Probabilidade e Estatística 2011/2

Transcrição

1 Probabilidade e Estatística 2011/2 Prof. Fernando Deeke Sasse fernandodeeke@gmail.com Departamento de Matemática CCT - UDESC 1

2 1. O papel da Estatística na Engenharia 1.O método da engenharia (científico) e o pensamento estatístico 2.Coleta de dados 3.Modelos mecanísticos e empíricos 4.Modelos de probabilidade 2

3 1-1 Método científico e Pensamento Estatístico Passos: 3

4 1-1 Método científico e Pensamento Estatístico Passos: 1. Desenvolva uma descrição clara e concisa do problema. 3

5 1-1 Método científico e Pensamento Estatístico Passos: 1. Desenvolva uma descrição clara e concisa do problema. 2. Identifique, ao menos tentativamente, os fatores importantes que afetam este problema ou que podem desempenhar um papel na sua solução. 3

6 1-1 Método científico e Pensamento Estatístico Passos: 1. Desenvolva uma descrição clara e concisa do problema. 2. Identifique, ao menos tentativamente, os fatores importantes que afetam este problema ou que podem desempenhar um papel na sua solução. 3. Proponha um modelo para o problema, usando o conhecimento científico/de engenharia do fenômeno estudado. Estabeleça as limitações ou suposições do modelo. 3

7 1-1 Método científico e Pensamento Estatístico Passos: 1. Desenvolva uma descrição clara e concisa do problema. 2. Identifique, ao menos tentativamente, os fatores importantes que afetam este problema ou que podem desempenhar um papel na sua solução. 3. Proponha um modelo para o problema, usando o conhecimento científico/de engenharia do fenômeno estudado. Estabeleça as limitações ou suposições do modelo. 4. Realize experimentos apropriados e colete dados para testar ou validar o modelo tentativo ou conclusões feitas nos passos 2 e 3. 3

8 4

9 Passos (cont.) : 4

10 Passos (cont.) : 5. Refine o modelo com base nos dados observacionais. 4

11 Passos (cont.) : 5. Refine o modelo com base nos dados observacionais. 6. Manipule o modelo como modo de desenvolver uma solução para o problema. 4

12 Passos (cont.) : 5. Refine o modelo com base nos dados observacionais. 6. Manipule o modelo como modo de desenvolver uma solução para o problema. 7. Conduza um experimento apropriadoparato confirmar que a solução proposta do problemas é efetiva e eficiente. 4

13 Passos (cont.) : 5. Refine o modelo com base nos dados observacionais. 6. Manipule o modelo como modo de desenvolver uma solução para o problema. 7. Conduza um experimento apropriadoparato confirmar que a solução proposta do problemas é efetiva e eficiente. 8. Chegue a conclusões ou faça recomendações baseadas na solução do problema. 4

14 Resumo do Método Científico na Engenharia 5

15 Desenvolva uma clara descrição Resumo do Método Científico na Engenharia 5

16 Desenvolva uma clara descrição Resumo do Método Científico na Engenharia Identifique os fatores importantes 5

17 Desenvolva uma clara descrição Resumo do Método Científico na Engenharia Identifique os fatores importantes Faça experimentos 5

18 Desenvolva uma clara descrição Resumo do Método Científico na Engenharia Identifique os fatores importantes Faça experimentos Proponha ou refine um modelo 5

19 Desenvolva uma clara descrição Resumo do Método Científico na Engenharia Identifique os fatores importantes Faça experimentos Proponha ou refine um modelo Manipule o modelo 5

20 Desenvolva uma clara descrição Resumo do Método Científico na Engenharia Identifique os fatores importantes Faça experimentos Proponha ou refine um modelo Manipule o modelo Confirme a solução 5

21 Desenvolva uma clara descrição Resumo do Método Científico na Engenharia Identifique os fatores importantes Faça experimentos Proponha ou refine um modelo Manipule o modelo Confirme a solução Conclusões e recomendações 5

22 6

23 Estatística - lista com a coleta, apresentação, análise e uso de dados para tomar decisões, resolver problemas, elaborar produtos e processos. 6

24 Estatística - lista com a coleta, apresentação, análise e uso de dados para tomar decisões, resolver problemas, elaborar produtos e processos. Métodos estatísticos ajudam a descrever e entender variabilidade 6

25 Estatística - lista com a coleta, apresentação, análise e uso de dados para tomar decisões, resolver problemas, elaborar produtos e processos. Métodos estatísticos ajudam a descrever e entender variabilidade successivas observações de um sistema ou fenômeno não produzem exatamente o mesmo resultado. 6

26 7

27 Exemplo1: Variabilidade no consumo de combustível de um veículo 7

28 Exemplo1: Variabilidade no consumo de combustível de um veículo Potenciais fontes de variabilidade do sistema: 7

29 Exemplo1: Variabilidade no consumo de combustível de um veículo Potenciais fontes de variabilidade do sistema: Tipo de condições de estrada (cidade ou rodovia) Mudanças nas condições do veículo ao longo do tempo (pressão dos pneus, compressão, desgaste de válvulas) Marca ou categoria de gasolina utilizada 7

30 Exemplo1: Variabilidade no consumo de combustível de um veículo Potenciais fontes de variabilidade do sistema: Tipo de condições de estrada (cidade ou rodovia) Mudanças nas condições do veículo ao longo do tempo (pressão dos pneus, compressão, desgaste de válvulas) Marca ou categoria de gasolina utilizada Condições meteorológicas 7

31 Exemplo1: Variabilidade no consumo de combustível de um veículo Potenciais fontes de variabilidade do sistema: Tipo de condições de estrada (cidade ou rodovia) Mudanças nas condições do veículo ao longo do tempo (pressão dos pneus, compressão, desgaste de válvulas) Marca ou categoria de gasolina utilizada Condições meteorológicas Modo de dirigir 7

32 Exemplo1: Variabilidade no consumo de combustível de um veículo Potenciais fontes de variabilidade do sistema: Tipo de condições de estrada (cidade ou rodovia) Mudanças nas condições do veículo ao longo do tempo (pressão dos pneus, compressão, desgaste de válvulas) Marca ou categoria de gasolina utilizada Condições meteorológicas Modo de dirigir Outros fatores 7

33 Exemplo1: Variabilidade no consumo de combustível de um veículo Potenciais fontes de variabilidade do sistema: Tipo de condições de estrada (cidade ou rodovia) Mudanças nas condições do veículo ao longo do tempo (pressão dos pneus, compressão, desgaste de válvulas) Marca ou categoria de gasolina utilizada Condições meteorológicas Modo de dirigir Outros fatores Estatística: fornece uma teoria para analisar estas fontes de variabilidade (quais as mais importantes?) de forma quantitativa. 7

34 8

35 Exemplo 2 : Confecção de um conector de nylon a ser usado num motor 8

36 Exemplo 2 : Confecção de um conector de nylon a ser usado num motor Problema: Determinar a especificação da espessura da parede nos conectores a serem produzidos 8

37 Exemplo 2 : Confecção de um conector de nylon a ser usado num motor Problema: Determinar a especificação da espessura da parede nos conectores a serem produzidos Especificação esperada: 3/32 in 8

38 Exemplo 2 : Confecção de um conector de nylon a ser usado num motor Problema: Determinar a especificação da espessura da parede nos conectores a serem produzidos Especificação esperada: 3/32 in Qual o efeito desta especificação na força de resistência do conector? 8

39 Exemplo 2 : Confecção de um conector de nylon a ser usado num motor Problema: Determinar a especificação da espessura da parede nos conectores a serem produzidos Especificação esperada: 3/32 in Qual o efeito desta especificação na força de resistência do conector? Conector pode falhar quando a força é muito pequena 8

40 Exemplo 2 : Confecção de um conector de nylon a ser usado num motor Problema: Determinar a especificação da espessura da parede nos conectores a serem produzidos Especificação esperada: 3/32 in Qual o efeito desta especificação na força de resistência do conector? Conector pode falhar quando a força é muito pequena Força de resistência X de 8 protótipos de espessura 3/32 in. (pounds) 8

41 Exemplo 2 : Confecção de um conector de nylon a ser usado num motor Problema: Determinar a especificação da espessura da parede nos conectores a serem produzidos Especificação esperada: 3/32 in Qual o efeito desta especificação na força de resistência do conector? Conector pode falhar quando a força é muito pequena Força de resistência X de 8 protótipos de espessura 3/32 in. (pounds) 12.6, 12.9, 13.4, 12.3, 13.6, 13.5, 12.6,

42 Exemplo 2 : Confecção de um conector de nylon a ser usado num motor Problema: Determinar a especificação da espessura da parede nos conectores a serem produzidos Especificação esperada: 3/32 in Qual o efeito desta especificação na força de resistência do conector? Conector pode falhar quando a força é muito pequena Força de resistência X de 8 protótipos de espessura 3/32 in. (pounds) constante 12.6, 12.9, 13.4, 12.3, 13.6, 13.5, 12.6, Perturbação randômica Variável randômica 8

43 Exemplo 2 : Confecção de um conector de nylon a ser usado num motor Problema: Determinar a especificação da espessura da parede nos conectores a serem produzidos Especificação esperada: 3/32 in Qual o efeito desta especificação na força de resistência do conector? Conector pode falhar quando a força é muito pequena Força de resistência X de 8 protótipos de espessura 3/32 in. (pounds) constante 12.6, 12.9, 13.4, 12.3, 13.6, 13.5, 12.6, X = µ +ε Perturbação randômica Variável randômica 8

44 9

45 Diagrama de pontos: evidenciam a localização e a variabilidade 9

46 Diagrama de pontos: evidenciam a localização e a variabilidade Média: > with(stats): > X:=[12.6, 12.9, 13.4, 12.3, 13.6, 13.5, 12.6, 13.1]: > describe[mean](x);

47 Diagrama de pontos: evidenciam a localização e a variabilidade Média: > with(stats): > X:=[12.6, 12.9, 13.4, 12.3, 13.6, 13.5, 12.6, 13.1]: > describe[mean](x); Engenheiro crê que tal valor da força pode ser muito baixo para atender as especificações desta aplicação. 9

48 Diagrama de pontos: evidenciam a localização e a variabilidade Média: > with(stats): > X:=[12.6, 12.9, 13.4, 12.3, 13.6, 13.5, 12.6, 13.1]: > describe[mean](x); Engenheiro crê que tal valor da força pode ser muito baixo para atender as especificações desta aplicação. Design alternativo com espessura maior: 1/8 in 9

49 Força ( 1/8 in) 12.9, 13.7, 12.8, 13.9, 14.2, 13.2, 13.5, Média : 13.4 Tais resultados parecem indicar que um aumento na espessura Da parede resultou num aumento da força de resistência. 10

50 11

51 Algumas questões: 11

52 Algumas questões: Como sabemos que outra amostra de protótipos não dará diferentes resultados? 11

53 Algumas questões: Como sabemos que outra amostra de protótipos não dará diferentes resultados? Uma amostra de oito protótipos é adequada para dar resultados confiáveis? 11

54 Algumas questões: Como sabemos que outra amostra de protótipos não dará diferentes resultados? Uma amostra de oito protótipos é adequada para dar resultados confiáveis? Se usarmos os resultados dos obtidos até agora para concluir que o aumento da espessura da parede aumenta a resistência, quais são os riscos associados com esta decisão? 11

55 Algumas questões: Como sabemos que outra amostra de protótipos não dará diferentes resultados? Uma amostra de oito protótipos é adequada para dar resultados confiáveis? Se usarmos os resultados dos obtidos até agora para concluir que o aumento da espessura da parede aumenta a resistência, quais são os riscos associados com esta decisão? É possível que o aparente aumento da força de resistência observado nos protótipos de maior espessura seja devido somente à variabilidade inerente do sistema e que o aumento da espessura do elemento (e de seu custo) não tenha realmente qualquer efeito na força de resistência? 11

56 Inferência estatística Estabilidade das fontes de variabilidade Generalização de observações de amostras para a Totalidade da população Incertezas e riscos devem ser quantificados 12

57 Estudo enumerativo: uma amostra é utilizada para fazer uma inferência sobre a população da qual a amostra é retirada Estudo analítico: uma amostra é utilizada para fazer uma inferência sobre uma população ainda não existente (futura). Análise estatística Estabilidade 13

58 14

59 1-2 Coleta de dados 1. Estudo retrospectivo usando dados históricos 2. Estudo observacional 3. Experimento projetado 4. Observação de processos ao longo do tempo 15

60 1-2.1 Estudo retrospectivo 16

61 1-2.1 Estudo retrospectivo Sistema: Coluna de destilação acetona-alcool butílico 16

62 1-2.1 Estudo retrospectivo Sistema: Coluna de destilação acetona-alcool butílico Variável de estudo: Concentração de acetona 16

63 1-2.1 Estudo retrospectivo Sistema: Coluna de destilação acetona-alcool butílico Fatores que podem afetar o destilado 1. Temperatura de re-ebulição 2. Temperatura do condensado 3. Taxa de refluxo Variável de estudo: Concentração de acetona 16

64 17

65 Dados arquivados: 17

66 Dados arquivados: 1. Concentração de acetona em uma amostragem a cada hora 17

67 Dados arquivados: 1. Concentração de acetona em uma amostragem a cada hora do produto de saída 17

68 Dados arquivados: 1. Concentração de acetona em uma amostragem a cada hora do produto de saída 1. Gráfico da temperatura de reebulição com o tempo 17

69 Dados arquivados: 1. Concentração de acetona em uma amostragem a cada hora do produto de saída 1. Gráfico da temperatura de reebulição com o tempo 2. Log da temperatura do condensador 17

70 Dados arquivados: 1. Concentração de acetona em uma amostragem a cada hora do produto de saída 1. Gráfico da temperatura de reebulição com o tempo 2. Log da temperatura do condensador ( constante 3. Taxa de refluxo nominal a cada hora (normalmente mantido 17

71 Dados arquivados: 1. Concentração de acetona em uma amostragem a cada hora do produto de saída 1. Gráfico da temperatura de reebulição com o tempo 2. Log da temperatura do condensador ( constante 3. Taxa de refluxo nominal a cada hora (normalmente mantido Possível objetivo de estudo: descobrir as relações entre as duas temperaturas e a taxa de refluxo na concentração de acetona do produto final. 17

72 Dados arquivados: 1. Concentração de acetona em uma amostragem a cada hora do produto de saída 1. Gráfico da temperatura de reebulição com o tempo 2. Log da temperatura do condensador ( constante 3. Taxa de refluxo nominal a cada hora (normalmente mantido Possível objetivo de estudo: descobrir as relações entre as duas temperaturas e a taxa de refluxo na concentração de acetona do produto final. O estudo pode envolver todos os dados arquivados em um período de tempo, ou somente uma amostra 17

73 18

74 Possíveis problemas deste tipo de estudo: 18

75 Possíveis problemas deste tipo de estudo: 18

76 Possíveis problemas deste tipo de estudo: 1. Podemos não ser capazes de ver a relação entre a taxa de refluxo e a concentração de acetona, pois a taxa de refluxo não mudou muito ao longo do tempo considerado. 18

77 Possíveis problemas deste tipo de estudo: 1. Podemos não ser capazes de ver a relação entre a taxa de refluxo e a concentração de acetona, pois a taxa de refluxo não mudou muito ao longo do tempo considerado. 2. Os dados arquivados das duas temperaturas (que são arquivados quase constinuamente) não correspondem perfeitamente às medidas de concentração de acetona (feitas a cada hora). Não é óbvio como construir uma correspondência aproximada. 18

78 Possíveis problemas deste tipo de estudo: 1. Podemos não ser capazes de ver a relação entre a taxa de refluxo e a concentração de acetona, pois a taxa de refluxo não mudou muito ao longo do tempo considerado. 2. Os dados arquivados das duas temperaturas (que são arquivados quase constinuamente) não correspondem perfeitamente às medidas de concentração de acetona (feitas a cada hora). Não é óbvio como construir uma correspondência aproximada. 1. A produção mantém as duas temperaturas tão próximas quanto possível a valores determinados. Como as temperaturas mudam tão pouco, pode ser difícil obter seu impacto real na concentração de acetona. 18

79 Possíveis problemas deste tipo de estudo: 1. Podemos não ser capazes de ver a relação entre a taxa de refluxo e a concentração de acetona, pois a taxa de refluxo não mudou muito ao longo do tempo considerado. 2. Os dados arquivados das duas temperaturas (que são arquivados quase constinuamente) não correspondem perfeitamente às medidas de concentração de acetona (feitas a cada hora). Não é óbvio como construir uma correspondência aproximada. 1. A produção mantém as duas temperaturas tão próximas quanto possível a valores determinados. Como as temperaturas mudam tão pouco, pode ser difícil obter seu impacto real na concentração de acetona. 2. Dentro dos limitados intervalos de possível variação, a temperatura do condensado tende a subir com a temperatura de reebulição. Conseqüentemente, os efeitos dessas duas variáveis de processo na concentração de acetona podem ser difíceis de serem separados. 18

80 Em geral, 19

81 Em geral, Estudo retrospectivo pode envolver muitos dados, mas poucos com informações realmente úteis. 19

82 Em geral, Estudo retrospectivo pode envolver muitos dados, mas poucos com informações realmente úteis. Alguns dos dados relevantes podem estar ausentes. 19

83 Em geral, Estudo retrospectivo pode envolver muitos dados, mas poucos com informações realmente úteis. Alguns dos dados relevantes podem estar ausentes. Podem haver erros de transcrição resultando em valores não usuais. 19

84 Em geral, Estudo retrospectivo pode envolver muitos dados, mas poucos com informações realmente úteis. Alguns dos dados relevantes podem estar ausentes. Podem haver erros de transcrição resultando em valores não usuais. Dados sobre outros fatores importantes podem não ter sido coletados e arquivados. 19

85 Em geral, Estudo retrospectivo pode envolver muitos dados, mas poucos com informações realmente úteis. Alguns dos dados relevantes podem estar ausentes. Podem haver erros de transcrição resultando em valores não usuais. Dados sobre outros fatores importantes podem não ter sido coletados e arquivados. Na coluna de destilação, por exemplo, as concentrações específicas de álcool butílico e acetona no fluxo de entrada são um fator muito importante, mas elas não são arquivadas porque as concentrações são muito difíceis de serem obtidas rotineiramente. 19

86 Em geral, Estudo retrospectivo pode envolver muitos dados, mas poucos com informações realmente úteis. Alguns dos dados relevantes podem estar ausentes. Podem haver erros de transcrição resultando em valores não usuais. Dados sobre outros fatores importantes podem não ter sido coletados e arquivados. 19

87 Em geral, Estudo retrospectivo pode envolver muitos dados, mas poucos com informações realmente úteis. Alguns dos dados relevantes podem estar ausentes. Podem haver erros de transcrição resultando em valores não usuais. Dados sobre outros fatores importantes podem não ter sido coletados e arquivados. Análises estatísticas de dados históricos algumas vezes identificam fenômenos interessantes, mas explicações sólidas e confiáveis destes fenômenos são frequentemente difíceis de serem obtidas. 19

88 1-2.2 Estudo observacional 20

89 1-2.2 Estudo observacional O engenheiro observa o processo ou população, perturbando o sistema minimamente, anotando as quantidades de interesse. 20

90 1-2.2 Estudo observacional O engenheiro observa o processo ou população, perturbando o sistema minimamente, anotando as quantidades de interesse. Como tais estudos são usualmente conduzidos em um curto período de tempo, algumas vezes variáveis que não são medidas rotineiramente podem ser incluídas. 20

91 1-2.2 Estudo observacional O engenheiro observa o processo ou população, perturbando o sistema minimamente, anotando as quantidades de interesse. Como tais estudos são usualmente conduzidos em um curto período de tempo, algumas vezes variáveis que não são medidas rotineiramente podem ser incluídas. No exemplo da coluna de destilação, o engenheiro elaboraria um formulário para registrar as duas temperaturas e a taxa de refluxo quando as medidas de concentração de acetona são feitas. 20

92 1-2.2 Estudo observacional O engenheiro observa o processo ou população, perturbando o sistema minimamente, anotando as quantidades de interesse. Como tais estudos são usualmente conduzidos em um curto período de tempo, algumas vezes variáveis que não são medidas rotineiramente podem ser incluídas. No exemplo da coluna de destilação, o engenheiro elaboraria um formulário para registrar as duas temperaturas e a taxa de refluxo quando as medidas de concentração de acetona são feitas. É possível ainda medir as concentrações na entrada, de modo que o impacto destr fator pode ser medido. 20

93 1-2.2 Estudo observacional O engenheiro observa o processo ou população, perturbando o sistema minimamente, anotando as quantidades de interesse. Como tais estudos são usualmente conduzidos em um curto período de tempo, algumas vezes variáveis que não são medidas rotineiramente podem ser incluídas. No exemplo da coluna de destilação, o engenheiro elaboraria um formulário para registrar as duas temperaturas e a taxa de refluxo quando as medidas de concentração de acetona são feitas. É possível ainda medir as concentrações na entrada, de modo que o impacto destr fator pode ser medido.. Em geral, um estudo observacional tende a resolver os problemas 1 e 2, mas podem não resolver 3 e 4. 20

94 1-2.3 Experimento projetado 21

95 1-2.3 Experimento projetado O engenheiro faz mudanças nas variáveis controláveis do sistema ou processo, observa os dados de saída resultantes do sistema e então faz uma inferência ou decisão sobre que variáveis são responsáveis pelas observadas mundanças na performance de saída. 21

96 1-2.3 Experimento projetado O engenheiro faz mudanças nas variáveis controláveis do sistema ou processo, observa os dados de saída resultantes do sistema e então faz uma inferência ou decisão sobre que variáveis são responsáveis pelas observadas mundanças na performance de saída. Em geral, quando produtos e processos são planejados e desenvolvidos com experimentos projetados, eles tendo uma melhor performance, maior confiabilidade e menores custos totais. 21

97 1-2.3 Experimento projetado O engenheiro faz mudanças nas variáveis controláveis do sistema ou processo, observa os dados de saída resultantes do sistema e então faz uma inferência ou decisão sobre que variáveis são responsáveis pelas observadas mundanças na performance de saída. Em geral, quando produtos e processos são planejados e desenvolvidos com experimentos projetados, eles tendo uma melhor performance, maior confiabilidade e menores custos totais. Hipótese: uma asserção sobre algum aspecto do sistema no qual estamos interessados. 21

98 Exemplo da manufatura do conector de nylon: 22

99 Exemplo da manufatura do conector de nylon: Teste de hipótese: Por exemplo, o engenheiro poderia querer saber se a força média de resistência de um design de 3/32 in poderia exceder a máxima carga esperada para este tipo de aplicação, por exemplo, lb. 22

100 Exemplo da manufatura do conector de nylon: Teste de hipótese: Por exemplo, o engenheiro poderia querer saber se a força média de resistência de um design de 3/32 in poderia exceder a máxima carga esperada para este tipo de aplicação, por exemplo, lb. Teste de hipótese de uma amostra 22

101 Exemplo da manufatura do conector de nylon: Teste de hipótese: Por exemplo, o engenheiro poderia querer saber se a força média de resistência de um design de 3/32 in poderia exceder a máxima carga esperada para este tipo de aplicação, por exemplo, lb. Teste de hipótese de uma amostra Estudo analítico 22

102 Exemplo da manufatura do conector de nylon: Teste de hipótese: Por exemplo, o engenheiro poderia querer saber se a força média de resistência de um design de 3/32 in poderia exceder a máxima carga esperada para este tipo de aplicação, por exemplo, lb. Teste de hipótese de uma amostra Estudo analítico Teste de hipótese de duas amostras 22

103 Exemplo da manufatura do conector de nylon: Teste de hipótese: Por exemplo, o engenheiro poderia querer saber se a força média de resistência de um design de 3/32 in poderia exceder a máxima carga esperada para este tipo de aplicação, por exemplo, lb. Teste de hipótese de uma amostra Estudo analítico Teste de hipótese de duas amostras Comparação dos conectores de espessura 3/32 e 1/8 in para determinar se o aumento da espessura da parede do conector implica num aumento da força de resistência. 22

104 1-2.4 Observação de processos ao longo do tempo 23

105 1-2.4 Observação de processos ao longo do tempo Frequentemente dados são coletados ao longo do tempo 23

106 1-2.4 Observação de processos ao longo do tempo Frequentemente dados são coletados ao longo do tempo ( horárias Gráfico de pontos temporal (leituras Concentração de acetona 23

107 1-2.4 Observação de processos ao longo do tempo Frequentemente dados são coletados ao longo do tempo ( horárias Gráfico de pontos temporal (leituras Concentração de acetona O gráfico mostra grande variação de concentração, mas não explica a razão 23

108 Gráfico de série temporal fornece mais informação 24

109 Gráfico de série temporal fornece mais informação Desvio do nível médio do processo 24

110 Gráficos no Minitab MTB > name c1 'Strat1' MTB > random 100 'Strat1'; SUBC> normal 0 1. MTB > dotplot c1 MTB > tsplot c1 25

111 26

112 27

113 27

114 Estratégias para conduzir o processo: 1. O funil permanece imóvel e a distância até o alvo é registrada. 2. A primeira bola é lançada e sua localização relativamente ao alvo registrada. O funil é então movido numa direção igual e oposta, numa tentativa de compensar o erro. Tal tipo de ajuste é feito depois que cada bola é lançada. 29

115 30

116 ( simulação ) Resultado em séries temporais 30

117 Os ajustes do funil aumentaram os desvios do alvo. 2 vezes maior com a estratégia 2 O erro para uma bola não fornece qualquer informação sobre o comportamento da próxima bola. Ajustes do funil não diminuem futuros erros. Ao contrário, tendem a fazer com que o funil se mova para mais longe do alvo. Ajustes em processos sujeitos a variações randômicas em geral aumentam a variação do processo 31

118 Variabilidade da distância ao alvo: 2 vezes maior com a estratégia 2 Os ajustes do funil aumentaram os desvios do alvo. O erro para uma bola não fornece qualquer informação sobre o comportamento da próxima bola. Ajustes do funil não diminuem futuros erros. Ao contrário, tendem a fazer com que o funil se mova para mais longe do alvo. Ajustes em processos sujeitos a variações randômicas em geral aumentam a variação do processo 31

119 Variabilidade da distância ao alvo: 2 vezes maior com a estratégia 2 Os ajustes do funil aumentaram os desvios do alvo. O erro para uma bola não fornece qualquer informação sobre o comportamento da próxima bola. Ajustes do funil não diminuem futuros erros. Ao contrário, tendem a fazer com que o funil se mova para mais longe do alvo. Ajustes em processos sujeitos a variações randômicas em geral aumentam a variação do processo Overcontrol ou tampering 31

120 Desvio (shift) de duas unidades introduzido a partir da observação 50 e respectivo ajuste (2 un.) quando um desvio da média é detectado. Ajuste diminuiu o erro Fim da aula 1 32

121 Perturbação não-aleatória afetou o processo Quando aplicar ajustes e em quais quantidades? Use uma carta de controle Variabilidade natural (3 sd) 33

122 Controle de Processo Estatístico : ramo da estatística que faz uso de cartas de controle Indica o ponto onde ação corretiva é necessária no processo 34

123 > s := [stats[random, normald[0]](100)]; > p1 := [seq([i, s[i]], i = )]; > p2 := [[1, 0], seq([i, s[i]-s[i-1]], i = )]; > with(plots); > plot([p1, p2], axes = boxed, color = [red, blue]); Simulação do Experimento de Deming no Maple 35

124 36

125 1-3 Modelos Empíricos e Mecanísticos 36

126 1-3 Modelos Empíricos e Mecanísticos Suponha que queremos medir a corrente através de um fio de cobre, cujas extremidades estão sujeitas a uma diferença de potencial V. 36

127 1-3 Modelos Empíricos e Mecanísticos Suponha que queremos medir a corrente através de um fio de cobre, cujas extremidades estão sujeitas a uma diferença de potencial V. Modelo mecanístico usual: Lei de Ohm 36

128 1-3 Modelos Empíricos e Mecanísticos Suponha que queremos medir a corrente através de um fio de cobre, cujas extremidades estão sujeitas a uma diferença de potencial V. Modelo mecanístico usual: Lei de Ohm Modelo realístico da corrente observada: 36

129 1-3 Modelos Empíricos e Mecanísticos Suponha que queremos medir a corrente através de um fio de cobre, cujas extremidades estão sujeitas a uma diferença de potencial V. Modelo mecanístico usual: Lei de Ohm Modelo realístico da corrente observada: Fontes não modeladas de variabilidade que afetam o sistema 36

130 E 37

131 Alguns engenheiros trabalham com problemas para os quais não há um modelo mecanístico simples ou bem entendido que explique o fenômeno E 37

132 Alguns engenheiros trabalham com problemas para os quais não há um modelo mecanístico simples ou bem entendido que explique o fenômeno Exemplo: Determinar o peso molecular médio E de um polímero 37

133 Alguns engenheiros trabalham com problemas para os quais não há um modelo mecanístico simples ou bem entendido que explique o fenômeno Exemplo: Determinar o peso molecular médio E de um polímero 37

134 Alguns engenheiros trabalham com problemas para os quais não há um modelo mecanístico simples ou bem entendido que explique o fenômeno Exemplo: Determinar o peso molecular médio E viscosidade de um polímero temperatura catalisador Função desconhecida 37

135 Expansão em série de Taylor até primeira ordem: Fonte de variabilidade Modelo empírico Tal modelo usa o conhecimento científico sobre o fenômeno, mas não é construído diretamente a partir de teorias puras de primeiros princípios da teoria molecular. 38

136 Exemplo: Manufatura de Semicondutores O semicondutor acabado é ligado por fios a um suporte. Semiconductor die 39

137 40

138 Variáveis: Resistência à tração z (medida da intensidade da força necessária para romper a conexão) Comprimento do fio Altura do chip (die) 40

139 Variáveis: Resistência à tração z (medida da intensidade da força necessária para romper a conexão) Comprimento do fio Altura do chip (die) Problema: encontrar um modelo relacionando as três variáveis. 40

140 Variáveis: Resistência à tração z (medida da intensidade da força necessária para romper a conexão) Comprimento do fio Altura do chip (die) Problema: encontrar um modelo relacionando as três variáveis. Um modelo mecanístico não é aplicável aqui 40

141 41

142 Gráfico de pontos em Minitab 42

143 Maple Worksheet : mínimos quadrados >L := [[2, 50, 9.95], [8, 110, 24.45], [11, 120, 31.75], [10, 550, 35.00], [8, 295, 25.02], [4, 200, 16.86], [2, 375, 14.38], [2, 52, 9.60], [9, 100, 24.35], [8, 300, 27.50], [4, 412, 17.08], [11, 400, 37.00], [12, 500, 41.95], [2, 360, 11.66], [4, 205, 21.65], [4, 400, 17.89], [20, 600, 69.00], [1, 585, 10.30], [10, 540, 34.93], [15, 250, 46.59], [15, 290, 44.88], [16, 510, 54.12], [17, 590, 56.63], [6, 100, 22.13], [5, 400, 21.15]]: >n := nops(l); 25 >for i to n do x[i] := L[i][1]; y[i] := L[i][2]; z[i] := L[i][3] end do; 25 >err2 := Sum((z[k]-a*x[k]-b*y[k]-c)^2, k = 1.. n): > eqna := diff(value(err2), a) = 0; 4792 a b c = 0 > eqnb := diff(value(err2), b) = 0; a b c = 0 > eqnc := diff(value(err2), c) = 0; 412 a b + 50 c = 0 43

144 Maple Worksheet : mínimos quadrados (cont) > sols := solve({eqnb, eqnc, eqna}, {a, b, c}); {b = , a = , c = } > assign(sols); > with(plots); > p1 := plot3d(a*x+b*y+c, x = , y = ); > p2 := polyhedraplot(l, polyscale =.2, polytype = hexahedron); > display([p1, p2], axes = framed, shading = zhue, scaling = unconstrained); 44

145 > plano := z = a*x+b*y+c; z = x y

146 46

147 Probablilidade 46

148 Probablilidade Já vimos que decisões frequentemente necessitam ser baseadas somente em um subconjunto de objetos selecionados de uma amostra. 46

149 Probablilidade Já vimos que decisões frequentemente necessitam ser baseadas somente em um subconjunto de objetos selecionados de uma amostra. O processo de se partir de uma amostra para se chegar a conclusões sobre uma amostra foi chamado inferência estatística. 46

150 Probablilidade Já vimos que decisões frequentemente necessitam ser baseadas somente em um subconjunto de objetos selecionados de uma amostra. O processo de se partir de uma amostra para se chegar a conclusões sobre uma amostra foi chamado inferência estatística. Exemplo: Consideremos o problema de se estudar a resistividade de uma amostra de 3 wafers semicondutores, selecionados de uma linha de produção. 46

151 Probablilidade Já vimos que decisões frequentemente necessitam ser baseadas somente em um subconjunto de objetos selecionados de uma amostra. O processo de se partir de uma amostra para se chegar a conclusões sobre uma amostra foi chamado inferência estatística. Exemplo: Consideremos o problema de se estudar a resistividade de uma amostra de 3 wafers semicondutores, selecionados de uma linha de produção. Baseados nos dados de resistividade coletados nos 3 wafers da amostra desejamos obter conclusões sobre a resistividade de todos os wafers do lote. 46

152 47

153 Para que a análise seja efetiva, uma análise de quão bem uma amostra representa uma população é necessária. 47

154 Para que a análise seja efetiva, uma análise de quão bem uma amostra representa uma população é necessária. No presente caso: Se o lote contém wafers defeituosos, quão bem a amostra detectará o problema? 47

155 Para que a análise seja efetiva, uma análise de quão bem uma amostra representa uma população é necessária. No presente caso: Se o lote contém wafers defeituosos, quão bem a amostra detectará o problema? Necessitamos quantificar o critério quão bem. 47

156 Para que a análise seja efetiva, uma análise de quão bem uma amostra representa uma população é necessária. No presente caso: Se o lote contém wafers defeituosos, quão bem a amostra detectará o problema? Necessitamos quantificar o critério quão bem. Necessitamos quantificar os riscos das decisões baseadas em amostras. 47

157 Para que a análise seja efetiva, uma análise de quão bem uma amostra representa uma população é necessária. No presente caso: Se o lote contém wafers defeituosos, quão bem a amostra detectará o problema? Necessitamos quantificar o critério quão bem. Necessitamos quantificar os riscos das decisões baseadas em amostras. Como amostras devem ser selecionadas de modo a produzirem decisões com riscos aceitáveis? 47

158 Para que a análise seja efetiva, uma análise de quão bem uma amostra representa uma população é necessária. No presente caso: Se o lote contém wafers defeituosos, quão bem a amostra detectará o problema? Necessitamos quantificar o critério quão bem. Necessitamos quantificar os riscos das decisões baseadas em amostras. Como amostras devem ser selecionadas de modo a produzirem decisões com riscos aceitáveis? Modelos de probabilidade : ajudam a quantificar os riscos envolvidos na inferência estatística, ou seja, riscos envolvidos em feitas todos os dias. 47

159 48

160 Suponhamos que o lote contenha 25 wafers 48

161 Suponhamos que o lote contenha 25 wafers Suponhamos que somente um wafer no lote é defeituoso. Então a amostra poderia detectar ou não este wafer defeituoso. 48

162 Suponhamos que o lote contenha 25 wafers Suponhamos que somente um wafer no lote é defeituoso. Então a amostra poderia detectar ou não este wafer defeituoso. Um modelo de probabilidade, junto com um método para selecionar a amostra, pode ser utilizado para quantificar os riscos. Com base nesta análise o tamanho da amostra pode ser aumentado ou diminuído. 48

163 Suponhamos que o lote contenha 25 wafers Suponhamos que somente um wafer no lote é defeituoso. Então a amostra poderia detectar ou não este wafer defeituoso. Um modelo de probabilidade, junto com um método para selecionar a amostra, pode ser utilizado para quantificar os riscos. Com base nesta análise o tamanho da amostra pode ser aumentado ou diminuído. Interpretação do risco: suponhamos que uma série de lotes, cada um podendo conter um wafer defeituoso é examinado através de amostragem. aleatoriamente 48

164 A proporção de lotes nos quais um wafer defeituoso está incluído na amostra é a probabilidade de que o wafer defeituoso seja detectado. Mais espeficamente: o limite desta proporção quando o número de lotes tende a infinito é a probabilidade de que o wafer defeituoso seja detectado. Um modelo de probabilidade é usado para calcular esta proporção (pois não queremos medir infinitos lotes). 49

165 Termos e conceitos Analytic study Designed experiment Empirical model Engineering method Enumerative study Mechanistic model Observational study Overcontrol Population Probability model Problem-solving method Retrospective study Sample Statistical inference Statistical Process Control Statistical thinking Tampering Variability 50

166 2. Probabilidade 2-1 Espaços amostrais e eventos Experimentos randômicos Espaços amostrais Eventos 2-2 Interpretações de probabilidade Introdução Axiomas de probabilidade 2-3 Regras de adição 2-4 Probabilidade condicional 2-5 Regras de probabilidade total e multiplicação Regra de multiplicação Regra da probabilidade total 2-6 Independência 2-7 Teorema de Bayes 2-8 Variáveis randômicas 51

167 2-1 Espaços amostrais e eventos Experimentos aleatórios Exemplo: Medida da corrente em um fio de cobre 52

168 2-1 Espaços amostrais e eventos Experimentos aleatórios Exemplo: Medida da corrente em um fio de cobre Repetições da medida resultam em variabilidade de resultados devido à influência variáveis não controláveis 52

169 2-1 Espaços amostrais e eventos Experimentos aleatórios Exemplo: Medida da corrente em um fio de cobre Repetições da medida resultam em variabilidade de resultados devido à influência variáveis não controláveis Mudanças de temperatura ambiente Impurezas na composição química do fio Correntes de fuga 52

170 2-1 Espaços amostrais e eventos Experimentos aleatórios Exemplo: Medida da corrente em um fio de cobre Repetições da medida resultam em variabilidade de resultados devido à influência variáveis não controláveis Experimento possui uma componente randômica ou aleatória. Mudanças de temperatura ambiente Impurezas na composição química do fio Correntes de fuga 52

171 2-1 Espaços amostrais e eventos Experimentos aleatórios Exemplo: Medida da corrente em um fio de cobre Repetições da medida resultam em variabilidade de resultados devido à influência variáveis não controláveis Experimento possui uma componente randômica ou aleatória. Mudanças de temperatura ambiente Impurezas na composição química do fio Correntes de fuga Em alguns casos essas variações randômicas não podem ser ignoradas (dependendo de nossos objetivos). 52

172 Objetivos: quantificar e modelar os tipos de variações frequentemente encontrados. Incorporação da variação no nosso pensamento e análises Resultados que não são invalidados pela variação. Modelos e análises: Physical system Measurements Analysis Model 53

173 Incorporação de ruído (entradas não controláveis) no modelo Controlled variables Input System Output Noise variables Um experimento que pode resultar em diferentes resultados, mesmo quando ele é repetido do mesmo modo cada vez, é chamado um experimento aleatório ou randômico. 54

174 Exemplo: Lei de Ohm I = V R + 55

175 56

176 Projeto de um sistema de comunicações A capacidade de informação disponível a indivíduos que usam a rede é uma característica importante no design. 56

177 Projeto de um sistema de comunicações A capacidade de informação disponível a indivíduos que usam a rede é uma característica importante no design. Comunicação de voz : linhas externas suficientes devem ser compradas da companhia telefônica. 56

178 Projeto de um sistema de comunicações A capacidade de informação disponível a indivíduos que usam a rede é uma característica importante no design. Comunicação de voz : linhas externas suficientes devem ser compradas da companhia telefônica. Supondo que cada linha suporta somente uma conversação, quantas linhas devem ser compradas? 56

179 Projeto de um sistema de comunicações A capacidade de informação disponível a indivíduos que usam a rede é uma característica importante no design. Comunicação de voz : linhas externas suficientes devem ser compradas da companhia telefônica. Supondo que cada linha suporta somente uma conversação, quantas linhas devem ser compradas? Se poucas linhas forem compradas, chamadas podem ser postergadas ou perdidas. Se um excessivo número de linhas forem compradas o custo será muito alto. 56

180 Projeto de um sistema de comunicações A capacidade de informação disponível a indivíduos que usam a rede é uma característica importante no design. Comunicação de voz : linhas externas suficientes devem ser compradas da companhia telefônica. Supondo que cada linha suporta somente uma conversação, quantas linhas devem ser compradas? Se poucas linhas forem compradas, chamadas podem ser postergadas ou perdidas. Se um excessivo número de linhas forem compradas o custo será muito alto. Design e desenvolvimente são necessários para satisfazer as demandas dos clientes a um custo competitivo. 56

181 57

182 Um modelo é necessário para o número de chamadas e para a duração das chamadas. 57

183 Um modelo é necessário para o número de chamadas e para a duração das chamadas. Mesmo sabendo que na média as chamadas ocorrem a cada 5 min e que elas duram até 5 min não é suficiente. 57

184 Um modelo é necessário para o número de chamadas e para a duração das chamadas. Mesmo sabendo que na média as chamadas ocorrem a cada 5 min e que elas duram até 5 min não é suficiente. Se as chamadas chegarem em precisamente intervalos de 5 minutos e durarem precisamente 5 min, uma linha telefônica seria, a princípio, suficiente. 57

185 No entanto, uma pequena variação no número de chamadas ou duração resultaria em chamadas bloqueadas. Call Call duration Time Minutes Call Call duration Call 3 blocked Time Minutes 58

186 No entanto, uma pequena variação no número de chamadas ou duração resultaria em chamadas bloqueadas. Call Call duration Time Minutes Call Call duration Call 3 blocked Time Minutes Uma análise de modelos envolvendo variações é fundamental. 58

187 2-1.2 Espaços Amostrais 59

188 2-1.2 Espaços Amostrais Para modelar e analisar um experimento randômico devemos conhecer o conjunto dos possíveis resultados do experimento. 59

189 2-1.2 Espaços Amostrais Para modelar e analisar um experimento randômico devemos conhecer o conjunto dos possíveis resultados do experimento. Definição: O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento randômico é chamado espaço amostral do experimento (S). 59

190 2-1.2 Espaços Amostrais Para modelar e analisar um experimento randômico devemos conhecer o conjunto dos possíveis resultados do experimento. Definição: O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento randômico é chamado espaço amostral do experimento (S). Um espaço amostral é definido com base nos objetivos da análise. 59

191 Exemplo: Exemplo: molde 60

192 Exemplo: Exemplo: molde Problema: selecionar um conector plástico moldado, E medir sua espessura. 60

193 Exemplo: Exemplo: molde Problema: selecionar um conector plástico moldado, E medir sua espessura. Os possíveis valores da espessura dependem da resolução do instrumento de medida e também dos limites superior e inferior da espessura. 60

194 Exemplo: Exemplo: molde Problema: selecionar um conector plástico moldado, E medir sua espessura. Os possíveis valores da espessura dependem da resolução do instrumento de medida e também dos limites superior e inferior da espessura. Espaço de amostragem: reais positivos (valores negativos de espessura não podem ocorrer). 60

195 61

196 Se sabemos que todos os conectores têm espessura entre 10 e 11 mm o espaço amostral pode ser definido como 61

197 Se sabemos que todos os conectores têm espessura entre 10 e 11 mm o espaço amostral pode ser definido como Se o objetivo da análise é saber somente se uma parte particular tem espessura baixa, média ou alta, o espaço amostral será 61

198 Se sabemos que todos os conectores têm espessura entre 10 e 11 mm o espaço amostral pode ser definido como Se o objetivo da análise é saber somente se uma parte particular tem espessura baixa, média ou alta, o espaço amostral será Se o objetivo é saber se a parte está ou não em conformidade com as especificações de fabricação teremos simplesmente 61

199 Espaço de amostragem discreto: conjunto finito ou infinito contável de possibilidades. 62

200 Espaço de amostragem discreto: conjunto finito ou infinito contável de possibilidades. Espaço de amostragem contínuo : possibilidades são representadas por um intervalo, finito ou infinito, dos números reais. 62

201 Espaço de amostragem discreto: conjunto finito ou infinito contável de possibilidades. Espaço de amostragem contínuo : possibilidades são representadas por um intervalo, finito ou infinito, dos números reais. Exemplo 2-2 Dois conectores são selecionados e sua espessura é medida. O espaço de amostragem agora é 62

202 63

203 Se o objetivo da análise é considerar somente se as duas partes estão ou não de acordo com as especificações de fabricação. Então 63

204 Se o objetivo da análise é considerar somente se as duas partes estão ou não de acordo com as especificações de fabricação. Então Se estamos interessados no número de conectores em conformidade na amostra, então 63

205 Se o objetivo da análise é considerar somente se as duas partes estão ou não de acordo com as especificações de fabricação. Então Se estamos interessados no número de conectores em conformidade na amostra, então Consideremos um experimento em que a espessura é medida até que um conector não satisfaça as especificações. Então 63

206 Em experimentos randômicos onde os itens são selecionados de um lote, indicaremos se um item selecionado é ou não substituído antes da próxima seleção. 64

207 Em experimentos randômicos onde os itens são selecionados de um lote, indicaremos se um item selecionado é ou não substituído antes da próxima seleção. Por exemplo, se o lote consiste de 3 itens {a,b,c} e nosso experimento consiste em selecionar dois itens, sem substituição, o espaço de amostragem será representado por 64

208 Em experimentos randômicos onde os itens são selecionados de um lote, indicaremos se um item selecionado é ou não substituído antes da próxima seleção. Por exemplo, se o lote consiste de 3 itens {a,b,c} e nosso experimento consiste em selecionar dois itens, sem substituição, o espaço de amostragem será representado por 64

209 Em experimentos randômicos onde os itens são selecionados de um lote, indicaremos se um item selecionado é ou não substituído antes da próxima seleção. Por exemplo, se o lote consiste de 3 itens {a,b,c} e nosso experimento consiste em selecionar dois itens, sem substituição, o espaço de amostragem será representado por Ordem é mantida 64

210 Em experimentos randômicos onde os itens são selecionados de um lote, indicaremos se um item selecionado é ou não substituído antes da próxima seleção. Por exemplo, se o lote consiste de 3 itens {a,b,c} e nosso experimento consiste em selecionar dois itens, sem substituição, o espaço de amostragem será representado por Ordem é mantida Se o ordenamento não for necessário, 64

211 Se os itens selecionados são substituídos antes do próximo, o espaço de amostragem é dado por 65

212 Se os itens selecionados são substituídos antes do próximo, o espaço de amostragem é dado por 65

213 Se os itens selecionados são substituídos antes do próximo, o espaço de amostragem é dado por Se o ordenamento não for necessário, 65

214 Se os itens selecionados são substituídos antes do próximo, o espaço de amostragem é dado por Se o ordenamento não for necessário, 65

215 Algumas vezes não é necessário especificar o exato item selecionado, mas somente uma propriedade do item. 66

216 Algumas vezes não é necessário especificar o exato item selecionado, mas somente uma propriedade do item. Exemplo: Suponha que há 5 partes defeituosas e 95 partes boas em um lote. Para estudar a qualidade do lote, dois itens são selecionados, sem substituição. 66

217 Algumas vezes não é necessário especificar o exato item selecionado, mas somente uma propriedade do item. Exemplo: Suponha que há 5 partes defeituosas e 95 partes boas em um lote. Para estudar a qualidade do lote, dois itens são selecionados, sem substituição. Notação: b : parte boa d : parte defeituosa 66

218 Algumas vezes não é necessário especificar o exato item selecionado, mas somente uma propriedade do item. Exemplo: Suponha que há 5 partes defeituosas e 95 partes boas em um lote. Para estudar a qualidade do lote, dois itens são selecionados, sem substituição. Notação: b : parte boa d : parte defeituosa É possível que seja suficiente descrever o espaço de amostragem (ordenado) em termos da qualidade de cada parte selecionada como 66

219 Algumas vezes não é necessário especificar o exato item selecionado, mas somente uma propriedade do item. Exemplo: Suponha que há 5 partes defeituosas e 95 partes boas em um lote. Para estudar a qualidade do lote, dois itens são selecionados, sem substituição. Notação: b : parte boa d : parte defeituosa É possível que seja suficiente descrever o espaço de amostragem (ordenado) em termos da qualidade de cada parte selecionada como Nota: esta descrição do espaço de amostragem não mostra que há muito mais pares bb que dd, por exemplo. Isso será levado em conta quando computarmos as probabilidades mais tarde. 66

220 Se houver somente uma parte defeituosa no lote, o espaço de amostragem seria 67

221 Se houver somente uma parte defeituosa no lote, o espaço de amostragem seria 67

222 Diagramas de árvores Exemplo 2-3 Cada mensagem em um sistema de comunicação digital é classificada de acordo com fato dela ser ou não recebida dentro de um tempo especificado no design do sistema. Espaço de amostragem: l - late t - on time 68

223 Árvore do espaço de amostragem Message 1 on time late Message 2 on time late on time late Message 3 on time late on time late on time late on time late 69

224 Exemplo 2.4 Um fabricante de automóveis fornece veículos com opções selecionadas. Cada veículo pode ter as seguintes opções: 70

225 Exemplo 2.4 Um fabricante de automóveis fornece veículos com opções selecionadas. Cada veículo pode ter as seguintes opções: Com ou sem transmissão automática Com ou sem ar-condicionado Uma de três opções de equipamento de som Uma de quatro opções de cor exterior 70