7 - Grafos e Algoritmos Algoritmos e contagem do número de Operações

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1 7 - Grfs e Algritms Algritms e cntgem d númer de Operções Prblems de timizçã e prblems cmputcinis em gerl sã reslvids pr mei de lgritms. De um frm vg, pdems dizer que um lgritm é um cnjunt de finit de instruções d tip usd em lingugens de prgrmçã tis cm: perções ritmétics, instruções cndicinis, instruções de leitur e escrit. O temp de execuçã de um lgritm depende de váris ftres, entre eles: b prátic de prgrmçã, cdificçã ds instruções de frm inteligente, estrutur de dds, equipment nde est send executd. Apesr d imprtânci destes ftres, estms interessds em vlir qulidde de um lgritm independentemente d frm em que está cdificd u d máquin nde est send executd. Um mneir de vlir desempenh cmputcinl de um lgritm independentemente de um implementçã prticulr é clculr prximdmente númer de perções (ritmétics, cndicinis, etc) que mesm execut. Est prátic é em gerl stisftóri, pesr de descnsiderr que perções cm númers inteirs de pucs dígits sã mens trblhss que perções envlvend númers reis de lt precisã, u númers inteirs de muits dígits. Um cálcul mis precis cnsider tmbém s dds d prblem. Neste text, irems cnsiderr pens s dds reltivs à dimensã d prblem. Um trtment mis detlhd sbre vliçã d desempenh cmputcinl de um lgritm pde ser encntrd em [1], [] e [3]. Cnsidere pr exempl, s dis lgritms descrits seguir. O primeir se destin clculr prdut esclr de dis vetres, e segund clcul prdut de dus mtrizes. Algritm 1 - Clcul prdut esclr n (p) entre s vetres v, w R n Dds: v, w R iníci p = v(1)*w(1) Pr i = té n fç p = p + v(i)*w(i) escrev p. Algritm - Clcul prdut (C) de m x n n x p dus mtrizes A R, B R m x n n x p Dds: A R, B R iníci pr i = 1 té m fç pr j = 1 té p fç c(i,j) = (i,1)*b(1,j) pr k = té n c(i,j) = c(i,j) + (i,k)*b(k,j)

2 Nte que n Algritm 1 tems n multiplicções e (n-1) dições ttliznd (n - 1) perções. O lgritm clcul s elements c(i,j) d mtriz C fzend prdut esclr entre linh i d mtriz A e clun j d mtriz B. Ist é, sã clculd m*p prduts esclres que pr su vez requerem (n-1) perções, ttliznd m*p(n-1) perções. Pr s lgritms 1 e fi pssível fzer cntgem ext d númer de perções que cd um execut. Nem sempre cntgem d númer de perções é trivil. Prcur-se entã fzer um estimtiv d cresciment d númer de perções em funçã ds prâmetrs que definem prblem. Assim, pr Algritm 1 é suficiente dizer que númer de perções que ele execut é um funçã liner de n, enqunt que númer de perções d Algritm é um funçã cúbic de n, m e p. Pr ser mis precis nest estimtiv d númer de perções é utilizd expressã "rdem de mgnitude" definid seguir. Definiçã 1: Sejm f e g : R n + R+ dizems que: ) f(n) é O(g(n)) (f é d rdem de g) se existirem cnstntes c, n > 0 tl que f ( n) cg( n) pr n n. (cmplexidde n pir cs) b) f(n) é Ω ( g( n)) (f é d rdem de g) se existirem cnstntes c, n > 0 tl que f ( n) cg( n) pr n n. (cmplexidde n melhr cs) c) f(n) é Θ ( g( n)) se f(n) é O(g(n)) e f(n) é Ω ( g( n)). (Cmplexidde ext) Exempls [3]: 3 ) f = 3p + p é d rdem de b) 3 3 3p + p 5p f = ( p +1) é d rdem de O( p = 1 e c = 4, tems ( p + 1) 4 p c) f=54 é (1) 3 p, u simplesmente f é O( p ). Neste cs:: 3 p ), pis pr = 0 p e c = 5, tems d) Observe que cm est definiçã s funções cmplexidde O(n 3 ) f ( x) + n 10 3 = 10 n e g ( x) + n 3 10 = n + 10 pssuem Exercíci: Verificr que: ) 3 f = 3p + p + 10 é Θ ( n 3 ) b) f = n lg n é O ( n ) e Ω (n) Cm vlir se cmplexidde de um dd lgritm é b u ruim? Supnh que pssms esclher entre dis lgritms, A e B. O temp de execuçã d lgritm A é 10 n n, ist é O (10 ) (expnencil) e d lgritm B é 10n 100 3, ist é O(n 3 ) (plinmil). Pr vlres bem pequens de n, pr exempl n=3, lgritm A é mis eficiente que lgritm B. Vej tbel 1 bix.

3 n 10 n n Tbel 1 - Númer de perções ds lgritms A e B Ms que cntece pr vlres mires de n? Supnh que dispms de um máquin cpz de executr 10 7 perções ritmétic pr segund, e que estms dispsts executr s dis lgritms pr 1000 segunds. Qul é dimensã ds prblems que pderíms reslver cm cd um ds lgritms dentr deste intervl de temp? Se máquin execut 10 7 perções pr segund, lgritm A, executd nest máquin pde relizr qunts perções em 1000 segunds? Um simples regr de três: 1 s s 10 n 100 ns lev seguinte equçã: 10 n = * > n = 1. Ist é, neste temp lgritm A reslve prblems cm n<= 1. Fzend um rcicíni similr pr lgritm B, tems que este reslve prblems cm n<= Estes cálculs indicm que lgritms plinmiis permitem resluçã de prblems mires dentr de um mesm intervl de temp. De um mneir gerl lgritms cm cmplexidde cmputcinl plinmil sã cnsiderds rápids e eficientes enqunt que s lgritms cm cmplexidde expnencil sã vists cm lents e ineficientes. Este pnt de vist se justific em muits, ms nã tds, situções. A timizçã liner é um exempl nde lgritms expnenciis (bseds n métd simplex) e lgritms plinmiis (métds de pnt interir) cmpetem em pé de iguldde. O estud de cmplexidde de lgritms será útil pr determinms gru de dificuldde de resluçã de prblems em Grfs. Em gerl s medids de cmplexidde sã feits em funçã d dimensã d prblem. N cs de grfs em funçã d númer de vértices, n, e d númer de rests, m e em lguns ns vlres tribuíds pr s vértices e pr s rests. Mis infrmções sbre cmplexidde de lgritms pdem ser encntrds em: [1] - Cmpel, R.E e N. Mculn, Algritms e Heurístics, Editr d Universidde Federl Fluminense, 1994; [] - Grey, M. R. e Jhnsn D.S. - Cmputer Intrctbility - A Guide t the Thery f NP- Cmpleteness. W.H. Freemn Cmpny, 1979.

4 7. Representçã de Grfs A representçã cmputcinl de um grf (u digrf) deve usr um estrutur que: i) crrespnde de frm únic um grf dd ii) pde ser rmzend e mnipuld em um cmputdr. A representçã gemétric de um grf trvés d digrm de pnts e linhs nã stisfz cndiçã ii) cim. Vms discutir seguir lgums estruturs que stisfzem estes dis critéris. Cnsidere um grf G(V,A) cm n vértices e m rests 7..1 Mtriz de Adjcênci É um mtriz n x n, A = [ ] nde: = se vértice i é djcente vértice cs cntrári j Exempl : Inicilmente fzems um rtulçã ns vértices de G. Qul é cmplexidde em terms de espç de memóri que um lgritm que use um mtriz de djcênci pr rmzenr grf? O(n ) Qulquer tip de grf pde ser rmzend nest estrutur? Nã! Apens grfs que nã pssum rests prlels. Qunts elements diferentes de zer est mtriz pssui? Qul é gru de um vértice? Se grf é simples gru de um vértice é dd pel sm ds elements de um linh. O que represent mtriz B= A*A? s elements b, i j, representm númer de cminhs distints entre s vértices vi e vj. de tmnh. b = n k= 1 ik kj existe um cminh se = 1, e cminh é dd pr {i, (i,k), k, (k,j), j}. ik = kj

5 É pssível utilizr est estrutur pr rmzenr digrfs? Sim. Terems : se existe um rest rientd = cs cntrári d vértice i pr vértice j Neste cs mtriz só será simétric, se digrf fr simétric. O gru de síd d vértice i é dd pel sm ds elements d linh i O gru de entrd d vértice i é dd pel sm ds elements d clun i 7.. Mtriz de Incidênci É um mtriz n x m, A = [ ] nde: = se rest j é incidente n vértice cs cntrári i Exempl 3: Inicilmente fzems um rtulçã ns vértices e ns rests de G. 1) Qul é cmplexidde em terms de espç de memóri que um lgritm que use um mtriz de incidênci pr rmzenr grf? O(n m) ) Qulquer tip de grf pde ser rmzend nest estrutur? Nã! Apens grfs que nã pssum lps. 3) Qunts elements diferentes de zer est mtriz pssui? m 4) Qul é gru de um vértice? O gru de um vértice é dd pel sm ds elements de um linh. 5) É pssível utilizr est estrutur pr rmzenr digrfs?

6 Sim cm um pequen mdificçã um vez que dizer que um rest incide em um vértice é necessári especificr se el cnverge pr u diverge de um dd vértice. Assim, pr digrfs, mtriz de incidenci cm n linhs e m cluns é definid pr: se rest j diverge d vértice i = -1se rest j cnverge pr vértice i cs cntrári Um bservçã: Um submtriz (n-1) x (n-1) d mtriz de incidênci é nã singulr se e smente se s rests sscids às (n-1) cluns dest submtriz cnstituem um árvre gerdr 1 de G. - um linh cm zers represent um vértice isld - um permutçã de linhs e cluns crrespndem um nv rtulçã pr vértices e rests e prtnt representm mesm grf; Pdems enuncir seguinte resultd: Terem Dis grfs G1 e G sã ismrfs se e smente se sus mtrizes de incidênci C1 e C diferem pens pel permutçã de linhs e cluns. As dus representções cim sã imprtntes prque els fcilitm recuperçã de um séries de infrmções respeit de um grf. Pr exempl gru de um vértice, determinr se dis vértices sã djcentes, entre utrs. N entnt els nã vlem pr qulquer grf dd, e demndm muit espç de memóri: O(n ) e O(nm) pr rmzenr pens m elements diferentes de zer. É pssível encntrr frmr mis eficientes de rmzenment de dds. Ms devems slientr que melhr mneir de rmzenr um grf u digrf vi depender d lgritm ser implementd List de Arests O digrf (u grf) G é representd pr dis vetres m-dimesinis F e H. Cd element destes vetres recebe rótul de um vértice. Assim i-esim rest diverge d vértce f i e cnverge pr vértice h i. Qul é espç necessári pr est estrutur? O(m) 7..4 List de sucessres Qund rzã m/n nã é muit lt é cnveniente usr um list de sucessres. Pr ist defin n vetres. Cd vetr é sscid um vértice. O primeir element d vetr K é vértice k e s demis elements sã s vértices djcentes vértice k (em um digrf, s vértice que est ligds vértice k pr um cminh de cmpriment 1). 1 Árvre gerdr de um grf é um subgrf cnex e sem circuits que cntém tds s vértice d grf.

7 Supnd que dmed é gru médi (u gru de síd médi) espç de memóri necessári pr est estrutur é O (n dmed) D1: G1 (1,) (1,,3,4) (,3,5) (,1,4,5,6) (3) (3,1,4,5) (4,1,5) (4,1,,3) (5,4) (5,,3) (6.) Exercícis 1)Se A é mtriz de djcênci de um grf G(V,A) entã (i,j)-ésim element d mtriz A k é igul númer de cminhs distints entre s vértices i e j de cmpriment K. Verifique este resultd pr grf d exempl, fzend k = 3. Este resultd vle pr mtriz de djcênci sscid digrfs? Verifique su respst cm um exempl.