1 (Canguru Matemático ) Na figura abaixo existem quadrados com 3 medidas de lado diferentes.

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1 DESAFIOS Na escola, você e seus colegas estudam Ciências, Geografia, Arte, Matemática e muito mais. Em todas as disciplinas devem adquirir boa formação. Mas é natural que uns se interessem mais por Literatura, outros por Robótica ou Esporte, e outros, ainda, por Música, Matemática etc. Em geral, os que apreciam mais Matemática se sentem atraídos por problemas desafiadores. Alguns gostam de participar de competições nas quais a proeza é resolver problemas. Dessa forma, aprofundam seus conhecimentos nessa área e conhecem pessoas que cultivam o mesmo gosto. Existem inúmeras dessas competições. No Brasil, há olimpíadas regionais, como a de Santa Catarina ( e a do Rio Grande do Norte ( Há a Olimpíada Brasileira de Matemática ( e a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas ( Esta última, embora restrita a estudantes da rede pública, traz muitas informações e links interessantes em seu site. Muitos países promovem olimpíadas, e há também competições internacionais, como a Canguru Matemático ( Diversos estudantes brasileiros participam dessas competições, nas quais, como já dissemos, o desafio é resolver problemas de Matemática. Você sabia que o desempenho dos estudantes brasileiros tem sido muito bom? Oferecemos a você 20 problemas desafiadores, quase todos retirados de provas de olimpíadas. Os níveis de dificuldade variam, mas os problemas não estão ordenados segundo essa dificuldade. Depois de resolvê-los, você verá que tais problemas, em geral, envolvem poucos cálculos. O desafio está muito mais em perceber algum padrão ou saber interpretar as informações; em conceber uma estratégia ou visualizar uma construção. Enfim, a resolução desses problemas exige alguma criatividade. E lembre-se: muitas vezes, não conseguimos resolver esses desafios na primeira tentativa. Isso é normal. O importante é não desistir, pois esses problemas exigem de quem se propõe a enfrentá-los o mesmo que se requer de navegadores, ambientalistas, esportistas, músicos e cientistas que aceitam enfrentar desafios: dedicação e perseverança. Você está preparado? Então, mãos à obra!

2 Nome: Turma: Número: 7 1 (Canguru Matemático ) Na figura abaixo existem quadrados com 3 medidas de lado diferentes. A medida do lado do quadrado menor é 20 cm. Qual é a medida, em centímetro, do comprimento da linha vermelha? 2 (Ñandú ) Usando apenas os algarismos 2 e 5, as quatro operações fundamentais e, no máximo, um par de parênteses, podemos obter o resultado 23 de várias maneiras. Veja uma delas: Encontre outras quatro. 1 Canguru Matemático é o nome de uma olimpíada de Matemática. 2 A olimpíada de Matemática Ñandú é realizada na Argentina desde Ñandú é o nome de uma ave parecida com o avestruz e a ema. 1

3 3 (Omesp ) O número 21 tem 4 divisores, que são 1, 3, 7 e 21. Eles compõem o diagrama ao lado. Observe que o número do início da seta é divisor daquele que aparece em sua extremidade. a) Faça um diagrama como o seguinte e organize de modo similar todos os divisores de b) Seria possível organizar em um diagrama como o anterior e de modo similar todos os divisores de 100? Em caso afirmativo, faça o diagrama. Em caso negativo, justifique sua resposta. c) Seria possível organizar em um diagrama como esse, de nove círculos, e de modo similar, todos os divisores de 45, sem repetir números e sem deixar círculos vazios? Justifique sua resposta. 3 Omesp é a olimpíada de Matemática do Estado de São Paulo, realizada desde

4 4 (Omern ) Em uma circunferência, marcam-se n pontos igualmente espaçados. A seguir, eles são numerados em sequência de 1 a n. Se 14 e 52 estão em posições diametralmente opostas, qual é o valor de n? 5 (Canguru Matemático-2009) Usamos palitos com o mesmo comprimento para formar algarismos, como mostra a figura. Chamaremos de peso de um número o número de palitos necessários para construí-lo. a) De todos os números com 2 algarismos, qual é o peso do número mais pesado? b) De todos os números com 2 algarismos distintos, qual é o peso do número mais pesado? c) Com 3 algarismos distintos, não há um número mais pesado que todos os demais. Mas há um grupo formado pelos mais pesados. Quais são os números desse grupo e que peso eles têm? 4 Omern é a Olimpíada de Matemática do Estado do Rio Grande do Norte, realizada desde

5 6 (ORMSC ) Quadrados de lado 1 são empilhados formando sucessivamente figuras com 3 quadrados na base, 5 quadrados na base, 7 quadrados na base, e assim por diante. Calcule o perímetro da figura que tem quadrados em sua base. (Observação: O perímetro de uma figura é o comprimento de seu contorno. Por exemplo, a primeira figura da sequência tem perímetro 10 e a segunda perímetro 16.) 7 Uma loja comprou, para revenda, caixas de copos de três tipos diferentes. Em cada caixa há 20 copos. Cada uma delas é vendida por um preço superior ao de compra em 20%. Veja o resumo dos negócios: Tipo de copo Número de caixas compradas Preço de compra de uma caixa (R$) Número de caixas vendidas Normal 40 10,00 40 Grande 30 15,00 24 Luxo 20 25,00 2 Com o valor total arrecadado nas vendas, o gerente quer repor o estoque. Ele não comprará nenhuma caixa do tipo luxo (porque tiveram pouca venda), mas deseja adquirir 10 caixas do tipo grande e o maior número possível de caixas do tipo normal. Quantas caixas desse tipo poderão ser compradas? 5 ORMSC é a Olimpíada Regional de Matemática de Santa Catarina, realizada desde

6 8 (Obmep ) Um ônibus transporta 31 estudantes, baianos e mineiros, para um encontro de participantes da Obmep. Entre os baianos, 2/5 são homens e, entre os mineiros, 3/7 são mulheres. Entre todos os estudantes, quantas são as mulheres? 9 (Omesp-1992) Os triângulos da malha são regulares e seus lados medem 1. O caminho de A a B foi percorrido com base nestes comandos: avance 2. avance 1 na direção da flecha; gire 60 para a esquerda; avance 2; gire 120 para a direita; D A B C E a) Partindo de C, na direção da flecha, desenhe o caminho determinado por estas ordens: avance 2 na direção da flecha; gire 120 para a esquerda; gire 60 para a direita; avance 1; gire 60 para a direita; avance 2; avance 1; b) Formule os comandos que definem o caminho de D a E (indicado na figura). gire 60 para a direita; avance 1; gire 60 para a direita; avance 1. 6 Obmep é a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, realizada desde

7 10 (Ñandú-1994) Os números inteiros e positivos foram organizados neste quadro de nove colunas. A B C D E F G H I Mantendo esse padrão, note que 34 estará na coluna F. Em que coluna estará o número 1 994? Justifique sua resposta. 11 (Omesp-2000) Sobre uma mesa tenho quatro blocos retangulares iguais a este (dimensões de 7 cm, 3 cm e 5 cm). 5 cm 5 cm 7 cm 3 cm 14 cm 6 cm Reunindo esses quatro sólidos, podemos formar outros blocos retangulares, como este, com dimensões de 14 cm, 6 cm e 5 cm. Nessas condições, mostre todos os blocos diferentes que podem ser construídos. Faça isso com desenhos e especifique as dimensões de cada novo bloco. 6

8 12 (OM Rio Preto ) Se a, b e c são números inteiros, positivos e distintos, qual é o menor valor possível de a 3 b 2 c? Justifique sua resposta. 13 (ORMSC-2009) O traço de um número natural é a soma de seus algarismos. Por exemplo, o traço de 51 é 6, pois a) Quais são os números naturais de dois algarismos cujo traço é o quadrado de um número inteiro? b) Quais são todos os números, cujos algarismos são todos diferentes de zero, tais que seu traço é 5? 7 OM Rio Preto é a Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto (SP). 7

9 14 (Omesp-2001) Dispõe-se de várias peças indestrutíveis em forma de escada, como mostra a figura a seguir. 1 cm 2 cm 1 cm 2 cm 2 cm Qual é o cubo de menor aresta que podemos montar juntando peças como a da figura? Descreva uma possível construção ou faça uma figura explicando como construí-lo e justifique por que esse é o cubo de menor aresta que se pode montar. 15 Um carro da polícia rodoviária estava percorrendo um túnel à velocidade constante de 60 km/h. No instante em que completou 3 do percurso, um automóvel vermelho, que vinha atrás, entrou no túnel a uma 5 velocidade constante, mas excessiva. Ambos chegaram juntos ao final do túnel, e, é óbvio, o motorista do carro vermelho foi multado. Qual era sua velocidade? 8

10 16 (OM Rioplatense ) Um ceramista imaginou um novo formato de ladrilho, construído com base neste roteiro: Desenha-se um quadrado, que designaremos LUIS. Marca-se o ponto O, cruzamento das diagonais LI e US. Do quadrado, retira-se o triângulo LUO e obtém-se o ladrilho pentagonal LOUIS. Será possível forrar o plano com ladrilhos como esse sem deixar buracos? Em caso afirmativo, mostre, com um desenho, como os ladrilhos se encaixariam. Com base nos seus conhecimentos sobre ângulos, explique por que o encaixe dá certo. Em caso negativo, mostre, com um desenho, que o encaixe não dá certo e explique o porquê com base nos seus conhecimentos sobre ângulos. 17 (Obmep-2010) Na adição ao lado, o símbolo n representa certo algarismo. Descubra qual é esse algarismo. 8 OM Rioplatense é uma olimpíada internacional promovida pela Argentina desde

11 18 (Canguru Matemático-2009) Um grupo de dança tem, atualmente, 39 rapazes e 23 raparigas. Sabe-se que, daqui em diante, todas as semanas entrarão para o grupo mais 6 rapazes e mais 8 raparigas. Então, pode-se prever que, ao fim de algumas semanas, o grupo terá o mesmo número de rapazes e de raparigas. Quantos participantes terá, nessa altura, o grupo de dança? (Nota: Canguru Matemático é uma olimpíada desenvolvida em Portugal. Nesse país irmão, costuma-se usar rapariga para designar as moças jovens, que nós chamamos de meninas ou garotas.) 19 (Ñandú-1994) Quantos pares de retas paralelas há na figura? r s t u a c b d e 10

12 20 (Obmep-2009) A figura mostra um quadrado de 12 cm de lado dividido em três retângulos de mesmo perímetro. Qual é a área do retângulo colorido? 11