Cálculo das Probabilidades II

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1 Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Estatística Cálculo das Probabilidades II Prof: Mariane Branco Alves 2006 Mariane Branco Alves - Todos os direitos reservados.

2 Reserve tempo à reflexão. O menor detalhe pode ser o mais essencial. SHERLOCK HOLMES (trecho de "A Aventura do Círculo Vermelho", Sir Arthur Connan Doyle)

3 Sumário 1 Revisão de Conceitos Fundamentais em Probabilidade Interpretações de Probabilidade e Definição Axiomática Definição Axiomática Probabilidade Condicional e Independência Regra da Multiplicação Regra da Probabilidade Total Teorema de Bayes Independência Exercícios 11 2 Variáveis Aleatórias Discretas Introdução Alguns Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Discretas Uniforme Bernoulli(p) Binomial(n,p) Hipergeométrica(N,n,r) Geométrica(p) Pascal(r,p) ou Binomial Negativa(r,p) Poisson(λ) Momentos de Variáveis Aleatórias Discretas Exercícios 24 3 Variáveis Aleatórias Contínuas Introdução Alguns Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Contínuas Uniforme Contínua(a,b) Normal(µ,σ 2 ) Exponencial(λ) Gama(α, λ) Qui-quadrado(n) Beta(α, β) Weibull(α, λ) T de Student(k) F de Fisher-Snedcor(d 1,d 2 ) 41 3

4 SUMÁRIO Momentos de Variáveis Aleatórias Contínuas Exercícios 43 4 Funções de Variáveis Aleatórias Distribuição de Y = h(x) Caso1: X é variável aleatória discreta e Y = h(x) é variável aleatória discreta Caso2: X é variável aleatória contínua e Y = h(x) é variável aleatória discreta Caso3: X é variável aleatória contínua e Y = h(x) é variável aleatória contínua Esperança de Y = h(x) Exercícios 51 5 Funções Geratrizes de Momentos Introdução Uso de M X (t) para determinação dos momentos de X Propriedades da Função Geratriz de Momentos Uso de Funções Geratrizes de Momentos para a Determinação de Propriedades Reprodutivas Exercícios 57

5 CAPÍTULO 1 Revisão de Conceitos Fundamentais em Probabilidade 1.1 Interpretações de Probabilidade e Definição Axiomática Definição 1.1. : Um experimento que pode fornecer diferentes resultados, se repetido essencialmene sob as mesmas condições, é dito experimento aleatório. Notação: ε Definição 1.2. O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório ε é denominado espaço amostral de ε. Notação: Ω Definição 1.3. Um evento é um subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Notação: letras maiúsculas. Definição 1.4. Dois evento A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos ou mutuamente excludentes se A B = /0. Objetivo: Atribuir um número real a cada evento o qual avaliará quão verossímil será a ocorrência de A quando o experimento for realizado. Este número será a probabilidade associada ao evento A. Freqüentista: A probabilidade associada a um evento é dada pela freqüência relativa com que tal evento ocorreria, caso o experimento aleatório fosse repetido um grande número de vezes, sob as mesmas condições. Críticas: Quão grande deve ser o número de repetições do experimento aleatórios? Na prática, só seria aplicável a experimentos dos quais se possa fazer um grande número de repetições. Clássica: Se um espaço amostral Ω é composto por n resultados igualmente verossímeis, então a probabilidade associada a cada resultado é 1/n. Se o evento A é formado por n A resultados, então P(A) = n A n. Críticas: A definição é circular Como calcular probabilidades o espaçamostral não é finito ou não tem elementos equiprováveis? 5

6 1.1 INTERPRETAÇÕES DE PROBABILIDADE E DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA 6 Subjetiva: A probabilidade que cada pessoa atribui a um evento é uma representação de suas crenças sobre o processo estudado, baseado em sua informação prévia sobre este processo. Críticas: Garantir a consistência e ausência de contradições nas atribuições subjetivas para problemas complexos é difícil. Pessoas diferentes podem fazer atribuições diferentes Definição Axiomática Definição 1.5. Seja ε um experimento aleatório e Ω o espaço amostral associado a ε. A distribuição de probabilidades ou, simplesmente, probabilidade em Ω é uma especificação de números P(.) que satisfazem a: (i) Para qualquer evento A, P(A) 0 (ii) P(Ω) = 1 (iii) Para qualquer seqüência de eventos disjuntos A 1,A 2,, ( ) P = P(A i ). i=1 i=1 Decorrem dos axiomas (i), (ii) e (iii) as seguintes propriedades (demonstrar!): P.1: P(/0) = 0. P.2: Para qualquer seqüência de n eventos disjuntos A 1,A 2,,A n : ( ) n n P = P(A i ). i=1 i=1 P.3: Se A c é o evento complementar a A, então P(A c ) = 1 P(A), A. P.4: A,0 P(A) 1. P.5: Se A B, então P(A) P(B). P.6: Para quaiquer dois eventos A e B, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Extensão: Sejam A 1,A 2,,A n eventos quaisquer. Então: ) P ( n i=1 = n i=1 P(A i ) P(A i A j ) + P(A i A j A k ) + i< j i< j<k

7 1.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA Probabilidade Condicional e Independência Exemplo 1.1. ε : Lançamento de um dado não-viciado Ω = {1,2,3,4,5,6}. Seja o evento A: resultado 6 A = {6}. Como o espaço amostral é finito, com elementos equiprováveis, então: P(A) = n A n = 1 6. Seja, agora, o evento B: resultado par B = {2,4,6}. A probabilidade de que o resultado seja 6, uma vez que se saiba que o resultado é par, é 1 6. Definição 1.6. A probabilidade condicional de um evento A, dado um evento B, é: P(A B) = No exemplo anterior, tem-se: P(A B), se P(B) > 0. (1.1) P(B) P(A B) = n A B n n Bn = n A B n B = 1 6, pois (A B) = {6} Regra da Multiplicação De (1.1) tem-se, diretamente, que: P(A B) = P(B)P(A B) = P(A)P(B A) (1.2) Regra da Probabilidade Total Definição 1.7. Uma coleção de eventos A 1,A 2,,A n forma uma partição do espaço amostral Ω se os eventos A i s são disjuntos (A i A j = /0, i j) e exaustivos ( n i=1 A i = Ω).

8 1.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 8 Sejam A 1,A 2,,A n eventos formando uma partição do espaço amostral Ω e B um evento qualquer em Ω. Então: P(B) = P[{B A 1 } {B A 2 } {B A n }] disj. = P(B A 1 ) + P(B A 2 ) + P(B A n ) (1.2) = P(B A 1 )P(A 1 ) + + P(B A n )P(A n ) (1.3) Teorema de Bayes Sejam A 1,A 2,,A n eventos formando uma partição do espaço amostral Ω, B um evento qualquer em Ω e suponha conhecidas P(B A i ) e P(A i ), i = 1,2, n. Então: P(A j B) (1.1) = P(A j B) P(B) (1.2) = P(B A j)p(a j ) P(B) (1.3) = P(B A j )P(A j ) P(B A 1 )P(A 1 ) + + P(B A n )P(A n ) (1.4) Exercício: Um certo item é produzido exclusivamente em uma das unidades de uma fábrica: I, II ou III. Sabe-se que o volume de produção da unidade I é o dobro da unidade II e que II e III têm volumes iguais de produção. Ainda, são defeituosos: 2% dos produtos fabricados na unidade I, 2% dos fabricados na unidade II e 4% dos fabricados na unidade III. Se todos os itens são armazenados em um depósito comum e seleciona-se um item ao acaso: (a) qual é a probabilidade de que seja defeituoso? (b) qual é a probabilidade de que tenha sido produzido na fábrica I, se é defeituoso? (c) qual é a probabilidade de que tenha sido produzido na fábrica I, se não é defeituoso? Independência Definição 1.8. Dois eventos A e B são ditos independentes se P(A B) = P(A) P(B). (1.5)

9 1.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 9 Observe-se que se A e B são independentes, então, de (1.1) tem-se que: P(A B) P(A B) = P(B) P(A B) P(B A) = P(A) (1.5) = (1.5) = P(A) P(B) = P(A) P(B) P(A) P(B) = P(B) (1.6) P(A) Exemplo 1.2. ε: Lançamento simultâneo de um dado e uma moeda, ambos não-viciados. Ω = {(CA,1)(CA,2)(CA,3)(CA,4)(CA,5)(CA,6)(CO,1)(CO,2)(CO,3)(CO,4)(CO,5) (CO,6)}. Sejam os eventos: A : {(6,CA),(6,CO)}: resultado 6 B : {(2,CA),(2,CO),(4,CA),(4,CO),(6,CA),(6,CO)}: resultado par C : {(CO,1),(CO,2),(CO,3),(CO,4),(CO,5),(CO,6)}: resultado coroa. Como o espaço amostral é finito e com elementos equiprováveis, tem-se: P(A) = n A n = 2 12 = 1 6 P(A B) = P(A B) P(B) = n A B n n Bn = n A B n B = 2 6 = 1 3 P(A), A e B são dependentes. P(A C) = P(A C) P(C) = n A C n n Cn = n A C n C = 1 6 = 1 6 = P(A), A e C são independentes. Importante: Disjunção Independência: Em geral, eventos disjuntos são it dependentes, a menos que a probabilidade de pelo menos um deles seja nula. Prova: Suponha que A e B sejam disjuntos. Então P(A B) = 0. Se, além de disjuntos, forem independentes, então P(A B) = P(A) P(B), o que implica que P(A) = 0 ou P(B) = 0 ou ambas.

10 1.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA 10 Obs: A informação de independência entre eventos interfere no cálculo de probabilidades de interseções. A informação de disjunção entre eventos interfere na forma como são calculadas probabilidades de uniões Exemplo 1.3. Calculando probabilidades para eventos associados a espaços amostrais em que os elementos não são equiprováveis. ε : Selecionam-se, aleatoriamente, 4 pessoas e verifica-se a condição doente ou sadio para cada uma. Hipóteses: Assuma que haja independência entre os indivíduos e que a probabilidade de que qualquer indivíduo seja sadio é p. Seja o evento: A: Dois indivíduos, entre os 4 observados, são sadios. Denote-se por: S: indivíduo sadio ("sucesso") F: indivíduo doente ("fracasso"). Determine P(A). Espaço amostral e probabilidade associada a cada um de seus elementos: i w i P(w i ) 1 FFFF P(w 1 ) = P(F 1 F 2 F 3 F 4 ) ind = P(F 1 )P(F 2 )P(F 3 )P(F 4 ) = (1 p) 4 2 SFFF P(w 2 ) = P(S 1 F 2 F 3 F 4 ) ind = P(S 1 )P(F 2 )P(F 3 )P(F 4 ) = p(1 p) 3 3 FSFF P(w 3 ) = P(F 1 S 2 F 3 F 4 ) ind = P(F 1 )P(S 2 )P(F 3 )P(F 4 ) = p(1 p) 3 4 FFSF P(w 4 ) = P(F 1 F 2 S 3 F 4 ) ind = P(F 1 )P(F 2 )P(S 3 )P(F 4 ) = p(1 p) 3 5 FFFS P(w 5 ) = P(F 1 F 2 F 3 S 4 ) ind = P(F 1 )P(F 2 )P(F 3 )P(S 4 ) = p(1 p) 3 6 SSFF P(w 6 ) = P(S 1 S 2 F 3 F 4 ) ind = P(S 1 )P(S 2 )P(F 3 )P(F 4 ) = p 2 (1 p) 2 7 SFSF P(w 7 ) = P(S 1 F 2 F 3 F 4 ) ind = P(S 1 )P(F 2 )P(S 3 )P(F 4 ) = p 2 (1 p) 2 8 SFFS P(w 8 ) = P(S 1 F 2 F 3 S 4 ) ind = P(S 1 )P(F 2 )P(F 3 )P(S 4 ) = p 2 (1 p) 2 9 FSSF P(w 9 ) = P(F 1 S 2 S 3 F 4 ) ind = P(F 1 )P(S 2 )P(S 3 )P(F 4 ) = p 2 (1 p) 2 10 FSFS P(w 10 ) = P(F 1 S 2 F 3 S 4 ) ind = P(F 1 )P(S 2 )P(F 3 )P(S 4 ) = p 2 (1 p) 2 11 FFSS P(w 11 ) = P(F 1 F 2 S 3 S 4 ) ind = P(F 1 )P(F 2 )P(S 3 )P(S 4 ) = p 2 (1 p) 2 12 FSSS P(w 12 ) = P(F 1 S 2 S 3 S 4 ) ind = P(F 1 )P(S 2 )P(S 3 )P(S 4 ) = p 3 (1 p) 13 SFSS P(w 13 ) = P(S 1 F 2 S 3 S 4 ) ind = P(S 1 )P(F 2 )P(S 3 )P(S 4 ) = p 3 (1 p) 14 SSFS P(w 14 ) = P(S 1 S 2 F 3 S 4 ) ind = P(S 1 )P(S 2 )P(F 3 )P(S 4 ) = p 3 (1 p) 15 SSSF P(w 15 ) = P(S 1 S 2 S 3 F 4 ) ind = P(S 1 )P(S 2 )P(S 3 )P(F 4 ) = p 3 (1 p) 16 SSSS P(w 16 ) = P(S 1 S 2 S 3 S 4 ) ind = P(S 1 )P(S 2 )P(S 3 )P(S 4 ) = p 4

11 1.3 EXERCÍCIOS 11 Finalmente, P(A) = P(w 6 w 7 w 8 w 9 w 10 w 11 ) dis j. = 11 i=6 P(w i ) = 6p 2 (1 p) 2. Questão: E se desejássemos determinar P(A), mas agora com base em uma amostra de tamanho 50? Obviamente o espaço amostral Ω torna-se mais complexo e, portanto, o cálculo de probabilidades diretamente em Ω fica mais difícil. Muitas vezes, o espaço amostral sequer é finito!! Solução: Tratamento das quantidades de interesse em ε e reconhecimento de leis de formação no cálculo de probabilidades. 1.3 Exercícios 1. Determine um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: a) Investigam-se famílias com 4 crianças, anotando-se a configuração segundo o sexo. b) Numa entrevista telefônica com 250 assinantes, pergunta-se se o proprietário tem ou não máquina de secar roupa. c) Mede-se a duração de lâmpadas, deixanso-as acesas até que queimem. d) Um fichário com 10 nomes contém 3 nomes de mulheres. Seleciona-se ficha após ficha, até o último nome de mulher ser selecionado e anota-se o número de fichas selecionadas. e) De um grupo de 5 pessoas {A,B,C,D,E} sorteiam-se duas, uma após a outra, com reposição, e anota-se a configuração formada. f) Idem, considerando sorteio sem reposição. 2. Expresse em termos de operações entre eventos: a) A ocorre, mas B não ocorre. b) Exatamente um dos eventos A e B ocorre. c) Nenhum dos eventos A e B ocorrem. 3. Na figura 1 (ao final da lista), temos um sistema com três componentes funcionando independentemente, com confiabilidades (probabilidades de funcionamento) p 1, p 2 e p 3. Obtenha a confiabilidade do sistema. 4. Na tabela a seguir, os números que aparecem são as probabilidades das interseções entre os eventos em questão. Verifique se A e B são independentes.

12 1.3 EXERCÍCIOS Supondo que todos os componentes do sistema representado na figura 2 (ao final da lista) tenham confiabilidade p e funcionem independentemente, obtenha a confiabilidade do sistema. 6. Uma companhia produz circuitos integrados em três fábricas: I, II e III. A fábrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III produzem 30% cada uma. As probabilidades de que um circuito integrado produzido por estas fábricas não funcione são 0,01,0,04 e 0,03, respectivamente. a) Escolhido um circuito na produção conjunta das três fábricas, qual é a probabilidade de não funcionar? b) Caso o circuito escolhido não funcione, qual é a probabilidade de ter sido fabricado por I? c) Caso o circuito escolhido funcione, qual é a probabilidade de ter sido fabricado por I? 7. Uma companhia de seguros analisou a freqüência com que 2000 segurados (1000 homens e 1000 mulheres) usaram hospital. Os resultados são apresentados na tabela a seguir: a) Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o hospital? b) O uso do hospital independe do sexo do segurado? 8. Para se estudar o comportamento do mercado automobilístico, as marcas foram divididas em 3 categorias: marca F, marca W e as demais reunidas como marca X. Um estudo sobre os hábitos de mudança de marca mostrou o seguinte quadro de probabilidades:

13 1.3 EXERCÍCIOS 13 O primeiro carro que um indivíduo compra é da marca W com probabilidade 50 a) Qual é a probabilidade de que o terceiro carro de um indivíduo seja da marca W? b) Se o terceiro carro é da marca W, qual é a probabilidade de o primeiro também ter sido W? 9. Mostre que se A e B são eventos independentes, então: P(A B c ) = P(A).P(B c ) e P(A c B c ) = P(A c ).P(B c ). 10. Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,4, P(A B) = 0,7 e P(B) = p. a) Para qual valor de p A e B são disjuntos? b) Para qual valor de p A e B são independentes? 11. Suponha que nos sistemas representados nas figuras 3.a e 3.b, a probabilidade de que cada relé esteja fechado seja p e que a abertura ou fechamento de cada relé independa dos demais. Em cada caso, determine a probabilidade de que a corrente passe de L para R.

14 CAPÍTULO 2 Variáveis Aleatórias Discretas 2.1 Introdução Definição 2.1. Uma variável aleatória é uma função que confere um número real a cada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório: X : Ω R X R w X(w) Se o conjunto R X de valores possíveis de X for finito ou infinito enumerável, X é variável aleatória discreta. Caso contrário, X é variável aleatória contínua. Notação: Variáveis aleatórias são denotadas por letras maiúsculas. Realizações valores observados de variáveis aleatórias são denotados por letras minúsculas Exemplo 2.1. ε : Seleção aleatória de 100 pessoas. Defina as variáveis aleatórias: X: número de pessoas, entre as 100, que possuem uma característica de interesse. R X = {0,1,2,3,,100} finito X é v.a. discreta. Y : proporção de pessoas, entre as 100, que possuem uma característica de interesse. 1 R Y = {0, 100, 2 100, 3 100,,1} finito Y é v.a. discreta. Z: altura de cada uma das 100 pessoas. R Z = R + infinito, não enumerável Z é v.a. contínua. W: Número de pessoa selecionadas, com reposição, entre as 100, até que se encontre uma que tenha a característica de interesse R W = {1,2,3, } infinito, enumerável W é v.a. discreta. Definição 2.2. A função de distribuição acumulada (f.d.a) de uma variável aleatória X é dada por: F X : R [0,1] x F X (x) = P(X x). (2.1) 14

15 2.1 INTRODUÇÃO 15 Definição 2.3. A função de probabilidade (f.p.) de uma variável aleatória discreta X é dada por: e satisfaz a: (i) p X (x) 0, x (ii) R p X (x) = 1. p X : R [0,1] x p X (x) = P(X = x) (2.2) Se X é variável aleatória discreta, então sua f.d.a. á calculada da seguinte forma: F X (x) = P(X x) = p X (x j ). (2.3) x j x A função de distribuição acumula, no caso discreto, tem a forma de função escada, como ilustra a figura 2.1, anulando-se quando x e tendendo a 1 quando x. Ainda, apresenta saltos de magnitude p X (x) e os pontos de descontinuidade são os possíveis valores de X. Figura 2.1 Função de distribuição acumulada de uma variável aleatória discreta Assim como se pode obter a f.d.a. F X (x) a partir da f.p. p X (x), a recíproca também vale: p X (x) = F X (x) F X (x ), F X (x ) = lim x x F X(x). (2.4) Definição 2.4. A coleção de pares [x i, p X (x i )] é denominada distribuição de probabilidades de X.

16 2.2 ALGUNS MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Alguns Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Discretas Exemplo 2.2. Voltemos ao exemplo 1.3. Defina a variável aleatória: X Número de pessoas sadias, entre as 4 selecionadas. Tem-se, então: i w i P(w i ) x 1 FFFF (1 p) SFFF p(1 p) FSFF p(1 p) FFSF p(1 p) FFFS p(1 p) SSFF p 2 (1 p) SFSF p 2 (1 p) SFFS p 2 (1 p) FSSF p 2 (1 p) FSFS p 2 (1 p) FFSS p 2 (1 p) FSSS p 3 (1 p) 3 13 SFSS p 3 (1 p) 3 14 SSFS p 3 (1 p) 3 15 SSSF p 3 (1 p) 3 16 SSSS p 4 4 Portanto, a distribuição de X é: x p X (x) = P(X = x) 0 (1 p) 4 = 1 4p(1 p) 3 = 2 6p 2 (1 p) 2 = 3 4p 3 (1 p) = 4 p 4 = ( ) 4 p 0 0 (1 p) 4 0 ( ) 4 p 1 1 (1 p) 4 1 ( ) 4 p 2 2 (1 p) 4 2 ( ) 4 p 3 3 (1 p) 4 3 ( ) 4 p 4 4 (1 p) 4 4 Ou, resumidamente: p X (x) = ( ) 4 p x (1 p) 4 x, x x = 0,1,2,3,4 = 0, para outros valores de X.

17 2.2 ALGUNS MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 17 Observe que foi possível obter uma lei de formação ou fórmula fechada para ao cálculo das probabilidades associadas a quaisquer valores da variável aleatória X. Tem-se, então, um modelo probabilístico para X. Questão: Sob as mesmas condições anteriores, qual seria a distribuiçào de probabilidade da variável aleatória Y : número de sadios entre 100 pacientes selecionados? Passaremos a descrever, nas subseções a seguir, alguns dos modelos probabilísticos discretos mais usuais Uniforme Suponha um experimento aleatório ε determinado pela seleção aleatória de um valor, entre n valores possíveis, com espaço amostral Ω = {a 1,a 2,,a n }. Seja X a variável aleatória que indica o valor selecionado. X : Ω R X = {x 1,x 2,,x n } w X(w) Note-se que, em geral, nesse caso, X é a função identidade, levando cada elemento do espaço amostral, a i, a x i = a i. Diz-se que a variável aleatória discreta X tem distribuição Uniforme se os n possíveis valores de X, R X = {x 1,x 2,,x n } ocorrem todos com mesma probabilidade. Portanto, a função de probabilidade de X é: { 1n, x = x p X (x) = 1,x 2,,x n 0, c.c. (2.5) Notação: X U{x 1,x 2,,x n } Bernoulli(p) Suponha um experimento aleatório ε dado pela seleção aleatória de um elemento, que pode ser "sucesso" (S, com probabilidade p) ou "fracasso" (F, com probabilidade 1 p, tendo-se, portanto, espaço amostral Ω = {S,F}. Seja X a variável aleatória indicadora de sucesso, isto é,. { 1, se ocorre sucesso X = 0, c.c. X : Ω R X = {1,0} w X(w)

18 2.2 ALGUNS MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 18 A função de probabilidade de X é: { p p X (x) = x (1 p) 1 x, x = 0,1 0, c.c. (2.6) Notação: X Ber(p) Binomial(n,p) Seja o experimento aleatório ε composto por n repetições de ensaios de Bernoulli independentes, todos com probabilidade de "sucesso" p, resultantes da seleção aleatória e com reposição de n elementos de uma população com tamanho qualquer. O espaço amostral associado a ε pode ser escrito como Ω = {a 1,a 2,,a n : a i = S ou F}. Denote por X variável aleatória que representa o número de sucessos observados nas n repetições. A função de probabilidade de X é: X : Ω R X = {0,1,2,,n} w X(w) ( ) n p p X (x) = x x (1 p) n x, x = 0,1,2,,n 0, c.c. (2.7) Notação: X Bin(n, p) Obs: X Bin(1, p) X Ber(p) Hipergeométrica(N,n,r) Adimita agora que o experimento aleatório de interesse, ε, seja composto por n repetições de ensaios de Bernoulli dependentes, todos com probabilidade de "sucesso" N r, resultantes da seleção aleatória e sem reposição de uma amostra de tamanho n, a partir de uma população com N elementos, dos quais r são sucessos. Pode-se, então, representar o espaço amostral do experimento por: Ω = {a 1,a 2,,a n : a i = S ou F,a i a j,i j}. Seja X variável aleatória que registra o número de sucessos nas n repetições. A função de probabilidade de X é: X : Ω R X = {0,1,2,,min(n,r)} w X(w)

19 2.2 ALGUNS MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 19 )( N r ) p X (x) = ( r x ( N n 0, c.c. n x ), x = 0,1,2,,min(n,r) (2.8) Notação: X Hip(N,n,r) Aproximação da Hipergeométrica pela Binomial: As condições do experimento aleatório realizado no modelo Binomial diferem daquelas sob os quais vale o modelo Hipergeométrico apenas quanto à forma de seleção da amosta: com reposição ou sem reposição. Entretanto, se o tamanho da amostra for pequeno em relação à população, dificilmente um mesmo elemento será selecionado mais que uma vez e, portanto, a amostragem com reposição fornece resultados próximos aos da amostragem com reposição. Assim, se, no modelo Hipergeométrico, n < 0,10N X Hip(N,n,r) X Bin ( n, r N ) Geométrica(p) Seja ε o experimento aleatório dado por repetições de ensaios de Bernoulli independentes, todos com probabilidade de "sucesso" p, resultantes da seleção aleatória e com reposição de elementos até obter sucesso, tendo, portanto, espaço amostral: Ω = {S, FS, FFS, }. Defina X como a variável aleatória que representa o número de ensaios de Bernoulli até obter o 1 o sucesso. A função de probabilidade de X é: X : Ω R X = {1,2, } w X(w) { (1 p) p X (x) = x 1 p, x = 1,2, 0, c.c. (2.9) Notação: X Geo(p)

20 2.2 ALGUNS MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 20 Se X Geo(p), então: Propriedade de Falta de Memória da Geométrica: P(X > t + s X > t) = P(X > s) (2.10) Exercício: Demonstre a Propriedade de Falta de Memória da distribuição Geométrica. Dica: use a definição de probabilidade condicional e o fato de que a soma dos termos de uma P.G de razão q: S n = a 1(1 q n ). 1 q Pascal(r,p) ou Binomial Negativa(r,p) Seja o experimento aleatório ε composto por repetições de ensaios de Bernoulli independentes, todos com probabilidade de "sucesso" p, resultantes da seleção aleatória e com reposição de elementos até obter r sucessos. O espaço amostral é dado por Ω = {a 1,a 2,,a k : a k = S e (r 1)dos a i s são S,i < k,k r}. Defina X: a variável aleatória que registra o número de ensaios de Bernoulli até obter r sucessos. A função de probabilidade de X é: X : Ω R X = {r,r + 1, } w X(w) ( x 1 p X (x) = r 1 0, c.c. ) p r (1 p) n r, x = r,r + 1, (2.11) Notação: X Pas(r, p) Obs: X Pas(1, p) X Geo(p) Poisson(λ) Definição 2.5. Um Processo de Poisson é definido pelas seguintes hipóteses: 1. Os números de ocorrências do processo durante intervalos de tempo não-sobrepostos constituem variáveis aleatórias independentes;

21 2.2 ALGUNS MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Se X t é o número de ocorrências do processo no intervalo de [0,t) e Y t é o número de ocorrências do processo no intervalo de [t,t 1 +t), para qualquer t 1 > 0, então as variáveis aleatórias X t e Y t têm a mesma distribuição de probabilidade; 3. Seja p n (t) = P(X t = n). Então p 1 ( t) λ t, se t for suficientemente pequeno, onde λ é uma constante positiva; 4. Para t suficientemente pequeno, k=2 p k( t) 0; 5. X 0 = 0 ou, equivalentemente, p 0 (0) = 1. O Modelo Poisson Seja um experimento aleatório ε satisfazendo as condições do Processo de Poisson e defina X t como a variável aleatória que denota o número de ocorrências do Processo de Poisson em um intervalo qualquer de comprimento t. A função de probabilidade de X t é obtida resolvendo-se uma equação diferencial definida pelas hipóteses (a)-(e) (v. Paul Meyer para demonstração) e dada por: p X t (x) = { e λ t (λ t) x x! x = 0,1, 0, c.c. Alguns exemplos usuais de Processos de Poisson são: (2.12) Número de chamadas chegando a uma central telefônica, durante um período de t instantes; Número de estrelas encontradas em uma parte da Via Láctea com volume t; Número de glóbulos sangüíneos visíveis em um microscópio, por unidade quadrada de área. Exemplo 2.3. Suponha que o número de ligações chegando a uma central telefônica tenha distribuição de Poisson com parâmetro λ= 5 ligações/minuto. Determine: (a) A probabilidade de ocorrerem mais que 2 ligações em 1 minuto (b) Idem, em 10 minutos.

22 2.2 ALGUNS MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 22 Exemplo 2.4. Em um cruzamento com tráfego intenso, a probabilidade de um carro sofre acidente é bastante pequena e estimada como p = Durante certa parte do dia, por exemplo daàs 18:00h, um grande número de carros passa pelo cruzamento, algo como carros. (a) Nessas condições, qual é a probabilidade de que 2 ou mais carros se acidem naquele período? (b) E se o número de carros passando pelo cruzamento for ? (c) E se o número de carros passando pelo cruzamento for ? Aproximação da Binomial(n,p) pela Poisson(np) Teorema 2.1. Seja X Bin(n, p). Então, quando n e p 0, de tal forma que np = λ, a distribuição de Xaproxima-se da Poisson(λ = np) Demonstração: p X (x) = = = ( n x ) p x (1 p) n x, x = 0,1,2,,n n! x!(n x)! px (1 p) n x n(n 1)(n 2) (n x + 1 p x (1 p) n x. (2.13) x! Façamos λ = np. p = λ n. p X (x) = = n(n 1) (n (x 1)) x! ( λ n ) x ( n λ ( n ) ( ) ( ) n 1 n (x 1) λ x n n n x! ( = ) ( 1 n ) (x 1) λ x n x! n ) n x ( ) n n λ n ( ) x n λ n ) n ( n λ n ( n λ n Agora, faça n, de tal forma que np = λ permaneça constante, o que implica que p 0. lim p X(x) = λ x ( n x! lim 1 1 ) n n n = λ x e λ. x! ) x.

23 2.3 MOMENTOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 23 Voltemos ao exemplo 2.4. Aplicando a aproximação, para n = , temos: X a Poisson( } {{ } ) 1 P(X 2) = 1 P(X = 0) P(X = 1) 1 e e = 1 2e 1 = ! 1! 2.3 Momentos de Variáveis Aleatórias Discretas Definição 2.6. O k-ésimo momento de uma variável aleatória X é dado por: µ k = E[X k ] (2.14) Se X é variável aleatória discreta, então seu k-ésimo momento pode ser calculado por: Em particular, E[X] = µ 1 V [X] = E[X 2 ] E 2 [X] = µ 2 µ 2 1 µ k = E[X k ] = x k p X (x) (2.15) x A tabela a seguir resume o valor esperado e a variância de algumas variáveis aleatórias discretas. Distribuição de X E[X] V [X] Bernoulli(p) p p(1 p) Binomial(n, p) np np(1 p) N n Hipergeométrica(N, n, r) np N 1 (p(1 p), p = N r Geométrica(p) 1 p (1 p) p 2 Pascal(r, p) r p r(1 p) p 2 Poisson(λ) λ λ

24 2.4 EXERCÍCIOS Exercícios 1. De um lote que contém 25 peças, das quais 5 são defeituosas, são escolhidas 4 ao acaso. Seja X o número de defeituosas encontradas. Estabeleça a distribuição de probabilidade de X, quando: a) As peças forem escolhidas com reposição; b) As peças forem escolhidas sem reposição. 2. Sabe-se que a v. a. X assume os valores 1, 2 e 3 e que sua f.d.a. F(x) é tal que: F(1) F(1 ) = 1/3; F(2) F(2 ) = 1/6; F(3) F(3 ) = 1/2. Obtenha a distribuição de X, a f.d.a. F(x) de X e seus respectivos gráficos. Obs: F(l ) é o limite de F(x) quando x tende a l pela esquerda. 3. Uma fábrica produz 10 recipientes de vidro por dia. Deve-se supor que exista uma probabilidade constante p = 0, 1 de produzir um recipiente defeituoso. Antes que esses recipientes sejam estocados, eles são inspecionados e e os defeituosos são separados. Admita que exista uma probabilidade constante r = 0,1 de que um recpiente defeituoso seja mal classificado. Faça X igual ao número de recipientes classificados como defeituosos ao fim de um dia de produção. Admita que todos os recipientes fabricados em um dia sejam inspecionados naquele mesmo dia. a) Calcule P(X = 3) e P(X > 3). b) Obtenha a expressão de P(X = k) 4. Uma indústria fabrica peças, das quais 20% são defeituosas. Dois compradores, A e B, classificam as peças adquiridas em categorias I e II, pagando 1,20 u.m. e 0,80 u.m., respectivamente, para cada categoria. A classificação é feita de acordo com os seguintes critérios: Comprador A: Retira uma amostra aleatória de 5 peças. Se encontrar mais que uma defeituosa, classifica como II. Comprador B: Retira uma amostra aleatória de 10 peças. Se encontrar mais que duas defeituosa, classifica como II. a) Determine a função de probabilidade das variáveis aleatórias V A e V B. respectivamente os preços de venda aos compradores A e B. b) Determine a função de distribuição acumulada de V A e V B. c) Em média, qual dos compradores oferece maior lucro? d) Em uma situação de tomada de decisão real, o maior lucro médio (ou esperado) seria suficiente para definir a escolha? Que outros critérios poderiam ser levados em conta? 5. Uma companhia de seguros descobriu que somente cerca de 0,1% da população está incluída em certo tip de acidente a cada ano. Se seus segurados são escolhidos, ao caso, na população; qual é a probabilidade de que não mais que 5 de seus clientes venham a estar incluídos em tal acidente no próximo ano?

25 2.4 EXERCÍCIOS Uma fonte radioativa é observada por 7 intervalos de tempo, cada um com dez segundos de duração. O número de partículas emitidas durante cada período é contado. Suponha que o número de partículas emitidas, X, tenha distribuição de Poisson e que, em média, sejam emitidas 0,5 partículas por segundo. a) Qual é a probabiliadde de que, a cada um dos 7 intervalolos de tempo, 4 ou mais partículas sejam emitidas? b) Qual é a probabilidade de que, em ao menos 1 dos 7 intervalos, 4 ou mais partículas sejam emitidas? 7. A probabilidade de um bem sucedido lançamento de foguete é 0,8. Suponha que tentativas de lançamento sejam feitas até que tenham ocorrido 3 lançamentos bem sucedidos. a) Qual é a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessárias? b) Qual é a probabilidade de que menos de 6 tentativas sejam necessárias? c) Se cada tentativa de lançamento custa u.m. e se um lançamento falho custa 500 u.m. adicionais, determine o custo esperado da operação. d) Suponha agora que as tentativas sejam feitas até que três lançamentos consecutivos sejam bem sucedidos. Responda novamente as perguntas (a) e (b) nesse caso. 8. A probabilidade de que um bit seja transmitido com erro por um canal de transmissão digital é 0,1. Assuma que as transmissões sejam ensaios independentes. a) Seja X o número de bits transmitidos até que ocorra o primeiro erro. Determine a distribuição de X. b) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmissão. c) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmissão, após já se ter observado 3 ensaios, sem que ocorresse erro. d) Determine o número esperado e o coeficiente de variação do número de ensaios até o primeiro erro. O número esperado de ensaior é um bom preditor nesse caso? e) Seja Y o número de transmissões até a ocorrência do quarto erro. Determine a distribuição de Y. f) Determine a probabilidade de se precisar observar no máximo 6 ensaios de transmissão g) Determine o número esperado e o coeficiente de variação do número de ensaios até o quarto erro. 9. O número de navios petroleiros que chegam a uma certa refinaria, a cada dia, tem distribuição Poisson, com parâmetro λ = 2. As atuais instalações do porto podem atender a três petroleiros por dia. Se mais de três petroleiros aportarem por dia, os excedentes a três deverão seguir para outro porto. a) Em um dia, qual é a probabilidade de se ter de mandar petroleiros a outro porto?