7. Autovalores e Autovetores

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1 58 7 Autovlores e Autovetores Digonlizção Tods s mtrizes considerds neste cpítulo serão qudrds Se A é um mtriz n n, então, pr v em R n, A v será tmbém um vetor em R n figur 7) Um problem de importânci considerável em muits plicções é determinção de vetores v, qundo eistirem, tis que v e A v sejm prlelos figur 7b) Tis problems surgem em plicções que envolvem vibrções; surgem em erodinâmic, elsticidde, físic nucler, mecânic, engenhri químic, biologi, equções diferenciis, etc Nest seção formulremos precismente este problem; definiremos tmbém lgum terminologi pertinente N próim seção resolveremos o problem em questão no cso de mtrizes simétrics e discutiremos rpidmente situção do cso gerl Fig 7 ) Fig 7 b) Definição Sej A um mtriz n n O número rel é chmdo um utovlor de A se eistir um vetor não-nulo v em R n, tl que A v v n ) Qulquer vetor v não-nulo que stisfç ) é chmdo de um utovetor de A ssocido o utovlor Os utovlores são tmbém chmdos de vlores próprios, vlores crcterísticos e vlores ltentes; e os utovetores são chmdos de vetores próprios, vetores crcterísticos e vetores ltentes Observe que v stisfz sempre equção ), ms insistimos que um utovetor v sej um vetor não-nulo Em lgums plicções prátics encontrm-se espços vetoriis compleos e esclres compleos Em tl conteto, definição cim é modificd de mneir que um utovlor poss ser um número compleo Tis trtmentos são presentdos em livros mis vnçdos Neste livro eigimos que um utovlor sej um número rel de fevereiro de Ale N Brsil

2 59 E: Se A é um mtriz identidde I n então o único utovlor é = ; qulquer vetor nãonulo de R n é um utovetor de A ssocido com o utovlor = : v I n v E: Sej Logo A A de mneir que disso, v é um utovetor de A ssocido o utovlor Além A de mneir que v é um utovetor de A ssocido o utovlor A figur 7) mostr que v e Av são prlelos, e que v e Av são tmbém prlelos Isto ilustr o fto de que se v é um utovetor de A, então v e A v são prlelos N figur 7) mostrmos v e A v pr os csos >, < <, < A um utovlor de A pode ser ssocidos muitos utovetores diferentes Em verdde, se v é um utovetor de A ssocido ou sej, Av v ) e t é qulquer número rel não nulo, então Fig 7 A t v) t A v) t v) t v) Assim, t v é tmbém um utovetor de A ssocido de fevereiro de Ale N Brsil

3 de fevereiro de Ale N Brsil 6 E: 7 Sej A Assim A de mneir que v é um utovetor de A ssocido o utovlor Além disso, v é um utovetor de A ssocido o utovlor verifique isto) O eemplo 7 slient o fto de que, embor o vetor zero, por definição, não poss ser utovetor, o número zero pode ser um utovlor E: 74 Sej 4 A Desejmos chr os utovlores de A e seus utovetores ssocidos Queremos ssim chr todos os números reis e todos os vetores não-nulos v stisfzendo ), ou sej 4 ) A equção ) se torn 4, ou 4) ) ) Fig 7

4 6 A equção ) é um sistem homogêneo de dus equções e dus incógnits D Unidde III, decorre que o sistem homogêneo em ) possui um solução não trivil se e somente se o determinnte de su mtriz de coeficientes for nulo: ssim, se e somente se Isto signific que ou Portnto, 4 ) 4), 5 6 ) ) e são os utovlores de A Pr chr todos os utovetores de A ssocidos, formmos o sistem liner ou Isto fornece ou ou v A v 4 ) 4 4) Observe que poderímos ter obtido este último sistem homogêneo substituindo simplesmente em ) Tods s soluções deste último sistem são dds por qulquer número rel Portnto, todos os utovetores ssocidos o utovlor são ddos por, um número rel não-nulo qulquer Em prticulr, v é um utovetor ssocido Semelhntemente, pr obtemos, de ), de fevereiro de Ale N Brsil

5 6 ou ) 4) Tods s soluções deste último sistem homogêneo são dds por qulquer número rel Portnto, todos os utovetores ssocidos o utovlor são ddos por, um número rel não-nulo rbitrário Em prticulr, v é um utovetor ssocido o utovlor Obs: Nos eemplos, e chmos utovlores e utovetores por inspeção, enqunto que no eemplo 4 procedemos de mneir mis sistemátic Usremos o processo do eemplo 4 como nosso método pdrão, como segue 7 Mtrizes Semelhntes Definição Dizemos que um mtriz B é semelhnte um mtriz A, se eistir um mtriz P não singulr invertível) tl que B P AP E: 75 Sej A 4 mtriz do eemplo 74 Sej P Então, P e B P AP 4 Assim, B é semelhnte A de fevereiro de Ale N Brsil

6 6 A relção de semelhnç stisfz s seguintes proprieddes: tod mtriz qudrd é semelhnte si mesm; se um mtriz A é semelhnte B, então B é semelhnte A e se A é semelhnte B e B é semelhnte C, então A é semelhnte C Deimos como eercício verificção dests proprieddes Definição Dizemos que um mtriz A, n n, é digonlizável, se el é semelhnte um mtriz digonl Neste cso, dizemos tmbém que A pode ser digonlizd E: 76 Se A e B são como no eemplo 75, então A é digonlizável, pois é semelhnte B Vmos enuncir e demonstrr o resultdo principl deste cpítulo Já vimos que se um mtriz A é digonlizável, então s coluns d mtriz P que fz digonlizção são utovetores ssocidos utovlores que são os elementos d mtriz digonl D Como mtriz P é invertível estes utovetores são Linermente Independentes Vmos mostrr seguir que est é um condição necessári e suficiente pr que um mtriz sej digonlizável Teorem Um mtriz A n n é digonlizável se e somente se tiver n utovetores linermente independentes Neste cso, A é semelhnte um mtriz digonl D, com P AP D ; os elementos sobre digonl de D são os utovlores de A, enqunto P é um mtriz cujs coluns são n utovetores de A linermente independentes Demonstrção Suponh que A é semelhnte D, Então de mneir que Sej P D AP D AP PD, n 4) e sej AP é v j, j,,, n j-ésim colun de P Observe que j-ésim colun d mtriz Av j e j-ésim colun de PD é v j j Assim, temos de 4) que j j v j 5) A v de fevereiro de Ale N Brsil

7 64 Como P é um mtriz não singulr, sus coluns são linermente independentes e, dest mneir, são tods não-nuls Assim, j é um utovlor de A e v j é um utovetor correspondente Além disto, como P é não-singulr, seus vetores colun são linermente independentes Reciprocmente, suponh que,,, n são n utovlores de A e que os utovetores correspondentes v, v,, vn são linermente independentes Sej P mtriz cuj j- ésim colun é v j, decorre que P é não singulr De 5) obtemos 4), o que crret que A é digonlizável Isto complet demonstrção Observe que, no teorem cim, ordem ds coluns de P determin ordem dos elementos d digonl de D Assim, se um mtriz A é digonlizável e D P AP, então os utovlores de A formm digonl de D e n utovetores linermente independentes ssocidos os utovlores formm s coluns de P Se conseguirmos pr cd utovlor, utovetores LI, então o juntrmos todos os utovetores obtidos, eles continurão sendo LI E: 77 Sej A como no eemplo 74 Os utovlores são e Os utovetores correspondentes v e v são linermente independentes Assim, A é digonlizável Neste cso, Assim P e P P AP 4 Por outro ldo, se fizermos e, então v e v Então P e P de fevereiro de Ale N Brsil

8 65 Logo P AP 4 E: 78 Sej A Os utovlores de A são e Os utovetores ssocidos e são vetores d form, onde é qulquer número rel não-nulo Como A não tem dois utovetores linermente independentes, concluímos que A não é digonlizável Teorem Um mtriz A é digonlizável se tods s rízes de seu polinômio crcterístico forem reis e distints Autovlores e Autovetores D definição A v v, onde é chmdo utovlor rel) de A e, v é chmdo de utovetor de A, podemos escrever: ou A v I n v v A I ) 6) n Como os utovetores são vetores não nulos, os utovlores são os vlores de, pr os quis o sistem 6) tem solução não trivil Ms, um sistem homogêneo tem solução não trivil se, e somente se, mtriz do sistem é singulr e um mtriz é singulr se, e somente se, o seu determinnte é igul zero, ou sej: det A I n ) Assim temos um método pr encontrr os utovlores e os utovetores de um mtriz A de fevereiro de Ale N Brsil

9 66 Proposição Sej A um mtriz n n ) Os utovlores de A são s rízes reis do polinômio p ) det A I n ) 7) b) Pr cd utovlor, os utovetores ssocidos são os vetores não nulos d solução do sistem Definição Sej A um mtriz n n O polinômio é chmdo polinômio crcterístico de A A I n ) X 8) p ) det A I ) 9) n Assim, pr determinrmos os utovlores de um mtriz A precismos determinr s rízes reis do seu polinômio crcterístico, que tem form n n n p ) ) n Um resultdo sobre polinômios que muits vezes é útil, é o que diz que se,,, n - são inteiros, então s sus rízes rcionis se eistirem) são números inteiros e divisores do coeficiente do termo de gru zero Por eemplo, se p ) 6 6, então s possíveis rízes rcionis são,, e 6 Substituindo estes vlores em p ), vemos que p) =, ou sej, é um riz de p ) Finlmente, dividindo p) por - ), obtemos que p ) ) 5 6) Como s rízes de 6 são e, então s rízes de p ), são, e E: 79 Vmos determinr os utovlores e utovetores d mtriz A Pr est mtriz o polinômio crcterístico é P ) det A I n ) det ) ) 5 4 Como os utovlores de A são s rízes reis de p ), temos que os utovlores de A são e 4 Agor, vmos determinr os utovetores ssocidos os utovlores e 4 Pr isto vmos resolver os sistems A I ) X e A I ) X Como então A I, de fevereiro de Ale N Brsil

10 67 é ou cuj solução gerl é v A I ) X y y y {, ) R} que é o conjunto de todos os utovetores ssocidos Agor, A I ) X é y cuj solução gerl é v {, ) R}, que é o conjunto de todos os utovetores ssocidos 4 crescentdo o vetor nulo crescentdo o vetor nulo E: 7 Sej A O polinômio crcterístico de A é p ) ), de mneir que os utovlores de A são, e Assim,, é um utovlor de multiplicidde Consideremos gor os utovetores ssocidos os utovlores Eles são obtidos resolvendo o sistem liner A I ) X : Um solução é qulquer vetor d form, onde é um número rel rbitrário, de mneir que dimensão do espço-solução de A I ) X é Não eistem dois utovetores linermente independentes ssocidos Assim, A não pode ser digonlizd de fevereiro de Ale N Brsil

11 de fevereiro de Ale N Brsil 68 E: 7 Sej A O polinômio crcterístico de A é ) ) p, de mneir que os utovlores de A são, e Assim,, é um utovlor de multiplicidde Consideremos gor os utovetores ssocidos os utovlores Eles são obtidos resolvendo o sistem liner ) v I A, isto é, de Um solução é qulquer vetor d form pr números reis rbitrários e Podemos ssim escolher como os utovetores v e v os vetores v e v Procuremos gor um utovetor ssocido Temos que resolver ) v I A, ou sej, Um solução é qulquer vetor d form pr qulquer número rel Assim, v, é um utovetor ssocido Como v, v e v são linermente independentes, A pode ser digonlizd

12 69 Assim, um mtriz n n pode deir de ser digonlizável ou porque nem tods s rízes de ser polinômio crcterístico são números reis, ou porque não tem n utovetores linermente independentes Os utovlores e utovetores stisfzem muits proprieddes importntes Por eemplo, se A é um mtriz tringulr superior inferior), então os utovlores de A são os elementos sobre digonl principl de A Além disto, sej um utovlor fio de A O conjunto que é formdo por todos os utovetores de A ssocidos com e pelo vetor n zero é um subespço de R, já que é o conjunto solução de um sistem liner homogêneo A I ) X Este subespço recebe o nome de utoespço ssocido o utovlor n O processo pr digonlizr um mtriz A é como se segue º psso Forme o polinômio crcterístico p ) det A I ) de A n º psso º psso 4º psso Ache tods s rízes do polinômio crcterístico de A Se s rízes não forem tods reis, então A não pode ser digonlizd Pr cd utovlor i de A com multiplicidde k i, che um bse pr o espço-solução de A I n ) X o utoespço de i ) Se dimensão do utoespço for menor do que k i, então A não é digonlizável Determinmos ssim n utovetores de A linermente independentes Sej P mtriz cujs coluns são os n utovetores linermente independentes determindos no terceiro psso Então P AP D, um mtriz digonl cujos elementos sobre digonl são os utovlores de A que correspondem às coluns de P Deve ser slientdo que este método de chr os utovlores de um mtriz por meio ds rízes do polinômio crcterístico não é prático pr n > 4, devido à necessidde de se clculr um determinnte Neste cso, deve-se usr um método numérico mis eficiente de fevereiro de Ale N Brsil

13 7 Digonlizção de Mtrizes Simétrics Motivção O problem d identificção de um cônic curv no plno descrit por um equção do gru em e y) trvés d su equção é fcilmente resolvido se equção não possui um termo em que prece o produto y Ms, o contrário, se prece este termo misto, temos que fzer um mudnç de coordends de form que ns novs coordends ele não preç Vejmos o eemplo seguinte E: 7 Considere o problem de identificr um cônic representd pel equção Usndo mtrizes, est equção pode ser escrit como ou ou ind, em y y 4 ) y y y 4 Como veremos dinte, podemos escrever em que y y 4 X T AX 4, ) A e X y T A PDP P e D 4 Assim, equção ) pode ser escrit como T T T T T X PDP X P X DP X 4 Se fzemos mudnç de vriáveis ou de coordends) P T P, equção ) se trnsform em I X PX ', então como X ' T DX ' 4 de fevereiro de Ale N Brsil

14 7 ou que pode ser escrit como, ou dividindo por 4, como ' 4 ' y ' y' 4 ' 4y' 4 ' ' y que é equção d elipse mostrd n Figur 74) Veremos n próim seção como trçr est elipse Fig 74 A mtriz P, tem propriedde de que su invers é simplesmente su trnspost, T P P Um mtriz que stisfz est propriedde é chmd de mtriz ortogonl O que possibilitou identificção d cônic, no eemplo nterior, foi o fto de que mtriz A é digonlizável trvés de um mtriz ortogonl P Ou sej, eiste um mtriz T P tl que A PDP e P P Já vimos que nem tod mtriz é digonlizável Vmos ver que se um mtriz A é simétric, então el é digonlizável, isto é, eiste um mtriz digonl D e um mtriz invertível P tl que D P AP Além disso, pr mtrizes simétrics, eiste um T mtriz P tl que D P AP Isto porque eiste um mtriz ortogonl P que fz T digonlizção, ou sej, que tem propriedde P P Em lgums plicções digonlizção com um tl mtriz é necessári, como por eemplo n identificção de cônics de fevereiro de Ale N Brsil

15 7 Cônics A plvr cônic, em princípio, signific um seção cônic, pois podem ser obtids ds interseções de plnos com um cone Isto já hvi verificdo o mtemático Apolônio no século III C, que descreveu esss curvs no livro intituldo Cônics Dependendo do corte no cone, s interseções podem ser: círculo, prábol, hipérbole ou elipse, conforme indicm s figurs As cônics form de fundmentl importânci pr o desenvolvimento d stronomi, sendo descrits n ntiguidde por Apolônio de Perg, um geômetro grego Mis trde, Kepler e Glileu mostrrm que esss curvs ocorrem em fenômenos nturis, como ns trjetóris de um projétil ou de um plnet Estudremos s seções) cônics, curvs plns que são obtids d interseção de um cone circulr com um plno Vmos estudr elipse, hipérbole e prábol, que são chmds de cônics não degenerds Figur 75) Vmos defini-ls em termos de lugres geométricos As outrs cônics, que incluem um único ponto, um pr de rets, são chmds cônics degenerds Figur 76) Fig 75 de fevereiro de Ale N Brsil

16 7 Fig 76 Cônics Não Degenerds Prábol Prábol é o conjunto de todos os pontos P, y de um plno eqüidistntes de um ret r diretriz) e de um ponto fio F foco), não pertencente r, ou sej, prábol é o P, y tis que conjunto de pontos P F distp r dist,, Fig 77 Prábol obtid seccionndo-se um cone com um plno Proposição ) A equção de um prábol com foco p, F e ret diretriz r : p é y 4 p ) de fevereiro de Ale N Brsil

17 74 b) A equção de um prábol com foco F, p e ret diretriz r : y p é 4 py ) Fig 78 Prábol com foco no ponto F, p e p Fig 79 Prábol com foco no ponto F p, e p Demonstrção Vmos provr primeir prte e deimos pr o leitor, como eercício, demonstrção d segund prte A prábol é o conjunto dos pontos, y tis que neste cso é P F distp r dist,,, p y p Elevndo o qudrdo e simplificndo, obtemos ) Fig 7 Prábol com foco no ponto F, p e p Fig 7 Prábol com foco no ponto F p, e p de fevereiro de Ale N Brsil

18 75 O ponto V é o ponto d prábol mis próimo d ret diretriz e é chmdo de vértice d prábol A prábol é curv que se obtém seccionndo-se um cone por um plno prlelo um ret gertriz do cone Elipse Definição Elipse é o conjunto de todos os pontos de um plno cuj som ds distâncis dois pontos fios desse plno é constnte Considermos no plno dois pontos distintos, F e F, tl que distânci distf, F c, e um número rel positivo com c Chmndo de constnte d definição, um ponto P pertence à elipse Figur 7) se, e somente se, P, F distp, F dist em que c Fig 7 Elementos Com bse ns Figurs 7 e 74), tem-se: Focos: são os pontos F e F Distânci focl: é distânci c entre os focos Centro: é o ponto médio c do segmento F e F Eio mior: é o segmento AA de comprimento este segmento contém os focos) Eio menor: é o segmento BB de comprimento b e perpendiculr AA no seu ponto médio Vértices: são os pontos A, A, B e B de fevereiro de Ale N Brsil

19 76 Fig 7 Elipse com focos nos pontos e F F c, c, Fig 74 Elipse com focos nos pontos, e F,c F c Pel Figur 7) é imedito que BF pois BF BF elipse) e BF BF Logo, do triângulo retângulo B cf vem definição de b c Est iguldde mostr que b e c Ecentricidde d elipse é o número rel c e e A ecentricidde é responsável pel form d elipse: elipses com ecentricidde perto de zero) são proimdmente circulres, enqunto que elipses com ecentricidde próim de são chtds Por outro ldo, fid um ecentricidde, por eemplo, e, tods s infinits elipses com est ecentricidde têm mesm form diferem pens pelo tmnho) Proposição ) A equção de um elipse cujos focos são F e c, F c, é Figur 7) y, 4) b em que b c de fevereiro de Ale N Brsil

20 77 b) A equção de um elipse cujos focos são F, ce F,c b é Figur 74) y, 5) em que b c Vmos provr primeir prte e deimos pr o leitor, como eercício, P, y tis que demonstrção d segund prte A elipse é o conjunto dos pontos ou sej, P, F distp, F dist, que neste cso é, PF PF ou c y c y c y c y Elevndo o qudrdo e simplificndo, temos c y c Elevndo novmente o qudrdo e simplificndo, temos c y c Como c, então c Assim, podemos definir b c, obtendo 4) equção cim por b c e dividir de fevereiro de Ale N Brsil

21 78 Fig 75 Elipse obtid seccionndo-se um cone com um plno Os pontos A, A, B e B são chmdos vértices d elipse Os segmentos AA e B B c são chmdos eios d elipse A ecentricidde d elipse é o número e Como, c, ecentricidde de um elipse é um número rel não negtivo menor que Observe que se F F, então elipse reduz-se o círculo de rio Além disso, como c, então e Assim, um círculo é um elipse de ecentricidde nul A elipse é curv que se obtém seccionndo-se um cone com um plno que não pss pelo vértice, não é prlelo um ret gertriz ret que gir em torno do eio do cone de form gerá-lo) e que cort pens um ds folhs d superfície Hipérbole A Figur 76) nos mostr dois pontos fios F e F, distintos e um distânci c um do outro Fig 76 de fevereiro de Ale N Brsil

22 79 Consideremos, gor, o conjunto dos pontos P do plno tis que diferenç de sus distâncis os pontos fios F e F sej um constnte positiv que indicmos por, ou sej: PF PF Fig 77 O conjunto de pontos P,, P, P, Pn, nesss condições, é denomindo hipérbole Fig 78 Definição Hipérbole é o conjunto de todos os pontos P do plno tis que diferenç de sus distâncis dois pontos fios F e F do plno é um constnte positiv e menor que distânci entre esses pontos fios Considermos no plno dois pontos distintos F e e um número rel positivo de modo que c F tl que distânci F, F c d Chmndo de constnte d definição, um ponto P pertence hipérbole Figur 78) se, e somente se, P, F dp, F d 6) de fevereiro de Ale N Brsil

23 8 B A A B Fig 79 Elementos Com bse ns Figurs 79), tem-se: Focos: são os pontos F e F Distânci focl: é distânci c entre os focos Centro: é o ponto médio c do segmento F F Vértices: são os pontos A e A Eio rel ou trnsverso: é o segmento A de comprimento A Eio imginário ou não-trnsverso: é o segmento BB B B A em C A de comprimento b e Fig 7 Hipérbole obtid seccionndo-se um cone com um plno de fevereiro de Ale N Brsil

24 8 Proposição Sej hipérbole de centro C, Considerremos dois csos: ) O eio rel está sobre o eio dos Sej P, y um ponto qulquer de um hipérbole Figur 7) de focos F c, F c, e Pel definição em 6), tem-se P, F dp, F d ou, em coordends c y c y Com procedimento de simplificção nálogo o que foi usdo n dedução d equção d elipse, e lembrndo que c b, chegmos à equção que é equção reduzid pr este cso b y E equção ds ssíntots rets pr onde s curv se proim, qundo ) em que b c b y, Fig 7 Hipérbole com focos nos pontos e F F c, c, Fig 7 Hipérbole com focos nos pontos, e F,c F c de fevereiro de Ale N Brsil

25 8 ) O eio rel está sobre o eio dos y Observndo Figur 7), com procedimento nálogo o cso, obtemos equção reduzid y b E equção ds ssíntots rets pr onde s curv se proim, qundo y, b ) em que b c Aplicção n Identificção de Cônics O problem d identificção de um cônic curv no plno descrit por um equção do segundo gru em e y) trvés d su equção é fcilmente resolvido, se equção não possui um termo em que prece o produto ds dus vriáveis Ms, o contrário, se prece este termo misto, temos que fzer um mudnç de sistems de coordends de form que no novo sistem ele não preç Um equção qudrátic ns vriáveis e y tem form by cy d ey f, em que, b, c, d, e e f são números reis, com, b e c não simultnemente nulos Est equção represent um seção) cônic Dizemos que equção de um cônic não degenerd está n form pdrão se el tem um ds forms dds n Figur 7) Vmos ver, gor, como digonlizção de mtrizes simétrics pode ser usd n identificção ds cônics cujs equções não estão n form pdrão Vmos estudr lguns eemplos de fevereiro de Ale N Brsil

26 8 de fevereiro de Ale N Brsil

27 84 Fig 7 Cônics não degenerds com equções n form pdrão E: 7 Consider cônic C cuj equção é 5 4y 8y 6 Est equção pode ser escrit como X T AX 6, 7) em que 5 A 8 O polinômio crcterístico de A é 5 p deta I det 6 8 Logo, os utovlores de A são 4 e 9 Os utovetores ssocidos 4 s soluções não nuls do sistem são A 4I X ou, 4 y de fevereiro de Ale N Brsil

28 85 cuj solução é V, onde R Os utovetores ssocidos 9 são s soluções não nuls do sistem A 9I X ou 4, y cuj solução é Então, V V, onde R Onde s coluns de V são os utovetores correspondentes Vmos fzer mudnç de vriáveis ' ' ' X PX, em que ' X n equção 7) y X ' T T ' P APX 6, ou ' ' X T DX 6, ou ' ' y 6, 9 ou ind ' ' y 9 4 8) que é equção de um elipse cujo esboço é mostrdo n Figur 74) Pr fzer o ' ' ' esboço do gráfico, em primeiro lugr temos que trçr os eios e y O eio pss pel origem, é prlelo e possui o mesmo sentido do vetor W, que tem coordends de fevereiro de Ale N Brsil

29 de fevereiro de Ale N Brsil 86 em relção o sistem de coordends ' ' y Assim, P W, que é primeir colun de P O eio ' y pss pel origem, é prlelo e possui o mesmo sentido de W que tem coordends em relção o sistem de coordends ' ' y Assim, P W, que é segund colun de P Depois, prtir d equção 8), verificmos n Figur 7) form d curv em relção os eios ' e ' y Fig 74 Elipse do eemplo 7) Eercícios Numéricos Ache o polinômio crcterístico de cd mtriz: ) A, b) 4 B R: ) 7 4 ) b Ache o polinômio crcterístico, os utovlores e os utovetores de cd mtriz: ) A R: ), ), ; v v R

30 de fevereiro de Ale N Brsil 87 b) 4 B R: ), ), ; v v R c) C R: R ),,5 ),8, 6 ),, ; v v v d) D R: R,,) v Verifique quis ds mtrizes são digonlizáveis: ) 4 A, b) B R: ; ), ; ) não b sim 4 Ache pr cd mtriz A, se possível, um mtriz não singulr P tl que AP P sej digonl: ) 4 A R: ) não é digonlizável;, b) A R: b) P 5 Identificr cônic, chr equção no último sistem de coordends utilizdo e fzer um esboço no gráfico ) y y ; b) 8 8 y y ; c) 4 4 y y ; d) 6 y y

31 88 Eercícios usndo o MATLAB >> syms y z diz o MATLAB que s vriáveis, y e z são simbólics; >> A=[,,,n;,,;,mn] cri um mtriz, m por n, usndo os elementos,,, mn e rmzen num vriável A; >> A=[A,,An] cri um mtriz A formd pels mtrizes, definids nteriormente, A,, An colocds um o ldo d outr; >> A=rndn) ou >> A=rndm,n) cri um mtriz n por n ou m por n, respectivmente, com elementos letórios >> solveepr) determin solução d equção epr= Por eemplo, >> solve-4) determin s soluções d equção - 4 = ; >> subsepr,,num) substitui n epressão epr vriável por num >> A=rndin) ou >> A=rndim,n) cri um mtriz n por n ou m por n, respectivmente, com elementos inteiros letórios >> esclona) clcul psso psso form reduzid esclond d mtriz A >> [P,D]=digonlA) digonliz mtriz A, de form que AP=PD, em que D é um mtriz digonl e P é um mtriz ortogonl >> substepr,[;y],[;b]) substitui n epressão epr s vriáveis,y por,b, respectivmente y >> elipse,b) desenh elipse b ' ' y >> elipse,b,[u U]) desenh elipse, em que e y são s b coordends em relção à bse ortonorml U e U '' '' y >> elipse,b,[u U],X) desenh elipse, em que e y são s b coordends em relção o sistem de coordends determindo pel bse ortonorml U e U e pelo ponto X y >> hiperb,b) desenh hipérbole b de fevereiro de Ale N Brsil

32 89 ' ' y >> hiperb,b,[u U]) desenh hipérbole, em que e y são s b coordends em relção à bse ortonorml U e U '' '' y >> hiperb,b,[u U],X) desenh hipérbole, em que e y são b s coordends em relção o sistem de coordends determindo pel bse ortonorml U e U e pelo ponto X y >> hiperby,b) desenh hipérbole b ' ' y >> hiperby,b,[u U]) desenh hipérbole, em que e y são s b coordends em relção à bse ortonorml U e U '' '' y >> hiperby,b,[u U],X) desenh hipérbole, em que e y são b s coordends em relção o sistem de coordends determindo pel bse ortonorml U e U e pelo ponto X >> prbp) desenh prábol y 4 p ' >> prbp,[u U]) desenh prábol y 4 p', em que e y são s coordends em relção à bse ortonorml U e U '' >> prbp,[u U],X) desenh prábol y 4 p", em que e y são s coordends em relção o sistem de coordends determindo pel bse ortonorml U e U e por X >> prbyp) desenh prábol 4 py >> prbyp,[u U]) desenh prábol, ' 4 py' em que e y são s coordends em relção à bse ortonorml U e U '' >> prbyp,[u U],X) desenh prábol 4 py", em que e y são s coordends em relção o sistem de coordends determindo pel bse ortonorml U e U e por X Obs: Use o MATLAB pr resolver os Eercícios Numéricos de fevereiro de Ale N Brsil