Prof. Weber Campos Agora Eu Passo - AEP

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1 RIOÍNIO LÓGIO ENVOLVENDO PROLEMS RITMÉTIOS, GEOMÉTRIOS E MTRIIIS POLÍI FEDERL - ESPE Prof. Weber mpos webercmpos@gmil.com gor Eu Psso - EP 1

2 Prof. Weber mpos ÍNDIE 1. PROLEMS RITMÉTIOS. PROLEMS MTRIIIS 9 - Mtrizes 9 - Sistems Lineres 0. PROLEMS GEOMÉTRIOS 6 EXERÍIOS PROPOSTOS 55 GRITO 60

3 Prof. Weber mpos PROLEMS RITMÉTIOS solução de um problem ritmético envolve pens o conhecimento ds operções mtemátics elementres: dição, subtrção, multiplicção e divisão. Vejmos lguns problems resolvidos seguir. Resoluções de Problems ritméticos 01. (TF/96 Esf) Em um edifício de prtmentos, etmente 1/ dos prtmentos são de dormitórios, e etmente 1/7 dos prtmentos de dormitórios são prtmentos de frente. Um vlor possível pr o numero totl de prtmentos do edifício é: ) c) 51 e) 57 b) 50 d) 56 O enuncido nos inform que: - 1/ dos prtmentos são de dormitórios; - 1/7 dos prtmentos de dormitórios são prtmentos de frente. É pedido n questão o número totl de prtmentos do edifício. hmremos de N est quntidde. Dí, encontrmos que: Nº de prt. de dormitórios = 1/ N = N/ Nº de prt. de frente de dormitórios = 1/7 N/ = N/1 Encontrremos opção corret d questão, prtir do fto de que s dus quntiddes cim (N/ e N/1) devem ser números inteiros. Pssemos o teste ds lterntivs. Teste d letr : N= Substituindo N por n rzão N/, vem: / = 1 (inteiro!) Substituindo N por n rzão N/1, vem: /1 = (inteiro!) omo mbs s rzões resultrm em vlores inteiros, então lterntiv é respost d questão. Respost: lterntiv. Ns demis lterntivs pelo menos um ds frções (N/ e N/1) não resultrá num vlor inteiro. 0. (VM 000 ESF) Ernesto, Ernni e Everldo são três tlets que resolverm orgnizr um desfio de ciclismo entre eles. Ficou combindo o totl de pontos pr o primeiro, o segundo e o terceiro lugres em cd prov. pontução pr o primeiro lugr é mior que pr o segundo e est é mior que pontução pr o terceiro. s pontuções são números inteiros positivos. O desfio consistiu de n provs (n > 1), o finl ds quis observou-se que Ernesto fez 0 pontos, Ernni 9 pontos e Everldo 10 pontos. ssim, o número n de provs disputds no desfio foi igul : ) b) c) 5 d) 9 e) 1 O totl de pontos ns n provs é igul à som dos pontos obtidos pelos três tlets: Totl de pontos = = 9 pontos Vmos clculr o totl de pontos de outr form, pr comprr com o resultdo cim. Não houve emptes ns n provs disputds pelos três tlets, ssim em cd prov hverá um 1º lugr ( pontos), um º lugr (b pontos) e um º lugr (c pontos).

4 Prof. Weber mpos Em 1(um) prov, som dos pontos dos três primeiros lugres é igul : + b + c. Dest form, o totl de pontos ns n provs é igul : Totl de pontos = n. + n.b + n.c omprndo este resultdo com o resultdo obtido no início d solução, formremos seguinte equção: n. + n.b + n.c = 9 olocndo o n em evidênci, vem: n. (+b+c) = 9 O primeiro membro d equção cim é o produto de dois vlores: n e (+b+c). O segundo membro (9) pode tmbém ser escrito como um produto de dois números. Há pens qutro possibiliddes: 1ª) 9 1 ª) 1 9 ª) 1 ª) 1 Testremos cd um desss possibiliddes: 1º) Teste do 91 n. (+b+c) = 9. 1 omprndo os dois membros d equção, encontrmos que: n=9 e (+b+c)=1 pontução (, b e c) pr s posições em cd prov são números inteiros positivos (1,,,,...). ssim, o vlor mínimo d som (+b+c) é 6 (qundo =, b= e c=1). Logo, (+b+c) não pode ser igul 1. Teste inválido! º) Teste do 19 n. (+b+c) = 1. 9 omprndo os dois membros d equção, encontrmos que: n=1 e (+b+c)=9 O enuncido diz que n é mior do que 1, portnto teste inválido! º) Teste do 1 n. (+b+c) = 1. omprndo os dois membros d equção, encontrmos que: n=1 e (+b+c)= Já hvímos concluído que o vlor mínimo d som (+b+c) é 6. Logo, (+b+c) não pode ser igul. Teste inválido! º) Teste do 1 n. (+b+c) =. 1 omprndo os dois membros d equção, encontrmos que: n= e (+b+c)=1 Os vlores cim são permitidos! Dí, o número de provs relizds é igul. Respost: lterntiv. 0. (FUVEST) Em um ci utomátic de bnco só trblh com nots de 5 e 10 reis. Um usuário desej fzer um sque de R$ 100,00. De qunts mneirs diferentes ci eletrônic poderá fzer esse pgmento? ) 5 d) 15 b) 6 e) 0 c) 11

5 Prof. Weber mpos Temos os seguintes ddos: - ci tem nots de 5 e 10 reis; - É preciso fzer um sque de R$ 100,00. Designremos por e y s quntiddes de nots de 5 reis e 10 reis, respectivmente, que serão usds pr compor o sque de 100 reis. prtir dests considerções, podemos formr equção: y = 100 reis Simplificremos est equção dividindo os coeficientes por 5: + y = 0 tribuiremos vlores pr um ds vriáveis fim de descobrir s soluções d equção. d solução corresponderá um modo de relizr o sque de 100 reis! É preferível escolher vriável que possui o mior coeficiente n equção (ou sej, vriável que está ssocid à not de mior vlor). Logo, tribuiremos vlores vriável y. N equção: + y = 0, tribuiremos inicilmente o vlor zero pr vriável y. Depois, iremos umentndo o vlor de y de 1 unidde té encontrrmos todos os possíveis vlores pr y. - Pr y=0, o vlor de é: +. 0 = 0 =0 - Pr y=1, o vlor de é: +. 1 = 0 =18 - Pr y=, o vlor de é: +. = 0 =16 Observe que à medid que umentmos o y de 1 unidde, o vlor de diminui de uniddes. Portnto, não é necessário continur clculndo o prtir d equção, pois já sbemos como está sendo su vrição. olocremos todos os resultdos pr y e n tbel bio: y (nº de nots de 10) (nº de nots de 5) Observe n tbel que o último vlor de é zero, não podemos reduzir mis do que isso, senão o vlor de ficrá negtivo. O que signific cd linh d tbel cim? O pr (, y) de um mesm linh indic de que form vmos compor o montnte de 100 reis. Por eemplo, terceir linh trz: y= e =16. Isso signific que vmos compor qunti de R$ 100,00 usndo nots de R$ 10,00 e 16 nots de R$ 5,00. Ok? Portnto, o número de linhs d tbel indic o número de modos que pode ser efetudo o sque de 100,00 reis. omo n tbel eistem 11 linhs, então há 11 modos de efetur o sque de 100,00 reis. Respost: lterntiv. 5

6 Prof. Weber mpos 0. (TRF 1ª Região Técnico Jud 006 F) erto di, um técnico judiciário foi incumbido de digitr um certo número de págins de um teto. Ele eecutou ess tref em 5 minutos, dotndo o seguinte procedimento: nos primeiros 15 minutos, digitou metde do totl ds págins e mis mei págin; nos 15 minutos seguintes, metde do número de págins restntes e mis mei págin; nos últimos 15 minutos, metde do número de págins restntes e mis mei págin. Se, dess form, ele completou tref, o totl de págins do teto er um número compreendido entre () 5 e 8 () 8 e 11 () 11 e 1 (D) 1 e 17 (E) 17 e 0 hmremos o totl de págins do teto de N. Vmos colocr bio seqüênci ds digitções. 1º) Nos primeiros 15 minutos, digitou metde do totl ds págins e mis mei págin: N 1/ - 1/ Temos inicilmente N págins. o digitr metde do totl de págins, sobrrá outr metde, por isso que bio d primeir set colocmos multiplicção por 1/. pós digitr mis mei págin, teremos mei págin menos, por isso que bio d segund set colocmos subtrção por 1/. O que vem depois de cd set é o número de págins do teto que rest ind digitr. º) Nos 15 minutos seguintes, metde do número de págins restntes e mis mei págin: N 1/ 1/ - 1/ - 1/ o digitr metde do número de págins que rest, sobrrá outr metde, por isso que bio d terceir set colocmos multiplicção por 1/. pós digitr mis mei págin, teremos mei págin menos, por isso que bio d qurt set colocmos subtrção por 1/. º) Nos últimos 15 minutos, metde do número de págins restntes e mis mei págin: N 1/ - 1/ 1/ - 1/ 1/ - 1/ 0 o digitr metde do número de págins que rest, sobrrá outr metde, por isso que bio d quint set colocmos multiplicção por 1/. pós digitr mis mei págin, teremos mei págin menos, por isso que bio d set set colocmos subtrção por 1/. o finl desss operções ele completou tref, ou sej, não sobrou nenhum págin. Por este motivo colocmos o vlor zero o finl d seqüênci. Pr encontrr o vlor do N, iniciremos do vlor zero, que está o finl d seqüênci, e cminhremos em direção o início d seqüênci, fzendo o longo desse cminho s operções inverss àquels que estão notds bio de cd set. operção invers d subtrção por 1/ é som por 1/. E operção invers d multiplicção por 1/ é divisão por 1/ (que é o mesmo que multiplicr por ). O novo desenho com s operções inverss é ddo bio. N +1/ +1/ +1/ 0 Vmos gor eecutr s operções que estão escrits bio de cd set, inicindo prtir do vlor zero que está o finl d seqüênci. Fremos psso psso: 6

7 Prof. Weber mpos 1º psso) N 1/ 0 +1/ +1/ +1/ º psso) N 1 1/ 0 +1/ +1/ +1/ º psso) N / 1 1/ 0 +1/ +1/ +1/ º psso) N / 1 1/ 0 +1/ +1/ +1/ 5º psso) N 7/ / 1 1/ 0 +1/ +1/ +1/ 6º psso) N = 7 7/ / 1 1/ 0 +1/ +1/ +1/ Pronto! Encontrmos que N é igul 7. Respost: lterntiv. 05. Um produto que custv R$ 80,00 sofreu um umento de 15%. Qunto pssou custr? novo preço = % 80 = ,15 80 = = 9, Um rtigo cust R$ 50,00. om um redução de 5% no seu vlor, qunto pssrá custr? novo preço = 50 5% 50 = 50 0,5 50 = 50 87,5 = 16, Num escol de 800 lunos, temos que 60% são menins. Qul é quntidde de meninos? omo quntidde de menins represent 60% do totl, quntidde de meninos representrá 0% do totl. Dí, teremos: Número de meninos = 0% de 800 = 0, 800 = 80 = 0 (Respost!) 08. Num urn, 5% ds bols são prets e s outrs 55 são brncs. Qunts bols há n urn? porcentgem de bols brncs n urn é igul 65% (=100% 5%) do totl. onsiderndo que o totl de bols d urn é X, podemos montr seguinte equção: 65% X 55 7

8 Resolvendo vem: X , Portnto, há 700 bols n urn. Prof. Weber mpos 09. erto produto pssou de R$,00 pr R$ 0,00. Qul foi t percentul de umento? umento em reis = 0 = 6,00 vrição percentul pode ser clculd dividindo-se o umento em dinheiro pelo vlor inicil do produto: 6 0,5 5% (Respost!) 10. O slário de mrildo é 0% mior que o de runo e o slário deste é 0% menor que o de rlos. som dos slários dos três é igul R$ 5680,00. Qul é o slário de cd um deles? Vmos designr s seguintes letrs: = slário de mrildo = slário de runo = slário de rlos Do enuncido, temos que: = + 0%. = 1,. = 0%. = 0,8. Devemos trblhr pens com um letr, pr tnto vmos colocr em função de. Teremos: = 1,. = 1,.(0,8) = 1,0. epressão d som dos slários é: + + = 5680 Vmos substituir s letrs e em função de : 1,0 + 0,8 + = 5680,8 = 5680 = 5680/,8 = 000 Dí: = 1,0. = 1, = 080 = 0,8. = 0, = 1600 Portnto, o slário de mrildo é R$ 080,00, o de runo é R$ 1600,00 e o de rlos é de R$ 000,00. 8

9 Prof. Weber mpos PROLEMS MTRIIIS IMPORTNTE: No progrm do concurso d Políci Federl/01 prece o tópico Problems Mtriciis. N pesquis que relizei ns provs pssds do espe que presentvm esse mesmo tópico, observei que form cobrdos pens problems que envolvim solução de sistems de equções (págin 0). De qulquer modo, coloquei neste mteril lguns fundmentos básicos de Mtrizes e em seguid solução de Sistems de Equções do 1º gru (Sistems Lineres). 1. MTRIZES 1.1. onceito de Mtriz Dito d form mis simples possível, um Mtriz nd mis é que um tbel, que serve pr orgnizção de ddos numéricos. Est tbel será limitd por colchetes (ou prênteses), dentro dos quis estrão dispostos os vlores numéricos. s linhs de um mtriz são enumerds de cim pr bio e s coluns são enumerds d esquerd pr direit. Vejmos um eemplo de mtriz com linhs e coluns: = / 6 1 linhs ordem de um mtriz indic o seu tmnho e formto, qul vi depender d quntidde de linhs e de coluns. Dizemos que mtriz é um mtriz de ordem (lê-se três por qutro), pois el possui linhs e coluns. Mis eemplos: = = D = E = / 5 9 é um mtriz. é um mtriz é um mtriz coluns é um mtriz 1. É imprescindível que gurdemos ess ordem: linhs coluns. Pr efeitos mnemônicos, podemos grvr plvr LI-O, designndo ordem linh colun. 1.. Elementos de um Mtriz Sej um mtriz com m linhs e n coluns, ou sej, do tipo m n. Um elemento qulquer dess mtriz será representdo simbolicmente por ij, em que os índices i e j indicm, respectivmente, linh e colun no qul se encontr tl elemento. 9

10 Prof. Weber mpos ssim, se temos o elemento 1 (lê-se, um, dois), este será o que ocup 1ª linh e ª colun d mtriz. Por su vez, o elemento será quele que ocup terceir linh e segund colun d mtriz. N mtriz, dd bio, identificremos o, ou sej, o elemento que se encontr n ª linh e ª colun: = 0 1 Logo: = / 6 Portnto, um mtriz, do tipo m n, pode ser representd d seguinte form: = m m 1 m n coluns 1 n n n mn m linhs De form simplificd, mesm mtriz tmbém pode ser representd como: = ( ij ) m n ou m n = ( ij ) omo i indic linh d mtriz m n onde se encontr o elemento, então i ssume todos os vlores 1,,,..., m. omo j indic colun d mtriz m n onde se encontr o elemento, então j ssume todos os vlores 1,,,..., n. Importnte lembrr que sempre linh vem ntes d colun. Num mtriz 5 7, são 5 linhs e 7 coluns. No elemento,5, tl elemento está n ª linh e 5ª colun. 1.. Lei de Formção de um Mtriz Se estivermos trblhndo com mtriz de ordem, seus elementos serão os seguintes: = Precisremos conhecer bem simbologi ij pr certrmos um tipo de questão muito freqüente em provs de rciocínio lógico. Or, muits vezes s questões já trzem s mtrizes pronts, com seus respectivos vlores numéricos. Outrs vezes, questão present pens um lei de formção d mtriz. Neste cso, cbe nós construirmos mtriz, obedecendo àquel lei. omo é isso? Vejmos lguns eemplos. Eemplo 01: Encontre mtriz do tipo que tem seguinte lei de formção: X= i,j, tl que i,j = (i - j) O que signific isso? Signific que teremos que clculr elemento por elemento ( i,j ) d mtriz X, sempre obedecendo ess relção presentd. Or, se questão disse que se trt de um mtriz do tipo, seus elementos serão os seguintes: 10

11 Prof. Weber mpos X = Observe que os índices i e j representm, respectivmente, linh e colun do elemento que estrá sendo clculdo. ssim, teremos que: 11 = (1 1) = 0 1 = (1 ) = -1 1 = (1 ) = - 1 = ( 1) = = ( ) = = ( ) = 1 1 = ( 1) = 8 = ( ) = 7 = ( ) = 6 E gor sim, cbmos de compor noss mtriz X, que é seguinte: X = Mtrizes Especiis Dependendo de qul sej ordem de um mtriz, el poderá receber determinds nomenclturs. lguns nomes ddos certs mtrizes são os seguintes: Mtriz Linh: é quel, como o próprio nome sugere, formd por pens um linh. = 5 8 é um mtriz linh 1. Mtriz olun: quel que present um únic colun. D = 6 0 é um mtriz colun 1. Mtriz Nul: quel cujos elementos são todos iguis zero. F = é um mtriz nul. G = é um mtriz nul 1. Mtriz Qudrd: é quel que tem o mesmo número de linhs e de coluns. = ordem) é um mtriz qudrd. Dizemos que é qudrd de ordem (ou ª 11

12 Prof. Weber mpos = ordem) é um mtriz qudrd. Dizemos que é qudrd de ordem (ou ª ind sobre Mtriz Qudrd, convém sbermos que ess mtriz tem dus digonis, que serão dits digonl principl e digonl secundári. Pelo desenho bio, prenderemos reconhecer cd um dels. Vejmos: Digonl Secundári Digonl Principl digonl principl, portnto, começ do elemento à esquerd n primeir linh, e vi descendo pr o sentido d direit. O inverso ocorre com digonl secundári. Observe que nos elementos d digonl principl, o índice d linh é igul o índice d colun: 11,,. Somente rtificndo: só flremos ns digonis principl e secundári qundo estivermos trblhndo com Mtrizes Qudrds! Mis um cois, chm-se trço de um mtriz qudrd som dos elementos de su digonl principl. Mtriz Identidde ou Mtriz Unidde: é quel cujos elementos d digonl principl são todos iguis 1, e os demis elementos d mtriz, iguis 0 (zero). ( mtriz identidde é um tipo prticulr de mtriz digonl.) I = I = é um mtriz identidde de ª Ordem, designd por I é um mtriz identidde de ª Ordem, designd por I. Mtriz Trnspost Trt-se de um conceito muito visdo pels elbordors! E tmbém um conceito muito simples. Se temos um mtriz qulquer, diremos que mtriz trnspost de, designd por t, será quel que resultr de um trnsposição entre linhs e coluns d mtriz originl. Dito de um form mis fácil: pr chegrmos à mtriz trnspost, tomremos mtriz originl e, nest últim, quem é linh vi virr colun! Só isso! Eemplo 0: Encontre mtriz trnspost d mtriz = s dus linhs d mtriz são destcds bio: = 1 Pois bem! primeir linh de e segund linh de vão virr, respectivmente, primeir colun e segund colun d trnspost de! Teremos: 1. 1

13 Prof. Weber mpos. t = 1 Qundo se fz trnspost d trnspost volt-se mtriz originl, simbolicmente: ( t ) t = 1.5. Iguldde de Mtrizes Dus mtrizes de mesm ordem são dits iguis qundo presentrem todos os elementos correspondentes iguis. Eemplo 0: Encontre os vlores, b e c sbendo que s mtrizes X e Y são iguis. X = b b c, Y = Se dus mtrizes são dits iguis, então iguis são os seus elementos correspondentes! Logo, teremos três igulddes que envolvem s letrs: 1) b = 9 ) b = 6 ) c + = 1 D segund iguldde, temos: b = Substituindo b por 6 n primeir e iguldde, encontrremos: 6 = 9 = 15 Substituindo por 15 n terceir iguldde, encontrremos: Pronto! c + 15 = 1 c = dição e Subtrção de Mtrizes primeir cois ser dit é seguinte: só é possível somr (ou subtrir) mtrizes de mesm ordem! E mis: o resultdo d som (ou subtrção) entre mtrizes será sempre um outr mtriz, de mesm ordem dquels que form somds (ou subtríds)! om isso, já mtmos seguinte chrd: suponhmos que um enuncido dig que, o somrmos s mtrizes e, tl som resultrá num mtriz Z, de ª ordem. Or, com isso, sberemos imeditmente que s mtrizes e são tmbém mtrizes qudrds de ª ordem! E vejm que isso não foi dito epressmente pel questão! Ess informção estv ns entrelinhs! Pr somrmos (ou subtrirmos) dus mtrizes, só teremos que somr (ou subtrir) os elementos que estejm ns posições correspondentes! Vejmos dois eemplos: Eemplo 0: Sejm s mtrizes e, tis que: = 5 8 e = 1 Qul será mtriz resultnte d som +? Teremos: 1

14 Prof. Weber mpos = 1 = (respost!) Designndo mtriz som por S, podemos estbelecer s seguintes relções entre os elementos ds mtrizes, e S: s 11 = 11 + b 11 ; s 1 = 1 + b 1 s 1 = 1 + b 1 ; s = + b Enfim, não há segredo lgum n som de mtrizes! Eemplo 05: Sejm s mtrizes e, tis que: = 5 8 e = 1 Qul será mtriz resultnte d diferenç? Teremos: = 1 = (respost!) Eemplo 06: (F-SF 001) mtriz S = s ij, de terceir ordem, é mtriz resultnte d som ds mtrizes = ( ij ) e = (b ij ). Sbendo-se que ij = i +j e que b ij = ij, então som dos elementos s 1 e s 1 é igul : ) 1 b) 1 c) 16 d) e) omecemos pel seguinte nálise: o enuncido diz que mtriz S é que result d som de dus outrs mtrizes, e que se trt de um mtriz qudrd de terceir ordem. Dí, concluiremos que s dus mtrizes que estão sendo somds são igulmente mtrizes qudrds de terceir ordem! Or, questão não nos deu s mtrizes e já construíds. Em vez disso, forneceu-nos s respectivs leis de formção de um e de outr. Terímos, pois, princípio, ter que construir ests dus mtrizes, pr depois somá-ls. Ocorre que, num leitur mis tent do enuncido, percebemos que respost procurd diz respeito pens dois elementos d mtriz som, quis sejm, s 1 e s 1. ssim, nem será necessário construir tod mtriz ou tod mtriz. lro que não! omo S = +, então pens nos lembrremos que: s 1 = 1 + b 1 e s 1 = 1 + b 1 prtir d lei de formção d mtriz, encontrremos 1 e 1. E prtir d lei de formção d mtriz, encontrremos b 1 e b 1. lei de formção d mtriz é: ij = i +j. álculo do elemento 1 : Do elemento 1, temos: índice i igul 1, e índice j igul. Vmos lnçr esses vlores n lei de formção d mtriz : ij = i +j 1 = 1 + = = 10 álculo do elemento 1 : Do elemento 1, temos: índice i igul, e índice j igul 1. Vmos lnçr esses vlores n lei de formção d mtriz : 1

15 Prof. Weber mpos ij = i +j 1 = +1 = = 10 lei de formção d mtriz é: b ij = ij. álculo do elemento b 1 : Do elemento b 1, temos: índice i igul 1, e índice j igul. Vmos lnçr esses vlores n lei de formção d mtriz : b ij = ij b 1 =.1. = 6 álculo do elemento b 1 : Do elemento b 1, temos: índice i igul, e índice j igul 1. Vmos lnçr esses vlores n lei de formção d mtriz : b ij = ij b 1 =..1 = 6 om isso, chegremos s 1 e s 1 : s 1 = 1 + b 1 = = 16 s 1 = 1 + b 1 = = 16 Finlmente, chegremos o que nos pede questão, d seguinte form: s 1 + s 1 = = Respost: lterntiv E Proprieddes d dição de Mtrizes Sejm,, e O mtrizes de mesm ordem, sendo O mtriz nul. Então, vlem s seguintes proprieddes pr dição de mtrizes: i. Propriedde omuttiv: + = + ii. Propriedde ssocitiv: ( + ) + = + ( + ) iii. iv. Eistênci de um elemento neutro: + O = Eistênci de mtriz opost: + (-) = O v. Trnspost d som: ( + ) t = t + t 1.7. Produto ou divisão de um número rel por um Mtriz Este tipo de operção tmbém não tem nenhum segredo. pens multiplicremos (ou dividiremos) constnte por cd um dos elementos d mtriz. E chegremos à mtriz resultnte! Eemplo 07: 0 ( ) = 5 1 = Eemplo 08: = =

16 Prof. Weber mpos Sejm, e O mtrizes de mesm ordem m n, sendo que O é mtriz nul. onsidere, ind, que c e k são números reis quisquer. Feits esss considerções, são válids s seguintes proprieddes: i. 1. = ii. 0. = O iii. k. O = O iv. k. ( + ) = k. + k. v. ( + ). k = k. + k. vi. k. (c. ) = (k. c). vii. (k. ) t = k. t 1.8. Multiplicção de Mtrizes qui se costum fzer lgum confusão! Embor sej igulmente muito fácil se multiplicr dus mtrizes. Vmos prender com clm. ntes de qulquer cois, convém sbermos que há um eigênci pr que se poss multiplicr dus mtrizes. Ou sej, não são quisquer dus mtrizes que podem ser multiplicds! Pr que sej possível se efetur o produto de dus mtrizes, é preciso que se verifique o seguinte: que o número de coluns d primeir mtriz sej igul o número de linhs d segund mtriz. Se ess eigênci se verificr, então o produto é possível. so contrário, nd feito! Outr cois importnte: o se multiplicr dus mtrizes, qul será dimensão d mtriz resultnte? prenderemos d seguinte form: suponhmos que pretendemos multiplicr mtriz, de dimensão, com mtriz, de dimensão 5. Teremos, então, que nlisr os vlores ds dimensões ds dus mtrizes, d seguinte form: ( ) ( 5 ) () (5) meios Funcion ssim: pr que o produto de dus mtrizes sej possível, comprremos s dimensões dos meios. Se forem iguis, então diremos que é possível, sim, relizr esse produto! Se os meios, o contrário, fossem diferentes, já nem poderímos multiplicr s mtrizes! Um vez consttdo que o produto é possível, verificremos os etremos: e í nós temos qul será dimensão d mtriz produto! Neste nosso eemplo cim, teremos que mtriz resultnte do produto entre e será um mtriz de dimensão 5. ompreendido? Reprisndo: os meios dizem se é possível o produto; os etremos dizem ordem d mtriz resultdo do produto. Pr treinr mis esses conceitos, obteremos em cd produto de mtrizes bio ordem d mtriz produto: Eemplo 09: etremos ),,5 =,5 b) 1,,1 = 1,1 c),,1 =,1 d),, = não é possível multiplicr Pois bem! Precismos gor prender como se fz multiplicção. Tomemos o eemplo seguinte: 16

17 Prof. Weber mpos Eemplo 10: Multipliquemos s dus mtrizes 1 5 e 6 1. Vmos verigur possibilidde do produto, e qul seri dimensão d mtriz resultnte. Teremos: ( ) ( ) () () meios etremos onclusão: o produto é possível, e mtriz resultnte terá dimensão : = = c11 c1 1 = c1 c Os índices desses elementos (c ij ) d mtriz produto terão um interpretção especil. Temos que sber o seguinte: pr chr um elemento d mtriz produto, estremos sempre multiplicndo um linh d primeir mtriz por um colun d segund mtriz. Sempre ssim! Dí, n hor de clculr o vlor do elemento c 11, fremos o produto dos elementos d 1ª linh d primeir mtriz pelos elementos d 1ª colun d segund mtriz. Ou sej, os índices desse elemento c 11 (d mtriz produto) significm o seguinte: c 11 1ª linh d 1ª mtriz 1ª colun d ª mtriz ssim, n hor de clculr o elemento c 11, utilizremos linh e colun destcds bio: Um modo interessnte pr encontrr os elementos d mtriz produto é colocr ldo ldo linh e colun serem multiplicds. Pr colocr ldo ldo, teremos que colocr linh n verticl. Teremos seguinte disposição: 1 E depois efeturemos multiplicção entre os elementos correspondentes: gor, sommos os resultdos d multiplicção: 17

18 Prof. Weber mpos Logo, c 11 = 19. Vmos encontrr os elementos restntes d mtriz produto utilizndo esse mesmo procedimento. O elemento c 1 é obtido prtir do produto dos elementos d 1ª linh d primeir mtriz () pelos elementos d ª colun d segund mtriz (). 1ª linh de Dí: c 1 = O elemento c 1 é obtido prtir do produto dos elementos d ª linh d primeir mtriz () pelos elementos d 1ª colun d segund mtriz (). ª linh de Dí: c 1 = 5. O elemento c é obtido prtir do produto dos elementos d ª linh d primeir mtriz () pelos elementos d ª colun d segund mtriz (). ª linh de 5 ª colun de 1ª colun de ª colun de Dí: c =. om isso, chegmos o nosso resultdo finl, ou sej, à mtriz produto : =

19 Prof. Weber mpos Proprieddes d multiplicção de Mtrizes multiplicção de mtrizes possui s seguintes proprieddes: i. Propriedde ssocitiv: (. ). =. (. ) ii. iii. iv. Propriedde Distributiv à Esquerd:. ( + ) =. +. Propriedde Distributiv à Direit: ( + ). =. +. Eistênci de um elemento neutro:. I = I. = v. Trnspost do produto: (. ) t = t. t vi. Potênci de um mtriz: n = n ftores.. Note que não temos propriedde comuttiv, pois não podemos grntir que. é igul Eemplo 11: (TF-97) Se, e são mtrizes de ordens respectivmente iguis (), () e (), então epressão [. (. )] tem ordem igul : ) c) e) 1 1 b) d) 6 6 Um questão que trt unicmente cerc d ordem (dimensão) ds mtrizes. E isso já prendemos perfeitmente. Vmos, portnto, substituir letr d mtriz pel su ordem, conforme nos forneceu o enuncido. Teremos: [. (. )] = {().[().()] } Primeirmente devemos fzer o produto ds mtrizes e, que estão dentro do prêntese! Teremos: ( ) ( ) ( ) ( ) meios etremos O resultdo, conforme podemos ver no esquem cim, será um nov mtriz de dimensão (), que são os etremos ds ordens ds mtrizes multiplicds! Pois bem! Teremos gor que multiplicr mtriz, de dimensão () pel mtriz produto que cbmos de encontrr, de ordem (). Teremos: ( ) ( ) meios etremos Dí, chegmos um nov mtriz, de dimensão (), conforme percebemos pelo esquem cim. Esse é o resultdo finl do produto [. (. )]. Só que questão quer mis! Quer que elevemos esse resultdo o qudrdo! Or, =. (ssim como =.., e ssim por dinte). É preciso, finlmente, que nós multipliquemos ess mtriz resultnte por el mesm. Teremos, pois, que: ( ) ( ) meios etremos 19

20 Prof. Weber mpos Ou sej, o resultdo finl d epressão trzid pelo enuncido é justmente um mtriz qudrd de ª ordem: um mtriz de dimensão (). Respost: lterntiv. Eemplo 1: (TF 1995 ESF) Dd s mtrizes os vlores de e b, de modo que X= ) =0 e b=1 c) =0 e b=0 e) =0 e b=-1 b) =1 e b=0 d) =1 e b=1 1, 0 1 e X 1 b, ssinle questão quer que fçmos o produto entre s mtrizes e X, e que igulemos esse resultdo à mtriz. omecemos, pois, pelo produto. Teremos:. X = b = 1 b b 0 1b b Dí, igulndo ess mtriz produto à mtriz, teremos: b b 1 Dess iguldde, podemos tirr os seguintes resultdos: + b = e b = 1 Encontrmos: b = 1! Vmos substituir esse resultdo n equção cim: + b = +.1 = = 0 hegmos o nosso resultdo: = 0 e b = 1. Respost: lterntiv.. SISTEMS LINERES.1. onceito de Sistem Liner Um sistem de equções lineres ou, simplesmente, sistem liner é um conjunto de dus ou mis equções lineres. Por eemplo: y 7 y 9 Este sistem liner present dus equções e dus incógnits (ou vriáveis): e y. Os números que vem juntos com s incógnits são chmdos de coeficientes. N primeir equção, o coeficiente de é e o coeficiente de y é -. O número que não vem compnhdo de incógnit, e que nesse eemplo prece à direit do sinl de igul, é chmdo de termo independente. Vej outro eemplo de sistem liner com três equções e três incógnits: y z 5 y z 1 y z 8 0

21 Prof. Weber mpos 1 É importnte sber que num equção liner os epoentes ds incógnits são todos iguis 1. Dess form, não são equções lineres: y = 8 + 1/y = 10 Tmbém não são equções lineres: y + z = 1 y + zw = 0.. Representção de um Sistem Liner n Form Mtricil Lembrndo o conceito de produto de mtrizes, é possível representr qulquer sistem liner n form mtricil. Vejmos: 9 7 y y Form mtricil: y z y z y z y Form mtricil: z y. mtriz formd pelos coeficientes ds incógnits é chmd de Mtriz Incomplet. lgums vezes pode ser necessário rrumr o sistem de equções ntes de montr s mtrizes, colocndo s incógnits num mesm ordem dentro de cd equção do sistem e pssndo os termos independentes pr direit do sinl de igul. Vejmos o próimo eemplo: y z z y pós orgnizr s equções do sistem, teremos: z y z y z y Form mtricil: z y. montgem d mtriz incomplet é às vezes de fundmentl importânci n resolução do sistem liner... Solução de um Sistem Liner onsidere o seguinte sistem, composto por dus equções lineres: 9 7 y y. Um pr de vlores (, y) é solução desse sistem, se for solução ds dus equções. Num sistem com três incógnits, solução é um tripl ordend (, y, z) que deverá stisfzer tods s equções do sistem. Eemplo 1: Encontre solução do sistem 9 7 y y Eistem dois métodos bem conhecidos pr resolver sistems de equções: o método d substituição e o método d dição. O método d substituição consiste em isolr um ds incógnits em um ds equções pr depois substituir n outr equção.

22 Prof. Weber mpos E o método d dição consiste em tornr os coeficientes de um ds incógnits com o mesmo módulo, ms de sinis contrários, fim de eliminr ess incógnit no momento que se fz som, membro membro, ds equções. Vmos optr pelo método d dição pr resolver o presente sistem. Multiplicremos os coeficientes e o termo independente d segund equção por (-). om isso, teremos: y 7 8y 18 Somndo, membro membro, s dus equções, vriável será elimind e ficremos pens com seguinte equção: 11y 11 Resolvendo, vem: y 1. Substituindo y por 1 em um ds equções, encontrremos o. y Portnto, o sistem dmite um únic solução: =5 e y=1. Podemos tmbém representr solução pelo pr ordendo (5, 1). Eemplo 1: Encontre solução do sistem y z 5 y z 1 y z 8. Qundo temos três vriáveis e três equções, solução pdrão é eliminr um ds vriáveis fim de ficrmos com dus vriáveis e dus equções. Por eemplo, pelo método d dição podemos combinr s dus primeirs equções fim de eliminrmos vriável. Em seguid, combinmos segund e terceir equções tmbém pr eliminr mesm vriável. Desse modo, ficremos com dus equções e dus vriáveis (y e z). E í se procede como foi feito no eemplo nterior. Ms fremos diferente, vmos utilizr o método d substituição pr eliminr um ds vriáveis. Isolremos vriável z n primeir equção pr depois substituir ns outrs dus equções. Isolndo z n primeir equção: y z 5 z 5 y Substituindo z ns outrs dus equções: y (5 y) 1 y (5 y) 8 Simplificndo, vem: 1 7y y 1 gor plicremos o método d dição. Vmos multiplicr segund equção cim por (- 7) fim de eliminr vriável y. Teremos: 1 7y 8 7y 91 Somndo, membro membro, s dus equções, vriável y será elimind e ficremos pens com seguinte equção: 1 1

23 Resolvendo, vem:. Prof. Weber mpos Substituindo por em qulquer um ds equções de dus vriáveis, encontrremos o y. y 1 y 1 y 1 Por enqunto, encontrmos que: = e y=1. Rest ind o vlor de z. Vmos usr primeir equção dd no enuncido. Teremos: y z 5 1 z 5 z Portnto, o sistem dmite um únic solução: =, y=1 e z=-. Podemos tmbém representr solução pel tripl ordend (, 1, -). omo houve solução pr o sistem de equções, podemos clssificá-lo como POSSÍVEL E DETERMINDO. Eemplo 15: Encontre solução do sistem y 15 6y 5 Usndo o método d dição, multiplicremos primeir equção do sistem por (-). om isso, teremos: 6y 5 6y 5 Somndo, membro membro, s dus equções, ficremos com iguldde: 0 0 Tod vez que precer um iguldde desse tipo (0=0; =; 7=7;...) signific que o sistem terá infinits soluções. Pr encontrr lgums desss soluções, bst selecionr um ds equções do sistem e tribuir vlores pr um ds vriáveis. N equção y 15 tribuiremos lguns vlores. Vejmos: = = y y 7, 5 y y 7 = 15 y y 6, 5 Logo, os três pres ordendos: (0, 7,5); (1, 7); (, 6,5) são lgums ds soluções do sistem. respost dest questão é: o sistem tem infinits soluções. E Esse sistem é clssificdo como POSSÍVEL E INDETERMINDO. Eemplo 16: Encontre solução do sistem y 5 6y 1 Usndo novmente o método d dição, multiplicremos primeir equção do sistem por (-). om isso, teremos: 6y 10 6y 1 Somndo, membro membro, s dus equções, ficremos com iguldde: 0 É clro que zero não é igul! Tod vez que precer lgo desse tipo (0=; =7; =- 1;...) signific que o sistem não tem solução! Esse sistem é clssificdo como IMPOSSÍVEL.

24 Prof. Weber mpos RESOLUÇÕES DE PROLEMS MTRIIIS 11. (MPE/PE nlist 006 F) N beir de um lgo circulr eiste, dentre outrs coiss, um bebedouro (), um telefone público (T) e um cerejeir (). uriosmente, um pesso observou que, cminhndo de: - T, pssndo por, percorreu 55,0 metros; -, pssndo por T, percorreu 9,50 metros; - T, pssndo por, percorreu 08,0 metros. O perímetro d lgo, em metros, é igul () 9 () 871 () 785 (D) 68 (E) 571 Designremos por distânci, pel beir d lgo, do bebedouro () à cerejeir (); por y distânci d cerejeir () o telefone público (T); e por z distânci do telefone público (T) o bebedouro. Vmos fzer o desenho d lgo incluindo s distâncis, y e z. z T Segundo o enuncido, distânci de T, pssndo por, é de 55,0 metros. Este mesmo percurso corresponde à distânci +y, então temos seguinte iguldde: + y = 55,0 distânci de, pssndo por T, é de 9,50 metros. Este mesmo percurso corresponde à distânci y+z, então temos seguinte iguldde: y + z = 9,50 distânci de T, pssndo por, é de 08,0 metros. Este mesmo percurso corresponde à distânci z+, então temos seguinte iguldde: z + = 08,0 questão quer o perímetro d lgo que é ddo pel seguinte som: +y+z. Em questões de Lógic onde respost é um som de vriáveis (como no cso dest questão, em que é pedid som +y+z), é sempre bom verificr se prtir d som ds equções montds pode-se chegr à som ds vriáveis que se quer encontrr. Se der certo, chegremos rpidmente à respost d questão. Vmos, então, somr s equções bio, membro membro, pr verificr se prece som +y+z. + y = 55,0 y + z = 9,50 z + = 08,0 Somndo os primeiros membros ds equções e depois os segundos membros, teremos: + y + y + z + z + = 55,0 + 9, ,0 Simplificndo, vem: + y + z = 156.( + y + z) = 156 ( + y + z) = 68 y

25 Prof. Weber mpos Encontrmos som ( + y + z)! El é igul 68! Respost: lterntiv D. 1. (Sec dm/pe 008 FGV) N figur bio, cd qudrdinho possui um número oculto. Em cd um ds situções bio, o número que prece embio de dd figur é som dos números que estão nos qudrdinhos sombredos. 6 9 O número do qudrdinho centrl é: () 5 () 6 ()) 7 (D) 8 (E) 9 Representremos os vlores que se encontrm em cd um dos qudrdinhos pels letrs:, b, c, d e, conforme mostrdo n figur bio: d c b Temos que encontrr o número do qudrdinho centrl, ou sej, o vlor de. Somndo s letrs que estão nos qudrdinhos sombredos, em cd um ds figurs, obteremos s seguintes equções: 1ª eq.) + b + d + = 6 ª eq.) + c + d + = 9 ª eq.) b + c + d + = ª eq.) + b + c + = 5ª eq.) + b + c + d = Vmos somr tods esss equções. É fácil somá-ls, bst perceber que s letrs se repetem o mesmo número de vezes, no cso repetições. Dí, teremos:.( + b + c + d + ) = ( ) Simplificndo, vem: ( + b + c + d + ) = 1/ + b + c + d + = 1 (6ª equção) N 5ª equção, temos que som ( + b + c + d) é igul. Lnçndo esse resultdo n 6ª equção, encontrremos o vlor de. Teremos: + = 1 = 1 = 7 Respost: lterntiv. 5

26 Prof. Weber mpos PROLEMS GEOMÉTRIOS Ns soluções dos problems geométricos, é necessário conhecer vários conceitos e fórmuls d Geometri, os quis são presentdos seguir. 1. ÂNGULOS 1.1. Definição Ângulo é o nome que se dá à bertur formd por dus semi-rets que prtem de um mesmo ponto. O Indic-se o ângulo por: Ô ou. e são semi-rets que formm os ldos do ângulo, e O é o vértice do ângulo. 1.. Tipos de ângulos Ângulo reto: É quele cuj medid é igul 90º (ou / rd). 90º Ângulo rso: É quele cuj medid é igul 180º (ou rd). 180º Ângulo gudo: É quele cuj medid é menor que de um ângulo reto. Ângulo obtuso: É quele cuj medid é mior que de um ângulo reto e menor que de um rso.. IRUNFERÊNI É o lugr geométrico dos pontos de um plno que eqüidistm de um ponto. Esse ponto é o centro d circunferênci e distânci do centro qulquer ponto d circunferênci é o rio..1. Elementos d circunferênci cord diâmetro O rio D rco P 1º) ord de um circunferênci é um segmento cujs etremiddes estão n circunferênci. O segmento D é um cord. º) Diâmetro de um circunferênci é um cord que pss pelo centro. O segmento é um diâmetro. º) Rio de um circunferênci é um segmento com um etremidde no centro e outr num ponto d circunferênci. O segmento OP é um rio. º) rco de um circunferênci é curv compreendid entre dois pontos d circunferênci. O trçdo em vermelho corresponde o rco D. 6

27 Prof. Weber mpos.. Regiões do círculo O segmento setor D írculo é reunião d circunferênci com o seu interior. Setor circulr é região de um círculo delimitd por dois rios e um rco. Segmento é região de um círculo delimitd por um cord e um rco. Semicírculo é um segmento que é limitdo pelo diâmetro... omprimento d circunferênci O comprimento (perímetro) de um circunferênci de rio r é ddo pel epressão: = r O símbolo (lê-se: pi) é um constnte cujo vlor é: =,1... O diâmetro (D) de um circunferênci é o dobro do rio, então podemos escrever o comprimento d circunferênci como: = D.. omprimento de um rco d circunferênci Sbendo que um volt complet n circunferênci corresponde um ângulo de 60º (ou rd), podemos encontrr medid de qulquer rco trvés de um regr de três simples. Eemplo 01: lcule o rco compreendido entre os pontos e d circunferênci bio: O 60º 1 cm O comprimento d circunferênci é: =.1 = Fremos seguinte regr de três: º º Resolvendo, vem: 60. =. 60 = /6 = cm 1,56 cm 7

28 Prof. Weber mpos. TRIÂNGULOS.1. lssificção Qunto os ldos: Equilátero: tem os três ldos iguis e os três ângulos iguis. 60º Isóceles: tem dois ldos iguis e dois ângulos iguis. Escleno: os três ldos são diferentes e tmbém os três ângulos. 60º 60º Qunto os ângulos: Retângulo: possui um ângulo reto. cutângulo: todos os ângulos são menores que 90º. Obtusângulo: possui um ângulo mior que 90º. O triângulo pode ser o mesmo tempo isósceles e retângulo. Neste cso, ele presentrá dois ângulos de 5º e um de 90º, conforme mostrdo seguir: 5º 5º.. ondição de eistênci do triângulo c b Qulquer ldo do triângulo está compreendido entre diferenç positiv e som dos outros dois. Ou sej: b c < < b + c c < b < + c b < c < + b Eemplo 0: Verifique se é possível formr um triângulo com os segmentos de medids: 10 cm, 15 cm e 0 cm. Estes três segmentos podem formr um triângulo, pois tendem condição de eistênci do triângulo, conforme mostrdo bio: < 0 < < 0 < 5 (Ok!) 0 10 < 15 < < 15 < 0 (Ok!) 0 15 < 10 < < 10 < 5 (Ok!) 8

29 Prof. Weber mpos Temos o seguinte triângulo: Teorem do ângulo interno som dos ângulos internos de um triângulo é igul = 180º.. Teorem do ângulo eterno Em qulquer triângulo, medid de um ângulo eterno é igul à som ds medids dos dois ângulos internos não-djcentes. e = + e Eemplo 0: Encontre o vlor do ângulo em grus. 100º 0º 15º D Prolongndo o ldo, formremos um triângulo de vértices DE, conforme mostrdo bio: 100º 0º E 15º D hmmos de o ângulo do vértice E. Repre que é medid de um ângulo eterno do triângulo E. Dí, usndo o teorem do ângulo eterno, teremos: = 0º + 100º = 10º E como é medid de um ângulo eterno do triângulo DE, vem: = + 15º = 10º + 15º = 15º (Respost!) Tod vez que tivermos um desenho como este, podemos simplesmente somr os ângulos de dentro d figur pr encontrr o ângulo. Repre que = 0º + 100º + 15º = 15º. 9

30 Prof. Weber mpos.5. evins do triângulo evin é qulquer segmento de ret que tem um etremidde num vértice de um triângulo e outr num ponto qulquer d ret suporte do ldo oposto esse vértice. Veremos s cevins mis importntes: Medin, issetriz intern e ltur Medin È o segmento que une um vértice o ponto médio do ldo oposto. O segmento M é medin reltiv o vértice. M.5.. ltur É o segmento que prte de um vértice e é perpendiculr o ldo oposto. O segmento H é ltur reltiv o vértice. H ltur ltur.5.. issetriz bissetriz do ângulo  divide este ângulo em dus prtes iguis (em dois ângulos congruentes). O segmento D é bissetriz intern reltiv o vértice. H D Teorem d bissetriz intern: bissetriz do ângulo interno de um triângulo determin sobre o ldo oposto dois segmentos proporcionis os outros dois ldos. D figur cim, temos: Eemplo 0: O triângulo d figur bio tem perímetro igul 5 cm. O segmento P é bissetriz de  e s medids dos segmentos e P são, respectivmente, 1 cm e 9 cm. lcule medid do segmento. 1 P 9 Designremos por medid do segmento e por y medid do segmento P. 1 y P 9 0

31 Prof. Weber mpos omo o perímetro do triângulo é igul 5, podemos formr seguinte equção: + y = 5 Simplificndo, vem: + y = 1 E pelo teorem d bissetriz intern, temos: Isolndo y n primeir equção e substituindo n segund, teremos: Resolvendo, vem: (Respost!).6. Pontos notáveis do triângulo INENTRO RIENTRO Z Y O X O incentro é o ponto de encontro ds bissetrizes interns. O incentro será o centro d circunferênci inscrit no triângulo. ORTOENTRO O bricentro é o ponto de encontro ds medins. O bricentro divide cd medin em dois segmentos de modo que o menor é 1/ d medid d medin. Ou sej: OX = X/; OY = Y/; OZ = Z/. IRUNENTRO O ortocentro é o ponto de encontro ds lturs. O circuncentro é o ponto de encontro ds meditrizes dos ldos do triângulo. ( meditriz de um segmento é ret perpendiculr que pss pelo ponto médio desse segmento.) O circuncentro é o centro d circunferênci circunscrit o triângulo. 1

32 Prof. Weber mpos No triângulo eqüilátero, o incentro, o bricentro, o ortocentro e o circuncentro coincidem num único ponto. Eemplo 05: Encontre os rios ds circunferêncis inscrit e circunscrit de um triângulo eqüilátero de ldo 10 cm. O desenho do triângulo eqüilátero com s circunferêncis inscrit e circunscrit é: P O N M Por primeiro, clculremos ltur do triângulo eqüilátero, representd no desenho pelo segmento M, trvés d plicção do teorem de Pitágors no triângulo M. h 10 Dí, vem: 10 = h = h + 5 h = M h = 75 h = h = No primeiro desenho, o segmento M, lém de ser ltur, é tmbém medin e bissetriz reltiv o vértice. Do conceito ddo nteriormente sobre o bricentro, podemos firmr que o segmento OM é igul 1/ do segmento M. E este segmento OM é etmente o rio d circunferênci inscrit. Dí, vem: Rio d circ. inscrit = OM = M/ = = medid do rio d circunferênci circunscrit é igul do segmento O. E como OM é 1/ do segmento M, logo O é / do segmento M. Dí, vem: Rio d circ. circunscrit = O = /. M = = 5

33 Prof. Weber mpos.7. Relções métrics no triângulo retângulo O triângulo bio é chmdo de triângulo retângulo porque possui um ângulo interno igul 90º. c h b m n Vmos crcterizr os elementos seguintes desse triângulo: : hipotenus b e c : ctetos h : ltur reltiv à hipotenus m e n : projeções dos ctetos sobre hipotenus Temos s seguintes relções métrics no triângulo retângulo: 1) bc = h ) c = m. ) b = n. ) h = m.n Teorem de Pitágors: O qudrdo d hipotenus é igul som dos qudrdos dos ctetos. ssim: = b + c Eemplo 06: Determine o vlor de, y e z n figur bio. 8 z y 1 Escrevendo tods s relções métrics, teremos: 1) bc = h z.8 = (1+y). ) c = m. 8 = y.(1+y) ) b = n. z = 1.(1+y) ) h = m.n = y.1 N segund relção métric há pens um vriável, então iniciremos por el. 8 = y.(1+y) 6 = 1y + y y 1y 6 = 0 o resolver equção, encontrremos: y = e y =-16. Ficremos pens com riz positiv: y=. Lnçremos esse resultdo n terceir relção métric. z = 1.(1+) z = 1.16 z = Pr determinr, usremos qurt relção métric: =.1 =

34 Prof. Weber mpos Eemplo 07: Determine o vlor de n figur bio. 5 D O triângulo D é um triângulo retângulo. hmremos o segmento D de m e depois plicremos o teorem de Pitágors no triângulo D. 5 = + m m = 5 16 m = hmremos hipotenus de e plicremos relção métric: c = m.. 5 =. = 5/ Pr encontrr, plicremos relção métric: b.c =.h.. 5 = 5/. = 0/ (Respost!). QUDRILÁTEROS Qudrilátero é o polígono de qutro ldos. som dos ângulos internos de um qudrilátero é igul 60º. = 60º D lguns qudriláteros notáveis são: prlelogrmo, retângulo, losngo, qudrdo e trpézio..1. Prlelogrmo É o qudrilátero cujos ldos opostos são prlelos. No prlelogrmo tmbém se observ: - Os ldos opostos são congruentes; - Os ângulos opostos são congruentes; - Os ângulos djcentes são suplementres.

35 Prof. Weber mpos.. Retângulo É o prlelogrmo que possui seus qutro ângulos retos... Losngo É o prlelogrmo que tem os qutro ldos iguis... Qudrdo É o prlelogrmo que tem os qutro ldos e os qutro ângulos iguis entre si..5. Trpézio É o qudrilátero em que pens dois ldos são prlelos entre si. Onde: D H é prlel D. é bse menor. D é bse mior. H é ltur. Propriedde: M N D Sendo M o ponto médio de D e N o ponto médio de, medid do segmento MN, chmd de bse médi do trpézio, é dd por: 5

36 Prof. Weber mpos Eemplo 08: N figur bio, D é um trpézio cujs bses são: = cm e D = 10 cm. Sejm M o ponto médio do ldo D e N o ponto médio do ldo. Os pontos P e Q são os pontos de intersecção de MN com s digonis e D. lcule o segmento PQ. cm M P Q N 10 cm D O segmento MN é bse médi do trpézio, dí vem: O segmento MP é um bse médi do triângulo, dí vem: O segmento QN é bse médi do triângulo D, dí vem: Já temos condições de clculr PQ. Observe no desenho que medid PQ é igul : (MN MP QN). Dí vem: 5. POLÍGONOS Polígono é um superfície pln limitd por segmentos de ret, chmdos de ldos. Vej um eemplo de polígono de qutro ldos: D Onde:,, e D são os vértices do polígono.,, D e D são os ldos do polígono. Qunto o número de ldos, os polígonos recebem os seguintes nomes: triângulo ldos qudrilátero ldos pentágono 5 ldos heágono 6 ldos heptágono 7 ldos octógono 8 ldos eneágono 9 ldos decágono 10 ldos icoságono 0 ldos Se os ldos forem todos iguis e os ângulos internos tmbém, o polígono diz-se regulr. 6

37 Prof. Weber mpos 5.1. Digonis de um polígono De um único vértice, num polígono de n ldos (e n vértices), prtem n digonis. Pois dos n vértices, devemos descrtr o próprio vértice e os dois vértices vizinhos, porque não formm digonis. No heágono bio são mostrds s (=6 ) digonis que prtem do vértice. D F E Trçmos tmbém tods s digonis do heágono: D F E Sbemos que de cd vértice prtem (n-) digonis. omo são n vértices, então teremos n.(n-) digonis. No entnto, digonl é mesm digonl, ssim como D é mesm D, e ssim por dinte. Ou sej, cd digonl está se repetindo dus vezes. Desse modo, o totl de digonis distints é obtido dividindo-se n.(n-) por. Teremos: n( n ) Nº de digonis do polígono = 5.. Ângulos internos e eternos de um polígono Sejm i 1, i, i,..., i n s medids dos ângulos internos e e 1, e, e,..., e n s medids dos ângulos eternos de um polígono de n ldos. e 1 i 1 i n e n e i i 5 e i i e 5 e Sobre o polígono, temos que: 1º) som dos ângulos internos = i 1 + i i n = 180º.(n-) º) som dos ângulos eternos = e 1 + e e n = 60º º) Se o polígono for regulr, ele tem todos os ângulos congruentes, dí vem: ângulo interno de um polígono regulr de n ldos = ângulo eterno de um polígono regulr de n ldos = Eemplo 09: Encontre medid do ângulo interno do polígono regulr cuj som dos ângulos internos é igul 50º. 7

38 Prof. Weber mpos Pel fórmul d som dos ângulos internos, teremos: 180.(n-) = 50 (n-) = 5/18 n = 1 + = 16 ldos (Hedecágono regulr) Este polígono possui tmbém 16 ângulos iguis, cuj som é 50º. Dí, vem: ângulo interno = 50º/16 = 157,5º 6. TEOREM DE TLES Um feie de prlels determin, em dus trnsversis quisquer, segmentos que são proporcionis. t 1 t D r 1 E r F r Posto isso, teremos: Ou ind: DE EF DE EF DF Eemplo 10: N figur bio, há três rets prlels cortds por dus trnsversis, em que som +y+z é igul 6. lcule, y e z. y z Pelo teorem de Tles, podemos montr seguinte proporção: De cordo com s proprieddes d proporção, podemos escrever iguldde: Simplificndo, vem: 8

39 Prof. Weber mpos Igulndo primeir frção com últim: álculo de y: álculo de z: 7. SEMELHNÇ DE POLÍGONOS Dois polígonos DE... e D E..., com o mesmo número de ldos, são semelhntes se, e somente se: 1º) seus ângulos correspondentes (homólogos) são congruentes, isto é:,,,... º) seus ldos homólogos são proporcionis, isto é: E E constnte k, de proporcionlidde entre os ldos, é chmd rzão de semelhnç dos polígonos. Dd constnte k de proporcionlidde entre os ldos, temos tmbém que: - rzão entre os perímetros é k; - rzão entre s digonis homólogs é k; D - rzão entre s lturs homólogs dos vértices é k; Enfim, rzão entre dois elementos lineres homólogos é k. rzão entre s áres de polígonos semelhntes é igul o qudrdo d rzão de semelhnç, ou sej, k. Ns questões de concursos é mis freqüente semelhnç entre triângulos. E, neste tipo de polígono, pr que hj semelhnç, é necessário pens que se tenhm dois ângulos em comum entre eles. D 9

40 Prof. Weber mpos Eemplo 11: N figur bio, o ângulo é congruente o ângulo, = 16 cm, = 1 cm, = 16 cm e P = 6 cm. lcule s medids dos segmentos PQ e Q P 6 Q 1 N figur cim, podemos observr dois triângulos: e PQ, onde o ângulo os dois triângulos. Seprremos os dois triângulos colocndo s medids de cd um. é comum P 6 1 omo há dois ângulos em comum, é clro que o terceiro ângulo tmbém será comum. Dí, os triângulos são semelhntes. Vmos reposicionr o segundo triângulo de form que os ângulos dos dois triângulos se correspondm. Q Q y y P 6 omo são semelhntes, fremos proporção entre os ldos correspondentes: Igulndo primeir e últim frção, encontrremos o vlor de : álculo de y: 8. ÁRES DS FIGURS PLNS 9.1. Retângulo b Áre =. b 9.. Qudrdo Áre = 0

41 Prof. Weber mpos 9.. Prlelogrmo b h Áre = bse ltur = h 9.. Trpézio b c h d Áre = ( + b).h 9.5. Losngo D d Áre = D. d d = digonl menor D = digonl mior 9.6. Triângulo qulquer c h b Áre = bse ltur = h ou Áre =.b.sen ou Áre = p( p )( p b)( p c), p = semi-perímetro Triângulo Eqüilátero h h = e Áre = 9.8. Triângulo Inscrito num ircunferênci c b Áre do triângulo =.b.c R R 1

42 Prof. Weber mpos 9.9. Triângulo ircunscrito um ircunferênci c r b Áre do triângulo = (+b+c).r Áre do írculo O r Áre = r Setor irculr r Pel plicção d regr de três simples, teremos: Áre = r o Heágono Regulr No seu interior há seis triângulos eqüiláteros. Áre = 6 Eemplo 1: Determine áre do qudrilátero D bio, cujs medids dds estão em centímetros. 1 P D

43 Prof. Weber mpos áre totl pode ser obtid pel som ds áres dos triângulos e D. DP. plicremos o teorem de Pitágors no triângulo DP fim de obter medid do segmento D = P + DP = + DP DP = 1 DP = 9 DP = plicremos gor Pitágors no triângulo DP fim de obter medid do segmento P. D = P + DP = P + P = 9 P = 5 P = 5 medid de é igul à som ds medids P e P. = P + P = 5 + = 7 áre do triângulo é: Áre do = (.P)/ = (7. 1)/ =,5 cm áre do triângulo D é: Áre do D = (.DP)/ = (7. )/ = 10,5 cm Portnto, áre do qudrilátero D é igul 1 (=,5 + 10,5) cm. Eemplo 1: lcule áre d prte sombred dentro qudrdo D de ldos 1 cm. Observe que os pontos e D são centros de circunferêncis de mesmo rio. ssim, D = E = DE = 1 cm. Desse modo, o triângulo DE é eqüilátero, com ldos iguis 1 cm e ângulos iguis 60º. E º 1 D áre do triângulo eqüilátero DE é dd por: Áre do DE = = O setor circulr DE tem áre igul : Áre do setor DE = = = diferenç entre áre do setor circulr DE e áre do triângulo DE é igul à áre do segmento circulr DE.

44 Prof. Weber mpos Áre do segmento circulr DE = Observe no último desenho que áre sombred corresponde à som ds áres de três prtes: segmento circulr E, triângulo DE e segmento circulr DE. Áre sombred = ( ) + + ( ) = (Respost!) 9. VOLUME DOS SÓLIDOS Prlelepípedo retângulo Volume = áre d bse ltur =. b. c c b Áre totl = (b + c + bc) b 10.. ubo Volume = áre d bse ltur =. = Áre totl = ( + + ) = ilindro h Volume = áre d bse ltur = r. h Áre h lterl = r. h Áre totl = áre lterl + áre ds bses = rh +.r r 10.. Esfer R = rio d esfer Volume = R Áre d superfície esféric = R

45 Prof. Weber mpos Pirâmide h Volume = áre d bse ltur Pr o tetredro regulr (s fces são triângulos eqüiláteros), o volume é: h Volume = one h Volume = áre d bse ltur = r. h r 5

46 Prof. Weber mpos EXERÍIOS RESOLVIDOS 01. (TF 1996 ESF) Os pontos X, Y e Z estão todos no mesmo plno. distânci, em linh ret, do ponto X o ponto Y é de 0 cm, e do ponto X o ponto Z é de cm. Se d é distânci em centímetros, tmbém em linh ret, do ponto Y o ponto Z, então o conjunto dos possíveis vlores pr d é ddo por: ) 8 d 0 d) d 5 b) 8 d 5 e) 0 d 5 c) d 0 Desenhremos os pontos X e Y de cordo com os ddos fornecidos: X 0cm O ponto Z está um distânci de cm de X. Logo, Z pode estr em qulquer ponto d circunferênci de rio e de centro no ponto X, conforme mostrdo bio: Z cm Y X 0cm Y mior distânci que Z pode ficr de Y é mostrd seguir: cm 0cm Z X Y Logo, mior distânci é igul : + 0 = 5 cm menor distânci que Z pode ficr de Y é mostrd seguir: 0cm cm X Z Y Logo, menor distânci é igul : 0 = 8 cm Portnto, os vlores de d estão entre 8 e 5, ou sej, 8 d 5. Respost: lterntiv. 0. (FTN 1998/ESF) Em um triângulo retângulo, um dos ctetos form com hipotenus um ângulo de 5º. Sendo áre do triângulo igul 8 cm, então som ds medids dos ctetos é igul : ) 8 cm d) 16 cm b) 16 cm e) 8 cm c) cm Vmos desenhr um triângulo retângulo de ctetos b e c, e hipotenus, com um ângulo de 5º entre hipotenus e um dos ctetos. 6

47 Prof. Weber mpos c som dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Dí, o ângulo ˆ é igul : ˆ = 180º (90º + 5º) = 5º omo o triângulo possui dois ângulos iguis, então ele é isósceles, com b = c. áre do triângulo é igul à metde do produto entre bse e ltur. omo b = c, áre será dd por: Áre = (b b)/ = b / Foi informdo no enuncido que áre é 8 cm. Dí, temos seguinte iguldde: b / = 8 Resolvendo, vem: b = b 5º Portnto, os dois ctetos têm vlor igul cm. som ds medids dos ctetos é igul : cm + cm = 8 cm. Respost: lterntiv E. 0. (FTN 1998/ESF) Um trpézio D possui bse mior igul 0 cm, bse menor igul 8 cm e ltur igul 15 cm. ssim, ltur, em cm, do triângulo limitdo pel bse menor e o prolongmento dos ldos não prlelos do trpézio é igul : ) 10 d) 17 b) 5 e) 1 c) 7 questão não especific como é etmente o formto do trpézio. Desenhremos d form mis simples: Prolongndo-se os ldos não-prlelos do trpézio, obteremos: h questão solicit ltur h indicd no desenho cim. Encontrremos est ltur trvés d semelhnç de triângulos, conforme mostrdo bio. 7

48 Prof. Weber mpos h 8 h+15 D semelhnç, temos que os ldos correspondentes dos dois triângulos são proporcionis: h h Resolvendo, vem: 0h 8( h 15) 0h 8h 10 h 10 Respost: lterntiv (EPPGG MPOG/000 ESF) Em um triângulo eqüilátero de ldo igul 1 cm, trç-se um segmento XY prlelo o ldo de modo que o triângulo fique decomposto em um trpézio e em um novo triângulo. Sbendo-se que o perímetro do trpézio é igul o perímetro do novo triângulo, então o comprimento do segmento de ret XY, em centímetros, vle ) 5 c) 9 e) 1 b) 6 d) 10 O triângulo equilátero de ldo igul 1 cm é desenhdo seguir: Pssremos um segmento prlelo à bse de modo que o triângulo fique decomposto em um trpézio e um triângulo menor. Este triângulo tmbém será eqüilátero, pois possui todos os ângulos iguis 60º. Teremos: 60º 60º 60º 1-60º 60º 1-1 O perímetro do triângulo menor é igul : perímetro = + + = O perímetro do trpézio é igul : perímetro = + (1-) (1-) = 6 questão firm que os perímetros clculdos cim são iguis, dí: = 6 = 6 = 9 Respost: lterntiv. 8

49 Prof. Weber mpos 05. (MPOG e ENP 006 ESF) bse de um triângulo isósceles é metros menor do que ltur reltiv à bse. Sbendo-se que o perímetro deste triângulo é igul 6 metros, então ltur e bse medem, respectivmente ) 8 m e 10 m. d) 1 m e 1 m. b)) 1 m e 10 m. e) 16 m e 1 m. c) 6 m e 8 m. Fremos dus soluções pr est questão. O desenho do triângulo isósceles é: h hmmos de bse do triângulo isósceles, h su ltur e de os ldos iguis. prtir do teorem de Pitágors podemos escrever seguinte relção: = h + Do enuncido, temos que: h = + e + + = 6 = 18 Substituiremos o h e o em função do n primeir equção: (18 ) = ( + ) + Resolvendo, vem: 6 + = = = 0 s rízes dest equção são: =5 e =-16. riz negtiv deve ser descrtd, logo =5. ltur h é igul : h = + =. 5 + = 1 bse do triângulo isósceles é igul : bse = =. 5 = 10 Respost: lterntiv. 06. (F 005 ESF) Um feie de rets prlels determin sobre um ret trnsversl,, segmentos que medem cm, 10 cm e 18 cm, respectivmente. Esse mesmo feie de rets prlels determin sobre um ret trnsversl,, outros três segmentos. Sbe-se que o segmento d trnsversl, compreendido entre primeir e qurt prlel, mede 90 cm. Desse modo, s medids, em centímetros, dos segmentos sobre trnsversl são iguis : ) 6, 0 e 5 d) 1, 6 e 50 b) 6, e 50 e) 1, 0 e 56 c) 10, 0 e 50 9

50 Prof. Weber mpos O desenho d questão é: 10 y 18 z O segmento d trnsversl, compreendido entre primeir e qurt prlel, mede 90 cm, dí: + y + z = 90 Segundo o Teorem de Tles, um feie de prlels determin, em dus trnsversis quisquer, segmentos que são proporcionis. Portnto, teremos que: y z De cordo com s proprieddes d proporção, teremos: y z y z Sbemos que + y + z = 90, dí: y z Pr obter, igulremos primeir frção com o resultdo d proporção: =6 D form semelhnte, encontrremos y e z: y 10 z 18 y=0 z=5 Respost: lterntiv. 07. (MPOG e ENP 006 ESF) rzão de semelhnç entre dois triângulos, T 1, e T, é igul 8. Sbe-se que áre do triângulo T 1 é igul 18 m. ssim, áre do triângulo T é igul ) m. b) 16 m. c) m. d) 6 m. e)) m. D semelhnç entre triângulos, temos seguinte proporção: Onde k é rzão de semelhnç entre os triângulos T 1 e T. Lnçndo os ddos fornecidos n questão n proporção cim, teremos: 50

51 Prof. Weber mpos Resolvendo, vem: Respost: lterntiv E. 08. (Fiscl do Trblho 006 ESF) Em um polígono de n ldos, o número de digonis determinds prtir de um de seus vértices é igul o número de digonis de um heágono. Desse modo, n é igul : ) 11 b)) 1 c) 10 d) 15 e) 18 O número de digonis de um polígono de n ldos é ddo pel fórmul: nº de digonis = n.(n )/ Um heágono (n=6) tem seguinte quntidde de digonis: nº de digonis = 6.(6 )/ = 6./ = 9 Em um polígono de n ldos, o número de digonis determinds prtir de um de seus vértices é igul : (n ). Dí, fremos iguldde: (n ) = 9 n = 9 + = 1 Respost: lterntiv. 09. (MPOG 008 ESF) Dois polígonos regulres, X e Y, possuem, respectivmente, (n+1) ldos e n ldos. Sbe-se que o ângulo interno do polígono X ecede o ângulo interno do polígono Y em 5º (cinco grus). Desse modo, o número de ldos dos polígonos X e Y são, respectivmente, iguis : )) 9 e 8 c) 9 e 10 e) 10 e 1 b) 8 e 9 d) 10 e 11 ntes de inicir qulquer solução é sempre bom observr s opções de respost pr ver se é possível descrtr lgums dels. questão diz que o polígono X tem (n+1) ldos e o polígono Y tem n ldos, ou sej, X tem mis ldos do que Y. E questão quer o número de ldos desses dois polígonos, nest ordem: X e Y. Ocorre que há pens um únic lterntiv onde o número de ldos de X é mior do que o de Y. É lterntiv! Logo, est é respost d questão! De qulquer modo, fremos tmbém solução complet d questão. fórmul pr obter o ângulo interno de um polígono de n ldos é dd pel epressão: O polígono Y que tem n ldos, ssim seu ângulo interno é: O polígono X que tem (n+1) ldos. N fórmul cim, substituiremos n por (n+1) pr obter o ângulo interno de X. Teremos: Simplificndo, vem: 51

52 Prof. Weber mpos Segundo o enuncido, o ângulo interno do polígono X ecede o ângulo interno do polígono Y em 5º. Logo, podemos escrever equção: Resolvendo, vem: = + 5 = 5 = = s rízes são n = 8 e n = -9. Dí, n=8. O número de ldos dos polígonos X e Y são, respectivmente, iguis 9 e 8. Respost: lterntiv. 10. (MPOG e ENP 006 ESF) onsidere um triângulo cujos ldos,, e medem, em metros, c, b e, respectivmente. Um circunferênci inscrit neste triângulo é tngencid pelos ldos, e nos pontos P, Q e R, respectivmente. Sbe-se que os segmentos R, P e Q medem, y e z metros, respectivmente. Sbe-se, tmbém, que o perímetro do triângulo é igul 6 metros. ssim, medid do segmento Q, em metros, é igul )) 18 - c. c) 6 -. e) 6 -. b) d) 6 - c. Fremos o desenho do triângulo com um circunferênci inscrit. c b R Q z P y omo os segmentos Q e R são tngentes à circunferênci, podemos firmr que: Q = R =. Do mesmo modo, temos que: R = P = y e P = Q = z O novo desenho com esses resultdos é mostrdo seguir: b R c Q z y z P y 5

53 Prof. Weber mpos Do desenho, tirmos s seguintes igulddes: 1ª) c = + y ª) b = + z ª) = z + y Foi ddo que o perímetro do triângulo é igul 6 metros. Dí, vem: + b + c = 6 Substituiremos, b e c pelos resultdos ds três igulddes: ( + y) + ( + z) + (z + y) = 6 Simplificndo, vem: + y + z = 6 + y + z = 18 questão quer medid do segmento Q que corresponde no desenho medid z. Vmos isolr o z nest últim equção: z = 18 y Este resultdo não prece ns opções de respost, ms podemos dptá-lo pr que fique igul o resultdo mostrdo n lterntiv. Teremos: z = 18 y = 18 ( + y) = 18 c Respost: lterntiv. 11. (F-GU 008 ESF) Um qudrilátero conveo circunscrito um circunferênci possui os ldos, b, c e d, medindo ( - 9), ( + ), e, respectivmente. Sbendo-se que os ldos e b são ldos opostos, então o perímetro do qudrilátero é igul : ) 5 b) 0 c) 5 d) 0 e) 50 O desenho d questão é: -9 + D No desenho do trpézio, o mis importnte é que os ldos e fiquem opostos, ssim como os ldos + e -9, fim de que estejm de cordo com o enuncido. Podemos resolver est questão de form semelhnte nterior, utilizndo propriedde de que segmentos tngentes à circunferênci, prtindo de um mesmo ponto, são congruentes. ontudo, outro modo mis rápido de resolver, trvés d seguinte propriedde do qudrilátero circunscrito à circunferênci: som de dois ldos opostos é igul à som dos outros dois. Dí vem: + D = + D = = 5 = 6 = 5

54 Prof. Weber mpos ssim, os ldos do qudrilátero são: =. = 6; =. = 9; + =. + = 1; -9 =. - 9 =. E o perímetro é: = 0 Respost: lterntiv. 1. (F-SF 001 ESF) Um heágono é regulr qundo, unindo-se seu centro cd um de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros. Desse modo, se o ldo de um dos triângulos ssim obtidos é igul / m, então áre, em metros, do heágono é igul : ) 9 7 b) d) e) c) Desenhmos bio o heágono regulr, e observe que ele é formdo por seis triângulos eqüiláteros. áre do triângulo eqüilátero é dd pel fórmul:, onde é o ldo do triângulo. Foi informdo que o ldo do triângulo é igul /. Lnçndo este vlor n fórmul d áre, teremos: áre do triângulo = ( / ) = / áre do heágono é seis vezes áre do triângulo, dí: = 8 áre do heágono = Respost: lterntiv. 6 = 8 9 5

55 Prof. Weber mpos EXERÍIOS DE PROLEMS RITMÉTIOS, GEOMÉTRIOS E MTRIIIS PROLEMS RITMÉTIOS 01. (SES/ES 011 espe) Em determindo concurso público, os 00 cndidtos inscritos pr um dos crgos form listdos em ordem lfbétic. Seguindo-se ess ordem, tis cndidtos form numerdos de 1 00 e divididos em grupos de 0 cndidtos cd um, d seguinte form: os cndidtos numerdos de 1 0 frim s provs n sl 1; os de 1 0, n sl ; e ssim sucessivmente, de modo que todos os 00 cndidtos esse crgo fizessem s provs em 0 sls, numerds de 1 0. om bse nesss informções, julgue os itens seguintes cerc d distribuição desses 00 cndidtos. 1. Suponh que os números de dois cndidtos fossem p e q, com p < q, e que um deles fizesse s provs n sl 11, e o outro, n sl 1. Então n list, entre s posições p e q eistirim, no máimo, 78 cndidtos.. Se eistissem oito cndidtos com o nome Pedro, então probbilidde de que todos eles ficssem em um mesm sl seri de 100%.. Se o número do cndidto Lúcio Vieir fosse 5, então ele fri prov n sl 1.. Os cndidtos de números 19 e 1 frim prov n mesm sl. 0. (MPE/PI 011 espe) ndré, João e Pedro são os nlists responsáveis pel eecução de nove trefs, sendo que cd um deles eecut trefs distints dos demis e cd nlist eecut pelo menos um tref. Sbe-se tmbém que quntidde ds trefs de Pedro é mior ou igul à quntidde ds trefs de João e est é mior ou igul à quntidde ds trefs de ndré, e que o número correspondente à quntidde de trefs de Pedro é um número pr. om bse nesses ddos, julgue os itens seguintes cerc ds quntiddes de trefs eecutds pelos nlists. 1. Não há mneir de eecutr s trefs de modo que lgum nlist eecute mesm quntidde de trefs de outro nlist.. É possível lgum nlist eecutr cinco trefs mis que outro.. om relção às quntiddes de trefs que cd nlist eecut, é correto firmr que eistem três possibiliddes distints. 0. (PM DF 009 ESPE) onsiderndo que os filhos de um csl têm iddes que, epresss em nos, são números inteiros positivos cuj som é igul 1 e sbendo tmbém que filhos são gêmeos e que todos têm menos de 7 nos de idde, julgue os itens seguintes. 1. proposição s informções cim são suficientes pr determinr-se completmente s iddes dos filhos é fls.. proposição Se um dos filhos tem 5 nos de idde, então ele não é um dos gêmeos é verddeir.. proposição Se o produto ds iddes for inferior 50, então o filho não gêmeo será o mis velho dos é fls. 55

56 Prof. Weber mpos 0. (TJ/ES 010 espe) Se o produto ds iddes, em nos, de irmãos é igul, e se o irmão mis novo se chm Fernndo, então 1. o irmão mis velho tem mis de 1 nos de idde.. som ds iddes dos irmãos é inferior 0 nos. 05. (TJ/ES 010 espe) rlos desfiou Pedro certr quntos gols mrcou cd um de seus três migos em um torneio de futebol. Sbe-se que o produto desses três números é igul 0 e que som é igul à idde, em nos, do único filho de Pedro. Pedro sbe idde de seu filho ms tem dúvid cerc ds quntiddes de gols mrcdos pelo migos. respeito dess situção hipotétic, julgue os itens seguir. 1. Pr Pedro o desfio consiste em certr um opção entre três.. O filho de Pedro tem mis de 16 nos.. Um dos migos fez mis gols que cd um dos outros dois.. Se Pedro souber que um dos migos fez menos gols que cd um dos outros dois, então ele certrá o desfio. PROLEMS MTRIIIS 06. (TRE/ES 010 espe) om relção problems ritméticos e mtriciis, cd um dos próimos itens present um situção hipotétic, seguid de um ssertiv ser julgd. 1. Se em um município que tem.500 eleitores, votção dur 10 hors, cd seção eleitorl possui pens um urn, todos os eleitores votm e cd eleitor lev 1 minuto e meio pr votr, então, nesse município serão necessáris, no mínimo, 7 seções eleitoris.. Se, em um município, s seções eleitoris X, Y e Z têm, junts, eleitores; os tempos médios de votção nesss seções são 1 minuto e 0 segundos, minutos e 1 minuto por eleitor, respectivmente; o tempo médio de votção ns três seções é de.175 minutos; e o número de eleitores d seção Y é igul à metde d som do número de eleitores ds seções X e Z, então, nesse cso, seção eleitorl que tem o mior número de eleitores é X. 07. (SERPRO 010 espe) Um firmção formd por um número finito de proposições 1,,..., n, que tem como consequênci outr proposição,, é denomind rgumento. s proposições 1,,..., n são s premisss e é conclusão. Se, em um rgumento, conclusão for verddeir sempre que tods s premisss forem verddeirs, então o rgumento é denomindo rgumento válido. Tendo como bse esss informções, julgue os itens que se seguem. 1. Um indústri fbric equipmentos eletrônicos nos modelos R e S. Pr fbricr cd equipmento do modelo R, el empreg 5 trnsistores, 8 cpcitores e 1 resistores; pr fbricr cd equipmento do modelo S são empregdos 7 trnsistores, 6 cpcitores e 8 resistores. indústri recebeu encomends desses equipmentos pr o mês de junho e prevê que usrá 10 trnsistores e 0 cpcitores ness produção. onsiderndo ess situção como premiss de um rgumento, esse rgumento seri válido se, como conclusão, fosse presentd seguinte proposição: Pr fbricr os equipmentos d encomend, indústri gstrá 80 resistores. 56

57 Prof. Weber mpos 08. (TJ/ES 010 espe) N divisão de R$ ,00 entre ndré, etriz e elso, qunti que coube etriz corresponde /5 do que sobrou depois de ser retird prte de elso e ntes de ser retird prte de ndré; qunti que elso recebeu corresponde /5 do que sobrou depois ser retird prte de etriz e ntes de ser retird prte de ndré. Ness situção, julgue os itens seguintes. 1. elso recebeu menos de R$ 8.500,00.. ndré recebeu mis que etriz. 09. (ESPE 9) Pr um construção form pesquisdos três tipos de concreto, de três diferentes fábrics,, e. Pr cd quilo de concreto, determinou-se que: I - O concreto d fábric tem 1 unidde de brit, de rei e de cimento. II - O concreto d fábric tem, e 5 uniddes, respectivmente, de brit, rei e cimento. III o concreto d fábric tem uniddes de brit, de rei e de cimento. O concreto idel deverá conter uniddes de brit, 5 de rei e 8 de cimento. Usndo-se concreto ds três fábrics, s quntiddes, em kg, de cd um dels, necessáris pr se obter o concreto idel serão, respectivmente, pr, e : ) 5, e c), e 5 e) 1,5 e b), e d), e (Sebre 008 espe) O proprietário de um loj reformou completmente o seu imóvel e, lém ds despess com mteriis, pgou mão-de-obr de diversos profissionis. Pr esse pessol, ele pgou R$ 1.100,00 pr o decordor e pr o pintor; R$ 1.700,00 pr o pintor e pr o bombeiro; R$ 1.100,00 pr o bombeiro e pr o eletricist; R$.00,00 pr o eletricist e pr o crpinteiro; R$ 5.00,00 pr o crpinteiro e pr o pedreiro; e R$.00,00 pr o pedreiro e pr o pintor. Ness situção, é correto firmr que ) menor qunti foi pg o eletricist. ) mior qunti foi pg o pedreiro. ) o pintor e o crpinteiro receberm, juntos, mis de R$.800,00. D) qunti pg o decordor foi superior à qunti pg o bombeiro. 57

58 PROLEMS GEOMÉTRIOS Prof. Weber mpos 11. (ME 011 espe) Três crinçs costumm brincr de cç o tesouro, em locl plno, n pri, d form descrit seguir: de posse de um bússol, els fim um ponto P n pri com um bndeirinh, um dels esconde um brinquedo sob rei e, depois, pss o mp e bússol pr que s outrs dus tentem encontrr o tesouro. O mp consiste em um sequênci de instruções formds pelo número de pssos em linh ret e um sentido prtir d bndeirinh, que deve ser observd pr se encontrr o tesouro. prtir do teto cim e considerndo que medid do psso de tods s crinçs sej idêntic e que s instruções do mp sejm seguids n ordem presentd, julgue os itens seguintes. 1. Se s crinçs se unirem no ponto P e primeir cminhr pssos pr o norte, segund, pssos pr o sudoeste e terceir, pssos pr o sudeste, o triângulo cujos vértices corresponderão às posições finis ds crinçs será equilátero.. O mp contendo s instruções pssos pr o norte, 5 pssos pr o sudeste e 5 pssos pr o oeste conduzirá o mesmo ponto que o mp com instrução pssos pr o oeste. 1. (Políci ivil do ES 010 espe)...suponh, tmbém, que s estções, e tenhm sido construíds em pontos equidistntes, de modo que distânci de um desss três estções pr outr sej de 150 km. om referênci às informções contids no teto cim e às considerções hipotétics que ele se seguem, e considerndo 1,7 como vlor proimdo pr, julgue os itens seguintes. 1. Supondo que um nov estção, D, sej instld em um ponto equidistnte ds estções, e, então distânci d estção D pr s estções, e será inferior 87 km. 1. (TJ/RR 011 espe) Em um circunferênci com rio de 5 cm, são mrcdos n pontos, igulmente espçdos. respeito dess situção, julgue os próimos itens. 1. Se n =, então áre do polígono conveo que tem vértices nesses pontos é igul 60 cm.. Se forem iguis s quntiddes de triângulos distintos e de qudriláteros conveos distintos que se podem formr prtir desses n pontos, então n > 8.. Se n = 6, então o polígono conveo que tem vértices nesses pontos tem perímetro inferior cm. 1. (TRT 10ª Região 00 ESPE) Julgue os seguinte item: 1. áre de um losngo que possui o perímetro igul 5 cm e que tem um ds digonis medindo 10 cm de comprimento é igul 10 cm². 15. (TRT 10ª região 00 ESPE) onsidere um sl n form de um prlelepípedo retângulo, com ltur igul m e julgue os itens que se seguem. 1. Se s medids dos ldos do retângulo d bse são m e 5 m, então o volume d sl é superior m³. 58

59 Prof. Weber mpos. Se s medids dos ldos do retângulo d bse são m e 5 m, então áre totl do prlelepípedo é inferior 9 m².. Se s medids dos ldos do retângulo d bse são 6 m e 8 m, então medid d digonl desse retângulo é inferior 9 m.. Supondo que o perímetro do retângulo d bse sej igul 6 m e que s medids dos ldos desse retângulo sejm números inteiros, então áre máim possível pr o retângulo d bse é superior 1 m². 5. Se s medids dos ldos do retângulo d bse são m e m, então medid d digonl do prlelepípedo é inferior 6 m. 16. (TRE/ES 010 espe) No prism reto d figur cim, que represent, esquemticmente, um urn eletrônic, s bses são trpézios retos, em que bse mior mede 7 cm, bse menor, 1 cm, e ltur, 1 cm. ltur do prism é igul cm. No retângulo d prte frontl do prism mostrdo n figur, em um dos retângulos destcdos, loclizm-se s tecls e, no outro, um tel em que prece foto do cndidto escolhido pelo eleitor. Pr tender os eleitores portdores de deficiênci visul, cd tecl possui, lém do crctere comum, su correspondente representção n lingugem brille. d crctere n lingugem brille é formdo prtir de seis pontos colocdos em dus coluns prlels de três pontos cd. Seguindo s regrs d lingugem brille, cd crctere é formdo levntndo o relevo de lguns desses pontos, que pode ser pens um ponto ou té cinco pontos. prtir desss informções e considerndo 1, como vlor proimdo de se seguem., julgue os itens que 1. Se dus urns serão rmzends, sem sobrs de espço, em um ci que tem form de um prlelepípedo retângulo, então som ds dimensões dess ci será igul 96 cm.. áre d fce d urn onde estão loclizdos tel e s tecls é superior 7 dm.. O volume do prism é superior 11 dm.. quntidde de crcteres brille distintos que podem ser formdos pelo umento do relevo de pens dois pontos em um tecl é igul 0. 59