Reticulados de dimensão infinita em Representações p-ádicas localmente algébricas

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1 1 Reticulados de dimensão infinita em Representações p-ádicas localmente algébricas Enno Nagel, UFAL, Maceió nagel 23 de novembro de Agradeço ao André Luís Contiero as correções de uma primeira versão deste trabalho.

2 0 Motivação: Representações de Banach unitárias 1 Representações localmente algébricas 2 Reticulado unitário universal 3 A norma unitária de funções diferenciáveis

3 0 Motivação: Representações de Banach unitárias Programa de Langlands p-ádico Galois cristalino e Localmente Algébrico Meta 1 Representações localmente algébricas 2 Reticulado unitário universal 3 A norma unitária de funções diferenciáveis

4 Interlúdio: Números p-ádicos Seja p um número primo. A valorização p-ádico p sobre Z mede quantas vezes p aparece na fatoração de um número inteiro. Definição Seja a p = 1/p e se a = a p e com p não dividindo a. Ela estende-se multiplicativamente aos números racionais Q. Conforme a R, consistindo de todos os limites em Q relativamente à valorização, declaramos analogamente: Definição Os números p-ádicos Q p são o completamento de Q relativamente à valorização p. Analogamente têm uma expansão p-ádica e se escrevem a i p i com a i {0,..., p 1}. i>>

5 Programa de Langlands p-ádico Seja F um corpo p-ádico, isto é, uma extensão finita de Q p e E uma extensão finita (bastante grande) de F. Vamos estudar ações de grupos com coeficientes em F (o corpo do grupo) sobre espaços vetoriais sobre E (o corpo de coeficientes). Definição Uma representação de Galois p-ádica é uma ação continua do grupo Gal( F/F) sobre um E-espaço vet. de dimensão finita. Definição Seja G = GL n (F) para um número natural n. Uma G-representação de Banach unitária é uma ação do grupo G sobre um E-espaço de Banach V tal que a topologia deste pode ser definido por uma norma G-invariante. (I. é v g = v para todos v V e g G.)

6 O programa de Langlands p-ádico Vagamente, procura uma bijeção natural (a precisar) ρ Π(ρ) entre as categorias seguintes: {representações p-ádicas de Gal( F/F) de dimensão n} {representações de Banach unitárias de GL n (F)}. Se n = 2 e F = Q p esta conjetura tem um sentido preciso, a bijeção é mesmo funtorial, e foi verificada por Colmez, Berger, Breuil e outros. Em todos os outros casos, seja n > 2 ou F Q p sabemos praticamente nada.

7 Galois cristalino e Localmente Algébrico Em [Breuil and Schneider(2007)] os autores associam a uma certa família de representações de Galois cristalinas {ρ} uma certa G-representação localmente algébrica V, i. é {ρ} V = representação localmente algébrica. Conjetura de Breuil e Schneider Se certas condições necessárias naturais são satisfeitas, então V permita um completamento unitário V ˆV não nulo. A vaga esperança é que todas as representações de Banach unitárias Π(ρ) correspondentes fatoram através de ˆV, i. é ρ. ρ ˆV Π(ρ). Π(ρ)

8 Meta No que se segue, gostaria de introduzir a noção de uma representação localmente algébrica, apresentar a representação localmente algébrica V construída por Schneider e Breuil, e motivar porque V é com razão conjurado de ter um completamento unitário ˆV não nulo.

9 0 Motivação: Representações de Banach unitárias 1 Representações localmente algébricas Indução de uma Representação Liso, algébrico e localmente algébrico A representação V de Breuil e Schneider 2 Reticulado unitário universal 3 A norma unitária de funções diferenciáveis

10 Notação Sejam o corpo do grupo F respectivamente de coeficientes E e G = GL n (F) como previamente. Subgrupos importantes em G (Veja Quadro!) Seja T G o toro em G, i.é o subgrupo de matrizas diagonais com valores em F e T 0 T seu subgrupo aberto maximal compacto com valores o F, as unidades do anel dos inteiros o F de F. Seja P respectivamente P o subgrupo de matrizas triangulares superiores respectivamente inferiores em G, e N respectivamente N o subgrupo de P respectivamente P de matrizes cujos valores diagonais equivalem 1. Seja N 0 N o subgrupo compacto aberto com valores em o F. Denotamos a operação de T por conjugação a esquerda resp. a direita sobre N por t n = tnt 1 resp. por n t = t 1 nt.

11 Indução de uma Representação O método mais evidente para construir representações sobre um corpo p-ádico E desse grupo é o seguinte: Pegamos Copias de grupos menores T 1 = GL n1 (F),...,T d = GL nd (F) com n n d = n, e Representações E-lineares χ 1,..., χ d delas. Seja T = T 1 T d G o produto delas e escrevemos χ = χ 1 χ d para a representação de T associada pelo produto tensioral destas. Definição A G-representação E-linear, ou igualmente o E[G]-modulo, induzida ind G T χ do E[T]-modulo χ ao grupo G é definida como o E[G]-modulo ind G T χ = χ E[T] E[G].

12 O Exemplo mais elementar Sejam n 1 =... = n d = 1, i. é T 1 =... = T d = F, e χ 1,..., χ d : F E caráteres. Obtemos χ : T E. Como F é abeliano e T = P ab (= quociente ab. max.), segue que χ se estende unicamente através da projeção natural P T ao caráter χ : P E. Descrição explicita (Veja Quadro!) A G-representação induzida se descreve explicitamente como ind Ḡ P χ = {f : G E : f ( pg) = χ( p) f (g) para p P, g G}, onde G opera pela translação a direita notada por f g := f ( g). Escrevemos de agora em diante sucintamente i(χ) para ind Ḡ P χ.

13 Liso, algébrico e localmente algébrico Além da estrutura de grupo G tem duas propriedades adicionais: A sua topologia totalmente desconexa herdada do corpo F, e a sua estrutura de variedade algébrica. Definição Seja V uma G-representação. Um vetor v em V é liso resp. algébrico resp. localmente algébrico se sua órbita o v :G g V g v é um mapa localmente constante resp. racional resp. localmente racional. Anotamos que o v é localmente algébrico se ha um espaço da dimensão finita V 0 V e um grupo aberto G 0 G tais que o v : G 0 V 0 é (a restrição de) um mapeamento algébrico.

14 Definição Denotamos com i(χ) lc respectivamente i(χ) alg respectivamente i(χ) la a G-subrepresentação dada por todos vetores lisas respectivamente algébricos respectivamente localmente algébricos em i(χ). Visto que G opera pelas translações temos explicitamente que i(χ) lc consisti das funções localmente constantes, i(χ) alg nas funções algébricas de G, i. é das funciones polinomiais nas coordenadas {X ij : i, j = 1,..., n} de G e a sua determinante det(x 11,..., X nn ), e i(χ) la das funções sobre G que se restringem localmente a uma função algébrica dessas.

15 A representação V de Breuil e Schneider Um caráter θ : T E é não-ramificado se ele é trivial sobre T 0 T (e então fatorando através do quociente T/T 0 = Z n deles). Um caráter algébrico ψ : T F é dominante se ele é da forma (t 1,..., t n ) t i 1 1 tn in onde as potencias satisfazem i 1... i n. (Eles parametrizam via ψ ind Ḡ P (ψ)alg todas as representações algébricas irreduzíveis de GL n.) Exemplo de Breuil e Schneider Seja χ = θψ o produto de um caráter não-ramificado e algébrico. Então a representação induzida localmente algébrica construída por Schneider e Breuil V é dada por V = i(χ) la. Escrevemos sucintamente i(χ) = i(χ) la.

16 0 Motivação: Representações de Banach unitárias 1 Representações localmente algébricas 2 Reticulado unitário universal Observações gerais A célula aberta padrão Colando as células abertas 3 A norma unitária de funções diferenciáveis

17 Interlúdio: Seminormas e Reticulados Definição Seja E um corpo p-ádico e o = o E seu anel de inteiros. Um reticulado num E-espaço vetorial V é um o-modulo L tal que para todo v V ha λ K tal que λ v L, i. é K L = V. Observação A noção de um reticulo L num espaço vetorial V equivale a uma seminorma sobre V na seguinte maneira: L = B 1 (V ) = {x V : x 1} L def. por v := inf{c E : v λl com λ = c} Notamos que a equivalência entre uma seminorma e a sua bola de unidade B 1 vale igualmente sobre R. A diferença é que o = B 1 (F) é um anel e então L = B 1 (V ) um reticulado.

18 Observações gerais Lembramos que conjeturalmente, se certas condições naturais são satisfeitas, V = i(χ) possui uma seminorma G-inv. não nula. Introduzimos o maior dos espaços de Banach unitários sobre V. Definição Seja V uma G-representação. O completamento unitário universal V ˆV de V é a G-representação de Banach unitária tal que V W ˆV para todo morfismo de G-representações E-linear V W com W uma G-representação de Banach unitária. Observação O espaço de Banach ˆV é o completamento rel. à seminorma L assoc. à qualquer reticulado L finit. gerado como o E [G]-módulo.

19 Chamamos L do reticulado unitário universal da G-rep. V. Seja G um grupo compacto, V uma G-representação e 0 uma norma qualquer sobre V. Então a norma sobre V dada por v = max{ v g 0 : g G}. é G-invariante. Isto raciocino torna plausível que a forma de L somente depende da parte não compacta em G. Proposição 2.1 O reticulado unitário universal L da G-representação i(χ) é dado por qualquer reticulado finitamente gerado como o E [P]-modulo. Demonstração. (Veja [Nagel(2012), Corollary 3.3]) Usa a decomposição de Iwasawa G = KP com K = GL n (o F ) um subgrupo max. compacto aberto de G.

20 A célula aberta padrão Per definitionem temos uma noção bem definida do suporte de uma função em i(χ) como subconjunto em F := P\G. Podemos: Olhar a inclusão da célula aberta padrão N F (com imagem densa), e definir i(χ)(n) = {f : G E em i(χ) com suporte em N}. Este subespaço é estável sob a ação de P. Mais exatamente: Lema 2.2 Pela restrição a N temos uma injeção de P-representações i(χ)(n) C la cpt(n, E) = {f : N E : loc. alg. e de sup. cpt.} se definamos o grupo P opera sobre C la cpt(n, E) como f p = χ(p)f ( tn) para todos p = tn P com t T, n N.

21 Colando as células abertas Construímos uma familia de isomorfismos de entrelaçamento da G-representação i(χ) como se segue: Seja W = N G (T)/T o grupo de Weyl das matrizes de monômios em G. Temos uma operação bem definida por W sobre os caráteres χ : T E pela conjugação χ w = χ( w). Seja δ P : tn Ad n (t) a função modular de P = TN. Temos im δ P /δ w P p2z e então (δ P /δ w P )1/2 é bem definido. Seja θ w = θ w ((δ P/δ w P) 1/2. Supomos que θ é regular, i. é θ w = θ se e somente se w = 1, e que i(χ) é irredutível. Proposição (Operadores de entrelaçamento) Existi uma familia de isomorfismos de G-representações T w : i(χ w ) i(χ) com χ w = θ w χ para todo w W.

22 Vamos estudar a P-representação i(χ)(n) e o seu reticulado unitário universal L. Os operadores de entrelaçamentos T w para w W nos permitem colar i(χ) a partir da célula aberta padrão N. Mais exatamente: Proposição (Colagem através dos entrelaçamentos (V.Q.!)) Temos i(χ) = w W T w (i(χ w )(N)). Corolário (da Proposição acima e Proposição 2.1) O reticulado unitário universal L de i(χ) é da forma L = w W onde L w = T w (L) com L o reticulado unitário universal da P-representação i(χ)(n). L w

23 0 Motivação: Representações de Banach unitárias 1 Representações localmente algébricas 2 Reticulado unitário universal 3 A norma unitária de funções diferenciáveis Restrição à célula aberta padrão O reticulado unitário universal de i(χ)(n) O exemplo fundamental Caso geral

24 Restrição à célula aberta padrão Em Lema 2.2 vimos que pela restrição f f N temos uma injeção de P-representações i(χ)(n) C la cpt(n, E) onde o grupo P opera sobre C la cpt(n, E) como f p = χ(p)f ( tn) para todos p = tn P com t T, n N. Denotamos a imagem desta injeção f f N por C ψ la cpt (N, E) ={f : N E de suporte compacto : Para todos n N ha U n aberto em N tal que f U = p U para um p Ind Ḡ P (ψ)alg }.

25 Resumamos estas observações. Proposição A restrição f f N induzi um isomorfismo de E[P]-módulos i(χ)(n) C ψ la cpt (N, E) entre i(χ)(n) e um espaço de certas funções localmente polinomiais f : N E de suporte compacto com P-ação dada por f p = χ(p)f ( tn) para todos p = tn P com t T, n N. Demonstração. Neste momento basta ver que N é um produto de copias de A 1 = Spec(F[X]) e então C alg (N, E) = {f : N E polinomial }.

26 O reticulado unitário universal de i(χ)(n) Proposição 3.1 Seja 1 N0 a função característica de N 0 N, e seja ū o vetor do peso maximal único (a menos de um escalar) invariante pelo grupo P da G-representação racional irredutível i(ψ) alg. O reticulado unitário universal L da P-rep. C ψ la cpt (N, E) é L = o E [P] f com f = 1 N0 ū N. Demonstração. Usa que t N 0 N 0 fica arbitrariamente diminuto, depois translata por N. A parte algébrica provem da teoria de rep. racionais.

27 Seja T + o submonoide dominante de T dado por t1 ) T + := {(... : t 1... t d } = {t T : t N 0 N 0 }. t d Proposição O ret. L C ψ la cpt (N, E) é livre χ(t) 1 para todos t T +. Esboço da Prova da Necessariedade. De f t = χ(t) 1t N 0 ū N por t T e f n = f ( n) por n N segue f = n N/ t N 0 1t N 0 n ū N = 1/χ(t) n N/ t N 0 f tn para t T +. Graças a f tn = f para p = tn P a desigualdade triangular implica que f 1/ χ(t) max n N/ t N 0 f tn = 1/ χ(t) f.

28 Estratégia da prova da Suficiência Observação O reticulado L é livre A seminorma assoc. L é uma norma. Basta achar uma norma tal que L. Visto que L = o E [P] f com f = 1 N0 ū N, temos per def.: A seminorma L é a maior seminorma tal que P deixa o gerador f invariante. Conclusão Basta construir uma norma satisfazendo: (A) Invariância sob translação por N. (B) Ha um número constante C 1 tal que 1t N 0 ū N C 1/θ ψ(t) para todos t T.

29 Simplificações adicionais Supomos que χ(t) 1 para todos t T +. O reticulado L C ψ la cpt (N, E) so depende da valorização χ : T E e por isso constatamos as seguintes simplificações adicionais: A condição χ(t) 1 para todos t T + implica em particular que χ(z) = 1 para todos z no centro Z de G. Como θ(t) = 1 e ψ(t) = 1 para todos t T 0 podemos supor que χ é trivial sobre T 0. Corolário Desde já podemos supor sem perda de generalidade que χ : T/T 0 Z E.

30 O exemplo fundamental Supomos n = 2, i. é G = GL 2 (F) e então N = F. Pela escolha de um uniformizador π de F obtemos um isomorfismo Z T/T 0 Z n t n α com t α = ( π 1 ). Além disso, recordamos que χ = θψ com um caráter não ramificado θ : F E, e um caráter algébrico dominante ψ que podemos escrever na forma ( a d ) a k+l b l com k + l l em Z.

31 Proposição 3.2 Obtemos a descrição explicita C ψ la (N, E) = C lp k (F, E) :={f : F E : f loc. pol. de grau k com suporte compacto} e ação de P dada por f t = χ(t)f (d/a ) para todo t = ( a ) d T, e por f n = f ( + n) para todo n N. Demonstração. A representação algébrica irredutível I (ψ) alg de peso maximal ψ tem uma base de produtos de k fatores consistindo das funções de coordenadas a e b na linha superior e da det. Restringindo a N da as funções de monômio ( ) ( 1 1 1, 1 X1 ) (,..., 1 X k ) 1.

32 Seja r = v(χ(t α )) R 0 com v a valoração de E normalizada tal que v(p) = 1. Supomos aqui que r = 1. Visto a descrição explicita de C ψ la (N, E) na Prop. 3.2 prévia, que χ : T T/T 0 Z E e Z T/T 0 Z via n t n α, as propriedades (A) e (B) acima da norma = L associada a L sobre C lp k (F, E) se traduzem como se segue. Basta construir sobre C lp k (F, E) satisfazendo: (a) Ha um número constante C > 0 tal que 1 π n o F x k C π (k 1)n para todos n Z. (b) Ela é invariante sob translação.

33 Funções diferenciáveis Definição Seja f C lp k (F, E). Definamos a função f ]1[ por f ]1[ (x, y) = f (x) f (y) x y para todos x, y F diferentes. Como funções localmente polinomiais são em particular diferenciáveis, mostra-se facilmente que f ]1[ sup = sup{ f ]1[ (x, y) : x, y F} <. Definição A norma C 1 é definida sobre C lp k (F, E) por f C 1 = f ]1[ sup.

34 Proposição A norma C 1 satisfaz as Propriedades (a) e (b) acima. Demonstração. Ad (b): Mostramos que 1 π n o F x k C 1 π (k 1)(n 1) = C π (k 1)n com C = π n > 0 para todos n Z. Colocamos U = π n o F e δ = δ(u) = π n. Distinguimos dois casos: 1. Temos x y δ: Distinguimos dois casos: 1.1 Temos x δ: Então f ]1[ (x, y) é um polinomial de grau total k 1 em x, y com x, y δ e por isso f ]1[ (x, y) δ k Temos x > δ: Então f (x) = f (y) = 0 e f ]1[ (x, y) = Temos x y > δ. Então x ou y > δ. Supomos x > δ. Então f ]1[ (x, y) < δ 1 f sup δ 1 δ k = δ k 1.

35 Caso geral Restamos no caso n = 2, i. é no caso de uma variável C ψ la (N, E) = C lp k (F, E). Seja r 0 um número real qualquer. Definição Seja i 0 e h 1,.., h i, h i+1 F. Def. o operador de quociente de diferença iterado i ( ; h 1,.., h i ) sobre C lp k (F, E) por 0 f = f e i+1 f ( ; h 1,.., h i, h i+1 ) = i f ( + h i+1 ; h 1,.., h i ) i f ( ; h 1,.., h i ). Definição Escrevemos r = ν + ρ R 0 com ν N e ρ [0, 1[. Definimos a norma C r sobre C lp k (F, E) por f C r = sup x F,h F ν+1 ν+1 f (x; h) h 1 h νk h νk +1 ρ.

36 Supomos agora n 2 qualquer. Definição Seja h = ( 1 h;... ; d h) F i 1 F i d. Definamos o operador de quociente de diferença iterado em múltiplas variáveis i ( ; h) sobre Ccpt(F, lp E) Ccpt(F, lp E) por i ( ; h) = i 1 ( ; 1 h) i d ( ; d h). Definição Seja r R d 0 com d N. Escrevemos r = ν + ρ com parte inteira ν N d e parte fracionária ρ [0, 1[ d. Definamos f C r := sup x F d, h F ν 1 +1 F ν d +1 aqui 1 = (1,..., 1) N d. ν+1 f (x; h) k=1,...,d ( k h 1 k h νk k h νk +1 ρ k ) ;

37 Lembramos que, como variedade algébrica, N A Φ+ 1 com Φ + = {ε i ε j : i < j {1,..., n}} as racinas positives de G. (Aqui ε i : T F a função avaliando a coord. i do toro.) Então C alg (N, E) = {f : N E polinomial } e por conseguinte C la (N, E) = {f : N E loc. polinomial com sup. compacto }. Conclusão Temos uma identificação natural ι : α Φ + C lp (F, E) C la (N, E).

38 Definamos r R Φ+ 0 como se segue: Temos um isomorfismo N T + /T 0 Z (n α ) α com = {ε i ε i+1 } as racinas simples. Definição Definamos r R Φ+ 0 por r α := t α { v(χ(tα )) se α, 0 caso contrário. Definição Fornecemos C la ψ (N, E) com a norma definida por f = ι 1 (f ) C r.

39 Resumo Construímos a G-representação localmente algébrica i(χ) = {certas funções f : G E localmente algébricas }. Obtivemos que a sua seminorma unitária maximal L é dado pelo reticulado L = T w (L w ) w W com L w i(χ w )(N) = { todas f i(χ w ) suportadas em N} e certos isomorfismos T w : i(χ w ) i(χ) para todos w W. Via f f N observamos que i(χ)(n) C ψ alg cpt (N, E) se descreve como certas funções localmente polinomiais. Mostramos que L w é livre se, e só se, χ w (t) 1 para todos t T + pela construção de uma norma C r L de certas funções r-vezes diferenciáveis para r R Φ+ 0.

40 Conclusão Corolário Supomos que para todo w W vale χ w (t) 1 para todos t T +. Então o reticulado unitário universal L da G-representação i(χ) é da forma L = w W L w com L w livre. Isto ainda não mostra diretamente que L mesmo é livre. Até agora somente o caso G = GL 2 (Q p ) é resolvido em geral por Berger e Breuil em [Berger and Breuil(2010)]. A demonstração deles esquisitamente revolta ao lado da representações de Galois usando a Correspondência de Langlands estabelecida para n = 2 e F = Q p. Esperamos que esta estratégia ajuda resolver o caso mais geral através um raciocínio mais direta.

41 Berger, L., Breuil, C., Sur quelques représentations potentiellement cristallines de GL 2 (Q p ). Astérisque 330, Breuil, C., Schneider, P., First steps towards p-adic langlands functoriality. Journal für die reine und angewandte Mathematik 2007 (610), Nagel, E., The intertwined open cells in the universal unitary lattice of an unramified algebraic principal series. preprint.