Capítulo 3: Elementos dos Circuitos Elétricos

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1 SETOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA TE41 Circuitos Eétricos I Prof. Ewado L. M. Meh Capítuo 3: Eementos dos Circuitos Eétricos 3.1 INTRODUÇÃO O objetivo da Engenharia é projetar e produzir dispositivos que atendam às necessidades da humanidade. Para isso, é comum anaisar o trabaho do Engenheiro como a seguinte seqüência de passos: 1. Entender o probema. 2. Panejar uma maneira de soucionar o probema. 3. Executar o pano de soução do probema. 4. Anaisar o método usado e a soução obtida, verificando: (a) se atende ao probema e (b) se poderia ser executada de uma forma mais rápida ou com menores custos. 5. Resover o probema novamente com os aperfeiçoamentos do método de soução. Para poder resover os probemas, os Engenheiros ançam mão freqüentemente de modeos. A paavra modeo pode significar, no contexto de engenharia: (a) uma representação física do probema, com a qua se faz ensaios afim de determinar o comportamento do sistema antes de construí-o. Nesse caso tem-se os seguintes tipos de modeos: (a.1) Protótipos: são modeos físicos em escaa 1:1, semehantes portanto ao equipamento, dispositivo ou sistema que será posteriormente produzido. Um exempo desse tipo de modeo são os protótipos de automóveis que a indústria automobiística utiiza para testes de desempenho e de impacto. (a.2) Modeos Reduzidos: são modeos físicos em escaa reduzida em reação ao equipamento ou sistema que será produzido. Exempos desse caso são os modeos reduzidos usados em engenharia hidráuica e engenharia nava, bem como modeos de aeronaves usados para testes aerodinâmicos em túne de vento. (b) uma equação ou um conjunto de equações que descreve o funcionamento do dispositivo ou sistema. Da mesma forma como ocorre com os modeos físicos, a equação ou conjunto de equações permite que simue-se certas condições e verifique-se o resutado que se obteria, antes de se construir ou produzir o sistema. No caso da anáise de circuitos eétricos, os métodos ançam mão de modeos (neste caso, com o segundo significado, ou seja, equações) que mostram o comportamento dos dispositivos. É necessário portanto que o Engenheiro esteja ciente de que quaquer modeo, para simpificar a anáise do probema, tem suas imitações. Por exempo, um modeo reduzido de uma barragem de uma usina hidreétrica simua o empreendimento rea mas obviamente tem simpificações importantes, pois muitos detahes como a rugosidade das estruturas de concreto são difíceis de serem impementadas numa estrutura de pequenas dimensões. De forma anáoga, os modeos matemáticos dos dispositivos que formam um circuito eétrico introduzem simpificações que não correspondem exatamente ao comportamento rea do circuito. Em concusão, quando de faa de eementos de circuitos, está se referindo a modeos, ou seja, equações que descrevem o funcionamento de dispositivos reais, mas com uma série de imitações e simpificações introduzidas para faciitar o trabaho de anáise. Por exempo, será visto em seguida que o eemento de circuito chamado de fonte de tensão fornece uma tensão constante nos seus terminais, coisa que obviamente nenhuma bateria irá fazer, pois em agum momento o dispositivo físico irá fahar ou sofrer agum processo de envehecimento. Ewado L. M. Meh - Circuitos Eétricos I Capituo 3 - pg.1

2 Uma das primeiras simpificações feitas para os eementos de circuito é considera-os como sendo ineares. Para entender o que é um eemento idea, refere-se à Figura 3.1, no qua um eemento passivo está desenvove uma tensão v quando é percorrido por uma corrente i. Figura 3.1: Representação genérica de um Eemento de Circuito, no qua observa-se uma tensão (v) quando é percorrido por uma corrente (i). Supondo que se tenha a corrente i a no eemento, observa-se a tensão v a entre os seus terminais. Quando se tem uma outra corrente i b no eemento, a tensão observada é v b. Então ta eemento é chamado de inear se observa-se iniciamente a seguinte condição, conhecida como princípio da superposição: a corrente ( i a + i b ) corresponde à tensão ( v a + v b ) Outra condição para um eemento ser chamado inear é conhecido como princípio da homogeneidade. Isto significa que se a corrente é mutipicada por um fator constante k 1.v a, então a corrente também será mutipicada pea mesma constante, ou seja, a corrente corresponde a k 1.i a. Os dois princípios da inearidade podem ser representados com o auxíio de uma seta que representa a resposta à excitação do sistema: i v Se o eemento é inear, então vae o princípio da superposição: ia va ib vb ( ia + ib ) ( va + vb ) Se o eemento é inear, então vae também o princípio da homogeneidade: ia va k ia k va Exempo: Um eemento de circuito possui a seguinte equação que mostra o reacionamento existente entre tensão e corrente: v = R. i Verificar se o eemento é inear. Soução: Iniciamos com o teste da superposição: v a = R. i a v b = R. i b v a + v b = R. i a + R. i b v a + v b = R.( i a + i b ) Agora vamos ao teste da homogeneidade: Vae! v a = R. i a Ewado L. M. Meh - Circuitos Eétricos I Capituo 3 - pg.2

3 se i b = k. i 1 então v b = R. i b = R. (k. i a ) portanto v b = k.(r. i a ) Como o eemento satisfaz os dois princípios, é um eemento inear. Vae! Exempo: Um eemento de circuito possui a seguinte equação que mostra o reacionamento existente entre tensão e corrente: Verificar se o eemento é inear. Soução: v = i 2 Teste da superposição: v a = (i a ) 2 v b = (i b ) 2 No entanto a matemática básica nos diz que: v a + v b = (i a ) 2 + (i b ) 2 (i a + i b ) 2 = (i a ) i a.i b + (i b ) 2 Portanto não vae o princípio da superposição e o eemento não é inear. Pode-se verificar também que não vae o princípio da homogeneidade: v a = (i a ) 2 k.v a k (i a ) FONTES IDEAIS Um dos principais modeos que se usa em circuitos eétricos é o das fontes ideais. A Fonte Idea de Tensão é um eemento de circuito que mantém uma tensão fixa entre os seus terminais. A fonte de tensão pode ser um eemento gerador ou um eemento receptor, dependendo se ea estiver fornecendo o recebendo energia. Este eemento modea ideamente as pihas e baterias. No caso, se a fonte de tensão é um eemento receptor, seria o caso de uma bateria que estivesse em processo de carga. De forma anáoga, define-se a Fonte Idea de Corrente como o eemento ou bipoo cuja corrente que o atravessa é invariante com a tensão entre seus terminais. Este eemento não existe de forma simpes nos circuitos reais, sendo necessário um circuito eetrônico reativamente compexo para se ter uma fonte de corrente constante. A fonte de corrente modea ideamente, por exempo, transistores convenientemente poarizados. Observe que um curto-circuito pode ser considerado como se fosse uma fonte idea de tensão (V=) e um circuito aberto como uma fonte idea de corrente (I=). v = + V v = + V v = - V v = - V Figura 3.2: Fontes ideais de tensão. Ewado L. M. Meh - Circuitos Eétricos I Capituo 3 - pg.3

4 i = -5 A i = +5 A i = -5 A i = +5 A Figura 3.3: Fontes ideais de corrente O RESISTOR IDEAL O resistor idea é um eemento de circuito que apresenta o seguinte reacionamento entre tensão em corrente, descrito graficamente na Figura 3.4: v = R. i Eq.3.2 Figura 3.4: Georg Simon Ohm e a representação do comportamento do Resistor Idea. A constante de proporcionaidade R na Eq.3.2. é chamada resistência eétrica, cuja unidade é ohm (para o símboo, é usada a etra grega ômega maiúscua Ω). A Eq.3.2. é muitas vezes nomeada como sendo a Lei de Ohm mas isso não é perfeitamente correto sob o ponto de vista histórico. Na verdade nos trabahos de Georg Simon Ohm ( ) a "ei" jamais aparece escrita dessa forma, pois suas pesquisas envoveram a infuência da sessão transversa e do comprimento de condutores metáicos na densidade da corrente e no campo eétrico. Para materiais homogêneos, é possíve definir também o conceito de resistividade (ρ) através da Eq.3.3, onde é o comprimento do condutor metáico e A é a área da sessão transversa: R = ρ Eq.3.3 A É fáci verificar que se o comprimento do condutor metáico for medido em metros (m) e a área A da sessão transversa for medida em metros quadrados (m 2 ), a unidade da resistividade ρ do materia utiizado na fabricação do condutor tem a unidade Ω.m. A Tabea 3.1 mostra os vaores da resistividade de aguns metais comumente empregados em Engenharia. Observe-se que a resistividade é definida para um determinada temperatura; isso é justificáve peo mecanismo físico que expica a resistência dos condutores através do choque dos eétrons em movimento com a estrutura cristaina do materia. À medida que aumenta-se a temperatura, a estrutura cristaina vibra em um grau cada vez maior. Isto posto, a probabiidade dos eétrons chocarem-se com a estrutura do materia aumenta com o incremento da temperatura, expicando dessa forma porquê que os Engenheiros se preocupam em manter os condutores eétricos em baixa temperatura, de modo a diminuir a sua resistência eétrica. Ewado L. M. Meh - Circuitos Eétricos I Capituo 3 - pg.4

5 Exempo: Tabea 3.1: Vaores de resistividade de aguns metais, a 2 o C: Meta Resistividade em Ω.m à 2 o C Prata 1,64 x -8 Cobre 1,694 x -8 Ouro 2,2 x -8 umínio 2,67 x -8 Níque 6,9 x -8 Tungstênio 5,5 x -8 Ferro 12,3 x -8 Encontra-se no comércio fios de cobre com sessão transversa de 2,5 mm 2. Cacuar a resistência de um roo de m desse fio, supondo-o à temperatura de 2 o C. Soução: Iniciamente é conveniente converter a sessão transversa para metros quadrados: 2,5 mm 2 = 2,5 x ( -3 ) 2 m 2 = 2,5 x -6 m 2 Usando diretamente a Eq.3.3 e a resistividade da Tabea 3.1, tem-se então: 8 R = ρ =,694 A 2,5 1 6 =,68 Ω Observar que mesmo para m de fio, o vaor da resistência é bastante baixo. Por esse motivo, na prática despreza-se a resistência de fios de cobre de pequeno comprimento, como os que são usados na montagem de pequenos circuitos. Exempo: O aumínio já é ampamente utiizado como materia condutor em cabos eétricos de ata tensão. Por razões econômicas, tem sido proposto a substituição do cobre peo aumínio também nos fios e cabos de instaações eétricas de baixa tensão, como os usados nas residências. Cacuar o incremento em porcentagem do diâmetro dos fios de aumínio, para que tenham a mesma resistência eétrica dos fios de cobre utiizados atuamente. Soução: A Eq.3.3 pode ser escrita e uma forma diferente: A = ρ R Supondo a área da sessão transversa do fio de cobre como se fosse igua a (sem unidade, para obter-se diretamente em porcentagem), tem-se para o cobre: Cu = ρ E para o aumínio: A = ρ Cu RCu R Ao substitui-se o cobre peo aumínio, supõe-se que se obtenha o mesmo desempenho na instaação, ou seja, que mantenha-se a mesma resistência para um determinado comprimento de fio. Portanto pode-se considerar nas equações anteriores que = Cu e que R = R Cu, de onde obtém-se: 8 ρcu ρ 2,67 = A = = = 157,61 8 A ρ ρcu 1,694 Ou seja, a área da sessão transversa dos fios de aumínio tem que sofrer um incremento de 57,61 % em reação à sessão transversa dos fios de cobre, para manter-se a mesma resistência eétrica nas instaações. Esse fato fará com que seja necessário usar-se eetrodutos de maior diâmetro nas instaações prediais, se for feita a substituição dos fios de cobre por fios de aumínio em futuros projetos. Ewado L. M. Meh - Circuitos Eétricos I Capituo 3 - pg.5

6 3.4. POTÊNCIA E ENERGIA NO RESISTOR IDEAL Viu-se no Capítuo 2 quer a potência num eemento genérico de circuito é dada por: p = v. i Eq.2.5 Usando-se a "Lei de Ohm", obtém-se duas expressões para a potência em um resistor idea: v v i = p = v R R 2 v p = Eq.3.4 R v = R i p = ( R i) i p = i 2.R Eq.3.5 Observar que tanto a Eq.3.4 como a Eq.3.5 fornecem resutados sempre positivos, pois tem-se em cada uma deas um termo eevado ao quadrado (i 2 ou v 2 ) e a resistência R é sempre positiva. Ou seja, o resistor é sempre um eemento passivo num circuito eétrico, segundo a convenção ançada no capítuo anterior. A energia foi definida no capítuo 2 através da Eq.2.8: w = p dt Eq.2.8 De posse da Eq.3.5, tem-se portanto uma expressão particuar da energia em um resistor: w = i 2 R dt Como a resistência é uma constante, fica-se simpesmente com w = R i 2 dt Eq.3.6 Observa-se na Eq.3.6 que a energia em um resistor será sempre positiva. Por esse motivo dizse que num circuito eetrônico o resistor está sempre atuando como um dissipador de energia. Isso é fáci de entender embrando-se do mecanismo envovido na resistência eétrica, que no caso dos metais é reacionado ao choque dos eétrons com a estrutura cristaina do materia. Exempo: Cacuar a energia dissipada por uma âmpada que foi esquecida igada em um automóve durante 4 horas. Considerar que a bateria do automóve é uma fonte de tensão idea de 12 vots e que a âmpada é um resistor idea de 6 ohms. Soução: Usando-se a "Lei de Ohm", tem-se: v = R. i Como v = 12 V e R = 6 Ω, tem-se então i = 2 A. A potência dissipada pea âmpada é portanto: p = v. i p = 12 x 2 = 24 W A energia é obtida pea integra: t w = p dt Ewado L. M. Meh - Circuitos Eétricos I Capituo 3 - pg.6

7 de onde se tem: w = 24.t = 24 (4 x 6 x 6) w = 3,46 x 5 J Caso prefira-se o resutado em W.h, basta considerar na expressão anterior o intervao de tempo em horas e não em segundos: w = 24.t = 24 x 4 w = 96 W.h Figura 3.5: Diversos resistores utiizados em circuitos eetrônicos. Bibiografia [1] DORF, Richard C. Introduction to eectric circuits. John Wiey, New York, p. [2] BURIAN JÚNIOR, Yaro. Circuitos Eétricos. UNICAMP, Campinas, Edição do Autor Ewado L. M. Meh - Circuitos Eétricos I Capituo 3 - pg.7