Edição, 1997 Curtis D. Johnson, Controlo de Processos - Tecnologia da Instrumentação, Edição da

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1 INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO CAPÍTULO VII Revisões sobre Sistemas de Cotrolo Cotíuo /3 Bibliografia Katsuhiko Ogata, Egeharia do cotrolo modero, Editora Pretice-Hall do Brasil, 3º Edição, 997 Curtis D. Johso, Cotrolo de Processos - Tecologia da Istrumetação, Edição da Fudação Calouste Gulbekia, 99 Marli, T., Process Cotrol: Desigig Processes ad Cotrol Systems for Dyamic Performace, Edição da McGraw Hill, New York,. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM

2 Ídice do capítulo Itrodução Bases matemáticas Trasformada de Laplace Fução de trasferêcia Diagramas de blocos Resposta trasitória de sistemas Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 3 Coceitos fudametais Itrodução Diagrama de blocos detalhado de um sistema em ael fechado -> É ecessário utilizar ferrametas matemáticas para efectuar a sua aálise teórica Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 4

3 Coceitos fudametais Itrodução Objectivos de um Sistema de Cotrolo Automático Mater a variável cotrolada o mais próximo possível do valor de referêcia (set-poit) Situação ideal: o erro ser sempre ulo O critério de cotrolo respode à seguite questão: Até que poto é eficiete? A estabilidade e o amortecimeto são os parâmetros chave da aálise de sistemas Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 5 Coceitos fudametais Itrodução Respostas típicas de um sistema a uma etrada degrau (): () sobreamortecida (3) críticamete amortecida (4)Subamortecida (5)Oscilatória (6) Oscilatória (istável) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 6

4 Coceitos fudametais Aálise do gráfico aterior Etrada degrau sial de etrada usado para testar o desempeho de sistemas de cotrolo Saída sobreamortecida ão oscila; resposta bastate leta Críticamete amortecida Não oscila; resposta mais rápida Subamortecida resposta com oscilações (overshoot); em certos casos é aceitável Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7 Coceitos fudametais Aálise do gráfico aterior Oscilatória com amplitude costate (istável) resposta oscilatória em toro de um poto médio; ão é desejável Resposta oscilatória com crescimeto da amplitude (istável) resposta iaceitável; sistema istável ou sem cotrolo Como aalisar estas situações? Utilizar a teoria de cotrolo cotíuo/digital Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 8

5 Coceitos fudametais Itrodução Para estudar os sistemas de cotrolo do poto de vista teórico, é ecessário compreeder os fudametos matemáticos relativos a: Variáveis e fuções complexas Equações difereciais lieares Trasformada de Laplace Trasformada de Laplace iversa Fução de trasferêcia Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 9 Coceitos fudametais Itrodução Para que é ecessário usar ferrametas matemáticas em cotrolo? Etrada degrau caudal do fluido de arrefecimeto PROCESSO Evolução da temperatura Exemplo Porquê usar Como é que o Tempo de resposta ferrametas processo matemáticas? ifluecia a Rapidez da resposta resposta? Tipo de resposta Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM

6 Coceitos fudametais Para cohecer a resposta do sistema, é ecessário cohecer a diâmica do processo. Porquê? Zoa perigosa Cohecer a diâmica i do processo é importate para a SEGURANÇA! Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM Coceitos fudametais Bases Matemáticas para aálise de Sistemas de Cotrolo Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM

7 Bases matemáticas Variáveis e fuções complexas Uma variável complexa s é defiida por: j ω ω S ϑ,ω ε R ϑ ϑ Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 3 Bases matemáticas Variáveis e fuções complexas Uma fução complexa G(s) é defiida por: G(s) () G x + jg y O módulo e o argumeto, são defiidos por: G x G(s) G x + G arg(g(s)) arctg y G y Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 4

8 Bases matemáticas Variáveis e fuções complexas Represetação gráfica do módulo e do argumeto Im θ Real Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 5 Bases matemáticas Variáveis e fuções complexas Dada a fução G(s): G(s) G x + jg y Complexo cojugado de G(s): G(s) G x jg y Potos do plao s em que a fução G(s) é aalítica > potos ordiários; potos ode a fução ão é aalítica -> potos sigulares Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 6

9 Bases matemáticas Variáveis e fuções complexas Polos da fução G(s): Os potos ode G(s) ou as suas derivadas tedem para o ifiito desigam-se por pólos Exemplo: G(s) () k(s + z) (s + p )(s + p) Zero da fução: s-z (poto ode G(s) se aula) Polos: s-p, s-p (potos ode G(s) tede para ifiito). (NOTA: s-p -> pólo de ª ordem) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7 Bases matemáticas Equações difereciais eciais lieareses Forma caóica compacta a d i y m i i dt i bi i d x i dt Forma caóica desevolvida (m<) d y d y dy a + a... a a y + + a + dt dt dt m m d x d x bm + b... b x m m + + m dt dt Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 8

10 Bases matemáticas Equações difereciais lieares Solução geral de uma equação diferecial Solução homogéea (resposta livre) solução da equação diferecial quado a etrada x(t) é ula, ou seja, é a solução da equação: d y a i dt i i Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 9 i Bases matemáticas Equações difereciais lieares Solução geral de uma equação diferecial Solução particular (resposta forçada) - Defiido um operador diferecial D, dado por: D d dt Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM

11 Bases matemáticas Equações difereciais lieares Solução geral de uma equação diferecial Solução homogéea (cot.): a D y + a D y ady + a y (a D + a D ad + a )y Poliómio característico: a D + a D a D + a Equação característica: a D + a D a D + a Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM Bases matemáticas Equações difereciais lieares Solução geral de uma equação diferecial Solução homogéea (cot.): As raízes ou soluções, são D,D,...D Forma geral da solução: Solução homogéea - y h (t) Solução particular -> y p (t): solução da equação diferecial, quado todas as codições iiciais são ulas, ou seja, a solução particular depede apeas da etrada x(t) y(t) y(t) h + y(t) p Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM

12 Bases matemáticas Equações difereciais lieares Solução geral de uma equação diferecial A solução geral pode aida ser decomposta outras duas soluções: Solução em regime estacioário (resposta estacioária) - é a parte da equação geral que ão se aproxima de zero quado o tempo tede para ifiito. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 3 Bases matemáticas Equações difereciais lieares Solução geral de uma equação diferecial Solução em regime ão estacioário (resposta trasitória) - é a parte da equação geral que tede para zero quado o tempo tede para ifiito A solução da equação é dada d por: y(t) () y(t) () + y(t) () estacioár ia trasitória Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 4

13 Bases matemáticas Equações difereciais lieares Solução geral de uma equação diferecial Exemplo: Cosidere a seguite solução de uma equação diferecial y(t) e t + si( πt) A resposta em regime trasitório e estacioário, são: y rt t ( t ) e ; y re ( t ) si( πt ) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 5 Bases matemáticas Equações difereciais lieares Solução geral de uma equação diferecial Exemplo (cot.): y rt (cima) e y re (baixo) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 6

14 Bases matemáticas Equações difereciais lieares Solução geral de uma equação diferecial Solução completa (yyre + yrt) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7 Bases matemáticas Equações difereciais lieares Código fote do exemplo em MATLAB % calculo da resposta de um sistema % vector de tempos a 6 seg. com itervalos de. seg. t:.:6; % calculo da resposta de um sistema ytexp(-*t); yesi(pi*t); % resposta trasitória e estacioária subplot() plot(t,yt),grid,ylabel('amplitude') subplot() plot(t,ye),grid,xlabel('tempo [s]'),ylabel('amplitude') pause % resposta total subplot() plot(t,ye,'-.',t,yt,'--',t,ye+yt),grid,,,,y,,,y y),g, xlabel('tempo [s]'),ylabel('amplitude') Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 8

15 Bases matemáticas Trasformada de Laplace Vatagem da sua utilização: trasforma uma equação diferecial o domíio do tempo uma equação algébrico o domíio complexo (s) -> mais fácil de maipu- lar do que uma equação diferecial Defiição matemática: st st [ ] F(s) e dt[ f(t) ] f(t)e dt L f(t) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 9 Bases matemáticas Trasformada de Laplace Exemplo de aplicação: fução expoecial f(t) t < at f(t) Ae t Aplicação da Trasformada de Laplace L{Ae at at st } Ae e dt A e (s + a)t dt A s + a Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 3

16 Bases matemáticas Trasformada de Laplace Tabelas de Trasformadas de Laplace Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 3 Bases matemáticas Trasformada de Laplace Tabelas de Trasformadas de Laplace (cot.) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 3

17 Bases matemáticas Trasformada de Laplace Propriedades da Trasformadas de Laplace (I) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 33 Bases matemáticas Trasformada de Laplace Propriedades da Trasformadas de Laplace (II) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 34

18 Bases matemáticas Trasformada de Laplace Exemplo de aplicação: Aplique a T.L. à seguite equação diferecial, supodo codições iiciais ulas: Resolução d y dy y e dt dt d d y L s Y(s) dt dy L sy(s) dt L y Y(s) { } (propriedade 4) (propriedade 3) (propriedade ) t -t { } (fução 6 - Tabela) L e s + Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 35 Bases matemáticas Trasformada de Laplace Resolução (cot.) Y(s) + 3sY(s) + Y(s) s + s Y(s)* ( s + 3s + ) s + Y(s) (s + )(s + 3s + ) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 36

19 Bases matemáticas Trasformada de Laplace iversa Equação diferecial o tempo T.L. Equação algébrica em s T.L. iversa Solução o tempo da equação diferecial Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 37 Bases matemáticas Trasformada de Laplace iversa Operação: determiação de f(t) a partir da Trasformada de Laplace F(s) [ F(s) ] f(t) L Defiição matemática f(t) πj c+ F(s)e c st ds Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 38

20 Bases matemáticas Trasformada de Laplace iversa Forma de aplicação:. Aplica-se a Trasformada de Laplace a cada termo da equação diferecial liear dada. Coverte-se a equação diferecial uma equação algébrica em s, e obtêmse a expressão da trasformada de Laplace da variável depedete através de um rearrajo da equação algébrica Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 39 Bases matemáticas Trasformada de Laplace iversa Forma de aplicação: 3. Obtêm-se a solução temporal da equação diferecial, ou seja f(t), através da aplicação da trasformada de Laplace iversa à variável depedete Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 4

21 Bases matemáticas Trasformada de Laplace iversa Exemplo: Cosidere um sistema físico que é descrito pela seguite equação algébrica em s a seguir idicada. Supodo que se aplica uma etrada degrau de amplitude, determie a evolução da gradeza física ao logo do tempo Resposta: Y(s) U(s) s + 45 U(s) () s U(s) etrada o sistema Y(s) saída do sistema (etrada degrau > propriedade p ) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 4 Bases matemáticas Trasformada de Laplace iversa Resposta (cot.) Maipulado a equação algébrica de modo a obter uma expressão aáloga à da tabela, tem -se : Y(s) Da y(t) s(s + 45) tabela de T.L. >.5 s(s + 45) s(s + a) a s(s +.5) at ( e ).5t.5t ( e ) ( e ),log o : Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 4 45

22 Teoria do Cotrolo Fução de trasferêcia Relação etrada-saída de um sistema Aplica-se somete a sistemas lieares ivariates o tempo, ou seja cosidera-se que os parâmetros do sistema físico ão variam ao logo do tempo Represetação gráfica Etrada Fução de trasferêcia (em s ou t) Saída Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 43 Teoria do Cotrolo Fução de trasferêcia (F.T.) Porquê usar fuções de trasferêcia dos processos? Exemplo: Num permutador de calor, a bombadeáguadearrefecimetofalha arrefecimeto falha. Quato tempo irá decorrer até que o permutador fique em situação de ficar destruído? Para termos uma previsão do tempo que a temperatura t atige valores isuportáveis i para o material, é ecessário saber o modelo diâmico do permutador (F.T.), e simular a situação de avaria Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 44

23 Teoria do Cotrolo Fução de trasferêcia Zoa perigosa Cohecer a fução que caracteriza a diâmica do processo é importate para a SEGURANÇA! Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 45 Teoria do Cotrolo Fução de trasferêcia Represetação matemática Equação diferecial ecial do sistema físico (>m) a b () ( ) () y + a y a y + a y m (m ) () x + bx bm x + bm Fução de trasferêcia G(s): G(s) Y(s) b s + b s b s + b m m m m X(s) a s + a s a s + a Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 46

24 Teoria do Cotrolo Fução de trasferêcia Exemplo : sistema mecâico de traslação Cosidere um sistema massa-mola-amortecedor viscoso. Determie a fução de trasferêcia do sistema, cosiderado como etrada a força aplicada u(t) e a saída o deslocameto da massa y(t). Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 47 Teoria do Cotrolo Fução de trasferêcia Exemplo : sistema mecâico de traslação Resolução: d y m a m f (Lei de Newto) dt d y dy m b Ky u dt + dt d y dy m b Ky u dt + + dt ms Y(s) + bsy(s) + KY(s) U(s) Y(s) G(s) U(s) ms + bs + K Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 48

25 Teoria do Cotrolo Fução de trasferêcia Exemplo : sistema mecâico massa-mola Cosidere um sistema mecâico. Supoha que o sistema é posto em movimeto por uma força do tipo impulso uitário (t). Determie a resposta (oscilação) resultate da aplicação desta força. Supoha que o sistema está iicialmete em repouso e que o coeficiete de atrito viscoso b pode ser cosiderado ulo. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 49 Teoria do Cotrolo Fução de trasferêcia Exemplo : sistema mecâico massa-mola Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 5

26 Teoria do Cotrolo Fução de trasferêcia Exemplo : sistema mecâico massa-mola Resolução: d x m + kx δ(t) dt Aplicado a Trasformada de Laplace ms X(s) + kx(s) X(s) ms + k Aplicado a Trasformada de Laplace iversa x(t) si km k t m Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 5 Teoria do Cotrolo Fução de trasferêcia Exemplo : sistema mecâico massa-mola Resolução: A oscilação é um movimeto harmóico simples (ão há atrito) A - Amplitude de oscilação A (m) km ω - Frequêcia agular de oscilação ω k m (rad/s) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 5

27 Teoria do Cotrolo Fução de trasferêcia Exemplo : sistema mecâico massa-mola Gráfico da resposta (m Kg; K N/m) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 53 Teoria do Cotrolo Listagem do código fote em Matlab % calculo da resposta de um sistema massa-mola % vector de tempos t:.:5; % características do sistema m; k; % fução de trasferêcia do sistema massa-mola um; de[ ]; systf(um,de); % obteção da saída por aplicação de uma etrada impulso [y]impulse(sys,t); % gráfico da saida plot(t,y), xlabel('tempo [s]'),grid,ylabel('amplitude x [m]') Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 54

28 Teoria do Cotrolo Fução de trasferêcia Exemplo 3: sistema eléctrico RLC Determie a fução de trasferêcia etre e a tesão de etrada e i e a tesão de saída e o R L e i i C e o e c Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 55 Teoria do Cotrolo Fução de trasferêcia Exemplo 3: sistema eléctrico RLC Resolução (I) - Equações açõesdoci circuito c ito(leisde Kirchoff) V (Lei das V + V + V e L R di L + Ri + idt dt C C i malhas) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 56 e i

29 Teoria do Cotrolo Fução de trasferêcia Resolução (II) Tesão de saída e e VC idt C Aplicado a Trasformada LsI(s) () + RI(s) () + Cs I(s) E (s) Cs V C I(s) () E i de (s) () Laplace Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 57 Teoria do Cotrolo Fução de trasferêcia Resolução (III) Ls + R + I(s) Cs I(s) Cs E (s) Substituido i I(s) () a E (s) () G(s) E (s) LCs (sistema i de E ª ordem) i (s) equação + RCs + de E i () (s), tem -se : Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 58

30 Teoria do Cotrolo Diagramas de blocos Um sistema de cotrolo é composto por diversos compoetes -> represetação através de um diagrama de blocos Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 59 Teoria do Cotrolo Diagramas de blocos Fuções de trasferêcia típicas: obtêm-se a partir das Regras da Álgebra de Blocos Fução de trasferêcia em ael aberto: B(s) G(s)H(s) E(s) Fução de trasferêcia do ramo directo C(s) E(s) G(s) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 6

31 Teoria do Cotrolo Diagramas de blocos Fução de trasferêcia em ael fechado: C(s) E(s) () B(s) E(s) () C(s) G(s)E(s) ) R(s) () B(s) () H(s)C(s) R(s) () H(s)C(s) () () G(s)[R(s) H(s)C(s)] C(s) G(s) R(s) + G(s)H(s) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 6 Teoria do Cotrolo Diagramas de blocos Fução de trasferêcia em ael fechado: diagrama de blocos completo e simplificado de um sistema em ael fechado C(s) R(s) + G(s) G(s)H(s) ) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 6

32 Teoria do Cotrolo Diagramas de blocos Fução de trasferêcia em ael fechado: diagrama ama de blocos completo e simplificado de um sistema em ael fechado R(s) E(s) C(s) G(s) _ R(s) G(s) +G(s)H(s) C(s) H(s) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 63 Teoria do Cotrolo Diagramas de blocos Fução de trasferêcia em ael fechado: Caso especial: sistema com realimetação uitária (H(s)) C(s) G(s) R(s) + G(s) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 64

33 Teoria do Cotrolo Diagramas de blocos Regras de costrução de diagramas de blocos Exemplo: costruir o diagrama de blocos de um circuito RC Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 65 Teoria do Cotrolo Regras de costrução de diagramas de blocos Exemplo: circuito RC (cot.) Escrevem-se as equações do circuito e aplica-se a respectiva Trasformada de Laplace ei e i E Is i( s) E ( s) () R R e idt E I s s () C ( ) Cs Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 66

34 Teoria do Cotrolo Regras de costrução de diagramas de blocos Exemplo: circuito RC (cot.) Represeta-se cada equação a forma de bloco. Ei() s E () s I ( s ) R E ( I s s ) () Cs Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 67 Teoria do Cotrolo Regras de costrução de diagramas de blocos Exemplo: circuito RC (cot.) Ligam-se os elemetos um diagrama de blocos completo Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 68

35 Teoria do Cotrolo Diagramas de blocos Regras de simplificação de diagramas de blocos. Elimiar i todos os blocos em cascata. Elimiar todas os aéis activos 3. Elimiar todos os aéis de realimetação secudários 4. Permutar os potos de soma para a esquerda e os potos de jução para a direita dos aéis pricipais 5. Repetir estes passos até obter a forma caóica. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 69 Teoria do Cotrolo Diagramas de blocos Regras de Álgebra de Blocos (I) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7

36 Teoria do Cotrolo Diagramas de blocos Regras de Álgebra de Blocos (II) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7 Teoria do Cotrolo Diagramas de blocos Regras de Álgebra de Blocos (III) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7

37 Teoria do Cotrolo Diagramas de blocos Exemplo: Reduza o seguite diagrama de blocos à sua forma mais simples (G(s)C(s)/R(s)). Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 73 Teoria do Cotrolo Diagramas de blocos Exemplo: Resolução do exercício (I). Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 74

38 Teoria do Cotrolo Diagramas de blocos Exemplo: Resolução do exercício (II). Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 75 Teoria do cotrolo Resposta trasitória Os sistemas físicos, desde que seja cohecida a sua fução de trasferêcia, podem ser testados para diversos tipos de etradas. Assim, tem-se: impulso aperiódicos degrau rampa Tipos de siais oda siusoidal id periódicos oda quadrada oda triagular Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 76

39 Teoria do Cotrolo Resposta trasitória Siais aperiódicos permitem obter a resposta trasitória de um sistema (é muito importate em cotrolo) Formas dos siais aperiódicos Impulso Degrau Rampa Aceleração δ(t) (t) t t Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 77 Teoria do Cotrolo Resposta trasitória Critério de escolha dos siais de teste Etradas gradualmete variáveis o tempo fução rampa Perturbações bruscas fução degrau Etradas bruscas fução impulso Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 78

40 Teoria do Cotrolo Resposta trasitória Gráfico de resposta a uma etrada degrau.5 etra ada saída tempo [s] Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 79 Teoria do Cotrolo Resposta trasitória i Sistemas de primeira ordem + R(s) E(s) C(s) Ts - R(s) a) Ts + C(s) C(s) R(s) Ts + b) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 8

41 Teoria do Cotrolo Resposta trasitória Sistemas de primeira ordem Resposta a um degrau uitário io C (s) Ts + s Aplicado a Trasf. de Laplace iversa c() t/t c(t) e t c( ) c(t T).63 Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 8 Teoria do Cotrolo Resposta trasitória Sistemas de primeira ordem Resposta a um degrau uitário io Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 8

42 Teoria do Cotrolo Resposta trasitória Sistemas de seguda ordem + ω s( s + ξω ) R(s) E(s) C(s) - a) C(s) R(s) s ω + ξω s + ω R(s) s + ω ξωs + ω C(s) b) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 83 Teoria do Cotrolo Resposta trasitória Sistemas de seguda ordem Características dos sistemas de ª ordem ω - frequêcia atural ão amortecida, ou seja a frequêcia a que o sistema oscilaria, i se o amortecimeto fosse ulo ξ ξ ω - coeficiete de amortecimeto do sistema - ateuação Tipos de sistemas de ª ordem p Sobreamortecido (ξ >) -> ão oscila Críticamete amortecido (ξ ) -> ão oscila Sub-amortecido (ξ < ) -> oscila Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 84

43 Teoria do Cotrolo Resposta trasitória Sistemas de seguda ordem Sistema sub-amortecido: resposta ao degrau ω C(s) s + ξωs + ω s c(t) ξ e ω t ξ si( ωdt + arcta g ξ ξ ), t ωd ω ξ Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 85 Teoria do Cotrolo Resposta trasitória Sistemas de seguda ordem Sistema críticamete amortecido: resposta ao degrau ω C(s) (s + ω ) s t c(t) e ω ( + ω t) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 86

44 Teoria do Cotrolo Resposta trasitória Sistemas de seguda ordem Sistema sobreamortecido: resposta ao degrau C(s) c(t) + (s + ξω + ω ξ )(s + ξω ω ω ξ e s t e s s s ( t ω s s ω ω ξ ) ξ + ξ ( ξ ξ ) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 87 Teoria do Cotrolo Resposta trasitória Sistemas de seguda ordem Gráficos de resposta ao degrau Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 88

45 Teoria do Cotrolo Especificações da resposta trasitória Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 89 Teoria do Cotrolo Especificações da resposta trasitória M Tempo de atraso (td) Tempo de subida (tr) Tempo de pico (tp) t p π ω Máximo sobre-impulso Mp (overshoot) c(t p) c( ) ξπ % c( ) M p e ξ p Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 9 d

46 Teoria do Cotrolo Especificações da resposta trasitória Tempo de acomodação: tempo que o sistema demora a etrar em regime estacioário Existem dois critérios para caracterizar o tempo de acomodação (critérios de % e 5%). Deste modo, tem-se: t s t s 4T 3T 4 σ 3 σ 4 ξω 3 ξω (Criterio de %) (Criterio de 5%) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 9 Teoria do Cotrolo Exemplo de aplicação A Figura seguite represeta um sistema mecâico massa-mola-amortecedor, que correspode por exemplo ao modelo simplificado de uma suspesão de automóvel. Quado se aplica uma etrada em degrau P 8.9 N, este sistema oscila de acordo com o gráfico represetado a Figura. Determie os valores de m, b e k do sistema a partir da curva de resposta. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 9

47 Teoria do Cotrolo Exemplo de aplicação ada P [N] etra saíd ída x [m] tempo [s] Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 93 Teoria do Cotrolo Exemplo de aplicação A fução de trasferêcia do sistema é dada por: Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 94

48 Teoria do Cotrolo Exemplo de aplicação O valor em regime estacioário de x(t) é dado por aplicação do Teorema do Valor Fial, ou seja: Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 95 Teoria do Cotrolo Exemplo de aplicação O sobre-sial máximo, obtêm-se através do gráfico e é dado por Mp9.66%, o que correspode a ξ.6, ou seja: Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 96

49 Teoria do Cotrolo Exemplo de aplicação Como: Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 97 Teoria do Cotrolo Exemplo de aplicação Deste modo, a fução de trasferêcia do sistema mecâico, será dada por: Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 98