2 (UnB-DF) Qual o número de lados das faces de um poliedro regular com 20 vértices e 30 arestas? 5 lados Resolução:

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1 esolução ds tividdes comlementes Mtemátic M7 Sólidos Geométicos. 80 (MK-SP) Detemine o númeo de vétices de um oliedo que tem tês fces tingules, um fce qudngul, um entgonl e dus exgonis. 0 F F 7???? 6 0 F 7 0 (Un-DF) Qul o númeo de ldos ds fces de um oliedo egul com 0 vétices e 0 ests? ldos F 0 0 F F F? n? n 0 n ldos Em questões como, esost é dd el som dos númeos que identifi s ltentivs coets. (UFS) Ddo o oliedo egul, é coeto fim: (0) É um tetedo. (08) Oedece à elção de Eule. (0) É um octedo. (6) Sus fces são tiângulos eqüiláteos. (0) Tods s ests são iguis. () Tem ests. esost: 6 (0) Fls, ois o oliedo tem oito fces. São coets s fimtivs,, 8, 6 e, somndo 6. (F-SP) Num oliedo convexo, o númeo de ests excede o númeo de vétices em 6 uniddes. lcule o númeo de fces. 8 fces F 6 ( 6) F 6 F F 8 O oliedo ossui 8 fces.

2 (PU-S) Um oliedo convexo tem cinco fces tingules e tês entgonis. O númeo de ests e o númeo de vétices desse oliedo são, esectivmente: ) 0 e 0 c) 0 e 8 e) e 9 ) 0 e d) e fces tingules F 8 fces entgonis?? F Num ulicção científic de 98, foi divulgd descoet de um molécul tidimensionl de cono, n qul os átomos ocum os vétices de um oliedo convexo cujs fces são entágonos e 0 exágonos egules, como num ol de futeol. Em omengem o quiteto note-meicno uckminste Fulle, molécul foi denomind fuleeno. Detemine o númeo de átomos de cono ness molécul e o númeo de ligções ente eles. molécul ossui 60 átomos e 90 ligções. Sendo o númeo de átomos e o númeo de ligções ente eles: fce entgonl:? 60 ligções fce exgonl: 0? 6 0 ligções omo cd est (ligção) foi contd dus vezes: O númeo de átomos (vétices) ode se otido el elção de Eule. F molécul ossui 60 átomos e 90 ligções. 7 (UFPel-S) Qundo João entou n sl do ofesso, fez um osevção soe elez do ojeto de vido que estv soe os éis do meste. Este, não esistindo à tentção de oo um olem, ccteístic do mtemático, esentou o luno seguinte questão: lcule o númeo de ests e de vétices deste eso de el, que é um oliedo convexo de 6 (seis) fces qudngules e (dus) exgonis. esond à questão oost no texto cim. 8 ests e vétices F 6 8 6?? 6 8 F 8 8 O oliedo tem 8 ests e vétices.

3 8 Um oliedo convexo tem como fces exágonos egules e 6 quddos. Sendo que tods s ests desse oliedo medem, detemine áe totl d suefície desse oliedo. ( ) Sexágono 6? S S 6 quddo S S S S S t t 6? 6? ( ) 9 Sendo que s ests medem cd um, detemine áe totl d suefície dos seguintes oliedos: ) exedo egul 96 ) icosedo egul 80 ) o exedo ossui 6 fces qudds S t 6? 96 ) o icosedo ossui 0 fces tingules S t 0? 80 0 (Fuvest-SP) O númeo de fces tingules de um iâmide é. Pode-se, então, fim que ess iâmide ossui: ) vétices e ests c) vétices e ests e) vétices e ests ) vétices e ests d) vétices e ests Se iâmide ossui fces tingules, então su se é um olígono de ldos. Logo, F e. F (esgnio-j) Um oliedo convexo é fomdo o quto fces tingules, dus fces qudngules e um fce exgonl. O númeo de vétices desse oliedo é: ) 6 c) 8 e) 0 ) 7 d) 9 F F 7??? 6 F 7 8

4 (PU-P) Um oliedo convexo tem sete fces. De um dos seus vétices tem seis ests e de cd um dos vétices estntes tem tês ests. Qunts ests tem esse oliedo? ) 8 c) e) 6 ) 0 d) F 7 () F )? 6 ( () De () e (), temos: ( ). 9 (UFPE) Um fomig (ignoe seu tmno) encont-se no vétice do leleíedo eto ilustdo o ldo. Qul meno distânci que el ecis ecoe ceg o vétice (inndo soe suefície do leleíedo)? meno distânci ente e é qundo tçmos um segmento no lno, ou sej, lnificndo cix (UFP) Num ism egul de se exgonl, áe ltel mede 6 m e ltu é m. est d se é: ) m c) 6 m e) 0 m ) m d) 8 m m S 6 m S 6?? 6 6?? m

5 (UF) s dimensões de um leleíedo etângulo são oocionis, e 7. Sendo que digonl mede 8, clcule o volume do leleíedo. 670?? c c 7 k k; k e c 7k D c 8 (k) (k) (7k) 8 8k 8 k 8 k ; 0 e c 8? 0? (FG-SP) Um quiteto tem dois ojetos constução de um iscin etngul com m de ofundidde: Pojeto : dimensões do etângulo: 6 m m Pojeto : dimensões do etângulo: 0 m 0 m Sendo que s edes lteis e o fundo são evestidos de zulejos cujo eço é $ 0,00 o meto quddo: ) qul deses com zulejos em cd ojeto? : $ 80,00 e : $ 000,00 ) se áe do etângulo fo de 00 m e x um de sus dimensões, exesse o custo dos zulejos em função de x c 000 0x x ) ojeto : (6?? ) 6? 8 m deses 8? 0 deses $ 80,00 ojeto : (0? 0? ) 0? 0 00 m deses 00? 0 deses $ 000,00 ) x? y 00 y 00 x St 00 x? 00 (? 00 x x ) custo 00 x 800 (? x x ) 800 x x. 9 7 Um de cocolte tem o fomto d figu o ldo. lcule o volume de cocolte contido ness. Use,7. 8,0 S? S? 8,0 ( )?? S

6 8 (UEPG-P) s medids intens de um cix-d águ em fom de leleíedo etângulo são:, m, m e 0,7 m. Su ccidde é de: ) 800, c) 80, e) n.d.. ) 8, d) 8,,, m dm?? c? 0? 7 80 m 0 dm 80 dm 80 0,7 m 7 dm 9 (Unes-SP) áe d suefície d Te é estimd em km. Po outo ldo, estimse que, se todo o vo de águ d tmosfe teeste fosse condensdo, o volume de líquido esultnte sei de 000 km. Imginndo que tod ess águ fosse colocd no inteio de um leleíedo etângulo, cuj áe d se fosse mesm d suefície d Te, medid que mis se oxim d ltu que o nível d águ lcnçi é: ), mm c), e) 0, km ), d), m S km 000 km S? ? 0,0000 km, 0 (Un-DF) figu o ldo ilust lguns degus de um escd de conceto. d degu é um ism tingul eto de dimensões, 0 e 60. Se escd tem 0 degus, qul o volume (em decímetos cúicos) do conceto usdo constui escd? 70 dm olume de cd degu S? 0? S S? 60 00, dm olume de conceto usdo 0?, 70 dm 0 60 (UFPel-S) De um esevtóio de fom cúic ceio de águ fom etidos, dess águ. eificndo-se que ouve um vição de no nível do líquido, clcule qunto mede est inten d cix-esevtóio. 0 0, dm x? x? 0, x x dm x 0

7 (FMS-SP) Disondo de um fol de ctolin medindo 0 de comimento o 0 de lgu, ode-se constui um cix et cotndo-se um quddo de 8 de ldo em cd cnto d fol (ve figu o ldo). Qul seá o volume dess cix, em centímetos cúicos? O volume d cix?? (unes-sp) lcule o volume de contido em um glão com fom e s dimensões dds el figu. 8 m 8 S S 8?? 8 m S?? 8 m m m 8 m m (UENF-J) N constução de um ng, com fom de um leleíedo etângulo, que oss ig um ius, fom consideds s medids esentds ixo. ius XX-00 ENEGDU OMPIMENTO E LTU TOTL, metos 79,8 metos 7 metos lcule o volume mínimo desse ng. 0 9, m 79,8 m 7 m c, m mín?? c mín 79,8? 7?, mín 09, m (dtdo de ej, /6/000)

8 (IT-SP) Um iâmide egul tem o se um quddo de ldo. Se-se que s fces fomm com se ângulos de. lcul zão ente áe d se e áe ltel. tg cos g g O g E S S S S S?? S 6 (PU-) est de um tetedo egul mede. Su áe totl, em centímetos quddos, é: ) c) 8 e) ) d) 6 S 6 t S t 7 (UFOP-MG) figu o ldo most dus iâmides egules cujs ses coincidem com dus fces de um cuo de est. Se-se que s ltus ds iâmides são iguis à digonl do cuo. Detemine áe totl do sólido fomdo els iâmides e o cuo. álculo d digonl do cuo: E H D d E: E E F G ( ) d d OM: M OM O : S S f iâmide g? g 8S S S totl fiâmide fcuo totl g 8? M O D ( ) O d OM

9 8 (Unifo-E) est d se de um iâmide egul exgonl mede. Qul é o volume dess iâmide, se su ltu mede 6? ) c) 86 e) ) 9 d) No O d se: m O m S? S 6? S 6? S S?? (FU-MT) Detemine o volume de um iâmide cuj lnificção é: ; 6 D O M M: M M OM: M O OM g g ( ) g g 7 7? S??? 6

10 0 (UFP) Um iâmide tingul egul tem 9 de volume e de ltu. Qul medid de est d se? ) c) e) ) d) S? 9 9 S? S S 9 (UFN) Um iâmide egul tem se qudd inscit em um cículo de io 8 e seu ótem é igul o semieímeto d se. lcul o volume d iâmide. 0 O ? 6 ( ) ( ) ( ) 6 0 S? 8? 0 ( ) 0 (MK-SP) Um iâmide, cuj se é um quddo de ldo, tem o mesmo volume que um ism, cuj se é um quddo de ldo. Detemine zão ente s ltus d iâmide e do ism. S? iâmide iâmide iâmide iâmide iâmide iâmide ()? iâmide ism? ism ism ism ism (II) S (I) (II): iâmide? iâmide? ism ism (I) 0

11 (Uni-SP) Ddo um cuo de est,, qul é o volume do octedo cujos vétices são os centos ds fces do cuo? 6 E M Sejm: medid d est do octedo o volume do octedo volume d iâmide qudngul egul cuj est d se mede O EM é etângulo: (E) (ME) (M)? o o? ( )? o 6 (unes-sp) Em cd um dos vétices de um cuo de mdei se ecot um iâmide MNP, em que M, N e P são os ontos médios ds ests, como se most n ilustção. Se é o volume do cuo, o volume do oliedo que est o eti s 8 iâmides é igul : ) c) e) 8 ) d) 6 M N P (I) d iâmide etid tem S i?? e 8 S?? 8 Sustituindo (I) em (II), temos: ( ) i 8 8 omo o volume do cuo 8 (II) é, e o volume de cd iâmide é 8, o volume do oliedo seá: 8 8 ol 8 i? 6

12 (PU-S) Em um iâmide qudngul egul, secção feit dm do vétice tem áe igul dm. lcul o volume d iâmide, sendo que su ltu é de 6 dm. 60 dm d 80 dm 6??? 80? 6 60 dm 6 (PU-SP) Um tonco de iâmide de ses qudds tem 8 de volume. ltu do tonco mede 8 e o ldo do quddo d se mio mede 0. Então, o ldo do quddo d se meno mede: ) 8 c) e) ) 6 d) k [ T ] (não convém) Potnto,. 7 Um fôm de gelo, como d figu ixo, tem fom de tonco de iâmide, de ses etngules, com s medids indicds.,,,8 ) Qul quntidde de águ, em mililitos, necessái ence comletmente ess fôm de gelo? 8,6 m, ) Sendo-se que, o congel, o volume de águ ument em 8%, qul o volume de gelo que teemos ós o congelmento? 0,9 ) [? ],?,,?,8, [,,?,, ] 8,6 8,6 m ),08,08? 8,6 0,9

13 Um oin de el ficção de jonl tem fom cilíndic. Sendo que ess oin tem 0 de diâmeto o 7 de comimento, qul quntidde mínim (áe) de el utilizdo eml cd um desses olos cilíndicos? (Use,.) 6,0 m S t ( ) S t?,? (7 ) S t 60,6 S t 6,0 m 9 (IT-SP) Num cilindo cicul eto, se-se que ltu e o io d se são tis que os númeos,, fomm, ness odem, um P de som 6. O vlo d áe totl desse cilindo é: ) c) e) 0 ) d) 0 6 esolvendo o sistem, temos: e S ( ) S ( ) S 0 t t t 0 (UFL-MG) Um etângulo de ldos e, gindo em tono de, ge um cilindo de volume e, gindo em tono de, ge outo cilindo de volume de. lcule os vloes de e. 9 e ilindo : ilindo :??? (I)???? ( 79 ) 9 (II) em (I):? 9 (II)

14 Um ism egul exgonl de ltu e est d se medindo 0 esent um fuo cilíndico cujo io é 8. Sendo, g/ densidde do mteil, detemine mss, em quilogms, desse sólido. (Use, e,7.),9 kg 0 ism S? 6?? ism 70 S?? 8? 0 (ox.) cilindo cilindo sólido sólido m d? m, 6 m,9 kg (FG-SP) Um oduto é emldo em eciientes com fomto de cilindos etos. O cilindo tem ltu 0 e io d se. O cilindo tem ltu 0 e io d se 0. ) Em qul ds dus emlgens gst-se menos mteil? ) O oduto emldo no cilindo é vendido $,00 unidde, e o do cilindo $ 7,00 unidde. P o consumido, qul emlgem mis vntjos? ) ilindo : 0 ; S S?? 0 S 00 S S? S S t S S S t 00? S t 0 ilindo : 0 ; 0 S? 0? 0 S 00 S? 0 S 00 S t 00? 00 S t 00 Gst-se menos mteil n emlgem. ) álculo dos volumes: ilindo :?? 0 00 ilindo :? 0? álculo do eço de cd centímeto cúico do oduto (em eis): Emlgem : P Emlgem : P Logo, o consumido emlgem é mis vntjos. (PU-SP) Um iscin cicul tem m de diâmeto. Um oduto químico deve se mistudo à águ n zão de g o 00, de águ. Se iscin tem,6 m de ofundidde e está totlmente cei, qunto do oduto deve se mistudo à águ? (Use,.) ), kg c),6 kg e),8 kg ), kg d),7 kg? (,)?,6 m 000 dm 000 Mistu-se g o 00 : x ? 0 x 0 g, kg

15 ti-se um ed em um vso cilíndico de, m de diâmeto d se, cilmente ceio de águ. Detemine o volume d ed se, em conseqüênci d imesão, águ elevou-se 0, m. 0,6 m, 0,6 m; 0, m O volume d ed é igul o volume de águ deslocd. Logo:??? (0,6)? 0, 0,6 m Duzentos litos de um líquido seão mzendos em lts cilíndics de io e ltu. d lt deveá se eencid em té 80% do seu volume. Qunts lts, no mínimo, seão necessáis? lts dm lt lt?? lt 0 0,8 lt 0,8? 0 87 ou 0,87 dm lt 0,87 dm n 00,8 n lts 00 dm 0,87 lts 6 Um fáic de so em lt decidiu ument em 0% ltu de sus lts cilíndics, ms mntendo o mesmo volume. Qul deveá se diminuição, em ocentgem, do io d lt que o volume emneç constnte? 8,7% lt lt io d se ltu? (,? ), 0,987,, 0,987 0,087 diminuição do io 8,7%

16 7 (UFPE) Intecetndo-se um cilindo eto com io d se igul e ltu com dois lnos que ssm elo eixo do cilindo e fomm um ângulo de 6 ente eles, otém-se o sólido ilustdo o ldo. Indique o inteio mis óximo do volume desse sólido, em centímetos cúicos. 6 Se 6, o volume do sólido é do volume do cilindo. 0 c?? 0 c 0 0 s s 6,8 0 O intei o mis óximo é o 6. 6 o 8 (Uni-SP) Um cilindo cicul eto é cotdo o um lno não lelo à su se, esultndo no sólido ilustdo n figu. lcule o volume desse sólido em temos do io d se, d ltu máxim e d ltu mínim D. Justifique seu ciocínio. ( ) D O volume do sólido é som do volume do cilindo de io e ltu, com metde do volume do cilindo de io e ltu. ( ) ( ) 9 (UFP) Num cone eto, ltu é m e o diâmeto d se é 8 m. Então, áe totl, em metos quddos, vle: ) c) 0 e) ) 6 d) 6 g g g g m S g?? S 0 m S? S 6 m S t S S 0 6 S t 6 m 6

17 0 (UFES) om um seto cicul, cujo ângulo centl mede 0, constói-se um cone cicul eto de io igul. Detemine o volume do cone ssim otido. 8 0 d? g?? g g 9 g 9 6?? 6 8 N figu, se do cone eto está inscit num fce do cuo e seu vétice está no cento d fce oost. Se áe totl do cuo é m, detemine o volume do cone.,π m St m ( )?? 9 ( ), m (UniSntos-SP) om um semicículo de el, com io igul 0, um ioqueio fz squinos vende iocs, com fom de cone cicul eto. O volume desses squinos, usndo, é mis óximo de: ) 00 c) 00 e) 900 ) 00 d) 700 O desenvolvimento de um cone eqüiláteo é um semicículo. g 0 0 g g 0 7

18 . 09 (UF-MG) O tézio etângulo o ldo sofe um otção de 60 em tono d se mio. Sendo-se que, E e que o volume do sólido otido é 8, detemine. 8 D E E D DE: E DE D cone?? cone?? cone x cilindo sólido cone cilindo 8 cilindo 7 omo cilindo? x, temos: 7?? x x 8 Desej-se utiliz um cone eto de elão com 6 de diâmeto e 0 de ltu como emlgem um oduto. Nesss condições: ) qul quntidde de elão (em m ) utilizdo em cd emlgem? 0, m ) qul ccidde, em litos, dess emlgem?,0096, ) g )?,? 8? 0 g 96 g,08 009,6,0096 St (g ) St,? 8? (,08 8) S 980,89 0, m t 0 8 g (UFPel-S) Dus sustâncis, e, que não se mistum, são colocds num eciiente de fom cônic, de modo que sustânci ocue té metde d ltu do cone e sustânci, o estnte (confome figu). zão ente o volume de e o volume de é: ) 8 c) e) 7 7 ) d) 7 8 é um cone de io e ltu é um tonco de cone? 7 7 8

19 6 (UFPE) Um cone cicul eto, com ltu igul 60, é intecetdo o um lno eendicul o seu eixo, esultndo num cicunfeênci de io igul 0. Se distânci desse lno à se do cone é 0, qunto mede, em centímetos, o io d se do cone? 80 d 0 d 60 0 d 0 d (UFN) figu ixo egist o momento em que 7 n te infeio. 8 do volume de ei d mulet encont-se y O volume de um cone cicul eto é ddo o ( ), sendo o io e ltu do cone. lcule o vlo d fção numéic que eesent ooção ente y e nesse momento. Sugestão: exesse o vlo d ltu y em função de. y y y y y No cone sueio: y y (I) 8 ( y) ( y) 8 (II) Sustituindo (I) em (II), temos: 8 8 (III) De (I) e (III), vem: y y 9

20 8 (Un-DF) figu o ldo eesent um codo de cfé (em fom de um tonco de cone) oido soe um vso cilíndico com eímeto d se igul o eímeto d oc do codo. lcule, de codo com os ddos d figu e sendo que ccidde do codo é um quto d ccidde do vso. 8 8 tg (I) T?? [() ] 7 () ci 7 9 (UFP) Um sólido tem o fomto de um tonco de cone cicul eto com um cvidde n fom de cone com mesm ltu do tonco e com se igul à se meno do tonco, confome figu. lcule o volume do sólido, sendo que s medids do tonco são: 6 de ltu, 0 de áe d se mio e 0 de áe d se meno ? 0 0 tonco k ( ) 6? tonco ( ) cone??? k? 0? 6 cone sólido tonco cone sólido 60 0

21 60 N figu o ldo tem-se um eciiente com fom de um cone cicul eto, com um líquido que tinge metde de su ltu. Se é ccidde do cone, qul o volume do líquido? 8 d d ( ) 8 6 Um tç em fom de cone tem io d se igul e ltu 0. oloc-se ne em seu inteio té que tinj, ti do vétice d tç, de ltu, confome most figu. edndo tç e vindo- ixo, confome most figu, egunt-se: em que ltu (), ti d se do cone, ficá o nível do ne ness nov osição? (onsidee 7,9.) 0, 0 0 Figu Figu 0 0 Figu Figu? (,) Dí esult: ( ) (,) ( ), (I) (II) ( ) Sustituindo (II) em (I): ( )(0 ), Desenvolvendo e simlificndo: 8 87 ( ) oltndo em (II): 0?? ?,9 0,

22 . 6 (Fuvest-SP) Um suefície esféic de io é cotd o um lno situdo um distânci de do cento d suefície esféic, deteminndo um cicunfeênci. O io dess cicunfeênci, em centímetos, é: ) c) e) ) d) 69 6 Sendo que áe de um suefície esféic é 8, clcule o io d esfe. S 8? 6 Um esfe cuj suefície tem áe igul 676 é cotd o um lno situdo um distânci de do seu cento, deteminndo um cículo. Nesss condições, detemine: ) áe desse cículo; ) o comimento d cicunfeênci máxim dess esfe; 6 c) o volume do cone eto cujo vétice é o cento d esfe e se é o cículo detemindo el intesecção do lno com esfe. (Fç um deseno eesenttivo dess situção.) 00 ) S esfe S cículo S cículo )? 6 c)? 00 O

23 6 Um fim de quitetu esentou mquete de um constução n fom de um semi-esfe. Ness mquete, o diâmeto d semi-esfe é 0. Sendo que escl utilizd foi : 00, esond (use,): ) Qul áe d suefície dess constução? 008 m ) Qul o volume dess constução? 97 m ) Esc. : m S? S? 0 S 0 08 m )?? 0 S 97 m 66 (UFJF-MG) Dus esfes são concêntics, meno tem 9 de io. áe d secção feit n esfe mio o um lno tngente à esfe meno é 8. lcule: ) o io d esfe mio; 0 ) o volume d esfe mio. 000 S d 9 ) S d 8 d d 9 d 9 d ( 9 ) )

24 67 (Unitu-SP) Um esfe está inscit em um cuo de est. lcule áe d suefície esféic e o volume d esfe. 6 e?? S S? S 6? 68 (UFGS) Um nel cilíndic de 0 de diâmeto está comletmente cei de mss doce, sem excede su ltu, que é 6. O númeo de doces em fomto de olins de de io que se odem ote com tod mss é: ) 00 c) 00 e) 00 ) 0 d) 0 nel? nel? 0 (? ) 6 nel 600 doce doce? doce doce 600 n n 0 n doces O eciiente d figu é feito de mdei com densidde 0,7 g/, com fomto de um semi-esfe com io exteno de 0 e io inteno de 7. lcule mss, em quilogms, desse eciiente., kg ext int??? (0 7 ) 08 d m 0,7 m 6 g ou, kg 08 m 0 7

25 70 (Un-DF) Um soveteio vende sovetes em csquins de iscoito que têm fom de cone de de diâmeto e 6 de ofundidde. s csquins são totlmente eencids de sovete e, ind, nels é sueost um mei ol de sovete de mesmo diâmeto do cone. Os eciientes onde é mzendo o sovete têm fom cilíndic de 8 de diâmeto e de ofundidde. Detemine o númeo de csquins que odem se sevids com o sovete mzendo em um eciiente ceio. 60 csquins Sovete ; 8 9 cone 9 cone? (? 6 cone ) semi-esf e? semi-esfe semi-e 9 ( ) sfe csquin cone semi-esfe csquin csquin? H? 9? 0 cilindo cilindo cilindo eciiente Sej n o númeo de csquins. Logo: cilindo 0 n n n csquin 7 60 csquins 7 (UFPE) figu ilust esfe de mio io contid no cone eto de io d se igul 6 e ltu igul 8, tngente o lno d se do cone. Qul o inteio mis óximo d metde do volume d egião do cone exteio à esfe? 9 O D O: O O g 8 6 g 0 D O O D cone esfe??? 6? 8? , Logo, o inteio mis óximo é 9.

26 7 (PU-P) Tem-se um eciiente cilíndico, de io, com águ. Se megulmos inteimente um olin esféic nesse eciiente, o nível d águ suiá cec de,. Se-se, então, que o io d olin vle, oximdmente: ) c) e) ), d),??, 0,8 oli n 0,8 8, 8,. 7 (UFMG) Oseve est figu: D E F Ness figu, é um qudnte de cículo de io e DEF é um quddo, cujo ldo mede. onsidee o sólido gedo el otção de 60, em tono d et, d egião coloid n figu. Se-se que o volume de um esfe de io é igul. ssim sendo, esse sólido tem um volume de: ) ) c) 6 d) 7 D E F olume d semi-esfe:? olume do cilindo gedo o DEF: 8?? olume do sólido: 8 7 6

27 7 (PU-SP) Um cone cicul eto, cujo io d se é, está inscito em um esfe de io, confome most figu. O volume do cone coesonde que ocentgem do volume d esfe? ) 6,% c) 9,% e) 6,% ),% d) 8,6% d d d d 9 c?? 9 c 7 e? c 7 0,6 6,% e e 7 Um esfe está inscit num octedo egul de est. lcule: ) o io d esfe; 6 ) o volume d esfe. 6 6 ) M H O H 6 6 OM: M? OH O? OM 6? 6? 6 6 M 6 O ) esfe esfe ( ) 7

28 76 (FG-SP) Um cálice com fom de cone contém de um eid. Um ceej de fom esféic, com diâmeto de, é colocd dento do cálice. Suondo-se que ceej eous oid ns edes lteis do cálice e o líquido ecoe extmente ceej um ltu de ti do vétice do cone, detemin o vlo de. O E D O E E 8 E DE OE DE D E O? ( ) 8 77 (PU-S) egião d figu está limitd o tês semicículos. y Sendo que efetu um volt comlet em tono do eixo do x, clcule o volume do sólido gedo. 8 0 x Sejm () esfe de io e () esfe de io () ()??? 8 78 (esgnio-j) Um lnj ode se consided um esfe de io, comost de gomos extmente iguis. suefície totl de cd gomo mede: ) c) e) ) d) S S S S? S gomo fuso cículo gomo gomo S gomo ( )? 8

29 79 (UEL-P) Um cilindo cicul eto e um esfe são equivlentes (mesmo volume). Se o io d esfe e o io de se do cilindo têm medid, áe ltel desse cilindo é: ) c) e) ) d) 8 O volume do cilindo é??. c O volume d esfe é e?. e?? omo c e, temos:?. áe ltel do cilindo é: L??? 8. c 80 (MK-SP) zão ente áe ltel do cilindo eqüiláteo e suefície esféic nele inscit é: ) c) e) ) d) No cilindo eqüiláteo, logo, áe ltel seá: L?????? N esfe inscit o io é, temos: e? zão ente esss medids é:. 8 (IT-SP) zão do volume de um esfe o volume de um cuo nel inscito é: ) c) e) ) d) O volume d esfe é e?. O cuo inscito tem digonl igul o diâmeto d esfe, dí temos: d (em que, é est do cuo). O volume do cuo seá:? 8? zão ente esss medids é:???? ?? 6 9

30 8 (Unitu-SP) umentndo em 0% o io de um esfe, su suefície umentá: ) % c) % e) 0% ) % d) % Se o io fo, suefície seá S??. umentndo o io em 0%, o novo io seá, e suefície S?? (? )??,,8. O umento d suefície foi de 0,8, então: 00% 8 x 0,8? 00 x 0,8 x %. 6 8 (MK-SP) Um tnque de gás tem fom de um cilindo de m de comimento, cescido de dus semi-esfes, de io m, um em cd extemidde, como most figu. dotndo, ccidde totl do tnque, em m, é: ) 80 c) 60 e) 0 ) 70 d) ccidde do tnque coesonde à som dos volumes de um cilindo de io d se m e ltu m com dus semi-esfes de io m, logo:????????? 8 80 m 8 (MK-SP) Um fsco de efume de fom esféic, com io de, contém efume em de seu volume totl. Se um esso utiliz, todos os dis, m, do efume, ds ltentivs ixo, que indicá o mio eíodo de temo de dução do efume seá: ) 6 dis c) 6 dis e) dis ) dis d) dis O volume do fsco é 6 6?? m. O volume do efume é 6 do totl, ou sej, m. Utilizndo m o di, teá efume 6 6, ou sej, dis. 6 dis 8 (UFP) Um cone eto tem io de se e ltu H. Se um esfe tem io e volume igul o doo do volume desse cone, odemos fim que: ) H c) H e) H ) H d) H cone??? H esfe?? es fe? cone?????? H H 0

31 86 (MK-SP) Um eciiente cilíndico eto, com io d se igul, contém águ té metde de su ltu. Um esfe mciç, colocd no seu inteio, fic totlmente sumes, elevndo ltu d águ em. O io d esfe é: ) c) e) ) d) Pelo Pincíio de quimedes, o volume d esfe coesonde o volume de águ deslocdo. Este volume coesonde o volume de um cilindo eto, de io d se igul e ltu. mndo de o io d esfe, temos: cilindo?? esfe omo cilindo esfe, teemos:?? 96?. 87 (UEJ) Um cu de suefície semi-esféic, com diâmeto de 8, está fixd soe um mes ln. Um ol de gude de fom esféic, com io igul, encont-se so ess cu. ) onsidendo ol de gude junto à cu temos, eesentdo n figu ixo: Desezndo-se esessu do mteil usdo fic cu, detemine: ) mio áe, em, el qul ol de gude odeá se desloc n suefície d mes; 8 ) o volume, em, d mio esfe que odei se colocd emixo dess cu. ) mio esfe que ode se colocd emixo d cu deve te io igul à metde do io d cu, ou sej, o io deve se. Po Pitágos: 9 8 Esse vlo coesonde o io d mio áe que ol de gude odeá se desloc soe mes, como most (em vist sueio) figu ixo: Potnto:???? 8 ( )

32 88 (IT-SP) Um cone cicul eto tem ltu e io d se. O io d esfe inscit nesse cone mede, em centímetos: ) c) e) ) d) 7 onsidendo situção sugeid e fzendo um cote (ssndo elo cento d se e o vétice do cone) teemos, como most figu o ldo: 0 D Sendo D getiz do cone, temos: D D 69 D D semelnç ente os tiângulos OD e TD concluímos que: D D O T O T 89 (UFG) onsidee um cone cicul eto de ltu e io,., inscito em um esfe de io. Detemine ltu do cone qundo. 9 No tiângulo D, temos: g g g I D D E

33 No tiângulo E, temos: g g? II ( ) 6? 8 onsidendo e licndo oiedde tnsitiv I e II, teemos: ( ) 9 0 ( 9 )?? (não seve, ois. ) Potnto, (FG-SP) Desej-se constui um glão em fom de um emisféio, um exosição. Se, o evestimento totl do iso, utilizm-se 78, m de lon, quntos metos quddos de lon se utilizim n coetu comlet do glão? (onside,.) ), c) 7 e) 6,66 ) 80 d) 08, áe do iso é 78, m, logo:? 78,, 78, 78, m, O glão teá suefície de um semi-esfe de io m:?,? 7 m

34 9 (UEL-P) Um joleio esolveu esente um mig com um jói exclusiv. P isso, imginou um ingente, com o fomto de um octedo egul, contendo um éol inscit, com o fomto de um esfe de io, confome eesentdo n figu segui. Se est do octedo egul tem de comimento, o volume d éol, em, é: ) c) e) 9 7 ) 8 6 d) 9 onsidendo o tiângulo d figu: D D E E é ltu d fce:. E No E, temos: E E ( ) E E No E, DE é ltu eltiv à se e igul. Pels elções métics nos tiângulos etângulos semos que cteto cteto iotenus ltu, logo:?? 6 Sendo 6 o io d éol, seu volume seá: 6 6 ( )?? 6?? (UFPI) esfe cicunscit um octedo egul de est tem io igul : ) c) e) ) d) O io d esfe cicunscit seá igul metde d digonl do quddo D eesentdo n figu ixo: D Sendo est do octedo, digonl do quddo seá, logo, o io d esfe seá:

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