J. A. M. Felippe de Souza 2 Sinais. 2 Sinais

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1 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Sinais. Intrduçã as Sinais 3. Exempls de sinais 3 Circuit RC 4 Carr 5 Vz / Fala humana 6 Transmissões de rádi (AM & FM) 7 Música em CD u n cmputadr 9 Electrcardigrama (ECG) 0 Electrencefalgrama (EEG) Imagem mncrmática (pret-branc) 3 Imagens clridas e transmissões de TV 3 Sinais meterlógics 4 Sinais gefísics 5 Índices ecnómics e demgráfics 7.3 Sinais cntínus e discrets 8.4 Sinais dinâmics e estátics 0.5 Energia e Ptência de Sinais Exempl. 3 Exempl. 4 Exempl.3 5 Exempl.4 5

2 J. A. M. Felippe de Suza Sinais.6 Transfrmações da variável independente 6 Translaçã n temp ( time shifting ) 6 Shift para direita (retard) 6 Shift para esquerda (avanç) 7 Reversã n temp / sinal reflectid ( time reversal ) 7 Escalnament n temp ( time scaling ) 8 Cmpressã u enclhiment 8 Expansã u esticament 8 Cas geral 9 Exempl Sinais periódics 3 Exempl.6 33 Exempl Sinais pares e ímpares 33 Exempl.8 34 Exempl.9 35 Exempl Sinais expnenciais e sinusidais 37 O sinal sinusidal cntínu x(t) A cs(ω t + φ) 37 O sinal expnencial cntínu x(t) at C e 40 Cas : C R e a R 40 Cas : C e a é um númer imaginári pur 4 Cas 3: C C e a C 44 Exempl. 44 O sinal sinusidal discret 45 O sinal expnencial discret x[ n] n β n C α Ce 47 Cas : C R e α R 47 Cas : C e β é um númer imaginári pur 49 Cas 3: C C e α C 55

3 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Sinais. Intrduçã as Sinais A nçã intuitiva de sinais e surge de uma variedade enrme de cntexts. Qualquer apntament que se faça: em númers pr exempl; u qualquer regist que se faça: d desempenh de uma máquina, u da perfrmance, u ds cnsums de um veícul a lng de uma viagem; u qualquer mediçã que se faça: cm us de algum aparelh u instrument de medida; u qualquer gravaçã que se faça, de um sm, u de uma imagem u mesm de um víde, pde facilmente se trnar em um sinal. Existe uma linguagem própria usada para descrever sinais, assim cm existe também um cnjunt bastante pders de ferramentas para analisá-ls. Neste capítul tratarems da linguagem que descreve s sinais. Em utrs capítuls mais adiante tratarems das ferramentas de análise.. Exempls de Sinais Os sinais sã usads para descrever uma grande variedade de fenómens físics e pdem ser descrits de muitas maneiras: através de númers, u de gráfics, u de uma sequência de dígits (bits) para serem intrduzids n cmputadr, etc. Nesta secçã irems ver alguns exempls de sinais antes de verms as definições básicas d mesm. 3

4 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Circuit RC Cnsidere um sistema eléctric simples de um circuit RC, ilustrad na figura abaix. Fig. Um circuit eléctric (circuit RC série). O sinal da tensã v s (t) na fnte u sinal da tensã v c (t) n cndensadr, assim cm sinal da crrente i(t) que atravessa a única malha d circuit pdem ser medids pr aparelhs (vltímetr / amperímetr) que também sã vists na figura. Na figura vems um pssível exempl d sinal da tensã v s (t) na fnte (à esquerda) e d sinal da tensã v c (t) n cndensadr (à direita), ambs em Vlts [V]. Fig. Um exempl d sinal da tensã eléctrica v s (t) na fnte (à esquerda) e d sinal da tensã eléctrica v c (t) n cndensadr (à direita). 4

5 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Carr Os carrs andam quand sã acelerads. Mas iss equivale a imprimir uma frça f(t) que vai puxar carr pis, pela Segunda Lei de Newtn, nde m massa d carr. a frça é igual a massa x aceleraçã [ f(t) m a(t)], Fig. 3 Um carr que se deslca puxad pela frça f(t). Supnha que sinal da frça f(t) aplicada em um carr, que cm vims é prprcinal à aceleraçã que lhe fi dada, é mstrad na figura 3. O sinal d deslcament x(t) assim cm da velcidade v(t) que carr desenvlve, decrrente desta frça aplicada, pdem ser medids pr aparelhs. Na figura 4 e 5 vems um pssível exempl destes 3 sinais em um carr: f(t) em Newtns [N], x(t) em metrs [m] e v(t) em metrs/segund [m/s]. Fig. 4 Um exempl d sinal da frça f(t) aplicada num carr. 5

6 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Fig. 5 Um exempl d sinal d deslcament x(t) (à esquerda) e d sinal da velcidade v(t) (à direita) desenvlvids pel mesm carr. Vz / fala humana O mecanism vcal human prduz fala criand flutuações na pressã acústica. O ar é expelid ds pulmões pel diafragma e n seu caminh prduz vibrações. Estas vibrações sã mdificadas, u mldadas, a passar pelas crdas vcais, assim cm pela bca, lábis e a língua para se prduzir s sns que se deseja. O sinal de vz é btid através d us de um micrfne que capta as variações da pressã acústica e cnverte em sinais eléctrics. Estes sinais pdem servir para uma gravaçã d sm da vz u para serem transmitids (telefne u telemóvel pr exempl). Exempls d sinal de vz, btid cm us de um micrfne, pdem ser vist na figura 7. Fig. 6 O regist d sinal de vz, btid cm us de um micrfne. Seja para uma gravaçã u para ser transmitid, pr telefne u telemóvel, a vz humana se transfrma em um sinal eléctric. 6

7 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Fig. 7 Exempls d sinal de vz, btid cm us de um micrfne. Transmissões de rádi (AM & FM) Uma transmissã de rádi é também cmpsta de sinais eléctrics que transprtam sm (vz, música, etc.) A prtadra (sinal de frequência mais alta) transprta sinal mdulad (sm) seja ele mdulad em amplitude (AM) u em frequência (FM). Estes sinais pdem ser vists na figura 8 e 9. 7

8 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Fig. 8 O sinal da prtadra (à esquerda) e sinal mduladr, i.e., sm a ser transmitid (à direita). Fig. 9 Os sinais que sã realmente transmitids: sinal mdulad em amplitude, n cas de mdulaçã AM (à esquerda); e sinal mdulad em frequência, n cas de mdulaçã FM (à direita). Na mdulaçã AM sm a ser transmitid mlda (u mdula) a amplitude da prtadra cm frmat d seu sinal gerand um sinal mdulad que é transmitid. Já na mdulaçã FM a amplitude d sinal gerad para ser transmitid é cnstante. O que sm a ser transmitid mlda (u mdula) é a frequência da prtadra cm frmat d seu sinal. Existem dispsitivs electrónics que mdulam sinal, sejam em AM u em FM, assim cm existem dispsitivs electrónics que demdulam sinal, ist é, recuperam sm que vem mduland a prtadra. Fig. 0 Os rádis, em casa u n carr, recebem sinais mdulads em AM u em FM e têm a capacidade de demdular estes sinais, ist é, transfrmarem de vlta em sm. 8

9 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Música em CD u n cmputadr A música gravada em um CD u armazenada n cmputadr (em frmat wav, wma u mp3, pr exempl) é feita através de uma série de númers, uma sequência digital de zers e uns, que representam as tensões eléctricas (em Vlts) d sinal de áudi a lng d temp. Fig. CDs (cmpact disc) de música. Alguns valres usuais desta taxa em gravaçã de música sã: Prtant, sinal analógic de áudi cnvertid em um sinal digital, u seja, dads bináris, a uma taxa que é medida em bps (bits per secnd). Clar que quant mair númer de bits pr segund melhr será a qualidade de reprduçã d sm. 96 mil bits pr segund [96kbps], u 8 mil bits pr segund [8 kbps], u 9 mil bits pr segund [9 kbps], u 56 mil bits pr segund [56 kbps]. Fig. Gravaçã de músicas em estúdi. Existem dispsitivs electrónics que transfrmam um sinal analógic em digital (cnversres A/D) assim cm dispsitivs electrónics que transfrmam um sinal digital em analógic (cnversres D/A). 9

10 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Electrcardigrama (ECG) O electrcardiógraf é um dispsitiv que mede sinais elétrics d craçã para prduzir um electrcardigrama (ECG). A Electrcardigrafia estuda a actividade eléctrica d craçã a partir de eléctrds clcads em determinads pnts d crp human. O regist d electrcardigrama (ECG) é prática cmum na medicina ds nsss dias, uma vez que é de recnhecid valr para a identificaçã e prgnóstic de denças cardivasculares cm enfarte d micárdi, arritmia, entre utras cndições patlógicas. Fig. 3 O electrcardiógraf (à esquerda) e um paciente submetid a exame n mesm (à direita). Fig. 4 Sinal típic de ECG, crrespndend a um cicl cmplet, cm nme das ndas que cmpõe. O ECG nrmal é frmad pr uma nda P, um cmplex QRS e uma nda T. O cmplex QRS muitas vezes aparece sb a frma de três ndas: a nda Q, a nda R e a nda S. 0

11 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Os tips de sistemas de aquisiçã de ECG, que pdem ser encntrads, hje, cmercialmente, abrangem desde as grandes unidades fixas usadas em ambiente hspitalar, às pequenas unidades prtáteis para us móvel. Os sinais cardivasculares e s própris cmplexs QRS n electrcardigrama (ECG) apresentam variabilidade batiment a batiment. A análise da variabilidade de sinais cardivasculares é susceptível de variadas aplicações clínicas, send crrentemente aceite que pde ser usada cm um mei nã invasiv para aceder à integridade d sistema cardivascular e é cm uma janela para a caracterizaçã d sistema nervs autónm. Fig. 5 Amstra d ECG de um paciente. Electrencefalgrama (EEG) O electrencefalógraf é uma máquina que regista gráfic ds sinais eléctrics cerebrais desenvlvids n encéfal prduzind electrencefalgrama (EEG). Ist é realizad através de eléctrds que sã aplicads n cur cabelud, na superfície encefálica, u até mesm (em alguns cass) dentr da substância encefálica. Esses sinais cerebrais bservads sã muit fracs. Prtant clca-se s electrds em psições pré-definidas sbre cur cabelud d paciente e um amplificadr aumenta a intensidade ds ptenciais elétrics para entã ser cnstruíd um gráfic (EEG) analógic u digital (dependend d equipament). Analisand EEG médic pde detectar alterações ds padrões nrmais e iss permite fazer diagnóstic clínic.

12 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Exempls de descargas de ndas anrmais (s cass patlógics) que sã bservadas em EEG sã: s pics de nda, s cmplexs pnta-nda e atividade lentas, sejam estas lcais (fcais) u generalizadas. Algumas indicações ds exames EEG sã; para avaliaçã inicial de sindrmes epiléptics; avaliaçã de cma; mrte encefálica; intxicações; encefalites; síndrmes demenciais; crises nã epilépticas; e distúrbis metabólics. Fig. 6 Um paciente submetid a exame EEG. Fig. 7 Amstra d ECG se um paciente.

13 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Imagem mncrmática (pret-branc) Uma imagem mncrmática (pret-branc) é cnstituída pr um padrã de variações n brilh através dela. Ou seja, sinal da imagem é uma funçã da intensidade de brilh em tds s pnts da imagem (bidimensinal). Fig. 8 Uma ft mncrmática (pret-branc) e sinal de intensidade de brilh. Imagens clridas e transmissões de TV Se a imagem fr clrida, bviamente sinal trna-se mais cmplex. Nrmalmente a imagem é decmpsta em 3 cres básicas, que cmummente sã que é chamad de códig de cres RGB: vermelh, verde e azul R (red), G (green) e B (blue) mas às vezes também é usad utrs códigs de cres, cm magenta (parecid cm cr de rsa), cian (uma espécie de azul) e amarel : magenta, cyan e yellw que é cmum em impressras clridas e em sistemas infrmátics em geral. O sinal de uma ft a cres prtant terá que ter infrmaçã de 3 cres (e nã apenas uma cm na ft mncrmática). A transmissã de imagens ( bradcast ) cm na televisã pr exempl, requer sinais mais sfisticads ainda. Enquant que uma ftgrafia é um sinal estátic, fix n temp, as transmissões de imagens via TV sã sinais dinâmics pis vã variand cm temp. Além diss, na transmissã de TV (TV bradcast) a infrmaçã d sm também tem que seguir junt cm a imagem. 3

14 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Desde que a TV à cres surgiu, muits sistemas de transmissã já fram criads, cm pr exempl: sistema PAL (eurpeu), sistema NTSC (american), u mais recentemente HDTV. Fig. 9 Exempl de um sinal RGB [R (red), G (green) e B (blue)] de uma transmissã de TV. Sinais meterlógics Em meterlgia é cmum us de sinais de medidas cm pressã atmsférica [mbar] x altitude [km] velcidade d vent [knts] x altitude [km] Em particular, n tráfic aére usam este últim sinal mas cm utras unidades: velcidade d vent [knts] x altitude [metrs] 4

15 J. A. M. Felippe de Suza Sinais nas prximidades ds aerprts para examinar as cndições d vent que pssam afectar uma aernave durante a aprximaçã final da pista e aterragem. Estes 3 sinais mencinads acima estã ilustrads na figura 0 Fig. 0 Sinais da velcidade d vent, da temperatura e da pressã atmsférica versus a altitude. Sinais gefísics Em gefísica, sinais que representam variações de quantidades físicas d sl sã usads para estudar sl, assim cm a estrutura d interir da terra, cm a messfera e a endesfera. 5

16 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Alguns destes sinais sã mstrads na figura. Eles representam levantaments gefísics de resistividade eléctrica [Ω m], temperatura [ºC], densidade [g/cm 3 ], rais gama [ev] e prsidade [%] versus prfundidade [metrs]. Fig. Sinais de levantament gefísic de características d sl: resistividade eléctrica, densidade, temperatura, rais gama e prsidade versus a prfundidade. 6

17 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Índices ecnómics e demgráfics Os índices (u indicadres) ecnómics (que nrmalmente só saem uma vez pr mês) cm: inflaçã (mensal); taxa de desempreg (mensal); dã rigem a sinais discrets (i.e., sinal nã cntínus). O índice da blsa de valres é também um exempl de um sinal discret, embra este nã seja mensal mas sim diári. Fig. Um exempl de sinal discret (nã cntínu) que retrata índice da blsa de valres (que só sai uma vez pr dia). Há muits utrs exempls de índices u indicadres ecnómics cm as taxas de câmbi u as taxas de cresciment d Prdut Intern Brut (PIB), etc. Fig. 3 Taxa de câmbi d Eur ( ) em relaçã a dólar american (US $). Apesar de parecer cntínu, este sinal é discret pis s valres fram tmads diariamente e depis s pnts fram ligads. 7

18 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Quaisquer destes índices, se frem tmads a lng de um períd grande de temp e s pnts frem ligads, fica-se cm a impressã que sinal é cntínu. Iss pde ser vist na figura 3 cm um exempl da taxa de câmbi d Eur ( ) em relaçã a dlar american (US $) a lng de váris ans. As taxas de câmbi de uma meda crrente em relaçã à utra sã exempls de sinais discrets embra pssam ser tmads diariamente, de hra em hra u até de minut a minut, se desejar. Iss é semelhante a cas da música u das imagens digitalizadas em CDs u em cmputadr (sistemas digitais de áudi u de víde) u da transmissã digital de imagens, cass já mencinads em exempls anterires. Outrs cass de sinais discrets: taxas de natalidade de uma naçã (an a an, a lng de um períd); cnsum de uma veícul [l/00 km](medid a cada vez que é abastecid); lucr de um estabeleciment cmercial (mês a mês, a lng ds ans); etc..3 Sinais cntínus e discrets Na secçã anterir viu-se alguns sinais cntínus e alguns sinais discrets. Para distinguir s sinais cntínus e discrets n temp nós usarems t para dentar temp cm variável independente cntínua e n para dentar temp cm variável independente discreta. Além diss, ns sinais cntínus usarems parêntesis nrmais ( ), x(t), y(t), v(t), etc. enquant que ns sinais discrets usarems parêntesis rect [ ], x[n], y[n], v[n], etc. Esta é uma ntaçã cmummente adptada na literatura de Análise de Sinais. 8

19 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Um sinal discret pde ser a representaçã de um fenómen (sistema) inerentemente discret, cm pr exempl cas de índices demgráfics u s índices da blsa de valres. Pr utr lad há também sinais discrets n temp que sã riunds da amstragem de sinais cntínus. Pr utr lad há também sinais discrets n temp que sã riunds da amstragem de sinais cntínus. s sistemas digitais de áudi u de víde, já mencinads acima, u, para mencinar um utr exempl: pilt autmátic digital; Estes sistemas requerem us de sequências discretas n temp que sã representações (discretizações) de sinais cntínus n temp. Assim, sinais que sã naturalmente cntínus n temp sã trnads sinais discrets (pr amstragem) para este prpósit, cm pr exempl: (n cas de sistemas digitais de áudi), u a vz; a música; sm em geral; as ftgrafias que aparecem ns jrnais e livrs; as imagens de um filme gravad em DVD; etc. (n cas de sistemas digitais de imagem), u (n cas d pilt autmátic digital). a psiçã da aernave; a velcidade da aernave; a direcçã da aernave; Observe que esta digitalizaçã é feita cm uma quantidade muit grande de pnts. N cas da música digital, cm já vims, pde ter mais de 50 mil pnts em cada segund [56 kbps]. 9

20 J. A. M. Felippe de Suza Sinais.4 Sinais dinâmics e estátics Sinais sã representads matematicamente cm funções de uma u mais variáveis independentes. Em váris sinais da secçã anterir temp t é a variável independente (u uma das variáveis independentes), pr exempl, n cas de: circuit RC carr emissões de rádi vz/fala humana transmissões de rádi músicas em CDs ECG EEG transmissões de TV blsa de valres Lg, estes sinais sã d tip x(t), y(t), f(t) u f(x,t), etc. e sã chamads de sinais dinâmics, pis variam cm temp (u evluem n temp, u prpagam n temp, etc.), e prtant representam sistemas físics dinâmics. Entretant há sinais em que temp nã aparece cm variável independente. Estes sinais sã de sinais estátics, u sinais nã dinâmics, pis nã evluem n temp, e prtant representam sistemas físics estátics. Alguns sinais da secçã anterir que sã estátics: a imagem mncrmática a imagem clrida s sinais meterlógics s sinais gefísics 0

21 J. A. M. Felippe de Suza Sinais.5 Energia e Ptência de Sinais Em muitas aplicações, embra nã em tdas, s sinais sã directamente relacinads cm quantidades físicas que captam u absrvem energia e ptência n sistema físic. Pr exempl, n cas d circuit RC que fi vist acima (na secçã.), a ptência instantânea na resistência R é: nde: p(t) v(t) i(t) R v (t) v(t) tensã na resistência R; i(t) crrente na resistência R. e a energia ttal despendida n interval de temp t t t é: E Ttal t p(t) dt t t t R v (t) dt e a ptência média neste interval [t, t ] é: P média t ( ) p(t) dt ( ) t t t t t t t R v (t) dt De frma semelhante n cas d exempl acima d carr (secçã.), a ptência dissipada pela fricçã é: p(t) ρ v (t) nde ρ ceficiente de atrit da superfície. E neste cas a energia ttal e ptência média n interval [t, t ] sã respectivamente: E Ttal t t p(t) dt t t ρ v (t) dt P média t ( ) p(t) dt ( ) t t t t t t t ρ v (t) dt Mtivads pr exempls cm estes acima definem-se ptência e energia para qualquer sinal cntínu x(t) e qualquer sinal discret x[n] da seguinte frma:

22 J. A. M. Felippe de Suza Sinais A ptência instantânea de um sinal cntínu x(t) u de um sinal discret x[n]: p (t) x(t) u p [n] x[n] eq. (.) nde x é módul d númer x (que pde ser real u cmplex). A energia ttal n interval t t t de um sinal cntínu x(t) é definida cm: t E p(t) dt x(t) dt eq. (.) t t t A ptência média neste interval [t, t ] é definida cm: P ( ) x(t) t t t t dt eq. (.3) A energia ttal e a ptência média n interval t t t de um sinal discret x[n] sã definidas cm: E n n n p[n] n n n x [ n] eq. (.4) P ( n n + ) n n n x [ n] eq. (.5) Para cas de um interval de temp infinit: < t < u < n < as definições de energia ttal e ptência média, n cas de um sinal cntínu n temp, ficam: E T lim x(t) dt x(t) dt T T eq. (.6) T P lim x(t) dt T T T eq. (.7)

23 J. A. M. Felippe de Suza Sinais e, para um sinal discret n temp, ficam: N N n N [ n] x[ n] E lim x eq. (.8) n P lim N ( N + ) N n N x [ n] eq. (.9) Nte que para alguns sinais E e/u P pdem nã cnvergir. Pr exempl, se x(t) u x[n] cnstante 0 para td t, entã este sinal tem energia infinita (E ). Se um sinal tem energia E < (energia ttal finita), entã: Ist prque u P P P 0 E lim 0 T (n cas cntínu) eq. (.0) T E lim 0 (n cas discret) eq. (.) N ( N + ) Pr utr lad, pela mesma razã, ist é, usand se eq. (.0) e eq. (.), cncluíms que: se um sinal tem ptência finita 0 (0 < P < ), entã: E. Finalmente, existem sinais que pssuem ambas: E e P. Exempl.: Cnsidere sinal x(t), ilustrad na figura 4. x(t) 0 se 0 < t < se t [ 0, ] Fig. 4 O sinal x(t), 0 < t <. 3

24 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Facilmente bserva-se que para este sinal x(t): E 0 0 x(t) dt + dt 0 dt + 0 dt e prtant, pela eq. (.0), P 0. Exempl.: Cnsidere sinal x[n], n ilustrad na figura 5. Fig. 5 O sinal x[n], n. Para este sinal x[n]: P lim N ( N + ) N n N x [ n] lim N ( N + ) ( L L) lim N 4 ( N + ) (N + ) 4 e prtant, pela eq. (.), E. 4

25 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Exempl.3: Cnsidere sinal x[n], n,,0,,, e x[n] 0, n,, 0,,, ilustrad na figura 6. x[n] 0 se se n,, n,, 0,, 0,, Fig. 6 O sinal x[n] para n, n,, 0,,, e x[n] 0, n,, 0,,. Para este sinal x[n]: E N lim x[ n] 0 N n N n e prtant, pela eq. (.), P 0. Exempl.4: Cnsidere sinal x(t) 0,5 t, t ilustrad na figura 7. Fig. 7 O sinal x(t) 0,5 t, t. Facilmente bserva-se que para este sinal x(t) ambs E e P sã infinit. E, P. 5

26 J. A. M. Felippe de Suza Sinais.6 Transfrmações da variável independente Nesta secçã apresentams as transfrmações da variável independente em sinais Translaçã n temp ( time shifting ): A translaçã n temp, time shifting u simplesmente shift é, deslizament lateral, para direita u para a esquerda, d sinal x[n] (n cas discret) u x(t) (n cas cntínu). Iss é btid cm a mudança da variável independente, temp n u t : n n ± n u t t ± t. Shift para direita (retard): sinal discret: x[n] x[n n ], n > 0. Fig. 8 Ilustraçã de shift para direita (retard) n sinal discret x[n]. sinal cntínu : x(t) x(t t ), t > 0. Fig. 9 Ilustraçã de shift para direita (retard) n sinal cntínu x(t). 6

27 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Shift para esquerda (avanç): sinal discret: x[n] x[n+n ], n > 0. Fig. 30 Ilustraçã de shift para esquerda (avanç) n sinal discret x[n]. sinal cntínu : x(t) x(t + t ), t > 0. Fig. 3 Ilustraçã de shift para esquerda (avanç) n sinal cntínu x(t). Reversã d temp / sinal reflectid ( time reversal ) em trn de t 0: sinal discret: x[n] x[ n] Fig. 3 Ilustraçã de reversã d temp time reversal n sinal discret x[n]. sinal cntínu: x(t) x( t) 7

28 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Fig. 33 Ilustraçã de reversã d temp time reversal n sinal cntínu x(t). Escalnament n temp ( time scaling ): O escalnament n temp é na verdade uma mudança da escala d temp n (n cas discret) u t (n cas cntínu). Iss é btid cm a mudança da variável independente, temp n u t : para uma cnstante a > 0. n a n u t a t. Cmpressã u enclhiment: sinal discret: x[n] x[an], a >. sinal cntínu: x(t) x(at), a >. Expansã u esticament: sinal discret: x[n] x[an], 0 < a <. sinal cntínu: x(t) x(at), 0 < a <. 8

29 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Fig. 34 Ilustrações de escalnament n temp ( time scaling ) feit a sinal cntínu x(t). Vê-se x(t), x(t) e x(t/). Cas geral: sinal discret: x[n] x[αn + β] sinal cntínu: x(t) x(αt + β) Se α < sinal é esticad ( ); Se α > sinal é cmprimid ( ); Se α < 0 sinal é invertid; Se β < 0 translaçã (shift) para direita; Se β > 0 translaçã (shift) para esquerda. 9

30 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Exempl.5: Cnsidere sinal x(t) dad pela expressã: x(t) 0,5 0 0 t < t t [0,] e que está representad na figura 35(a). Nas figuras 35(b)-(h) estã representads algumas transfrmações de x(t) através de translações ( time shifting ), reversã d temp ( time reversal ) e escalnaments n temp ( time scaling ). N cas d sinal x(t + ) da figura 35(b) trata-se de uma translaçã (shift) para esquerda de uma unidade de temp, enquant que sinal x( t) da figura 35(c) é sinal x(t) reflectid, ist é, uma reversã n temp ( time reversal ). Pr utr lad, s sinais 3 x t e x t 3 da figura 35(d) e (e) sã escalnaments n temp ( time scaling ) cm ampliaçã escala em,5 (u seja, 3/) n primeir deles, e cm cmpressã da escala de 0,666 (u seja, /3) n cas d segund. Pr sua vez sinal x 3 t + da figura 35(f) trata-se de uma translaçã para esquerda de uma unidade, primeir, e uma cmpressã da escala de 0,666 depis. Entretant, n sinal 3(t + ) x da figura 35(g) passa-se exactamente pst: uma cmpressã da escala de 0,666, primeir, e uma translaçã para esquerda de uma unidade, depis. Finalmente sinal ( t 0,5) x da figura 35(h) é uma translaçã para esquerda de uma 0,5, primeir, e uma cmpressã da escala de 0,5 (u seja, ½) depis. 30

31 J. A. M. Felippe de Suza Sinais (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Fig. 35 Sinais d Exempl.5. 3

32 J. A. M. Felippe de Suza Sinais.7 Sinais periódics Um sinal cntínu x(t) é periódic se T > 0 tal que x(t) x(t + T), t eq. (.) T é chamad de períd de x(t). Ou seja, um sinal periódic x(t) fica imutável se fizerms uma translaçã (shift) de T. Fig. 36 Sinal periódic. Se um sinal x(t) é periódic de períd T entã x(t) também é periódic de períd T, 3T, 4T, O períd fundamental T de x(t), é menr valr psitiv de T para qual a eq. (.) acima é válida. Esta definiçã tem uma excepçã que é cas de x(t) C (cnstante), t que também é periódic pis qualquer valr T > 0 é um períd deste sinal, mas entretant nã há um períd fundamental T para este sinal. Um sinal nã periódic é chamad de aperiódic. Analgamente, um sinal discret x[n] é periódic se N tal que N é chamad de períd de x[n]. x[n] x[n + N], n eq. (.3) O períd fundamental de x[n], N, é menr valr de N para qual eq. (.3) é válida. 3

33 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Exempl.6: É fácil de verificar que T (π/a) é períd fundamental d sinal periódic: x (t) b cs (at + c) e que T (π/a) é períd fundamental d sinal periódic: x (t) b cs (at) Exempl.7: A figura 37 mstra um sinal discret cm períd fundamental N 3. Fig. 37 Sinal d Exempl.7..8 Sinais pares e ímpares Um sinal cntínu x(t) é par se: Um sinal discret x[n] é par se: Um sinal cntínu x(t) é ímpar se: Um sinal discret x[n] é ímpar se: x( t) x(t) x[ n] x[n] x( t) x(t) x[ n] x[n] 33

34 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Exempl.8: As figuras 38 e 39 mstram um sinal par e um sinal ímpar respectivamente. Fig. 38 Um sinal par. Fig. 39 Um sinal impar. 34

35 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Nte que para um sinal ímpar x(t) (cntínu), u x[n] (discret), satisfaz respectivamente: x(0) 0, u x[n] 0. Exempl.9: x(t) sen (t) é um sinal ímpar; e x(t) cs (t) é um sinal par. Um sinal pde ser decmpst na sma de sinais send um par e um ímpar. N cas de um sinal cntínu: nde: x(t) Ev + Ev { x(t) } Od{ x(t) } (sinal par) { x(t) } ( x(t) + x( t) ) Od N cas de um sinal discret: (sinal ímpar) { x(t) } ( x(t) x( t) ) [ n] Ev{ x[ n] } Od{ x[ n] } x + nde: Ev (sinal par) { x[ n] } ( x[ n] + x[ n] ) Od (sinal ímpar) { x[ n] } ( x[ n] x[ n] ) Exempl.0: O sinal x[n] da figura 40 é chamad de degrau unitári (cm verems cm detalhes n capítul 3 sbre sinais singulares). 35

36 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Fig. 40 Sinal degrau unitári. Este sinal pde facilmente ser decmpst ns dis sinais e dads abaix: x ev [n] Ev{x[n]} x d [n] Od{[n]} x ev [ n] Ev{ x[ n] }, se n 0 [ n] Od{ x[ n] },, se n < 0 se n > 0 e que estã representads a nas figura 4. x d, 0,, se n < 0 se n 0 se n > 0 Fig. 4 Sinais x ev [n] e x d [n], as cmpnentes par e ímpar de x[n]. 36

37 J. A. M. Felippe de Suza Sinais.9 Sinais expnenciais e sinusidais O sinal sinusidal cntínu: Fig. 4 O sinal sinusidal cntínu. Este sinal descreve as características de muits prcesss físics, em particular: sistemas n qual a energia é cnservada, cm s circuits LC; mviment harmónic simples (MHS); a variaçã da pressã acústica que crrespnde a tm de uma nta musical; etc. O sinal acima x(t) A cs(ω t + φ), ω 0 é periódic cm períd fundamental π T. ω e ω é chamada de frequência fundamental. A equaçã acima mstra que frequência fundamental e períd fundamental sã inversamente prprcinais. Se tiverms 3 sinais: x (t) A cs(ω t + φ), x (t) A cs(ω t + φ), e x (t) A cs(ω t + φ), 37

38 J. A. M. Felippe de Suza Sinais cm ω < ω <ω ( que equivale a T < T < T ) entã x (t) scila mais que x (t) e pr utr lad x (t) scila mens que x (t). Ou seja, para sinal x (t) A cs(ω t + φ), quant mair a frequência ω, mais ele scila, e quant menr frequência ω, mens ele scila. Fig. 43 Três sinais periódics (d tip x(t) cs ωt) cm frequências diferentes. 38

39 J. A. M. Felippe de Suza Sinais As unidades de x(t) A cs( ωt + φ) sã: T [segunds] φ [radians] ω [radians / segund] Às vezes a frequência natural ω é escrita cm ω πf nde f é a frequência d sinal x(t) A cs(πf t + φ) e tem cm unidade f [Hertz] Nte também (s cass particulares), para x(t) A cs ( ωt + φ) se φ 0, u φ ±π, ±4π, x(t) A cs (ω t) se π φ, u π π φ ± π, ± 4π, L x(t) A sen (ω t) se π φ, u π π φ ± π, ± 4π, L x(t) A sen (ω t) se φ π, u φ π, ± 3π, ± 5π, ± 7π, L x(t) A cs (ω t) Além diss: se ω 0 > x(t) C (cnstante) Fig. 44 O sinal x(t) C (cnstante). O sinal x(t) C (cnstante), t é também um sinal periódic, e cm períd T para qualquer T > 0. Entretant este sinal x(t) C (cnstante) nã tem um períd fundamental T. 39

40 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Outr detalhe: sinal x(t) escrit na frma cmbinaçã linear de um sen e um csen cm a mesma frequência ω t e sem desfasagem, ist é, x(t) α sen ( ω t) + β cs ( ω t), pde ser escrit cm um sen cm a mesma frequência ω t e desfasagem φ, ist é, x(t) A sen ( ω t + φ) ; e vice-versa. Ou seja: nde: x(t) α sen ( ω A sen ( ω t) + β cs t + φ) ( ω t) α A cs φ e β A sen φ eq. (.4) β A α + β e φ arctg eq. (.5) α Pr utr lad, sinal x(t) que vims mais acima, express na frma de um c-sen de frequência ω t e desfasagem φ, ist é, x(t) A cs ( ωt + φ), pde ser escrit na frma de cmbinaçã linear de um sen e um c-sen cm a mesma frequência ω t (e vice-versa) da seguinte frma: x(t) A cs ( ω α cs ( ω t + φ) t) β sen ( ω t) nde α, β, A e φ sã dads acima em eq. (.4) e eq. (.5). O sinal expnencial cntínu: x(t) C e at Cas : C R e a R R cnjunt ds númers reais. Neste cas x(t) é chamad de um sinal expnencial real e pde ser crescente (se a > 0) u decrescente (se a < 0). 40

41 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Fig. 45 O sinal expnencial cntínu, cas (C R e a R), a > 0, crescente. Fig. 46 O sinal expnencial cntínu, cas (C R e a R), a < 0, decrescente. A expnencial crescente é usada na descriçã de muits fenómens físics cm a reacçã em cadeia em explsões atómicas e certas reacções químicas cmplexas. A expnencial decrescente também aparece na descriçã de muits prcesss físics cm pr exempl: decaiment radiactiv, a respsta v c (t) d circuit RC e sistemas mecânics amrtecids. Obviamente se a 0, entã nvamente x(t) C e at C cnstante (já vista acima ns sinais sinusidais cm frequência ω 0) e prtant x(t) deixa de ser um sinal crescente u decrescente. Fig. 47 O sinal x(t) C (cnstante), cas particular a 0 d sinal expnencial cntínu. 4

42 J. A. M. Felippe de Suza Sinais Cas : C e a é um númer imaginári pur x(t) para C e a j ω (imaginári pur) C e a t x(t) e jω t Neste cas x(t) é um sinal expnencial cmplex para cada t. Fig. 48 O sinal expnencial cntínu, cas (C e a é um númer imaginári pur) Observe que cm j e θ, θ, entã: x(t), t Pdems interpretar este sinal x(t) cm um pnt que se deslca na circunferência de rai n plan cmplex cm velcidade angular ω rad/s. Nte que este sinal x(t) e jω t é sempre periódic pis: 4

43 J. A. M. Felippe de Suza Sinais x(t + T) e jω x(t) (t + T) e jω t e jω T para muits valres de T (períd) para s quais jω T e. De fact, se T kπ, k ±, ±,..., ω entã j ω T e e T é um períd de x(t). N cas particular de T π ω, ω 0 entã T é períd fundamental de x(t) e ω é chamada de frequência fundamental de x(t). A família de sinais expnenciais cmplexs jk ω t φk (t) e, k 0, ±, ±,... é cnhecida cm sinais harmnicamente relacinads. Estes sinais sã periódics e a frequência fundamental de cada φ k (t), k 0, é e períd fundamental é ω k k ω T π k ω k T k N cas de k 0, entã φ (t) cnstante e nã há uma frequência fundamental nem um períd fundamental. O term harmónic advém da música e se refere as tns resultantes de variações da pressã acústica em frequências que sã múltiplas da frequência fundamental. Pr exempl, padrã de vibraçã de uma crda de um instrument musical (cm vilin) pde ser descrit cm a sbrepsiçã (u a média pnderada) de sinais expnenciais periódics harmnicamente relacinads. 43

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