Otimização Contínua e Discreta

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1 Universidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia de Produção Otimização Contínua e Discreta PPGEP - Semestre 01/2015 Prof. Pedro Munari (munari@dep.ufscar.br)

2 Objetivos da aula de hoje Estudar o método Subgradiente e como aplicá-lo; Estudar aplicações da Relaxação Lagrangiana em problemas de otimização linear discreta, seus benefícios e suas particularidades.

3 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Resolva o problema de dimensionamento de lotes abaixo usando Relaxação Lagrangiana e o método de planos de corte. min 1.0x x x x x x I I I I 22 s.a 0.1x x x x x x x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 I 10 = 0, I 20 = 0 x 11, x 12,..., x 23 0 I 11, I 12,..., I 23 0

4 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício Após aplicar relaxação Lagrangiana: max 240p p p3+ p 1,p 2,p min ( p 1)x 11 + ( p 2)x 12 +( p 3)x I I 12 s.a x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 I 10 = 0 x 11, x 12, x 13 0 I 11, I 12, I min ( p 1)x 21 + ( p 2)x 22 +( p 3)x I I 22 s.a x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 I 20 = 0 x 21, x 22, x 23 0 I 21, I 22, I 23 0

5 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 0 Problema mestre relaxado inicial (PMR 0 ) max 240p p p 3 + v 1 + v p p p 3 0 v v p = (0, 0, 0); v = (10 4, 10 4 )

6 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 0 (SP 0 1 ) min ( p 1 )x11 + ( p 2 )x12 0.1p 3 )x I I12 +(2.0 s.a x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 I 10 = 0 x 11, x 12, x 13 0 I 11, I 12, I 13 0 x x 12 0 x 13 Ī = , f1 = 6750 < v 1 Ī Ī 13 0 Um novo corte deve ser inserido: (c 1 p T A 1 ) x1 v 1 Ī 1 c 1 x1 Ī 1 p T A 1 x1 Ī 1 v (p 1, p 2, p 3) 0 v1 0 v p

7 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 0 (SP 0 2 ) min 0.08p 2 )x22 +( p 3 )x I I22 ( p 1 )x21 + (0.5 s.a x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 I 20 = 0 x 21, x 22, x 23 0 I 21, I 22, I 23 0 x x x 23 Ī = , f2 = 1100 < v 2 Ī Ī 23 0 Um novo corte deve ser inserido: (c 2 p T A 2 ) x2 v 2 Ī 2 c 2 x2 Ī 2 p T A 2 x2 Ī 2 v (p 1, p 2, p 3) 112 v2 0 v2 + 32p p

8 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 1 Problema mestre relaxado (PMR 1 ) max 240p p p 3 + v 1 + v 2 v p v2 + 32p p p p p 3 0 v v p = ( , 0, 0); v = (10 4, ); g =

9 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 1 (SP 1 1 ) min ( )x11 + ( p 2 )x12 +( p 3 )x I I12 s.a x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 I 10 = 0 x 11, x 12, x 13 0 I 11, I 12, I 13 0 x 11 x 12 x 13 Ī = 11 Ī 12 Ī , f1 = < v Um novo corte deve ser inserido: (c 1 p T A 1 ) x1 v 1 Ī (p 1, p 2, p 3) 360 v1 0 v1 + 90p p

10 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 1 (SP 1 2 ) min ( )x21 + ( p 2 )x22 +( p 3 )x I I22 s.a x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 I 20 = 0 x 21, x 22, x 23 0 I 21, I 22, I 23 0 v 2 está bem estimado! Nenhum corte será inserido. x 21 x 22 x 23 Ī 21 Ī 22 Ī 23 = , f2 = 1332 > v 2

11 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 2 Problema mestre relaxado (PMR 2 ) max 240p p p 3 + v 1 + v 2 v p v2 + 32p p v1 + 90p p p p p 3 0 v v p = ( , , 0); v = (10 4, 2140); g =

12 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 2 (SP 2 1 ) min ( )x11 + ( )x12 +( p 3 )x I I12 s.a x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 I 10 = 0 x 11, x 12, x 13 0 I 11, I 12, I 13 0 x x 12 0 x 13 Ī = , f1 = < v 1 Ī 12 0 Ī 13 0 Um novo corte deve ser inserido: (c 1 p T A 1 ) x1 v 1 Ī (p 1, p 2, p 3) 0 v1 180 v p p

13 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 2 (SP 2 2 ) min ( )x21 + ( )x22 +( p 3 )x I I22 s.a x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 I 20 = 0 x 21, x 22, x 23 0 I 21, I 22, I 23 0 x x x 23 Ī = , f2 = 1800 < v 2 Ī 22 0 Ī 23 0 Um novo corte deve ser inserido: (c 2 p T A 2 ) x2 v 2 Ī (p 1, p 2, p 3) 48 v2 64 v2 + 32p p p

14 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 3 Problema mestre relaxado (PMR 3 ) max 240p p p 3 + v 1 + v 2 v p v2 + 32p p v1 + 90p p v p p v2 + 32p p p p p p 3 0 v v p = ( 1.875, 1.875, 0); v = ( , 1370); g =

15 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 3 (SP 3 1 ) min ( )x11 + ( )x12 +( p 3 )x I I12 s.a x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 I 10 = 0 x 11, x 12, x 13 0 I 11, I 12, I 13 0 O limitante está bem estimado! Nenhum corte a inserir. x 11 x 12 x 13 Ī 11 Ī 12 Ī 13 = , f1 = = v 1

16 Método de planos de corte (geração de restrições) Exercício: Iteração 3 (SP 3 2 ) min ( )x21 + ( )x22 +( p 3 )x I I22 s.a x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 I 20 = 0 x 21, x 22, x 23 0 I 21, I 22, I 23 0 x 21 x 22 x 23 Ī = 21 Ī 22 Ī , f2 = 1370 = v O limitante está bem estimado! Nenhum corte a inserir. Solução ótima encontrada!

17 Método Subgradiente A otimização de funções contínuas e diferenciáveis pode ser feita usando-se o método gradiente; Dado uma função diferenciável g e um dado ponto p em seu domínio, o gradiente g(p) aponta para a direção de crescimento da função a partir do ponto p; Dado um ponto inicial p 0, o método gradiente calcula uma sequência de iterações p i+1 = p i + α i g(p i ), i = 0, 1, 2,... até que g(p i ) = 0 para algum i; Quando a função não é diferenciável, não é possível calcular o gradiente em todos os seus pontos e, assim, recorremos a um subgradiente.

18 Método Subgradiente Seja g : R m R uma função côncava; Um subgradiente de g no ponto p é qualquer vetor s R m que satisfaz g(p) g( p) + s T (p p), p R m. O método subgradiente é comumente usado para encontrar o ótimo de funções côncavas lineares por partes; Em geral, resolve problemas do tipo: { } max g(p) = min p R m t=1,...,t {ht p γ t }. sendo h t p = γ t, t = 1,..., T, um conjunto de T hiperplanos conhecidos. Nesses casos, o vetor h t é um subgradiente.

19 Método Subgradiente

20 Método Subgradiente

21 Método Subgradiente

22 Método Subgradiente

23 Método Subgradiente

24 Método Subgradiente

25 Método Subgradiente Seja g : R m R uma função côncava; Um subgradiente de g no ponto p é qualquer vetor s( p) R m que satisfaz g(p) g( p) + s( p) T (p p), p R m. É método subgradiente é comumente usado encontrar o ótimo de funções côncavas lineares por partes. Em geral, resolve problemas do tipo: { } max g(p) = min p R m t=1,...,t {ht p γ t }. sendo h t p = γ t, t = 1,..., T, um conjunto de T hiperplanos conhecidos. Nesses casos, o vetor h t é um subgradiente.

26 Método Subgradiente Em relaxação Lagrangiana, queremos resolver: max g(p) = min p Rm x 0 c 1 x c K x K + p T (b A 1 x 1... A K x K ) s.t. D 1 x 1 = d 1 D 2 x 2 = d D K x K = d K Usando a notação X k = {x k D k x k = d k, 0 x k u k }, reescrevemos: max g(p) p R m = min c 1 x c K x K + p T (b A 1 x 1... A K x K ) x k X k k=1,...,k

27 Método Subgradiente Substituindo em x k todos os pontos extremos de X k, os quais são denotados por x k q, q Qk, obtemos: max g(p) p R m = min q Q k k=1,...,k c 1 x 1 q ck x K q + pt (b A 1 x 1 q... AK x K q ) Assim, temos uma função côncava linear por partes, do tipo: { } max g(p) = min p R m t=1,...,t {ht p γ t }, com h t = (b A 1 x 1 q... A K x K q ) e γ t = c 1 x 1 q c K x K q. Logo, podemos aplicar o método subgradiente, usando como subgradiente: s = (b A 1 x 1 q... AK x K q ).

28 Método Subgradiente Como não é viável calcular todos os pontos extremos de cada X k a priori, fazemos isso de forma iterativa; Para um dado vetor de multiplicadores p, cada subproblema de minimização é resolvido independentemente, como visto antes: g( p) = min c 1 x c K x K + p T (b A 1 x 1... A K x K ) x k X k k=1,...,k K = p T b + min p T A k )x k x k=1 X k(ck Então, os pontos extremos x k q obtidos como soluções dos subproblemas são usados para calcular o subgradiente: s = (b A 1 x 1 q... A K x K q ).

29 Método Subgradiente 1. Iniciando com um multiplicador p 0 e índice i = 0, fazemos: 2. Resolver cada subproblema min x k X k(ck p i A k )x k ; 3. Sejam x k q os pontos extremos obtidos como solução dos subproblemas; 4. Calcular o gradiente s i = (b A 1 x 1 q... A K x K q ); 5. Determinar um tamanho de passo α i > 0; 6. Obter um novo vetor de multiplicadores p i+1 = min{0, p i + α is i }; 7. Se o critério de parada não for satisfeito, incrementar i e voltar para o Passo 2.

30 Método Subgradiente Em geral, o método é muito sensível à escolha do tamanho de passo α i; Algumas regras: 1. α i = (δ) i α 0, para algum δ < 1; 2. α i = ε i (LS g(p i )) s i 2, com 0 < ε i < 2 e LS limitante superior para g(p ); Pode-se fazer ε i+1 = δ ε i quando g(p i+1 ) g(p i ), δ < Pode-se usar também um limitante inferior LI g(p ): α i = ε i (g(p i ) LI) s i 2.

31 Método Subgradiente Teorema [Wolsey (1998), p. 174] 1. Se i αi e αi 0 quando k, então g(pi ) g(p ), sendo g(p ) o valor ótimo do problema dual Lagrangiano; 2. Se α i = (δ) i α 0 para algum δ < 1, então g(p i ) g(p ) se α 0 e δ forem suficientemente grandes; 3. Se LI g(p (g(p i ) LI) ) e α i = ε i com 0 < ε s i 2 i < 2, então g(p i ) g(p ), ou o algoritmo encontra p i com LI g(p i ) g(p ). Ver também: 1. Held et al., Validation of subgradient optimization, Math Progr, 1974; 2. Bazaraa and Sherali, On the choice of step size in subgradient optimization, EJOR, 1981.

32 Método Subgradiente Idealmente, o critério de parada deveria ser s t = 0 (condição necessária para ponto ótimo); Entretanto, esse critério é raramente atingido na prática e, assim, o algoritmo é terminado quando um número máximo de iterações é atingido ou quando a mudança no valor da função objetivo se torna muito pequena.

33 Método Subgradiente Exercício: Resolva o problema de dimensionamento de lotes abaixo usando Relaxação Lagrangiana e o método subgradiente. min 1.0x x x x x x I I I I 22 s.a 0.1x x x x x x x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 I 10 = 0, I 20 = 0 x 11, x 12,..., x 23 0 I 11, I 12,..., I 23 0

34 Método Subgradiente Após aplicar relaxação Lagrangiana: max 240p p p3+ p 1,p 2,p min ( p 1)x 11 + ( p 2)x 12 +( p 3)x I I 12 s.a x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 I 10 = 0 x 11, x 12, x 13 0 I 11, I 12, I min ( p 1)x 21 + ( p 2)x 22 +( p 3)x I I 22 s.a x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 I 20 = 0 x 21, x 22, x 23 0 I 21, I 22, I 23 0

35 Método Subgradiente Diferentemente do método de planos de corte, o método subgradiente é sem memória. Em planos de corte, as soluções dos subproblemas são mantidas na forma de restrições no problema mestre e, assim, não são esquecidas (nem recalculadas); Já no subgradiente, as soluções são usadas para calcular a direção apenas. Uma vez que o ponto foi atualizado, essa direção é esquecida. É comum ter-se um comportamento zig-zag como no método gradiente, em que os multiplicadores oscilam de um lado para o outro em iterações consecutivas, sem progredir com o valor da função objetivo; Esse comportamento é ainda pior no subgradiente, devido zerarmos as componentes que se tornam positivas; Vantagens do subgradiente: iterações rápidas; simples de implementar.

36 Problemas de otimização discretos Até o momento vimos a aplicação da Relaxação Lagrangiana a problemas de otimização contínua; Quais a principal vantagem nesse contexto? Permite explorar a estrutura do problema, reduzindo-o a problemas mais fáceis ; Nos últimos anos, com o avanço da computação e softwares de otimização, essa vantagem já não é tão significativa; Assim, a Relaxação Lagrangiana tem sua principal aplicação em problemas de otimização discreta.

37 Problemas de otimização discretos Principais motivos para seu sucesso em otimização discreta: Os subproblemas são tipicamente problemas de otimização combinatória e, assim, resolvê-los separadamente pode contribuir significativamente para a melhoria do desempenho; Além disso, esses subproblemas são geralmente problemas clássicos, como o problema da mochila, de caminho mínimo, etc. e, assim, podem ser usados algoritmos específicos para resolvê-los de forma mais eficiente; O problema dual Lagrangiano fornece um limitante inferior para o problema original (minimização) que, em muitas vezes, é bem melhor que aquele fornecido pela relaxação linear. Por que?

38 Relaxação Lagrangiana em Otimização Discreta min f(x) = c T x, s.t. Ax = b, (restrições de acoplamento) Dx = d, (estrutura em blocos) x Z n + D = D 1 D 2... D K

39 Relaxação Lagrangiana em Otimização Discreta min f(x) = c T x, s.t. Ax = b, (restrições de acoplamento) Dx = d, (estrutura em blocos) x Z n + D = D 1 D 2... D K

40 Relaxação Lagrangiana em Otimização Discreta min c 1 x 1 + c 2 x c K x K s.t. A 1 x 1 + A 2 x A K x K = b D 1 x 1 = d 1 D 2 x 2 = d D K x K = d K x Z n +

41 Relaxação Lagrangiana em Otimização Discreta Para um dado vetor de multiplicadores p R m : g(p) = min x Z n + c 1 x 1 + c 2 x c K x K + p T (b A 1 x 1 A 2 x 2... A K x K ) s.t. D 1 x 1 = d 1 D 2 x 2 = d D K x K = d K g(p) = min x Z n + p T b + (c 1 p T A 1 )x 1 + (c 2 p T A 2 )x (c K p T A K )x K s.t. D 1 x 1 = d 1 D 2 x 2 = d D K x K = d K

42 Relaxação Lagrangiana em Otimização Discreta g(p) = p T b + min x 1 Z n {(c 1 p T A 1 )x 1 D 1 x 1 = d 1 } + min x K Z n K + {(c K p T A K )x K D K x K = d K } = p T b + K k=1 min x k Z n k + Para todo p R m e x factível: g(p) f(x ); Em geral, g(p) f(x ) para todo p R n ; {(c k p T A k )x k D k x k = d k } Melhor limitante Problema Dual Lagrangiano: K max g(p) = max p Rm p R m pt b + min {(c k p T A k )x k D k x k = d k } k=1 x k Z n k +

43 Relaxação Lagrangiana em Otimização Contínua g(p) = p T b + min {(c 1 p T A 1 )x 1 D 1 x 1 = d 1 } x min {(c 2 p T A 2 )x 2 D 2 x 2 = d 2 } x min {(c K p T A K )x K D K x K = d K } x K 0 K = p T b + min {(c k p T A k )x k D k x k = d k } x k=1 0 Para todo p R m e x factível: g(p) f(x); Problema Dual Lagrangiano: { } K max g(p) = max p T b + min {(c k p T A k )x k D k x k = d k } p Rm p R m x k=1 k 0

44 Relaxação Lagrangiana em Otimização Contínua min f(x) = c T x, s.t. Ax = b, (restrições de acoplamento) Dx = d, (estrutura em blocos) x R n + D = D 1 D 2... D K

45 Problemas de otimização discretos Temos sempre min x k Z n k + {(c k p T A k )x k D k x k = d k } min {(c k p T A k )x k D k x k = d k }; x k 0 Assim, pelo domínio dos subproblemas, a Relaxação Lagrangiana mantém a integralidade das variáveis no caso discreto. A solução ótima de cada subproblema é inteira e, portanto, o limitante fornecido pelo problema dual Lagrangiano é melhor do que aquele obtido pela relaxação linear do problema original. E se o subproblema tiver a propriedade de integralidade? (i.e. a solução ótima da relaxação linear está em Z n k + ) R: Temos igualdade na relação acima :(

46 PDL com restrição de capacidade e tempo de preparação min s.a n T n T n T c it x it + h it I it + s i y it i=1 t=1 i=1 t=1 i=1 t=1 n (a i x it + st i y it ) b t, t = 1,..., T, i=1 x it + I i,t 1 = d it + I it, i = 1,..., n; t = 1,..., T, x it Cy it, i = 1,..., n; t = 1,..., T, I i0 = 0, i = 1,..., n, x it 0, I it 0, y it {0, 1} i = 1,..., n; t = 1,..., T.

47 PDL com restrição de capacidade e tempo de preparação Exemplo Uma indústria de refrigerantes produz dois tipos de bebidas, por meio de um único tanque. Para processar 1000 litros da bebida 1 são necessárias 100 horas do tanque, enquanto para 1000 litros da bebida 2, são necessárias 80 horas. A produção de uma bebida em um dado período requer a limpeza e resfriamento do tanque. Esse tempo é de 12 horas para a bebida 1 e 8 horas para a bebida 2. A disponibilidade do tanque para a fabricação destas bebidas nos próximos 3 meses é de 240, 320 e 200 horas. O departamento de vendas fez uma previsão de demanda para os próximos 3 meses. A demanda de cada bebida e os possíveis custos envolvidos são dados na tabela abaixo. Deseja-se determinar quanto produzir e estocar de cada bebida em cada período. Bebida 1 Bebida 2 Período Demanda (L) Custo prod (R$/L) Custo estoc (R$/L) Custo prep (R$)

48 PDL com restrição de capacidade e tempo de preparação Exemplo: formulação min 1.0x x x x x x I I I I y y y y y y 23 s.a 0.1x x y y x x y y x x y y x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 x y 11 x y 21 x y 12 x y 22 x y 13 x y 23 I 10 = 0, I 20 = 0 x 11, x 12,..., x 23 0 I 11, I 12,..., I 23 0 y 11, y 12,..., y 23 {0, 1}

49 PDL com restrição de capacidade e tempo de preparação Exemplo: formulação min 1.0x x x x x x I I I I y y y y y y 23 s.a 0.1x x y y (p 1) 0.1x x y y (p 2) 0.1x x y y (p 3) x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 x y 11 x y 21 x y 12 x y 22 x y 13 x y 23 I 10 = 0, I 20 = 0 x 11, x 12,..., x 23 0 I 11, I 12,..., I 23 0 y 11, y 12,..., y 23 {0, 1}

50 PDL com restrição de capacidade e tempo de preparação Exemplo: problema dual Lagrangiano max 240p p p3+ p 1,p 2,p min ( p 1)x 11 + ( p 2)x 12 +( p 3)x I I 12 +( p 1)y 11 + ( p 2)y 12 +( p 3)y 13 s.a x 11 + I 10 I 11 = 900 x 12 + I 11 I 12 = 1800 x 13 + I 12 I 13 = 1800 x y 11 x y 12 x y 13 I 10 = 0 x 11, x 12, x 13 0 I 11, I 12, I 13 0 y 11, y 12, y 13 {0, 1} + min ( p 1)x 21 + ( p 2)x 22 +( p 3)x I I 22 +( p 1)y 21 + ( p 2)y 22 +( p 3)y 23 s.a x 21 + I 20 I 21 = 400 x 22 + I 21 I 22 = 600 x 23 + I 22 I 23 = 800 x y 21 x y 22 x y 23 I 20 = 0 x 21, x 22, x 23 0 I 21, I 22, I 23 0 y 21, y 22, y 23 {0, 1}

51 Problemas de otimização discretos A aplicação dos métodos continua a mesma no caso discreto; Deve-se tomar cuidado apenas com a teoria do método de plano de cortes, pois a solução ótima dos subproblemas não é necessariamente um ponto extremo ou raio extremo!

52 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

53 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

54 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

55 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

56 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) Problema Dual Lagrangiano: max g(p) = max p Rm p R m { p T b + } K min p T A k )x k D k x k = d k } x k X k{(ck k=1 com X k = {x k D k x k = d k, x k Z n k + }; Para formulá-lo como um problema de programação linear, precisamos eliminar as minimizações internas; Para um dado p R m, temos que o k-ésimo subproblema pode ou ter solução ótima ou ser ilimitado; Para continuarmos com o conceito de pontos e raios extremos, precisamos recorrer ao envoltório convexo C k dos pontos inteiros em X k, combinado com possíveis raios extremos do conjunto.

57 Aula 02: Programação linear Envoltório convexo x 1 x 3 x 2 x 3 x 7 x 5 x 4 x 6

58 Aula 02: Programação linear Envoltório convexo x 1 x 3 x 2 x 3 x 7 x 5 x 4 x 6

59 Aula 02: Programação linear Envoltório convexo x 1 x 3 x 2 x 3 x 7 x 5 x 4 x 6

60 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

61 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

62 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

63 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

64 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) x x 1

65 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) Assim, usando C k em vez de X k, sabemos que se o subproblema possui solução ótima, então existe um ponto extremo ótimo x k C k tal que: min p T A k )x k = (c k p T A k ) x k x k C k(ck = min p T A k ) x k q Q k(ck q sendo Q k o conjunto de todos os pontos extremos de C k ; Temos então: max min p T A k )x k = max min p T A k ) x k p R m x k C k(ck p R m q Q k(ck q = max p R m{vk v k (c k p T A k ) x k q }

66 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) Caso o subproblema seja ilimitado, então existe um raio de descida: min p T A k )x k. x k C k(ck Como estamos interessados em limitantes, esse resultado é irrelevante e deve ser evitado impondo-se (c k p T A k ) x k r 0, r R k, sendo R k o conjunto de todos os raios extremos de C k.

67 Problemas de otimização discretos Método de planos de corte (geração de restrições) Logo, o problema Dual Lagrangiano se torna: max g(p) = p T b + p R m K k=1 v k s.a (c k p T A k ) x k q v k, k = 1,..., K, q Q k, (c k p T A k ) x k r 0, k = 1,..., K, r R k. sendo Q k e R k os conjuntos de todos os pontos extremos e raios extremos de C k, respectivamente. Dado o número imenso de pontos e raios extremos, precisamos recorrer ao Método de Planos de Corte.

68 Problemas de otimização discretos Mas algo precisa ficar bem claro no caso discreto: O valor ótimo do dual Lagrangiano é apenas um limitante inferior para o valor ótimo do problema original; O Teorema da dualidade forte não vale em otimização discreta; Assim, a Relaxação Lagrangiana e seus métodos (planos de corte, subgradiente) são usados para obter bons limitantes inferiores; Para garantir uma solução discreta, deve-se combinar com outros métodos: branch-and-bound, heurísticas,...

69 Problemas de otimização discretos Heurística Lagrangiana Usar as soluções dos subproblemas para tentar determinar uma solução factível do problema original; Por exemplo, em uma dada iteração do método subgradiente, a solução ótima de um dado subproblema provavelmente viola as restrições relaxadas (penalizadas); Assim, são feitas tentativas de se factibilizar essas soluções de modo a obter uma solução factível para o problema original.

70 Problemas de otimização discretos Heurística Lagrangiana European Journal of Operational Research 175 (2006) Production, Manufacturing and Logistics A Lagrangian-based heuristic for the capacitated lot-sizing problem in parallel machines Franklina Maria Bragion Toledo a, Vinícius Amaral Armentano b, * a Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, Caixa Postal 668, São Carlos SP, CEP , Brazil b Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, Universidade Estadual de Campinas, Caixa Postal 6101, Campinas SP, CEP , Brazil Received 13 April 1999; accepted 17 June 2005 Available online 31 August Abstract This paper addresses the capacitated lot-sizing problem involving the production of multiple items on unrelated parallel machines. A production plan should be determined in order to meet the forecast demand for the items, without exceeding the capacity of the machines and minimize the sum of production, setup and inventory costs. A heuristic based on the Lagrangian relaxation of the capacity constraints and subgradient optimization is proposed. Initially, the heuristic is tested on instances of the single machine problem and results are compared with heuristics from the literature. For parallel machines and small problems the heuristic performance is tested against optimal solutions, and for larger problems it is compared with the lower bound provided by the Lagrangian relaxation. Ó 2005 Elsevier B.V. All rights reserved.

71 Problemas de otimização discretos Heurística Lagrangiana 2. Problem formulation In order to state the problem mathematically, let sij setup cost of item i on machine j; cij unit production cost of item i on machine j; h i unit inventory cost of item i; d it demand of item i in period t; b ij time to produce one unit of item i on machine j; fij setup time of item i on machine j; Cj capacity of machine j (in units of time); xijt amount of item i produced on machine j in period t (a decision variable); yijt a binary variable which assumes value 1 if item i is produced on machine j in period t and 0, otherwise (a decision variable); I it inventory of item i at the end of period t (a decision variable); M an upper bound on x ijt. The CLSPP can be formulated as the following mixed integer programming model. Minimize XT t¼1 subject to Xm j¼1 X n i¼1 X m j¼1 X n i¼1 ðsijy ijt þ cijxijtþ þ XT t¼1 X n i¼1 hii it xijt þ I i;t 1 I it ¼ dit i ¼ 1;... ; n; t ¼ 1;... ; T ; ð1þ ðbijxijt þ fijy ijt Þ 6 Cj j ¼ 1;... ; m; t ¼ 1;... ; T ; ð2þ xijt 6 My ijt i ¼ 1;... ; n; j ¼ 1;... ; m; t ¼ 1;... ; T ; ð3þ y ijt 2 f0; 1g; xijt P 0; I it P 0 i ¼ 1;... ; n; j ¼ 1;... ; m; t ¼ 1;... ; T. ð4þ The objective function expresses the sum of setup, production and inventory costs. Constraints (1) represent the inventory balance equations. Constraints (2) indicate that the amount of capacity used for production is limited. Constraints (3) ensure the incidence of a setup cost and a setup time when xijt is positive. Backlogging is not allowed as indicated by the nonnegative restriction on I it in (4).

72 Problemas de otimização discretos Heurística Lagrangiana ARTICLE IN PRESS Int. J. Production Economics 119 (2009) Contents lists available at ScienceDirect Int. J. Production Economics journal homepage: A Lagrangian relaxation approach to a coupled lot-sizing and cutting stock problem M.C.N. Gramani a,, P.M. Franc-a b, M.N. Arenales c a Faculdade IBMEC-SP, R. Quatá, 300 Vila Olímpia , São Paulo, Brazil b FCT, Universidade Estadual Paulista - UNESP, Brazil c ICMC, Universidade de São Paulo - USP, Brazil a r t i c l e i n f o Article history: Received 17 July 2008 Accepted 27 February 2009 Available online 18 March 2009 Keywords: Lot-sizing Cutting stock Production planning Mixed-integer programming Lagrangian relaxation a b s t r a c t Industrial production processes involving both lot-sizing and cutting stock problems are common in many industrial settings. However, they are usually treated in a separate way, which could lead to costly production plans. In this paper, a coupled mathematical model is formulated and a heuristic method based on Lagrangian relaxation is proposed. Computational results prove its effectiveness. & 2009 Elsevier B.V. All rights reserved.

73 Problemas de otimização discretos Heurística Lagrangiana ARTICLE IN PRESS M.C.N. Gramani et al. / Int. J. Production Economics 119 (2009) cp: unit cost of the plate to be cut; cit: unit production cost of final product i in period t; h it: unit inventory cost of final product i in period t; s it: setup cost of final product i in period t; L W: length and width of the plate; l p w p: length and width of the part of type p. Variables: xit: number of final products i to be manufactured in period t; I it: number of final products i stocked at the end of period t; y jt: number of plates cut according to pattern j in period t; z it: binary variable: z it ¼ 1 if x it40; zero, otherwise. The mixed-integer mathematical model (LCP) can be written then as follows: Z ¼ Min XM i¼1 X T t¼1 ðc itx it þ h iti it þ s itz itþ þ XN j¼1 X T t¼1 cplwy jt s:t: x it þ I i;t 1 I it ¼ d it; i ¼ 1;... ; M; t ¼ 1;... ; T (7) (6) The following constraints should be considered. Inventory balance of final products: x it þ I i;t 1 I it ¼ d it; i ¼ 1;... ; M; t ¼ 1;... ; T (1) These constraints assure that the demand of final product i in period t (dit) is met without delay, i.e., IitX0, i ¼ 1,y,M; t ¼ 1,y,T. Without loss of generality, the initial inventory can be considered zero. Note that in this paper, the storage costs for the parts are not considered. Having in mind that the most important parcel of the storage cost is the alternate use of the immobilized capital incorporated in final products, the storage cost for the parts is implicitly considered in the final product holding cost. Parts demand: X N j¼1 a pjy jt X XM r pix it; p ¼ 1;... ; P; t ¼ 1;... ; T (2) i¼1 The left hand side is the number of type p parts cut which has to be greater than or equal to the number of X N j¼1 X M i¼1 a pjy jt X XM r pix it; p ¼ 1;... ; P; t ¼ 1;... ; T (8) i¼1 v ix itpbt; t ¼ 1;... ; T (9) x itpqz it; i ¼ 1;... ; M; t ¼ 1;... ; T (10) x it; I itx0; z it 2 f0; 1g; i ¼ 1;... ; M; t ¼ 1;... ; T (11) y jt X0; j ¼ 1;... ; N; t ¼ 1;... ; T (12) The integer condition on decision variables xit, Iit, and yjt can be relaxed if demands are high, but two difficulties still remain: the enormous quantity of cutting patterns (apj) that could be generated and the presence of 0 1 setup variables. Note that constraints (8) are those that couple decisions of lot-sizing and cutting. Next, we give two approaches to heuristically solve problem (6) (12).