Capítulo III. x y. u x

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1 Capítlo III.. Método das Dfrnças Fntas Est tm. fo traído da rfrênca [55] Carnahan 969 sofrndo modfcaçõs. Em todo o dsnolmnto da análs nmérca tlza-s as dfrnças fntas com m rotro a sr sgdo nma sqüênca lógca. Partndo da dfnção d opradors nmércos d dfrnças fntas µδ δ ntrodz-s o concto d ntrpolação atraés das fórmlas d Grgor-Nwton Strlng q tlzam sts opradors. Em sgda ntrodz-s a dração nmérca a ntgração nmérca Qadratra por mo da dração ntgração da fórmla d Grgor-Nwton chgando às fórmlas d Nwton-Cots. Sgndo ssa técnca pratcamnt todos os tópcos da análs nmérca podm sr ntrodzdos por mo das dfrnças fntas dpos ls são dsnoldos para além das dfrnças fntas. No stdo d análs nmérca d qaçõs dfrncas não é dfrnt. Sgr-s ma ntrodção por mo dos métodos das dfrnças fntas do nglês: Fnt Dffrnc Mthods o FDM postrormnt o dsnolmnto do assnto para além das dfrnças fntas como por mplo a ntrodção do Método dos Elmntos Fntos. Com sso sg-s m dsnolmnto ddátco mto prómo do dsnolmnto hstórco ma z q conform fo ctado no tm. da Introdção o método das dfrnças fntas srg ants do Método dos Elmntos Fntos. O método das dfrnças fntas pod sr tlzado para rsolr problmas d alor d contorno o alor ncal nolndo qaçõs dfrncas ordnáras o parcas. ssm st método pod sr sado para solconar as qaçõs d modlos a parâmtros concntrados o dstrbídos. técnca consst m sbsttr cada drada o dfrncal das qaçõs dfrncas por apromação d dfrnças fntas o acréscmo fntos das arás como mostra as qação. abao: d d d d d d d d.. O Método d Elmntos Fntos é bm mas rcnt q o antror sndo mas gnérco podndo sr aplcado a complas strtras gométrcas a ambnts com áras mdanças d mo. El poss ma formlação matmátca mas trabalhada sndo portanto m connto d técncas métodos q s basa na dscrtzação do problma m lmntos pqnos na apromação d cada lmnto por m connto d polnômos. Consdr prmramnt o problma formado por qaçõs dfrncas ordnáras EDO s. Estm dos tpos. Um dls é o problma d alor ncal q

2 assm a forma gral abao: F[ t t t ] t> tt o. Ond o t é a arál ndpndnt salmnt o tmpo; é m tor d arás dpndnts; é a sa drada m rlação a t; F é m tor d fnçõs d t ; fnalmnt o o são tors q rprsntam as condçõs ncas do problma. Nots q o domíno da arál t é sm-nfnto q a solção dst problma drá sr obtda marchando-s no tmpo a partr da condção ncal. Caso sta plo mnos ma fnção dntro do tor F q não dpnda d nnhm lmnto do tor a qação rprsnta m sstma d qaçõs algébrco-dfrncas sstma d ED. [68] O otro tpo d problma é o do alor d contorno q assm a sgnt forma gral para sstmas d sgnda ordm: F[ ] o << f o g o. f g f Ond o é a arál ndpndnt salmnt ma coordnada spacal; é o tor d arás dpndnts; são as sas dradas: prmra sgnda rspctamnt m rlação a ; F é m tor d fnçõs; g o g f são tors d fnçõs q rprsntam as condçõs d contorno nos lmts do domíno do sstma d qaçõs. O obto do Método das Dfrnças Fntas é transformar m problma composto por qaçõs dfrncas m m problma formado por qaçõs algébrcas. O prmro passo nsta drção é a chamada dscrtzação do domíno da arál ndpndnt. dscrtzação consst m ddr o domíno d cálclo m m crto númro d sbdomínos. Para m domíno sm-nfnto stm nfntos sbdomínos. Qando o domíno é fnto o númro d sbdomínos também o é dgamos q sa J. Em qalqr caso stplam-s os pontos q dlmtam os sbdomínos q no caso d m domíno fnto são gas a J m númro. Not-s q os sbdomínos podm tr o msmo tamanho grando ma malha nform o ntão formando ma malha não-nform. Embora as dscrtzaçõs basadas no prmro tpo d malha sam mas smpls stm antagns nmércas m mtos casos no so d malhas não-nforms. O sgndo passo é grar apromaçõs para as dradas das arás dpndnts q aparcm nas dfrncas nos pontos dscrtos o t sto é obtr tlzando apnas os alors d nsts pontos dscrtos:. Fnalmnt aplcams as qaçõs dfrncas ordnáras aos pontos dscrtos sbsttndo as apromaçõs obtdas para. Isto gra sstmas d qaçõs algébrcas na forma: f. Ond o f é m tor d qaçõs algébrcas q dpnd dos alors dsconhcdos sndo q sta dpndênca ara conform o tpo d problma d contorno o ncal. Est sstma d qaçõs qr sa l lnar o não lnar pod tr

3 a sa solção obtda. Not-s q a solção assm obtda para o problma consstrá m ma sqüênca d pontos o t ond s conhcm os alors d. Fcam claras agora das caractrístcas do Método d Dfrnças Fntas: a aplcação das qaçõs dfrncas é local sto é m cada ponto o t a solção obtda é composta por m connto nmrál d pontos ond os alors da solção são conhcdos. Um dos passo ncssáros na solção d qaçõs dfrncas por dfrnças fntas é a apromação das dradas prsnts nstas qaçõs aplcadas a m dado ponto arbtráro o t. Uma manra smpls d s obtr stas apromaçõs é por mo do so da pansão d ma fnção m sér d alor m torno d m dado ponto. Sa st ponto bas podmos scrr o alor d pla sgnt sér nfnta:....5!!! Enqanto q o alor d - - é dado por:....6!!! Consdr agora a ncssdad d s apromar o alor d o q srá fto tlzando-s as pansõs acma. Estas qaçõs podm sr scrtas d forma mas compacta por mo da dfnção do comprmnto do domíno : h - -. Dssa forma mltplcando a sgnda pansão.6 por h dmnndo da prmra pansão.5 mltplcada por h obtmos a sgnt prssão na qal fo lmnado: [ h h h h ] O h h h h h.7 Nla o Oz ndca q a apromação tm ordm d grandza d z sto é o alor ato da drada da fnção no ponto consdrado é obtdo a partr da prssão apromada no lmt qando z. Esta ordm d grandza é ornda do trmo d mnor ordm o prmro trmo ntr aqls q nolm as dradas d maor ordm. O connto dst trmos o a sa forma smplfcada d rprsntação por ordm d grandza é dnomnado d rro d trncamnto. Para ma malha nform h h qalqr q sa a apromação dada fca com a smplfcação: h O h.8 Ela é chamada apromação por dfrnça cntral da drada prmra d. Podmos anda sar as pansõs para obtr mas das apromaçõs para a

4 drada prmra d q para ma malha nform são dadas por: h O h.9 Ela é obtda a partr da sgnda pansão.6 sndo chamada d apromação por dfrnça dscndnt backward dffrntaton: h O h. Ela é obtda a partr da prmra pansão.5 sndo chamada d apromação por dfrnça ascndnt forward dffrntaton. Para ma apromação da drada sgnda pod-s somar as das pansõs.5.6 obtndo-s: O h h. Ela é chamada apromação por dfrnças cntras da drada sgnda d. qação antror nol três alors fnconas para dscrr ma apromação da drada sgnda da fnção o q rprsnta o mínmo ncssáro para sto á q a drada prmra tm q sr lmnada da forma fnal portanto plo mnos das pansõs m sér d alor têm q sr consdradas. Nada mpd q sa tlzada ma otra pansão m sér d alor para mlhorar a ordm d apromação das qaçõs acma. Por mplo podr-s-a tlzar a pansão para o alor fnconal - o para lmnar o prmro trmo do rro d trncamnto da qação obtndo-s assm ma apromação d ordm h. Entrtanto apromaçõs nolndo mas d três alors fnconas m pontos adacnts aprsntam ma maor dfcldad d solção das qaçõs algébrcas obtdas plo procsso d dscrtzação. Como mplo consdr o problma d alor d contorno abao: - com para. Sa o domíno dscrtzado por ma malha nform com J sbdomínos d comprmnto h com o f. plcando a qação dfrncal acma nos pontos ond não s conhcm os alors fnconas d tmos: -...J-. Utlzando as apromaçõs das dradas prmras sgnda por dfrnças cntras arraandos os trmos tm-s: - h - - h...j-.

5 o h - h -h -...J-.5 o J Logo caímos m m sstma lnar d qaçõs algébrcas. s condçõs d contorno do problma dado acma são chamadas d prmro tpo sto é dfnm o alor da arál no contorno sndo faclmnt ncorporadas ao sstma algébrco das qaçõs dscrtzadas. Drsos otros tpos d condçõs d contorno são possís sndo q a sa tlzação no sstma d qaçõs algébrcas dscrtzadas torna-s m poco mas laborada. Em gral a condção d contorno pod sr não-lnar na qal g o g t são fnçõs arbtráras d. Entrtanto são três os tpos stnts d condçõs d contorno lnars. Dz-s q a condção d contorno é do prmro tpo qando o alor da arál dpndnt é dado no contorno sndo faclmnt tlzada nas qaçõs dscrtzadas. O problma acma sr d mplo a forma gral é dada por: c c.6 Qando a condção d contorno é d sgndo tpo o alor da drada da arál dpndnt é dado no contorno sto é: c c.7 Esta condção d contorno tm q sr dscrtzada para sr combnada com o sstma algébrco dscrtzado fazndo:.8 h condção d contorno é dta d trcro tpo qando tm a sgnt forma gral: c a bc.9 Nla a b c são constants conhcdas. O s tratamnto é smlar ao dado às condçõs d contorno d sgndo tpo. Consdr agora o sgnt problma d alor ncal q nol apnas ma dfrncal ordnára na sa forma normal: ft com t o. Sndo o ntralo gnérco ntr t t consdr dfrnts formas d apromar a drada prmra tlzando como nformação conhcda apnas o ponto sto é t. Utlzando a apromação d dfrnças fntas para frnt para obtém-s : 5

6 Y hft Oh ht -t. Fórmla q prmt calclar a partr d com rro da ordm d h. Esta qação é plícta no alor dsconhcdo d sndo pos o método dnomnado d plícto. Espcfcamnt rprsnta o método plícto d Elr. Não caímos m m sstma lnar tndo a solção drta. Caso por otro lado rsolrmos tlzar a apromação d dfrnças fntas para trás d dada com no lgar d podmos aplcar no ponto t scrr: h ft Oh ht -t. Fórmla q calcla a partr d com rro da ordm d h. Not-s q no caso gral a qação é não lnar no alor dsconhcdo d sndo pos ncssáro tlzar-s m método adqado à solção d problmas não lnars para s obtr o alor d.ssm como não pod sr plctado a partr da qação o método é dnomnado d mplícto. Mas spcfcamnt st é chamado método mplícto d Elr. lém dos dos métodos acma podmos anda obtr m trcro a partr da apromação por dfrnça cntral d / no ntralo consdrado. plcando ao mo do ntralo tmos: h ft h/ / Oh ht -t. Fórmla q anda não pod sr sada para obtr porq o alor d f no ponto consdrado não é conhcdo. Entrtanto pandndo f f m sér d alor m torno do ponto t / t h/ tm-s q: h/. [ ft ft ] Oh h t -t. Fórmla q prmt calclar anda q d forma mplícta. Est método é anda mplícto sndo dnomnado d método trapzodal o d Crank-Ncholson. Consdr a solção nmérca do problma d alor ncal abao: - t> com t.5 Ela tlza os métodos d Elr até o ponto t com passos nforms d ntgração d. solção analítca dst problma é: t/t.6 plcando os métodos tmos: 6

7 abla. Comparação dos métodos d dfrnças fntas aplcados à qação.5. [68]. Elr Eplícto Elr Implícto rapzodal Solção nalítca No caso d problma d alor ncal com qaçõs d ordm maor do q ma rdção d ordm d sr fta para ma ordm mnor com a nsrção d ma arál no sstma. Emplo: 5 com.7 Introdz-s a arál z com z drando z. ssm tmos agora dos P.V.I. Problma d Valor Incal d prmra ordm: z z 5 z z.8 [5] Rsolmos smltanamnt os dos P.V.I. constrndo ma tabla d z. Os métodos d Rng-Ktta são d ponto smpls plíctos mas com drsos stágos d modo a s obtr ma maor ordm d apromação. déa básca dst tpo d método é dfnr q a aração da arál dpndnt no passo m qstão é dada por ma méda pondrada d araçõs dsta arál calcladas com aalaçõs dfrnts da fnção drada sto é: t. f t a C t. f t n b com >.9 Nla C a b são cofcnts a srm dtrmnados. Usando a qação acma o galando-a à sér d alor dtrmnamos sts cofcnts para a drsa ordm d Rng-Ktta. Mostra-s q Rng-Ktta é na rdad ma aração do Método das Dfrnças Fntas. Por mplo: Para sgnda ordm: C C ac / bc /. S scolhrmos C / chgamos a Elr Modfcado ond C C 5 ab. 7

8 Para qarta ordm: C C /6 C C / a a h/ a h b b / b. Os problmas matmátcos dscrtos nsta sção corrspondm a modlos mas smpls ond st apnas ma arál ndpndnt sa la o tmpo o ma coordnada spacal. Entrtanto modlos físcos mas laborados orgnam qaçõs dfrncas parcas EDP s com das o mas arás ndpndnts. s qaçõs dfrncas parcas com sas condçõs alars formam tanto problmas d alor ncal qanto problmas d alor d contorno. dscrtzação d problmas m mas d ma arál dpndnt sg m procdmnto smlar ao sto para problmas ndmnsonas. O prmro passo aq é como ants a dscrtzação do domíno d cálclo. Srão consdrados nst stdo problmas com no mámo das coordnadas spacas á q sts aprsntam todas as caractrístcas dos problmas mltdmnsonas. tnsão do procdmnto para problmas trdmnsonas é faclmnt obtda. Consdr ma fnção t dfnda m m domíno t q podm sr coordnadas admnsonas o não. dscrtzação do domíno pod sr fta com malhas nforms o não nforms. Como não há nnhma caractrístca fndamntal do procdmnto d dscrtzação q sa dpndnt do tpo da malha a atnção spcal é dada a malhas nforms Fgra. Malha d dfrnças fntas m problmas com das dmnsõs spacas. Not-s q m gral as malhas são qadradas s adota m índc para cada arál para para. mos assm: n t n ond t n rprsntam cada ponto da malha d dscrtzação. O sgndo passo é também a apromação por dfrnças fntas das dradas q aparcm na qação dfrncal parcal q podm sr obtdas das pansõs da arál dpndnt m sér d alor m rlação a ma o mas arás ndpndnts. [55] Dada a pansão d alor para m m formato clássco: h k h k h k! n h k... h k...! n!. O fazndo a pansão até a drada sgnda : 8

9 9... k hk h k h k h. ssmndo-s o índc para para tm-s: h k assm por dant ond cada spaçamnto d h m corrspond a somar o sbtrar no índc cada spaçamnto d k m corrspond a somar o sbtrar no índc. Com sso faz-s a pansão m sér d alor até a drada sgnda d h -h sando a qação. abao: h h h h h h h h h h. Da qação. trncando todos os trmos maors q h o sa com rro Oh solando a drada prmra chga-s a ma prmra apromação por dfrnças fntas da drada parcal d m rlação a : h. Da qação. trncando todos os trmos maors q h o sa com rro Oh solando a drada prmra chga-s a ma sgnda apromação por dfrnças fntas da drada parcal d m rlação a : h.5 Somando-s a qação. com a qação. trncando todos os trmos maors q h o sa com rro Oh solando a drada prmra chga-s a ma trcra apromação por dfrnças fntas da drada parcal d m rlação a : h.6 Sbtrando-s a qação. da qação. trncando todos os trmos maors q h o sa com rro Oh solando a drada sgnda chga-s a ma apromação por dfrnças fntas da drada parcal d sgnda ordm d m rlação a :

10 h.7 últma tapa para a solção d ma qação dfrncal parcal por dfrnças fntas é sbsttr as apromaçõs das dradas na qação nas sas condçõs d contorno grando m sstma algébrco ca solção fornc a solção apromada do problma orgnal. Dado o mplo abao consdr ma barra fna mtálca d mtro d comprmnto std a condção d calor sgndo a qação: t.8 t é a tmpratra da barra na posção nstant t. Condção Incal: o C Condçõs d Contorno: tt o C Passos: mtros tsgndos Sbsttndo na qação dfrncal as apromaçõs d dfrnças fntas das qaçõs..7 trocando o índc por para a drada m rlação a t tm-s: t.9 Isolando o trmo q corrspond ao tmpo sgnt sbsttndo os alors d t tm-s :. qação acma fornc a tmpratra do tmpo m fnção do tmpo antror. Qando s tm ma qação dst tpo ond o noo alor é calclado m fnção d alors conhcdos dá-s o nom d método plícto pos pod-s plctar m alor dsconhcdo m fnção d otros á conhcdos. Em sgda pod-s chgar na tabla abao: abla.: Solção nmérca do problma d condção d calor. [55] I 5 J t \ m m m 6 m 8 m m

11 Va-s agora m otro mplo: consdr ma placa qadrada fna mtálca d mtro d comprmnto ncontr a tmpratra d qlíbro após m tmpo mto grand sgndo a qação d Laplac:. é a tmpratra da barra na posção como na fgra abao: Fgra. Placa Qadrada do Emplo Condçõs d Contorno: o C Passos: 5 mtros o C Sbsttndo na qação dfrncal as apromaçõs d dfrnças fntas da qação.7 trocando o índc por para a drada m rlação a tm-s:. Lmbrando q corta os dnomnadors solando o trmo tm-s :. qação acma fornc a tmpratra na posção m fnção da méda artmétca das tmpratra d cma d bao da drta da sqrda. Qando s tm ma qação dst tpo ond o noo alor é calclado m fnção d alors dsconhcdos dá-s o nom d método mplícto. Em sgda pod-s chgar a m sstma lnar ond a qação. é pandda para cada ponto do ntror da placa sgndo a nmração dada na fgra abao: Fgra. : Malha da dscrtzação da placa. Epandndo a qação. para cada ponto do ntror d a 9 chga-s às qaçõs:

12 Rsolndo o sstma lnar da qação. chga-s à solção abao: Obsra-s a smtra m rlação à dagonal prncpal da placa constata-s q os alors da tmpratra nos értcs da placa não ntraram no cálclo. [55]

13 .. Método dos Elmntos Fntos O prmro método nmérco com o ntto d rsolr qaçõs dfrncas parcas PDE - Partal Dffrntal Eqatons fo o método das dfrnças fntas. Nst método o domíno da solção é dddo m ma malha d pontos o nós dscrtos. O PDE é ntão aplcado para cada nó sas dradas sbsttídas por dfrnças fntas dddas. Embora tal apromação sa conctalmnt d fácl comprnsão rgstras algns nconnnts. Em partclar torna-s dfícl sa aplcação m sstmas com gomtra rrglar condçõs d contorno não sas o composção htrogêna. Fgra. a Uma pça ndstral com gomtra rrglar composção não homogêna. b al sstma é mto dfícl d modlar com a apromação por dfrnças fntas. Isso s d ao fato d complcadas apromaçõs srm rqrdas nos contornos do sstma na frontra ntr as rgõs d dfrnts composçõs. c Uma dscrtzação d lmntos fntos é mto mlhor aplcada a tal sstma. [5] O Método dos Elmntos Fntos fornc ma altrnata mlhor a tas sstmas. Em contrast à técnca das dfrnças fntas o MEF dd o domíno da solção m formas smpls d rgõs o lmntos. Uma solção apromada do PDE pod sr dsnolda para cada m dsts lmntos. solção total é ntão grada colocandoas ntas o montando-as. Utlzando-s as solçõs nddas toma-s o cdado d assgrar a contndad dos contornos ntr os lmntos. ssm o PDE é satsfto m forma d fatas. O so d lmntos m z d malhas rtanglars fornc mlhor apromação m sstmas com formatos rrglars além d alors dsconhcdos podrm sr grados contnamnt por mo do domíno da solção ntra m z d pontos solados. Em razão d ma dscrção dtalhada r além do scopo dst tto st capítlo s contrá a ma ntrodção gral do Método dos Elmntos Fntos. O obto é mostrar d forma smpls fácl sas caractrístcas prncípos capacdads. ssm a sção sgnt abordará ma são gral dos passos noldos na solção d m problma tlzando o MEF. Est é sgdo por m smpls mplo: molas lgadas m sérs. Embora st mplo não nola PDE prmt-s dsnolr mostrar os prncpas aspctos da apromação d lmntos fntos sm sr dsncoraados por fators complcados. Pod-s ntão dsctr algmas caractrístcas nolndo o mprgo do método d lmntos fntos m PDE.

14 Etapas para aplcação do Método dos Elmntos Fntos - Pré-Procssamnto: - Dfnção do problma do domíno. - Dscrtzação o dsão do domíno m lmntos. - Procssamnto: - Obtr as qaçõs dos lmntos [k]{}{f}. - Escolha da fnção d apromação. - st ótmo da fnção d apromação. - Formlação Drta.o - Método dos Rsídos Pondrados.o - Método Colocaconal - Método d Sbdomínos - Método dos Mínmos Qadrados - Método d Galrkn - écnca Varaconal. - Método Ralgh-Rtz - Montagm o colocação das qaçõs dos lmntos ntas [K]{ }{F }. - créscmo das condçõs ncas d contorno [ k ] { } { F }. - Solção do sstma lnar o não lnar { }. - Pós-Procssamnto: - prsntação dos rsltados o salzação gráfca. - Dtrmnação d arás scndáras.... Vsão Gral Est dsnolmnto fo traído da rfrênca [5] Chapra 997. Embora as partclardads rão arar tlza-s salmnt na mplmntação do Método dos Elmntos Fntos m padrão d procdmntos passo a passo. sgr é aprsntada ma br são gral d cada m dsss passos ca aplcação nos conttos d Engnhara rá sr dmonstrada m tns sbsqünts.... Dscrtzação Pré-Procssamnto Est passo nol a dsão do domíno solção m lmntos fntos podm sr m ma das o três dmnsõs. Os pontos d ntrsção das lnhas q dscrm os lados dos lmntos são rfrncados como nós os lados são chamados d lnhas o planos nodas.

15 Elmnto Lnar a Undmnsonal Elmnto Qadrílatral Nó Lnha Nodal Elmnto ranglar b Bdmnsonal Elmnto Haédrco Plano Nodal c r-dmnsonal Elmnto traédrco Fgra.5 - Emplos d lmntos mprgados m a ma b das c três dmnsõs.... Eqaçõs dos Elmntos Procssamnto sgr dsnolm-s qaçõs a fm d apromar a solção d cada lmnto. Isso nol dos sb-passos. Prmro scolh-s ma fnção aproprada com cofcnts dsconhcdos q srão sados para apromar a solção. Por últmo aalam-s os cofcnts m q as fnçõs s apromam da solção d forma consdrada ótma. [5] Escolha das Fnçõs d promação Consdra-s q por srm d fácl manplação matmátca os polnômos são frqüntmnt mprgados para st propósto. Para o caso ndmnsonal a 5

16 altrnata mas smpls é m polnômo d prmra ordm o ma lnha rta: a a.6 Nsta fórmla é a arál dpndnt; a a são constants; é a arál ndpndnt. Essa fnção d passar atraés dos alors nos pontos fnas dos lmntos m. Portanto: a a a a Ond. Estas qaçõs podm sr rsoldas sando a rgra d Cramr ond: a / a / Est rsltado pod ntão sr sbsttído na Eq..6 a qal dpos d s arrmar os trmos pod sr scrta como: N N.7 ond N /.8 N /.9 qação.7 é chamada fnção d apromação o d forma N N são chamados d fnçõs d ntrpolação. Inspconando mlhor prcb-s q a Eq..7 é d fato o polnômo ntrpolador d prmra ordm d Lagrang. Ela fornc m sgnfcado para prdzr alors ntrmdáros q é ntrpolar ntr alors dados nos nós. 6

17 Nó Nó a b N c N d Fgra.6 b Uma fnção d apromação o forma para a m lmnto lnar. s corrspondnts fnçõs d ntrpolação são mostradas m c d. Not-s q a soma das fnçõs d ntrpolação N N são gas a. Em adção ldar com qaçõs lnars faclta opraçõs como a dfrncação ntgração. as manplaçõs mas à frnt srão mportants m otros tns. dração da Eq..7 é: d d dn dn.5 d d D acordo com as Eq..8.9 as dradas d N N podm sr calcladas como: dn d dn.5 d d d E portanto a drada d é:.5 Em otras palaras ssa é a dfrnça ddda rprsntando a nclnação da rta conctada nos nós. ntgral pod sr prssa como: 7

18 d N N d Cada trmo no lado drto é somnt a ntgral d m trânglo rto com bas altra. Isto é: Nd ssm a ntgral ntra é: d.5 O sa smplsmnt a rgra dos trapézos. Obtnção d m st Ótmo da Fnção d promação pós a scolha da fnção d ntrpolação as qaçõs q gornam o comportamnto dos lmntos d sr dsnolda. Elas rprsntam m ast da fnção d apromação com a fnaldad d solção da sbacnt qação dfrncal. Város métodos são dsponís para st propósto. Entr os mas comns cta-s a apromação drta o método dos rsídos pondrados a técnca araconal. O rsltado dsss métodos é análogo para o ast d cras. Contdo m z d astar fnçõs para dados ls spcfcam rlaconamntos ntr a dsconhcda Eq..7 para satsfazr as sbacnts PDE m ma forma aproprada. Matmatcamnt o rsltado das qaçõs dos lmntos rá frqüntmnt consstr d m connto d qaçõs lnars algébrcas podndo sr prssa na forma matrcal: [ k ] { } { F }.5 Nla [ k ] é ma matrz proprdad o rgdz do lmnto; { } é m tor colna d alors dsconhcdos dos nós; { F } é m tor colna rfltndo o fto d qasqr nflêncas trnas aplcadas nos nós. Prcb-s q m algns casos as qaçõs podm sr não lnars. Contdo nos mplos lmntars dscrtos aq m mtos dos problmas prátcos os sstmas são lnars.... Montagm Procssamnto Dpos d s obtr as qaçõs dos lmntos nddas las dm sr colocadas ntas o montadas para caractrzar o comportamnto nfcado do sstma ntro. O procsso d montagm é gornado plo concto d contndad. Isto é as solçõs d lmntos contígos são combnadas os alors dsconhcdos algmas zs as dradas d ss comns nós são qalnts. ssm a solção total srá contína. 8

19 Qando todas as rsõs nddas da Eq..5 são fnalmnt montadas o sstma ntro é prsso sob forma matrcal como: [ K ] { } { F }.55 Nla [ K ] é a matrz proprdad montada { } { F } são tors colnas d alors dsconhcdos dos nós forças trnas ftas com apóstrofos para dnotar ma montagm dos tors { } { F } dos lmntos nddas.... Condçõs d Contorno Incas Procssamnto nts da Eq..55 podr sr rsolda d-s modfcá-la para consdrar as condçõs ncas d contorno do sstma. Ests asts rsltam m: [ k ] { } { F }.56 Nla as barras sgnfcam as condçõs d contorno ncorporadas Solção Procssamnto Pod-s obtr a solção da Eq..56 com técncas para a rsolção d sstmas lnars não lnars. Em mtos casos os lmntos srão confgrados d modo q as qaçõs rsltants possam sr ndas dmnndo o tamanho do sstma. ssm o sqma d fcênca mas alto dsponíl a cada sstma é possíl d sr mprgado. O so d smtras ond ma part do sstma é gal à otra possblta a rdção da ordm do sstma lnar....6 prsntação dos Rsltados Pós-Procssamnto Obtda a solção sta srá bda na forma d tablas o gráfcos. Em adção arás scndáras srão dtrmnadas prssas. psar dos passos prcdnts srm mto gnércos ls são comns na maora das mplmntaçõs do Método dos Elmntos Fntos. No tm sgnt lstras como ls podm sr aplcados na obtnção do rsltado nmérco d dos sstmas físcos smpls o prmro molas lgadas m sér dpos ma hast sndo aqcda.... Emplo da mpratra d Eqlíbro Nos tm sgnt a-s mplfcar o Método dos Rsídos Pondrados sando a écnca d Galrkn para m caso bdmnsonal. Usa-s m mplo smlhant ao do tm. do MDF. Consdr ma placa qadrada fna mtálca d mtro d comprmnto ncontr a tmpratra d qlíbro após m tmpo mto grand sgndo as qação d Laplac:.57 9

20 é a tmpratra da barra na posção como na fgra abao: Fgra.7 Placa Qadrada do Emplo. Condçõs d Contorno: o C o C 75 o C 5 o C... Problma Bdmnsonal Est tm fo traído da rfrênca [5]. Embora o númro d opraçõs matmátcas crsça bastant a tnsão da apromação d lmntos fntos para das dmnsõs é conctalmnt smlar à aplcação ndmnsonal dsctda. ssm la sg os msmos passos como mostrado no sbtm Dscrtzação Uma ardad d smpls lmntos como trânglos qadrlátros são salmnt mprgados para fraconar os lmntos fntos m das dmnsõs. Na dscssão prsnt lmtar-s-á a lmntos tranglars do tpo dscrto na Fg..8. Fgra.8 Um lmnto tranglar... Eqaçõs dos Elmntos Como no caso ndmnsonal o prómo passo é dsnolr ma qação para apromar a solção ao lmnto. Em m lmnto tranglar a apromação mas smpls é m polnômo lnar [Compar com a Eq..6]. a a a.58 Ond é a arál dpndnt os a s rprsntam os cofcnts são arás ndpndnts. Essa fnção d passar plos alors d nos nós do trânglo. Portanto: a a a a a a

21 a a a O na forma matrcal: a a a Est pod sr rsolda a: ] [ a.59 ] [ a.6 ] [ a.6 Ond é a ára do lmnto tranglar: ] [ s qaçõs.59 até.6 podm sr sbsttídas na Eq..58. Dpos d agrpar os trmos o rsltado pod sr prsso como: N N N.6 Ond: ] [ N ] [ N ] [ N qação.6 fornc ma manra d prdzr alors ntrmdáros para o lmnto com bas nos alors dos nós. Fgra.9 mostra a fnção d apromação com as corrspondnts fnçõs d ntrpolação. Prcb-s q a soma das fnçõs d ntrpolação é smpr gal a m.

22 Fgra.9 a Uma lnar fnção d apromação para m lmnto tranglar. s corrspondnts fnçõs d ntrpolação são mostradas m b até d. Font [5] ambém no caso ndmnsonal áros métodos são dsponís para dsnolr as qaçõs dos lmntos basadas na sbacnt PDE nas fnçõs d apromação. s qaçõs rsltants são consdralmnt mas complcadas q as do caso ndmnsonal. Contdo ddo às fnçõs d apromação srm salmnt polnômos d mas baa ordm como na Eq..58 os trmos da matrz fnal do lmnto consstrá a polnômos d baa ordm constants.

23 ... st Ótmo da Fnção d promação O dsnolmnto fo traído da rfrênca [7]. Sa m R spaço ond s sta o maor númro d problmas físcos a ortogonaldad d das fnçõs f g é dada por: Ω f. g d Logo na rsolção d m problma ond as dradas parcas podm sr tradzdas pla psqsa d ma fnção tal como os opradors L sobr o domíno B sobr a frontra q rfca-s: L f B g. [7] O método dnomnado Método dos Rsídos Pondrados consst na psqsa d fnçõs m q satsfaçam a condção d contorno pondradas por fnçõs tas q para toda fnção q satsfaça condçõs d contndad dtrmnadas s possa scrr: Ω. L f dw.6 S o connto d fnçõs é d dmnsão nfnta ntão é possíl obtr ma qalênca ntr o problma as dradas parcas sa formlação ntgral. Entrtanto nas aplcaçõs prátcas as fnçõs formam m spaço d dmnsão fnta a fórmla.6 constt ma únca apromação caractrzada pla fnção dada por st connto d fnçõs. antagm do Método dos Rsídos Pondrados m rlação à formlação araconal é podr s aplcar a qalqr qação ndpndntmnt da stênca do conhcmnto d ma formlação araconal do problma; por otro lado d níco st m rro d método caractrzado pla scolha das fnçõs ; no ntanto st últmo ponto é d mportânca scndára pos st rro o d apromação s congam para rsltar sob crtas condçõs os msmos rsltados nas das formlaçõs. m-s como mplo o problma térmco Para o mplo do tm.. tm-s k Q: k I s k Q formlação m trmos do Método dos Rsídos Pondrados consst m scolhr fnçõs q rfcam as condçõs d contorno ond é: Ω k k Q dω Uma ntgração por parts prmt transformar sta ntgral:

24 k Q dω S k ds n S mpsrmos sobr o contorno o sgndo trmo dsaparc rslta a: k Q dω sqüênca d fnçõs d proção tomada as fnçõs d apromação α scolhda para caractrzarão portanto o método. [7] O prncípo gral consst m dtrmnar os cofcnts... NN da apromação * pla ralzação d m crto númro d condçõs a mpor. S a fnção é sbsttída por sa apromação * sobr todo domíno Ω obtém-s: * NN N NN NN * * ; N ; N Ond os são os cofcnts nmércos. Como fo sto antrormnt são d fato alors d * m cada m dos nós da dscrtzação. Logo o fnconal m a sr ma fnção clsa dos cofcnts... NN. Pod-s ntão scrr a fnção psqsada * apromada pla combnação lnar: * N N... N NN NN Ond os cofcnts... NN srão dtrmnados plo método d forma a ralzar a mlhor apromação possíl d sobr a bas d fnçõs N N... N NN. No Método dos Elmntos Fntos o domíno d stdo é dscrtzado m sbdomínos chamados Elmntos Fntos sobr os qas a fnção procrada é apromada por m polnômo. dscrtzação ralzada é ma partção do domíno sm bracos nm rcobrmntos. Os polnômos própros d cada lmnto dm rsptar na frontra as condçõs d contndad compatís com aqlas mpostas pla natrza do problma. Est ínclo prmt dtrmnar o connto d fnçõs N a partr das fnçõs N dfndas sobr cada lmnto. Um mplo m R é ma dsão m dos sb-domínos tranglars d prmra ordm sobr os qas a fnção procrada é apromada por m polnômo d prmra ordm: Pabc. Em cada lmnto stm três cofcnts a dtrmnar portanto três monômos prfazndo m total d ss cofcnts não conhcdos; mas as condçõs d contndad sobr a arsta q n os értcs aos ss cofcnts rstrngm a o númro ral d cofcnts não conhcdos. Há ntão ma fnção d apromação q afta cada értc como mostrado na Fgra..

25 Fgra. - Domíno a dos lmntos tranglars. scolha d cada lmnto das fnçõs d apromação dfnrá o s tpo caractrzará pla sqüênca a natrza das fnçõs d apromação. Há ma lgação matmátca rgorosa ntr a scolha da natrza das fnçõs d apromação lnars qadrátcas cúbcas a forma dos lmntos smpr dfndas por trchos sobr a dscrtzação. Na aplcação dst método é prcso scolhr m connto d fnçõs d proção o fnçõs d pondração Φ Φ... Φ NN ants d scrr as qaçõs d proção L * sobr cada ma dstas fnçõs. Na técnca d Galrkn tm-s N Φ N Φ assm por dant.[7] N f dω.6 NN L Ω N f d Φ L NN Φ... L NN Φ NN N f dω Obtém-s d noo m sstma d NN qaçõs algébrcas a rsolr para s ncontrar as NN ncógntas... NN. Obsraçõs Importants: aplcação do método dos lmntos fntos condz à sbsttção d ma qação o sstma d qaçõs a dradas parcas por m sstma d qaçõs algébrcos contnto cofcnts da fnção d apromação q são na raldad os alors das fnçõs d apromação nos nós do domíno dscrtzado. Como no Método dos Rsídos Pondrados as fnçõs d pondração são dêntcas às fnçõs d apromação o sstma d qaçõs obtdo é dêntco àql obtdo pla formlação araconal. S o oprador L é lnar ntão a fnconal é qadrátca mplcando na lnardad do sstma d qaçõs algébrcas obtdo. Da msma forma no Método dos Rsídos Pondrados a lnardad d L mplca na lnardad das qaçõs.6 pos m cada ma dlas os cofcnts podm sr colocadas m dênca na ntgral. 5

26 Φ L NN N f dω NN L N Φ dω Ω Φ fdω... Condçõs d Contorno Montagm ncorporação das condçõs d contorno a montagm do sstma matrcal também s tornam mas complcados qando a técnca dos lmntos fntos é aplcada m problmas d das o três dmnsõs. Contdo como na dração da matrz lmnto as dfcldads rlatas ao mcansmo dos procssos são maors do q a compldad conctal. Por mplo o stablcmnto da topologa do sstma o qal ra tral para o caso d ma dmnsão torna-s m problma d grand mportânca m das o três dmnsõs. Em partclar a scolha do sqma d nmração rá dtar a strtra do sstma matrcal rsltant portanto a fcênca com a qal l pod sr rsoldo. Fgra. mostra m sqma dsnoldo para ma placa plana m qlíbro térmco solconada por mo do método dos lmntos fntos. o C Y 75 o C 5 o C X Fgra. - Um sqma d nmração dos nós lmntos para ma apromação por lmntos fntos para ma placa plana m qlíbro térmco. [5] Logo para o mplo tm-s: O o C R Intgrando plo Método dos Rsídos pondrados assocado à técnca d Galrkn tm-s: Ω N Ω d 6

27 ond N são as fnçõs d tst no caso as fnçõs d Lagrang N N N da fnção d apromação. N. N. N. pós ma ntgração por parts orma d Grn obtém-s: N N d S N ds n para cada lmnto tranglar. O trmo do lado drto rprsnta o flo sobr o contorno do lmnto tranglar Prcorrndo no sntdo ant-horáro. ssm para m lmnto gnérco pod-s scrr: N S n Flo no lado [ F ] Flo no lado [ F ] Flo no [ ] ds lado F Pod-s aplcar as qaçõs acma m cada lmnto da malha: Para o Elmnto tm-s: Nó 7 5;5 Nó ; Nó 5; Fgra. Elmnto da Malha com as coordnadas d cada nó. Para : 5 N N dd S N ds n Sbsttndo a ntgral do lado drto plo flo m cada lado do tranglo lmbrando q N é zro para o lado oposto ao értc F 7 tm-s: 5 N N dd F F 7 Rsolndo o lado sqrdo tm-s: 5 F F Para tm-s d manra smlar: 7

28 5 o N N dd F 7 F 5 F F Para tm-s: 5 N N dd F 7 F 7 o 5 F F s qaçõs d.65 até.67 formam as qaçõs lmnto para o prmro tranglo. D manra smlar para o sgndo lmnto tm-s: F7 F F6 F F76 F 7 Cada qação acma fo obtda para N N N rspctamnt. D notar q F 7 -F 7 o sa o flo q sa do lmnto a para o lmnto atraés do lado modal 7 é o msmo q sa do lmnto a para o lmnto só q com sntdo oposto. Isso é fndamntal na fas d montagm ond os trmos d flo ntrno na placa rão s anlar. Va-s procdndo assm para os lmntos da malha do mplo. Para os trânglos nfrors Elmntos mpars tm-s: 5 5 F F 5 5 F F 5 5 F F Para os trânglos sprors Elmntos pars tm-s: 5 5 F F 5 5 F F 5 5 F F Montando as qaçõs lmntos tm-s 5 qaçõs ncógntas das qas 5 são d... 5 mas 6 corrspondnt ao flo m cada lado trno dos lmnto F F F F 5 F 5... F 6. 8

29 9 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 5 5 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Pod-s agora colocar as condçõs d contorno: ; ; ; ; ; 5; 5; 5; 75; 75; 75; ; ; ; ; ; Rsolndo o sstma fnal d 5 qaçõs 5 ncógntas tm-s : Solção para as tmpratras ntrnas na placas m qlíbro térmco. s otras ncógntas tm m ntrss mnor pos são o flo nas bordas da placa.

30 ...5. Solção prsntação do Rsltado Pos-Procssamnto Embora o mcansmo sa complcado o sstma matrcal é mramnt m connto d n qaçõs smltânas q pod sr solconada para s ncontrar os alors das arás dpndnt nos n nós. Fgra. mostra ma solção possíl no caso d ma placa m qlíbro térmco. Fgra. - dstrbção da tmpratra d ma placa m qlíbro térmco sndo calclada por mo do Método dos Elmntos Fntos. [5]...6. Comparação com a Solção plo MDF Msmo nst mplo com mo homogêno gomtra smpls nota-s ma antagm no MEF pos não s é obrgado a sar malhas rtanglars d msmo tamanho como no MDF. Em otros problmas com mos não homogênos gomtras complas parâmtros não lnars as antagns do MEF amntam bastant. O q torna o MEF m método bm mas amplo com ma aplcabldad prátca mto maor q o MDF. ssm o amnto na compldad matmátca dos lmntos fntos é compnsada por sa portabldad fcênca na solção d qaçõs dfrncas parcas ncontradas na ngnhara. Por sta razão o MEF é o método mas commnt mplmntado plas frramntas d CE para mtos ators é a bas da Engnhara ssstda por Comptador.

31 pêndc st Ótmo da Fnção d promação m ma Dmnsão.. Solção d Elmntos Fntos para Molas m Sérs Fgra. a Uma sér d molas ntrconctadas. Uma trmdad é fada na pard nqanto a otra é sbmtda a ma força constant F. b Rprsntação m lmntos fntos. Cada mola é rprsntada por m lmnto. Portanto o sstma consst d qatro lmntos cnco nós. [5] Dscrção do problma: a fgra. mostra ma sér d molas Intrconctadas. Uma trmdad é fada a ma pard nqanto a otra é sta a ma força constant F. Usando passo a passo os procdmntos do Método dos Elmntos Fntos dtrmna-s o dslocamnto das molas. Solção Dscrtzação: o modo d partconar ss sstma é obamnt tratar cada mola como m lmnto. ssm o sstma consst d qatro lmntos cnco nós Fg..b. Eqaçõs dos Elmntos: como st sstma é mto smpls sas qaçõs dos lmntos podm sr scrtas drtamnt sm o rcrso da apromação matmátca. Est é m mplo d apromação drta para os lmntos drados.

32 Fgra. - Um dagrama d corpo lr d m sstma d molas. [5] Fgra. mostra m lmnto nddal. O rlaconamnto ntr a força F o dslocamnto pod sr rprsntado matmatcamnt pla l d Hook: F k Ond k rprsnta a constant da mola a qal pod sr ntrprtada como a força rqrda para casar ma ndad d dslocamnto. S ma força F é aplcada no nó o sgnt balanço d força ração d sgrar: F k Ond é dslocamnto do nó m da sa posção d qlíbro; o dslocamnto do nó dos da sa posção d qlíbro. ssm rprsnta o qanto a mola é alongada o comprmda rlata ao qlíbro Fg... Essa qação pod também sr scrta como: F k k Para m sstma staconáro m balanço d forças também ncssta q F F portanto: F -k k Estas das smltânas qaçõs spcfcam o comportamnto do lmnto m rsposta às forças aplcadas. Podm sr scrtas nma forma matrcal como: k k k k F F O ntão: [ k ] { } { F } Ond a matrz [ k ] é a matrz proprdad do lmnto. Nst caso é também rfrncada com a matrz rgdz do lmnto. Not-s q sta últma qação tm sdo

33 moldada no formato da Eq..5. ssm obt-s scsso na gração d ma qação matrcal q dscr o comportamnto d m lmnto típco no sstma. nts d procdr para o prómo passo montagm da solção total ntrodzr-sá algma notação. Os lmntos [ k ] { F } são connconalmnt colocados sobrscrto sbscrto como m: k k k k F F Ond o sobrscrto dsgna q stas são qaçõs lmnto; os k s são também colocados sbscrtos k dnota sa localzação na lnha colna da matrz. Para o prsnt caso las são também fscamnt ntrprtadas como rprsntando a força rqrda no nó para ndzr ma ndad d dslocamnto no nó. Montagm nts das qaçõs lmntos srm montadas todos os lmntos nós dm sr nmrados. Ess sqma global d nmração spcfca a confgração o topologa do sstma o prsnt caso sa m sqma dêntco ao da tabla.. O sa mostra-s o nó q prtnc a cada lmnto. Uma z q a topologa é spcfcada as qaçõs para cada lmnto podm sr scrtas com rfrênca às coordnadas globas. s qaçõs lmntos podm ntão sr adconadas ma d cada z para montar o sstma total. O rsltado fnal pod sr prsso na forma matrcal como [lmbrando Eq..55]: [ K ] { } { F } Ond: k k [ K ] k k k k k k k k k k k k k k F { F } F E { } { F } são os tors dslocamnto força pandda. Qanto às

34 qaçõs q foram montadas as forças ntrnas s canclaram. ssm o rsltado fnal para { F } é zro m todas as lnhas cto no prmro últmo nó. nts d procdr o prómo passo d-s comntar a strtra da matrz proprdad montada. Ela é trdagonal. Isso é m rsltado drto do sqma partclar d nmração scolhdo abla. ants da montagm. Embora não sa mto mportant no contto prsnt com a ralzação d tal não sstmas sparsos podm sr ma antagm na colocação d problmas mas complcados. Isso é ddo a sqmas fcnts dsponís para a rsolção d tal sstma. Condçõs d Contorno O sstma prsnt é sto a smpls condçõs d contorno. Introdzndo ssas condçõs aplcando o sqma d rmnração rdz-s o sstma para k s: F 5 O sstma stá agora na forma da Eq..56 stá pronto para sr rsoldo. Embora a rdção das qaçõs é crtamnt ma alosa apromação ncorporada nas condçõs d contorno salmnt prfr-s dar o númro d qaçõs ntactas qando a solção é ralzada por comptador. Nst caso tmos d F -F ração d F da pard. ssm fca o sstma: F F 5 Uma z ncorporadas as condçõs d contorno mda-s ao prómo passo: a solção. Grando a Solção Rsolndo o sstma lnar com ma das técncas nmércas ond todos os k s F tmos: X 5. prsntação dos Rsltados Pós-procssamntos O rsltado pod agora sr dsnhado grafcamnt. Na Fgra. os rsltados stão como sprados. Cada mola alongada é ma ndad d dslocamnto.

35 Fgra. a O dagrama do sstma orgnal. b O sstma dpos da aplcação da força constant. Os dslocamntos são ndcados no spaço ntr os dos sstmas. [5].. Emplo d ma Hast Sndo qcda fgra. mostra m sstma modlado pla qação d Posson na forma ndmnsonal: d d f. Ond f é ma fnção q dfn a font d calor ao longo da hast ond as pontas da hast são mantdas nma tmpratra fa t L t. Essa não é ma qação dfrncal parcal mas ma qação dfrncal ordnára com condçõs d contorno. Ess modlo smpls é sado porq l prmtrá ntrodzr a apromação por lmntos fntos sm algmas das complcaçõs como por mplo m PDE d das dmnsõs. Fgra. a Uma longa fna hast sta a fas condçõs d contorno a ma contína font d calor ao longo do s o. b rprsntação d lmntos fntos consstndo d qatro lmntos d gal comprmnto cnco nós.[5] Emplo: solção analítca para ma hast sndo aqcda. Dscrção do Problma Rsolr a Eq.. para ma hast d cm com as sgnts condçõs d contorno: t o C t o C ma font d calor 5

36 nform f. Solção qação a sr rsolda é: d d ssm-s ma solção na forma: a b c Ela é dfrncada das zs rsltando a. Sbsttndo st na qação dfrncal tmos: a -5. s condçõs d contorno são sadas para aalar os cofcnts rstants. Da prmra condção para : -5 b c o c. Smlarmnt para a sgnda condção: -5 b qal é solconada dando b 66. Portanto a solção fnal é: O rsltado é mostrado na fgra.5 mpratra da Hast 8 Gras Clss cm Fgra.5 - Dstrbção d tmpratra ao longo d ma hast aqcda por ma font nform d calor mantda fa a tmpratra nos trmos da hast. 6

37 .. Dscrtzação Uma confgração smpls modladora do sstma é ma sér d lmntos d gal comprmnto Fg..b. ssm o sstma é tratado com qatro lmntos d gal comprmnto cnco nós... Eqaçõs dos Elmntos Um lmnto nddal é mostrado na Fg..6a. dstrbção d tmpratra para o lmnto é rprsntada pla fnção d apromação: ~ N N. Ond N N são fnçõs lnars d ntrpolação spcfcadas plas Eq..8.9 rspctamnt. ssm como dscrto na Fg..6b a fnção d apromação é ma ntrpolação lnar ntr as das tmpratras dos nós. Nó Nó a ~ b Fgra.6 a Um lmnto nddal b. fnção apromação sada para caractrzar a dstrbção d tmpratra ao longo do lmnto..5. promação Drta Como dscrto no sbtm.. há ma ardad d apromaçõs para dsnolr as qaçõs lmntos. Nss sbtm mprga-s das dlas. Prmro ma apromação drta srá sada m m caso smpls ond f. Então m fnção d sa aplcabldad gral na Engnhara dotar-s-á a maor part da abordagm para o método dos rsídos pondrados. No caso ond f o método drto é mprgado para grar as qaçõs lmntos. O rlaconamnto ntr o flo d calor o gradnt d tmpratra é assm rprsntado pla l d Forr: d q k d 7

38 Nsta qação q é flo [cal/cm. s] k é o cofcnt d condtdad térmca [cal/s.cm. o C]. S ma fnção lnar d apromação é sada na caractrzação da tmpratra do lmnto o flo d calor para o lmnto atraés do nó é rprsntado por: q k Ond q é o flo d calor no nó. Smlarmnt com o nó : q k Estas das qaçõs prssam o rlaconamnto da dstrbção da tmpratra ntrna do lmnto rfltdo plas tmpratras dos nós o flo d calor nas sas trmdads. ssm las consttm as qaçõs dos lmntos dsadas srão smplfcadas plo rconhcmnto da l d Forr como útl para moldar o flo trmnal m trmos do gradnt d tmpratra na frontra. O sa: d d q k q k d d Pod-s sbstt-la dntro das qaçõs dos lmntos rsltando: d d d d. Eq.. é moldada no formato da Eq..5. ssm obt-s scsso na gração da qação matrcal ond o comportamnto d m lmnto típco no sstma é dscrto. Otra forma d s chgar às msmas qaçõs lmntos antrors é a partr da sgnt déa : d d S ntão constant. ssm pod-s tr:. plcando. aos nós tm-s: 8

39 9 nó nó d d d d d d d d.5 Chgando-s assm a. tm-s: d d d d.6 Part-s ntão para a tapa d montagm:

40 d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d c d d d d d d d d b d d d d a Fgra.7 - montagm das qaçõs no sstma total para a apromação drta. Sg-s para o acréscmo das condçõs d contorno o C 5 o C:

41 d d d 5 d.7 m-s o sstma abao: d d d 5 d Rsolndo o sstma chga-s à solção para f : d 6 d 6 d d apromação tm grand aplo ntto. dconalmnt m áras como mcânca la é mprgada na solção para rsolr problmas sgnfcatos. Contdo m otros conttos é frqüntmnt dfícl o mpossíl obtr drtamnt as qaçõs dos lmntos fntos. Consqüntmnt como é dscrto a sgr técncas matmátcas mas gras são dsponís..6. O Método dos Rsídos Pondrados. qação dfrncal. pod sr r-prssa como: d d f fnção apromação [Eq..] é sbsttída nsta qação. Em razão da Eq.. não sr a solção ata o lado drto da qação rsltant não srá zro mas m rsído: ~ d R f. d O método dos rsídos pondrados do nglês Mthod of Wghtd Rsdals - MWR consst m calclar m mínmo para o rsído d acordo com a fórmla gral:

42 RW dd... m. D ond D é o domíno solção W rprsntam fnçõs tst o pso lnarmnt ndpndnt. Essa apromação adém do fato d q s a Eq.. é rdadra s R é gal a zro W la é ma fnção contína qalqr. Nla a ntgral é sada para dmnr a ordm da qação dfrncal d sgnda para prmra drada. Nst ponto há ma ardad d scolhas para as fnçõs tst. Cada qal rprsnta ma apromação altrnata para o MWR. Sção.7. apromação mas rotnra no Método dos Elmntos Fntos é mprgar as fnçõs d ntrpolação N como fnçõs d tst. Qando são sbsttídas na Eq.. o rsltado é rfrncado como Método d Galrkn ond: D RN dd... m m: Para a hast ndmnsonal a Eq.. é sbsttída na formlação rsltando ~ d d f N d Q pod sr rscrta como: ~ d N d f N d d. partr d ntão manplaçõs matmátcas srão aplcadas smplfcando aalando a Eq... Entr as mas mportants stá a smplfcação do lado sqrdo tlzando a ntgração por parts rlmbrando o cálclo ond sta opração é prssa gralmnt como: b b d a a b a d S são scolhdos apropradamnt a noa ntgral no lado drto srá mlhor aalada q a orgnal no lado sqrdo. Isso pod sr fto para o trmo do lado sqrdo da Eq.. pla scolha d N como d /d d como d. m-s ntão: ~ ~ ~ d d d dn N d N d. d d d d ssm tm-s m sgnfcant passo d rdção no trmo d maor ordm na formlação da drada sgnda para a prmra. Em sgda aala-s os trmos

43 nddas crados na Eq... Para o prmro trmo no lado drto da Eq.. é aalado como: ~ d N d ~ d N d ~ d N d ~ d N d Contdo lmbrando da Fg..6 na qal N N : ~ d. d Smlarmnt para : ~ ~ d d N.5 d d Portanto o prmro trmo do lado drto da Eq.. rprsnta as condçõs d contorno natras nas trmdads dos lmntos. nts d prossgr agrpa-s a Eq.. sbsttndo o rsltado antror na qação orgnal. ranspondo a Eq.. atraés da.5 na Eq.. arranandoas para tm-s: ~ ~ d dn d d d d d E para : ~ ~ d dn d d d d d f N f N d d.6.7 ntgração por parts tm condzdo a dos mportants rsltados. Prmro la tm ncorporado as condçõs d contorno drtamnt dntro das qaçõs dos lmntos por últmo rdzdo a alta ordm passando da sgnda para a prmra drada. Isso sgnfca q o rsltado da fnção d apromação prcsa prsrar a contndad dos alors mas não a nclnação nos nós. gora comça-s a atrbr algmas sgnfcâncas físcas para os trmos nddas á obtdos. o lado drto d cada qação o prmro trmo rprsnta ma das condçõs d contorno dos lmntos o sgndo o fto da fnção d forças trnas do sstma no prsnt caso a font d calor f. Como s torna dnt o lado sqrdo ngloba o mcansmo ntrno q gorna a dstrbção d tmpratra do lmnto. Isto é m trmos do Método d Elmntos Fntos o lado sqrdo s tornará a matrz proprdad do lmnto. Para dmonstrar mlhor sso concntra-s nos trmos do lado sqrdo. ssm para o trmo é:

44 ~ d dn d.8 d d Lmbrando do sbtm.. a natrza lnar da fnção d apromação torna smpls a dfrncação a ntgração. Sbsttndo a Eq..5.5 na Eq..8 tm-s: d.9 Smlar sbsttção para [Eq..7] condz a: d. Comparando com a Eq.. stas são smlars nos rlaconamntos dsnoldos com o método drto sando a l d Forr. Isso s torna bm claro com a rscrta das Eq..9. na forma matrcal como: Sbsttndo ss rsltado nas Eq..6.7 prssando-o na forma matrcal obtém-s a rsão fnal das qaçõs lmntos: " " """! Matr rgtz do Elmnto[k] { } d d d " d"! Condçõs d Contorno f N d f N d " " """! Eftos Etrnos. lém do método drto dos rsídos pondrados as qaçõs lmntos também são dradas sando o cálclo araconal. Para o prsnt caso ssas apromaçõs condzm a qaçõs dêntcas para ambas draçõs. Emplo: Eqaçõs Elmnto para ma Hast qcda Dscrção do Problma - Emprgando a Eq.. dsnolr as qaçõs lmntos para ma hast d cm com condçõs d contorno d t t além d ma nform font d calor d f. Usar qatro lmntos d gal tamanho com comprmnto 5cm. Solção - O trmo da font d calor na prmra lnha da Eq.. é aalada pla sbsttção da Eq..8. Intgrando tmos:

45 5 5 5 d 5 Smlarmnt a Eq..9 é sbsttída dntro do trmo da font d calor da sgnda lnha da Eq.. à qal pod também sr ntgrada condzndo a: 5 d 5 5 Est rsltado com alors d otros parâmtros pod sr sbsttído na Eq.. para rsltar m : d 5 d d 5 d 5

46 .7. Esqmas ltrnatos d Rsídos para os Métodos dos Rsídos Pondrados MWR Váras scolhas podm sr ftas nas fnçõs tst da Eq... Cada ma rprsnta ma apromação altrnata para o MWR. Na apromação colocaconal scolh-s tantas posçõs qantas são os cofcnts dsconhcdos. Então os cofcnts são astados até o rsído dsaparcr m cada ma dssas posçõs. Consqüntmnt a fnção d apromação condzrá a rsltados prftos para as posçõs scolhdas mas trão m rsído dfrnt d zro m otras parts. ssm l é m podroso método d ntrpolação. Qantdads colocaconas sam a sgnt fnção tst: W δ para... n Ond n é númro d cofcnts dsconhcdos δ- é a fnção do dlta d Drac q al zro m toda part cto m ond é gal a. No método d sbdomínos o ntralo é dddo m mtos sgmntos o sbdomínos ond há cofcnts dsconhcdos. Então sts são astados até o alor médo do rsído sr zro m cada m dls. ssm para cada sbdomíno a fnção tst é gal a a Eq..66 é: Rd para... n Ond - são as trmdads do sbdomíno. Para o caso dos mínmos qadrados os cofcnts são astados para mnmzar a ntgral do qadrado do rsído. ssm as fnçõs pso são: R W a D Pod sr sbsttído na Eq.. para rsltar m: R R dd... n a O R dd... n a D Obsrando sta formlação concl-s tratar d ma forma contína d rgrssão. O método d Galrkn mprga as fnçõs d ntrpolação N como fnçõs d 6

47 tst lmbrando trm ssas fnçõs smpr a soma gal a. m qalqr posção m m lmnto. Em mtos problmas d contto o método d Galrkn condz aos msmos rsltados obtdos por mo do método araconal. Consqüntmnt é o mas mprgado das rsõs do MWR sando a análs d lmntos fntos..8. Montagm nts das qaçõs lmntos srm montadas m sqma global d nmração d sr stablcdo para spcfcar a topologa do sstma o s sqma spacal. abla. dfn as conctdads ntr os lmntos. Ddo ao prsnt caso sr ndmnsonal o sqma d nmração parc tão smpls q o torna tral. Contdo para problmas d das o três dmnsõs l sr frqüntmnt somnt para spcfcar qal nó prtnc a cada lmnto. abla. topologa do sstma para o sqma d sgmntação d lmntos fntos da Fg..b. Elmnto Númro dos Nós Local Global 5 Uma z a topologa spcfcada as qaçõs dos lmntos Eq.. podm sr scrtas para cada lmnto sando as coordnadas globas. Então adconando m d cada z montando a matrz do sstma total como dscrto na Fg..8. 7

48 d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d c d d d d d d d d b d d d d a Fgra.8 montagm das qaçõs no sstma total..9. Condçõs d Contorno Com as qaçõs montadas as condçõs ntrnas d contorno s canclam. ssm o rsltado fnal para { F } na Fg..8 tm condçõs d contorno para somnt o prmro últmo nó. Em razão d 5 srm dsponís sas natras condçõs d contorno nas trmdads da barra d /d d 5 /d aprsntam-s dsconhcdas. Portando as qaçõs podm sr prssas como:

49 d d d 5 d Solção Eq.. pod sr solconada ond s concl: d d d d prsntação dos Rsltados Pós-Procssamntos Os rsltados podm sr mostrados grafcamnt. Fgra.9 mostra os rsltados dos lmntos fntos com a solção ata. O cálclo d lmntos fntos captra a tndênca total da solção ata d fato fornc alors bm apromados nos nós. Contdo st dscrpânca no ntror d cada lmnto m rtd da natrza lnar da fnção d apromação. mpratra da Hast 8 Gras Clsos cm nalítca Elmntos Fntos Fgra.9 Rsltados da aplcação do método d lmntos fntos para ma barra aqcda. solção ata é também mostrada. 9

50 pêndc B plcaçõs do MEF na Engnhara Elétrca B. Introdção Est apêndc stá basado no dsnolmnto da rfrênca [975]. O Método dos Elmntos Fntos m s consagrando há algns anos como ma das mas podrosas frramntas tlzadas na dtrmnação das dstrbçõs d campos ltromagnétcos m dspostos sstmas létrcos. psar das qaçõs d Mawll dscrrm compltamnt os fnômnos ltromagnétcos sa solção analítca é mpratcál m dspostos com gomtras complas. Uma altrnata para contornar st problma é a tlzação d métodos d cálclo nmérco para s obtr ma solção apromada. O Método dos Elmntos Fntos é m ntr os áros conhcdos do cálclo nmérco para fnômnos ltromagnétcos. El pod sr aplcado sm as lmtaçõs o dfcldads d mplmntação q stm m algns otros métodos notadamnt aqls d so á consagrado qando o Método dos Elmntos Fntos staa sndo dsnoldo dntr ls o Método das Dfrnças Fntas o anda otros mas lmtados como o Método da Smlação d Cargas por mplo. Msmo algns métodos nmércos mas rcnts como por mplo o Método dos Elmntos d Frontra o Contorno aprsntam mas dfcldads d aplcação q o Método dos Elmntos Fntos qr no cálclo dos cofcnts dos sstmas d qaçõs qr no tratamnto d mos não lnars o na ploração dos rsltados obtdos. [9] Para s tlzar o Método dos Elmntos Fntos o obto d stdo d tr sa gomtra sbddda m áras parts q são os lmntos fntos. Essa sbdsão é chamada malha sndo gralmnt consttída no caso bdmnsonal d trânglos o qadrlátros cos értcs são dnomnados nós da malha. É atraés dla q s monta m sstma d qaçõs ca solção prmt dtrmnar as grandzas d ntrss no fnômno tlzado. No caso ltromagnétco ssa solção é o tor potncal magnétco o o potncal létrco V m cada nó da malha a partr dos qas é possíl dtrmnar os campos magnétcos B H o létrcos E D no ntror dos Elmntos Fntos procdr os cálclos d nrga força torq parâmtros como ndtâncas capactâncas rsstêncas tc. Para dmonstrar a mportânca do Método dos Elmntos Fntos na Engnhara d Eltrcdad faz-s ma análs nos tns abao d problmas báscos d campos ltromagnétcos bdmnsonas sando lmntos fntos tranglars sto é as dstrbçõs d campos létrcos o magnétcos q não aram nas sçõs transrsas dos dspostos a srm analsados admt-s anda q o rgm no qal a arál tmpo não afta as grandzas d campo é staconáro. ssm tm-s três staçõs a analsar: a Eltrostátca b Campo d Corrnts Eltrocnétca 5

51 c Magntostátca. Nos dos prmros casos o campo létrco ag m mos lnars sto é as prmssdads o condtdads prsnts não são aftadas pla ntnsdad do campo létrco ao passo q na Magntostátca a prsnça d mos frromagnétcos ntrodzm ma não lnardad q d sr consdrada. [975] B.. Eltrostátca aplcação do Método dos Elmntos Fntos na ltrostátca é basada na Qarta qação d Mawll L d Gass da Eltrostátca: D.dS S Q B. Ond: D é o Vtor Dslocamnto C/m Q é a qantdad total d Cargas Elétrcas noldas pla sprfíc fchada S. O tor dslocamnto D o tor campo létrco E stão rlaconados atraés da rlação consttta: DεE ond ε é a prmssdad létrca do mo q na maora das aplcaçõs pod sr admtda constant. O tor campo létrco E a fnção potncal são assocados atraés da rlação : E- V Chgando-s ao lmnto tranglar gnérco d m domíno dscrtzado sam V V V os potncas létrcos dos értcs nmração local do lmnto. Fac ao fato d q a fnção potncal é contína pod-s calclar o potncal létrco nm ponto R qalqr no ntror do lmnto atraés d ma ntrpolação lnar dos potncas d ss értcs. ssm sndo o potncal do ponto R podrá sr prsso por ma fnção lnar do tpo: V α α α B. Ond os cofcnts α α α são fnçõs d V V V. Para dtrmná-los basta aplcar a Eq. B. aos értcs do lmnto consdrado rsltando o sstma d qaçõs sgnt: V α α α B. solção da Eq. B. fornc os alors dos cofcnts d B. rsltando: α / a V a V a V α / b V b V b V α / c V c V c V B. 5

52 Ond: a ; b ; c ; b c b c / os dmas cofcnts a b c são obtdos por rotação cíclca dos ss índcs é a ára do lmnto. Sbsttndo-s B. por B. obtém-s a prssão do potncal nm ponto qalqr no ntror do lmnto por mo d ma ntrpolação lnar dos potncas m ss értcs como sg: VN V N V N V B.5 Ond: N / a b c s fnçõs N dnomnadas fnçõs d forma do lmnto obsram a sgnt proprdad: N δ B.6 Ond δ é o símbolo d Kronckr é tal q: δ s s Obsra-s q os rros dsta apromação srão mnors na mdda m q são rdzdas as dmnsõs do lmnto d modo q a dscrtzação rc m papl fndamntal na qaldad dos rsltados g ma solção d compromsso ntr a qantdad d lmntos a capacdad do sstma comptaconal tlzado a prcsão rqrda. Dsta forma o algortmo d gração atomátca d lmntos d contmplar com algma ntração com o sáro a possbldad d dscrtzar o domíno m stdo rsptando não só sa gomtra como também as caractrístcas do fnômno físco. 5

53 Fgra B. prsnta ma ntrprtação gométrca para sta apromação. Font [9] Lmbrando q E- V podmos scrr para cada componnt: E -V/ -/ b V b V b V E -V/ -/ c V c V c V B.7 5

54 Fgra B. Rgõs d Control nolndo os nós. [9] análs das prssõs B.7 mostra como ra d s sprar q o campo létrco no ntror do lmnto rslta constant no caso da apromação lnar da fnção potncal. aplcação da qarta qação d Mawll B. a sprfícs fchadas consttídas por m prsma d profnddad ntára sção transrsal dêntca às das rgõs d control q são dfndas como rgõs nolndo cada m d ss nós constrídas por sgmntos d rta q passam plos pontos médos das arsta lgadas ao nó plos barcntros dos trânglos q admtm o rfrdo nó como értc pod sr calclada por parts obdcndo a sgnt procdmnto: S D. ds E ond : E Para a sprfíc q nol o nó 7 pod-s scrr: 7 E S 7 D. ds E 7 E 6 7 E 5 7 B.8 E rprsnta o flo do tor dslocamnto na porção da sprfíc S q nol o nó prtncnt ao lmnto. No caso do nó q prtnc à frontra do domíno rslta: S 5 D. ds E E E E E B.9 Como condção adconal a-s consdrar q o campo létrco além da frontra é nlo o tangnt a sta d modo q as das últmas parclas da prssão antror são nlas. ssm sndo para cada lmnto fnto pod-s calclar parclas d ntgras d sprfíc: ma parcla da ntgral d sprfíc q nol o nó E ma q nol o nó E otra q nol o nó E como mostra a fgra abao: 5

55 Fgra B. - Parts das rgõs d control ntrnas ao lmnto. O ponto O é s barcntro; os pontos P S G são os pontos médos d sas arstas. Os sgmntos PO OS são parts da rgão d control q nol o nó. Os sgmntos PO OG são parts da rgão q nol o nó os sgmntos GO OS são parts da rgão d control q nol o nó. [9] O cálclo d E sobr aql lmnto gnérco pod sr faclmnt obtdo lando-s m conta q o campo létrco m s ntror é constant. ssm na fac POS d S pod-s scrr: E D. ds B. POS Lmbrando-s q: Dε E ε E ds - - O q rslta m: E - ε E - ε E B. Sbsttndo-s E E por ss alors prssos m B.7 notando-s q: s p / c / p s / b / O rsltado é: E ε/ [b b c c V b b c c V b b c c V ] B. O cálclo d E q rprsnta o flo do tor dslocamnto na part da sprfíc S q nol o nó S prtncnt ao lmnto é calclado d forma smlhant a E fazndo: E - ε E - ε E 55

56 Sbsttndo-s E E por ss alors prssos m B.7 notando q: g p / -c / p g / -b / O rsltado é: E ε/ [b b c c V b b c c V b b c c V ] B. Sgndo procdmnto análogo pod-s ddzr: E ε/ [b b c c V b b c c V b b c c V ] B. Em rsmo as contrbçõs dos flos do tor dslocamnto por mo das porçõs das sprfícs q nolm os nós do lmnto podm sr prssas matrcalmnt como sg: E E E bb ε bb bb cc cc c c b b b b b b cc cc c c b b b b b b cc cc c c V V V B.5 matrz qadrada da prssão B.5 é dnomnada matrz do lmnto tndo as caractrístcas d smtra snglardad dtrmnant nlo. O sgndo mmbro da qarta qação d Mawll é gal à carga ntrna à sprfíc S. ssm sndo para a sprfíc fchada q nol o nó 7 podmos scrr: Q 7 Q 7 Q 7 Q 7 Q 7 6 Q 7 5 Ond Q é a parcla da carga total contda no ntror da sprfíc S q nol o nó prtncnt ao lmnto. Rportando-s ao lmnto gnérco as lnhas PO OS OG ond O é s barcntro dd-o m polígonos d áras gas a / da ára total do lmnto. dmtndo q as cargas létrcas nl contdas são dstrbídas nformmnt no olm dlmtado plo prsma d bas tranglar altra ntára sgndo a dnsdad olmétrca ρ C/m pod-s scrr: Q Q Q ρ / O matrcalmnt Q Q Q ρ / ρ / ρ / B.6 Fnalmnt a aplcação da qarta qação d Mawll nma sprfíc fchada nolndo o nó rsltará: 56

57 NE NE E Q... NN B.7 Ond NE é o númro total d lmntos NN é o númro total d nós do domíno. Not-s q os trmos das somatóras ndcadas m B.7 só trão alor não nlo nos lmntos s q admtrm o nó como értc. Esta prssão também gra m sstma d NN qaçõs com NN ncógntas cas ncógntas são os potncas létrcos dos nós. ssm sndo pod-s scrr: [C][V] [Q] B.8 Como a matrz [C] é montada a partr das matrzs dos lmntos sndo stas snglars rslta q a rfrda matrz também é snglar. Esta snglardad é lantada após a ntrodção das condçõs d contorno. rsolção do sstma d qaçõs obtda após a ntrodção das condçõs d contorno fornc os potncas m todos os nós do domíno q ma z conhcdos prmtm calclar a ntnsdad d campo létrco no ntror d todos os lmntos as dmas grandzas d ntrss tas como: capactâncas nrga létrca armaznada forças congados d natrza ltrostátca. [9] B.. Campo d Corrnts Estaconáras Eltrocnétca msma técnca tlzada na formlação do Método dos Elmntos Fntos na ltrostátca é ntgralmnt aplcada nos stdos do campo d corrnts staconáras. Nst caso a qação q dscr o fnômno é a qação da contndad: J. ds B.9 S rlação consttta a sr consdrada é a l d Ohm: JσE ond σ é a condtdad do mo conntamnt com a dfnção da fnção potncal: E- V s ddçõs das ntgras d sprfíc E E E são obtdas para st caso sgndo-s procdmnto dêntco ao dsnoldo na ltrostátca o sa sbsttndos smplsmnt D por J ε por σ q rsltará: E E E bb σ bb bb cc cc c c b b b b b b cc cc c c b b b b b b cc cc c c V V V B. Fnalmnt a aplcação da qação da contndad nma sprfíc fchada nolndo o nó rsltará: NE E... NN B. 57

58 prssão B. a mplo da B.7 pod sr prssa matrcalmnt como sg: [G][V] B. ndtrmnação do sstma antror é lantada com a ntrodção das condçõs d contorno nrnts ao problma. rsolção do sstma d qaçõs após a ntrodção dstas condçõs forncrá os potncas létrcos m todos os nós do domíno a partr dos qas são dtrmnadas as ntnsdads do campo létrco m cada lmnto as dmas grandzas d ntrss tas como: rsstênca ôhmca potênca dsspada. [9] B.. Magntostátca Na Magntostátca a sgnda qação d Mawll L d mpèr é a q gorna o fnômno físco: H. dl J. ds B. C S rlação consttta a sr consdrada é a q rlacona o tor ntnsdad magnétca H o tor campo magnétco B: HνB ond ν/µ é a rltdad do mo. partr da trcra qação d Mawll.B dfn-s o tor potncal magnétco tal q: B B. E mpõ-s anda q:.. Nos stdos dos campos bdmnsonas planos na Magntostátca admt-s q as corrnts flm na drção normal ao domíno d stdo. ssm sndo spondo-s q st domíno stá dfndo no plano o tor dnsdad d corrnt drá sr tal q: JJ com J constant no lmnto. Como as drçõs d J são dêntcas rslta q:. Dsta forma nos campos bdmnsonas planos a qação B. é scrta como sg: B / - / B.5 Sam os alors da componnt z do tor potncal magnétco nos értcs do lmnto tranglar calcla-s o potncal magnétco no ntror do lmnto por mo d ma ntrpolação lnar d ss alors nos értcs à smlhança do q á fo fto na ltrostátca na Eltrocnétca d modo q pod-s scrr: N N N B.6 Dsta forma pod-s scrr: 58

59 59 b b b H c c c H ν ν ν ν B.7 plcando-s agora a sgnda qação d Mawll L d mpèr a contornos fchados do tpo mostrado na Fg. B. os qas nolm os nós do domíno orntando-s no sntdo ant-horáro obtém-s POS H H H dl E. B.8 Sbsttndo-s H H por ss alors obtdos m B.7 obtém-s: E ν/ [b b c c V b b c c V b b c c V ] B.9 Para a parcla da crctação ao rdor do nó do -ésmo lmnto pod-s scrr: E H H B. Com: p g c / p g -b / Sbsttndo-s H H por ss alors m B. obtém-s: E ν/ [b b c c V b b c c V b b c c V ] B. Para a parcla da crctação ao rdor do nó obtém-s: E ν/ [b b c c V b b c c V b b c c V ] B. Rprsntando sss rsltados matrcalmnt chga-s à matrz do lmnto para a Magntostátca: c c b b c c b b c c b b c c b b c c b b c c b b c c b b c c b b c c b b E E E ν B. Em cada lmnto tm-s contrbçõs para corrnt concatnada d três contornos dfrnts. dmtndo-s dnsdad d corrnt nform no ntror dls ssas contrbçõs srão tas q: / / / J J J I I I B. ssm a sgnda qação d Mawll aplcada a m contorno fchado

60 nolndo o nó obtém-s: NE NE E I... NN B.5 Q prssa matrcalmnt obtém-s: [S][] [I] B.6 Ests três mplos mostram a força a mportânca do Método dos Elmntos Fntos aplcado m cálclo d campos bm gras tlzados m qalqr part da Engnhara Elétrca. Otros dsnolmntos com araçõs no tmpo dos campos létrcos E magnétcos B podm também sr ftos sando-s o MEF mas a formlação matmátca é m poco mas complcada. [9] 6

61 C.. Pacots Comptaconas pêndc C Pacots Comptaconas Est apêndc fo basado na rfrênca [7]. Bblotcas pacots d Softwars têm sdo crados para solconar drtamnt as qaçõs dfrncas parcas. Contdo m gral qando s mplmnta os Métodos dos Elmntos Fntos rstrng-s a m dado problma físco spcfco. Isso é partclarmnt rdad para das o três dmnsõs. psar dsso com ssa aparnt lmtação smpls aplcaçõs podm sr d grand tldad no sntdo d ma são pdagógca. Uma podrosa frramnta comptaconal d rlata smplcdad é a caa d frramntas oolbo d Eqaçõs Dfrncas Parcas do Matlab q é aconada plo comando pdtool d dntro do Matlab. Essa caa d frramnta stnd o ambnt do Matlab para o stdo a solção d PDE m das dmnsõs no tmpo. O oolbo fornc m connto d fnçõs d comando d lnha ma ntrfac gráfca com o sáro dsd o pré-procssamnto até o pós-procssamnt d PDE d -D sando o Método d Elmntos Fntos MEF. frramnta também fornc potncaldads d grar malhas atomátcas adaptás além d rsolr os sstmas d qaçõs rsltants sstmas d qaçõs dfrncas ordnáras. Estas apromaçõs fndamntas facltam o so d cofcnts não constant d não lnardad spcífcas o so d sbdomínos d sstmas dmnsonas d n arás dpndnts. ambém possbltam o so d ma snta famlar d comandos d lnha do Matlab. São mplos d problmas q podm sr rsoldos: - Problma Magnstostátco Eltrostátco; - Problmas d Strss m Rsstênca d Matras; - Problmas d Propagação d Ondas; - Problmas d Estrtras sadas m Engnhara Cl Mcânca; - Problmas d Vbraçõs d Mmbranas; - Problmas d ransfrênca d Calor; - Procssos Indstras Qímcos; - Estdos d Mcânca Qântca Rlatístca; - Estdos d Momntos d Corpos tc. s qaçõs dfrncas parcas são sadas como modlos matmátcos para fnômnos m todas as áras da Engnhara cênca. Por mplo as qaçõs líptcas parabólcas podm sr sadas na transfrênca d calor constant não constants m sóldos para flos m mos scosos m problmas d dfsão para ltrostátca m mos dlétrcos condtors para flo d potncal. O PDE hprbólco é sado na propagação d ondas acústcas ltromagnétcas nos momntos transrsas das mmbranas. O sstma líptco d PDE pod sr sado para rsolr problmas d planos da tnsão d strss do plano m strtras mcâncas Momntos Esforços. Solcona-s qatro tpos d PDE ond a c d λ são constants o númros ras arál dpndnt fnção d t arás ndpndnts t rprsnta o 6

62 tmpo o plano cartsano o oprador gradnt m gral fnção dada; a solção aplcada smpr no domíno Ω : f ma Elíptco:. c a f Emplo d so: transfrênca constant d calor flo dfsão magnstotátca ltrostátca m matras condtos. Hprbólco: d. c a f t Emplo d so: transnts harmôncos m propagação d ondas acústcas momnto transrsal d mmbranas. Parabólcos: d. c a t f Emplo d so: transnt d transfrênca d calor flo dfsão m mos porosos. toalors o alors própros:. c a λ d Emplo d so: stdo d frqüêncas acústcas transrsal longtdnal; momnto d mmbranas; mcâncas qântcas propagação d ondas ltromagnétcas. s fnconaldads gráfcas da ntrfac do sáro os comandos d lnha da frramnta foram protadas para sgr nttamnt o procsso d rsolção dos PDE. O procsso da solção do PDE sando o Método dos Elmntos Fntos pod sr caractrzado por ss tapas gnércas. Estas tapas modaldads corrspondnts ao so da frramnta d PDE são: - Dfnção da gomtra modaldad d tração - Espcfcação d condçõs d lmt modaldad da condção d lmt - Slçõs dos cofcnts do PDE q dfnm o problma modaldad d PDE - Dscrtzação m lmntos fntos modaldad d malhas - Espcfcação d condçõs da solção ncas do PDE modaldad d rsolção - E aprsntação dos rsltados solçõs modaldad d lot. Cada ma dssas modaldads stá dsponíl por mo das lnhas d comando da ntrfac gráfca com o sáro. [7] Fgra C. - Rsolção passo a passo no MatLab mprgando o Método dos Elmntos Fntos m m mplo q sa a qação d qlíbro térmco d Laplac para ma placa fna mtálca rtanglar ond m lado é mantda a o C 6

63 [-] os otros três lados são mantdos a o C [; -8; 8 com condçõs d contorno]: a Chamada da rotna PDEOOL no MatLab dsnho da placa rtanglar. b Dfnção da condção d contorno do lado d o C. * h r. 6

64 c Dfnção das condçõs d contorno dos três otros lados à o C. *.h r. d Dfnção da qação dfrncal a sr rsolda. po Elíptco com c a f.. H. 6

65 Dfnção da malha ncal d lmntos fntos tranglars planos na placa mtálca. f Mlhora da malha ond cada lmnto tranglar s torna qatro. Ond o ponto médo d cada lado do trânglo s torna értc dos trânglos ntrnos. g Emplo d como o MatLab mlhora a malha. Um trânglo ra qatro otros trânglos mnors. 65

66 h Solção do PDE por lmntos fntos. Ond cada tom d cor rprsnta ma tmpratra na placa mtálca. Not a scala do lado. Solção do PDE por lmntos fntos são m três dmnsõs. O prncípo do método dos lmntos fntos sg os passos: - Dfnção do domíno; - Dscrtzação m lmntos fntos; - Cálclo dos Cofcnts do Sstma lgébrco; - Rsolção das Eqaçõs; - Eploração dos Rsltados. 66