, but two difficulties still remain: the enormous quantity of cutting patterns (apj) that could be generated and the presence of 0 1 setup variables. Note that constraints (8) are those that couple decisions of lot-sizing and cutting. Next, we give two approaches to heuristically solve problem (6) (12).

MINIMIZANDO O NÚMERO DE DIFERENTES PADRÕES DE CORTE - UMA ABORDAGEM DE CAMINHO MÍNIMO

MINIMIZANDO O NÚMERO DE DIFERENTES PADRÕES DE CORTE - UMA ABORDAGEM DE CAMINHO MÍNIMO A pesquisa Operacional e os Recursos Renováveis 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN MINIMIZANDO O NÚMERO DE DIFERENTES PADRÕES DE CORTE - UMA ABORDAGEM DE CAMINHO MÍNIMO Maria Cristina N. Gramani Universidade

Leia mais

HEURÍSTICAS RELAX-AND-FIX PARA O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES COM JANELAS DE TEMPO DE PRODUÇÃO

HEURÍSTICAS RELAX-AND-FIX PARA O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES COM JANELAS DE TEMPO DE PRODUÇÃO HEURÍSTICAS RELAX-AND-FIX PARA O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES COM JANELAS DE TEMPO DE PRODUÇÃO Lívia Chierice Corrêa Moraes Maristela Oliveira Santos Universidade de São Paulo - Instituto de Ciências

Leia mais

XLVII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL

XLVII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL UM MODELO DE PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO CONSIDERANDO FAMÍLIAS DE ITENS E MÚLTIPLOS RECURSOS UTILIZANDO UMA ADAPTAÇÃO DO MODELO DE TRANSPORTE Debora Jaensch Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção

Leia mais

Além de minimizar o número de objetos processados, problema de corte unidimensional

Além de minimizar o número de objetos processados, problema de corte unidimensional imização do número de objetos processados e do setup no problema de corte unidimensional Márcia Ap. Gomes-Ruggiero, Antonio Carlos Moretti, Momoe Sakamori Depto de Matemática Aplicada, DMA, IMECC, UNICAMP,

Leia mais

Instituto de Computação

Instituto de Computação Instituto de Computação Universidade Estadual de Campinas MO824 - Programação Inteira e Combinatória Geração de Colunas para o Problema de Corte e Empacotamento Bidimensional em Faixas Fabricio Olivetti

Leia mais

Uma Heurística para o Problema de Redução de Padrões de Corte

Uma Heurística para o Problema de Redução de Padrões de Corte Uma Heurística para o Problema de Redução de Padrões de Corte Marcelo Saraiva Limeira INPE/LAC e-mail: marcelo@lac.inpe.br Horacio Hideki Yanasse INPE/LAC e-mail: horacio@lac.inpe.br Resumo Propõe-se um

Leia mais

UTILIZAÇÃO DE PLANILHA ELETRÔNICA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PLANEJAMENTO E PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO

UTILIZAÇÃO DE PLANILHA ELETRÔNICA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PLANEJAMENTO E PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO Anais do XXXIV COBENGE. Passo Fundo: Ed. Universidade de Passo Fundo, Setembro de 2006. ISBN 85-755-37-4 UTILIZAÇÃO DE PLANILHA ELETRÔNICA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PLANEJAMENTO E PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO

Leia mais

MODELO MATEMÁTICO E HEURÍSTICA PARA O PROBLEMA DE CORTE COM SOBRAS APROVEITÁVEIS E VENDA DE RETALHOS

MODELO MATEMÁTICO E HEURÍSTICA PARA O PROBLEMA DE CORTE COM SOBRAS APROVEITÁVEIS E VENDA DE RETALHOS MODELO MATEMÁTICO E HEURÍSTICA PARA O PROBLEMA DE CORTE COM SOBRAS APROVEITÁVEIS E VENDA DE RETALHOS Adriana Cherri Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências, UNESP, Bauru Av. Eng. Luiz Edmundo

Leia mais

Engenharia de Processos e Sistemas

Engenharia de Processos e Sistemas Engenharia de Processos e Sistemas Implementação e Aplicação de Modelos em Escalonamento de Produção Susana Relvas Departamento de Engenharia e Gestão Instituto Superior Técnico susana.relvas@ist.utl.pt

Leia mais

SISTEMA LOGÍSTICO DE APOIO À DECISÃO NAS OPERAÇÕES DE TRANSFERÊNCIA DE DERIVADOS DA REDE DE DUTOS DA PETROBRAS

SISTEMA LOGÍSTICO DE APOIO À DECISÃO NAS OPERAÇÕES DE TRANSFERÊNCIA DE DERIVADOS DA REDE DE DUTOS DA PETROBRAS 1 de 7 26/6/2009 16:33 SISTEMA LOGÍSTICO DE APOIO À DECISÃO NAS OPERAÇÕES DE TRANSFERÊNCIA DE DERIVADOS DA REDE DE DUTOS DA PETROBRAS Suelen Neves Boschetto, Flávio Neves Jr CPGEI Universidade Tecnológica

Leia mais

Programação Inteira. Advertência

Programação Inteira. Advertência Departamento de Informática Programação Inteira Métodos Quantitativos LEI 2006/2007 Advertência Autores João Moura Pires (jmp@di.fct.unl.pt) Susana Nascimento (snt@di.fct.unl.pt) Este material pode ser

Leia mais

Aplicação do Algoritmo ε Restrito com uma Heurística de Arredondamento no Problema de Corte Unidimensional Inteiro Multiobjetivo

Aplicação do Algoritmo ε Restrito com uma Heurística de Arredondamento no Problema de Corte Unidimensional Inteiro Multiobjetivo Aplicação do Algoritmo ε Restrito com uma Heurística de Arredondamento no Problema de Corte Unidimensional Inteiro Multiobjetivo Angelo Aliano Filho IMECC - UNICAMP Rua Sérgio Buarque de Holanda, Campinas,

Leia mais

GESTÃO DE RECURSOS NATURAIS. Ano letivo 2011/2012. Exercício: Sistema de apoio à decisão para eucalipto (Aplicação de Programação Linear)

GESTÃO DE RECURSOS NATURAIS. Ano letivo 2011/2012. Exercício: Sistema de apoio à decisão para eucalipto (Aplicação de Programação Linear) GESTÃO DE RECURSOS NATURAIS Ano letivo 2011/2012 Exercício: Sistema de apoio à decisão para eucalipto (Aplicação de Programação Linear) Exercise: Decision support system for eucalyptus (Linear programming

Leia mais

IDENTIFICAÇÃO DE BENCHMARKS PARA A AVALIAÇÃO DE EFICIÊNCIA EM ORGANIZAÇÕES SEM FINS LUCRATIVOS

IDENTIFICAÇÃO DE BENCHMARKS PARA A AVALIAÇÃO DE EFICIÊNCIA EM ORGANIZAÇÕES SEM FINS LUCRATIVOS IDENTIFICAÇÃO DE BENCHMARKS PARA A AVALIAÇÃO DE EFICIÊNCIA EM ORGANIZAÇÕES SEM FINS LUCRATIVOS AUTORES INSTITUIÇÕES Hamilton Bezerra Fraga da Silva Professor na Universidade Gama Filho Luis Perez Zotes

Leia mais

O PROBLEMA DE CORTE DE PLACAS DEFEITUOSAS

O PROBLEMA DE CORTE DE PLACAS DEFEITUOSAS versão impressa ISSN 0101-7438 / versão online ISSN 1678-5142 O PROBLEMA DE CORTE DE PLACAS DEFEITUOSAS Andréa Carla Gonçalves Vianna Departamento de Computação Faculdade de Ciências Universidade Estadual

Leia mais

Modelos Matemáticos para Tratamento de Grooming em Redes de Fibra Óptica

Modelos Matemáticos para Tratamento de Grooming em Redes de Fibra Óptica Modelos Matemáticos para Tratamento de Grooming em Redes de Fibra Óptica Rangel Silva Oliveira 1, Geraldo Robson Mateus 1 1 Departamento de Ciência da Computação Universidade Federal de Minas Gerais {rangel,mateus}@dcc.ufmg.br

Leia mais

PROBLEMA DE TRANSPORTE: MODELO E MÉTODO DE SOLUÇÃO

PROBLEMA DE TRANSPORTE: MODELO E MÉTODO DE SOLUÇÃO PROBLEMA DE TRANSPORTE: MODELO E MÉTODO DE SOLUÇÃO Luciano Pereira Magalhães - 8º - noite lpmag@hotmail.com Orientador: Prof Gustavo Campos Menezes Banca Examinadora: Prof Reinaldo Sá Fortes, Prof Eduardo

Leia mais

Um estudo do problema integrado de dimensionamento de lotes e corte de estoque para uma fábrica de móveis de pequeno porte

Um estudo do problema integrado de dimensionamento de lotes e corte de estoque para uma fábrica de móveis de pequeno porte Um estudo do problema integrado de dimensionamento de lotes e corte de estoque para uma fábrica de móveis de pequeno porte Matheus Vanzela, Socorro Rangel, Silvio Araujo UNESP - Universidade Estadual Paulista,

Leia mais

Faculdades Adamantinenses Integradas (FAI)

Faculdades Adamantinenses Integradas (FAI) Faculdades Adamantinenses Integradas (FAI) www.fai.com.br OLIVEIRA, Eliane Vendramini..Resolução do problema de carregamento de container através de uma heurística. Omnia Exatas, v.2, n.2, p.16-26, 2009.

Leia mais

UMA HEURÍSTICA GRASP PARA O PROBLEMA ESTENDIDO DE SEQUENCIAMENTO DE CARROS

UMA HEURÍSTICA GRASP PARA O PROBLEMA ESTENDIDO DE SEQUENCIAMENTO DE CARROS UMA HEURÍSTICA GRASP PARA O PROBLEMA ESTENDIDO DE SEQUENCIAMENTO DE CARROS Lucas Middeldorf Rizzo Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos, 6627 - Pampulha - Belo Horizonte - MG CEP 31270-901

Leia mais

MODELAGEM E RESOLUÇÃO DO PROBLEMA INTEGRADO DE DIMENSIONAMENTO E SEQUENCIAMENTO DA PRODUÇÃO: CASO DE UMA PEQUENA EMPRESA DE PRODUTOS DE LIMPEZA

MODELAGEM E RESOLUÇÃO DO PROBLEMA INTEGRADO DE DIMENSIONAMENTO E SEQUENCIAMENTO DA PRODUÇÃO: CASO DE UMA PEQUENA EMPRESA DE PRODUTOS DE LIMPEZA MODELAGEM E RESOLUÇÃO DO PROBLEMA INTEGRADO DE DIMENSIONAMENTO E SEQUENCIAMENTO DA PRODUÇÃO: CASO DE UMA PEQUENA EMPRESA DE PRODUTOS DE LIMPEZA LUIZ PHILLIPE MOTA PESSANHA (UENF) phillipempessanha@hotmail.com

Leia mais

Programação Inteira Conteúdos da Seção Programação Inteira Problema Relaxado Solução Gráfica Solução por Enumeração Algoritmo de Branch-And-Bound

Programação Inteira Conteúdos da Seção Programação Inteira Problema Relaxado Solução Gráfica Solução por Enumeração Algoritmo de Branch-And-Bound Programação Inteira Conteúdos da Seção Programação Inteira Problema Relaado Solução Gráfica Solução por Enumeração Algoritmo de Branch-And-Bound Solução Ecel Solução no Lindo Caso LCL Tecnologia S.A. Variáveis

Leia mais

Planejamento do sequenciamento de caminhões em um ambiente de produção sob encomenda

Planejamento do sequenciamento de caminhões em um ambiente de produção sob encomenda Sara Solange Parga Carneiro Planejamento do sequenciamento de caminhões em um ambiente de produção sob encomenda Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do

Leia mais

Uma Ferramenta para otimização em Engenharia Mecânica e aplicações na Fundição Eletromagnética de Metais

Uma Ferramenta para otimização em Engenharia Mecânica e aplicações na Fundição Eletromagnética de Metais Uma Ferramenta para otimização em Engenharia Mecânica e aplicações na Fundição Eletromagnética de Metais Departamento de Engenharia Mecânica COPPE UFRJ STIC-AMSUD, Novembro de 2009 Conteúdo Preliminares

Leia mais

Notas de aula número 1: Otimização *

Notas de aula número 1: Otimização * UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL UFRGS DEPARTAMENTO DE ECONOMIA CURSO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS DISCIPLINA: TEORIA MICROECONÔMICA II Primeiro Semestre/2001 Professor: Sabino da Silva Porto Júnior

Leia mais

Análise do desempenho de variações de uma formulação linear para o. O problema de minimização do número máximo de pilhas abertas é um problema

Análise do desempenho de variações de uma formulação linear para o. O problema de minimização do número máximo de pilhas abertas é um problema Análise do desempenho de variações de uma formulação linear para o problema de minimização do número máximo de pilhas abertas Claudia Fink Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, USP, 13560-970,

Leia mais

UM MODELO PARA O PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO DE MÚLTIPLOS CROSS-DOCKS

UM MODELO PARA O PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO DE MÚLTIPLOS CROSS-DOCKS UM MODELO PARA O PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO DE MÚLTIPLOS CROSS-DOCKS Pâmella S. Miyazaki-Tenório ICMC - USP Av. Trabalhador São-carlense, 13566-590, São Carlos - SP, Brasil pamella.miyazaki@usp.br Franklina

Leia mais

Otimização do processo de corte integrado à produção de bobinas - modelo e métodos de. Sônia Cristina Poltroniere Silva

Otimização do processo de corte integrado à produção de bobinas - modelo e métodos de. Sônia Cristina Poltroniere Silva Otimização do processo de corte integrado à produção de bobinas - modelo e métodos de solução Sônia Cristina Poltroniere Silva serviço de pós-graduação do icmc-usp Data de depósito : 09.02.2006 Assinatura:

Leia mais

ALGORITMO EVOLUTIVO PARA A OTIMIZAÇÃO DA GRADE HORÁRIA DO CURSO DE ENGENHARIA ELÁTRICA DA FEIS-UNESP

ALGORITMO EVOLUTIVO PARA A OTIMIZAÇÃO DA GRADE HORÁRIA DO CURSO DE ENGENHARIA ELÁTRICA DA FEIS-UNESP INSTRUÇÕES PARA A PREPARAÇÃO E SUBMISSÃO DE TRABALHOS PARA CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA 2003 ALGORITMO EVOLUTIVO PARA A OTIMIZAÇÃO DA GRADE HORÁRIA DO CURSO DE ENGENHARIA ELÁTRICA DA FEIS-UNESP

Leia mais

Resolução da Lista 2 - Modelos determinísticos

Resolução da Lista 2 - Modelos determinísticos EA044 - Planejamento e Análise de Sistemas de Produção Resolução da Lista 2 - Modelos determinísticos Exercício 1 a) x ij são as variáveis de decisão apropriadas para o problemas pois devemos indicar quantos

Leia mais

Auxílio à distribuição geográca de recursos utilizando mineração de dados e aprendizado de máquina. M. G. Oliveira

Auxílio à distribuição geográca de recursos utilizando mineração de dados e aprendizado de máquina. M. G. Oliveira Auxílio à distribuição geográca de recursos utilizando mineração de dados e aprendizado de máquina M. G. Oliveira Technical Report - RT-INF_001-11 - Relatório Técnico June - 2011 - Junho The contents of

Leia mais

O USO DA FERRAMENTA SOLVER DO EXCEL NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

O USO DA FERRAMENTA SOLVER DO EXCEL NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR O USO DA FERRAMENTA SOLVER DO EXCEL NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR João Batista de Jesus FATEC-JAHU Célio Favoni 2 FATEC-JAHU Resumo Este trabalho expõe de maneira sintetizada as funcionalidades

Leia mais

Método Simplex - Exemplos. Iteração 1 - variáveis básicas: y 1, y 2, y 3. Exemplo 1. Facom - UFMS. Exemplo. Edna A. Hoshino.

Método Simplex - Exemplos. Iteração 1 - variáveis básicas: y 1, y 2, y 3. Exemplo 1. Facom - UFMS. Exemplo. Edna A. Hoshino. Tópicos Método Simplex - s Edna A. Hoshino 1 Facom - UFMS março de 2010 E. Hoshino (Facom-UFMS) Simplex março de 2010 1 / 21 E. Hoshino (Facom-UFMS) Simplex março de 2010 2 / 21 1 Iteração 1 - variáveis

Leia mais

Aplicação da Heurística Relax-and-Fix no Problema de Dimensionamento e Sequenciamento de Lotes de Produção em Máquinas Distintas em Paralelo

Aplicação da Heurística Relax-and-Fix no Problema de Dimensionamento e Sequenciamento de Lotes de Produção em Máquinas Distintas em Paralelo Aplicação da Heurística Relax-and-Fix no Problema de Dimensionamento e Sequenciamento de Lotes de Produção em Máquinas Distintas em Paralelo Márcio S. Kawamura Departamento de Engenharia de Produção, EPUSP,

Leia mais

1. Método Simplex. Faculdade de Engenharia Eng. Celso Daniel Engenharia de Produção. Pesquisa Operacional II Profa. Dra. Lílian Kátia de Oliveira

1. Método Simplex. Faculdade de Engenharia Eng. Celso Daniel Engenharia de Produção. Pesquisa Operacional II Profa. Dra. Lílian Kátia de Oliveira Faculdade de Engenharia Eng. Celso Daniel Engenharia de Produção. Método Simple.. Solução eata para os modelos de Programação Linear O modelo de Programação Linear (PL) reduz um sistema real a um conjunto

Leia mais

Proposta de Mini-Curso para a XLIII SBPO

Proposta de Mini-Curso para a XLIII SBPO Proposta de Mini-Curso para a XLIII SBPO Artur Alves Pessoa Eduardo Uchoa Departamento de Engenharia de Produção Universidade Federal Fluminense Título: UFFLP: Integrando Programação Inteira Mista e Planilhas

Leia mais

Um Modelo Matemático de Gestão de Recursos Humanos

Um Modelo Matemático de Gestão de Recursos Humanos 30 Um Modelo Matemático de Gestão de Recursos Humanos JORGE SANTOS Departamento de Matemática, Escola Superior de Tecnologia de Viseu 1. Introdução O material que aqui publicamos foi resultado de várias

Leia mais

Técnicas para Programação Inteira e Aplicações em Problemas de Roteamento de Veículos 14

Técnicas para Programação Inteira e Aplicações em Problemas de Roteamento de Veículos 14 1 Introdução O termo "roteamento de veículos" está relacionado a um grande conjunto de problemas de fundamental importância para a área de logística de transportes, em especial no que diz respeito ao uso

Leia mais

Trabalho sobre Escalonamento Estático

Trabalho sobre Escalonamento Estático Disciplina Arquitetura de Computadores II Bacharelado em Ciência da Computação DCC/IM-UFRJ Prof.: Gabriel P. Silva Data: 05/04/2008 1. Introdução Trabalho sobre Escalonamento Estático O programa Livermore

Leia mais

OTIMIZAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO DE BLOCOS DE CONCRETO: UM ESTUDO DE CASO

OTIMIZAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO DA PRODUÇÃO DE BLOCOS DE CONCRETO: UM ESTUDO DE CASO XXX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Maturidade e desafios da Engenharia de Produção: competitividade das empresas, condições de trabalho, meio ambiente. São Carlos, SP, Brasil, 12 a15 de outubro

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguetá Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional Capítulo 2 - Programação Linear Fernando Marins fmarins@feg.unesp.br Departamento de Produção

Leia mais

Luiz Fernando Fernandes de Albuquerque. Avaliação de algoritmos online para seleção de links patrocinados. Dissertação de Mestrado

Luiz Fernando Fernandes de Albuquerque. Avaliação de algoritmos online para seleção de links patrocinados. Dissertação de Mestrado Luiz Fernando Fernandes de Albuquerque Avaliação de algoritmos online para seleção de links patrocinados Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de

Leia mais

DESENVOLVIMENTO DE RECURSOS COMPUTACIONAIS VISANDO O APRENDIZADO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR

DESENVOLVIMENTO DE RECURSOS COMPUTACIONAIS VISANDO O APRENDIZADO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR DESENVOLVIMENTO DE RECURSOS COMPUTACIONAIS VISANDO O APRENDIZADO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR Patrícia Oliveira de Souza Escola de Engenharia Industrial e Metalúrgica de Volta Redonda da UFF Av. dos Trabalhadores

Leia mais

Minicurso SBSE 2012:

Minicurso SBSE 2012: Campus de Ilha Solteira Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira Departamento de Energia Elétrica Minicurso SBSE 2012: Metaheurísticas em sistemas elétricos de potência: introdução ao estudo e aplicações

Leia mais

Elbio Renato Torres Abib. Escalonamento de Tarefas Divisíveis em Redes Estrela MESTRADO. Informática DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA

Elbio Renato Torres Abib. Escalonamento de Tarefas Divisíveis em Redes Estrela MESTRADO. Informática DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA Elbio Renato Torres Abib Escalonamento de Tarefas Divisíveis em Redes Estrela DISSERTAÇÃO DE MESTRADO DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA Programa de Pós graduação em Informática Rio de Janeiro Junho de 2004 Elbio

Leia mais

Aspectos Teóricos e Computacionais do Problema de Alocação de Berços em Portos Marítmos

Aspectos Teóricos e Computacionais do Problema de Alocação de Berços em Portos Marítmos Aspectos Teóricos e Computacionais do Problema de Alocação de Berços em Portos Marítmos Flávia Barbosa Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) flaflabarbosa0@gmail.com Antônio Carlos Moretti Universidade

Leia mais

ão: modelagem e técnicas

ão: modelagem e técnicas Curso de Especialização em Gestão Empresarial (MBA Executivo Turma 15) Disciplina: Pesquisa Operacional Prof. Dr. Álvaro José Periotto 3. Otimização ão: modelagem e técnicas de resolução Passando da daetapa

Leia mais

Dificuldades de Modelos de PNL. Onde está a solução ótima? Outro exemplo: Condição ótima Local vs. Global. 15.053 Quinta-feira, 25 de abril

Dificuldades de Modelos de PNL. Onde está a solução ótima? Outro exemplo: Condição ótima Local vs. Global. 15.053 Quinta-feira, 25 de abril 15.053 Quinta-feira, 25 de abril Teoria de Programação Não-Linear Programação Separável Dificuldades de Modelos de PNL Programa Linear: Apostilas: Notas de Aula Programas Não-Lineares 1 2 Análise gráfica

Leia mais

MICROPLANO Um sistema de apoio à decisão para o planeamento da produção na indústria dos plásticos

MICROPLANO Um sistema de apoio à decisão para o planeamento da produção na indústria dos plásticos C. Silva, L.M. Ferreira / Investigação Operacional, 23 (2003) 131-144 131 MICROPLANO Um sistema de apoio à decisão para o planeamento da produção na indústria dos plásticos Cristóvão Silva Luís M. Ferreira

Leia mais

A UTILIZAÇÃO ADEQUADA DO PLANEJAMENTO E CONTROLE DA PRODUÇÃO (PCP), EM UMA INDÚSTRIA.

A UTILIZAÇÃO ADEQUADA DO PLANEJAMENTO E CONTROLE DA PRODUÇÃO (PCP), EM UMA INDÚSTRIA. A UTILIZAÇÃO ADEQUADA DO PLANEJAMENTO E CONTROLE DA PRODUÇÃO (PCP), EM UMA INDÚSTRIA. KAIHATU, Rodrigo. Discente da Faculdade de Ciências Jurídicas e Gerenciais/ACEG E-mail: rodrigo.hiroshi@hotmail.com

Leia mais

O Método Simplex para

O Método Simplex para O Método Simplex para Programação Linear Formas de Programas Lineares O problema de Programação Matemática consiste na determinação do valor de n variáveis x 1, x 2,, x n que tornam mínimo ou máximo o

Leia mais

Revista Iberoamericana de Ingeniería Mecánica. Vol. 9, N.º 1, pp. 91-100, 2005 PHIL UM SISTEMA DE APOIO AO LOTEAMENTO E SEQUENCIAMENTO DA PRODUÇÃO DE FIBRAS SINTÉTICAS JOÃO PEDRO JOAQUIM, CRISTÓVÃO SILVA

Leia mais

Detecção de Linhas Redundantes em Problemas de Programação Linear de Grande Porte

Detecção de Linhas Redundantes em Problemas de Programação Linear de Grande Porte Detecção de Linhas Redundantes em Problemas de Programação Linear de Grande Porte Aurelio R. L. de Oliveira, Daniele Costa Silva, Depto de Matemática Aplicada, IMECC, UNICAMP, 13083-859, Campinas, SP E-mail:

Leia mais

INF05010 - Otimização combinatória Notas de aula

INF05010 - Otimização combinatória Notas de aula INF05010 - Otimização combinatória Notas de aula Luciana Buriol, Marcus Ritt com contribuições de Alysson M. Costa Versão 3777 de 9 de Maio de 2011 Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de

Leia mais

ESTUDO DA CONDUTIVIDADE TÉRMICA VARIÁVEL EM CILINDROS VAZADOS COM CONDIÇÕES DE CONTORNO DUPLAMENTE CONVECTIVAS

ESTUDO DA CONDUTIVIDADE TÉRMICA VARIÁVEL EM CILINDROS VAZADOS COM CONDIÇÕES DE CONTORNO DUPLAMENTE CONVECTIVAS Proceedings of the 11 th Brazilian Congress of Thermal Sciences and Engineering -- ENCIT 006 Braz. Soc. of Mechanical Sciences and Engineering -- ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 006 Paper CIT06-0346

Leia mais

RODRIGO LEVI RUFCA MODELO MULTICRITÉRIO DE PLANEJAMENTO DE PRODUÇÃO DE CURTO PRAZO PARA UMA EMPRESA DE PRODUTOS ALIMENTÍCIOS

RODRIGO LEVI RUFCA MODELO MULTICRITÉRIO DE PLANEJAMENTO DE PRODUÇÃO DE CURTO PRAZO PARA UMA EMPRESA DE PRODUTOS ALIMENTÍCIOS RODRIGO LEVI RUFCA MODELO MULTICRITÉRIO DE PLANEJAMENTO DE PRODUÇÃO DE CURTO PRAZO PARA UMA EMPRESA DE PRODUTOS ALIMENTÍCIOS Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção do grau de Mestre

Leia mais

Dimensionamento de Estoque de Segurança de Derivados de Petróleo: Metodologia e um Estudo de Caso

Dimensionamento de Estoque de Segurança de Derivados de Petróleo: Metodologia e um Estudo de Caso Emilia de Vasconcelos Barbetta Dimensionamento de Estoque de Segurança de Derivados de Petróleo: Metodologia e um Estudo de Caso Dissertação de Mestrado (Opção profissional) Dissertação apresentada como

Leia mais

Problema de Árvore Geradora Mínima com Restrição de Grau Mínimo e Centrais Fixos 1

Problema de Árvore Geradora Mínima com Restrição de Grau Mínimo e Centrais Fixos 1 Problema de Árvore Geradora Mínima com Restrição de Grau Mínimo e Centrais Fixos 1 Manoel Campêlo, Rafael Castro de Andrade Departamento de Estatística e Matemática Aplicada, Universidade Federal do Ceará

Leia mais

Integração entre Sistemas de Seqüenciamento e ERP para solução de problemas de alteração de ordens de produção devido a eventos inesperados

Integração entre Sistemas de Seqüenciamento e ERP para solução de problemas de alteração de ordens de produção devido a eventos inesperados Integração entre Sistemas de Seqüenciamento e ERP para solução de problemas de alteração de ordens de produção devido a eventos inesperados Helio Galvão Ciffoni, Ramon Hoshino & Walid Nicolas Assad Malisoft

Leia mais

Utilização da metaheurística GRASP para resolução do problema de construção de trilhos de aeronaves

Utilização da metaheurística GRASP para resolução do problema de construção de trilhos de aeronaves Utilização da metaheurística GRASP para resolução do problema de construção de trilhos de aeronaves Alexander A. Pinto 1, Daniel G. Ramos 1, Lucídio A. Formiga 1 1 Departamento de Informática Universidade

Leia mais

ALGORITMO PARA AUTOMAÇÃO DOS PROCESSOS DE PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO NA ÁREA GRÁFICA JOB SHOP

ALGORITMO PARA AUTOMAÇÃO DOS PROCESSOS DE PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO NA ÁREA GRÁFICA JOB SHOP ALGORITMO PARA AUTOMAÇÃO DOS PROCESSOS DE PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO NA ÁREA GRÁFICA JOB SHOP Hirlandson Ricardo Pedrosa Alexandre Alves Silva Universidade Braz Cubas Engenharia de Computação Jesus Franlin

Leia mais

booths remain open. Typical performance analysis objectives for the toll plaza system address the following issues:

booths remain open. Typical performance analysis objectives for the toll plaza system address the following issues: booths remain open. Typical performance analysis objectives for the toll plaza system address the following issues: What would be the impact of additional traffic on car delays? Would adding Simulação

Leia mais

VLSM (Variable Length Subnet Mask)

VLSM (Variable Length Subnet Mask) VLSM e CIDR VLSM (Variable Length Subnet Mask) VLSM (Variable Length Subnet Mask) Técnica que permite que mais de uma máscara de sub-rede seja definida para um dado endereço IP. O campo prefixo de rede

Leia mais

Análise da sensibilidade

Análise da sensibilidade Análise da Sensibilidade Bertolo, L.A. UNIUBE Análise da sensibilidade Em todos os modelos de programação linear, os coeficientes da função objetivo e das restrições são considerados como entrada de dados

Leia mais

PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS COM FROTA MISTA, JANELAS DE TEMPO E CUSTOS ESCALONADOS RESUMO

PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS COM FROTA MISTA, JANELAS DE TEMPO E CUSTOS ESCALONADOS RESUMO PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS COM FROTA MISTA, JANELAS DE TEMPO E CUSTOS ESCALONADOS João L. V. Manguino Universidade de São Paulo Escola Politécnica Av. Almeida Prado, 128, Cidade Universitária São

Leia mais

Otimização de Redes de Distribuição de Água com Estações de Bombeamento 1

Otimização de Redes de Distribuição de Água com Estações de Bombeamento 1 Submetido para TEMA Otimização de Redes de Distribuição de Água com Estações de Bombeamento 1 C. H. DIAS 2, F. A. M. GOMES 3, Departamento de Matemática Aplicada, IMECC UNICAMP, 13081-970, Campinas, SP,

Leia mais

UMA HEURÍSTICA PARA O PROBLEMA DE EMPACOTAMENTO DE BINS TRIDIMENSIONAIS

UMA HEURÍSTICA PARA O PROBLEMA DE EMPACOTAMENTO DE BINS TRIDIMENSIONAIS UMA HEURÍSTICA PARA O PROBLEMA DE EMPACOTAMENTO DE BINS TRIDIMENSIONAIS José Lassance de Castro Silva Nei Yoshihiro Soma Nelson Maculan Departamento de Computação, Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Leia mais

PCC173 - Otimização em Redes

PCC173 - Otimização em Redes PCC173 - Otimização em Redes Marco Antonio M. Carvalho Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal de Ouro Preto 25 de fevereiro de 2015 Marco Antonio M. Carvalho

Leia mais

Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões. Conteúdos do Capítulo. Programação Linear. Lindo. s.t. Resolvendo Programação Linear Em um Microcomputador

Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões. Conteúdos do Capítulo. Programação Linear. Lindo. s.t. Resolvendo Programação Linear Em um Microcomputador ª Edição Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões Resolvendo Programação Linear Em um Microcomputador Gerson Lachtermacher,00 Programação Linear Software Versão Windows e comandos Formulação do problema

Leia mais

Introdução à Pesquisa Operacional - Otimização Linear

Introdução à Pesquisa Operacional - Otimização Linear Introdução à Pesquisa Operacional - Otimização Linear Professora: Maristela Oliveira dos Santos - mari@icmc.usp.br Auxilio 2009: Victor C.B. Camargo Auxilio 2010 - PAE: Marcos Mansano Furlan - L-1007 Instituto

Leia mais

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL EM AÇÃO

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL EM AÇÃO INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL EM AÇÃO CASOS DE APLICAÇÃO RUI CARVALHO OLIVEIRA JOSÉ SOEIRO FERREIRA (EDITORES) IMPRENSA DA UNIVERSIDADE DE COIMBRA COIMBRA UNIVERSITY PRESS CASO 7 SISTEMA DE APOIO À DECISÃO

Leia mais

Teoria Económica Clássica e Neoclássica

Teoria Económica Clássica e Neoclássica Teoria Económica Clássica e Neoclássica Nuno Martins Universidade dos Açores Jornadas de Estatística Regional 29 de Novembro, Angra do Heroísmo, Portugal Definição de ciência económica Teoria clássica:

Leia mais

Modelo de Cálculo do Custo de Escoamento de Óleo da Bacia de Campos RJ, usando a Técnica de Custo Baseado na Atividade ABC Costing.

Modelo de Cálculo do Custo de Escoamento de Óleo da Bacia de Campos RJ, usando a Técnica de Custo Baseado na Atividade ABC Costing. José Lima da Silva Modelo de Cálculo do Custo de Escoamento de Óleo da Bacia de Campos RJ, usando a Técnica de Custo Baseado na Atividade ABC Costing. Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como

Leia mais

Um algoritmo de particionamento recursivo para o problema de empacotamento de retângulos em retângulos

Um algoritmo de particionamento recursivo para o problema de empacotamento de retângulos em retângulos Um algoritmo de particionamento recursivo para o problema de empacotamento de retângulos em retângulos Ernesto Julián Goldberg Birgin 1, Rafael Durbano obato e Reinaldo Morabito 3 1 Universidade de São

Leia mais

NORMAS PARA AUTORES. As normas a seguir descritas não dispensam a leitura do Regulamento da Revista Portuguesa de Marketing, disponível em www.rpm.pt.

NORMAS PARA AUTORES. As normas a seguir descritas não dispensam a leitura do Regulamento da Revista Portuguesa de Marketing, disponível em www.rpm.pt. NORMAS PARA AUTORES As normas a seguir descritas não dispensam a leitura do Regulamento da Revista Portuguesa de Marketing, disponível em www.rpm.pt. COPYRIGHT Um artigo submetido à Revista Portuguesa

Leia mais

PROBLEMAS COM O USO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR COM POSTERIOR ARREDONDAMENTO DA SOLUÇÃO ÓTIMA, EM REGULAÇÃO FLORESTAL 1

PROBLEMAS COM O USO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR COM POSTERIOR ARREDONDAMENTO DA SOLUÇÃO ÓTIMA, EM REGULAÇÃO FLORESTAL 1 Problemas com o Uso de Programação Linear com... 677 PROBLEMAS COM O USO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR COM POSTERIOR ARREDONDAMENTO DA SOLUÇÃO ÓTIMA, EM REGULAÇÃO FLORESTAL 1 Gilson Fernandes da Silva 2, Helio

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA. Marcelo Marcel Cordova

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA. Marcelo Marcel Cordova UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Marcelo Marcel Cordova TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO NÃO-DIFERENCIÁVEL PARA A RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DO COMISSIONAMENTO DE UNIDADES GERADORAS

Leia mais

LEONARDO JUNQUEIRA PRÊMIO ABRALOG

LEONARDO JUNQUEIRA PRÊMIO ABRALOG LEONARDO JUNQUEIRA PRÊMIO ABRALOG Documentação apresentada à Banca Examinadora do Prêmio ABRALOG como parte dos requisitos para participação do Prêmio ABRALOG (Edição 2013) na categoria Estudante de Logística.

Leia mais

Complemento IV Introdução aos Algoritmos Genéticos

Complemento IV Introdução aos Algoritmos Genéticos Complemento IV Introdução aos Algoritmos Genéticos Esse documento é parte integrante do material fornecido pela WEB para a 2ª edição do livro Data Mining: Conceitos, técnicas, algoritmos, orientações e

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Pesquisa Operacional Tópicos em Programação Linear e Inteira Prof. Dr.Ricardo Ribeiro dos Santos ricr.santos@gmail.com Universidade Católica Dom Bosco - UCDB Engenharia de Computação Roteiro Introdução

Leia mais

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser:

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

FUNÇÃO PENALIDADE POLINOMIAL E SENOIDAL PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO REATIVO COM VARIÁVEIS DISCRETAS

FUNÇÃO PENALIDADE POLINOMIAL E SENOIDAL PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO REATIVO COM VARIÁVEIS DISCRETAS FUNÇÃO PENALIDADE POLINOMIAL E SENOIDAL PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO REATIVO COM VARIÁVEIS DISCRETAS Daisy Paes Silva Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica, UNESP -

Leia mais

2.1. Modelagem do sistema

2.1. Modelagem do sistema PLANO ÓIMO DE PRODUÇÃO EM UMA CADEIA DE SUPRIMENO COM LOGÍSICA REVERSA Oscar Salviano Silva Filho Centro de Pesquisas Renato Archer CenPRA Rod. D. Pedro I, Km 43,6 38-97 Campinas SP Brasil E-mail: oscar.salviano@cenpra.gov.br

Leia mais

OTIMIZAÇÃO DE CUSTOS DE PLANOS DE CORTE EM BOBINAS DE AÇO.

OTIMIZAÇÃO DE CUSTOS DE PLANOS DE CORTE EM BOBINAS DE AÇO. OTIMIZAÇÃO DE CUSTOS DE PLANOS DE CORTE EM BOBINAS DE AÇO. Leandro Maciel Turi Universidade de São Paulo leandro_m_turi@hotmail.com.br Celso Mitsuo Hino Universidade de São Paulo cmhino@usp.br RESUMO O

Leia mais

Pesquisa Operacional Programação em Redes

Pesquisa Operacional Programação em Redes Pesquisa Operacional Programação em Redes Profa. Alessandra Martins Coelho outubro/2013 Modelagem em redes: Facilitar a visualização e a compreensão das características do sistema Problema de programação

Leia mais

Simulação de um catálogo espectrofotométrico III ABC do método de Monte Carlo. Laerte Sodré Jr. Fevereiro, 2011

Simulação de um catálogo espectrofotométrico III ABC do método de Monte Carlo. Laerte Sodré Jr. Fevereiro, 2011 Simulação de um catálogo espectrofotométrico III ABC do método de Monte Carlo Laerte Sodré Jr. Fevereiro, 2011 O começo: População e Amostra População: uma coleção completa de objetos (pessoas, animais,

Leia mais

EA772 CIRCUITOS LÓGICOS

EA772 CIRCUITOS LÓGICOS EA772 CIRCUITOS LÓGICOS LISTA DE EXERCÍCIOS 1º Semestre, 2015 Minimização de funções, Cicuitos combinacionais e aplicações, Circuitos aritméticos, Codificadores, Multiplexadores. Exercício 1. a) Modifique

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL NA TOMADA DE DECISÃO

PESQUISA OPERACIONAL NA TOMADA DE DECISÃO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS CCE DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Curso de Especialização Lato Sensu em Engenharia de Produção com enfoque em Pesquisa Operacional PESQUISA OPERACIONAL NA TOMADA DE DECISÃO Professores:

Leia mais

Alysson M. Costa Universidade de São Paulo - Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação. e-mail: alysson@icmc.usp.br

Alysson M. Costa Universidade de São Paulo - Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação. e-mail: alysson@icmc.usp.br UM MODELO MATEMÁTICO PARA A RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE ALOCAÇÃO DE SALAS NO INSTITUTO DE CIÊNCIAS MATEMÁTICAS E DE COMPUTAÇÃO DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Rafael Bernardo Zanetti Cirino Universidade de São

Leia mais

UM SISTEMA DE OTIMIZAÇÃO APLICADO AO DESDOBRO DE MADEIRA

UM SISTEMA DE OTIMIZAÇÃO APLICADO AO DESDOBRO DE MADEIRA UM SISTEMA DE OTIMIZAÇÃO APLICADO AO DESDOBRO DE MADEIRA Rosilei de Souza Nova PPGMNE/UFPR Centro Politécnico - Curitiba, PR ms_rsnova@hotmail.com Arinei Carlos Lindbec da Silva PPGMNE/UFPR Curitiba, PR

Leia mais

uma classe de sistemas elipticos envolvendo o operador p-laplaciano em dominio nao limitado

uma classe de sistemas elipticos envolvendo o operador p-laplaciano em dominio nao limitado Seminário Brasileiro de Análise - SBA Instituto de Matemática e Estatatística - USP Edição N 0 68 Novembro 2008 uma classe de sistemas elipticos envolvendo o operador p-laplaciano em dominio nao limitado

Leia mais

Aplicações de Otimização em Processos Industriais

Aplicações de Otimização em Processos Industriais Aplicações de Otimização em Processos Industriais Maria Cristina N. Gramani gramani@mackenzie.com.br Departamento de Engenharia de Produção Escola de Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Organização

Leia mais

MODELOS DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS EM SAÚDE - QUIMIOTERAPIA NO CÂNCER DE MAMA

MODELOS DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS EM SAÚDE - QUIMIOTERAPIA NO CÂNCER DE MAMA MODELOS DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS EM SAÚDE - QUIMIOTERAPIA NO CÂNCER DE MAMA R. M. Gênova 1, R. T. Almeida 1, M. I. Gadelha 2 1 Programa de Engenharia Biomédica do Instituto Alberto Luis Coimbra (COPPE),

Leia mais

Técnicas de Divisão e Conquista e de Programação Dinâmica para a resolução de Problemas de Otimização

Técnicas de Divisão e Conquista e de Programação Dinâmica para a resolução de Problemas de Otimização Técnicas de Divisão e Conquista e de Programação Dinâmica para a resolução de Problemas de Otimização Francisco Vando Carneiro Moreira Gerardo Valdisio Rodrigues Viana Faculdade Lourenço Filho Universidade

Leia mais

OTIMIZAÇÃO VETORIAL. Formulação do Problema

OTIMIZAÇÃO VETORIAL. Formulação do Problema OTIMIZAÇÃO VETORIAL Formulação do Problema Otimização Multiobjetivo (também chamada otimização multicritério ou otimização vetorial) pode ser definida como o problema de encontrar: um vetor de variáveis

Leia mais

Uso de SAS/OR para diminuir o tempo de resposta com um melhor posicionamento de ambulâncias.

Uso de SAS/OR para diminuir o tempo de resposta com um melhor posicionamento de ambulâncias. Uso de SAS/OR para diminuir o tempo de resposta com um melhor posicionamento de ambulâncias. Fábio França 1, 1 Logical Optimization Rua Tanhaçu número 405, CEP 05679-040 São Paulo, Brasil fabio.franca@optimization.com.br

Leia mais

Braskem Máxio. Maio / May 2015

Braskem Máxio. Maio / May 2015 Maio / May 2015 Braskem Máxio Braskem Máxio Braskem Maxio é um selo que identifica resinas de PE, PP ou EVA dentro do portfólio da Braskem com menor impacto ambiental em suas aplicações. Esta exclusiva

Leia mais

O Problema do Transporte. Pesquisa Operacional. Formulação do Problema. Descrição Geral de um problema de transporte. Parte 2

O Problema do Transporte. Pesquisa Operacional. Formulação do Problema. Descrição Geral de um problema de transporte. Parte 2 Pesquisa Operacional Parte Graduação em Engenharia de Produção DEPROT / UFRGS Prof. Flavio Fogliatto, Ph.D. O Problema do Transporte Descrição Geral de um problema de transporte:. Um conjunto de m pontos

Leia mais

unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA HEURÍSTICA SURROGATE PARA O PROBLEMA DE CARREGAMENTO DE PALETES DO PRODUTOR

unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA HEURÍSTICA SURROGATE PARA O PROBLEMA DE CARREGAMENTO DE PALETES DO PRODUTOR unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DE COMPUTAÇÃO E ESTATÍSTICA HEURÍSTICA SURROGATE PARA O PROBLEMA DE CARREGAMENTO DE PALETES

Leia mais

Análise Probabilística de Semântica Latente aplicada a sistemas de recomendação

Análise Probabilística de Semântica Latente aplicada a sistemas de recomendação Diogo Silveira Mendonça Análise Probabilística de Semântica Latente aplicada a sistemas de recomendação Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de

Leia mais