4. Inversão de Matrizes e Determinantes

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1 Geometri nlític e Álger Liner 6. Inversão e Mtrizes e Determinntes.. Mtriz Invers Too número rel, não nulo, possui um inverso (multiplictivo), ou sej, existe um número, tl que = =. Este número é único e o enotmos por -. pesr ritmétic mtricil ser semelhnte ritmétic os números reis, nem tos s mtrizes não nuls possuem invers, ou sej, nem sempre existe um mtriz B tl que B = B = I n. De início, pr que os proutos B e B estejm efinios e sejm iguis, é preciso que s mtrizes e B sejm qurs. Portnto, somente s mtrizes qurs poem ter invers, o que já iferenci o cso os números reis, one too número não nulo tem inverso. Mesmo entre s mtrizes qurs, muits não possuem invers. Definição Um mtriz qur = ( ij ) n x n é chm não singulr (ou invertível), se existe um mtriz B = ( ij ) n x n tl que B = B = I n. (.) one I n é mtriz ientie. mtriz B é chm e invers e. Se não tem invers, izemos que é singulr (ou não invertível). Ex.:. Consiere s mtrizes 6 e B Como B = B = I Concluímos que mtriz B é invers mtriz e que é não singulr. Teorem.. Se um mtriz = ( ij ) n x n possui invers, então invers é únic. Demonstrção Suponh que B e C sejm inverss e. Então, B = B = I n = C = C e ssim, B = B I n = B(C) = (B)C = I n C = C. e fevereiro e lex N. Brsil

2 7 Geometri nlític e Álger Liner e fevereiro e lex N. Brsil De gor em inte, representremos invers e, quno el existe, por -. ssim, - = - = I n Os.: Devemos chmr tenção pr o fto e que o ínice superior - não signific um potênci, tão pouco um ivisão. ssim como no cso trnspost, em que T signific trnspost e, qui, - signific invers e. Ex.. Sej Pr chrmos -, fzemos c Devemos então ter I c e mneir que c c Igulno os coeficientes corresponentes ests us mtrizes, otemos os sistems lineres c c e s soluções são (verifique isto): c lém isso como mtriz c tmém stisfz propriee e que

3 8 Geometri nlític e Álger Liner e fevereiro e lex N. Brsil, concluímos que é não singulr (invertível) e que Nem to mtriz tem um invers, como poe ser visto no exemplo seguinte Ex.. Sej pr chrmos -, fzemos c Devemos então ter I c e mneir que c c Igulno os coeficientes corresponentes ests us mtrizes, otemos os sistems lineres c c e Estes sistems lineres não têm soluções, e mneir que não tem invers. ssim, é um mtriz singulr. Os.: O métoo uso no Exemplo. pr chr invers e um mtriz não é muito eficiente. Nós o moificremos em reve, oteno um métoo mis rápio. Demonstrremos ntes lgums propriees s mtrizes.

4 Geometri nlític e Álger Liner... Propriees Invers 9 Operções com mtrizes inverss precem sempre que se esej oter soluções e sistems e equções lineres ou mnipulções e mtrizes que fcilitem visulizção e futurs soluções. O quro ixo fornece s us operções mis comuns. Quro. Operções mis comuns envolveno mtrizes inverss Operção Notção Simólic Demonstrção Mtriz invers (mtriz) invers e um mtriz Mtriz invers e um prouto e mtrizes (B) = B ( - ) - = Fzeno G - = ( - ) -, one, G = - GG - = - ( - ) - = I e Ms, - = I; portnto, comprno s us últims expressões: - ( - ) - = -, ou, - [( - ) - - ] =, one, ( - ) - =, pois - prouto à ireit por B -, otem-se: G BB - = IB Fzeno G = (B) -, tem-se: G B = I. Efetuno um G I = B - G = B -. Efetuno outro prouto por -, cheg-se : G - = B - - G I = B - - G = B - -, ou: (B) - = B - -. Quro. Teorem.. ) Se é um mtriz não singulr (invertível), então - tmém é não singulr e ( - ) - = ; ) Se e B são mtrizes não singulres (invertíveis), então B é não singulr e (B) - = B - - ; c) Se é um mtriz não singulr (invertível), então T tmém é não singulr e ( T ) - = ( - ) T. Demonstrção Se queremos mostrr que um mtriz é invers e um outr, temos que mostrr que os proutos s us mtrizes são iguis mtriz ientie. ) Um mtriz B é invers e - se - B = B - = I n. Ms, como - é invers e, então - = - = I n. Como invers é únic, então B = é invers e -, ou sej, ( - ) - =. e fevereiro e lex N. Brsil

5 Geometri nlític e Álger Liner Temos que mostrr que invers e B é B - -, ou sej, mostrr que os proutos (B)(B - - ) e (B - - )B são iguis mtriz ientie. Ms, 6 (B)(B - - ) = (BB - ) - = I n - = - = I n e (B - - )B = B - ( - )B = B - I n B = B - B = I n. Então, B é não singulr. Visto que invers mtriz é únic, nós concluímos que ) Nós temos Tomno trnspost, nós otemos e Ests equções implicm que (B) - = B = I n e - = I n ( - ) T = I n T = I n e ( - ) T = I n T = I n ( - ) T T = I n e T ( - ) T = I n. ( T ) - = ( - ) T. Ex.:. Se, então o exemplo lém isto, verifique. e T T T e Corolário Se,,, r são mtrizes não singulres n n, então Se,,, r, é não singulr e ( ) r r r. nteriormente, issemos que um mtriz B é invers e se B = B = I n. O teorem seguinte, cuj emonstrção será omiti, grnte que st verificrmos um s us igules em (.) pr sermos se um mtriz é invers e outr. e fevereiro e lex N. Brsil

6 Geometri nlític e Álger Liner 6 Teorem Sejm e B mtrizes n n. ) Se B = I n, então B = I n ; ) Se B = I n, então B = I n.... Métoo pr Inversão e Mtrizes emonstrção o próximo teorem fornece um mneir e encontrr invers e um mtriz, se el existir. O exemplo seguinte fz o mesmo no cso prticulr em que mtriz é. x y Ex.:. Sej. Devemos procurr um mtriz B c tl que B = I. z w ou sej, x cx z z y cy w w Este sistem poe ser escoplo em ois sistems inepenentes que possuem mesm mtriz, que é mtriz. poemos resolve-los simultnemente. Pr isto, st esclonrmos mtriz ument c I. Os ois sistems têm solução únic se, e somente se, form esclon mtriz s t [ I ] for form I S (verifique, oservno o que contece se u v form esclon reuzi mtriz não for igul I ). Neste cso, x = s, z = u e s t y = t, w = v, ou sej, mtriz possuirá invers, B S. u v O teorem seguinte oferece um mneir e sermos se um mtriz possui invers e su emonstrção mostr como encontrr invers, se el existir. Teorem Um mtriz, n n, é invertível se, e somente se, é equivlente por linhs à mtriz ientie I n. e fevereiro e lex N. Brsil

7 Geometri nlític e Álger Liner 6 Demonstrção Pelo teorem, pr verificrmos se um mtriz, n n, é invertível, st verificrmos se existe um mtriz B, tl que B = I n. Vmos enotr s coluns e B por X, X,..., X n, ou sej, B = [ X,..., X n ], one X x x x n, X x x x n,, X n x x x n n nn Vmos enotr s coluns mtriz ientie I n, por E, E,..., E n. Dest form, E, E,..., E n j-ésim colun o prouto B é igul X j. ssim, nlisno colun colun igule mtricil B = I n vemos que encontrr B é equivlente resolver n sistems lineres X j = E j pr j =..., n. C um os sistems poe ser resolvio usno o métoo e Guss-Jorn. Pr isso, formrímos s mtrizes uments [ E ], [ E ],...,[ E n ]. Entretnto, como s mtrizes os sistems são tos iguis, poemos resolver toos os sistems simultnemente formno mtriz n x n [ E E...E n ] = [ I n ]. Trnsformno [ I n ] n su form esclon reuzi, que vmos enotr por [R S], vmos chegr us situções possíveis: ou mtriz R é mtriz ientie, ou não é. Se R = I n, então form esclon reuzi mtriz [ I n ] é form [R S]. Se escrevemos mtriz S em termos s sus coluns S = [S S... S n ], então s soluções os sistems X j = E j são X j = S j e ssim B = S é tl que B = I n e pelo teorem. é invertível. Se R I n, então mtriz não é equivlente por linhs à mtriz ientie I n. Neste cso, R terá pelo menos um linh nul. O que implic que c que os sistems X j = E j não tenh solução únic. Isto implic que mtriz não tem invers, pois s coluns (únic) invers serim os X j, pr j =,..., n. e fevereiro e lex N. Brsil

8 6 Geometri nlític e Álger Liner e fevereiro e lex N. Brsil Os.: D emonstrção o teorem nterior otemos não somente um form e escorir se um mtriz tem invers ms tmém, como encontrr invers, no cso em que el exist. Ou sej, esclonmos mtriz [ I n ] e encontrmos su form esclon reuzi [R S]. Se R = I n, então mtriz é invertível e invers - = S. Cso contrário, mtriz não é invertível. Vejmos os exemplos seguintes. Ex..6 Vmos encontrr, se existir, invers e Pr isso evemos esclonr mtriz ument I ª eliminção: O pivô linh é igul. Logo, precismos pens zerr os outros elementos colun o pivô. Pr isto, sommos à ª linh, vezes ª linh. ª eliminção: Olhmos pr sumtriz oti eliminno-se linh mtriz. Escolhemos como pivô um elemento não nulo colun não nul sumtriz. Escolhemos o elemento e posição,. Como temos que fze-lo igul, multiplicmos linh por. () Precismos zerr os outros elementos colun o pivô. Pr isto, sommos à ª linh, vezes ª e à ª linh, sommos vezes ª. () ª linh ª linh ª linh + ª linh ª linh ª linh + ª linh ª linh ª linh + ª linh ª linh

9 6 Geometri nlític e Álger Liner e fevereiro e lex N. Brsil ª eliminção: Olhmos pr sumtriz oti eliminno-se s us primeirs linhs. Escolhemos pr pivô um elemento não nulo primeir colun não nul sumtriz. Este elemento é o elemento e posição,. Como ele é igul, precismos pens zerr os outros elementos colun o pivô. Pr isto, sommos à ª linh, vezes ª linh e sommos à ª linh, vezes ª. ssim, mtriz [ I ] é equivlente por linhs à mtriz cim, que é form [I S], portnto mtriz é não singulr (invertível) e su invers é mtriz S, ou sej, Ex..7 Vmos eterminr, se existir, invers mtriz Pr isso evemos esclonr mtriz ument I ª eliminção: O pivô ª linh é igul. Logo, precismos pens zerr os outros elementos colun o pivô. Pr isto, sommos à ª linh, vezes ª linh. ª linh + ª linh ª linh ª linh + ª linh ª linh ª linh + ª linh ª linh

10 ª eliminção: Geometri nlític e Álger Liner 6 Olhmos pr sumtriz oti eliminno-se ª linh mtriz. Escolhemos como pivô um elemento não nulo ª colun não nul sumtriz. Escolhemos o elemento e posição,. Como temo que fze-lo igul, multiplicmos ª linh por. ª linh ª linh () Precismos zerr os outros elementos colun o pivô. Pr isto, sommos à ª linh, vezes ª e à ª linh, sommos vezes ª. ª linh + ª linh ª linh ª linh + ª linh ª linh Os.: ssim, mtriz [ I ] é equivlente por linhs à mtriz cim, que é form [R S], com R I. ssim, mtriz não é equivlente por linhs à mtriz ientie e portnto não é invertível.... Sistems Lineres e Inverss Se um sistem liner X = B tem o número e equções igul o número e incógnits, então o conhecimento invers mtriz o sistem -, reuz o prolem e resolver o sistem simplesmente fzer um prouto e mtrizes, como está enuncio no próximo teorem. Teorem Um mtriz n n é não singulr se e somente se for equivlente por linhs I n. O sistem ssocio X = B tem solução únic se, e somente se, é invertível. Neste cso solução é X = - B. Demonstrção Se é um mtriz n n, então o sistem liner X = B é um sistem e n equções e n incógnits. Suponh que é não singulr (invertível). Então - existe e poemos multiplicr X = B por - em mos os los, oteno - ( X) = - B ( - )X = - B I n X = - B X = - B. e fevereiro e lex N. Brsil

11 66 Geometri nlític e Álger Liner e fevereiro e lex N. Brsil qui form uss s propriees álger mtricil. Portnto, X = - B é únic solução o sistem X = B. Por outro lo, se o sistem X = B possui solução únic, então form esclon reuzi mtriz ument o sistem [ B] é form [R C], one R = I n. Pois mtriz é qur e cso R fosse iferente ientie possuiri um linh e zeros o que levri que o sistem X = B ou não tivesse solução ou tivesse infinits soluções. Logo, mtriz é equivlente por linhs à mtriz ientie o que pelo teorem visto nteriormente implic que é invertível. Ex.:.8 Suponh que temos um processo físico em que pr um mtriz e sí B, mtriz e entr X é oti pel solução o sistem X = B. Se mtriz é o Exemplo.6: e s mtrizes e sí são B e C, então s mtrizes e entr serão B X e 8 C Y. ou sej x x x X e 8 y y y Y Teorem Se é um mtriz n n, o sistem homogêneo X = (.) tem solução não trivil ( ) se, e somente se, for singulr (não invertível). Ou sej, too sistem homogêneo possui pelo menos solução trivil. Pelo item nterior, est será únic solução se, e somente se, é invertível.

12 Geometri nlític e Álger Liner Demonstrção Suponh que é não singulr. Então - existe, e multiplicno mos os los e (.) por -, temos 67 - ( X) = - ( - )X = I n X = X = Portnto, únic solução e (.) é X =. Ex.:.9 Consiere o sistem homogêneo X =, em que singulr,. Como é não X = - =. Poerímos resolver o sistem pelo métoo e eliminção e Guss-Jorn. Neste cso vemos que mtriz em form esclon reuzi é equivlente por linhs à mtriz ument o sistem o,, é, o que mis um vez mostr que solução é X =. e fevereiro e lex N. Brsil

13 68 Geometri nlític e Álger Liner e fevereiro e lex N. Brsil Ex.:.9 Consiere o sistem homogêneo X =, em que é mtriz singulr. Neste cso mtriz em form esclon reuzi que é equivlente por linhs à mtriz ument o sistem o,, e, e isso crret que z y x one é um número rel qulquer. ssim, o sistem o tem um solução não trivil. Teorem Poemos resumir nossos resultos sore sistems homogêneos e mtrizes não singulres oservno que s seguintes firmtivs são equivlentes: Quro. List e equivlêncis não singulres Os seguintes enuncios são equivlentes.. é não singulr. x = tem somente solução trivil. é equivlente por linhs I n. Quro.

14 69 Geometri nlític e Álger Liner e fevereiro e lex N. Brsil Exercícios Numéricos. Sej um mtriz x. Suponh que X é solução o sistem homogêneo X =. mtriz é singulr ou não? Justifique. R.: Teorem: Se é um mtriz n n, o sistem homogêneo X = tem solução não trivil ( ) se, e somente se, for singulr (não invertível). Então, mtriz é singulr, pois o sistem homogêneo tem solução não trivil.. Se possível, encontre s inverss s seguintes mtrizes: () R.: () R.: (c) R.:,,, () R.: mtriz é singulr. (e) 6 9 R.: mtriz é singulr.. Encontre toos os vlores e pr os quis mtriz tem invers. R.:, pr vlores e iferentes e zero mtriz tem invers.

15 Geometri nlític e Álger Liner 7. Se encontre ( B) -. e B Teorem: Se e B são mtrizes não singulres (invertíveis), então B é não singulr e R.: (B) - = B ( B) 7. Resolv o sistem X = B, se e B R.: X B, se o sistem liner X = B tem o número e equções igul o número e incógnits. 9 X Exercícios usno o MTLB >> M=[,B] triui à mtriz M mtriz oti colocno lo lo s mtrizes e B; >> =[,..., n] cri um mtriz form pels mtrizes, efinis nteriormente,,..., n colocs um o lo outr; >> M=(:,k:) triui à mtriz M sumtriz mtriz oti colun à colun k mtriz. Comnos o pcote GL: >> B=opel(lph,i,) ou >> B=oe(lph,i,) fz operção elementr lph*linh i ==> linh i mtriz e rmzen mtriz resultnte em B. >> B=opel(lph,i,j,) ou >> B=oe(lph,i,j,) fz operção elementr lph*linh i + linh j ==> linh j mtriz e rmzen mtriz resultnte n vriável B. >> B=opel(,i,j) ou >> B=oe(,i,j) fz troc linh i com linh j mtriz e rmzen mtriz resultnte n vriável B. >> B=esclon() clcul psso psso form esclon reuzi mtriz e rmzen mtriz resultnte n vriável B. Use o MTLB pr resolver os Exercícios prtir o Exercício. e fevereiro e lex N. Brsil

16 Geometri nlític e Álger Liner 7.. Determinntes Definição Nest seção efinimos noção e eterminnte e estumos lgums e sus propriees. Os eterminntes surgirm inicilmente n solução e sistems lineres. Emor o métoo o n Unie pr resolver tis sistems sej muito mis eficiente o que os que envolvem eterminntes, estes são úteis em outros spectos álger liner; lgums ests áres serão consiers n Unie 7. Definição Sej S,,, n rerrnjo o conjunto os inteiros e n, ispostos em orem crescente. Um j j jn os elementos e S é chmo um permutção e S. ssim, S,,,. é um permutção e Poemos colocr qulquer um estes n ojetos n primeir posição, qulquer um os restntes n elementos n segun posição, qulquer um os restntes n elementos n terceir posição, e ssim sucessivmente, té que n-ésim posição só poe ser preenchi pelo último elemento restnte. ssim, há n ( n )( n ) (.) permutções e S; representmos o conjunto e tos s permutções e S por S n. expressão n equção (.) é represent por!!!!! 6! 7! 8! 9! Um permutção j j jn S,,, n tem um inversão se um inteiro mior j r precee um inteiro menor j s. Um permutção é chm pr ou ímpr se o número totl e inversões for pr ou ímpr. e Se n, poe mostrr que S n tem n! permutções ímpres. permutções pres e um número igul e e fevereiro e lex N. Brsil

17 Geometri nlític e Álger Liner 7 Definição Sej ij ou ) por um mtriz n n. efinimos o eterminnte e (represento por et() et( ) ( ), (.) j j one o somtório é feito sore tos s permutções njn j j jn o conjunto S,,, n. O sinl é escolhio positivo ou negtivo conforme permutção j j j n sej pr ou ímpr. Em c termo () e, os suínices reltivos às linhs estão em su j j njn orem nturl, enqunto que os suínices reltivos às coluns estão n orem j j j n. Como permutção j j jn é simplesmente um rerrnjo os números e n, não contém repetições. ssim, c termo e é um prouto e n elementos e com seu sinl proprio, com extmente um elemento e c linh e extmente um elemento e c colun. Como estmos somno sore tos s permutções o S,,, n, tem n! termos n som e (.). conjunto Ex. Se for um mtriz, então S tem somente um permutção, permutção ientie, que é pr. ssim,. Definição De coro com o exemplo (.) efinimos o eterminnte e mtrizes. Pr c mtriz efinimos o eterminnte e inico por et() ou por et() =. ssim, et( ) ij Vmos gor, efinir o eterminnte e mtrizes e prtir í efinir pr mtrizes e orem mior. c mtriz,, ssocimos um número rel, enomino eterminnte e, por: O eterminnte e um mtriz qulquer é: e fevereiro e lex N. Brsil

18 Geometri nlític e Álger Liner 7 Definição ssim, poemos oter o et() ou formno o prouto os coeficientes igonl esquer pr ireit no igrm seguir e sutrino isto o prouto os coeficientes igonl ireit pr esquer. Ex. Sej Então ( ) () ( ) (). Definição Seno um mtriz, poemos oter como se segue. Repit primeir e segun coluns e como mostro ixo. Forme som os proutos os coeficientes sore s igonis esquer pr ireit e sutri isto os proutos os coeficientes sore s igonis ireit pr esquer (verifique est regr). então, pr clculr escrevemos os seis termos. (.) Ex.:. Sej Clcule. Solução: Sustituino em (.), vemos que ( )()() ()()() ()()() ()()() ()()() ()()() 6. Deveri ser enftizo que, pr n, não há mneir fácil, como nos exemplos (.) e (.), e clculr. e fevereiro e lex N. Brsil

19 Geometri nlític e Álger Liner 7... Propriees o Determinnte Teorem Os eterminntes e um mtriz e e su trnspost são iguis. Ex.:. Sej mtriz o exemplo (.) T. Então, T ( )()() ()()() ()()() ()()() ()()() ()()() 6. Teorem Se mtriz B result mtriz pel troc posição e us linhs (coluns) e, então B. Ex.:. Temos 7 e 7 Teorem Se us linhs (coluns) e forem iguis, então. Ex.:. Temos 7 e 7 Teorem Se um linh (colun) e consiste somente em zeros, então. Ex.:.6 6 e 6 Teorem Se B é oti e multiplicno um linh (colun) e por um número rel c, então B c. Poemos usr o teorem pr simplificr o cálculo e, chno o máximo ivisor comum e c linh e colun e. Ex.:.7 Temos 6 ()() 6( ) 8 e fevereiro e lex N. Brsil

20 Geometri nlític e Álger Liner 7 Ex.:.8 Temos 8 6 ()() ()()() Neste exemplo, pusemos em primeiro lugr em eviênci n terceir linh, e então n terceir colun, oteno zero, pois primeir e terceir coluns são iguis. Teorem Se B é oti e sustituino linh (colun) i por el som um múltiplo esclr e um linh (colun) j, j i, então B. Ex.:.9 Temos 9, oti icionno us vezes segun linh à su primeir. plicno efinição e eterminnte o seguno eterminnte, vemos que mos têm o vlor. Teorem Se um mtriz ij é tringulr inferior (superior), então ; nn ou sej, o eterminnte e um mtriz tringulr é o prouto os elementos sore igonl principl. Ex.:. Temos ()( )( ). Teorem O eterminnte e um prouto e us mtrizes é o prouto e seus eterminntes; ou sej, B B. Ex.:. Sejm e B ssim e B. e fevereiro e lex N. Brsil

21 Geometri nlític e Álger Liner 76 lém isto, B e B B. Corolário Se é não singulr (invertível), então e. Ex.:. Sej. ssim e. Logo.... Desenvolvimento em Coftores e plicções té qui, temos clculo eterminntes usno equção (.) seção preceente, juos pels propriees nel emonstrs. Desenvolveremos gor um métoo iferente pr clculr o eterminnte e um mtriz n n, que reuz o prolem o cálculo e eterminntes e mtrizes e orem n. Poemos então repetir o processo pr ests mtrizes ( n ) ( n ) té chegrmos mtrizes. Definição Sej ij um mtriz n n. Sej M ij sumtriz ( n ) ( n ) eliminno i-ésim linh e i-ésim colun e, que tem o seguinte specto: e oti M ij n J ij n nn i Ex.:. Pr um mtriz = ( ij ) x, M M e fevereiro e lex N. Brsil

22 Geometri nlític e Álger Liner 77 O eterminnte M ij é chmo o menor e ij. O coftor ij e ij é efinio por i j ij ) M ij (. ou sej, o coftor ij, o elemento ij é igul mis ou menos o eterminnte o menor M ij, seno o mis e o menos eterminos pel seguinte isposição: Ex.:. Sej 6. 7 ssim e 6 M 8, M 7, 7 7 M lém isso, ) M ( )( ), ( ) M ( )(), ( ) M ()( 6) 6. ( Se imginrmos o sinl (-) i+j como estno coloco n posição (i, j) e um mtriz n n, então os sinis + e formm um quro em que se lternm, prtino e + n posição (, ). Os quros pr n = e n = são os seguintes: n = n = e fevereiro e lex N. Brsil

23 Ex.:. Pr um mtriz = [ ij ] x, Geometri nlític e Álger Liner 78 et ( ) et( M ) et et ( ) et( M ) et Vmos, gor, efinir o eterminnte e um mtriz. Escolh um linh e, por exemplo, ª linh,, então, o eterminnte e é igul à som os proutos os elementos ª linh pelos seus coftores. Então ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) et( ) et( ) et et et et( ) ( ) ( ) ( ) et( ). O que nos lev novmente à equção (.). De outr mneir: e fevereiro e lex N. Brsil

24 Geometri nlític e Álger Liner Escolheno-se e linhs otem-se respectivmente 79 et() = + + ; et() = + +. Clculno-se os coftores ns expressões cim, verific-se que relmente qulquer um els á o mesmo resulto (verifique!). D mesm form que prtir o eterminnte e mtrizes x, efinimos o eterminnte e mtrizes x, poemos efinir o eterminnte e mtrizes qurs e orem mior. Supono que semos como clculr o eterminnte e mtrizes e orem (n - ) (n - ) vmos efinir o eterminnte e mtrizes e orem n n. Vmos efinir, gor, os coftores e um mtriz qur elemento ij, enoto por ij, é efinio por ( ).O coftor o ij nn i j ij ) M ij (. Ou sej, o coftor ij, o elemento ij é igul mis ou menos o eterminnte o menor M ij, seno o mis e o menos eterminos pel seguinte isposição: Definição Sej um mtriz e orem n x n. O eterminnte e, enoto por et() ou, é efinio por one et( ), (.) j j ( ) M j n n é o coftor o elemento j. expressão (.) é chm esenvolvimento em coftores o eterminnte e em termo ª linh. Não vmos provr qui que o eterminnte está em efinio, isto é, que o resulto é o mesmo, inepenente linh escolhi pr o esenvolvimento em coftores. Poemos tmém estener efinição e eterminntes pr incluir s mtrizes x, efinino et([]) =. Dest form expnsão em coftores tmém é váli pr mtrizes x. n j j j e fevereiro e lex N. Brsil

25 Ex.:.6 Sej Geometri nlític e Álger Liner 8 Desenvolveno-se o eterminnte e em coftores, otemos et( ) ( )( ) et( ), one B B. Ms o et(b) tmém poe ser clculo usno coftores, et(b) = B + B + B = (- ) + et(m ) + (- ) + et(m ) + (- ) + et(m ) = et et et = -8 - (- ) + (- 7) = - Portnto, et() = et(b) = - 7. Ex.:.7 Usno efinição e eterminnte, vmos mostrr que o eterminnte e um mtriz tringulr inferior (isto é, os elementos situos cim igonl principl são iguis zero) é o prouto os elementos igonl principl. Vmos mostrr inicilmente pr mtrizes x. Sej Desenvolveno-se o eterminnte e em coftores, otemos et( ) et. e fevereiro e lex N. Brsil Vmos supor termos provo que pr qulquer mtriz (n - ) (n - ) tringulr inferior, o eterminnte é o prouto os elementos igonl principl. Então vmos provr que isto tmém vle pr mtrizes n n. Sej

26 Geometri nlític e Álger Liner 8 n nn Desenvolveno-se o eterminnte e em coftores, otemos et( ) et nn, n nn pois o eterminnte cim é e um mtriz (n - ) (n - ) tringulr inferior. Em prticulr, o eterminnte mtriz ientie I n é igul et( I ). n Os.: Este cso vle tnto pr mtriz tringulr inferior qunto pr tringulr superior. Ex.:.8 Vmos clculr o eterminnte mtriz usno operções elementres pr trnsform-l num mtriz tringulr superior e plicno s propriees o eterminnte. ª linh ª linh ª linh ª linh ª linh + ª linh ª linh ª linh + ª linh ª 6 9 et() et 6 et() et 6 et() et et() et et( ) ( ) ( ) 6 e fevereiro e lex N. Brsil

27 Geometri nlític e Álger Liner 8 Pr se clculr o eterminnte e um mtriz n n pel expnsão em coftores, precismos fzer n proutos e clculr n eterminntes e mtrizes (n - ) (n - ), que por su vez vi precisr e n proutos e ssim por inte. Portnto, o too são necessários n! proutos. Pr se clculr o eterminnte e um mtriz, é necessário se relizr! 8 proutos. Os computores pessois relizm orem e 8 proutos por seguno. Portnto, um computor pessol precisri e cerc e segunos ou nos pr clculr o eterminnte e um mtriz usno expnsão em coftores. Enqunto, o cálculo o eterminnte pelo métoo presento no exemplo nterior é necessário pens orem e n proutos pr se clculr o eterminnte. O resulto seguinte crcteriz em termos o eterminnte s mtrizes invertíveis e os sistems lineres homogêneos que possuem solução não trivil. Teorem Sej um mtriz n n. () mtriz é invertível se, e somente se, et( ) ; () O sistem homogêneo X et( ). tem solução não trivil se, e somente se, Ex.:.9 Sej = ( ij ) n x n. Vmos mostrr que se é invertível, então et( ) et( ) Como - = I n, plicno-se o eterminnte mos os memros est igule e usno s propriees o eterminnte, otemos et() et( - ) = et(i n ). Ms, et(i n ) = (Exemplo.7, mtriz ientie tmém é tringulr inferior!). Logo, et( ). et( ) Ex.:. Se um mtriz qur é tl que = -, então vmos mostr que et() =. plicno-se o eterminnte mos os memros igule cim, e usno novmente s propriees o eterminnte e o resulto o exemplo nterior, otemos et( ). et( ) De one segue que (et()) =. Portnto, et() =. e fevereiro e lex N. Brsil

28 8 Geometri nlític e Álger Liner e fevereiro e lex N. Brsil Exercícios Numéricos. Se et() = -, encontre () et( ); () et( ); (c) et( - ); () et( t );. Se e B são mtrizes n x n tis que et() = - e et(b) =, clcule et( t B - ).. Clcule o eterminnte e c um s mtrizes seguintes usno operções elementres pr trnsform-l em mtrizes tringulres superiores. () R.: et() = 9 () B R.: et(b) = 6. Determine toos os vlores e pr os quis et( - I n ) =, one () R.: () R.: (c) R.: () R.: (e) R.: (f) R.:. che os vlores e, pr os quis o sistem liner ( - I n )X = tem solução não trivil, one () R.: () R.: (c) R.: () R.:

29 8 Geometri nlític e Álger Liner e fevereiro e lex N. Brsil 6. Pr s mtrizes o exercício nterior, e os vlores e encontros, encontre solução gerl o sistem homogêneo ( - I n )X =. () R.: z y x z y x z y x Exercícios usno o MTLB >> et() clcul o eterminnte mtriz. Comnos o pcote GL: >> etopelp() clcul o eterminnte e plicno operções elementres té que mtriz estej n form tringulr superior. >> menor(,i,j) clcul o menor i,j mtriz ; >> etcof() clcul o eterminnte e usno coftores; >> etopel() clcul o eterminnte e reuzino form tringulr superior (somente pr mtrizes numérics); 7. () Crie um mtriz, por, com entrs inteirs e letóris com o comno =rni(); () Use o comno etopelp() pr clculr o eterminnte e ; (c) Repit os itens nteriores; Use o MTLB pr resolver os Exercícios Numéricos prtir o Exercício. pr quisquer e reis