Lei da Indução de Faraday

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1 Nesta prática, vamos estudar campos magnéticos que variam entamente no tempo. ntroduziremos a ei de indução de Faraday e a verificaremos experimentamente. ntroduziremos o conceito de indutância, uma nova grandeza eétrica que as bobinas apresentam a serem submetidas a uma corrente que variam no tempo. Sempre que surgir uma dúvida quanto à utiização de um instrumento ou componente, o auno deverá consutar o professor para escarecimentos.. Lei de ndução de Faraday Uma das descobertas mais importantes do que conhecemos hoje como eetromagnetismo foi feita peo ingês Michae Faraday em 83. Quando Faraday aproximou dois circuitos eétricos, percebeu que no momento em que um dees era igado ou desigado, aparecia por um instante de tempo uma corrente no outro circuito. Percebeu também que o sentido da corrente era diferente se o circuito estava sendo igado ou desigado. Para confirmar que era um efeito magnético, ee aproximou um ímã, e também observou o aparecimento de corrente. Essa corrente só se mantinha enquanto o ímã estava em movimento, e tinha sentido contrário dependendo se o ímã se aproximava ou se afastava. Ee também manteve o ímã fixo e movimentou o circuito, obtendo os mesmos resutados. A concusão de Faraday é que a variação do fuxo magnético que atravessa o circuito produz uma tensão eétrica, que dá origem a corrente. Na verdade, a própria idéia de fuxo é devida em grande parte a Faraday, que imaginava inhas de campo emanando de cargas eétricas e de magnetos para visuaizar os campos eétricos e magnéticos, respectivamente. Essa forma de pensar só seria aceita e usada de forma sistemática peos cientistas após sua morte, mas sua importância pode ser percebida peo fato de Maxwe ter dado a seu primeiro artigo, de 856, o títuo On Faraday s ines of force. Em 86, o artigo em que Maxwe corrige a ei de Ampère foi chamado de On physica ines of force.

2 As inhas de campo dão a direção do campo em cada ponto. O fuxo de campo sobre uma superfície aberta é proporciona ao número de inhas que cruzam essa superfície (contadas como positivas se cruzam em um sentido e negativas se cruzam no sentido oposto). Na notação de cácuo vetoria, o fuxo é definido como: Φ s = S r B.ˆ n. ds () O campo magnético é soenoida, ou seja, tem divergente nuo em todos os pontos. sso tem duas conseqüências: o fuxo sobre quaquer superfície fechada é nuo, e o fuxo de duas superfícies abertas com a mesma fronteira é igua. sso permite definir o fuxo através do circuito como sendo o fuxo através de uma superfície quaquer que tenha o circuito como fronteira. De acordo com a ei de Faraday, a força eetromotriz (fem) induzida sobre o circuito é igua a taxa de variação do fuxo magnético. A forma matemática da ei da indução foi dada em 845 peo físico aemão Franz Ernst Neumann: ε = dφ dt s () Essa é a ei da indução na forma mais apropriada para se trabahar com circuitos, pois reaciona parâmetros que podem ser medidos diretamente ou cacuados a partir da geometria do circuito. A fórmua acima só tem sentido se for definido o sentido do fuxo e da corrente induzida sobre o circuito, o que é dado pea regra da mão direita: ao curvar a mão direita no sentido da corrente, o poegar aponta no sentido do fuxo positivo. A figura mostra essa regra sendo apicada a um circuito quadrado. n^ Figura Sentido da tensão positiva e do fuxo positivo em um circuito

3 A força eetromotriz induzida é nada mais do que a integra de inha do campo eétrico sobre o circuito. Logo podemos escrever: S r r d r (3) E. d = B.ˆ n. ds dt S Essa é a forma integra da ei de indução, expressa em função dos campos, e é uma das equações de Maxwe. Ea pode ser convertida para uma forma diferencia, usando o teorema de Stokes no ado direito da equação, resutando em: r r B (4) E = t Vemos que, se o campo magnético estiver variando no tempo, o campo eétrico não é mais irrotaciona, então não podemos mais pensar em potencia eetrostático, do qua o campo eétrico possa ser obtido fazendo E = Φ. O sina negativo da ei de indução, que dá a direção da tensão induzida, é expicado pea chamada ei de Lenz, pubicada por Heinrich Lenz em 834 (aém da ei que eva seu nome, Lenz também descobriu de forma independente a ei de Joue enquanto trabahava na Universidade de São Petesburgo; por esse motivo, na Rússia, essa ei é conhecida como ei de Joue-Lenz). O sina negativo garante que a fem induzida é no sentido de criar um campo magnético que vai se opor à variação do fuxo. Em outras paavras, se o fuxo está aumentando, a tensão cria uma corrente que gera um fuxo negativo (na figura, isso corresponde a uma corrente no sentido oposto ao mostrado peas setas). A ei de Lenz é uma conseqüência da conservação de energia. Para ver isso, considere uma espira circuar e um ímã com seus eixos ainhados, com o póo norte do ímã votado para a espira, como na figura. Se o ímã se aproxima da espira (figura a), é induzida uma corrente anti-horária na espira (vista a partir do ímã). Assim, a espira passa a atuar como um eetroímã, com o póo norte votado para o ímã, e ees se repeem. Caso o ímã esteja se afastando (figura b), a corrente seria no sentido horário, o póo su estaria votado para o ímã, e a força seria de atração. Em quaquer um dos 3

4 casos, a força é contrária ao movimento. Se não fosse assim, um pequeno movimento em quaquer sentido geraria uma força no mesmo sentido, e a veocidade (e a energia cinética) iria aumentar indefinidamente, o que não é compatíve com a conservação de energia. (a) v S N N µ S F (b) v S N S µ N F Figura Lei de Lenz apicada a um ímã em movimento próximo a uma espira. (a) ímã se aproxima da espira, e é repeido. (b) ímã se afasta da espira, e é atraído. Devido às contribuições de Neumann e Lenz, a ei da indução pode ser chamada de ei de Faraday, ei de Faraday-Lenz ou ei de Faraday-Neumann-Lenz.. ndutância mútua e auto-indutância A corrente em um circuito gera um campo magnético que produz fuxo sobre o próprio circuito; assim, a variação de corrente produz uma tensão no circuito, fenômeno que é conhecido como auto-indução. O fuxo magnético é proporciona a corrente; a constante de proporcionaidade, que depende da geometria e das propriedades magnéticos do meio, é chamada de indutância (ou auto-indutância) do circuito, denotada por L. Essa definição de indutância foi dada por Oiver Heaviside em 886 (Heaviside foi também o criador dos termos impedância, condutância, permeabiidade e eetreto). De acordo com essa definição: 4

5 Φ = L (5) A auto-indutância de um circuito é sempre positiva. Com esse conceito, podemos reescrever a ei de indução de Faraday para o caso de um circuito fixo: d ε = L dt (6) Se houver um segundo circuito próximo, a corrente nesse também pode produzir fuxo magnético sobre o primeiro, que é proporciona a corrente no segundo circuito. Dessa maneira, dois circuitos eetricamente isoados podem infuenciar um ao outro quando a corrente em um dees estiver variando. Esse fenômeno é conhecido como indução mútua. Os fuxos sobre os circuitos e pode ser escritos como: Φ (7a) = L + L Φ (7b) = L + L Aqui L representa o fuxo sobre o circuito provocado pea corrente no circuito, e a auto-indutância é representada com índices repetidos. Um fato importante, que não poderá ser provado aqui, é: L = L (8) A indutância mútua é o coeficiente de proporcionaidade entre a corrente em um circuito pea corrente em outro. Seu vaor pode ser positivo ou negativo; um vaor positivo significa que o aumento da corrente em um circuito provoca uma diminuição da corrente no outro. Depende, portanto da definição (arbitrária) do sentido positivo das correntes em cada circuito. 5

6 . Armazenamento de energia em indutores Quando um circuito é desigado da fonte, sua corrente varia e ee pode induzir uma corrente em um outro circuito próximo. sso pode parecer a princípio estranho, porque um campo magnético constante não reaiza trabaho. No entanto, quando a corrente está aumentando, é necessário compensar a tensão induzida pea variação de corrente, e isso requer energia. É essa energia que fica armazenada e pode ser reaproveitada em outro momento. Vamos considerar um circuito de auto-indutância L, e vamos eevar sua corrente de 0 a. Sendo a corrente em certo instante é i, a energia necessária para esse processo é: di = = dt = 0 W L i dt L i di L (9) Essa é a energia armazenada em um circuito devido a auto-indutância. Se a corrente i em um circuito próximo estiver variando de 0 a, a energia necessária para manter a corrente no primeiro circuito constante é: di = = = dt 0 W L dt L di L (0) Essa é a energia armazenada nos dois circuitos devido a indutância mútua. Então, quando a corrente no circuito for e a corrente em for, a energia armazenada nessa configuração é: W = L + L + L () A energia tem que ser positiva para quaisquer vaores de e, porque, se não fosse assim, haveria uma situação com correntes energeticamente mais favoráve do que a situação sem correntes; assim poderiam ser observados correntes aparecendo 6

7 espontaneamente. A expressão pode ser considerada um poinômio de segundo grau em, e seu determinante deve ser negativo para que a expressão seja sempre positiva: = ( L L L ) 0 () A condição para isso é: L (3) L L A indutância mútua é sempre menor (em móduo) do que a média geométrica das auto-indutâncias. sso permite definir um parâmetro, o acopamento magnético entre dois circuitos, que varia de 0 a : k = L L L (4) Acopamento magnético igua a significa que as inhas de fuxo que atravessam um circuito são as mesmas que atravessam o outro. Acopamento magnético igua a 0 significa que nenhuma inha de fuxo atravessa ambos os circuitos. O acopamento magnético é uma medida da capacidade de dois circuitos infuenciarem magneticamente um no outro. V. ndutância de agumas configurações simpes a) Soenóide ongo O campo no interior de um soenóide ongo, de raio r, número de espiras N e comprimento, percorrido por corrente, é: B = µ o N (5) 7

8 O fuxo é: N r o µ π Φ = NBA = (6) A auto-indutância é: Φ µ π L = = N r o (7) b) Dois soenóides ongos coaxiais (indutância mútua) Vamos considerar dois soenóides coaxiais: o mais interno tem raio r e N votas; o mais interno tem raio r e N votas. O comprimento dos dois é igua. Essa situação está mostrada na figura 3. r r Espiras N N Figura 3 dois soenóides coaxiais Na aproximação de soenóide ongo, o campo magnético que o soenóide externo gera na região próxima ao eixo comum é: B µ N = o (8) O fuxo sobre o soenóide interno é: 8

9 µ N N r o π Φ = = NB A (9) A indutância mútua é a razão entre o fuxo e a corrente: L Φ = = µ N N r o π (0) A indutância mútua depende apenas de fatores geométricos e das propriedades magnéticas do meio onde os soenóides estão inseridos. Vamos agora cacuar a indutância mútua considerando que o campo é gerado peo soenóide interno e induz no soenóide externo. O campo devido ao soenóide interno é: B µ N = o () Esse campo está presente apenas na região interna ao soenóide interno, e é nuo fora. O fuxo sobre o soenóide externo é o proporciona à área do soenóide interno: µ N N r o π Φ = = NB A () A indutância mútua é a razão entre o fuxo e a corrente: L Φ = = µ N N r o π (3) Vemos então que L = L. De acordo com o que foi dito anteriormente, trata-se de uma reação gera. O acopamento magnético entre os dois soenóides é: r k = r (4) 9

10 Experimentos Para quantificar o comportamento instantâneo de tensões, correntes e campos magnéticos que variam no tempo, utiizaremos um oscioscópio. Portanto, preste muita atenção na igação do oscioscópio para que os cabos terra estejam sempre igados no mesmo ponto do circuito.. Medida do campo magnético e auto indução de um soenóide percorrido por uma corrente que varia no tempo a) Monte um circuito, como o mostrado na figura 4, utiizando um resistor de 0 Ω em série com uma bobina soenoida. R ~ L Figura 4 Circuito para aimentar um indutor com corrente aternada b) Ajuste o gerador de funções para a máxima tensão (ampitude) e uma onda senoida com freqüência de aproximadamente khz. c) Para obter a corrente que percorre a bobina, meça a tensão sobre o resistor (que é proporciona à corrente) no cana do oscioscópio. d) Conecte a saída da sonda Ha no cana do oscioscópio. ntroduza a sonda no centro da bobina maior (como na figura 5). Observe a curva de tensão na sonda Ha (proporciona ao campo magnético no centro da bobina) juntamente com a curva da tensão nos terminais do resistor (ajuste o oscioscópio para visuaizar ambos os canais, em modo At e cana norma). Compare as curvas da corrente da tensão Ha e discuta a reação de fases entre eas. O comportamento observado é esperado de acordo com a ei de Faraday-Lenz. Expique por que? 0

11 e) Utiizando os dados da caibração da sonda Ha, obtenha o campo magnético como função do tempo no interior do soenóide. f) Faça um esboço do gráfico do campo magnético e da corrente na bobina em pape miimetrado, indicando os parâmetros reevantes (vaor de pico, período e fase reativa). g) Utiizando os parâmetros geométricos da bobina, as característica magnética do meio, e a corrente do circuito, faça um gráfico do campo magnético como função de tempo utiizando a equação para o campo do soenóide finito de comprimento L. Compare essa curva com a curva experimenta esboçada no item f. h) Ajuste o cana para medir a tensão nos terminais do soenóide e observe a curva de tensão juntamente com a curva da tensão Ha (cana do oscioscópio). Faça um esquema do campo magnético e da tensão nos terminais do soenóide, indicando os parâmetros reevantes. Compare as curvas da tensão nos terminais do soenóide e da tensão Ha e discuta a reação de fases entre eas. O comportamento observado é esperado de acordo com a ei de Faraday-Lenz. Expique por que? Figura 5 Configuração para medir o campo magnético no interior de um soenóide Medida do campo magnético e auto indução de um soenóide percorrido por uma corrente que varia no tempo Período = Corrente (pico-a-pico) = Tensão Ha (pico-a-pico) = Campo Magnético (pico-a-pico) = Fase reativa entre corrente e campo magnético = Tensão nos terminais do soenóide (pico-a-pico) = Fase reativa entre a tensão nos terminais do soenóide e a corrente =

12 . Caracterização da tensão induzida em uma bobina a) Na montagem anterior, apique um sina de tensão com forma de onda trianguar de freqüência 00 Hz na bobina maior. b) Conecte a saída da sonda Ha no cana do oscioscópio. ntroduza a sonda no centro da bobina maior (como na figura 5). Observe a curva de tensão na sonda Ha (proporciona ao campo magnético no centro da bobina) juntamente com a curva da tensão nos terminais do resistor (ajuste o oscioscópio para visuaizar ambos os canais, em modo At e cana norma). Compare as curvas da corrente da tensão Ha e discuta a forma das curvas. O comportamento observado é esperado. Expique por que utiizando as equações pertinentes? c) Mantendo o circuito anterior, insira a bobina de prova, também soenoida, no centro da bobina maior, como mostrado na figura 6. O suporte branco serve para garantir que as bobinas ficarão coaxiais. d) Use o cana do oscioscópio para medir a tensão sobre o resistor e o cana para medir a tensão induzida na bobina de prova. Compare esses sinais. O comportamento observado é esperado de acordo com a ei de Faraday-Lenz. Expique por que usando as equações pertinentes? e) Repita os procedimentos de a) a d) apicando na bobina maior uma onda quadrada de 00 Hz. Figura 6 Bobina de prova sendo coocada no centro da bobina maior

13 3. Determinação da indutância mútua entre dois soenóides a) Na montagem anterior, apique um sina de tensão com forma de onda senóida de freqüência khz na bobina maior. b) Use o cana do oscioscópio para medir a tensão sobre o resistor e o cana para medir a tensão induzida na bobina de prova. Compare esses sinais. Compare as formas de onda observadas e discuta a reação de fases entre eas. O comportamento observado é esperado de acordo com a ei de Faraday-Lenz. Expique por que? c) Faça um esquema em pape miimetrado das formas de onda das tensões observadas indicando os parâmetros reevantes. d) Varie a freqüência da fonte para 500, 000, 500, 000, 500 Hz. Para cada freqüência meça a ampitude da corrente no soenóide externo ( 0 ) e da força eetromotriz induzida (ε 0 ) na bobina de prova. Faça um gráfico de ε 0 como função de ω 0. Qua deve ser o comportamento da curva segundo ei de Faraday? Determine a indutância mútua a partir desta curva. e) Cacue a indutância mútua utiizando a expressão 9 e também a expressão considerando os soenóides finitos (deduza essa expressão considerando a expressão para o campo de um soenóide finito deduzido na prática de campo magnetostático). Compare os vaores cacuados com o vaor determinado experimentamente. Auto-indutância entre dois soenóides - Onda senoida no soenóide maior Período = Corrente = Tensão induzida na segunda bobina = ndutância mútua = ndutância mútua esperada (equação 9) = ndutância mútua esperada (soenóide finito) = Auto-indutância entre dois soenóides Onda trianguar e quadrada no soenóide maior Forma de onda na bobina maior Forma de onda na bobina menor Onda trianguar Onda quadrada 3